Este documento presenta el problema de resolver la estructura mostrada en la Figura 3. Incluye un apoyo inclinado y un resorte. Explica cómo tratar los diferentes tipos de resortes y apoyos inclinados en el análisis estructural. Luego describe el procedimiento para configurar los vínculos, determinar las incógnitas, establecer las ecuaciones de equilibrio, y resolver numéricamente para encontrar las fuerzas y desplazamientos en la estructura.

1. PROBLEMA No 2.- Resolver la estructura mostrada en la Fig. 3
DATOS.- En t y m
1.- PLANTEAMIENTO DE LA SOLUCIÓN.- Las diferencias con el Problema No1 son el apoyo inclinado y el
resorte.
1.1.- TRATAMIENTO DE LOS RESORTES.- Los dos tipos de resorte conocidos se tratan de la misma forma.
1. RESORTES HELICOIDALES.- Su rigidez vale r=F/d donde F es la fuerza necesaria para deformar al
resorte una longitud "d". Ambos vectores tienen la dirección axial del resorte.
2. RESORTES ESPIRALES.- Su rigidez relaciona el momento y el giro que provoca. Ambos vectores
tienen la dirección perpendicular al plano que forma la espiral, en estructuras planas es perpendicular
a esta.
Para evitar barras compuestas, unidas a resortes, éstos se unen directamente a los nudos de modo que sus
desplazamientos son también las deformaciones del resorte.
Como las traslaciones de los nudos dependen del desplazamiento de la estructura, una vez conocida la
estructura desplazada, se proyecta la longitud de la traslación del nudo sobre la dirección del resorte helicoidal.
La fuerza en el resorte será el producto de su rigidez por dicha proyección. Este procedimiento se muestra en
el ejemplo. Lógicamente, es necesario que el nudo pueda trasladarse para que el resorte actúe.
En la teoría se ha asumido que los nudos rotan en sentido antihorario, entonces, un resorte espiral unido a
cualquier nudo está sujeto a un momento en ese sentido, como el equilibrio se plantea sobre el nudo, el resorte
será sustituido por un momento horario actuando sobre el nudo. Al configurar los vínculos será indispensable
permitir que el nudo rote, de lo contrario el resorte no actúa.
1.2.- APOYOS INCLINADOS.- Como en la teoría no se han considerado barras cuyo extremo pueda trasladarse
independientemente del nudo, no hay vínculo de traslación libre, cualquier desplazamiento lineal tiene que ser
otorgado al nudo. Ver el Nudo 3 de la Fig. 3a. Se consideran necesariamente las reacciones en las direcciones U
y W, para reconocer explícitamente que W=0.
2.- CONFIGURACIÓN DE VÍNCULOS Y DETERMINACIÓN DE INCÓGNITAS.- En la Fig.3a se puede ver
cómo el resorte ha sido separado del nudo 2 y ha sido reemplazado por una fuerza coaxial. Se asume
arbitrariamente que el resorte está en tracción. Por tanto, el signo positivo le corresponde a un alargamiento del
resorte.
Se observa que el nudo 3 no puede rotar, pero se traslada en la dirección del apoyo inclinado.
En la Fig.2a del Problema 1 se vio que, cuando tres nudos forman un anillo y dos de ellos no pueden
trasladarse, entonces las longitudes de las barras impiden la traslación del tercer nudo, de ahí proviene la
relación simple que se estudia a continuación para determinar el Grado de Desplazabilidad de una estructura.

2. Por lo dicho líneas arriba cada anillo cerrado anula el desplazamiento de un nudo, por tanto el GD será igual al
número de nudos que pueden trasladarse menos los anillos que forma la estructura: GD = ND - NA
Algunas particularidades de su aplicación serán estudiadas oportunamente, de momento, en el caso de estudio:
Se pueden trasladar los nudos 2 y 3
El suelo y las dos barras forman un único anillo.
Deberá calcularse un desplazamiento libre para resolver la estructura.
En cuanto a las rotaciones, el Nudo 1 esta Empotrado en el suelo, no rota, y el 3 tiene un Empotramiento Guiado,
traslada pero no rota. La única incógnita de rotación será θ 2. El análisis de ecuaciones e incógnitas se realiza
usando la Fig.3b.
INCÓGNITAS.- DE GIRO: θ 2 DE TRASLACIÓN: d Porque GD=1
DE FUERZAS: 2*4=8 TOTAL INC=10

3. ECUACIONES.-
EN NUDOS APOYADOS: NUDO 1 = 0 Las tres ecuaciones son para reacciones
NUDO 3 = 1 Una ecuación para traslación
NUDOS LIBRES: MOMENTO: 1x1=1 FUERZA 2X1=2 SUB TOTAL N. L. = 3
BARRAS MOMENTO y FUERZA SUB TOTAL B.= 3x2=6 TOTAL= 1+3+6=10
3.- DEFINICIÓN DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO.- Existen 10 ecuaciones para 10 incógnitas.
Se buscan ecuaciones donde las fuerzas y momentos estén definidas en función de los desplazamientos
incógnita θ 2 y "d". Para los giros, las ecuaciones son sumas de momentos, no hay dificultad. Para el equilibrio
de fuerzas, se propone el siguiente procedimiento abreviado:
PRIMER PASO.- Dibujar la estructura desplazada escogiendo como incógnita "d" una de las coordenadas
desconocidas de los nudos. En este gráfico estarán definidos los desniveles Δ ij de todas las barras, en función
de "d", por tanto se conocerán los momentos en función de las incógnitas θ 2 y "d".
SEGUNDO PASO.- Como se buscan los desplazamientos, cuantas menos fuerzas de extremo en barras
aparezcan en los gráficos, menos ecuaciones necesarias para su determinación. Se quiere aprovechar que si
una barra permanece unida al nudo, sus cargas de extremo no aparecen. Ver el Cuerpo Libre 1 de la Fig.3d.
Si en lugar de considerar las fuerzas de borde descompuestas en horizontal y vertical, como en la Fig.3b, se
descomponen en normal y cortante, como en la Barra 12 de la Fig. 3d, la suma de momentos en los nudos
determinan las cortantes, independientemente del resto de la estructura. La determinación de las normales
exige más trabajo por tanto se pretende no utilizarlas.
En el caso particular del ejemplo, haciendo momentos en 1, en la B12, se puede determinar la ecuación para
Q21. Las otras tres fuerzas no se las necesitará. Se transfiere estas Q21, N21 y M21 al nudo 2 del Cuerpo
Libre 1, la única desconocida es N21.
De modo semejante, la determinación de la reacción U3 requiere plantear muchas ecuaciones pero se conoce
W3=0, por tanto, si mantenemos unida la B23 a sus nudos 2 y 3, no aparecen sus cargas de extremo en el
cuerpo libre 1 y las únicas cargas desconocidas serían: N21, U3 y M3.
Se ha dicho que el equilibrio de momentos en nudos empotrados sirve a la determinación del momento reactivo
correspondiente, por tanto, Σ M3=0 define M3, luego solo se desconocen N21 y U3.
Finalmente, cuando se plantea la suma de momentos en el punto X, donde se intersectan las direcciones de
las incógnitas, la ecuación resultante solamente contiene incógnitas de desplazamiento, por cuanto las cargas
existentes son cargas externas conocidas o son cargas de extremo también conocidas, en función de los
desplazamientos incógnitas. Se habrá conseguido, con tres ecuaciones de equilibrio, hallar la que sirve para
calcular "d". Este procedimiento se puede aplicar muchas estructuras, es general.
4.- SOLUCIÓN NUMÉRICA.-
CÁLCULOS PREVIOS.-
a12 atan
4
2






:= a12 63.435 deg
⋅
= L12
2
cos a12
( )
4.472
=
:= 16 4
+ 4.472
=
L23 5
:= I
1
12
.25
⋅ .45
3
⋅
:= EI E I
⋅ 4556
=
:= aa
20
180
π
⋅
:=

4. 4.1.- ESTRUCTURA DESPLAZADA.- En la Fig.3c, se
comienza dibujando las coordenadas definidas por el problema,
son los lugares geométricos:
NUDO 1.- Apoyo fijo, están dados dos LG 1A, se conoce 1'
NUDO 3.- El plano de desplazamiento es LG 3A
Solo falta una coordenada de N3, el Nudo 2 no tiene ninguna
coordenada. Por eso se sujeta primero el N3.
Se elige como incógnita "d" la proyección horizontal del
desplazamiento de 3.
TRIÁNGULO T3
TRIÁNGULO T2-2T-2' Por perpendicularidad
También Prueba:
Resolviendo el triángulo, por la ley de senos
En la teoría se adoptó el signo positivo para los desniveles que provocan rotaciones antihorarias en las barras, como
sucede con B12, en cambio la B23 rota en sentido horario, Δ 23 es negativo.
El alargamiento del resorte es la proyección vertical del desplazamiento total del nudo 2 = L22' = Δ 12
Entonces:
Δ Lr es positiva porque ese desplazamiento alarga al resorte, como se supuso.
4.2.- MOMENTOS EN BARRAS
BARRA 12.- ARTICULADA/EMPOTRADA
ESTADO FIJO.-
RIGIDECES.-
MOMENTOS.-

5. BARRA 23.- ARTICULADA/ARTICULADA.-
4.3.- ECUACIONES DE EQUILIBRIO
4.3.1.- E. DE MOMENTOS
4.3.2.- DE FUERZA.- Ver Fig.3d
BARRA 12
Σ M1=0
NUDO 3.- Σ M=0
CUERPO LIBRE 1- ÁNGULOS y LONGITUDES
ECUACIÓN Σ Mx=0:
SOLUCIÓN.-
El nudo 3 se mueve a la derecha, contrariamente a lo supuesto.
OK.

6. 5.- CARGAS DE EXTREMO.- Para terminar se encuentran las demás cargas, por comodidad se emplea el
desmembramiento de la Fig. 3b. En las barras son ocho fuerzas por determinar. En los apoyos son 5 cargas, sus
ecuaciones salen del equilibrio de nudos apoyados.
CARGAS DE BORDE EN BARRAS.- Se adopta como incógnita la fuerza H12=P
BARRA 12 H21 P
( ) P
− H
−
:= V21 P
( )
1
2
H21 P
( ) 4
⋅ M21
− H
4
3
⋅
+






⋅
:=
V12 P
( )
1
2
P 4
⋅ M21
+ H
8
3
⋅
+






⋅
:=
NUDO 2 H23 P
( ) H21 P
( )
−
:= V23 P
( ) V21 P
( )
− F2r
−
:=
BARRA 23.- Aquí se plantean dos ecuaciones para hallar W32 y U32, la tercera sería para hallar P. Se habrían
planteado 8 ecuaciones para 8 incógnitas, la prueba sería que W32 = 0. Se comienza con la tercera ecuación:
Σ M3=0 Ec3 P
( ) V23 P
( ) L23
⋅ V L23
3.5
2
−






⋅
−
:=
P 1
:= PP root Ec3 P
( ) P
,
( ) 7.607
−
=
:=
Reemplazando: H23 H23 PP
( ) 1.338
=
:= V23 V23 PP
( ) 6.825
=
:=
Entonces: W32 H23
− cos aa
( )
⋅ V23 V
−
( ) sin aa
( )
⋅
− 0
=
:= U32 V V23
−
( )
1
cos aa
( )
⋅ 3.911
=
:=
Volviendo atrás se determina el resto de las cargas de borde H12 PP 7.607
−
=
:= V12 V12 PP
( ) 3.288
−
=
:=
Conocidas las cargas de borde se calculan las reacciones de apoyo
V1 V12 3.288
−
=
:= H1 H12 7.607
−
=
:= M1 M12 0
=
:=
U3 U32 3.911
=
:= W3 W32 0
=
:=
SOLUCIÓN COMO ESTRUCTURA ISOSTÁTICA.-
bu3 L23 cos aa
( )
⋅ 4.698
=
:= U32P
1
bu3
V
⋅
3.5
2
⋅ 3.911
=
:=
F2rP
1
2
H b
⋅ V 2
3.5
2
+






⋅
+ U32P cos aa
( )
⋅ 2 L23
+
( )
⋅
− U32P sin aa
( )
⋅ 4
⋅
−






⋅ 10.113
=
:=
Coinciden con los resultados hallados antes.