Este documento trata sobre polinomios ortogonales estándar, sus propiedades algebraicas y analíticas. Presenta ejemplos de familias de polinomios ortogonales como los polinomios de Jacobi, Laguerre y Hermite. También describe la fórmula de recurrencia a tres términos que satisfacen los polinomios ortogonales estándar.

1. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR .
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS Y A NALÍTICAS
Yamilet Quintana
Departamento de Matemáticas
Universidad Simón Bolívar
X TForMa
Cumaná, 2009

2. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
A NÁLISIS M ATEMÁTICO EN EL SIGLO XIX
P ROPIEDADES A NALÍTICAS

3. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
HECHOS: I D POR TODO EL MUNDO Y PREDICAD LA
ORTOGONALIDAD A TODA CRIATURA
1792
1879
1864
1792
1792
1826
1859
1874
1895
1879
1935
1950
1971
1935
1901
1912
1961

4. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
F INALES DEL SIGLO XX Y SIGLO XXI
Askey
Chihara
Butheel
Koornwinder
Ismail
Marcellán
LópezLagomasino
Saff
1975
1978
1992
1972
1983
1991
1993
1997
Totik
Stahl
1992
Lubinsky
Simon
Mar�nezMartínez
Finkelshtein
Nevai
Van Assche
1992
1997
2001
2005
2004
1979
1993

5. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
A SPECTOS A LGEBRAICOS Y A NALÍTICOS PRESENTES EN LA TPO

6. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
N OTACIÓN
P: el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes reales.
Pn ⊂ P el subespacio de los polinomios de grado a lo sumo n.
Mx : P → P, el operador multiplicación por x, es decir,
Mx (p) = xp, para todo p ∈ P.
D EFINICIÓN
Sea ·, · : P × P → [0, ∞) un producto interno sobre P. Una
sucesión de polinomios {pn }n≥0 se llamará sucesión de polinomios
ortogonales con respecto al producto interno ·, · si satisface
1
2
Para todo n ∈ Z+ se cumple que grad(pn ) = n.
pn , pm = 0 si n = m, y pn , pn = 0

7. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
D EFINICIÓN
Sea ·, · : P × P → [0, ∞) un producto interno sobre P. Diremos que
·, · es un producto interno estándar sobre P, si el operador Mx es
autoadjunto, es decir,
Mx (p), q = xp, q = p, xq = p, Mx (q) , para todo p, q ∈ P.
E JEMPLOS
1
Sea µ una medida de Borel positiva cuyo soporte es un
subconjunto I, no finito, de la recta real y tal que
|x|n dµ(x) < ∞, ∀n ∈ Z+ .
I
p, q
µ
p(x)q(x)dµ(x) es estándar sobre P.
=
I
Adenás podemos construir una única SPOM {Pn }n≥0 tal que
Pn , x k
µ
Pn (x)x k dµ(x) = 0, para k = 0, 1, . . . , n − 1.
=
I

8. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
E JEMPLOS
(α,β)
1 Jacobi: Pn
α, β > −1.
1.1
1.1.1
1.1.2
1.1.3
(x) ⊥ dµ(x) = (1 − x)α (1 + x)β dx, x ∈ [−1, 1],
Gegenbauer (o ultraesféricos): α = β.
Legendre: α = β = 0.
Chebyshev I: α = β = − 1 .
2
1
Chebyshev II: α = β = 2 .
(α)
2 Laguerre: Ln (x) ⊥ dµ(x) = x α e−x dx, x ∈ R+ , α > −1.
2
3 Hermite: Hn (x) ⊥ dµ(x) = e−x dx, x ∈ R.

9. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
E JEMPLOS
(α,β)
1 Jacobi: Pn
α, β > −1.
1.1
1.1.1
1.1.2
1.1.3
(x) ⊥ dµ(x) = (1 − x)α (1 + x)β dx, x ∈ [−1, 1],
Gegenbauer (o ultraesféricos): α = β.
Legendre: α = β = 0.
Chebyshev I: α = β = − 1 .
2
1
Chebyshev II: α = β = 2 .
(α)
2 Laguerre: Ln (x) ⊥ dµ(x) = x α e−x dx, x ∈ R+ , α > −1.
2
3 Hermite: Hn (x) ⊥ dµ(x) = e−x dx, x ∈ R.

10. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
E JEMPLOS
(α,β)
1 Jacobi: Pn
α, β > −1.
1.1
1.1.1
1.1.2
1.1.3
(x) ⊥ dµ(x) = (1 − x)α (1 + x)β dx, x ∈ [−1, 1],
Gegenbauer (o ultraesféricos): α = β.
Legendre: α = β = 0.
Chebyshev I: α = β = − 1 .
2
1
Chebyshev II: α = β = 2 .
(α)
2 Laguerre: Ln (x) ⊥ dµ(x) = x α e−x dx, x ∈ R+ , α > −1.
2
3 Hermite: Hn (x) ⊥ dµ(x) = e−x dx, x ∈ R.

11. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
E JEMPLOS
(α,β)
1 Jacobi: Pn
α, β > −1.
1.1
1.1.1
1.1.2
1.1.3
(x) ⊥ dµ(x) = (1 − x)α (1 + x)β dx, x ∈ [−1, 1],
Gegenbauer (o ultraesféricos): α = β.
Legendre: α = β = 0.
Chebyshev I: α = β = − 1 .
2
1
Chebyshev II: α = β = 2 .
(α)
2 Laguerre: Ln (x) ⊥ dµ(x) = x α e−x dx, x ∈ R+ , α > −1.
2
3 Hermite: Hn (x) ⊥ dµ(x) = e−x dx, x ∈ R.

12. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
E JEMPLOS
(α,β)
1 Jacobi: Pn
α, β > −1.
1.1
1.1.1
1.1.2
1.1.3
(x) ⊥ dµ(x) = (1 − x)α (1 + x)β dx, x ∈ [−1, 1],
Gegenbauer (o ultraesféricos): α = β.
Legendre: α = β = 0.
Chebyshev I: α = β = − 1 .
2
1
Chebyshev II: α = β = 2 .
(α)
2 Laguerre: Ln (x) ⊥ dµ(x) = x α e−x dx, x ∈ R+ , α > −1.
2
3 Hermite: Hn (x) ⊥ dµ(x) = e−x dx, x ∈ R.

13. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
E JEMPLOS
(α,β)
1 Jacobi: Pn
α, β > −1.
1.1
1.1.1
1.1.2
1.1.3
(x) ⊥ dµ(x) = (1 − x)α (1 + x)β dx, x ∈ [−1, 1],
Gegenbauer (o ultraesféricos): α = β.
Legendre: α = β = 0.
Chebyshev I: α = β = − 1 .
2
1
Chebyshev II: α = β = 2 .
(α)
2 Laguerre: Ln (x) ⊥ dµ(x) = x α e−x dx, x ∈ R+ , α > −1.
2
3 Hermite: Hn (x) ⊥ dµ(x) = e−x dx, x ∈ R.

14. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
E JEMPLOS
(α,β)
1 Jacobi: Pn
α, β > −1.
1.1
1.1.1
1.1.2
1.1.3
(x) ⊥ dµ(x) = (1 − x)α (1 + x)β dx, x ∈ [−1, 1],
Gegenbauer (o ultraesféricos): α = β.
Legendre: α = β = 0.
Chebyshev I: α = β = − 1 .
2
1
Chebyshev II: α = β = 2 .
(α)
2 Laguerre: Ln (x) ⊥ dµ(x) = x α e−x dx, x ∈ R+ , α > −1.
2
3 Hermite: Hn (x) ⊥ dµ(x) = e−x dx, x ∈ R.

15. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
E JEMPLOS
1
Producto interno NO estándar sobre Pn : p, q ∈ Pn ,
k
p(x) =
m
ai x
i=0
i
y
bj x j ,
q(x) =
j=0
donde ai , bj ∈ R, (0 ≤ i ≤ k ), (0 ≤ j ≤ m), (0 ≤ k , m ≤ n), y
ak bm = 0.
min(k ,m)
Si p, q = i=0
ai bi , entonces se verifica que
min(k +1,m)
xp, q = i=0
ai bi+1 , mientras que
min(k ,m+1)
p, xq = i=0
ai+1 bi , y estas dos sumas, en general, no
son iguales.

16. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
E JEMPLOS
1
Producto interno NO estándar sobre P: Productos internos de
Sobolev
p, q
S
p(x)q(x)dµ0 (x) +
:=
I0
2
p (x)q (x)dµ1 (x)
I1
Producto interno NO estándar sobre P(C):
p, q :=
1
2πi
p(z)q(z)
T
dz
z

17. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
Fórmula de Recurrencia a tres términos
T EOREMA
Sea {Pn }n≥0 la sucesión estándar de polinomios ortogonales
mónicos respecto a una medida µ. Entonces se verifica la siguiente
relación de recurrencia a tres términos
Pn+1 (x) = (x − λn ) Pn (x) − γn Pn−1 (x),
siempre que n ≥ 0, P−1 = 0, γ0 ∈ R y además,
λn =
γn =
xPn , Pn
, para n ≥ 0 y
Pn 2
Pn 2
= 0, para n ≥ 1.
Pn−1 2
(1)

18. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
D EMOSTRACIÓN
n+1
xPn (x) =
cn,k Pk (x),
cn,k =
k =0
xPn , Pk
.
Pk 2
Como el producto interno es estándar:
xPn , Pk = Pn , xPk ,
y por ortogonalidad: cn,k = 0, para 0 ≤ k < n − 1.
Por otro lado, xPn es mónico ⇒ cn,n+1 = 1. Luego:
xPn (x) = Pn+1 (x) + cn,n Pn (x) + cn,n−1 Pn−1 (x),
n ≥ 1.
Reemplazando n por n − 1, podemos escribir:
xPn−1 (x) = Pn (x) + λn Pn−1 (x) + γn Pn−2 (x),
n ≥ 2,
la cual también es válida para n = 1, si P−1 ≡ 0, λ1 = −P1 (0) y γ1
arbitrario.

19. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
R ECÍPROCO : T EOREMA DE FAVARD
Cualquier sucesión de polinomios mónicos en P que satisfaga una
FR3T con γn real positivo y λn real, es una sucesión estándar de
polinomios ortogonales mónicos respecto a alguna medida µ (no
necesariamente única).

20. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
C ONSECUENCIAS DE LA FR3T: I DENTIDAD DE
C HRISTOFFEL -DARBOUX
Sea {Pn }n≥0 la sucesión estándar de polinomios ortogonales
mónicos respecto a una medida µ. Entonces se verifica:
n
k =0
Pk (x)Pk (t)
Pn+1 (x)Pn (t) − Pn (x)Pn+1 (t)
.
= (γ1 γ2 · · · γn+1 )−1
γ1 γ2 · · · γk +1
x −t

21. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
FR3T EN TÉRMINOS MATRICIALES



P0 (x)
P0 (x)
 P1 (x) 
 P1 (x)






x  P2 (x)  = Jn  P2 (x)



.
.
.
.



.
.
Pn−1 (x)

P ROPIEDADES A NALÍTICAS







 + Pn (x) 




Pn−1 (x)
donde Jn es una matriz tridiagonal

λ0 1 0
 γ1 λ1 1


Jn =  0 γ2 λ2
 .
.
.
.
.
 .
.
.
.
0
0
0
0
0
0
.
.
.




,


1
0
0
1
.
.
.
···
···
···
.
.
.
0
0
0
.
.
.
···
γn−1

λn−1



,


conocida con el nombre de matriz mónica de Jacobi de orden n.

22. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
C ONSECUENCIAS DE LA FR3T: C EROS DE Pn
Si x0 es un cero de Pn , entonces es un autovalor de Jn .
L OCALIZACIÓN DE CEROS
Sea {Pn }n≥0 sucesión estándar de polinomios ortogonales respecto
a una medida µ. Si supp(µ) ⊂ [a, b] entonces los ceros del polinomio
Pn están contenidos en (a, b).
D EMOSTRACIÓN
Supongamos que Pn (x0 ) = 0 y x0 ∈ [a, b]. Entonces
/
x − x0 > 0, ∀x ∈ [a, b], o
x0 − x > 0, ∀x ∈ [a, b].
Pn (x) = (x − x0 )Q(x), con Q ∈ Pn−1 .
Por ortogonalidad: Q, Pn = 0. Por integración:
Q, Pn =
2
Pn (x)
dµ(x) > 0
x − x0

23. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
M EJOR A PROXIMACIÓN POLINOMIAL
C [a, b]
f
IPn

24. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
C ONVERGENCIA DE D ESARROLLOS O RTOGONALES
1
C[a, b]: Funciones continuas en [a, b].
2
w : [a, b] → R función positiva y localmente integrable en [a, b],
tal que
b
f (x)w(x)dx < ∞, ∀f ∈ C[a, b].
a
∞
:= max |f (x)|.
f
f
w
a≤x≤b
f,f .
:=
Tn f : la mejor aproximación de f a Pn en norma
·
∞
·
w.
{pn }n≥0 : sucesión de polinomios ortonormales.
Sn f : la mejor aproximación de f a Pn en norma
n
Sn f =
f , pk
k =0
w
pk

25. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
T EOREMA : C ONVERGENCIA DE D ESARROLLOS O RTOGONALES
Para toda f ∈ C[a, b] se tiene
I)
limn→∞ f − Tn f
II )
limn→∞ f − Tn f
w
= 0.
III )
limn→∞ f − Sn f
w
= 0.
∞
= 0.
D EMOSTRACIÓN
I)
Teorema de Weierstrass.
II )
b
b
2
|f (x) − (Tn f )(x)| w(x)dx ≤ f − Tn f
a
2
∞
w(x)dx.
a
III )
f − Sn f
y por II) limn→∞ f − Tn f
w
w
≤ f − Tn f
= 0.
w,

26. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
C ONVERGENCIA PUNTUAL DE DESARROLLOS ORTOGONALES
Si los valores de los polinomios pn permanecen acotados en un
cierto punto x0 ∈ [a, b], f ∈ C[a, b] y f satisface en x0 la condición de
Lipschitz
|f (x0 ) − f (x)| ≤ α|x0 − x|,
entonces
∞
f (x0 ) =
f , pn
n=0
w pn (x0 )

27. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
C ONVERGENCIA EN Lp (−1, 1) Y Lp (a, b). L OS RESULTADOS DE
w
P OLLARD Y M C G REGOR
∞
f ∼
an Pn ,
n=0
donde
1
an =
f (x)Pn (x)w(x)dx.
−1
f ∈ Lp (−1, 1) ⇔
w
1
|f (x)|p w(x)dx < ∞
−1
¿Para qué valores de p se satisface
p
lim |f (x) − (Sn f )(x)| w(x)dx = 0?
n→∞
Respuesta de Pollard (1947-1949):
4 max
α+1 β+1
,
2α + 3 2β + 3
< p < 4 min
α+1 β+1
,
2α + 1 2β + 1
.

28. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
R EFERENCIAS
1
2
3
4
5
R. Askey, Orthogonal Polynomials and Special Functions,
Regional Conference Series in Applied Mathematics. SIAM, J.
W. Arrowsmith Ltd., Bristol 3, England, 1975.
T. S. Chihara, An Introduction to Orthogonal Polynomials,
Gordon and Breach, Science Publishers, Inc. New York, 1978.
G. Freud, Orthogonal Polynomials, Pergamon Press, 1971.
˝
U. Grenander y G. Szego, Toeplitz Forms and their Applications,
University of California Press, Berkeley 1958, Chelsea, New
York, 2nd edition, 1984.
M. E. H. Ismail, Classical and Quantum Orthogonal Polynomials
in one variable, Encyclopedia of Mathematics and its
Applications Vol 98, Cambridge University Press, Cambridge
(2005).

29. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
R EFERENCIAS
1
L. Miranian, On classical orthogonal polynomials and differential
operators. J. Phys. A: Math. Gen. 38 (2005), 6379–6383.
2
G. López Lagomasino y H. Pijeira, Polinomios Ortogonales, XIV
Escuela Venezolana de Matemáticas, Mérida, Venezuela, 2001.
3
B. Simon, Orthogonal Polynomials on the unit circle. Part 1:
Classical Theory, Amer. Math. Soc., Colloq. Publ. Series vol 54,
Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005.
4
B. Simon, Orthogonal Polynomials on the unit circle. Part 2:
Spectral Theory, Amer. Math. Soc., Colloq. Publ. Series vol 54,
Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005.
˝
G. Szego, Orthogonal Polynomials, Colloq. Publ. Amer. Math.
Soc. Vol 23, (4th ed.), Amer. Math. Soc. Providence, RI, 1975.
5

30. I NTRODUCCIÓN
P OLINOMIOS O RTOGONALES E STÁNDAR
P ROPIEDADES A LGEBRAICAS
P ROPIEDADES A NALÍTICAS
“Toda ciencia exacta está dominada por la idea de la aproximación”
Betrand Russell.
Gracias por su atención!