Este documento presenta información sobre el curso de Mecánica de Materiales impartido por el Ing. Alejandro Vera Lazaro. Explica conceptos clave del Método de Elementos Finitos como la discretización del dominio en elementos finitos, las matrices de rigidez y los grados de libertad. También describe el proceso general de aplicación del método y diferentes tipos de elementos.

1. PROFESOR: ING. ALEJANDRO VERA LAZARO
CURSO: MECANICA DE MATERIALES
INTEGRANTES:
 SANCHEZ CABRERA MONICA
 VASQUEZ GUERRERO ANTONY

2.  El Método de Elementos Finitos (MEF), es una técnica o método
numérico general para la aproximación de soluciones a problemas
dados de ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales.
 Es una técnica computacional utilizada para obtener soluciones a
problemas en el campo de la ingeniería, las cuales contienen una o
más variables dependientes, denominadas variables de campo, que
deben satisfacer cualquier ecuación diferencial dentro de un dominio
(espacio donde se desarrollará el análisis del sistema) o campo
conocido.

3.  Dominio: Espacio Geométrico donde se desarrollará el análisis del sistema.
 Condiciones de contorno: Son las variables conocidas y que condicionan el cambio del sistema: cargas,
desplazamientos, temperaturas, voltajes, etc.
 Incógnitas: Son las variables que se desean conocer luego de que las condiciones de contorno hayan actuado
sobre el sistema: desplazamientos, tensiones, etc.
 Elemento Finito: Es un pequeño elemento o subdominio del dominio, el cual al interconectarse con otro de
manera sucesiva forman al continuo o dominio, es decir que el dominio sufre una discretización, que es la
división de este en pequeños elementos.
 Malla: Es la representación de un dominio con elementos finitos.
 Nodos: Son aquellos puntos en donde los elementos finitos se encuentran interconectados. Además, es una
ubicación en el espacio donde se definen los grados de libertad.
 Grados de Libertad: Está referido al mínimo número de parámetros que se necesita especificar para determinar
completamente la velocidad de un mecanismo o el número de reacciones en una estructura.
 Elemento: Es un bloque básico de construcción del análisis por elementos finitos.

5.  El método del elemento finito tiene su origen en el campo del análisis estructural de la industria
aeronáutica, donde sus investigadores batallaron para diseñar la membrana delgada del fuselaje
y de las alas de un avión a reacción.
 Argyris en 1955 publica sobre teoremas de energía y método matriciales Turner, Clough, Martin y
Toop desarrollaron matrices de rigidez para armaduras, vigas y otros elementos
 En 1960, Ray Clough acuña el término “método del elemento finito” en un documento que se
publicó en las actas de la Segunda Conferencia sobre Cálculos en Electrónica, auspiciada por la
Sociedad Americana de Ingenieros Civiles.
 En 1967 aparece el primer libro sobre elementos finitos, publicado por Zienklewicz y Cheng. Las
bases matemáticas se fijaron en la década de 1970.
 Hoy el método permite resolver prácticamente cualquier situación física que pueda formularse
mediante un sistema de ecuaciones diferenciales.

6. El Método por Elementos Finitos consiste en dividir y analizar el cuerpo, estructura, medio continuo
o dominio, sobre el que están definidas ciertas ecuaciones integrales que caracterizan el
comportamiento físico del problema dado, en subdominios o elementos finitos no intersectantes
entre sí, siendo este proceso llamado discretización o modelaje.
DISCRETIZACIÓN DE UNA ESTRUCTURA DISCRETIZACIÓN DE UN CUERPO

7. En forma general la aplicación del método consiste en plantear, por cada elemento finito, una matriz de rigidez, el
cual relaciona las fuerzas con las deformaciones. Luego se ensambla la matriz de rigidez total para toda la
estructura.
Matriz de Rigidez K
𝒇 𝒏 = 𝑭𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂 𝒆𝒏 𝒖𝒏 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒏𝒐𝒅𝒂𝒍
𝑲 𝒏𝒏 = 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝑹𝒊𝒈𝒊𝒅𝒆𝒛
𝒅 𝒏 = 𝑮𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒕𝒂𝒅 𝒐 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐
𝑲 =
𝑬𝒙𝑨
𝑳

8. Donde:
𝒇 = 𝑽𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒇𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂𝒔 𝒏𝒐𝒅𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐
𝒌 = 𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒅𝒆 𝒓𝒊𝒈𝒊𝒅𝒆𝒛 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 (𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒂 𝒚 𝒔𝒊𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂)
𝒅 = 𝑽𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒔𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒊𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒏𝒐𝒅𝒂𝒍𝒆𝒔
Al ensamblar las matrices de cada
elemento nos queda:
Donde:
F=Vector de las fuerzas nodales totales
K=Matriz total de rigidez (cuadrada y simétrica)
d=Vector de los grados de libertad o desplaza-
miento nodales conocidos o desconocidos de
la estructura

9. Pre Procesamiento
En este nivel se incluyen todas se realiza el ingreso de datos como
coordenadas de los nodos, conexión entre los nodos, condiciones de
frontera, cargas aplicadas, propiedades del elemento, entre otros.
Procesamiento
En este nivel se realiza una evaluación del modelo para verificar que no
haya ningún error en el archivo generado en el nivel anterior.
Post-Procesamiento
En este nivel se incluye la presentación de datos como deformaciones,
distribuciones de esfuerzos, etc.

11. ELEMENTO 1D
Aptos para modelar celosías, pórticos, torres de
transmisión, puentes, redes de tuberías, etc.
Los elementos línea pueden ser lineales con 2
nodos, cuadráticos (3 nodos), cúbicos (4 nodos)
etc.
ELEMENTO 2D
Pueden ser lineales-lados rectos- o cuadráticos y
cúbitos de lato orden- lados curvos- triángulos de 3-9
nodos y cuadriláteros de 4-12 nodos.
ELEMENTO 3D
Las formas más comunes para los elementos #D son:
tetraedros (especialmente indicados en mallado
automático) de 4-10 nodos, pentaedros de 6-15
nodos y hexaedros de 8-20 nodos.

12. Análisis Lineal
Este análisis contiene ecuaciones algebraicas, las cuales varían dependiendo al
tamaño del modelo.
En este tipo de análisis la rigidez nunca cambia, las ecuaciones al agruparse se
solucionan una sola vez.
Análisis no Lineal
En este análisis se debe abandonar la idea de rigidez constantes puesto a que
esta tiende a variar
Estas iteraciones aumentan la cantidad de tiempo que se tarda en obtener
resultados precisos.

13. Hallar los desplazamientos para los nodos 2 y 3
K=AxEL
K1=3.7500-3.75000-3.75003.75000000
K2=00009.0000-9.00000-9.00009.0000
K=K1+K2
K=37500000000.00-37500000000.000-37500000000.00127500000000.00-90000000000.000-90000000000.0090000000000.00
u1=0, se elimina la primera fila y primera columna
F=40000.00-100000.00
𝒅 =
−0.0000016
−0.00000271
=
𝒅 𝟐
𝒅 𝟑

14. El Método por Elementos Finitos puede llegar a ser un método matemático muy complejo,
Para emplear este método debemos tener en cuenta ciertas asunciones:
 Una función continua bajo un dominio global.
 El dominio global del cuerpo está subdividido en subdominios llamados elementos.
 Los puntos que definen las uniones y conexiones entre elementos son llamados puntos
nodales.
 Los elementos son especificados como uniones en sus nodos comunes.
 La función que existe bajo el dominio, es resuelta explícitamente para los puntos nodales.

15. OPERADORES

16.  Las series de Taylor son importantes en los métodos de Diferencias Finitas y de volúmenes
Finitos.
 Cuando solo se toman los primeros términos de una serie de Taylor se denominan
polinomios de Taylor.
 Una serie de Taylor permite aproximar el valor de una función en un punto cercano x
alrededor de un punto conocido 0 x mediante una suma de términos obtenidos de la forma:

17. Los teoremas o identidades Green permiten reducir la
dimensionalidad del problema.
Los teoremas de Green pueden considerarse como casos de
integración por partes, puesto que una integral se descompone en
integrales que deben ser más simples de resolver.

18. Existen varios métodos de integración numérica para
calcular una integral definida de una función.
Estos métodos aun cuando son muy fáciles de
implementar en muchos casos son ineficientes.
Donde:
La variable npg indica el número de puntos de Gauss.
Las variables i x y i w representan respectivamente
los puntos de Gauss y los pesos de Gauss.