Grafos de exclusividad básicos en correlaciones cuánticas

G RAFOS DE EXCLUSIVIDAD BÁSICOS
EN CORRELACIONES CUÁNTICAS

José Ra. Portillo Fernández
Universidad de Sevilla, España

18 de Octubre de 2013

J OSÉ R A . P ORTILLO

G RAFOS DE EXCLUSIVIDAD BÁSICOS EN CORRELACIONES CUÁNTICAS


con M. K LEINMANN , O. G UHNE , J.A. L ARSSON , A. C ABELLO
Memory cost of quantum contextuality.
New J. Phys 13 (113011), 2011.
con E. A MSELEM , L. E. DANIELSEN , A. J. L ÓPEZ -T ÁRRIDA , M. B OURENNANE ,
A. C ABELLO
Experimental fully contextual correlations.
Physical Review Letters 108 (200405), 2012.
con A. C ABELLO, L. E. DANIELSEN , A. J. L ÓPEZ -T ÁRRIDA
Quantum Social Networks.
J. Phys. A: Math. Theor 45 (285101), 2012.
con A. C ABELLO , L. E. DANIELSEN , A. J. L ÓPEZ -T ÁRRIDA
Basic logical structures in quantum correlations.
Physical Review A 88, (032104) 2013.



R ESUMEN

C ONTEXTUALIDAD CUÁNTICA
Correlaciones cuánticas entre resultados de medidas compatibles no
pueden ser reproducidas mediantes teorías de variables ocultas no
contextuales (NCHV)
D ETECCIÓN EXPERIMENTAL :

DESIGUALDADES NO CONTEXTUALES ( NC )

Violación de desigualdades satisfechas por modelos

NCHV

P ROBLEMAS FUNDAMENTALES
Comprender por qué

QM

sólo viola algunas desigualdades

NC

Identiﬁcar qué previene violaciones mayores a las cuánticas.

¡ RESOLVEMOS USANDO GRAFOS!


L A VERDAD

LA VERDAD



L A VERDAD

¿ QUÉ ES
LA VERDAD ?



L A VERDAD

LA VERDAD
ES UN GRAFO



L A VERDAD

Los vértices
son proposiciones lógicas

Las aristas
unen proposiciones contradictorias



L A VERDAD

¿ CUÁNTA VERDAD HAY
EN UN GRAFO?



VERDAD NCHV



VERDAD P ROBABILÍSTICA



VERDAD CUÁNTICA



D ESIGUALDAD C LAUSER -H ORNE -S HIMONY-H OLT
Desigualdades no contextuales (NC) ⇐⇒
herramientas para identiﬁcar e investigar correlaciones.
Desigualdades NC violadas por QM ⇐⇒
Grafos cuánticos contextuales.

A1 B0 =
A1 B0

− A1 B1

=

A(a , λ)B(b, λ)ρ(λ)dλ
[A(a , λ)B(b, λ) − A(a , λ)B(b , λ)]ρ(λ)dλ =

A(a , λ)B(b, λ)[1 ± A(a, λ)B(b , λ)]ρ(λ)dλ −
| A1 B0

− A1 B1 | ≤

A(a , λ)B(b , λ)[1 ± A(a, λ)B(b, λ)]ρ(λ)dλ

[1 ± A(a, λ)B(b , λ)]ρ(λ)dλ +

[1 ± A(a, λ)B(b, λ)]ρ(λ)dλ,

| A1 B0 − A1 B1 | ≤ 2 ± ( A0 B1 + A0 B0 ) =
⇒
| A1 B0 − A1 B1 + A0 B1 + A0 B0 | ≤ 2

NCHV

β = A0 B0 + A0 B1 + A1 B0 − A1 B1 ≤ 2


G RAFO DE EXCLUSIVIDAD

P(a, b | x, y ) = P(se obtiene a al medir Ai y se obtiene b al medir Bj )
β
± Ai Bj = 2[P(1, ±1 | i, j) + P(−1, 1 | i, j)] − 1 =
⇒ S =
+2=
2
P(1, 1 | 0, 0) + P(−1, −1 | 0, 0) + P(1, 1 | 0, 1) + P(−1, −1 | 0, 1)
NCHV

+P(1, 1 | 1, 0) + P(−1, −1 | 1, 0) + P(1, −1 | 1, 1) + P(−1, 1 | 1, 1) ≤ 3



G RAFO DE EXCLUSIVIDAD
SCHSH = Σx,y ,a,b∈{0,1}s.t.a⊕b=xy P(a, b|x, y ),
(a, b|x, y ) (a , b |x , y ) excluyente ↔
↔ x = x ,a = a o y = y ,b = b .



C LAUSER -H ORNE -S HIMONY-H OLT INEQUALITY



G RAFOS CUÁNTICOS CONTEXTUALES
Desigualdades no contextuales (NC) ⇐⇒
herramientas para identiﬁcar e investigar correlaciones.
Combinaciones lineales de probs. de eventos en una desig. NC
⇐⇒ combinaciones convexas de probabilidades de eventos S
⇐⇒ grafo G(S).
eventos ↔ vértices
eventos excluyentes ↔ aristas.



L A VERDAD

¿ CÓMO SE CALCULA
LA VERDAD CUÁNTICA?



L A VERDAD CUÁNTICA

L ÓGICA CUÁNTICA
Proposiciones = vectores de un espacio de Hilbert de dimensión d > 2.
Proposiciones excluyentes ↔ vectores ortonormales.
G RAFOS CONTEXTUALES : REPRESENTACIONES ORTONORMALES
proposiciones ↔ vectores ↔ vértices
proposiciones excluyentes ↔ vectores ortonormales ↔ aristas
d-contextos completos ↔ bases ortonormales ↔ d-cliques
V ERDAD
En un estado cuántico Ψ, las probabilidades de las proposiciones asociadas
a los vectores {|vi } son

| Ψ|vi |2



VERDAD NCHV

α(G) = 3



VERDAD C UÁNTICA
n

ϑ(G) =

| Ψ|vi |2 = 2 +

max
«

|Ψ|=1,G o.r . {|vi }


√
2

i=1


VERDAD P ROBABILÍSTICA

α∗ (G) = 4




α(G) ≤ ϑ(G) ≤ α∗ (G)

α(G) Número de Independencia
n

ϑ(G) Número de Lovász

|Ψ|=1,G o.r . {|vi }

∗

α (G) Número de Rosenfeld

i=1

m«x
a
i∈clique


| Ψ|vi |2

m«x
a

wi ≤1

wi
i∈V (G),0≤wi ≤1



α(G) ≤ ϑ(G) ≤ α∗ (G)

α(G) Número de Independencia
Cota de Teorías clásicas
ϑ(G) Número de Lovász
Cota de Mecánica Cuántica
α∗ (G) Número de Rosenfeld
Cota de Teorías probabilísticas




α(G) ≤ ϑ(G) ≤ α∗ (G)

Grafos cuánticos contextuales: α < ϑ
Grafos cuánticos totalmente contextuales: α < ϑ = α∗
Grafos cuánticos no contextuales: α = ϑ



R ESULTADOS
GCCs no son grafos perfectos
α(G) ≤ ϑ(G) ≤ α∗ (G) ↔ ω(G) ≤ ϑ(G) ≤ α∗ (G) ≤ χ(G)

QCG

QNCG
PG
G



R ESULTADOS
GCCs tienen como grafos inducidos a agujeros impares (odd holes) o
antiagujeros impares (odd antiholes).



AGUJEROS IMPARES

R ESULTADOS
Los agujeros impares (ciclos con n vértices, n > 3 impar) son GCCs.
π
n cos
n−1
n
α(Cn ) =
< ϑ(Cn ) =
π
2
1 + cos
n
R.O. óptima Lovász de agujeros impares en dimensión 3:




vj | = 




ϑ
n
ϑ
2πj
1 − cos
n
n
ϑ
2πj
1 − sin
n
n












AGUJEROS ANTIIMPARES
R ESULTADOS
Los antiagujeros impares (complementarios de ciclos con n vértices,
n > 3 impar) son GCCs.
π
1 + cos
¯
¯
α(Cn ) = 2 < ϑ(Cn ) =

π

n

cos
n

R.O. óptima Lovász de antiagujeros impares en dimensión 2n + 1
(Knuth, 1993)
R.O. óptima Lovász de antiagujeros impares en dimensión n − 2
(Portillo, 2012):
ϑ
vj,0

=
n
π
2

vj,2m−1

=

cos

+ (−1)m+1 cos

n

j(m+1)
(−1)

(m + 1)π
n

π

j(m + 1)π
cos
n

n cos
n
π
2
vj,2m

=

(−1)

cos

j(m+1)

+ (−1)m+1 cos

n

(m + 1)π
n

π
n cos

j(m + 1)π
sin
n

n



AGUJEROS ANTIIMPARES

R ESULTADOS
Si una estructura cuántica contiene un antiagujero impar de n ≥ 5
vértices, entonces la dimensión cuántica producida por la correlación es,
al menos, 2n/3 .



´
N MERO DE ESTRUCTURAS BÁSICAS INDUCIDAS
EN DESIGUALDADES NC Y DEMOSTRACIONES KS

NC inequality
KS proof
KCBS
CHSH
S3
KCBS-twin
Mermin
KS-18
YO
KS-24
KS-31
KS-33

Vertices
5
8
10
10
16
18
22(13+9)
24
31
33

Dimension
3
4
4
6
8
4
3
4
3
3


C5
1
8
10
12
96
144
288
576
70
72

C7
0
0
0
0
0
108
384
576
184
84

¯
C7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

C9
0
0
0
0
0
12
0
192
248
128

¯
C9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0


N ÚMERO DE GRAFOS CONEXOS CON n VÉRTICES
Tipo / vértices
No isomorfos
Perfectos
Contextuales
No perfectos y
no contextuales
Totalmente context.

5
21
20
1
-

6
112
105
3
4

7
853
724
33
96

8
11117
7805
498
2814

9
261080
126777
16533
117770

10
11716571
3122221
975330
7619020

-

-

-

-

-

4

R ESULTADOS
P(α(G) < ϑ(G))

1 para G de orden arbitrariamente grande.

(a)

(b)

1

1

(c)

1

10

6

2

8

5

6

1

10

3

2
5

(d)
4

2

5

2

9

3

8

4

10
7

9

9

8
4

6

7

8

7
3

4

3


9
7

10

5
6


E N LABORATORIO



E N LABORATORIO

Probabilidad
P(010|012)
P(111|012)
P(01|02)
P(00|03)
P(11|03)
P(00|14)
P(01|25)
P(010|345)
P(111|345)
P(10|35)
Ω

Resultado experimental
0,24091 ± 0,00021
0,30187 ± 0,00020
0,28057 ± 0,00020
0,50375 ± 0,00014
0,47976 ± 0,00014
0,47511 ± 0,00034
0,43765 ± 0,00015
0,24296 ± 0,00051
0,25704 ± 0,00052
0,24751 ± 0,00035
3,4671 ± 0,0010


Experimento ideal
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
3,5


P ROBLEMAS ABIERTOS

Caracterización de grafos contextuales



G RAFOS CONTEXTUALES



P ROBLEMAS ABIERTOS

Caracterización de grafos
totalmente contextuales



G RAFOS CONTEXTUALES

(a)

(b)

1

1

(c)

1

10

6

2

8

5

6

1

10

3

2
5

(d)
4

2

5

2

9

3

8

4

10
7

9

9

8
4

6

7

8

7
3

4

3


9
7

10

5
6


P ROBLEMAS ABIERTOS

Grafos contextuales con simetría



P ROBLEMAS ABIERTOS

Grafos contextuales con simetría
Rango ortogonal de un grafo
(dimensión cuántica)



Gracias



AVISO L EGAL

Ningún gato ha sido maltratado en esta investigación.



R EDES SOCIALES

jazz
Oxford
yoga
sushi
chess
Bach
running

jazz
Oxford
yoga
sushi
chess
Bach
running

jazz
Oxford
yoga
sushi
chess
Bach
running

jazz
Oxford
yoga
sushi
chess
Bach
running

jazz
Oxford
yoga
sushi
chess
Bach
running

jazz
Oxford
yoga
sushi
chess
Bach
running



R EDES SOCIALES



R EDES SOCIALES

D IFERENCIA ENTRE CSN Y GSN
Probabilidad media T de que para un actor Ti = 1.
R EDES S OCIALES C LÁSICAS
T =

ω(G)
número de clique
=
n
número de vértices

=

1
2
=
6
3

=

¯
α(G)
n

R EDES S OCIALES G ENERALES
T =

¯
α∗ (G)
n

=

5/2
5
=
.
6
12

R EDES S OCIALES C UÁNTICAS
1
T =
n

n

¯
ϑ(G)
| Ψ|ψi | =
n
2

i=1

√
=


5
6


R EDES SOCIALES / G RAFOS CONTEXTUALES
R ESULTADOS
Estados cuánticos |Ψ y |ψi en dim. mín. ξ(G) optimizando T .
|Ψ estado inicial de S con máxima ventaja cuántica.



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