Este documento presenta un problemario para un curso de cálculo integral. Incluye secciones sobre preliminares (álgebra, trigonometría y derivadas), métodos de integración como la sustitución, integración por partes y sustitución trigonométrica, fracciones parciales, y constante de integración. Propone una serie de problemas para practicar cada uno de estos temas.

1. Problemario para el interpolitécnico de cálculo integral
Profesor: Iván Chávez-López
24 de octubre de 2022
Nombre completo:

2. ÍNDICE 2
Índice
1. Preliminares 3
1.0.1. Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.0.2. Trigonometrı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.0.3. Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Formulario elemental de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. La regla de la sustitución para integrales 8
2.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3. Integración por partes 10
3.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4. Sustitución trigonométrica 12
4.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5. Fracciones parciales 15
5.1. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6. Constante de integración 16

3. 1 PRELIMINARES 3
1. Preliminares
1.0.1. Álgebra
1.0.2. Trigonometrı́a
Identidades recı́procas

4. 1 PRELIMINARES 4
Identidades Pitagóricas
Identidades de cociente

5. 1 PRELIMINARES 5
Identidades adicionales

6. 1 PRELIMINARES 6
1.0.3. Derivadas
Derivadas de funciones algebraicas
Denotamos a la derivada como
df
dx
o bien como f′
Derivadas de funciones trascendentes
Denotamos a la derivada como
df
dx
o bien como f′

7. 1 PRELIMINARES 7
1.1. Formulario elemental de integrales

8. 2 LA REGLA DE LA SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES 8
2. La regla de la sustitución para integrales
Sean f, g funciones continuas en [a, b] con g derivable en (a, b). Entonces la integral
Z
f(g(x))g′
(x)dx
Se puede plantear considerando la siguiente sustitución
u = g(x) −→ du = g′
(x)dx
Por lo que al sustituir en la integral se transforma como
Z
f(g(x))g′
(x)dx =
Z
f(u)du
Estamos en el supuesto que este cambio, genera una integral más sencilla de resolver.
Nota:
A veces se suele llamar la regla del cambio de variable o la U sustitución puesto que es la
variable que más se usa.
2.1. Problemas propuestos
Desarrolla las siguientes integrales
1.
Z
x−1
ln(3x) dx
2.
Z
x2
√
2 − 5x
dx
3.
Z
1
1 + e−2x
dx
4.
Z
ex+ex
dx
5.
Z
dx
√
5x(1 +
√
5x)

9. 2 LA REGLA DE LA SUSTITUCIÓN PARA INTEGRALES 9
6.
Z
x2 3
√
1 + x dx
7.
Z
cot(5x) ln(sin(5x)) dx
8.
Z
x5 3
√
x3 + 1 dx
9.
Z
dx
1 − x2 +
√
1 − x2
10.
Z √
x + 4
x
dx
11.
Z
dx
√
x − 3
√
x
12.
Z
x5
dx
4
√
5 − x2
13.
Z
dx
1 − sin x
14.
Z
cos x + sin x
sin 2x
dx
15.
Z √
tan 2x sec4
2x dx
16.
Z
cot3
x csc4
x dx
17.
Z
dx
2
√
x + 3 + x
18.
Z
1 −
√
3x + 2
1 +
√
3x + 2
dx

10. 3 INTEGRACIÓN POR PARTES 10
3. Integración por partes
Recordemos que...
Sean u, v funciones arbitrarias
d
dx
(uv) = udv + vdu
Integrando en ambos lados se tiene
Z
d
dx
(uv) =
Z
udv +
Z
vdu
Simplificando el lado izquierdo y despejando a
Z
udv
Z
udv = uv −
Z
vdu
La siguiente expresión se le conoce como el método de la integración por partes.
1. El método de la integración por partes se da cuando se tiene un producto de funciones.
2. Tomamos a u como lo más fácil para derivar y a dv como lo más fácil para integrar (la elección
es invariante y depende de la naturaleza de cada ejercicio)
3.1. Problemas propuestos
Encuentra el valor de cada una de las integrales
1.
Z
x2
e3x
dx
u = du =
v = dv =
2.
Z
x2
sin x dx
u = du =
v = dv =

11. 3 INTEGRACIÓN POR PARTES 11
3.
Z
(2x + 3)e4x
dx
u = du =
v = dv =
4.
Z
sin(ln x) dx
u = du =
v = dv =
5.
Z
sec3
y
2
dy
u = du =
v = dv =
6.
Z
xex
(x + 1)2
dx
u = du =
v = dv =
7.
Z
ln( 3
√
x) dx
u = du =
v = dv =

12. 4 SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 12
8.
Z
x ln(x + 2) dx
u = du =
v = dv =
9.
Z
e5x
cos(3x) dx
u = du =
v = dv =
4. Sustitución trigonométrica
¿Qué es el método de la sustitución trigonométrica?
1. Es un método de integración usado generalmente cuando el integrando tiene radicales de cual-
quier orden
2. Utilizamos funciones trigonométricas para hacer un cambio de variable. Posteriormente, se
resuelve mediante
Integrales trigonométricas inmediatas
U-sustitución
Método de integración por partes
3. Utilizamos identidades trigonométricas
4. Tenemos tres posibles casos

13. 4 SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 13
4.1. Problemas propuestos
1.
Z
x3
√
x2 − 4
dx
2.
Z
x2
x2 + 16
dx
3.
Z
x2
(9 − x2)
3
2
dx
4.
Z
dx
(4 + x2)
5
2
5.
Z
x2
(x2 − 1)2
dx
6.
Z
x
√
4x − x2
dx

14. 4 SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 14
7.
Z
dx
√
8x − x2
8.
Z
1
√
6x − x2
dx
9.
Z
x − 3
(5 − 4x − x2)
3
2
dx
10.
Z
dx
cos2(2x)
p
3 + tan2
(2x)
11.
Z
et
dt
(e2t + 8et + 7)
3
2
12.
Z √
e2x − 9 dx
13.
Z
dx
cos2(2x)
p
3 + tan2
(2x)

15. 5 FRACCIONES PARCIALES 15
5. Fracciones parciales
Sea f(x) =
P(x)
Q(x)
con el grado de P(x) menor al grado de Q(x) y Q(x) ̸= 0 (fracción algebraica
propia). En caso contrario (fracción algebraica impropia) se divide. Por lo que se tienen los siguientes
casos

16. 6 CONSTANTE DE INTEGRACIÓN 16
5.1. Problemas propuestos
Resuelve cada una de las integrales
1.
Z
3x + 7
x2 + 6x + 5
dx
2.
Z
2x + 1
(x − 1)(x + 3)
dx
3.
Z
x2
+ 2x + 4
(x + 1)3
dx
4.
Z
6x − 1
x3(2x − 1)
dx
5.
Z
x + 3
x4 + 9x2
dx
6.
Z
cos x
sin2
x + 3 sin x + 2
dx
7.
Z
4x
(x2 + 1)(x2 + 2x + 3)
dx
8.
Z
dx
csc(2x)(cos2(2x) − cos3(2x))
9.
Z
x3
− 2x
x2 + 3x + 2
dx
10.
Z
et
(et + 1)2(et − 2)
dt
11.
Z
x5
− 10x3
x4 − 10x2 + 9
dx
12.
Z
e2x
dx
(ex + 1)3
dx
6. Constante de integración
Resuelve los siguientes problemas
1. Determine la antiderivada de la siguiente función sujeta a la condición mostrada
dy
dx
= 2x y(2) = 6

17. 6 CONSTANTE DE INTEGRACIÓN 17
2. En cualquier punto (x, y) de una curva en particular la recta tangente tiene una pendiente igual
a 4x − 5. Si la curva contiene al punto (3, 7). Obtener su ecuación
3. En cualquier punto (x, y) de una curva en particular la recta tangente tiene una pendiente igual
a 2x − 3. Si la curva contiene al punto (3, 2). Obtener su ecuación
4. Determine la antiderivada de la siguiente función sujeta a la condición mostrada
dy
dx
=
√
3x y(9) = 4
5. Los puntos (−1, 3) y (0, 2) están en una curva, en cualquier punto (x, y) de la curva
d2
y
dx2
= 2−4x.
Determine la ecuación de su curva
6. Una ecuación de la recta tangente a una curva en el punto (1, 3) es y = x + 2. Si en cualquier
punto (x, y) de la curva Determine la ecuación de su curva
d2
y
dx2
= 6x
7. Una ecuación de la recta tangente a una curva en el punto (1, 1) es y = 2 − x. Si en cualquier
punto (x, y) de la curva Determine la ecuación de su curva
d2
y
dx2
= 1 − x2