1. By:
CESEN ISRAEL
CORDOVA ANDRES

2. PASOS GENERALES DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS
FINITOS
Típicamente para el problema de análisis de tensión estructural
se procura determinar desplazamientos y asentamientos en todas
las partes de la estructura, que está en el equilibrio y esta sujeta a
cargas aplicadas.
Para muchas estructuras, es difícil de determinar la distribución
de deformaciones usando métodos convencionales, y así el método
de elemento finito necesariamente es usado.
El método de elementos finitos implica el modelado de la
estructura utilizando pequeños elementos interconectados llamados
elementos finitos.
Una función de desplazamiento está asociado con cada elemento
finito.
Cada elemento de interconexión está vinculada, directa o
indirectamente, a cualquier otro elemento aunque comunes (o
compartida), incluyendo interfaces de los nodos y / o líneas de

3. Mediante el uso de esfuerzo conocido / propiedades de
deformación para el material que forma la estructura, se puede
determinar el comportamiento de un nodo dado en términos de las
propiedades de cada otro elemento en la estructura.
El conjunto total de ecuaciones que describen el comportamiento
de los resultados de cada nodo en una serie de ecuaciones
algebraicas mejor expresados ​en notación matricial.

4. CARACTERÍSTICAS DEL METODO
Permite obtener una solución numérica aproximada sobre
un cuerpo, estructura o dominio (medio continuo) —sobre el
que están definidas ciertas ecuaciones diferenciales en forma
débil o integral que caracterizan el comportamiento físico del
problema— dividiéndolo en un número elevado de subdominios
no-intersectantes entre sí denominados «elementos finitos».
El conjunto de elementos finitos forma una partición del
dominio también denominada discretización. Dentro de cada
elemento se distinguen una serie de puntos representativos
llamados «nodos».

5. Dos nodos son adyacentes si pertenecen al mismo elemento
finito; además, un nodo sobre la frontera de un elemento finito
puede pertenecer a varios elementos. El conjunto de nodos
considerando sus relaciones de adyacencia se llama «malla».
Los cálculos se realizan sobre una malla de puntos (llamados
nodos), que sirven a su vez de base para discretización del
dominio en elementos finitos.
La generación de la malla se realiza usualmente con programas
especiales llamados generadores de mallas, en una etapa previa
a los cálculos que se denomina pre-proceso.

6. De acuerdo con estas relaciones de adyacencia o conectividad se
relaciona el valor de un conjunto de variables incógnitas definidas
en cada nodo y denominadas grados de libertad.
El conjunto de relaciones entre el valor de una determinada
variable entre los nodos se puede escribir en forma de sistema de
ecuaciones lineales (o linealizadas).
La matriz de dicho sistema de ecuaciones se llama matriz de
rigidez del sistema. El número de ecuaciones de dicho sistema es
proporcional al número de nodos.
Típicamente se programa computacionalmente para calcular el
campo de desplazamientos y, posteriormente, a través de relaciones
cinemáticas y constitutivas las deformaciones y tensiones

7. DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DEL MÉTODO
El desarrollo de un algoritmo de elementos finitos para resolver un
problema definido mediante ecuaciones diferenciales y condiciones
de contorno requiere en general cuatro etapas:
1. El problema debe reformularse en forma variacional.
2. El dominio de variables independientes (usualmente un
dominio espacial para problemas dependientes del tiempo)
debe dividirse mediante una partición en
subdominios, llamados elementos finitos. Asociada a la
partición anterior se construye un espacio vectorial de
dimensión finita, llamado espacio de elementos finitos. Siendo
la solución numérica aproximada obtenida por elementos finitos

8. 3. Se obtiene la proyección del problema variacional original
sobre el espacio de elementos finitos obtenido de la
partición. Esto da lugar a un sistema con un número de
ecuaciones finito, aunque en general con un número elevado
de ecuaciones incógnitas. El número de incógnitas será igual
a la dimensión del espacio vectorial de elementos finitos
obtenido y, en general, cuanto mayor sea dicha dimensión
tanto mejor será la aproximación numérica obtenida.
4. El último paso es el cálculo numérico de la solución del
sistema de ecuaciones.

9. • Los pasos anteriores permiten construir un problema de cálculo
diferencial en un problema de álgebra lineal. Dicho problema en
general se plantea sobre un espacio vectorial de dimensión no-
finita, pero que puede resolverse aproximadamente
encontrando una proyección sobre un sub-espacio de
dimensión finita, y por tanto con un número finito de ecuaciones
(aunque en general el número de ecuaciones será elevado
típicamente de miles o incluso centenares de miles).
• La discretización en elementos finitos ayuda a construir un
algoritmo de proyección sencillo, logrando además que la
solución por el método de elementos finitos sea generalmente
exacta en un conjunto finito de puntos.

10. PASO 1 - DISCRETIZAR Y SELECCIONAR LOS TIPOS DE
ELEMENTOS
PASO 2 - CONSISTE EN ELEGIR UNA FUNCIÓN DE
DESPLAZAMIENTO DENTRO DE CADA ELEMENTO
PASO 3 - DEFINIR LAS RELACIONES TENSIÓN /
DESPLAZAMIENTO Y LA TENSIÓN / DEFORMACIÓN
 PASO 4 - DEDUCIR LA MATRIZ DE RIGIDEZ DEL
ELEMENTO Y ECUACIONES

11. PASO 1
DISCRETIZAR Y SELECCIONAR LOS TIPOS DE ELEMENTOS
 Consiste en dividir el cuerpo en un sistema equivalente de
elementos finitos con nodos asociados y seleccionar el tipo de
elemento más adecuado para modelar de forma más cercana al
comportamiento físico real.
La estructura es dividida en una cantidad finita de elementos, con
ayuda de un preprocesador.
Este paso es uno de los más cruciales para obtener una solución
exacta del problema, de esta forma, determinar el tamaño o la
cantidad de elementos en cierta área o volumen del elemento a
analizar representa una ventaja del método, pero a la vez implica
que el usuario debe estar muy conciente de esto para no generar
cálculos innecesarios o soluciones erróneas.
El número total de elementos usados ​y su variación en el tamaño
y el tipo dentro de un cuerpo dado son criterio de la persona que
esta resolviendo el problema.

12. Los elementos deben ser lo suficientemente pequeños como para
dar resultados utilizables y sin embargo lo suficientemente grande
como para reducir el esfuerzo computacional.
Los elementos pequeños son deseables generalmente donde los
resultados cambian rápidamente, como donde los cambios de la
geometría ocurren; los elementos grandes pueden ser usados
donde los resultados son relativamente constantes.
El cuerpo discretizado o malla se crean a menudo con programas
de generación de malla o programas de preprocesado disponibles
para el usuario.

13. La elección de los elementos utilizados en un análisis de
elementos finitos depende de la constitución física del cuerpo bajo
condiciones reales de carga y de cuan cercanos a la realidad quiere
que sean los resultados el analista.
Tener un criterio sobre la idoneidad de una idealización en una dos
o tres dimensiones es necesario.
Además, la elección del elemento más adecuado para un
problema particular es una de las tareas principales que deben ser
llevadas a cabo por el diseñador.
A continuación se mostraran algunos elementos que son
generalmente utilizados en la practica:
 Elementos de Línea Primarios (Unidimensionales).
 Elementos planos (Bidimensionales).
 Elementos Sólidos (Tridimensionales).
 Elementos Axisimétricos (Tridimensionales).

15. ELEMENTOS DE LÍNEA PRIMARIOS
(UNIDIMENSIONALES).
 Tienen una sección transversal pero generalmente están
representados por una línea.
Estos elementos se utilizan a menudo para modelar cerchas y
estructuras de marco.

16. Los elementos de líneas primarias consisten en barras o
armaduras (Truss) y elementos viga (o Beam).

17. ELEMENTOS TRUSS
El elemento truss, es un elemento caracterizado básicamente por
que solo puede comportarse como un miembro sometido a dos
fuerzas (se sabe por tanto que estas cargas deben estar
dirigidas a lo largo del eje longitudinal del elemento).
Una estructura los elementos se pueden modelar como un
elementos Truss si cumplen estos tres requerimientos:
Su longitud es mucho mayor que su alto o ancho (entre 8 y
10 veces).
Esta es conectada con el resto de la estructura con
pasadores que no transfieren momentos.
Las cargas externas solo son aplicadas en el extremo de los
elementos, y son paralelas al mismo (Carga Axial).

18. Los elementos Truss solo pueden ser sometidos a tracción o
compresión.
La figura muestra la geometría y las fuerzas nodales en un
elemento truss tridimensional.
Como se muestra en la figura, un elemento truss tridimensional
posee tres grados de libertad por nodo, esto es tres
desplazamientos sobre los ejes globales X, Y y Z.

19. ELEMENTOS BEAM
Es probablemente el más usado, además de sus aplicaciones
obvias en estructuras, muchos otros sistemas, como uniones
mecánicas, sistemas de conductos, tuberías y vigas en puentes
pueden ser modeladas con el elemento ‘beam’.
Para miembros estructurales para ser modelados con elementos
‘Beam’, una de sus dimensiones debe ser mucho mayor, por lo
menos 10 veces más grande que las otras dos.
Al contrario al elemento truss, el elemento beam puede estar
sometido a cargas transversales y/o momentos flectores en adición
a la tracción y compresión.
El elemento beam tridimensional posee seis grados de libertad por
nodo, esto es, tres desplazamientos y tres rotaciones sobre los
ejes globales X, Y y Z.

20. Los perfiles comunes de elementos beam, son la sección
I, sección en T, caja, circular y canales.
Dentro de las propiedades de la sección, se debe
especificar el área axial, la resistencia a la torsión y el
momento de inercia.

21. ELEMENTOS PLANOS (BIDIMENSIONALES).
Son elementos cargados por fuerzas en su propio plano .
Se trata de elementos triangulares o cuadriláteros.
El más simple de los elemntos bidimensionales tienen
nodos de esquina con lados rectos (elemntos
lineares), aunque tambien hay elementos de orden superior
que incluyen nodos intermedios (elementos cuadraticos) y
lados curvos.

22. Los elementos pueden tener a lo largo de ellos espesores
variables o ser constante.
A menudo se utilizan para modelar una amplia gama de
problemas de ingeniería.
Dependiendo el tipo del tipo de esfuerzo al que esta sometido
el elemento, este se debe modelar como esfuerzo plano o
deformación unitaria plana.
Plane Stress Elements (Esfuerzo plano)
Plane Strain Elements (Deformación plana)

23. ESFUERZO PLANO
El esfuerzo plano se define como un estado de esfuerzo en el
cual el esfuerzo normal en el eje de z, perpendicular al plano x-y
y todos los esfuerzos cortantes asociados perpendiculares al
plano x-y son asumidos como de magnitud 0. En resumen, el
esfuerzo plano es un estado de esfuerzo en el cual no existen
esfuerzos perpendiculares al plano x-y por lo que todos los
esfuerzos se desarrollan en este mismo plano y no fuera.
DEFORMACIÓN PLANA
Un estado deformacional en el que la deformación longitudinal y
las deformaciones angulares correspondientes a un plano
paralelo a la sección transversal son nulas.

24. ELEMENTOS SÓLIDOS (TRIDIMENSIONALES).
Los elementos tridimensionales mas comunes son los tetraedros
y hexaedros (elementos brick), que se utilizan cuando se hace
necesario llevar a cabo un análisis de esfuerzo tridimensional.
Los elementos tridimensionales básicos tienen solo nodos de
esquina y lados rectos, mientras que elementos de mayor orden
con nodos midedge (y posibles nodos midface) tienen superficies
curvadas para sus lados.

25. Los elementos sólidos son elementos tridimensionales con tres
grados de libertad translacional por nodo.
Los nodos son usualmente introducidos en la intersección de los
tres planos, o en la mitad de la intersección de dos planos.
La precisión de estos elementos se puede incrementar colocando
nodos en la mitad de los lados.