Cap 09 vigas-curvas-153-168_v7

Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015
153
Capítulo 9
VIGAS CURVAS
1 INTRODUCCIÓN
La fórmula de la flexión simple, σ = M/W, da resultados correctos para las vigas rectas
cargadas simétricamente en flexión pura. También se la utiliza para vigas rectas cargadas por corte
cuando las cargas pasan por el centro de corte y en tal caso el error es despreciable si el largo de la
viga es mucho mayor que el alto de la misma.
En el caso de vigas curvas donde el radio de curvatura es mayor que cinco veces la altura de la
viga, la fórmula de flexión simple da resultados aceptables, pero los errores son importantes cuando
el radio de curvatura es comparable con la altura de la viga. Por ello es necesario encontrar una
solución que, aun siendo aproximada, de resultados satisfactorios para el caso de grandes curvaturas.
La teoría de vigas curvas que se presenta en este capítulo se basa fundamentalmente en dos
hipótesis simplificativas:
1) Las secciones planas perpendiculares a la línea baricéntrica permanecen planas después de
la deformación.
2) Tanto la tensión radial σr como la tensión de corte τ son suficientemente pequeñas para poder
considerar al problema como unidimensional (ver Figura 1-b).
La fórmula para las tensiones normales circunferenciales θ
σ que resulta de estas dos hipótesis
se denomina “fórmula para vigas curvas en flexión”.
En la próxima sección se demuestra que debido a la curvatura de la viga las secciones planas
no giran alrededor del eje baricéntrico y además la ley para las tensiones normales θ
σ no sigue una
ley lineal sino hiperbólica.
Figura 1: Equilibrio de un elemento de viga curva
2 TENSIONES NORMALES CIRCUNFERENCIALES θ
σ
En la Figura 2-a se considera un elemento infinitesimal de viga definido por los puntos 1, 2, 3
y 4. Las cargas exteriores producen en la sección considerada esfuerzos flexionales, cortantes y
normales que deben equilibrarse por tensiones normales σθ y de corte τ. Hay que tener presente
que se consideran secciones simétricas y cargas actuando en el plano de simetría, por lo tanto no
hay torsión.
Las tensiones de corte producen alabeo de la sección plana y modifican levemente la tensión σθ.
Es usual despreciar el efecto del corte τ salvo en el caso de vigas con alma muy delgada.

154
Figura 2: Elemento infinitesimal de viga curva
Las tensiones transversales σz (ver Figura 2-b) son despreciables por lo que estamos en
presencia de un caso de tensión plana.
2.1 Fórmula de la flexión compuesta para vigas curvas
Considerando equilibrio de fuerzas en dirección circunferencial (eje x en la Figura 2-a) se tiene:
0
A
dA N
θ
σ − =
∫ (1)
( ) 0
A z
R r dA M
θ
σ − − =
∫ (2)
Estas integrales no pueden ser evaluadas si no se conoce la relación entre σθ y el radio r. Esa
relación se obtiene de la hipótesis cinemática de que las secciones planas rotan alrededor del eje
neutro y permanecen planas. Hay que tener presente que a esta altura de la formulación la posición
del eje neutro es desconocida.
El alargamiento eθ es función lineal de la distancia a la fibra neutra (Rn – r) pero debido a
que el largo inicial varía con el radio r se obtiene una variación no lineal para las deformaciones
específicas εθ.
( ) ( )
1
n n
R r d R
e
r d r d r
θ
θ
θ
ε ω
θ θ
− ∆  
= = = −
 
 
(3)
donde:
( )
d
d
θ
ω
θ
∆
= (4)
Por la ley de Hooke se tiene:
n n
R r E R
E E E
r r
θ θ
ω
σ ε ω ω
−
= = = − (5)
Notar que en (5) se ha despreciado el efecto de la tensión radial σr. Según se observa en la
Figura 1-b debería ser:
( )
1
r
E
θ θ
ε σ ν σ
= − (6)
luego r
E
θ θ
σ ε ν σ
= + (7)
El término (νσr ) puede despreciarse porque σr en mucho menor que σθ y además el máximo
de σr no coincide con los máximos de σθ .

155
Sustituyendo (5) en (1) y (2) y reordenando se tiene:
n m
N R E A E A
ω ω
= − (8)
( )
z n m
M R E R A A
ω
= − (9)
donde A es el área de la sección y Am es el “área modificada”
A
m
dA
A
r
= ∫ (10)
Notar que los elementos de área más alejados del centro de curvatura (r grande) contribuyen
menos al área modificada, además Am resulta levemente superior a (A/R ):
/ y también: /
m m
A A R A A R
≈ > (11)
La ecuación (9) puede reescribirse como:
z
n
m
M
R E
R A A
ω =
−
(12)
Sustituyendo (12) en (8) y despejando Eω se tiene
( )
m z
m
A M N
E
A
A R A A
ω
= −
−
(13)
Finalmente sustituyendo (12) y (13) en (5) se tiene
1 m
z
m
A
M
N
A R A A r A
θ
σ
 
=
+ −
 
−  
(14)
que es la fórmula de la flexión compuesta para vigas curvas.
Nota: N positivo indica tracción y Mz positivo implica tracción en las fibras del radio interior
(puntos más próximos al centro de curvatura).
La tensión circunferencial σθ dada por (14) tiene una variación hiperbólica debida al término
(1/r) como se puede apreciar en la Figura 3. Cuando la viga es “poco curva” los valores de “r” son
grandes respecto a la altura de la viga y entonces la variación se hace casi lineal concordando con
los valores provistos por la fórmula de flexión simple para viga recta (15).
Notar que en la derivación de la ecuación (14) se plantearon ecuaciones de equilibrio (1) y (2),
cinemáticas (3) y constitutivas (5).
Hay que tener presente que la “fórmula” (14) para vigas curvas en flexión es todavía aproxi-
mada debido a las numerosas hipótesis simplificativas usadas en su derivación. Los valores hallados
con la fórmula de vigas curvas (14) pueden compararse con los resultados exactos provistos por la
teoría de la elasticidad como también por la fórmula menos exacta (15) que se usa para vigas rectas.
En la Tabla 1 se presentan los cocientes entre las tensiones máximas provistas por las diferentes teorías
para el caso de una sección rectangular sometida a flexión pura para varias relaciones entre el radio R
y la altura de la viga h (R y h están indicados en las Figuras 2 y 3).
Tabla 1: Comparación entre los resultados provistos por distintas teorías
R
h
viga curva
teoría elasticidad
θ
θ
σ
σ
viga recta
error %
teoría elasticidad
θ
θ
σ
σ
0,75 1,012 0,526 47 %
1 0,997 0,654 35 %
2 0,997 0,831 17 %
5 0,999 0,933 7 %
Como en los casos prácticos generalmente R/h > 1, los resultados de la fórmula para vigas
curvas pueden considerarse exactos. La teoría de viga recta da un error del 7 % cundo R/h = 5 y el
error crece hasta el 35 % cundo R/h = 1.

156
Figura 3: Variación hiperbólica de las tensiones circunferenciales σθ en función de r
En la Figura 3 se graficó esquemáticamente la distribución de tensiones normales circunfe-
renciales σθ para el caso de un viga rectangular sometida a flexión pura donde R/h = 1.
Se puede demostrar aunque es bastante laborioso que cuando R/h → ∞ la ecuación (14) se
reduce a la fórmula de flexión compuesta para vigas rectas:
máx
z
z
M
N
y
A I
θ
σ
= + (15)
La fórmula para vigas curvas (14) requiere evaluar la integral (10) para calcular el área
modificada con gran exactitud por lo mencionado en (11) ya que RAm tiende a A cuando la viga es
poco curva y en consecuencia R/h se hace grande. Para facilitar los cálculos, Am está tabulado (ver
Tabla 2) para las secciones de uso corriente.
Vale aclarar que hay otra formulación para vigas curvas en flexión que primero calcula con
gran exactitud la excentricidad (distancia entre el eje baricéntrico y el eje neutro, ver Figura 3).
2.2 Ubicación del eje neutro
El eje neutro se obtiene de (14) haciendo σθ = 0 para r = Rn :
( ) /
n
m m z
A
R
A A R A N M
=
+ −
(16)
que en el caso de flexión pura donde N = 0 se reduce a
/
n m
R A A
= (17)
Tanto en (16) como en (17) debe calcularse Am con precisión por lo ya mencionado anteriormente
con referencia a la ecuación (11).
2.3 Sección compuesta por varias áreas simples
A menudo la sección de la viga curva puede descomponerse en varias áreas simples que se
encuentran tabuladas como se indica en la Figura 4.
Figura 4: Sección compuesta por varias áreas simples
En estos casos debido a la propiedad aditiva de la integral se tiene
( )/
m
i i i
i
m
A A A A R R A A
= = =
∑ ∑ ∑ (18)
Las fórmulas para calcular A, Am y R para las secciones de uso habitual se muestran en la Tabla 2.
σθ máx fórmula viga recta
σθ máx fórmula viga curva
eje neutro
eje baricéntrico
h
o
R
r
Mz
A1 A2 A1 A2 A1 A2 A3
excentricidad

157
Tabla 2 Expresiones analíticas para A, R y ( )
∫
m A
A = dA / r

158
3 TENSIONES NORMALES RADIALES r
σ
La fórmula para la tensión circunferencial σθ, ecuación (14), se derivó con la hipótesis de que
la tensión radial σr ( ver Figura 2-b) es despreciable. Esta suposición es correcta en el caso de
secciones llenas (circular, rectangular, etc.) pero puede no serlo en el caso de secciones con alma
delgada (té, dobleté, etc.).
Figura 5: Variación de las tensiones radiales σr en el espesor de la viga
Para determinar σr aislamos un elemento infinitesimal de viga ABCD como se indica en la
Figura 5. Debido a la curvatura de la viga, la resultante, T, de las tensiones circunferenciales σθ,
tiene una componente, sen( /2)
T dθ , en la dirección de la línea media OL que debe ser equilibrada
por tensiones σr según esa dirección.
r
a
T dA
θ
σ
= ∫ (19)
Siendo sen( /2) ( /2)
d d
θ θ
 se puede plantear equilibrio de fuerzas según OL
( )
2
2
r r
d T
T t r d
t r
θ
σ θ σ
= → = (20)
Sustituyendo (14) en (19) y el resultado de la integral en (20) se llega a:
( )
*
* *
r z
m m
m
A A A A
A
N M
t r A t r A R A A
σ
−
= +
−
(21)
donde
* *
y
r r
a a
m
dA
A A dA
r
= =
∫ ∫ (22)
Notar que este razonamiento es enteramente similar a la deducción de las tensiones de corte
de Jourasky, en el caso de vigas rectas. Las tensiones σr se obtienen a partir de las σθ que a su vez
fueron deducidas despreciando el efecto de σr. No obstante si se compara el valor de σr dado en
(21) con el resultado exacto de la teoría de la elasticidad se comprueba que el error es muy pequeño
y está del lado conservativo. Para vigas rectangulares donde R/h > 1 el error es menor del 6 %.
4 CORRECCIÓN DE σθ EN VIGAS TÉ Y DOBLETÉ
4.1 Pérdida de rigidez y resistencia en las alas de secciones té y dobleté
Si se aísla una porción infinitesimal de viga dθ como en la Figura 6-a se observa que debido a
la curvatura de la viga se originan componentes radiales porque las fuerzas que actúan sobre las
alas (T que tracciona abajo y C que comprime arriba) traccionan el alma originando tensiones σr .
Las partes exteriores de las alas están sometidas a flexión y debido a su escasa rigidez se flexionan
hacia fuera según se indica en la Figura 6-b.

159
Esta distorsión origina una pérdida de rigidez y una disminución de las tensiones σθ en los
extremos de las alas respecto al valor dado por (14). Esta redistribución de tensiones hace que las
tensiones σθ hacia el centro de las alas sean mayores que el valor previsto por (14).
Figura 6: Flexión de las alas causada por la curvatura de la viga
En la Figura 7 se analiza la deformación, muy exagerada para claridad de dibujo, de un elemento
infinitesimal de viga.
Para el centro del ala, punto 1, el largo inicial es AB, el largo final es AB’ y el acortamiento es BB’.
Para el extremo del ala, punto 2, el largo inicial es AB, el largo final es A’’B’’ y el acortamiento es BB’’’.
Observando que BB’’’ < BB’ concluimos que la deformación específica εθ y por consiguiente
la tensión σθ es menor en el punto extremo 2 que en el punto central 1.
Figura 7: Flexión de las alas causada por la curvatura de la viga
Similarmente se puede analizar el ala inferior. Para la fibra central 3, la longitud inicial es AB,
el largo final es AB’ y el alargamiento es BB’. Para la fibra extrema 4, el largo inicial es el mismo, es
decir AB, el largo final es A’’B’’ y el alargamiento es BB’’’.
Nuevamente resulta que BB’’’ < BB’ y concluimos que el alargamiento específico εθ es menor
en los extremos y por consiguiente también resulta menor la tensión σθ .
La distorsión analizada aumenta el brazo de palanca de las fuerzas asociadas a σθ de los puntos
extremos, pero el aumento de distancia B’B’’ es insignificante cuando se lo suma a B’N. En cambio
la corrección B’B’’’ es del mismo orden de magnitud que B’B, y por lo tanto tiene un efecto
significativo en la disminución de la deformación específica εθ.

160
4.2 Factores de corrección de Bleich
Una forma práctica de tener en cuenta la variación de la tensión circunferencial σθ en las alas
se debe a Bleich y se describe a continuación.
a) Sección real b) Sección reducida
Figura 8: Corrección de Bleich del largo de las alas
Se sigue utilizando la ecuación (14) para determinar σθ pero se reduce el largo de las alas
( )
2
i i i
b t
α
′
= +
 (23)
donde: i
b′ = ala reducida, i
 = parte del semiala en voladizo y t = ancho del alma.
El coeficiente α depende de la relación 2
/( )
rω
 y se interpola en la Tabla 3 o se calcula con
la ecuación (25). Los valores de  , r y ω están indicados en la Figura 8. Notar que el radio r se
mide hasta la mitad del espesor del ala,  y ω son respectivamente la parte en voladizo y el espesor
del ala considerada. Notar también que si las dos alas tiene iguales valores para  y ω resulta
2 1
b b
′ ′
< porque los radios de las alas son diferentes (r2 < r1) → (α2 < α1) !
Tabla 3: Factores de corrección de Bleich α y β
2
( )
/ rω
 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,5 2,0 3,0 5,0
α 0,979 0,923 0,850 0,776 0,708 0,651 0,583 0,506 0,422 0,341
β 0,555 1,018 1,347 1,550 1,661 1,713 1,732 1.711 1,674 1,692
0 1 2 3 4 5
Gráfico 1: Factores de corrección de Bleich α y β definidos en la ecuación (25)
Cuando se aplica la ecuación (14) a la sección reducida (no distorsionada) se obtiene una
tensión σθ máxima que coincide con el valor máximo en la sección verdadera y distorsionada.
Debido a la flexión de las alas (ver Figura 6-b) se originan (en las alas) tensiones normales σz
(la dirección de σz está indicado Figura 2-b) cuyo valor se calcula por medio del coeficiente β
deducido por Bleich:
z θ
σ β σ
= − (24)
donde: β se interpola en la Tabla 3 o se calcula con la ecuación (25) y σθ se calcula usando (14)
para la sección reducida empleando el radio correspondiente a la mitad del espesor del ala
considerada. El signo menos en (24) se debe a que σz es de signo opuesto a σθ . Notar que σz tiene
un valor importante ya que β generalmente es mayor que 1 (ver Gráfico 1).
→ 2
/ ( )
rω

α
β
2
1
0

161
Notar que se debe utilizar distinto valor de r para cada una de las alas y por lo tanto distintos
valores de α y β. El ala más próxima al centro de curvatura tiene menor radio r dando valores menores
de α y valores mayores de β, esta situación es más perjudicial que lo que acontece en el ala más
alejada del centro de curvatura.
Las expresiones exactas para α y β son las siguientes:
1 senh sen cosh cos
3
2 cosh cos 2 cosh cos
z z z z
z z z z
α β
λ
+ −
= =
+ + + +

(25)
donde: ( ) ( )
2 2 2
1/4
3 1 / r
λ ν ω
 
= −
  y 2
z λ
=  (26)
Un caso importante ocurre cuando la semiala  es muy larga, en tal caso, para ν = 0,3 la
semiala reducida tiene un valor límite dado por
lim ( ) 0,778 r
α ω
→∞
=

 (27)
entonces: 1,56
b t rω
′= + (28)
La ecuación (27) se puede demostrar usando (25) y (26) y haciendo ν = 0,3, la deducción se
deja para el lector. Ayuda:  → ∞ ⇒ z → ∞ ⇒ α → (1/λ) tgh z ⇒ α → 1/λ.
La ecuación (28) aparece en los manuales de recipientes con vacío interior que tienen anillos
de refuerzo para evitar el pandeo. Usando (28) se adiciona la contribución del espesor del recipiente
(ω) al momento de inercia del anillo refuerzo siendo r el radio del cilindro trabajando en vacío.
Se recomienda al lector repetir minuciosamente el análisis correspondiente a las Figuras 6 y 7
cambiando el sentido del momento Mz. Se observará que la distorsión de las alas es de sentido
opuesto y el sentido de d∆θ también se invierte. Se llega a las mismas conclusiones: disminución
de rigidez, disminución de tensiones en los extremos de las alas y por consiguiente aumento de
tensiones en la zona central.
Para el caso de un tubo rectangular hueco solicitado como en el caso de la Figura 6 se
producirá tracción en las caras laterales y flexión de las caras superior e inferior. La sección se
distorsionará según se indica en la Figura 9-a.
Figura 9: Efecto Bleich en el caso de un tubo rectangular
Cambiando el sentido del momento Mz la distorsión se produce en sentido contrario como se
indica en la Figura 9-b. Notar que, tanto en el caso (a) como en el caso (b) disminuye la rigidez.
Lamentablemente en este caso no se dispone de una fórmula para el factor de corrección.
5 CODOS CON Y SIN PRESIÓN INTERIOR
Mediante un razonamiento completamente análogo al anterior se puede demostrar que los codos
solicitados en flexión se “ovalizan” y disminuyen notablemente su rigidez, cualquiera sea el sentido del
momento flector actuante. La sección ovalizada de la Figura 10-a induce a pensar que el aumento
del momento de inercia alrededor del eje x debido a la ovalización podría rigidizar la sección y
disminuir las tensiones máximas. Esto no ocurre ya que, según se comentó en la sección anterior,
este efecto es despreciable. En cambio, la variación de εθ debido a la curvatura es muy significativa.
Figura 10: Ovalización de un codo flexionado

162
El primer estudio de ovalización se debe a Von Kármán y data del año 1911. En esta sección
se enuncia sucintamente la metodología a usar. Todo se resume a disminuir la rigidez y aumentar la
tensión máxima calculada con la fórmula para vigas rectas en flexión utilizando coeficientes que
tienen en cuenta el efecto de la curvatura y la presión interior.
(29)
Figura 11: Geometría de un codo y cargas actuantes
5.1 Codos sin presión interior
En la Figura 11 se indica el radio medio del caño rm (hasta la mitad del espesor), el radio del
codo R y el espesor del caño t. La rigidez flexional del codo (EI)o es menor que la rigidez nominal
(EI)nom correspondiente a una viga recta:
3
donde:
nom nom m
I I I r t
Ω π
= =
o o (30)
donde Ωo es el factor de disminución de rigidez flexional por ovalización de la viga curva dado en (33).
La tensión máxima para verificación σo se encontró como la combinación más desfavorable
de tensiones membranales (longitudinales y circunferenciales), tensiones flexionales (longitudinales
y circunferenciales) debidas a la ovalización y tensiones de corte por torsión,
donde:
nom nom ext
nom
r
I
σ η σ σ
= =
o
o
M
(31)
donde ηo es el factor de incremento de tensión por la ovalización de la viga curva y M es el momento
resultante dado en (29) que está indicado en la Figura 11 y corresponde al criterio de Tresca.
Para determinar los factores y
Ω η
o o debidos a la ovalización se definen previamente dos
factores adimensionales λ y γ:
2 2
1 m
m
Rt R
r
r
λ γ
ν
= =
−
(32)
Luego
0,6 restringido a 1
Ω λ λ
= ≤
o (33)
( )
0,667
1 0,25/ restringido a 0,05 1
λ γ λ
η −
= + ≤ ≤
o (34)
5.2 Codos con presión interior
Por efecto de la presión interior ‘p’ aparecen tensiones membranales que tienden a devolver la
forma circular al codo ovalizado y esto modifica los valores asociados a la ovalización:
cuando: 0,05 1 y 0 0,1
( )
( )
nom
nom
I I
Ω Ω
λ ψ
σ η σ σ
 =

≤ ≤ ≤ ≤ 
 =

o
o /
p
p
(35)
(36)
donde:
0,25
1,15
1,333
1+1,75 e ψ
Ω λ
−
−
−
= (37)
0,25
1,333
1+ e ψ
σ λ − −
−
= (38)
siendo ψ un parámetro adimensional proporcional a la presión:
2
m
p R
E r t
ψ = (39)

163
6 CÁLCULO DE DESPLAZAMIENTOS EN UNA VIGA CURVA
6.1 Energía de deformación en un tramo de viga curva
A los efectos del cálculo de desplazamientos es necesario plantear correctamente la energía de
deformación para el elemento infinitesimal de viga curva correspondiente a dθ, bajo la acción
simultánea de Mz, Q y N de acuerdo a la Figura 2.
2
2 2
( )
2 2 2 ( )
c
m z z
m
A M M N
Q N
W Rd Rd d d
A G AE AE RA A AE
θ θ θ θ
= + + −
−
∫ ∫ ∫ ∫ (40)
El primer término es energía por corte, el segundo es energía por solicitación axial, el tercero
corresponde a la flexión y el cuarto se debe al acoplamiento entre Mz y N. Ese último término se
explica porque al girar la sección alrededor del eje neutro produce un desplazamiento del eje
baricéntrico donde actúa N.
Debe tenerse cuidado al asignar los signos de Mz y N en el término de acoplamiento: N es
positivo si es de tracción y Mz es positivo si trata de disminuir la curvatura de la viga.
Para secciones té y dobleté debe considerarse la sección reducida por el efecto Bleich según
(23) y en el caso de codos debe utilizarse el momento de inercia reducido según (30) y (33).
6.2 Desplazamiento de un punto de una viga curva
Para calcular la componente del desplazamiento de un punto de una viga curva en una dirección
dada se puede aplicar el teorema de Castigliano. Para ello: i) se aplica un fuerza ficticia “X”
en el punto donde se quiere calcular el desplazamiento y en la dirección deseada, ii ) se determinan
los esfuerzos N, Q y Mz causados por todas las fuerzas aplicadas (incluyendo la fuerza ficticia X ),
iii ) se computa la energía de deformación W(X) usando la ecuación (40), iv) se calcula la derivada
de la energía de deformación respecto de X:
( )
( )
X
X
W
u
X
∂
=
∂
(41)
y finalmente v) se reemplaza en u(X) a la fuerza ficticia por su verdadero valor: X = 0.
Resulta obvio que cuando se quiere conocer la componente del desplazamiento de un punto
donde esta aplicada una carga P, dato del problema y en la dirección de la carga P, no hace falta
utilizar la carga ficticia. Basta reemplazar X por P en la ecuación (41).
Nota importante: Los desplazamientos están menos influenciados por la curvatura de la viga
que las tensiones circunferenciales σθ. Por ello para valores R/h > 3 se pueden reemplazar el 3er y
4to término del segundo miembro de (40) por el término habitual que corresponde a la flexión de
vigas rectas dado en (42):
2
2
z
M
Rd
EI
θ
∫ (42)
simplificando notablemente los cálculos y cometiendo un error menor al 2 %.
Adicionalmente los cálculos se pueden realizar de una manera más eficiente derivando según
(41) previo a realizar la integración (42) :
( )
2
( ) ( ) ( )
( )
0
( )
2
X X X
X
X
X
z z z
M M M
W
u Rd Rd
X X EI EI X
θ θ
=
∂
∂  
∂
= = =  
∂ ∂ ∂
 
∫ ∫ (43)
ya que si en algún tramo de la integral se anula alguno de los términos dentro del corchete la integral
en ese tramo no se realiza porque resulta nula.
En los casos donde predomina la flexión puede ignorarse la contribución del esfuerzo axial N
y del corte Q y si además R/h > 3 todo el cálculo queda reducido a lo indicado en (43).

164
PRÁCTICO Vigas curvas
Nota: Todos los datos están dados en unidades [cm] y [kg]
1 Determinar el coeficiente de seguridad del gancho del
croquis para una carga máxima de 6000 kg.
Comparar el resultado obtenido con la teoría de viga
curva con el correspondiente a viga recta.
Material: acero σf = 2800 kg/cm2
2 Calcular el desplazamiento vertical del punto A debido a
la carga F que produce fluencia.
Aro con un radio medio de 4 cm.
Comparar resultados considerando viga curva y viga recta.
3 Determinar el coeficiente de seguridad
de la prensa del croquis para una carga
máxima de 1200 kg.
Ayuda: Emplear corrección de Bleich
y calcular la tensión circunferencial
en el punto A.
4 Un codo de 90º sin presión interior empotrado en el extremo A
tiene una carga perpendicular a su plano en el extremo libre B.
Espesor: t = 0,2 cm Material: acero σf = 4000 kg/cm2
Se pide:
a) Calcular la máxima carga admisible con CS = 2
b) Repetir el cálculo ignorando la ovalización del codo
(usando teoría de viga recta).
c) Comparar los resultados obtenidos.
5 Para calcular la matriz de rigidez de un codo se comienza calculando la matriz de flexibilidad
para un extremo libre considerando el otro extremo como empotrado.
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33
F F F P u
F F F P u
F F F M φ
     
     
=
     
     
     

Material: acero E = 2100000 kg/cm2
ν = 0,3
Calcular F31 empleando el teorema de Castigliano.
a) Codo sin presión interior.
b) Codo con presión interior p = 40 kg/cm2
Ayuda: Considerar teoría de vigas rectas teniendo
en cuenta la pérdida de rigidez por ovalización a
través de Io dado por la ecuación (30). R = 12 rm = 4 t = 0,2

165
SOLUCIÓN del PRÁCTICO Vigas curvas
−
−
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−
−
−
−
−
Nota: Todos los resultados parciales y finales se dan unidades [cm] y [kg]
1 Cálculo del coeficiente de seguridad de un gancho para una carga de 6000 kg.
1.a Solución exacta como viga curva
Propiedades: Tabla 2 caso 3...... 12 (8 2)/2
A
= +
x ................................ A = 60
[ ] [ ]
6 (2 8 2) 1 8
(8 2 2) 3 (8 2)
R
= + + + +
/
x x x x x ................................ R = 10,8
( )
8 18 2 6 ln(18/6) 12 8 2
m
A
= − − +
/
x x x .............................. Am = 6,0847352
Ec. (14) →
6000 6000 10,8 1 6,0847352
60 10,8 6,0847352 60 6 60
θ
σ
 
=
+ −
 
−  
x
x
....... 839,9
θ
σ =
/ 2800/839,9 3,33
S f
C θ
σ σ
= = = ................................................ 3,33
S
C =
1.b Solución aproximada con viga recta
3 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2
12 ; 8 ; =2 ; ( 4 ) [36 ( )] 633,6 ;
h b b I h b b b b b b
= = = + + + =
/ 6000 10,8 64800
M
= =
x
6000 64800
(10,8 6) 590,9
60 633,6
A
σ = + − =
+
6000 64800
(18 10,8) 636,4
60 633,6
B
σ = − − =
− 636,4
máx
σ =
/ 2800/636,4
S f máx
C σ σ
= = ............................................................................................. 4,40
s
C =
La tensión máxima como viga recta es 24 % menor, tiene signo opuesto y ocurre en un punto distinto.
2 Determinación del desplazamiento vertical del punto A causado por la carga que produce fluencia.
2.a Carga que produce fluencia
Propiedades: Tabla 2 caso 4.....b = 0,5 → 2 2
(0,5)
A b
π π
= = x .......... A = 0,7854
R = 4................................................................................................................ R = 4
2 2 2 2
2 2 4 4 (0,5)
( ) ( )
m
A R R b
π π
= − − = − − ................... Am = 0,1971226
Ec. (14) →
3,5
4 1 0,1971226
0,7854 4 0,1971226 0,7854 3,5 0,7854
r
F F
θ
σ =
 
− −
=
+ −
 
−  
x
x
... 46,23 F
θ
σ = −
46,23 ; 2800 ;
máx f máx f
F
θ
σ σ σ σ σ
= = = = ⇒ 60,57
F kg
=
Se puede verificar que la fórmula para vigas rectas predice F = 66,64 kg, con un error del 10 %.
2.b Cálculo del desplazamiento del punto A
Esfuerzos: ; ; ( )
z
Q F cos N F sen M F R sen
θ θ θ
==
− =
−
Ec. (40) →
2 2
2
( ) ( )
2 2
( ) ( )( )
2 ( )
c
m
m
F cos F sen
W Rd Rd
A G AE
A F R sen F R sen F sen
d d
AE RA A AE
θ θ
θ θ
θ θ θ
θ θ
−
= + +
− − −
−
−
∫ ∫
∫ ∫
0,385 ; 0,85 ;
2(1 )
c
E
G E A A
ν
= = =
+
2
2 2 2
0
255 2
0,85 0,385
W F R cos
sen sen sen d
F E A
π
θ
θ θ θ θ
 
∂
= + + −
 
∂  
∫ x
[ ]
2 2
0 0
; 3,05 1 255 2
2 2
W F R
sen d cos d
F E A
π π π π
θ θ θ θ
∂
= = = + + + −
∂
∫ ∫
corte normal flexión acople
( )
60,57 4
257,05 0,0593
2 2100000 0,7854
F
W
u
F
π
∂
= = =
∂
x x
x
x x
....................................... 0,0593
F
u cm
=
Es importante destacar que usando la teoría de viga recta con una carga P = 60,57 kg se
obtiene un desplazamiento uF
= 0,060 cm con un error de apenas el 1,2 %. Esto confirma
que el efecto de viga curva en los desplazamientos es mucho menor que en las tensiones.

166
3 Cálculo del coeficiente de seguridad de una prensa para carga máxima de 1200 kg.
3.a Corrección de las alas usando la corrección de Bleich, ecuación (23)
Ec. (26) →
2 2 2 0,25
[3 (1 0,3 )/(7,2 0,8 )] 0,535586
2 2 0,535586 0,7 0,749821
z
λ
λ
 =
− =


= = =

 
x x
x x
Ec. (25) →
0,9961
0,2421
β
α
 =


=


Ec. (23) → ( )
1 1 1
2 2 (0,9961 0,7) 1,2
b t
α
′
= +
= +
x x
 ........................ 1 2,5945
b′ =
Ec. (26) →
2 2 2 0,25
[3 (1 0,3 )/(2,9 1,4 )] 0,637937
2 2 0,637937 1,2 1,5310
z
λ
λ
 =
− =


= = =

 
x x
x x
Ec. (25) →
0,9381
0,9244
β
α
 =


=


Ec. (23) → ( )
2 2 2
2 2 (0,9381 1,2) 1,2
b t
α
′
= +
= +
x x
 ...................... 2 3,4514
b′ =
3.b Cálculo del área A, del área modificada Am y del radio R de la sección reducida
1 2,5945 0,8 2,0756
A
= =
x 2 1,2 3,2 3,84
A
= =
x
1
7,6
2,5945 0,288575
6,8
m
A ln
= =
x 2
6,8
1,2 0,763186
3,6
m
A ln
= =
x
( )
1 6,8 7,6 / 2 7,2
R = + = ( )
2 3,6 6,8 / 2 5,2
R = + =
Propiedades de la sección compuesta
3 3,4514 1,4 4,8320
A
= =
x 1 2 3 10,7476
A A A A
= + + =
3
3,6
3,4514 1,699733
2,2
m
A ln
= =
x 1 2 3 2,751494
m m m m
A A A A
= + + =
( )
3 2,2 3,6 / 2 2,9
R = + = 1 1 2 2 3 3
( ) 4,55219
R A R A R A R A
= + + =
/
3.c Cálculo de las tensiones variables en el espesor
Esfuerzos:... 1200
N kg
= 1200 (7,3 4,55219)
M
= +
x ......... 14222,63 -
M kg cm
=
Ec. (14) →..
1200 14222,63 1 2,75149
10,7476 4,5522 2,751494 10,7476 10,7476
r
r
θ
σ
 
=
+ −
 
−  
x
..
8000,4
1936,5
r
θ
σ =
− +
Tensión transversal: Ec. (24) → z θ
σ β σ
= − Punto 1: 2,9
1 0,9244 760
z r
θ
σ σ =
=
− =
−
x
Punto 7: 7,2
7 0,2421 200
z r
θ
σ σ =
=
− =
x Tensión de von Mises * 2 2
z z
θ θ
σ σ σ σ σ
= + −
Ala superior Alma Ala inferior
Punto 1 2 3 4 5 6 7 8 9
r 2,2 2,9 3,6–ε 3,6+ε 4,132 6,8–ε 6,8+ε 7,2 7,6
σθ
1700 822 286 286 0 – 760 – 760 – 826 – 884
σz
– 760 0 760 0 0 0 200 0 – 200
σ*
2181 822 665 286 0 760 878 826 803
3.d Gráfico de las tensiones
3.e Determinación del coeficiente de seguridad
/ 3420/2181 1,57
S f
C θ
σ σ
= = = .................................................................................. 1,57
S
C =

167
4Determinación de la carga admisible aplicable en un extremo de un codo sin presión.
4.a Cálculo teniendo en cuenta la ovalización de la viga curva
Propiedades geométricas del codo:
(14,6 9,4) 2 12
R = + =
/ ....................................................... 12
R =
(14,6 9,4 0,2) 2 2,5
m
r = − − =
/ ........................................ 2,5
m
r =
t = 0,2 .................................................................................. 0,2
t =
Momento de inercia nominal (como viga recta):
Ec. (30) →
3 3
(2,5) 0,2
nom m
I r t
π π
= = x x ..................... 9,8175
nom
I =
Momento resultante M para usar en el codo:
Ec. (29) →
2 2
(12 ) (12 )
P P
= +
M .......................... 16,97 P
=
M
Relaciones geométrica adimensionales de la viga curva:
Ec. (32) →... / 12 2,5 4,8
m
R r
γ
= = =
/ .......................................................................... 4,8
γ =
Ec. (32) →
2 2 2 2
1 12 0,2 2,5 1 0,3
( ) ( )
m
Rt r
λ ν
= − = −
/ /
x ....................... 0,4025
λ =
Incremento de tensiones por efecto de ovalización:
Ec. (34) → 0,05 1
0,667 0,667
(1 0,25 ) 0,4025 (1 0,25 4,8)
λ λ γ
η
≤ ≤
− −
→= + = +
o / / ..... 1,93
η =
o
Tensión máxima considerando ovalización:
Ec. (31) →
16,97
1,93 2,6
9,8175
nom ext
nom
P
r
I
σ η σ η
= = =
o o o
x
x x
M
................................ 8,674 P
σ =
o
Determinación de la carga admisible:
8,674 4000
f S adm
C P
σ σ
= ⇒ =
o 2
/ / …………….……….…..….….. 230,6
adm
P kg
=
Notar que se ha considerado que el empotramiento no impide la ovalización.
4.b Cálculo ignorando la ovalización (teoría de viga recta)
Momento de inercia como viga de pared delgada
Ec. (30) →
3 3
(2,5) 0,2
m
I r t
π π
= = x x ...................................................................... 9,8175
I =
Módulo de torsión (JR del tubo circular de pared delgada)
3 3
2 ( ) 2 (2,5) 0,2
R m
J r t
π π
= = x x x .................................................................... 19,635
R
J =
Tensión normal por flexión en el extremo A:
12
2,6
9,8175
ext
M P
r
I
σ
= =
x
x ................................. 3,178 P
σ =
Tensión de corte por torsión en el extremo A:
12
2,6
19,635
ext
R
T P
r
J
τ
= =
x
x .................................. 1,589 P
τ =
Tensión efectiva de von Mises
* 2 2 2 2
3 (3,178 ) 3 (1,589 )
P P
σ σ τ
= + = + x ............................................. *
4,204 P
σ =
Carga admisible con coeficiente de seguridad igual a 2:
*
4,204 4000
f S adm
C P
σ σ
= ⇒ =
/ /2………..……→…....…….….. 475,7
adm
P kg
=
4.c Comparación de los resultados
En este caso al comparar los resultados 4.a y 4.b, se observa que debido al efecto de viga curva se
pierde más del 50 % de la resistencia debido a la ovalización !!!!!!

168
5Cálculo de un elemento de la matriz de flexibilidad de un codo como viga curva.
El elemento F31 de la matriz de flexibilidad es igual al
giro φ en radianes producido por una carga unitaria
horizontal de valor unitario: P1 = 1 kg.
Para resolver empleando el teorema de Castigliano se
coloca un momento ficticio Mo en el extremo libre que
se anula después de derivar.
1 sen
Esfuerzos: 1 cos
(1 cos )
o
Q
N
M M R
θ
θ
θ
=


=


= − −

Área de la sección plana de pared delgada: 2 2 4 0,2
m
A t
r
π π
= =
x x x x x x .................... 5,03
A =
Relación geométrica adimensional λ de la viga curva:
Ec. (32) →
2 2 2 2
/ 1 12 0,2 / 4 1
( ) ( )
m
Rt r
λ ν ν
= − = −
x ....................................... 0,15724
λ =
Disminución de la rigidez Ωo :
Ec. (33) → 1 0,6 0,6 0,15724
λ Ω λ
< → = =
o x x .................................................... 0,09434
Ω =
o
Comentario
Momento de inercia nominal
: como la curvatura es elevada [R/(2rm ) = 1,5] y el espesor es pequeño (t <<rm ) el
efecto perjudicial de la ovalización es muy importante y la flexibilidad aumenta más del 1000 % !!!
nom
I y reducido Io :
Ec. (30) →
3 3
4 0,2
nom m
I r t
π π
= = x x ............................................................................. 40,21
nom
I =
Ec. (30) → 0,09434 40,21
nom
I I
Ω
= =
o o x ..................................................................... 3,794
I =
o
5.a Flexibilidad del codo sin presión interior
Energía de deformación elástica:
Ec. (40) y (42) →
[ ] [ ]
2
2 2
(1 cos ) (1 cos ) cos
sen cos
2 2 2
o o
c
M R M R
W Rd Rd Rd d
A G AE E I AE
θ θ θ
θ θ
θ θ θ θ
− − − −
= + + −
∫ ∫ ∫ ∫
o
Derivada de la energía de deformación respecto al momento ficticio:
/2 /2
o
o 0 0
(1 cos ) cos
0 0
M R
W
Rd d
M EI AE
π π
θ θ
θ θ
− −
∂
= + + −
∂ ∫ ∫
o
2
/2 /2 5
31 0 0
o o 0
1
sen sen ( 1,0276 0,0095) 10
M
W R
F
M EI E A
π π
θ θ θ
−
=
∂
= =
− − − =
− −
∂
o
o
x
5
31 1,04 10 /
F rad kg
−
= −
o
x
5.b Flexibilidad del codo con presión interior
El único cambio respecto al caso 5.a es el incremento de la rigidez por el efecto estabilizante de la
presión interior aplicada al codo. Esto se traduce en un incremento del momento de inercia
reducido lo que disminuye de manera inversamente proporcional la deformación por flexión.
Parámetro adimensional de presión ψ:
Ec. (39) → ( )
2 2
/ 40 12 /(2100000 4 0,2)
m
p R E r t
ψ
= = x x x ..................................... 0,003429
ψ =
Incremento de rigidez Ω :
Ec. (35) →
0,25
1,333 1,15 0,003429
1+1,75 (0,15724) 1,178
e
−
− −
Ω =
x
x x → I I
Ω
= o
p ← 1,178
Ω =
La rigidez del codo aumenta un 18 % debido a la presión interior que es estabilizante, en consecuencia:
5 5
31 ( 1,0276/ 0,01) 10 ( 1,0276/1,178 0,0095) 10
F Ω − −
=
− − =
− −
p
x x ....
5
31 0,882 10 /
F rad kg
−
= −
p
x
R = 12 rm = 4 t = 0,2

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