Reticulados Planos

1. Clase N° 4 – TPN° 4
Sistemas Reticulados Planos
Curso de Estática y
Resistencia de Materiales
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Industrial de la Facultad de Ingeniería de la
Universidad de Buenos Aires

2. Veamos algunos
conceptos preliminares
Denominaremos barra a toda chapa cuya dimensión
transversal sea pequeña en relación con su longitud
(fig 1).
Supongamos aplicadas en A y B dos fuerzas opuestas
P y - P cuya recta de acción coincida con el eje de la
barra (fig 2a). Por tratarse de un sistema nulo aplicado
a un mismo cuerpo rígido, el sistema se encontrará en
equilibrio.
Si ahora suprimimos la barra se habrá roto el equilibrio. Para restituirlo será necesario aplicar
fuerzas P' = -P y - P' = -(-P) = P (fig 2b).
Estas nuevas fuerzas, que reemplazan en sus efectos a la barra
AB, se denominan esfuerzo interno en la barra.
Cuando las fuerzas exteriores que solicitan a la barra tienen
sentidos divergentes, originan en la misma un esfuerzo interno
que se denomina esfuerzo de tracción (fig 2b).
En cambio, cuando tienen sentidos concurrentes, los esfuerzos internos desarrollados en la
misma serán de compresión (fig 2c).

3. Veamos algunos
conceptos preliminares
Los Sistemas Reticulados son estructuras formadas
por barras unidas por sus extremos en puntos
llamados nudos o nodos, cuando los ejes
baricéntricos de las barras son coplanares resultan los
Reticulados Planos.
La utilización práctica de los reticulados planos impone
la necesidad que éstos sean indeformables. La única
figura indeformable es el triángulo.
Reticulados simples: sus propiedades características son:
• Formados exclusivamente por triángulos.
• Cada dos triángulos, estos tienen un lado (barra) en común y dos nudos.
• Un mismo nudo, no pertenece a más de tres triángulos.
• Existen nudos a los cuales concurren sólo dos barras.
Un reticulado es estrictamente indeformable cuando basta eliminar una sola barra para que se
deforme. Entre el numero “b” de barras y el número “n” de nudos existe la siguiente relación:
𝒃 = 𝟐 ∙ 𝒏 − 𝟑
No es estrictamente
indeformable
No es un Reticulado
simple

4. Veamos algunos
conceptos preliminares
Hipótesis de cálculo.
• Los nudos funcionan como articulaciones
desprovistas de frotamiento.
• Las cargas actúan exclusivamente en los
nudos y están situadas en el plano del
reticulado.
• Las barras son rectas y rígidas.
Regla Práctica 1: Si el esfuerzo en una barra
se acerca al nudo hay compresión; si se
aleja hay tracción
Regla Práctica 2: El sentido de la flecha en
el extremo de cualquier barra debe
cambiarse en el otro extremo.
Recordar
Métodos de Cálculo 1. ANALÍTICO: Utilizaremos el método de los Nudos.
2. GRÁFICO-ANALÍTICO: Utilizaremos el método de RITTER.

5. Para la ménsula de bordes paralelos de la
figura, se pide: A
B
P1
P2
h
a a a
1. Estudio de isostaticidad de la estructura
y de la generación del reticulado;
2. Dibujo del diagrama de Cuerpo Libre
(DCL);
3. Cálculo de las Reacciones de Vínculo
Externo (RVE);
4. Dibujo del diagrama de Cuerpo Libre Equilibrado (DCLE);
5. Cálculo del esfuerzo de las barras por el Método de los Nudos;
6. Dibujo del Diagrama de Esfuerzos Internos;
Datos a = 2 m h = 2 m P1 = 50 KN P2 = 100 KN
Veamos el siguiente
problema resuelto por el
Método de los Nudos

6. Veamos el siguiente
problema…
A
B
P1
P2
h
a a a
1. Estudio de isostaticidad de la estructura
y de la generación del reticulado;
Si suponemos a tres barras articuladas
entre sí, se formará una estructura que
tendrá:
𝑮𝑳 = 𝟑 ∙ 𝟑 = 𝟗
menos 2 vínculos internos (VI) dobles:
𝑮𝑳 = 𝟗 − 𝟐 ∙ 𝟐 = 𝟓
Si unimos las barras externas mediante otro vinculo relativo articulado, al conjunto le
restamos así, 2 GL quedando el sistema de tres barras así formado con 5 – 2 = 3 GL por
lo tanto el triángulo así formado, por tres barras rígidas articuladas entre sí en sus
extremos, se comporta como una ÚNICA CHAPA RÍGIDA E INDEFORMABLE.
≈

7. A
B
P1
P2
h
a a a
1. Estudio de isostaticidad de la estructura
y de la generación del reticulado;
Consecuentemente, si al triángulo así
formado, le agregamos dos nuevas
barras también articuladas, colocadas
en dos de sus vértices, el resultado
será :
𝑮𝑳 = 𝟑 ∙ 𝟑 = 𝟗
menos 3 vínculos internos (VI) dobles: 𝑮𝑳 = 𝟗 − 𝟑 ∙ 𝟐 = 𝟑
Así sucesivamente, agregando pares de barras articuladas entre sí, se obtendrá un sistema
de estructuras reticuladas ISOSTÁTICAS, pues solo SERÁ NECESARIO LA COLOCACIÓN DE
TRES VINCULOS EXTERNOS PARA SUSTENTAR TODO EL SISTEMA.
𝑽𝑬𝑹𝑰𝑭𝑰𝑪𝑨
…y que pasa en este caso?
chapa 1
chapa 2
chapa 3

8. A
B
P1
P2
h
a a a
1. Estudio de isostaticidad de la estructura
y de la generación del reticulado;
En cuanto a la generación del reticulado
se cumple que:
• Está formados exclusivamente por
triángulos.
• Cada dos triángulos, estos tienen un
lado (barra) en común y dos nudos en
común.
• Un mismo nudo, no pertenece a más de tres triángulos.
• Existen nudos a los cuales concurren sólo dos barras.
Por lo tanto el reticulado es un “Reticulado Simple” de 13 barras y 8 nudos,
que además verifica que: 𝒃 = 𝟐 ∙ 𝒏 − 𝟑
…y el reticulado será, además, estrictamente indeformable.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
(13 = 2 . 8 – 3)

9. A
B
P1
P2
h
a a a
2. Dibujo del diagrama de Cuerpo
Libre (DCL);
HB
HA
VA
3. Cálculo de las “Reacciones de
Vínculo Externo” (RVE).
Planteamos las ecuaciones de
equilibrio de la estática:
𝐅𝐇 = 𝟎 = 𝑯𝑨 − 𝑯𝑩
𝐅𝐕 = 𝟎 = 𝑷𝟏 + 𝑷𝟐 − 𝑽𝑨
𝐌𝐀 = 𝟎 = 𝑷𝟏 + 𝑷𝟐 ∙ 𝟑𝒂 − 𝑯𝑩 ∙ 𝒉
⟹
𝑯𝑨 = 𝟒𝟓𝟎 𝑲𝑵
𝑯𝑩 = 𝟒𝟓𝟎 𝑲𝑵
𝑽𝑨 = 𝟏𝟓𝟎 𝑲𝑵
z
y
+
A
B

10. P1
P2
h
a a a
2. Dibujo del diagrama de Cuerpo
Libre (DCL);
HB
HA
VA
450 KN
450 KN
150 KN
3. Cálculo de las “Reacciones de
Vínculo Externo” (RVE).
Planteamos las ecuaciones de
equilibrio de la estática:
𝐅𝐇 = 𝟎 = 𝑯𝑨 − 𝑯𝑩
𝐅𝐕 = 𝟎 = 𝑷𝟏 + 𝑷𝟐 − 𝑽𝑨
𝐌𝐀 = 𝟎 = 𝑷𝟏 + 𝑷𝟐 ∙ 𝟑𝒂 − 𝑯𝑩 ∙ 𝒉
⟹
𝑯𝑨 = 𝟒𝟓𝟎 𝑲𝑵
𝑯𝑩 = 𝟒𝟓𝟎 𝑲𝑵
𝑽𝑨 = 𝟏𝟓𝟎 𝑲𝑵
4. Dibujo del diagrama de Cuerpo
Libre (DCLE).
Calculemos los esfuerzos de las barras
por el método de los nudos …
z
y
+
A
B

11. 450 KN
450 KN P1
P2
h
a a a
Calculemos los esfuerzos de las barras
por el método de los nudos …
150 KN
El método consiste en imponer el
equilibrio para cada una de las
articulaciones de los nudos dado
que si el sistema está en equilibrio,
los nudos también lo estarán.
Por lo tanto plantearemos las
ecuaciones de equilibrio para las
fuerzas horizontales y para las
fuerzas verticales en cada nudo.
Dado que las ecuaciones con las que contamos son dos, sólo dos será la cantidad de
incógnitas que podremos calcular, por ello arrancaremos el cálculo por un nodo al que
concurran sólo dos barra, por ejemplo el nudo 1.
1
2
3
4
5
6
7
8
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11
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13
1
2
3
4
5
6
7
8
𝑭𝑯 = 𝟎 = −𝟒𝟓𝟎 𝑲𝑵 − 𝑵𝟏
𝑭𝑽 = 𝟎 = −𝑵𝟐
Nudo 1
Regla Práctica 1: Si el esfuerzo en
una barra se acerca al nudo hay
compresión; si se aleja hay tracción
Regla Práctica 2: El sentido de la
flecha en el extremo de cualquier
barra debe cambiarse en el otro
extremo.
Recordamos:
⟹
𝑵𝟏 = −𝟒𝟓𝟎 𝑲𝑵
𝑵𝟐 = 𝟎
grafiquemos la fuerza N1 (compresión)…
N1
z
y
+
A
B
(NOTA: para el planteo de las ecuaciones asumimos
que los esfuerzos de las barras en principio son siempre
de tracción. El signo de la misma definirá si son de
tracción o compresión)

12. 450 KN
450 KN P1
P2
h
a a a
150 KN
N2 = 0 por lo que en el nudo 2 las
únicas incógnitas son N3 y N4.
1
2
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8
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10
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1
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3
4
5
6
7
8
𝑭𝑯 = 𝟎 = 𝟒𝟓𝟎 𝑲𝑵 − 𝑵𝟑 − 𝑵𝟒 ∙ cos 𝟒𝟓°
𝑭𝑽 = 𝟎 = −𝟏𝟓𝟎 𝑲𝑵 + 𝑵𝟒 ∙ sin 𝟒𝟓 °
Nudo 2
Regla Práctica 1: Si el esfuerzo en
una barra se acerca al nudo hay
compresión; si se aleja hay tracción
Regla Práctica 2: El sentido de la
flecha en el extremo de cualquier
barra debe cambiarse en el otro
extremo.
Recordamos:
⟹
𝑵𝟒 = 𝟐𝟏𝟐, 𝟏𝟑 𝑲𝑵
𝑵𝟑 = 𝟑𝟎𝟎 𝑲𝑵
grafiquemos la fuerza N3 (tracción) y … N4
(tracción)
N1
N4
N1 = 450 [KN] y N4 = 212,13 [KN] por lo que en
el nudo 3 las únicas incógnitas son N5 y N6.
Nudo 3
N3
𝑭𝑯 = 𝟎 = −𝟒𝟓𝟎 𝑲𝑵 + 𝟐𝟏𝟐, 𝟏𝟑 𝑲𝑵 ∙ cos 𝟒𝟓° − 𝑵5
𝑭𝑽 = 𝟎 = −𝟐𝟏𝟐, 𝟏𝟑 𝑲𝑵 ∙ sin 𝟒𝟓° − 𝑵𝟔
⟹
𝑵𝟔 = −𝟏𝟓𝟎 𝑲𝑵
𝑵𝟓 = −𝟑𝟎𝟎 𝑲𝑵
grafiquemos la fuerza N5 (compresión) y … N6 (compresión)
N5
N6
z
y
+
A
B

13. 450 KN
450 KN P1
P2
h
a a a
150 KN
N3 = 300 KN y N6 = 150 KN por lo que
en el nudo 4 las únicas incógnitas
son N7 y N8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
𝑭𝑯 = 𝟎 = 𝟑𝟎𝟎 𝑲𝑵 − 𝑵𝟕 − 𝑵𝟖 ∙ cos 𝟒𝟓°
𝑭𝑽 = 𝟎 = −𝟏𝟓𝟎 𝑲𝑵 + 𝑵𝟖 ∙ sin 𝟒𝟓°
Nudo 4
Regla Práctica 1: Si el esfuerzo en
una barra se acerca al nudo hay
compresión; si se aleja hay tracción
Regla Práctica 2: El sentido de la
flecha en el extremo de cualquier
barra debe cambiarse en el otro
extremo.
Recordamos:
⟹
𝑵𝟖 = 𝟐𝟏𝟐, 𝟏𝟑 𝑲𝑵
𝑵𝟕 = 𝟏𝟓𝟎 𝑲𝑵
grafiquemos la fuerza N7 (tracción) y … N8
(tracción)
N1
N4
N5 = 300 [KN] y N8 = 212,13 [KN] por lo que en
el nudo 5 las únicas incógnitas son N9 y N10.
Nudo 5
N3
𝑭𝑯 = 𝟎 = −𝟑𝟎𝟎 𝑲𝑵 + 𝟐𝟏𝟐, 𝟏𝟑 𝑲𝑵 ∙ cos 𝟒𝟓° − 𝑵9
𝑭𝑽 = 𝟎 = −𝟐𝟏𝟐, 𝟏𝟑 𝑲𝑵 ∙ sin 𝟒𝟓° − 𝑵𝟏𝟎
⟹
𝑵𝟗 = −𝟏𝟓𝟎 𝑲𝑵
𝑵𝟏𝟎 = −𝟏𝟓𝟎 𝑲𝑵
grafiquemos la fuerza N9 (compresión) y … N10 (compresión)
N5
N6
N7
N8
N9
N10
z
y
+
A
B

14. 450 KN
450 KN P1
P2
h
a a a
150 KN
N7 = 150 KN y N10 = 150 KN por lo que
en el nudo 6 las únicas incógnitas son
N11 y N12.
1
2
3
4
5
6
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9
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1
2
3
4
5
6
7
8
𝑭𝑯 = 𝟎 = 𝟏𝟓𝟎 𝑲𝑵 − 𝑵𝟏𝟏 − 𝑵𝟏𝟐 ∙ cos 𝟒𝟓°
𝑭𝑽 = 𝟎 = −𝟏𝟓𝟎 𝑲𝑵 + 𝑵𝟏𝟐 ∙ sin 𝟒𝟓°
Nudo 6
Regla Práctica 1: Si el esfuerzo en
una barra se acerca al nudo hay
compresión; si se aleja hay tracción
Regla Práctica 2: El sentido de la
flecha en el extremo de cualquier
barra debe cambiarse en el otro
extremo.
Recordamos:
⟹
𝑵𝟏𝟐 = 𝟐𝟏𝟐, 𝟏𝟑 𝑲𝑵
𝑵𝟏𝟏 = 𝟎 𝑲𝑵
grafiquemos la fuerza N12 (tracción)
N1
N4
N9 = 150 [KN] y N12 = 212,13 [KN] por lo que en
el nudo 7 la única incógnita es N13.
Nudo 7
N3
𝑭𝑯 = 𝟎 = −𝟏𝟓𝟎 𝑲𝑵 + 𝟐𝟏𝟐, 𝟏𝟑 𝑲𝑵 ∙ cos 𝟒𝟓°
𝑭𝑽 = 𝟎 = −𝟐𝟏𝟐, 𝟏𝟑 𝑲𝑵 ∙ sin 𝟒𝟓° + 𝟏𝟎𝟎 [𝑲𝑵] − 𝑵𝟏𝟑
⟹ 𝑵𝟏𝟑 = −𝟓𝟎 𝑲𝑵
grafiquemos la fuerza N13 (compresión)
N5
N6
N7
N8
N9
N10
N12
N13
…por último verifiquemos el equilibrio
del nudo 8
𝑭𝑯 = 𝟎
𝑭𝑽 = 𝟎 = 𝟓𝟎 𝑲𝑵 − 𝟓𝟎 𝑲𝑵
z
y
+
A
B

15. Verifiquemos el equilibrio realizando el
Análisis de Nudos …
450 KN
1
450 KN
450 KN
150
KN
2
300 KN
3
450 KN 300 KN
150
KN
4
300 KN
150
KN
150 KN
6
150 KN
150
KN
5
300 KN
150
KN
150 KN
100
KN
7
150 KN
50
KN
50
KN
8
50
KN
tracción compresión Reacción
de vínculo
Solicitación
externa

16. 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
2. Dibujo del diagrama de Cuerpo
Libre (DCL);
3. Cálculo de las “Reacciones de
Vínculo Externo” (RVE);
4. Dibujo del diagrama de Cuerpo
Libre Equilibrado (DCLE).
Calculemos los esfuerzos de las barras
por el método de Ritter …
1. Estudio de isostaticidad de la
estructura y de la generación
del reticulado;
Al igual que en el caso anterior
calculamos:
P1
P2
h
a a a
450 KN
450 KN
150 KN
…en este caso es de nuestro interés calcular
los esfuerzos de las barras 7, 8 y 5

17. 450 KN
450 KN P1
P2
h
a a a
Calculemos los esfuerzos de las barras
por el método de Ritter …
150 KN
El método consiste en calcular el
esfuerzo de la barra a partir de la
sección del reticulado (que
definiendo una parte derecha y otra
izquierda) corte a la/s barra/s en
cuestión.
Para ello, aplicaremos las condiciones
de equilibrio de momentos a una de
las dos partes del reticulado.
Realizamos el corte por n-n y seleccionamos la parte derecha del reticulado.
1
2
3
4
5
6
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8
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10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
Regla Práctica 1: Si el esfuerzo en una
barra se acerca al nudo hay
compresión; si se aleja hay tracción
Regla Práctica 2: El sentido de la
flecha en el extremo de cualquier
barra debe cambiarse en el otro
extremo.
Recordamos:
n
n
Explicitamos los esfuerzos de las barras 7, 8 y 5 que equilibrarán a la parte derecha del
reticulado.
N8
N7
N5
En principio asumimos que todos los esfuerzos de las barras N7, N8 y N5 son de tracción
(positivos). Si al calcularlos algún valor resulta negativo, el esfuerzo será de compresión y
habrá que cambiar su sentido.

18. 450 KN
450 KN P1
P2
n
n
h
a a a
150 KN
Definimos h = a y h’ = h . sen 45°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
Regla Práctica 1: Si el esfuerzo en una
barra se acerca al nudo hay
compresión; si se aleja hay tracción
Regla Práctica 2: El sentido de la
flecha en el extremo de cualquier
barra debe cambiarse en el otro
extremo.
Recordamos:
N8
N7
N5
h
… y los puntos A, B y C respecto
de los cuales plantearemos las
ecuaciones de equilibrio de
momentos.
A
B
C
h’
𝑴𝑨 = −𝟒𝟓𝟎 𝑲𝑵 − 𝑵𝟓 + 𝑵𝟖 ∙ sin 𝟒𝟓° ∙ 𝒉 = 𝟎
𝑴𝑩 = −𝟒𝟓𝟎 𝑲𝑵 + 𝟐 ∙ 𝑵𝟖∙ sin 𝟒𝟓° + 𝑵𝟕 ∙ 𝒉 = 𝟎
𝑴𝑪 = −𝑵𝟓 − 𝟒𝟓𝟎 𝑲𝑵 + 𝟏𝟓𝟎 𝑲𝑵 ∙ 𝒉 = 𝟎
+
… y resolviendo el sistema:
𝑵𝟕 = 𝟏𝟓𝟎 𝑲𝑵 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑵𝟖 = 𝟐𝟏𝟐, 𝟏𝟑 𝑲𝑵 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑵𝟓 = −𝟑𝟎𝟎 𝑲𝑵 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛
… corregimos en el gráfico
el sentido de N5:
N5

19. Bibliografía
Estabilidad I – Enrique Fliess
Estática y Resistencia de Materiales – César M. Raffo

20. Muchas Gracias