1. How to cook
a quantum computer
A. Cabello, L. Danielsen, A. López Tarrida, P. Moreno,
J. R. Portillo
University of Seville, Spain
University of Bergen, Norway
ACCOTA
Playa del Carmen, Mexico. November 2010
30/01/15 03:37 AM

2. How to cook
a quantum graph state
A. Cabello, L. Danielsen, A. López Tarrida, P. Moreno,
J. R. Portillo
University of Seville, Spain
University of Bergen, Norway
ACCOTA
Playa del Carmen, Mexico. November 2010
30/01/15 03:37 AM

3. Optimal preparation
of quantum graph states
A. Cabello, L. Danielsen, A. López Tarrida, P. Moreno,
J. R. Portillo
University of Seville, Spain
University of Bergen, Norway
ACCOTA
Playa del Carmen, Mexico. November 2010
30/01/15 03:37 AM

4. Some ideas
Bit vs. qubit

5. Some ideas
Bit vs. qubit
Quantum states: superposition and entaglement
Stabilizer states
graph states

6. Some ideas
Bit vs. qubit
Quantum states: superposition and entaglement
Stabilizer states
graph states ← Oh! Graph TheoryOh! Graph Theory

7. Some ideas
Bit vs. qubit
Entaglement measures
Representative graph state
Quantum computers are made with graph states, but are unstable
Quantum states: superposition and entaglement
Stabilizer states
graph states ← Oh! Graph TheoryOh! Graph Theory

8. Bit
0 and 1 (on/off, true/false, yes/no).

9. Qubit
2-dimensional quantum physic system,
Hilbert space isomorphic to C2
.
Schumacher, 1995
½ spin particle.
E.g.,
Photon polarization.
Two relevant states physic system.
…
∣0〉 ∣1〉BASIC STATE VECTORS

10. Qubit
PHYSICS MATHEMATICS
1
0=:∣0〉∈C2
0
1=:∣1〉∈C2
Η isomorphic to C
2
1
0=:∣0〉∈C2
0
1=:∣1〉∈C2

11. Quantum Mechanics: superpositions
If it is posible and
then

IRL
Photons:
Atoms:

laser


12. Qubit
∣ψ 〉=α∣0〉β∣1〉∈C2
qubit INFINITE PURE STATES:
Lineal superposition (coherent) of basic states:
BLOCH's sphere
∣ψ 〉=cos
θ
2
∣0 〉eiφ
sen
θ
2
∣1〉
Or:
∣α∣
2
∣β∣
2
=1

13. Comp. SYSTEMS
ENTAGLEMENT STATES:
PRODUCT STATES:
PHYSCIS MATHEMATICS
1
0⊗
1
0=:∣00〉∈C2
⊗ C2
0
1⊗
0
1 =:∣11〉∈C2
⊗ C2
1
0⊗
1
0
0
1⊗
0
1 =:∣00〉∣11〉∈C2
⊗ C2
H1 ⊗ H2

14. Classification of states by entaglement
Entagled states CANNOT be preparated with local dispositives.
much stronger correlated than all possible classic systems.
Quantum Mechanics => ENTAGLEMENTS
Theory / Applications
Pure state of a multipartite quantum system is ENTAGLED
if it is NOT a product of states .

15. Classification of states by entaglement
CRITERIA (pure states, multipartites)
∣ψ 〉 ≡LOCC ∣φ 〉⇔∣ψ 〉≡LU∣φ 〉∣ψ〉 ≡LOCC ∣φ 〉
Infinite classes, (bipartites too).
Equivalent entaglement:
∣ψ〉 ≡SLOCC ∣φ 〉 ∣ψ 〉≡LU∣φ 〉⇒∣ψ 〉 ≡SLOCC ∣φ 〉
Infinite classes, (three parts or more).
Equivalent entaglement:
W. Dür, G. Vidal and J. I. Cirac, Phys. Rev. A 62, 062314 (2000).
F. Verstraete et al., Phys. Rev. A 65, 052112 (2002).

16. n>3 qubits: INFINITE amount
of different, INEQUIVALENT
classes of ENTAGLED STATES
Subsets of states:
Graph states
Classification of states by entaglement

17. Stabilizer states
n-qubits stabilizer state:
Simultaneous by n independent operators of Pauli group of order n
∣ψ〉 ∣S〉
Stabilizer state by an operator A if :
A∣φ〉=∣φ〉

18. Pauli group. Stabilizer state
N-QUBITS STABILIZER STATE
M j∣S 〉=∣S 〉
M j=α j M1
 j 
⊗⋯⊗ Mn
 j 
, α j=±1, j=1,, n.
M=α M M1 ⊗⋯⊗ Mn
Mi ∈{σ0 , σx , σy ,σ z }
α M =±1,±i
PAULI GROUP
σ0=Ι=
1 0
0 1 
σX=X=
0 1
1 0 
σY =Y =
0 i
−i 0 
σZ =Z=
1 0
0 −1 
PAULI MATRICES

19. ∣ψ〉
graph state
An n-qubits graph state is a special kind of stabilizer state.
∣S〉 ∣G〉

20. graph state
An n-qubits graph state is
a pure quantum state asociated to a simple connected graph G(V,E).
Each vertex represents a qubit and each edge a qubits entaglement

21. graph state? Definition
∣G〉 Only state satisfying:
GV ,E 
gi∣G 〉=∣G 〉, i=1,...,n
gi :=Xi
⊗i , j ∈E Z j 
Generator operator
S=〈g1 ,..., gn〉={s j }j=1
2n
stabilizer
V={1,...,n}
E⊂V ×V

22. graph state
An n-qubits graph state is
a pure quantum state asociated to a simple connected graph G(V,E).
Each vertex represents a qubit and each edge a qubits entaglement

23. graph state
An n-qubits graph state is
a pure quantum state asociated to a simple connected graph G(V,E).
Each vertex represents a qubit and each edge a qubits entaglement
Applications:
Quantum computation based on measures (cluster states)
Quantum correction of errors
Secret sharing protocols
Proof of Bell's Theorem (e.g.; all-versus-nothing)
Reduction of communication complexity
Teletransportation...
Theory of entaglement.

24. graph states in REAL LIFE (lab)?
6-qubits 4-photons graph states
Now, we can:
8-qubits 4-photons graph states
10-qubits 5-photons graph states
n-qubits n-photons graph states up to n = 6.

25. graph state? Constructive definition
GV ,E ∣G〉
STEP 1
∣〉=
1
2
∣0 〉∣1〉
Asociate each vertex with a qubit in the state:

26. What is a graph state? CONSTRUCTIVE .
GV ,E ∣G〉
C Z=∣00〉 〈 00∣∣01〉 〈 01∣∣10〉 〈10∣−∣11〉 〈11∣=

1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 1 0
0 1 0 −1
≡
STEP 2
Apply, for each edge, controlled-Z to the qbits:

27. What is a graph state? CONSTRUCTIVE .
GV ,E ∣G〉
1 2
3 4
∣〉1
∣〉2
∣〉3
∣〉4
∣G〉

28. Graph states equivalence
LU (local unitary) equivalence:
∣Φ 〉≡LU∣Ψ 〉⇔∃U=U1 ⊗⋯⊗ Un ∣Φ 〉=U∣Ψ 〉
Graph states “are entaglement-equivalent” iff are LU-
equivalent.
LC (local Clifford) equivalence:
∣Φ 〉≡LC∣Ψ 〉⇔∃C=C1 ⊗⋯⊗ Cn,Ci ∈〈H,S〉∣Φ 〉=C∣Ψ 〉
∣Φ 〉≡LU∣Ψ 〉⇔∣Φ 〉≡LC∣Ψ 〉
conjecture LU LC: H=
1
2 1 1
1 −1,S=
1 0
0 i 

29. Graph states equivalence
∣Φ 〉≡LU∣Ψ 〉⇔∣Φ 〉≡LC∣Ψ 〉
Conjecture LU LC:
FALSE
Z. Ji, J. Chen, Z. Wei y M. Ying; arXiv: 0709.1266
But…
True for small n. Small known counterexamples: 27
qubits. Probably inferior limit.
Z. Ji, J. Chen, Z. Wei y M. Ying; arXiv: 0709.1266
True for some classes of graph states.
M. Van den Nest et al., Phys. Rev. A 71, 062323 (2005)
B. Zeng et al., Phys. Rev. A 75, 032325 (2007)

30. LC equivalence and local complementation
Theorem (M. Van den Nest et al., Phys. Rev. A 69 022316 (2004)):
∣G〉≡LC∣G
'
〉 There exists a sequence of local
complementation operator that maps
graph G into graph G’.
∣G
'
〉
G G
'
≡LC
LC LC LC LC
∣G〉

31. LC equivalence and local complementation
j λ  j
Theorem (M. Van den Nest et al., Phys. Rev. A 69 022316 (2004)):
∣G〉≡LC∣G'
〉 There exists a sequence of local
complementation operator that maps graph G
into graph G’.

32. ÓRBIT (LC class)
LC equivalence and local complementation. Orbit.
LC equivalence class. ORBIT:
REPRESENTANTIVE?

33. ORBIT
LC equivalence and local complementation. Orbit.
LC equivalence class = orbit:
#Orbit: 802 non isomorph
graphs

34. Entaglements in Graph states. Classification
n<8:
M. Hein, J. Eisert y H. J. Briegel
Phys. Rev. A 69, 062311 (2004).
n=8:
A. Cabello, A. J. López-Tarrida, P. Moreno y J. R. Portillo
Phys. Lett. A 373, 2219 (2009).
45 classes for graphs up to 7 vertices
101 classes for 8 vertices graphs.
# orbits for n vertices:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1 1 2 4 11 26 101 440 3,132 40,457 1,274,068
Classification and propierties:
n<=12:
A. Cabello, L.E. Danielsen, A. J. López-Tarrida, P. Moreno y J. R. Portillo
Submitted (2010).

35. Entaglements in Graph states. Classification
n<8:

36. Entaglements in Graph states. Classification.
n<8
:
CLASS ORDER CRITERIA
Minimum number of controlled-Z gates for its
preparation.
Schmidt measure for the 8-partite split.
Rank index (Schmidt ranks for all bipartite
splits).
LC INVARIANT

37. Sort criteria n<9 (our previous work)
Minimum number of controlled-Z gates for preparation.
For each class, a representative with
minimum # edges AND minimum chromatic index
Both minimums ever are in the same representative (n<9)
EXPERIMENTAL corresponds to:
• Minimum # controlled-Z gates .
• Minimum preparation deepth (time units).

38. Sort criteria n<9 (our previous work)
Schmidt measure of n-partite split.
It shows the entaglement degree of a multipartite quantum system.
∣ψ 〉∈H
1
⊗⋯⊗ H
N 
∣ψ 〉=∑
i=1
R
ξ i∣ψi
1
〉 ⊗ ⋯⊗∣ψi
N 
〉
ξi ∈C ,i=1,,R
∣ψi
 j 
〉∈H
 j 
, j=1,, N
ES ∣ψ 〉=log2r
SCHMIDT MEASURE
r is the minimum # R of term in the SUM,
in all the lineal decompositions in product states.

39. Sort criteria
SCHMIDT RANKS
Rank index (Schmidt rank of all bipartite splits).
∣ψ 〉∈HA
⊗ H B
∣ψ 〉=∑
i=1
R
ξ i∣ψi
 A
〉⊗∣ψi
B
〉
ξi ∈C ,i=1,,R
∣ψi
 j 
〉∈H
 j 
, j=A, B
r=Rmín=SRAG
RI p=ν p
p
,, ν1
p
=[ν j
p
]j=p
1
ν j
p
≡# SRAG= j , with ∣A∣=p.
RANK INDEX

40. Schmidt measure bounds
MAXIMUM SCHMIDT RANK
SRmáx G≤ES∣G〉≤PPG≤VCG
PAULI PERSISTENCE
MINIMAL VERTEX COVER

41. Graph states entaglement. Classifition
n<7:
3≤ES≤4;RI3=28,7,0;RI2=21,0
NO DISTINCTION
NO EQUIVALENT CLASS!
ATTENTION:
PROBLEM!!!!

42. Graph states entaglements. Clasification
n=8:

43. Entrelazamiento en Graph states. Clasificación
NO DISTINCTION
NO EQUIVALENT CLASS!
ATTENTION:
PROBLEM!!!!
Solved (n<9) in
Phys. Rev. 80 012102 (2009).
4 invariants are enough!

44. Sort criteria n<13
Minimum number of controlled-Z gates for preparation.
For each class, a representative with
minimum # edges OR minimum chromatic index
Both minimums NOT ever are in the same representative (n>9)
EXPERIMENTAL corresponds to:
• Minimum # controlled-Z gates .
• Minimum preparation deepth (time units).
n Download Size
8 entanglement8 101 graphs
9 entanglement9 440 graphs
10 entanglement10 3132 graphs (509 KB)
11 entanglement11.bz2 40,457 graphs (1.2 MB compressed)
12 entanglement12.bz2 1,274,068 graphs (45 MB compressed)

45. Graph states entaglements. Clasification
n<13:
* No.: Number of the equivalence class.
* |LC|: Number of nonisomorphic graphs in the class.
* |V|: Number of vertices.
* (|E|, χ', #): |E| is the minimum number of edges in the class. χ' is the
minimum chromatic index of the graphs with |E| edges. # is the number of
nonisomorphic graphs with |E| edges and chromatic index χ'.
* (χ', |E|, #): χ' is the minimum chromatic index in the class. |E| is the
minimum number of edges of the graphs with chromatic index χ'. # is the
number of nonisomorphic graphs with chromatic index χ' and |E| edges.
* ES: Schmidt measure.
* RIi: (for n/2 ≥ i ≥ 2): Rank index for bipartite splits with i,n-i vertices.
* C-M: (for 0 ≤ i ≤ x) Cardinality-multiplicities. Value i is the multiplicity of
the cardinality i. Only the multiplicities of cardinalities 0 to x are listed,
* 2-col: Does the class contain a two-colorable graph?
* A representive graph from the class with minimum number of edges.
* A representive graph from the class with minimum chromatic index.

46. Cooking graph states
A few invariants for 9<=n<=12
n #orbits #problems prob. p
9 440 2 0,0012218
10 3132 8 0,0006996
11 40457 78 0,0011929
12 1274068 472 0,0000949
∣G〉 G
0163,154,38,40 LC class #54
We calculate invariants and identify LC class:
0163,154,38,40
4 invariants for n<=8

47. Cooking graph states
If we need prepare a GRAPH STATE
∣G〉 G
0163,154,38,40 LC-class 54
∣G
'
〉
G
'
LC LC LC LC
∣G〉
G
We calculate invariants and identify LC class:
We preparate the BEST representative and we do LC transformation*
findOPTIMAL.c

48. Cooking graph states
If we need prepare a GRAPH STATE

49. CONCLUSIONS
Extended up to 12 qubits graph states entaglement classification.
Best (in the sense of
minimum time preparation and/or
minimum work)
representative of each new 1300000+ LC equivalence class.
An (almost) complete sort criteria
and new invariants for labeling class.
Help to new proofs (AVN type) of Bell's theorem.
Research of non-locality.

50. CONCLUSIONS
Procedure for the optimal preparation
of 1.65 × 101.65 × 101111
graph states with up to 12 qubits
Procedure for the optimal preparation
of 1.65 × 101.65 × 101111
graph states with up to 12 qubits
OPTIMAL:
minimum number of entangling gates
minimum number of time steps
OPTIMAL:
minimum number of entangling gates
minimum number of time steps
•Main goal:Main goal: to provide in a single package all the
tools needed to rapidly identify the entanglement class
the target state belongs to, and then easily find the
corresponding optimal circuit(s) of entangling gates, and
finally the explicit additional one-qubit gates needed to
prepare the target
•Main goal:Main goal: to provide in a single package all the
tools needed to rapidly identify the entanglement class
the target state belongs to, and then easily find the
corresponding optimal circuit(s) of entangling gates, and
finally the explicit additional one-qubit gates needed to
prepare the target

51. PUBLISHED
Arxiv: http://arxiv.org/abs/1011.5464
Nov 24, 2010
Arxiv: http://arxiv.org/abs/1011.5464
Nov 24, 2010
has been submitted to Physical Review A
Nov 25, 2010
has been submitted to Physical Review A
Nov 25, 2010

52. Thanks for your attention!
¡Gracias por escucharme!

53. Entrelazamiento en Graph states. Clasificación
CONCLUSIÓN: NO podemos utilizar los invariantes propuestos
por Hein et al. para decidir inequívocamente a qué clase de
entrelazamiento pertenece un graph state dado.
NUEVO PROBLEMA: debemos buscar un conjunto de invariantes
que permita etiquetar de manera unívoca las clases de
equivalencia de entrelazamiento, discriminando sin ambigüedad
entre ellas.

54. Invariantes de Van den Nest-Dehaene-De Moor
Teorema (M. Van den Nest et al., Phys. Rev. A 72 014307 (2005) ):
Sea un estado de estabilizador de n qubits correspondiente a un estabilizador . Sea
, y considérense subconjuntos , para cada .
Denótese , y sea el conjunto consistente en todas las
tuplas que satisfacen:
supp , supp .
Entonces:
(1) es LC-invariante.
(2) La clase de equivalencia LC del estado queda completamente determinada por los
valores de todos los invariantes , es decir, aquéllos en que .

55. Invariantes de Van den Nest-Dehaene-De Moor
Sobre los invariantes NDM (I):
Τn,r

∣ψ 〉
Conjuntos cuyos elementos son tuplas de operadores del
estabilizador del estado, tales que sus soportes cumplen
una serie de condiciones.
∣Τn,r

∣ψ 〉∣
Cardinales de los conjuntos. Son invariantes LC.
λ  i ⇒
Y
 i 
↦ Z
 i 
, Z
 i 
↦ − Y
 i 
X  j 
↦ −Y  j 
, Y  j 
↦ X  j 
; j ∈ N  i 
¿ {¿} ¿ {}¿
∣Τn, n

∣ψ 〉∣
Hay jerarquías o familias de invariantes NDM,
caracterizadas por el valor del parámetro r. La familia con
r = n es la que caracteriza y determina cada clase de
equivalencia de cualquier estado de estabilizador.

56. n=72,18×1036
inv
n=81,88×10
53
inv
Invariantes de Van den Nest-Dehaene-De Moor
Sobre los invariantes NDM (II):
El número de invariantes NDM crece muy rápidamente
con r, n.∣Τn,r

∣ψ 〉∣
¿ número de∣Τn ,n

∣ψ 〉∣
n=3,r=18 inv
n=3 ,r=2 288 inv
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
n=8 ,r=1256 inv
n=8,r=2 8421376 inv
M∑
r=2
n
C
'
M ,r C
'
 M , P
M=2
n
, P=
r
2
¡¡NO
CALCULADOS
EXPLÍCITAMENT

57. Invariantes de Van den Nest-Dehaene-De Moor
Sobre los invariantes NDM (III):
NDM creen que su conjunto de invariantes
puede ser mejorado u optimizado, si no
para todos los estados de estabilizador, sí
al menos para algunas clases
interesantes de ellos.
Invariantes de Van den Nest-Dehaene-De Moor.
Sobre los invariantes NDM (II):
El número de invariantes NDM crece muy rápidamente
con r, n.
NDM afirman que probablemente con
menos invariantes se pueda reconocer
la equivalencia LC, y que quizá existan
listas de invariantes que exhiban menos
redundancias.

58. Formulación del problema
Nuestro problema:
Invariantes de Van den Nest-Dehaene-De Moor.
Sobre los invariantes NDM (II):
El número de invariantes NDM crece muy rápidamente
con r, n.
¿Qué ocurre si nos limitamos a Graph states de hasta n = 8
qubits, y utilizamos invariantes NDM partiendo de las familias con
parámetro r más pequeño?
¿A partir de qué valor de r lograríamos la caracterización unívoca
de las 146 clases de equivalencia LC correspondientes?

59. Invariantes NDM, familia r = 1
Si r = 1:
=ω1⇒Τn,1

∣ψ 〉=[ω1]
∣Τn,1

∣ψ 〉∣=Aω1
∣ψ 〉
ω1≡¿
¿
un soporte dado
[ω 1 ]≡¿
¿
clase de equivalencia asociada al soporte (engloba a
los operadores de estabilización que tienen el mismo soporte)
Aω1
∣ψ 〉≡¿
¿
cardinal de la clase de equivalencia asociada al
soporte

60. Clases de equivalencia de soportes y cardinalidad
∣LC3〉
321
11 12 13
Y1Y2 Z3
X112 X3
Z1Y 2Y3
−Y1 X2Y3
X1Z2 13 s1
Z1 X2 Z3 s2
11 Z2 X3
s3
s4
s5
s6
s7
s8
ω2={1,2,3}
ω3={2,3}
ω1={1,2}
ω4={∅}
ω5={1,2,3}
ω7={1,2,3}
ω8={1,2,3}
ω6={1,3}
∣ω1∣=2
∣ω2∣=3
∣ω3∣=2
∣ω4∣=0
∣ω5∣=3
∣ω6∣=2
∣ω7∣=3
∣ω8∣=3

61. Primera respuesta al problema
Nuestra primera respuesta problema:
¿Qué ocurre si nos limitamos a Graph states de hasta n = 8
qubits, y utilizamos invariantes NDM partiendo de las familias con
parámetro r más pequeño?
¿A partir de qué valor de r lograríamos la caracterización unívoca
de las 146 clases de equivalencia LC correspondientes?
∣Τn,r=1

∣ψ 〉∣
SUFICIENTE CON r = 1
A. Cabello, A. J. López-Tarrida, P. Moreno y J. R. Portillo
Phys. Rev. A 80, 012102 (2009).

62. Conjunto compacto de invariantes LC
Número de invariantes NDM con r = 1:
Coincide con el número de posibles soportes
para un graph state de n qubits.
∣Τn,r=1

∣ψ 〉∣ 2n
A partir de n = 3 el número de invariantes NDN (r = 1) de una
clase LC es demasiado grande para ser práctico. Una tabla
con los invariantes citados, hasta n = 8, tendría 30060 valores.
COMPRIMIR LA INFORMACIÓN EN MENOS INVARIANTES LC

63. Conjunto compacto de invariantes LC
Criterios para construir nuevos invariantes LC:
(por orden de prioridad)
Que sean invariantes LC (obviamente).
Que discriminen inequívocamente entre clases de
equivalencia LC no equivalentes.
Fácilmente legibles.
CANDIDATA: LA DISTRIBUCIÓN DE PESOS.
(comentario de NDM)
1
2
3

64. 2
Distribución de pesos como invariante LC
Ad ∣ψ 〉= ∑
ω ,∣ω∣=d
Aω ∣ψ 〉
DEFINICIÓN
Número de operadores del
estabilizador con peso d
W∣ψ 〉={Ad ∣ψ 〉}d=0
n
DISTRIBUCIÓN DE PESOS

65. Conjunto compacto de invariantes LC
Criterios para construir nuevos invariantes LC:
(por orden de prioridad)
Que sean invariantes LC (obviamente).
Que discriminen inequívocamente entre clases de
equivalencia LC no equivalentes.
Fácilmente legibles.
NUEVO ENFOQUE: LA EQUIPOTENCIA.
1
2
3

66. Clases de equivalencia equipotentes
Definición de equipotencia:
[ω1]≡[ω2]⇔ Aω1
∣ψ 〉=Aω
2
∣ψ 〉
indep ∣ω1∣,∣ω 2∣
El número de clases [ω] equipotentes
para un cardinal Aω es un invariante LC.
MULTIPLICIDAD O POTENCIA DE Aω
M Aω 

67. Conjunto compacto de invariantes LC. Solución
Nuevos invariantes:
Aω M  Aω
Notación compacta basada en dos índices,
un valor cardinal Aω y su multiplicidad
Μ(Αω).
1
2
3

68. Conjunto compacto de invariantes LC. Ejemplo
Aω M  Aω∣LC3〉
321
M Aω 
M 0=3.
M 1=4 .
M 4=1.
03,14,41

69. Conjunto compacto de invariantes LC. Resultados

70. Conjunto compacto de invariantes LC. Resultados
Hemos comprobado que basta con cuatro
invariantes cardinal-multiplicidad para
caracterizar y distinguir cualquier clase de
equivalencia LC hasta n = 8.
0M 0,1M 1,3M 3,4M 4
A. Cabello, A. J. López-Tarrida, P. Moreno y J. R.
Portillo
Phys. Rev. A 80, 012102 (2009).
Por tanto, podemos decidir a qué clase de
equivalencia LC pertenece cualquier graph
state de hasta 8 qubits calculando de manera
intrínseca (es decir, sin generar la clase LC
completa) esos cuatro invariantes cardinal-
multiplicidad.

71. Conclusiones: importancia práctica
Necesitamos preparar un graph state concreto:
∣G〉 G
0163,154,38,40 Clase LC-54
∣G
'
〉
G
'
LC LC LC LC
∣G〉
G
Calculamos los invariantes del grafo e identificamos la clase LC:
Preparamos el representante óptimo (y aplicamos sucesivas LCs) :

72. Conclusiones: caracterización de Graph states
Para decidir a qué clase de entrelazamiento pertenece un graph
state de hasta 8 qubits basta con calcular cuatro cantidades
invariantes LC (las multiplicidades de ciertos cardinales asociados a
los soportes del grafo correspondiente).
En lo referente a los fundamentos:
Con este resultado resolvemos el problema de discriminación
entre clases de equivalencia LC surgido en la clasificación de los
Graph states.
Se puede aplicar la misma estrategia para generar un conjunto
compacto de invariantes LC que discriminen entre clases, para
valores de n más altos. Numéricamente factible hasta n = 12, más
allá de la capacidad actual de preparación.
El resultado responde a la conjetura de V. den Nest – Dehaene - De
Moor sobre la posibilidad de caracterizar subclases especiales de
estados de estabilizador con subfamilias de invariantes NDM.