Este documento presenta un resumen de tres pasos clave del método de elementos finitos: 1) Discretizar el modelo en elementos finitos, 2) Elegir funciones de desplazamiento para cada elemento, 3) Deducir las ecuaciones de rigidez de cada elemento. El método de elementos finitos divide un modelo complejo en pequeños elementos simples conectados para aproximar la solución a un problema de ingeniería.

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
COMPUTACIÓN APLICADA
Integrantes:
CANDO GABRIELA
LICUY MARITZA
DÉCIMO semestre “c”
27 - NOVIEMBRE – 2012

2. Método de elementos finitos
 Para la solución de los  Proceso de modelización un
problemas de ingeniería y cuerpo para dividirlo en un
de la física matemática sistema equivalente de
pequeños cuerpos o
unidades (elementos finitos)
 Para los problemas de interconectados en los
geometrías puntos comunes a dos o
complicadas, cargas, y más elementos (puntos
propiedades de los nodales o nodos
materiales, en general, no
es posible obtener  se formulan las ecuaciones
soluciones matemática para cada elemento finito y
analítica combinarlos para obtener
la solución del conjunto

3. Introducción
 Esta sección se describe tanto el rol de la
computadora digital en la solución de los
grandes sistemas de ecuaciones algebraicas
simultánea asociada con problemas complejos
y el desarrollo de numerosos programas de
ordenador basado en el método de elementos
finitos.

4. Década de 1940 en el campo de la
ingeniería estructural, se utilizaba una red de
línea (unidimensional) elementos (barras y
vigas) para la solución de las tensiones en
sólidos
En 1947 desarrolló la flexibilidad o el método
de la fuerza, y en 1953 sugiere otro método
(el método de desplazamiento o rigidez)
podría ser una alternativa prometedora para
su uso en el análisis de estructuras aeronaves
En 1954 se desarrolló métodos matriciales de
análisis estructural utilizando los principios de
la energía.

5. La frase elementos finitos fue presentado
por Clough en 1960, cuando ambos
elementos triangulares y rectangulares Se
utilizaron para el análisis de tensiones en el
plano.
En 196 1Extensión del método de
elementos finitos en tres dimensiones los
problemas con el desarrollo de una matriz
de rigidez tetraédrica
Mientras que los problemas de pandeo
fueron tratados en 1963. Y se extendió el
método a problemas visco-elasticidad en
1968

6. 1969 para derivar las ya conocidas
elasticidad ecuaciones de análisis estructural
y, a continuación, en año 1970 para
problemas transitorios campo.
1976 se examinó los problemas asociados
con grandes desplazamientos de
comportamiento dinámico no lineal, y
mejorar técnicas numéricas para la solución
de los sistemas de ecuaciones resultantes
1977 aplicaron el método de residuos
ponderada a la determinación de campo
magnético

7. 1.2 La introducción a la Anotación de la Matriz
Los métodos de la matriz son
una herramienta necesaria
usada en el método del
elemento finito para los
propósitos de simplificar la
formulación de las
ecuaciones de rigidez de
elemento
Una matriz es una serie
rectangular de cantidades De la anotación de la matriz
colocada en las filas y representa una anotación
columnas que se usan a simple y fácil de usar por
menudo como una ayuda escribir y resolver juegos de
expresando y resolviendo un ecuaciones algebraicas
sistema de ecuaciones simultáneas
algebraicas

8. 1.2 La introducción a la Anotación de la Matriz
El caso más general de una matriz
rectangular conocida se indicará por
el uso de la anotación de los
corchetes [ ].
• Por ejemplo, el elemento y rigidez de
la estructura global matrices k y
K , respectivamente, desarrollado a
lo largo del texto para el elemento
de varios tipos se representan por
matrices cuadradas dado como

9. En caso de que, en
teoría estructural, los
elementos kij y Kij
son a menudo se
El nodal global las fuerzas y el nodal global
denomina desplazamientos están relacionados a
coeficientes través del uso de la matriz de rigidez por
influencia de
rigidez.

10. 1.3 Rol del Ordenador
Advenimiento de las computadoras, la
solución de miles de ecuaciones en cuestión
de minutos se hizo posible.
• De hecho, los programas informáticos de
elementos finitos ahora se pueden resolver
en un solo proceso en una sola
máquina, tales como un simple
computador de escritorio o un ordenador
portátil personal (PC) o en un grupo de
ordenadores. Las memorias poderosas del
equipo y los avances en los programas de
resolución han permitido solucionar
problemas con más de un millón de
incógnitas.

11. 1.3 Rol del Ordenador
El analista, una vez definido el modelo de elementos
finitos
introduce la información, puede incluir la posición del
elemento nodal las coordenadas, la manera en que los
elementos están conectados, las propiedades del
material de los elementos, las cargas aplicadas, las
condiciones de frontera, o restricciones, y el tipo de
análisis que se deben realizar
El ordenador entonces usa esta información para
generar y solucionar las ecuaciones necesarias de
realizar el análisis

12. 1.4 Pasos generales del método de los elementos finitos
Normalmente para el problema de análisis de esfuerzos
estructural, el ingeniero procura determinar
desplazamientos y esfuerzos en toda la estructura, que está
en el equilibrio y es sujetada a cargas aplicadas. Para
muchas estructuras, es difícil de determinar la distribución
de deformación que usa métodos convencionales, y así el
método de elemento finito necesariamente es usado
Hay dos enfoques El segundo
generales directas acercamiento, llamado el
Un enfoque, denominado
tradicionalmente desplazamiento, o la
la fuerza, o
asociadas con el método rigidez, el
flexibilidad, método, utiliza
de elementos finitos y su método, asumen los
fuerzas internas como las
aplicación a los desplazamientos de los
incógnitas del problema.
problemas de la nodos como la incógnita
mecánica estructural del problema

13. Otro principio variacional utiliza a menudo para derivar las ecuaciones
aplicables es el principio del trabajo virtual. Este principio se aplica más
generalmente a los materiales que se comportan de una manera
lineal-elástica, así como aquellos que se comportan de una manera no
lineal
El método de elementos finitos implica el modelado de la estructura
utilizando pequeños elementos interconectados llamados elementos
finitos. Una función de desplazamiento está asociado con cada
elemento finito. Cada elemento de interconexión está
vinculada, directa o indirectamente
Por presión/esfuerzo las propiedades de los materiales de la
estructura, se puede determinar el comportamiento de un nodo
dado en términos de las propiedades de cada elemento en la
estructura. El conjunto total de ecuaciones que describen el
comportamiento de cada nodo resultados en una serie de
ecuaciones algebraicas mejor expresada en notación matricial.

14. Paso 1
Discretizar y seleccionar los tipos de elementos
Consiste en dividir el cuerpo en un sistema
equivalente de elementos finitos con nodos
asociados y elección del tipo más adecuado de
elemento de modelo más estrechamente el
comportamiento físico real
Los elementos deben ser lo suficientemente pequeño
para dar resultados utilizables y todavía lo
suficientemente grande como para reducir esfuerzo
computacional
La elección de los elementos que se utilizan en un
análisis de elementos finitos depende de la estructura
física del cuerpo en las actuales condiciones de
carga y de que tan cerca de el comportamiento real
del analista quiere los resultados a ser

15. Los elementos que se emplean de forma habitual en la práctica
de la mayoría de los cuales son considerados son
Elemento simple de línea con dos nodos
(normalmente utilizado para representar una barra o
elemento de la viga) y el elemento de línea de orden
superior

16. Elementos simples bidimensionales con
nodos de esquina (normalmente se utiliza
para representar tensión plana / tensión) y
de orden superior de dos dimensiones
elementos con nodos intermedios a lo largo
de los lados

17. Elementos tridimensionales simples
(normalmente utilizados para representar el
estado de tensión tridimensional) y
elementos tridimensionales de orden
superior con nodos intermedios a lo largo de
los bordes

18. Simples axisimétrica triangulares y
cuadriláteros elementos utilizados para
problemas axisimétricos.

19. Paso 2
Elegir una función de desplazamiento
Elegir una función de desplazamiento dentro de cada
elemento. La función se define dentro del elemento
utilizando los valores nodales del elemento
Polinomios lineales, cuadráticas y cúbicas son
funciones de uso frecuente debido a que son fáciles
de trabajar en la formulación de elementos finitos. Sin
embargo, las series trigonométricas también se puede
utilizar
Las funciones se expresan en términos de las incógnitas
nodales (en el problema de dos dimensiones, en tema
de una componente x y para y). La misma función
general de desplazamiento puede ser utilizado
repetidamente para cada elemento

20. Paso 3
Definir las relaciones tensión / desplazamiento y la tensión / deformación
Tensión / desplazamiento y de esfuerzo / deformación
relaciones son necesarias para derivar las ecuaciones para
cada elemento finito
Además, las tensiones deben estar relacionadas con las tensiones a
través de la tensión / deformación de la ley generalmente se llama
la ley constitutiva.
La capacidad de definir el material comportamiento con precisión es más
importante para obtener resultados aceptables. El más simple de tensión /
deformación de las leyes, la ley de Hooke, que se utiliza a menudo en el
análisis de tensión, está dada por

21. Paso 4
Deducir la Matriz de rigidez del elemento y ecuaciones
Inicialmente, el desarrollo de matrices de rigidez del elemento y
ecuaciones elemento se basa en el concepto de coeficientes de
influencia de rigidez, lo que presupone un trasfondo de análisis
estructural. Ahora presentamos otros métodos utilizados en este
texto que no requieren de este fondo especial.
Método Directo Equilibrio
Según este método, la matriz de rigidez y las ecuaciones del
elemento nodal están relacionados las fuerzas a los
desplazamientos nodales se obtienen utilizando la fuerza las
condiciones de equilibrio para un elemento básico, junto con el
uso de la fuerza/deformación relaciones.

22. Métodos de trabajo o energía
Para desarrollar la matriz de rigidez y las ecuaciones para
elementos de dos, y tres dimensiones, es mucho más fácil de
aplicar un método de trabajo o energía. El principio de trabajo
virtual (mediante desplazamientos virtuales), el principio de
mínima energía potencial, y el teorema de Castigliano son
métodos utilizados frecuentemente para el propósito de
derivación de las ecuaciones de los elementos.
.
El principio del trabajo virtual se aplica a cualquier
comportamiento del material, mientras que el principio de mínima
energía potencial y el teorema de Castigliano son aplicables
únicamente a los materiales elásticos

23. Métodos de trabajo o energía
Con el propósito de extender el método de elementos finitos fuera
del campo de esfuerzos análisis estructural, un functional 1 (una
función de otra función o una función que toma funciones como
su argumento) análoga a la que se utilizará con el principio de
energía potencial mínima es muy útil en la deducción de la matriz
de rigidez del elemento y las ecuaciones.
Por ejemplo, dejando que . denotan el funcional y f (x, y)
denotan una función f de dos variables x e y, entonces tenemos
= (f (x, y))

24. Métodos de residuos ponderados
Los métodos de residuos ponderados son útiles para el desarrollo
de la ecuación elemento; particularmente popular es el método
de Galerkin. Estos métodos producen los mismos resultados que los
métodos de energía siempre que los métodos de energía
aplicables.
Son especialmente útiles cuando un tal funcional como energía
potencial no es fácilmente disponible. Los métodos residuales
ponderados permitir que el método de elementos finitos para ser
aplicado directamente a cualquier ecuación diferencial

25. Métodos de residuos ponderados
Mediante el uso de cualquiera de los métodos descritos se
producen las ecuaciones que describen el comportamiento de un
elemento. Estas ecuaciones son convenientemente escrita en
forma de matriz como

26. Paso 5
Ensamblar las ecuaciones elemento para obtener las ecuaciones globales
o total e introducir condiciones de contorno
En este paso los elementos ecuaciones individuales de equilibrio
nodales generadas en el paso 4 se ensamblan en las ecuaciones de
equilibrio globales nodales
Otro método más directo de superposición (llamado el método de la
rigidez directa), cuya base es nodal equilibrio de fuerzas, se puede
utilizar para obtener las ecuaciones globales para toda la estructura

27. Paso 6
Resuelve para los Grados desconocidos de la Libertad (o
desplazamientos generalizados)
La ecuación (1.4.6) modificada para tener en cuenta las condiciones de contorno:
Donde n = número total de grados de libertad nodales desconocidos de una
estructura.
Estas ecuaciones se pueden resolver para los ds mediante el uso dos
Método de Método de
Gauss Gauss-Seidel
Método de eliminación Método iterativo
ds = son las incógnitas primarias, ya que son las primeras cantidades
determinadas utilizando la rigidez (o desplazamiento) del método de elementos
finitos.

28. Paso 7
Resolver para elementos de tensión y esfuerzos
Para el problema del análisis estructural de tensión, con importantes
cantidades secundarias de tensión y el esfuerzos se puede obtener
debido a:
Entre el esfuerzo y la
Puede ser expresado tensión, tales como las
directamente en términos de los ecuaciones. (1.4.1) y (1.4.1)
desplazamientos determinados en puede ser utilizado para
el paso 6.
tensión unidimensional dada
en el paso 3.
Relaciones típicas
entre la tensión y
el desplazamiento

29. Paso 8
Interpretar los resultados
Interpretar y
analizar los
resultados para su
uso en el proceso
de diseño / análisis
Determinación de la
ubicación en la OBJETIVO Programas
estructura donde se FINAL informáticos pos-
producen grandes procesador ayudan
deformaciones y al usuario a
tensiones es interpretar los
generalmente resultados mediante
importante en la toma su colocación en
de decisión del diseño / forma gráfica
análisis

30. 1.5 Aplicaciones del Método de los Elementos Finitos
El método de elementos finitos puede ser utilizado para analizar tanto los
problemas estructurales y no estructurales:
PROBLEMAS ESTRUCTURALES
Análisis de esfuerzos, incluyendo entramado y análisis de marco, y
problemas de concentración de esfuerzos típicamente asociados con
agujeros, redondeos, u otros cambios en la geometría de un cuerpo.
Pandeo
Análisis de vibración

31. PROBLEMAS NO ESTRUCTURALES
Transferencia de calor
Fluido, incluyendo la filtración a través de medios porosos
Distribución de potencial eléctrico o magnético
PROBLEMAS DE INGENIERÍA BIOMECÁNICA
Incluyen típicamente el análisis de la columna vertebral
humana, cráneo, articulaciones de la cadera, la mandíbula / goma de implantes
de dientes, el corazón y los ojos.

33. APLICACIÓN 1
Discretización de una torre de control del
ferrocarril (con 28 nodos , 48 elementos
de viga) con 6 grados de libertad típicos
mostrados en el nodo).
El propósito de este análisis fue para localizar áreas de
alta concentración de tensiones en el extremo del
vástago.
Debido a las condiciones de carga a las que se somete
la estructura de la torre, se ha utilizado un modelo
tridimensional.
El método de los elementos finitos utilizado para esta
estructura permite que diseñador/analista
rápidamente obtenga desplazamientos y tensiones en la
torre para los casos típicos de carga, como es
requerido por los códigos de diseño.

34. APLICACIÓN 2
Muestra el modelo
discretizado para la
determinación de los
desplazamientos y las
tensiones en una alcantarilla
subterránea sometida a una
carga de tierra de choque de
una explosión de una bomba
(incluye un total de 369
nodos, 40 barras
unidimensional o elementos
barra utilizados para modelar
el refuerzo de acero en la
alcantarilla, y 333
deformación plana
bidimensional elementos
triangulares y rectangular
utilizados para modelar el
suelo circundante y
alcantarilla de hormigón.

35. APLICACIÓN 3
Muestra a una estructura en dos dimensiones de análisis de un extremo de
la varilla del cilindro hidráulico (120 nodos, 297 planos de tensión elementos
triangulares). La ssimetría se aplicó también al extremo de la barra de
modo que sólo la mitad de la del extremo de la barra tenía que ser
analizados.

36. APLICACIÓN 4

37. APLICACIÓN 4
Muestra una sección de chimenea que es de cuatro alturas forman alto (o
un total de 32 pies de altura). En esta ilustración, los 584 elementos de
viga se utiliza para modelar los refuerzos verticales y horizontales que
forman el encofrado, y 252 elementos de placa plana se utiliza para
modelar el interior de madera y la placa de hormigón.
Debido al patrón de carga irregular sobre la estructura, un modelo
tridimensional era necesario.
Los desplazamientos y las tensiones en el hormigón eran la principal
preocupación en este problema.

38. APLICACIÓN 5
Modelo de una matriz de
acero de alta
resistencia (240
elementos
axisimétricas) que se
utiliza la industria de
película de plástico
La geometría irregular y asociados con concentraciones de tensión potencial
necesarias utilizan el método de elementos finitos para obtener una solución
razonable. Aquí se utilizaron 240 elementos axisimétricos de modelo
tridimensional.

39. APLICACIÓN 6
Ilustra el uso de un elemento
sólido de un columpio para
modelar y balancear el
reparto de un marco de
retroexcavadora
tridimensional. Sus
elementos son hexaédricos

40. APLICACIÓN 7
Tierra
Ilustra un Método de
elementos finitos para una Tubería
distribución bidimensional
de temperatura en la tierra
es decir la transferencia de
calor, usado para determinar
la distribución de la
temperatura en la tierra
sometida a una fuente de
temperatura de calor a una
tubería enterrada de
transporte de un gas
caliente.

41. APLICACIÓN 8
Muestra un modelo
tridimensional de
elementos finitos de un
hueso de la pelvis con un
implante, que se utiliza
para estudiar las tensiones
en el hueso y la capa de
cemento entre el hueso y el
implante. (más de 5000
elementos solidos se
utilizaron en el modelo)

42. APLICACIÓN 9
Modelo de elementos finitos de un cubo 710G con 169.595 elementos y 185.026
nodos empleados (78.566 elementos cuadriláteros lineales incluyendo de la cáscara
fina para el cubo y el acoplador, 83.104 elementos lineares sólidos del ladrillo para
modelar los patrones y 212 elementos de la viga para modelar los cilindros del
brazo de la elevación, y la guía de enlace

43. 1.6 Ventajas del método de elementos finitos
1. Modelar una forma irregular con bastante facilidad.
2. Manejar las condiciones generales de carga sin dificultad
3. Modelo cuerpos compuestos por varios materiales diferentes porque los
elementos iguales son evaluados individualmente
4. Maneje un número ilimitado y tipos de condiciones de contorno
5. Variar el tamaño de los elementos para hacer posible el uso de elementos
pequeños donde sea necesario
6. Modifica los elementos finitos relativamente fácil y barato
7. Incluye efectos dinámicos
8. Maneja el comportamiento no lineal existente con grandes deformaciones y
materiales no lineales

44. Algunas ventajas de los programas de uso general:
La entrada está bien organizado y se desarrolla con la facilidad de uso mental; Los
usuarios no necesitan conocimientos especiales de software o hardware
Programas de neumáticos son sistemas de gran tamaño que a menudo puede
resolver muchos tipos de problemas de tamaño grande o pequeño, con el
formato de la misma entrada
Muchos de los programas se puede ampliar mediante la incorporación de nuevos
módulos para nuevos tipos de problemas o nuevas tecnologías.
mayor capacidad de almacenamiento y la eficiencia computacional de los
ordenadores
Muchos de los programas disponibles en el mercado se han convertido en muy
atractivo en precio y puede resolver una amplia gama de problemas

45. Algunas desventajas de los programas de uso general:
El costo inicial del desarrollo de programas de propósito general es alto.
Programas de propósito general son menos eficientes que los programas de
propósito especial
Muchos de los programas son propietarios. Por lo tanto el usuario tiene poco
acceso a la lógica del programa.

46. Algunas ventajas de los programas de propósito especial:
Son por lo general relativamente cortos, con bajos costes de desarrollo.
Los pequeños ordenadores son capaces de ejecutar los programas.
Las adiciones se pueden realizar con el programa de forma rápida y con un coste
bajo.
Son eficientes en la solución de los problemas que estaban destinadas a resolver.

47. Principal desventajas de los programas de propósito
especial:
Es su incapacidad para resolver
diferentes clases de problemas.

48. Lista parcial de los programas existentes:
Algor [46]
Abaqus [47]
ANSYS [48]
COSMOS / M [49]
GT-STRUDL [50]
MARC [51]
MSC / NASTRAN [52]
NISA [53]
Pro / Mechanica [54]
SAP2000 [55]STARDYNE [56]

49. Capacidades estándar de muchos de los programas:
Elemento disponible
tipos, tales como vigas,
tensión plana, sólida y
Salida selectivo, tal como en los tridimensional Tipo de análisis
nodos seleccionados, los disponibles, tales como
elementos, y los valores máximos estático y dinámico
o mínimos.
Comportamiento del
Comportamiento de material, tales como
desplazamiento, tal como linier-elástico y no
desplazamiento pequeño y lineales
grande y pandeo
Tipos de carga, tales como
concentrados, distribuidos, té
Trazado, tales como la
rmica, y el desplazamiento
geometría original y deforme
(liquidación)
y los contornos de
temperatura.
La generación de datos, tales
como la generación automática de
nodos, elementos y sistemas de
seguridad.