1) El documento presenta una guía sobre integrales resuelta por estudiantes para facilitar el estudio. Incluye ejemplos resueltos de diferentes métodos de integración como sustitución e integración por partes. 2) Explica las reglas básicas de integración y cómo integrar es la operación inversa a derivar. 3) Resuelve varios ejercicios paso a paso utilizando los métodos vistos para calcular funciones primitivas e integrales definidas.

1. Bienvenido a la serie de guías resueltas de Exapuni! Esta serie de guías resueltas fue
hecha por estudiantes de la comunidad Exapuni para facilitar el estudio y con la mejor
intención de ayudar. Esperamos que te sean útiles. Podés buscar todo el material,
responder tus dudas y mucho más durante toda tu carrera en www.exapuni.com,
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Integrales
Comenzamos con el último tema de la materia, integrales. Tené en cuenta que
integrar es la operación inversa a derivar. Se va entender mejor a medida que
resolvemos los ejercicios. Al igual que con derivadas para las integrales también hay
reglas para aplicar y obtener el resultado.
a)
i) Nos dan una función derivada y nos piden que obtengamos la función .
Antes teníamos la función y nos pedían que obtengamos la función derivada. Es
por esto que les comentaba que es la operación inversa. Tenemos la función:
La regla que más vas a usar en integrales es la siguiente:
∫
Guía 6 - Integrales
2014
Ejercicio 1. Hallar, utilizando…

2. Vamos a explicar un poco lo que escribimos. El símbolo ∫ se usa para denotar que
estamos integrando. El término es el exponente al que esta elevado la . El término
se coloca para aclarar que lo que estamos integrando es la variable . Esto se hace
debido a que podemos tener más de una variable en la integración y es importante
aclarar que estamos integrando. El término no es más que una constante. Recordá
que cuando derivábamos una constante obteníamos como resultado . Ponemos una
constante porque no sabemos si la función primitiva, en este caso tenía una
constante que fue derivada y quedo como resultado. Siempre recordar escribir la
constante. Ya podemos resolver el ejercicio:
∫ ∫
ii)
Al integrar una constante únicamente tenemos que agregar la variable . Recordar que
la derivada de es y estamos realizando la operación inversa.
∫ ∫
iii)
Recordar que la derivada del es . La derivada del es .
Necesitamos la integral de .
∫ ∫
Se entendió? Fíjate que si derivas obtenés la función que nos da el
enunciado.
iv)

3. ∫ ∫
v)
∫ ∫
No olvides que la derivada de es . La integral por lo tanto tampoco varía.
vi)
∫ ∫
Es como el ejercicio i pero cambia el exponente:
vii)
∫ ∫
viii)
∫ ∫

4. b)
i)
Los ejercicios son similares a los anteriores pero con algunas nuevas reglas:
∫ ∫
∫
Usamos las mismas reglas que ya vimos para resolver.
ii)
∫ ∫ ( )
Recordá que la derivada de es
∫
iii)
√
Para integrar √ lo vamos a expresar como .
∫ ∫( √ )
∫ ∫( )
∫
∫
iv)

5. ∫ ∫
∫
a)
∫ ∫
Nos dan el valor , reemplazamos:
Ya tenemos la función completa:
b)
∫ ∫
Nos dan el valor , reemplazamos:
Ejercicio 2. Hallar la función…

6. c)
∫ ∫
Nos dan el valor ( ) , reemplazamos:
( ) ( )
( )
a)
∫
b)
∫
c)
∫( √ ) ∫( )
d)
Ejercicio 3. Calcular las…

7. ∫( )
e)
∫
f)
∫ ( √ ) ∫ ( ) ∫( )
g)
∫ ( )
h)
∫( )
a)
∫
No todos los ejercicios se pueden resolver con las reglas que venimos usando, existen
casos en que no es posible aplicarlas. Se usan diferentes métodos en esos casos. El
primero que vamos a ver es el método de sustitución.
La sustitución consiste en hacer un cambio de variable para poder resolver el ejercicio
llevando una situación que no se puede resolver con las reglas de integración a una
situación en la que si se puede. Resolvamos este ejercicio para entender mejor, al
principio seguramente te va a parecer rara la resolución, es hasta que resuelvas
ejercicios y vayas entendiendo como funciona.
Vamos a hacer un cambio de variable . Ahora derivamos:
Expresamos en función de .
Ejercicio 4. Calcular aplicando…

8. Ahora podemos remplazar en la función original:
se reemplaza con y con .
∫
∫
∫
Nos quedo una función en función de . Ahora si podemos resolver con las reglas
clásicas de integración:
Volvemos a reemplazar para que nos quede en función de .
¿Se entendió? Ahora con el resto de ejercicios va a quedar más claro.
b)
∫
El problema es lo que está dentro del , si fuese podría haberse resuelto
directamente, pero como dice necesitamos hacer una sustitución.
No hace falta despejar en función de ya que podemos reemplazar por
directamente.
∫
Ahora ya podemos resolver:

9. Volvemos a reemplazar :
c)
∫
Muy similar al anterior así que no explicamos mucho:
∫
d)
∫
Hacemos la sustitución:
Reemplazamos:
∫
Volvemos a reemplazar:
e)
∫ √

10. Hacemos la sustitución:
Despejamos :
Reemplazamos:
∫ √
∫ √
Ya podemos integrar:
∫
√
Volvemos a reemplazar:
√
f)
∫
No siempre es obvia la sustitución que tenes que aplicar. A veces la sustitución no
funciona y tenes que cambiarla. Es normal! En éste ejercicio por ejemplo primero
intentamos la sustitución y no funciono. Quedo la integral en función de
y de . Por lo tanto no pudimos integrar. Vamos a probar con :

11. Reemplazamos:
∫
∫
( )
Volvemos a reemplazar:
g)
∫
Hacemos la sustitución:
Reemplazamos:
∫
Ya podemos integrar:
Volvemos a reemplazar:
h)

12. ∫
Hacemos la sustitución:
Reemplazamos:
∫
Ya podemos integrar:
Volvemos a reemplazar:
i)
∫
Hacemos la sustitución:
Reemplazamos:
∫ ( )
∫
Ya podemos integrar:

13. Volvemos a reemplazar:
j)
∫
Hacemos la sustitución:
Reemplazamos:
∫
Volvemos a reemplazar:
k)
∫
Hacemos la sustitución:
Reemplazamos:
∫

14. ∫
Volvemos a reemplazar:
l)
∫
Hacemos la sustitución:
Reemplazamos:
∫
Volvemos a reemplazar:
m)
∫
Hacemos la sustitución:
Reemplazamos:

15. ∫ ( )
∫ ( )
∫
Volvemos a reemplazar:
n)
∫
Hacemos la sustitución:
Reemplazamos:
∫
Volvemos a reemplazar:
o)
∫ √

16. Hacemos la sustitución:
Reemplazamos:
∫ √
∫ (√ √ )
Integramos:
Volvemos a reemplazar:
p)
∫
Hacemos la sustitución:
Reemplazamos:
∫
∫ ( )
Integramos:
Volvemos a reemplazar:

17. q)
∫
Hacemos la sustitución:
Reemplazamos:
∫
∫
Integramos:
Volvemos a reemplazar:
r)
∫
Hacemos la sustitución:
Reemplazamos:

18. ∫
Integramos:
Volvemos a reemplazar:
a)
∫
Ahora vamos a ver un segundo método para resolver integrales, se llama método de
integración por partes. No siempre es posible aplicar éste método. Es necesario que
haya dos funciones para poder hacer la integración.
La fórmula que hay que aplicar es la siguiente:
∫ ∫
Vamos a resolver el ejercicio para que se entienda mejor, primero hacemos cambios de
variable:
y
Tenemos que determinar y :
∫
Ya podemos resolver:
∫ ∫ ∫
Notar que transformamos una integral difícil de resolver ∫ a una sencilla
∫ . Si no queda una integral sencilla hay que cambiar y .
Ejercicio 5. Calcular aplicando…

19. Resolvemos:
b)
∫
Ya tenemos y
Tenemos que determinar y :
∫
Ya podemos resolver:
∫ ∫ ∫
c)
∫ √
Ya tenemos y √
Tenemos que determinar y :
∫ √ ∫
Ya podemos resolver:
∫ ∫ ∫
√ √ √
d)

20. ∫
Ya tenemos y
Tenemos que determinar y :
∫
Ya podemos resolver:
∫ ∫ ∫
e)
∫ ( )
Ya tenemos ( ) y
Tenemos que determinar y :
( )
Ya podemos resolver:
∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( )
f)
∫
Ya tenemos y
Tenemos que determinar y :

21. Ya podemos resolver:
∫ ∫ ∫
∫
Aún no se puede resolver la integral de manera sencilla. Tenemos que aplicar
nuevamente integral por partes para la integral:
Tenemos y
Tenemos que determinar y :
Ya podemos resolver:
∫ ∫ ∫
∫
Ya tenemos el resultado:
∫
g)
∫
Ya tenemos y
Tenemos que determinar y :
Ya podemos resolver:

22. ∫ ∫ ∫
∫
Aún no se puede resolver, necesitamos resolver la integral ∫ :
Ya tenemos y
Tenemos que determinar y :
Ya podemos resolver:
∫ ∫ ∫
∫
Ya tenemos el resultado:
∫
h)
∫
Ya tenemos y
Tenemos que determinar y :
Ya podemos resolver:
∫ ( ) ∫ ( )

23. ∫ ∫
Aún no se puede resolver, tenemos que resolver la integral ∫ .
Ya tenemos y
Tenemos que determinar y :
Ya podemos resolver:
∫ [ ] ∫ [ ]
∫
Ya tenemos el resultado:
[ ]
a)
∫
En estos ejercicios no nos dicen si usar el método de integración por partes o el de
sustitución. Éste ejercicio es un gran candidato para aplicar el método de integración
por partes ya que se trata de la multiplicación de dos funciones y al analizarlo no hay
un cambio de variable apropiado para aplicar el método de sustitución. Resolvamos:
Ya tenemos y
Ejercicio 6. Calcular

24. Tenemos que determinar y :
Ya podemos resolver:
∫ ( ) ∫ ( )
Necesitamos resolver la integral ∫ ( ) , aplicamos el método de
integración por partes:
Ya tenemos y
Tenemos que determinar y :
Ya podemos resolver:
∫ ( ) ∫ ( )
( ) ( ) ( )
Ya tenemos el resultado:
( ) [ ( ) ]
( ) ( )
b)
∫
En éste ejercicio podemos aplicar sustitución, recordar que la derivada de es .

25. Reemplazamos:
∫
Volvemos a reemplazar:
c)
∫
En éste ejercicio no es necesario aplicar ningún método. La intensión es confundir. Se
resuelve el trinomio cuadrado perfecto normalmente.
∫
∫ ∫
Ya podemos resolver con las reglas clásicas:
d)
∫
Tenemos que resolver con el método de sustitución:
Ya podemos reemplazar:
∫
Volvemos a reemplazar:

26. e)
∫ (
√
√
) ∫ (
√
√
) ∫
Lo resolvemos con sustitución:
√
√
√
Reemplazamos:
∫ ∫ ∫ ∫
Volvemos a reemplazar:
(√ )
f)
∫ ∫ ∫
Tenemos que aplicar el método de integración por partes para resolver
∫
Tenemos y
Tenemos que obtener y :
Resolvemos:
∫ ∫

27. ∫
Tenemos que resolver ∫ , aplicamos integración por partes:
Tenemos y
Tenemos que obtener y :
Resolvemos:
∫ ( ) ∫
∫
Ya podemos armar el resultado:
[ ] ∫
Si la integral ∫ no te sale directamente podes usar el método de sustitución,
como hicimos en el ejercicio 4.i.
a)
El ejercicio es similar al 4.n
Resolvemos con sustitución:
Ejercicio 7. Hallar la…

28. ∫ ∫
Reemplazamos:
Podemos determinar el valor de ya que nos dan el dato
Por lo tanto:
b)
√
Es posible resolverlo con sustitución o con integral por partes. Es más sencillo con
sustitución:
∫ ∫ √ ∫ √ ∫ √
Reemplazamos:
Ya podemos calcular .

29. Por lo tanto:
c)
Lo resolvimos en el 5.b
El resultado es:
Ya podemos calcular .
Por lo tanto:
d)
√
Vamos a expresarlo de otra manera:
Ya podemos resolver con una sustitución:

30. Reemplazamos:
∫ ∫ ∫
No sabemos la integral de ∫ . La podés aprender de memoria como regla, es
pero la vamos a sacar con lo que vinimos aprendiendo usando el método de
integración por partes:
Tenemos y
Vamos a obtener y :
Ya podemos resolver:
∫ ∫ ∫
Llegamos al resultado deseado:
∫
Ya podemos obtener c:
Ejercicio 8. La aceleración…

31. Nos dan la aceleración y nos piden la velocidad. Para resolver necesitamos integrar la
aceleración (recordar que la derivada de la velocidad es la aceleración).
Integramos:
∫ [ ] ( )
Sino entendiste nada no te preocupes, lo que estamos haciendo ahora es calculando
una integral definida. Hasta el momento veníamos calculando integrales indefinidas. Se
aplican las mismas propiedades que en las indefinidas. La gran diferencia es que nos da
un valor. Es por eso que tiene más sentido para problemas matemáticos y además se
usa para el cálculo de área (el último tema que vamos a ver de matemática).
Veamos paso por paso. Normalmente hubiésemos escrito:
∫
No hay un gran cambio con la nueva forma de escribir:
∫
La resolución si cambia un poco más. La idea es obtener la integral de
∫ y reemplazar la variable por el último valor del intervalo (el número de
arriba), o sea para luego restar la integral ∫ reemplazando el primer valor
del intervalo (el número de abajo), o sea 1.
Veamos la formula de lo que estamos haciendo:
∫
Tené en cuenta que es la integral (la primitiva) de . ¿Se entiende mejor?
Mirá bien el ejercicio y cualquier cosa consulta en Exapuni. También podés mirar los
ejercicios que siguen que se resuelven de la misma manera.
Otra cosa a tener en cuenta es que la velocidad nos está dando negativa. Esto significa
que el móvil esta yendo para el lado contrario del que venía. No hace la diferencia para
el ejercicio pero es un dato que no está de más.

32. El resultado por lo tanto es que la velocidad para es .
Integramos la aceleración para obtener la velocidad. En éste caso no usamos Barrow
porque no nos dan un intervalo. Nos piden la velocidad en un instante en particular
.
∫ ∫
Tenemos el dato de que en el instante el cohete se encuentra en reposo. La
velocidad por lo tanto es . Aprovechamos éste dato para obtener .
Por lo tanto la formula de la velocidad es:
Veamos que pasa en :
Ahora nos piden la distancia en
La integral de la velocidad nos da como resultado la ecuación de la posición.
∫ ∫
Obtenemos usando el dato de que en el cohete se encuentra en reposo:
Ejercicio 9. Un cohete…

33. Por lo tanto la formula de la posición es:
Veamos que pasa en :
a)
∫
Vamos a resolver éstos ejercicios como hicimos en el ejercicio . Recordá la formula
de la regla de Barrow:
∫
Resolvamos:
∫ [ ]
b)
∫ √ ∫ [ ]
c)
∫ [ ] ( )
d)
Ejercicio 10. Usando la regla…

34. ∫ [ ]
e)
∫ [ ]
f)
∫ [ ]
a)
∫
Ahora los ejercicios se complican un poco más porque hay que aplicar la regla de
Barrow y para resolver las integrales vamos a necesitar de los métodos de integración
(sustitución y por partes). Resolvamos:
Tenemos y
Vamos a obtener y :
Ya podemos resolver:
∫ ∫
Tenemos que resolver ∫ , aplicamos el método de integración por partes:
Tenemos y
Vamos a obtener y :
Ejercicio 11. Usando la regla…

35. Ya podemos resolver:
∫ ∫
Nos queda por lo tanto:
∫ ∫
Aplicamos Barrow:
∫ [ ]
b)
∫
En éste ejercicio no necesitamos aplicar un método, resolvemos directamente:
∫ [ ]
c)
∫ √
Resolvemos con el método de integración por partes:
Tenemos y √
Vamos a obtener y :
Resolvemos:
∫ ( ) ∫ ( )

36. ∫
Tenemos que resolver ∫ :
Tenemos y
Vamos a obtener y :
Resolvemos:
∫ ( ) ∫
Nos queda por lo tanto:
∫ ∫
( )
Ahora podemos aplicar Barrow:
∫ √ [ ]
( )

37. d)
∫
Vamos a resolver usando sustitución:
Reemplazamos:
∫ ∫ [ ]
Reemplazamos:
[ ] [( ) ( )]
[ ]
e)
∫
Vamos a resolver usando sustitución:
∫ [ ]
Reemplazamos:

38. [ ] ( )
√
√
f)
∫
Podemos resolver directamente:
∫ ∫ [ ] [ ] ( )
( )
g)
∫ ( ) ∫ ∫
Resolvemos con sustitución:
∫ ∫ [ ]
Reemplazamos:
[ ]
∫ ∫ [ ] ( )
h)
∫ ∫ ∫ ∫
Necesitamos resolver ∫ con el método de integración por partes:

39. Tenemos y
Vamos a obtener y :
Resolvemos:
∫ ∫
Aplicamos Barrow:
∫ ∫ [ ] [ ]
( ) ( )
a)
Tenemos que resolver:
∫
Nos dan el dato ∫
Resolvemos:
∫ ∫ ∫ [ ]
b)
∫
Tenemos que calcular ∫
Ejercicio 12.

40. ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ [ ]
∫
∫
a)
∫
[ ]
( )
b)
∫ √
∫ √ ∫
[ ]
Ejercicio 13.

41. [ ]