El documento presenta los métodos de integración por partes y de sustitución trigonométrica, enfocados en su aplicación a problemas de ingeniería. También se discuten brotes de dengue en Lima y se especifican ejercicios prácticos para resolver integrales indefinidas. Se concluye con reflexiones sobre la utilidad de estos métodos y referencias bibliográficas para su estudio.

2. Integración por partes y
Sustitución Trigonométrica
Módulo 11
Cálculo 1
2023-1
Videoconferencia 12

3. Temario
Método de Integración por partes.
Método de sustitución trigonométrica

4. Motivación
A cuidarnos del dengue
En la provincia de Lima, en los últimos cinco años;
presentó brotes del dengue en los distritos de La Molina,
Lurigancho, Lima, Puente Piedra y Ate. El brote más
importante fue en el 2021, en el distrito de Lurigancho.
Actualmente la razón de llegada de casos nuevos
reportados en la provincia de Lima según el MINSA está
dada por 𝐶′ 𝑥 = 𝑒 𝑥, donde x está medido en días,
cuando x = 0 es el inicio de la epidemia. ¿Cuántos casos
han tratado en Lima según la sala situacional del MINSA
cuando x =9?

5. LOGRO DE APRENDIZAJE
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve
ejercicios y/o problemas aplicados a la
Ingeniería calculando integrales indefinidas
por los métodos de integración por partes y
de sustitución trigonométrica, de manera
eficiente y consistente.

6. ( )
5
4) 7 2x dx
− =

( )
6
7 2
)
12
x
B C
−
− +
( )
2
3
1) 7 2x dx
− =

1 3
2) x
e dx
−
=

1 3
)
3
x
e
D C
−
− +
( )
5/3
3 7 2
)
10
x
E C
−
− +
2
1
3)
16
dx
x
−
=
+

1
) arctan
4 4
x
A C
−  
+
 
 
Relaciona las integrales de la columna izquierda con su respectiva solución dada en la columna derecha.
Saberes previos

7. 1. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
' '
' '
' , '
d
u x v x u x v x u x v x
dx
u x v x v x u x dx u x v x dx
du u x dx dv v x dx
udv u v v du
 = +
 
 
 = +
= =
=  −
 
 
Fórmula de integración por partes
Se puede decir que la integración es una operación
inversa a la derivación, entonces de la derivada del
producto, se puede deducir la fórmula de la integración
por partes.

8. Para resolver una integral por el método de integración por partes primero se comienza por
identificar a qué función se debe derivar y a que función se debe integrar, para ello se puede
recurrir a la técnica memorística:
INVERSAS TRIGONOMÉTRICAS
LOGARÍTMICAS
ALGEBRAICAS
TRIGONOMÉTRICAS
EXPONENCIALES
න 𝑥 − 3 𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥
Ejemplo:
Se deriva la letra
que queda a la
izquierda y se
integra la que
queda a la derecha
Dado que en I LA T E, L está
a la izquierda de A, entonces:
𝑢 = 𝑙𝑛 𝑥 se
debe derivar
𝑑𝑣 = 𝑥 − 3 𝑑𝑥
se debe integrar
1. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES.

9. Ejemplo 1. Calcular
Solución:
( )
2
ln
x x dx

EJERCICIOS

10. Ejemplo 1. Calcular
Solución:
( )
2
ln
x x dx

( )
2
ln
x x dx

( )
1
ln
u x du dx
x
= → =
3
2
3
x
dv x dx v
= → =
( )
( )
( )
( )
3 3
2
3 3
2
ln 1
ln
3 3
ln
ln
3 9
x x x
x x dx dx
x
x x x
x x dx C
 
= −  
 
= − +
 

Deriva
Integra
D
E
R
I
V
A
I
N
T
E
G
R
A
EJERCICIOS

11. Ejemplo 2: Calcular ‫׬‬ 𝑥 sen 3𝑥 𝑑𝑥
EJERCICIOS

12. 2 1
( )cos( )
2
M x x x dx
= −

( ) ( )
2
2 4 2 1 cos 16
2 2 2
x x x
M x x sen x sen C
     
= − + − − +
     
I L E
2
x x
− 1
cos
2
x
 
 
 
DERIVA INTEGRA
A T
MÉTODO TABULAR
Es un método simplificado de la integración por partes, es útil cuando el proceso
de integración por partes debe hacerse de manera reiterada.
Ejemplo 3: Calcular
2
Deriva Integra
( )
1
( ) 2 1 2
2
1
( ) 2 4cos
2
1
0 8
2
1
cos( )
2
x
x sen x
x
sen x
x x
+
 
− −  
 
 
+ −  
 

−

−  
 
El método consiste en multiplicar las derivadas
e integrales (según lo que señalan las flecha),
anteponiendo al producto el signo (+) o (-) de
manera alternada

13. න 𝑥3 + 𝑥 + 5 𝑒2𝑥𝑑𝑥
Ejemplo 4: Calcular
EJERCICIOS

14. න 𝑥3 + 𝑥 + 5 𝑒2𝑥𝑑𝑥
I L A T E
Derivada Integrales
+ 𝑥3 + 𝑥 + 5 𝑒2𝑥
(−) 3𝑥2
+ 1
𝑒2𝑥
2
+ 6𝑥
𝑒2𝑥
4
(−) 6
𝑒2𝑥
8
0
𝑒2𝑥
16
Ejemplo 4: Calcular
EJERCICIOS

15. ( ) 5
cos 3 x
M x e dx
= +

Ejemplo 5: Calcular
Solución:
EJERCICIOS

16. ( ) 5
cos 3 x
M x e dx
= +


( ) ( )
( )
( )
5
5
5
I L A T E
Derivada Integrales
cos 3
( ) 3
5
( ) cos 3
25
x
x
x
x e
e
sen x
e
x
+ +
− − +
+ − +
Ejemplo 5: Calcular
Solución:
EJERCICIOS

17. 2. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
El método de sustitución trigonométrica se utiliza cuando el integrando presenta cualquiera de
los siguientes radicandos en su composición.
2 2 2 2 2 2
, ,
a x a x x a
+ − −
Pasos para la sustitución trigonométrica:
1. Identificar el tipo de raíz que se tiene.
2. Se reemplaza la variable 𝑥 y el 𝑑𝑥, en términos de la nueva variable 𝜃.
3. Se resuelve la integral trigonométrica.
4. Se reemplaza la variable original, es decir, en términos de 𝑥, en la solución obtenida de la
parte 3, para ello siempre es recomendable elaborar un triángulo rectángulo.

18. CASO 1. RAÍZ 𝒂𝟐 − 𝒙𝟐
𝑎
𝑥
𝑎2 − 𝑥2
𝜃
( ) ( )
( ) ( )
2 2
cos
Identidad trigonométrica usada:
sen +cos 1
x asen dx a d
x x
  
= → =
=
Ejemplo 1. Calcular
2
2
6
x
dx
x x
−

2 2 2
2 2 2
6 ( 6 ) 9 ( 3)
x x x
dx dx dx
x x x x x
= =
− − − − −
  
Solución:

19. ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2
2
2
(3 3) 3cos
9 9
9 ( 3)
27( 2 1)cos
3cos
9 2 1
sen d
x
dx
sen
x
sen sen d
sen sen d
  

   

  
+
=
−
− −
+ +
=
= + +




( )
( )
2 1 cos 2
2
sen


−
=
( )
( )
2
2
2
2
1 cos(2 )
9 18 9
2
9 ( 3)
27 9
( (2 ) 18
2 2
27 9
cos 18cos
2 2
6
x
sen d
dx
x
cos sen d
sen C
x
dx
x x

 
  
   
 − 
 
= + +
 
 
 
 
− −
 
= − +
 
 
= − − +
=
−




Solución de ejemplo 1.

20. CASO 2. RAÍZ 𝒂𝟐 + 𝒙𝟐
𝑎
𝑥
𝑎2 + 𝑥2
𝜃
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
tan
sec
Identidad trigonométrica usada:
1+tan sec
x a
dx a d
x x

 
=
=
=
Ejemplo 2. Calcular
( )
2
2
1
2 1
dt
t +

1
2𝑡
1 + 2𝑡
2
𝜃
( ) ( )
2
tan 2 sec 2
t d dt
  
= → =
Solución:

21. Ejemplo 2. Calcular
( )
2
2
1
2 1
dt
t +

Solución:

22. Ejemplo 2. Calcular
( )
2
2
1
2 1
dt
t +

Solución:

23. 𝑎
𝑥
𝑥2 − 𝑎2
𝜃
CASO 3. RAÍZ
𝑥2 − 𝑎2
( )
( ) ( )
sec
sec tan
x a
dx a d

  
=
=
Ejemplo 3. Calcular
( )
3/2
2
3
2
dx
x x
−

1
𝑥 − 1
𝑥 − 1 2 − 1
𝜃
𝑥 − 1 = sec 𝜃 → dx = sec 𝜃 tan 𝜃 𝑑𝜃
( ) ( )
( )
3/2 3/2
2 2
3 3
2 1 1
dx dx
x x x
=
− − −
 
Solución:

24. Verificación del aprendizaje
Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve ejercicios y/o problemas
aplicados a la Ingeniería calculando integrales indefinidas por los
métodos de integración por partes y de sustitución trigonométrica, de
manera eficiente y consistente.
SE LOGRÓ
Logro de la sesión
https://quizizz.com/admin/quiz/
60af3c68519c97001bcc4dc0/?fr
omSearch=true&source=null&ga
meLeft=true

25. Conclusiones
Fuente: https://respuestas.tips/wp-content/uploads/2018/12/5-7.jpg
.
udv u v vdu
= −
 
2 2 2 2 2 2
, ,
a x a x x a
− + −
1. Dadas las funciones derivables 𝑢, 𝑣; el método de integración por partes
presenta la siguiente estructura:
2. El método de sustitución trigonométrica, consiste en transformar el
integrando a través de funciones trigonométricas y convertirla en una expresión
más simple de integrar. EL método funciona cuando se presentan cualquiera de
las siguientes raíces:
.

26. Metacognición
• ¿En qué aspectos de tu vida te podrán servir resolver
problemas mediante la integración por partes y la
sustitución trigonométrica?
• ¿Qué dificultades se presentaron en la resolución de
problemas?
• ¿De qué manera resolví las dificultades encontradas?
• ¿Qué he aprendido en esta sesión?

27. Bibliografía
1. Leithold, L. (1994). El Cálculo. Mexico: Oxford University
Press.
2. Purcell, V. R. (2007). Cálculo. México: Prentice Hall INC.
3. Ron Larson, B. E. (2010). Cálculo 1 de una variable. México:
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.
4. Stwart, J. (2012). Cálculo de una variable. Trascendentes
tempranas (Vol. Séptima Edición). Mexico DF: Cengage
Learning Editores, S.A. de C.V.

28. Consultas
Realice consultas a través del chat o solicita al docente
activar el micrófono para participar.
También podrás enviar sus consultas a través de Preguntas al
profesor y te responderé en 24 horas.

29. La próxima clase desarrollaremos el tema de
“Integración por fracciones parciales”

30. GRACIAS