Geometria geo gebra_m

ENSEÑANZA DE LAS
MATEMÁTICAS EN
ENTORNOS INFORMÁTICOS
____________

Geogebra

Módulo optativo del Plan de Estudios de Maestro

Curso 2009-10

Profesor: Ángel Gutiérrez.

Universitat de València. Departamento de Didáctica de la Matemática

GEOGEBRA

Geogebra es un programa de ordenador cuyo objetivo principal es la simulación de la
Geometría Euclídea, del Álgebra y del Análisis Matemático (o Cálculo) presentes en los currícula
de las enseñanzas Primaria y Secundaria de casi todos los países. La palabra GEOGEBRA es un
anagrama de “GEOmetría y álGEBRA”. Geogebra es una herramienta de construcción de figuras
geométricas basada en la metáfora del dibujo en papel con regla y compás, pues la mayor parte de
las construcciones básicas se pueden hacer de la misma manera como se harían con una regla y un
compás reales, salvando las diferencias entre estos instrumentos y la pantalla de un ordenador con
sus menús y el ratón. Además, este programa es capaz de manejar coordenadas cartesianas y de
representar ecuaciones y funciones de diversos tipos de curvas planas, aunque esto último no entra
en los objetivos de este curso.

Geogebra pertenece a un tipo de programas de ordenador educativos denominados “software
de geometría dinámica” (SGD). La principal característica del SGD es su dinamismo: Poseen la
característica de mantener las propiedades matemáticas de una figura cuando, con la ayuda del
ratón, desplazamos sobre la pantalla los objetos (puntos, rectas, etc.) sobre los que hemos creado la
figura. Así, es posible recorrer de manera instantánea una infinidad de posiciones y configuraciones
diferentes de una figura geométrica, logrando una visión dinámica de esa figura mucho más rica,
interesante y atractiva que la obtenida en el contexto tradicional de la pizarra o el papel. Estos
programas permiten crear entornos informáticos (micromundos) dinámicos para el aprendizaje de la
geometría euclídea plana. Existen numerosos programas del tipo SGD, algunos comerciales (Cabri,
Geometers’ Sketchpad, Cindrella, ...) y otros gratuitos (Geogebra, Regla y Compás, CaRMetal, ...);
una búsqueda en internet permite encontrar fácilmente la mayoría de ellos.

Las siguientes páginas de este documento contienen una secuencia de actividades y problemas
dividida en tres temas: (CONS) Problemas de construcción de figuras geométricas. (DEMO)
Problemas de conjetura y demostración. (ENS) Actividades de diseño de unidades de enseñanza.
Tales actividades y problemas son parcialmente de tipo matemático y parcialmente de tipo
didáctico, pues este tema pretende enseñar a utilizar el programa Geogebra y, al mismo tiempo,
mostrar algunos ejemplos de posibles usos del mismo en las clases de matemáticas de Primaria. En
las clases trabajaremos en parte de las actividades y problemas, siendo el resto complementarios
para resolver fuera de clase.

Geogebra es un programa gratuito. Tanto la última versión del programa como la guía del
usuario pueden descargarse de la página web oficial del programa <www.geogebra.org>. En esta
página pueden encontrarse, además, multitud de archivos creados por profesores para sus clases de
matemáticas.

En los ordenadores de la universidad está instalada la versión 3.0 (beta). No se garantiza la
compatibilidad total de los archivos creados con versiones diferentes de Geogebra, por lo que
recomiendo utilizar en los ordenadores personales la misma versión que en los de la universidad.

A. Gutiérrez. Enseñanza de las Matemáticas en Entornos Informáticos. 2009-10. 2

Referencias.

Publicaciones.

Arriero, C.; García, I. (2000): Descubrir la geometría del entorno con Cabri. (MECD y Narcea:
Madrid).
Castellsaguer, J. (2005): Geometria amb Cabri-Géomètre. Descargable en
<jasper.xtec.net:7451/cdweb/dades/actu/actual_matform/materials/td53/index.htm>
Edwards, J.A.; Jones, K. (2006): Linking geometry and algebra with GeoGebra, Mathematics
Teaching vol. 194, pp. 28-30.
Hill, S.A. (1983): The microcomputer in the instructional program, Arithmetic Teacher vol. 30.6,
pp. 14-15 y 54-55.
Hohenwarter, M. (2004): Bidirectional Dynamic Geometry and Algebra with GeoGebra. Texto
presentado en la II YERME Summer School, descargable en
<www.pedf.cuni.cz/kmdm/yerme/clanky_ucast/Hohenwarter.pdf>
Keyton, M (1996): 92 Geometric Explorations on the TI - 92. (Texas Instruments: Dallas, EE.UU.).
Losada, R. (2007): GeoGebra: La eficiencia de la intuición, Gaceta de la RSME vol. 10.1, pp. 223-
239.
Martín, J.F. (1997): Cabri Géomètre II en la E.S.O. (Texas Instruments: Madrid).
Texas Instruments (s.f.): Cabri Géomètre II. (Texas Instruments: Madrid).

Páginas web.

Arranz, J.M.: <roble.pntic.mec.es/jarran2/>
Losada, R.: <www.iespravia.com/>
Mora, J.A.: <jmora7.com/>
Sada, M.: <recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/>
Grupo G4D: <www.geometriadinamica.es>


PROBLEMAS DE CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS GEOMÉTRICAS

Construcción de triángulos.

CONS 1) A) Abre el archivo Cons01.fig. Construye un triángulo de forma que sus tres lados sean
segmentos iguales a los segmentos a, b y c que ves en la pantalla.

Si no sabes cómo empezar a resolver el problema, usa alguna de las siguientes
sugerencias:

- Dibuja a la derecha la figura solución, es decir un triángulo con los
nombres de sus lados. Reflexiona sobre esta figura para buscar una
forma de resolver el problema.

- Piensa cómo resolverías el problema si tuvieras que hacerlo con una
regla y un compás. Si lo sabes, escribe debajo un resumen y piensa
cómo puedes transformar las acciones con la regla y el compás en comandos de
Geogebra.

- Imagina que los segmentos a, b y c de la pantalla son varillas de un mecano. Contesta
por escrito a estas pregunta y piensa cómo puedes usar las respuestas para resolver el
problema: ¿Cómo engancharías las varillas para construir el triángulo? ¿Qué
movimiento puede hacer una varilla que sólo está sujeta por un extremo?

B) Cuando hayas terminado la construcción de un triángulo, arrastra sus vértices libres y
modifica la longitud de los segmentos a, b y c para verificar que la construcción es
correcta.

C) Al modificar las longitudes de a, b y c, la forma del triángulo cambia. ¿Desaparece de la
pantalla el triángulo en algún momento? ¿Cuándo? ¿Por qué lo hace?


CONS 2) A) Abre el archivo Cons02.fig. Construye un triángulo de forma que los segmentos a y
b que ves en la pantalla sean iguales a dos de sus lados y el segmento ma sea igual a la
mediana sobre el lado a.

sugerencias:

- Dibuja a la derecha la figura solución, es decir un triángulo con su
mediana y los nombres de los tres segmentos conocidos. Reflexiona
sobre esta figura para buscar una forma de resolver el problema.

regla y un compás. Si lo sabes, escribe un resumen debajo y piensa
Geogebra.

- Imagina que los segmentos a, b y ma de la pantalla son varillas de un mecano.
Contesta por escrito a estas pregunta y piensa cómo puedes usar las respuestas para
resolver el problema: ¿Cómo las engancharías para construir el triángulo? ¿Qué
movimiento puede hacer una varilla que sólo está sujeta por un extremo? ¿Cómo
añadirías la varilla que representa al lado c ?

modifica la longitud de los segmentos a, b y ma para verificar que la construcción es
correcta.

C) Al modificar las longitudes de a, b y ma, la forma del triángulo cambia. ¿Desaparece de
la pantalla el triángulo en algún momento? ¿Cuándo? ¿Por qué lo hace?


b que ves en la pantalla sean iguales a dos de sus lados y el segmento ha sea igual a la
altura sobre el lado a.

sugerencias:

- Dibuja a la derecha la figura solución, es decir un triángulo con su
altura y los nombres de los tres segmentos conocidos. Reflexiona sobre
esta figura para buscar una forma de resolver el problema.

regla y un compás. Si lo sabes, escribe un resumen debajo y piensa
Geogebra.

- Imagina que los segmentos a, b y ha de la pantalla son varillas de un mecano.
Contesta por escrito a estas pregunta y piensa cómo puedes usar las respuestas para
resolver el problema: ¿Cómo engancharías las varilla a y b para construir el triángulo?
¿Y las varillas a y ha ? ¿Qué movimiento puede hacer una varilla que sólo está sujeta
por un extremo? ¿Cómo añadirías la varilla que representa al lado c ?

modifica la longitud de los segmentos a, b y ha para verificar que la construcción es
correcta.

C) Al modificar las longitudes de a, b y ha, la forma del triángulo cambia. ¿Desaparece de
la pantalla el triángulo en algún momento? ¿Cuándo? ¿Por qué lo hace?


b sean iguales a dos de sus lados y el ángulo â sea igual al ángulo formado por esos dos
lados.

sugerencias:

- Dibuja a la derecha la figura solución, es decir un triángulo con los
nombres de los lados y ángulo conocidos. Reflexiona sobre esta figura
para buscar una forma de resolver el problema.

regla, un compás y un transportador. Si lo sabes, escribe un resumen
debajo y piensa cómo puedes transformar las acciones con la regla, el compás y el
transportador en comandos de Geogebra.

- Imagina que los segmentos a y b de la pantalla son varillas de un mecano. Contesta a
estas pregunta y piensa cómo puedes usar las respuestas para resolver el problema:
¿Cómo engancharías las varilla a y b para construir el triángulo? ¿Qué movimiento
puede hacer una varilla que sólo está sujeta por un extremo? ¿Cómo añadirías la varilla
que representa al lado c ?

modifica la longitud de los segmentos a y b y la amplitud de â para verificar que la
construcción es correcta (para modificar la amplitud de â, basta con que arrastres los
extremos de sus lados).

C) Al modificar las longitudes de a y b y la amplitud de â, la forma del triángulo cambia.
¿Desaparece de la pantalla el triángulo en algún momento? ¿Cuándo? ¿Por qué lo hace?

Problemas de refuerzo (triángulos).

CONS 5) Construye dos segmentos a y b. Construye un triángulo isósceles de forma que los
segmentos a y b sean sus lados.
Construye un segmento a. Construye un triángulo equilátero de forma que ese segmento
sea su lado.


CONS 6) Construye tres segmentos a, b y hc. Construye un triángulo de forma que los segmentos
a y b sean iguales a dos de sus lados y el segmento hc sea igual a la altura sobre el lado
c.

CONS 7) Construye dos rectas que se corten y un punto A que no pertenezca a las rectas.
Construye un triángulo ABC de forma que las dos rectas sean mediatrices de sus lados.
¿Es siempre posible la construcción, independientemente de dónde esté A? ¿Por qué?

CONS 8) Construye dos rectas que se corten y dos puntos A y B que pertenezcan uno a cada
recta. Construye un triángulo ABC de forma que las dos rectas sean bisectrices de sus
ángulos. ¿Es siempre posible la construcción, independientemente de dónde estén A y
B? ¿Por qué?

CONS 9) Construye dos rectas que se corten y dos puntos A y B que pertenezcan uno a cada
recta. Construye un triángulo ABC de forma que las dos rectas sean alturas suyas. ¿Es
siempre posible la construcción, independientemente de dónde estén A y B? ¿Por qué?


Construcción de cuadriláteros.

CONS 10) Construye un segmento l. Construye un cuadrado cuyo lado sea ese segmento. Escribe
debajo una lista de las propiedades matemáticas del cuadrado que has usado durante el
proceso de construcción que has seguido:

Abre una pantalla nueva y vuelve a construir un segmento l. Construye un cuadrado
cuyo lado sea ese segmento, pero mediante un procedimiento diferente del anterior.
Escribe debajo una lista de las propiedades matemáticas del cuadrado que has usado
durante el proceso de construcción que has seguido:

Abre otra pantalla nueva y vuelve a construir un segmento l. ¿Puedes construir un
cuadrado cuyo lado sea ese segmento, pero mediante un procedimiento diferente de los
dos anteriores? Escribe debajo una lista de las propiedades matemáticas del cuadrado
que has usado durante el proceso de construcción que has seguido o explica por qué
crees que no hay más procedimientos diferentes:

CONS 11) Construye un segmento l junto a una esquina de la ventana. Construye un rombo cuyo
lado sea ese segmento. Escribe debajo una lista de las propiedades matemáticas del
rombo que has usado durante el proceso de construcción que has seguido:

Abre una pantalla nueva y vuelve a construir un segmento l. Construye un rombo cuyo
lado sea ese segmento, pero mediante un procedimiento diferente del anterior. Escribe
debajo una lista de las propiedades matemáticas del rombo que has usado durante el
proceso de construcción que has seguido:


Abre una pantalla nueva y vuelve a construir un segmento l. ¿Puedes construir un
rombo cuyo lado sea ese segmento, pero mediante un procedimiento diferente de los
dos anteriores? Escribe debajo una lista de las propiedades matemáticas del rombo que
has usado durante el proceso de construcción que has seguido o explica por qué crees
que no hay más procedimientos diferentes:

CONS 12) Construye dos segmentos a y b junto a una esquina de la ventana. Construye varios
rectángulos cuyos lados sean iguales a esos segmentos, pero siguiendo cada vez un
procedimiento diferente de los anteriores. Escribe una lista de las propiedades
matemáticas del rectángulo que has usado durante cada proceso de construcción que has
seguido.

CONS 13) Abre el archivo Cons13.fig. En la pantalla ves tres puntos no alineados A, B y C.
Construye un paralelogramo que tenga esos tres puntos como vértices. Escribe una lista
de las propiedades matemáticas del paralelogramo que has usado durante el proceso de
construcción que has seguido.
Repite la actividad varias veces siguiendo cada vez un procedimiento diferente de los
anteriores.

Problemas de refuerzo (cuadriláteros).

CONS 14) Un “cometa” es un cuadrilátero formado por dos pares de lados consecutivos iguales.
Construye dos segmentos a y b junto a una esquina de la ventana. Construye un cometa
cuyos lados sean iguales a esos segmentos.
Observa el cometa que acabas de construir y haz una lista de las propiedades que
descubras (puedes añadir al cometa los elementos que creas necesarios para verificar
estas propiedades). Escribe, junto a cada propiedad, una explicación de por qué crees
que esa propiedad es cierta para todos los cometas.

CONS 15) Abre el archivo Cons15.fig. En la pantalla ves un segmento a y un ángulo â. Construye
un rombo de forma que a sea su lado y â sea igual a uno de sus ángulos.

CONS 16) Construye dos segmentos a y b junto a una esquina de la ventana. Construye un
paralelogramo de manera que sus lados sean iguales a esos segmentos, haciendo que el
paralelogramo se pueda deformar al máximo.

CONS 17) Construye un segmento d. Construye un cuadrado cuya diagonal sea ese segmento.

CONS 18) Construye un segmento d. Construye un cometa de manera que sus dos diagonales sean
iguales a ese segmento.

CONS 19) Construye un segmento d. Construye un rectángulo cuya diagonal sea ese segmento.

CONS 20) Construye dos segmentos l y d junto a una esquina de la ventana. Construye un


rectángulo de forma que su diagonal sea igual a d y uno de sus lados sea igual a l.

CONS 21) Construye dos segmentos d1 y d2 junto a una esquina de la ventana. Construye un
trapecio de manera que sus diagonales sean iguales a esos segmentos.

CONS 22) Construye un segmento p junto a una esquina de la ventana. Construye un cuadrado
cuyo perímetro mida lo mismo que ese segmento.

CONS 23) Construye un paralelogramo (no hace falta que construyas antes sus lados junto a la
esquina de la ventana). Construye un rectángulo que tenga la misma área que el
paralelogramo. Utiliza la medida de áreas para verificar, mediante arrastre, que la
construcción está bien hecha. Explica por qué es correcta esta forma de hacer la
construcción.


PROBLEMAS DE CONJETURA Y DEMOSTRACIÓN

DEMO 1) A) ¿Cuánto suman los ángulos de un triángulo? Verifica tu respuesta en Geogebra. ¿Por
qué crees que es cierta esta relación? Escribe una explicación:

B) ¿Cuánto suman los ángulos de un cuadrilátero? Verifica tu respuesta en Geogebra. ¿Por

C) ¿Cuánto suman los ángulos de un pentágono? Verifica tu respuesta en Geogebra. ¿Por

D) Haz una tabla que resuma los resultados de los ejercicios anteriores (número de lados
del polígono y suma de sus ángulos interiores).
¿Cuánto suman los ángulos de un polígono de 25 lados? Sin verificar tu respuesta en
Geogebra, explica por qué crees que es cierta esta relación:

E) ¿Cuánto suman los ángulos de un polígono de n lados? Demuestra tu conjetura.


DEMO 2) Abre el archivo Demo02.fig. El segmento AD es prolongación del lado AC. Mide los
tres ángulos interiores del triángulo ABC y el ángulo ∠BCD (llamado ángulo exterior
del triángulo ABC). Arrastra los diferentes puntos libres de esta figura y completa la
tabla siguiente con los valores que observes (puedes añadir filas o columnas a la tabla si
te hace falta).

Triángulo nº ∠A ∠B ∠C ∠BCD
1
2
3
4
5

Enuncia las propiedades generales que observes en la tabla y justifica por qué son
válidas para cualquier triángulo:

DEMO 3) Abre el archivo Demo03.fig. ABCD es un cuadrilátero general y P, Q, R y S son los
puntos medios de los lados de ABCD. Arrastra los vértices de ABCD y observa el tipo
de cuadrilátero que es PQRS y cómo depende de la forma de ABCD. Contesta a las
siguientes preguntas y, para cada una, demuestra que tu respuesta es correcta
(Sugerencia: Observa la relación entre los lados de PQRS y las diagonales de ABCD).
¿Cuándo se convierte PQRS en un rectángulo? ¿Por qué?

¿Cuándo se convierte PQRS en un paralelogramo? ¿Por qué?

¿Cuándo se convierte PQRS en un cuadrado? ¿Por qué?

¿Cuándo se convierte PQRS en un rombo? ¿Por qué?


¿Cuándo se convierte PQRS en un trapecio? ¿Por qué?

Problemas de refuerzo.

DEMO 4) Construye: Un triángulo ABC. La bisectriz de ∠A. La paralela al lado AB que pasa por
C. El punto T de corte de la bisectriz y la paralela. Mide los segmentos AC y CT. ¿Qué
relación observas?
¿Crees que esta relación es verdadera para todos los triángulos? ¿Por qué?

DEMO 5) Construye un trapecio isósceles. Mide sus ángulos. ¿Qué observas? Mide sus
diagonales. ¿Qué observas? ¿Son válidas tus observaciones para cualquier trapecio
isósceles? ¿Por qué crees que son válidas?


ACTIVIDADES DE DISEÑO DE UNIDADES DE ENSEÑANZA

Enseñanza de conceptos geométricos básicos.

ENS 1) Diseña una pantalla que sirva para mostrar que cualquier punto de la bisectriz de un
ángulo equidista de los lados del ángulo.

ENS 2) Diseña una pantalla que sirva para explorar la medida de los ángulos inscritos en media
circunferencia.

Enseñanza de propiedades de cuadriláteros.

ENS 3) Diseña una pantalla que sirva para descubrir la fórmula de cálculo del área de un
rectángulo.

paralelogramo.

ENS 5) Construye los diferentes tipos de cuadriláteros que aparecen en la tabla y sus diagonales
(abre el archivo Ense05.fig para el cometa y los trapecios). Para cada cuadrilátero,
observa si se cumplen siempre las propiedades mencionadas en la cabecera de la tabla.
Rellena las celdas de la tabla con “siempre” o dibujando un contra-ejemplo según que la
propiedad de la cabecera sea cierta o falsa en ese cuadrilátero.

¿Se cortan las ¿Se cortan las ¿Tienen las
diagonales en diagonales sólo diagonales la ¿Son
sus dos puntos en un punto misma perpendiculares
medios? medio? longitud? las diagonales?

Paralelogramo

Rectángulo

Rombo

Cuadrado

Cometa

Trapecio

Trapecio isósceles

Cuadrilátero convexo

Cuadrilátero cóncavo

Después de haber completado la tabla, escribe la definición usual de los siguientes


cuadriláteros y trata de escribir otra definición de cada uno basada en las propiedades
características de sus diagonales que aparecen en la tabla:

a) Definición usual: Un paralelogramo es un cuadrilátero ...

Definición por diagonales: Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyas diagonales ...

b) Definición usual: Un rectángulo es un cuadrilátero ...

Definición por diagonales: Un rectángulo es un cuadrilátero cuyas diagonales ...

c) Definición usual: Un rombo es un cuadrilátero ...

Definición por diagonales: Un rombo es un cuadrilátero cuyas diagonales ...

d) Definición usual: Un cuadrado es un cuadrilátero ...

Definición por diagonales: Un cuadrado es un cuadrilátero cuyas diagonales ...

Enseñanza de propiedades de triángulos.

triángulo rectángulo.

triángulo cualquiera.

ENS 8) Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro. Diseña
una unidad de enseñanza para estudiar las principales características de este punto:
Existencia del punto. Posición del punto respecto del triángulo (interior o exterior).
Equidistancia del punto a los vértices del triángulo. Este punto es el centro de la
circunferencia circunscrita.

Enseñanza de propiedades de circunferencias.


ENS 9) Conocimiento previo para esta secuencia de actividades: El concepto de tangente a una
circunferencia como la recta que toca a la circunferencia en un único punto.

A) Construye una circunferencia. Construye una recta tangente a esa circunferencia.

B) Abre el archivo Ense09.fig. Los puntos A y B de la pantalla pertenecen a la
circunferencia y la recta pasa por A y B.
Desplaza el punto A sobre la circunferencia y observa cómo varían los valores de los
ángulos marcados. ¿Miden siempre lo mismo estos ángulos? ¿Por qué?
Desplaza el punto A hasta situarlo sobre B. En este momento, la recta es tangente a la
circunferencia, pues sólo la toca en un punto. ¿Cuánto valen los ángulos marcados?
Escribe tu conclusión.

C) Construye una circunferencia de centro O y un punto A de la circunferencia. Construye
una recta que sea tangente a la circunferencia en el punto A. ¿En qué propiedades
matemáticas te has basado para resolver el problema?

D) Construye una recta y un punto O exterior a la recta. Construye una circunferencia con
centro en O que sea tangente a la recta. ¿En qué propiedades matemáticas te has basado
para resolver el problema?

E) Construye una recta y un punto A de la recta. Construye una circunferencia que sea
tangente a la recta en el punto A. ¿En qué propiedades matemáticas te has basado para
resolver el problema?

F) Construye un segmento junto a una esquina de la ventana. Construye una recta.
Construye una circunferencia que sea tangente a la recta y cuyo radio mida lo mismo
que el segmento. ¿En qué propiedades matemáticas te has basado para resolver el
problema?

G) Construye dos rectas. Construye una circunferencia que sea tangente a ambas rectas.
Estudia los diferentes casos posibles según las posiciones de las rectas. ¿En qué
propiedades matemáticas te has basado para resolver el problema?

H) Construye un segmento junto a una esquina de la ventana. Construye dos rectas.
Construye una circunferencia que sea tangente a ambas recta y cuyo radio mida lo
mismo que el segmento. Estudia los diferentes casos posibles según las posiciones de
las rectas. ¿En qué propiedades matemáticas te has basado para resolver el problema?

Problemas de refuerzo.

ENS 10) Diseña una pantalla que sirva para mostrar que cualquier punto de la mediatriz de un
segmento equidista de los extremos del segmento.

ENS 11) Diseña una pantalla que sirva para explorar la relación entre las medidas de los ángulos
central e inscritos con el mismo arco de una circunferencia.

ENS 12) Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro. Diseña una
unidad de enseñanza para estudiar las principales características de este punto:


Equidistancia del punto a los lados del triángulo. Este punto es el centro de la
circunferencia inscrita.

ENS 13) Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro. Diseña una
Proporcionalidad de las longitudes de los segmentos formados en las medianas.

ENS 14) Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro. Diseña una

ENS 15) Diseña una pantalla que sirva para mostrar la relación entre los tipos de cuadriláteros
(cóncavos o convexos) y la posición de sus diagonales.

trapecio.


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