El documento describe el método de los elementos finitos (MEF), el cual es un método numérico para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales parciales complejas mediante la división del dominio en subdominios llamados elementos finitos. El MEF permite resolver ecuaciones asociadas a problemas físicos o de ingeniería sobre geometrías complicadas utilizando computadoras. Además, explica conceptos clave como las funciones de forma y los diferentes tipos de elementos y métodos de discretización.

1. Elementos Finitos
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Jorge Alejandro De La Cruz Helguera
Said Hazel Terán Olvera
Rene Antonio Sánchez Cervantes
Brenda Cecilia Juárez Cavazos
María Fernanda Gaytán Delgado
Luis David Mendoza Medellín

2. Elementos Finitos
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El método de los elementos finitos
(MEF en castellano o FEM en inglés) es
un método numérico general para la
aproximación de soluciones de
ecuaciones diferenciales parciales muy
complejas utilizado en diversos
problemas de ingeniería física.
El MEF está pensado para ser usado en
computadoras y permite resolver
ecuaciones diferenciales asociadas a
un problema físico o ingenieril sobre
geometrías complicadas.

3. Elementos Finitos
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El MEF permite obtener una solución
numérica aproximada sobre un cuerpo,
estructura o dominio (medio continuo) —
sobre el que están definidas ciertas
ecuaciones diferenciales en forma débil o
integral que caracterizan el
comportamiento físico del problema
dividiéndolo en un número elevado de
subdominios no-intersectantes entre sí
denominados «elementos finitos». El
conjunto de elementos finitos forma una
partición del dominio también
denominada discretización.

4. Elementos Finitos
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El procedimiento básicamente envuelve la
división del dominio en muchas pequeñas
regiones, llamadas "elementos",
convenientemente distribuidas, las cuales
pueden ser de forma triangular, cuadrilátera,
etc., y usando una interpolación para describir
el comportamiento de estos subdominios.
Un número satisfactorio de puntos, llamados
"nodos", son especificados para cada
elemento y a cada uno de ellos le corresponde
un valor de la variable o las variables de la
ecuación diferencial, que se obtiene
interpolando dentro de cada elemento.

5. Elementos Finitos
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Es la aplicación a una placa sometida a tensión
plana. El MEF se puede entender, desde un
punto de vista estructural, como una
generalización del cálculo matricial de
estructuras al análisis de sistemas continuos.
De hecho el método nació por evolución de
aplicaciones a sistemas estructurales.

6. Elementos Finitos
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Un elemento finito e viene definido por sus
nodos (i,j,m) y por su contorno formado por
líneas que losunen. Los desplazamientos u de
cualquier punto del elemento se aproximan por
un vector columna u u
=
N son funciones de posición dadas
(funciones de forma) y 𝒂e
es un vector
formado por los desplazamientos
nodales de los elementos considerados.
Para el caso de tensión plana.
u: son los movimientos horizontal y
vertical en un punto cualquiera del
elemento.
ai: Son los desplazamientos del nodo i.

7. Elementos Finitos
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Las funciones Ni, Nj, Nm, han de escogerse
de tal forma que al sustituir en (5.1) las
coordenadasnodales, se obtengan los
desplazamientos nodales.
Conocidos los desplazamientos de todos los
puntos del elemento, se pueden determinar
las deformaciones (𝜺) en cualquier punto.
Que vendrán dadas por una relación del
tipo siguiente:
𝜺 = 𝜹𝝁
Siendo 𝜹 un operador lineal adecuado

8. Elementos Finitos
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Suponiendo que el cuerpo está sometido a unas
deformaciones iniciales e0 debidas a cambios
térmicos, cristalizaciones, etc. y que tiene
tensiones internas residuales s0 la relación entre
tensiones y deformaciones en el cuerpo viene
dada por:
𝛔 = 𝛅 𝛆 − 𝛆𝟎 + 𝛔𝟎

9. Elementos Finitos
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Siendo D una matriz de elasticidad que contiene
las propiedades del material o materiales.
𝑞 =
𝒒𝒊
e
𝒒𝒋
e
…
Como las fuerzas que actúan sobre los nodos,
que son estáticamente equivalentes a las
tensiones en el contorno y a las fuerzas
distribuidas que actúan sobre el elemento. Cada
fuerza qei debe tener el mismo número de
componentes que el desplazamiento nodal ai
correspondiente y debe ordenarse en las
direcciones adecuadas.

10. Elementos Finitos
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El comportamiento en el interior de cada
elementos queda definido a partir del
comportamiento de los nodos mediante las
adecuadas funciones de interpolación ó
funciones de forma.
La interpolación es un elemento clave del MEF,
que se consigue reducir el problema a la
determinación de los corrimientos de unos
nodos. Estas funciones deben dar valores
suficientemente aproximados de los
corrimientos de cualquier punto del elemento,
en función de los corrimientos de los nodos.

11. Elementos Finitos
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Propiedades de las funciones de forma.
Estas funciones deben dar valores
suficientemente aproximados de los
corrimientos de cualquier punto del elemento,
en función de los corrimientos de los nodos.
 Derivabilidad.
Si el operador S es de orden m la función de
forma deberá soportar la m-ésima derivada.
 Integrabilidad
Por coherencia con la ecuación, una vez se
realiza la m-ésima derivada, la función de forma
debe ser integrable.

12. Elementos Finitos
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Semejanza con las leyes de distribución
de corrimientos.
Las leyes de distribución de corrimientos
son continuas, por lo que también lo
deben ser lasfunciones una vez aplicado
el operador S.
Condición de polinomio completo.
Si la función de forma escogida es
polinómica, lo que suele ser lo más
habitual, para que la función se aproxime
hasta el término m-ésimo a la solución
real, el polinomio debe ser completo.

13. Elementos Finitos
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Criterio de la parcela.
Es conveniente que las funciones de forma
tengan la propiedad de valer la unidad en los
nodos a los que están asociadas y que tengan
un valor nulo en el resto.
Este tipo de elementos se llaman elementos
conformes, y aseguran la continuidad de la ley
de corrimientos entre elementos.
Los elementos no conformes son los que no
aseguran la unicidad de la ley de corrimientos,
hecho que provoca la existencia de
deformaciones infinitas en el contorno entre
elementos.

14. Elementos Finitos
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En cada elemento se pueden distinguir tres tipos de
nodos, Primarios, secundarios e intermedios.
Las funciones de forma se agrupan en dos familias
principales en función del tipo de nodos:
Serendípidas: en las que sólo existen nodos frontera
(primarios y secundarios).
Lagrangianas: Incluyen además nodos intermedios.

15. Elementos Finitos
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Con el fin de conseguir un mayor ajuste de los elementos a la
geometría del cuerpo, existe también una interpolación de
tipo geométrico. Esto permite obtener elementos de lados
curvos a partir de un elemento de referencia.
No sólo pueden distorsionarse elementos bidimensionales
en otros también bidimensionales, sino que se puede
distorsionar elementos bidimensionales en elementos
tridimensionales. Esto es así estableciendo una
correspondencia biunívoca entre las coordenadas
cartesianas y curvilíneas.
Es conveniente emplear funciones de forma también
en las transformaciones curvilíneas que permiten la
obtención de lados curvos.
Las transformaciones deben ser unívocas, es decir a
cada punto del sistema cartesiano le debe
corresponder un único punto del sistema curvilíneo,
y viceversa. Es decir no pueden existir elementos con
pliegues.

16. Elementos Finitos
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Además no puede haber huecos ni solapes entre los
elementos transformados.
Teorema 1:
Cuando dos elementos contiguos están engendrados
por “elementos generatrices” cuyas funciones de
forma satisfacen las condiciones de continuidad, los
elementos distorsionados (transformados) serán
entonces continuos.
Teorema 2:
Si las funciones de forma N empleadas son tales que
la continuidad de los corrimientos u se mantiene en
las coordenadas del elemento generatriz, las
condiciones de continuidad se satisfarán entonces en
los elementos distorsionados.

17. Elementos Finitos
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Cuando el número de nodos que definen la forma
geométrica del elemento es inferior al número de
los utilizados en la interpolación de los
corrimientos, se dice que el elemento es
subparamétrico.
Cuandoes superior se dice que es
superparamétrico.

18. Elementos Finitos
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Sin embargo, hay varias recomendaciones preliminares acerca de la adecuación de los modelos de cálculo con
elementos finitos.
En primer lugar, la calidad de una solución puede depender
de la forma de los elementos finitos.
Los mejores resultados de la modelización de elementos
finitos se logran, si los elementos (tetraedros y triángulos)
que forman el modelo de malla están cerca de los
equiláteros.
Viceversa, si un modelo de malla contiene elementos, cuyos
bordes varían en su tamaño en gran medida, a continuación,
los resultados de la modelización podría ser de una
precisión insuficiente.
En tales casos, es deseable reducir al mínimo el número de
tales elementos indebidas por medio de las opciones del
generador de elemento finitos de malla.

19. Elementos Finitos
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En segundo lugar, la calidad de la solución se ve
directamente afectada por el grado de discretización
del modelo original geométrica, que es «densidad»
de la malla de elementos finitos.
El usuario puede controlar este parámetro de malla
mediante la especificación de un tamaño medio
absoluto o relativo de los elementos finitos, o
mediante la variación de los parámetros que afectan
a la generación de mallas en los modelos curvilíneos.
Por lo general, una división de modelo 3D en una
cantidad más grande de elementos conduce a
mejores resultados en términos de precisión.

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MALLADOS ESTRUCTURADOS
Se denomina de esta forma a toda discretización cuya
conectividad sigue un patrón reticular.
Se usa generalmente elementos cuadrangulares (2D) y
hexaédricos (3D), pero a partir de ellos se generan triangulares
y Tetraédricos.
Tipos y Métodos Generales de Mallados

21. Métodos por MALLADOS ESTRUCTURADOS
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Métodos Algebraicos
Las técnicas más sencillas y, por tanto, más rápidas en el
cálculo de estas coordenadas nodales son las denominadas
algebraicas.
Transformación en Geometrías canónicas
Se transforma el dominio original, esto es, su contorno
discretizado, en un dominio canónico.
Interpolación transfinita
Se desarrollan funciones de interpolación entre los lados del
dominio de modo que la generación de los nodos internos
viene determinada por la posición de los nodos del
contorno.

22. Elementos Finitos
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Métodos basados en EDPs
Estas técnicas pueden ser consideradas como métodos
algebraicos donde las coordenadas de los nodos
interiores vienen determinadas por la resolución de
estas EDPs, que relacionan las coordenadas del dominio
real (x,y) con las del dominio canónico (ξ,η)
Tipo de EDPs empleadas
Laplace: si solo se desea buena regularidad
Poisson: Si se desea densificar en alguna zona
Hiperbólico: Sistemas Abiertos

23. Elementos Finitos
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Métodos de SuperposiciónDeformación de Retícula
Generan la malla a través de una retícula (2D) o cubícula
(3D)
Deja como el paso anterior o realiza una readecuación
(3)Deformando cuadrados (4) Retícula jerárquica

24. Elementos Finitos
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Métodos de Crecimiento Estructurado “extrusion”o
“sweeping”
Para geometrías 3D que se desarrollan a partir de la
traslación de una superficie base (toroides, cilindros,
etc) Repetición de la malla superficial de la base, que
puede ser estructurada o no, a lo largo del dominio del
problema.
Según este planteamiento, únicamente se puede hablar
de malla estructurada en la dirección de crecimiento de
la geometría tridimensional.

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MALLADOS NO ESTRUCTURADOS
No presentan un patrón de conectividad predeterminado,
pues ésta viene determinada por el contorno del problema,
la situación de los nodos interiores y el método de
discretización utilizado.
Métodos de DelaunayVoronoï
Parten de una distribución determinada de nodos y
únicamente se ocupan de obtener una conectividad
adecuada
Buscando una conexión óptima de modo que los elementos
presenten una buena relación de aspecto
Para elementos 2D:
Posee una característica muy interesante para la generación
de mallas: la regularidad de ángulos en los triángulos
generados es máxima, logrando una triangularización optima
Para elementos 3D:
Esta triangulación óptima no garantiza que los tetraedros
sean óptimos. Son necesarias técnicas de detección y
corrección de tetraedros defectuosos.

26. Elementos Finitos
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Métodos por Frente de Avance
La malla se genera iterativamente desde un frente
inicial, que coincide con el contorno del problema y que
se va modificando conforme el proceso avanza, hasta
que el dominio queda completamente mallado,
momento en el que el frente queda vacío.
Esta sujeto a un tamaño de elemento prescrito o una
malla de referencia o función de densidad
frente a contornos no convexos o gran disparidad de
tamaño entre elementos próximos, puede fallar

27. Elementos Finitos
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Cuadriláteras o hexaédricas no estructuradas
Técnica Indirecta
Se discretiza el dominio con triángulos o tetraedros, y éstos son
transformados en cuadriláteros o hexaedros
2D
Se basan normalmente en la descomposición del triángulo en
tres cuadriláteros, en la eliminación de la arista común entre
pares de triángulos, en ambas o en otras estrategias más
complejas como, por ejemplo, la eliminación de aristas
compartidas por triángulos que tengan un nodo común y que
formen un contorno cuadrilátero.
3D
Se basan fundamentalmente en la descomposición de cada
tetraedro en cuatro hexaedros. Debido a la baja calidad de
éstos, estas técnicas no están muy extendidas

28. Elementos Finitos
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Técnica Directa
2D:
Se distinguen entre aquéllos que descomponen el
dominio en regiones más sencillas sobre las que se
aplican plantillas de mallado cuadrilátero, como la
división por el eje medio (“medial axis”) o el método de
empaquetado de círculos (“circle packing”) y los que
utilizan la filosofía de frente de avance, como o los
métodos de pavimentación (“paving”)
3D:
Entre los de descomposición y aplicación de plantilla
destaca el de división por la superficie media (“medial
surface”). En cuanto a los métodos de frente de avance,
el “plastering” es un intento de extender la técnica de
pavimentación al caso volumétrico.

29. Elementos Finitos
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MALLADOS SUPERFICIALES
Los métodos bidimensionales, en su gran mayoría, son
utilizados en la generación de mallas superficiales, pero la
necesidad de que los nodos generados pertenezcan a la
superficie requiere una modificación de estas técnicas.
Las superficies son definidas, en general, por su contorno y
la ecuación que las define, bien de forma analítica o bien
de forma aproximada, como, por ejemplo, en forma de
NURBS (Non Uniform Rational B-Splines) o de “mapeados”
transfinitos discretos.
Se pueden Clasificar en dos Grupos:
Los que generan la malla directamente sobre la superficie
tridimensional y los que la generan en un espacio
paramétrico bidimensional y posteriormente la transportan
al espacio real.

30. Elementos Finitos
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MALLADOS POR METODOLOGÍAS MULTIBLOQUES
Para la creación de mallas de geometrías complejas para
las que los métodos descritos previamente no generan
resultados satisfactorios o fallan.
La idea básica consiste en la división del dominio en
bloques de topología más sencilla. Cada bloque de esta
partición se procesa posteriormente con alguna de las
técnicas descritas en los puntos anteriores. La malla de
todo el dominio se obtiene uniendo las mallas de cada uno
de los bloques.
Permite la utilización de mallas mixtas (estructuradas y no
estructuradas en un mismo dominio)

31. Elementos Finitos
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MALLADOS ADAPTATIVOS
En muchos casos, las características de la geometría o el fenómeno
estudiado producen soluciones que presentan una gran variación a
lo largo del dominio del problema o, incluso, singularidades en
algunas zonas del mismo.
El aumento de la cantidad de elemento mejora la solución pero
incrementa considerablemente el coste computacional.
La generación de una malla eficiente se consigue con la
adecuación de ésta a la variación de la solución del problema.
Los métodos adaptativos son los encargados de esta generación
automática de malla adaptada a la solución.

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Existen 3 formas de refinamiento de los problemas:
 Método H: Consiste en la reducción del error actuando directamente sobre el
tamaño del elemento y manteniendo constante la función de forma. Presenta
dos inconvenientes, es el método más lento, desde el punto de vista de velocidad
de convergencia; y se pierde el control sobre el mallado, pudiendo generarse
mallas distorsionadas.
 Método P: Consiste en ir aumentando progresivamente el grado de los
polinomios de interpolación (funciones de forma), manteniendo fijo el tamaño
de los elementos. Tiene mayor velocidad de convergencia que el método H, pero
presenta el problema de que requiere acotar el grado máximo del polinomio.
Un grado muy alto podría provocar rizado en las soluciones.
 Método HP: Consiste en el uso secuencial de ambas técnicas. En primer lugar se
optimiza el mallado a la geometría, y posteriormente se modifica el grado del
polinomio hasta alcanzar el error deseado.

33. Funcionamiento de un programa de elementos finitos
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Los programas de elementos finitos disponen de tres
módulos de trabajo:
• Pre-procesador: Es donde se construye el modelo para
el cálculo. En dicho módulo se realizan las siguientes
operaciones:
• Asignación de elementos y propiedades de material a
los diferentes componentes del modelo.
• Generación de malla.
• Aplicación de las cargas y condiciones de contorno del
modelo.
• Definición de la geometría, bien dibujándola
directamente o importándola de un modelo CAD.
• Selección del tipo de elemento o elementos a emplear.
• Se realiza en función del tipo de cálculo a realizar.
• Definición de los materiales a emplear, pueden
obtenerse de librerías o ser definidos por el usuario.
• Lo segundo es lo común cuando se emplean materiales
de propiedades no lineales o anisótropos.

34. Elementos Finitos
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Calculador.:
Es la parte del programa que realiza todo el cálculo
del MEF y genera las soluciones.
Sigue los siguientes pasos:
• Selección del tipo de cálculo: transitorio,
armónico, estático,
• Configuración de los parámetros de cálculo:
incrementos de tiempo, numero de intentos,
memoria y procesadores disponibles,…
• Cálculo propiamente dicho: En función del
software comienza con una comprobación previa
del modelo.

35. Elementos Finitos
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Post-procesador:
Con esta herramienta se representan visualmente los
resultados y permite de una forma sencilla la
interpretación de los resultados.
• Es posible aplicar operaciones se suavizado,
interpolación e incluso determinación de errores de
aproximación.

36. 21
Aplicación en SOLIDWORKS
El software formula las ecuaciones que rigen el
comportamiento de cada elemento teniendo en
cuenta su conectividad con los demás elementos.
Estas ecuaciones hacen referencia a la respuesta de
cargas, restricciones y propiedades del material
conocidas.
A continuación, el programa organiza las ecuaciones
en un conjunto mayor de ecuaciones algebraicas
simultáneas y resuelve las desconocidas.
En el análisis de tensión, por ejemplo, el solver
encuentra los desplazamientos en cada nodo y,
posteriormente, el programa calcula las
deformaciones unitarias y finalmente las tensiones.
El software ofrece los siguientes tipos de estudios:

37. Autodesk
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El análisis de elementos finitos es un método computarizado
para predecir cómo reaccionará un producto ante las fuerzas,
la vibración, el calor, el flujo de fluidos y otros efectos físicos
del mundo real.
La simulación de elementos finitos te permite comprobar si un
producto se romperá, desgastará o funcionará como se
espera.
Se denomina análisis, pero en el proceso de desarrollo de
productos, se utiliza para predecir qué ocurrirá cuando se
utilice un producto.
El análisis de elementos finitos descompone un objeto real en
un gran número (entre miles y cientos de miles) de elementos
finitos, como pequeños cubos

38. Elementos Finitos
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Las ecuaciones matemáticas permiten predecir el
comportamiento de cada elemento. Luego, una
computadora suma todos los comportamientos
individuales para predecir el comportamiento real del
objeto.
El análisis de elementos finitos predice el comportamiento
de los productos afectados por una variedad de efectos
físicos, entre los que se incluyen:
•Esfuerzo mecánico
•Vibración mecánica
•Fatiga
•Movimiento
•Transferencia de calor
•Flujo de fluidos
•Electrostática
•Moldeo por inyección de plástico