YUJFGJ

1. 1/7
INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL
CÁLCULO INFINITESIMAL
COMPLEMENTOS 5. EL OPERADOR INTEGRAL. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
PROCEDIMIENTOS
1. Cambio de variable, sustitución.
2. Integrales de los tipos: 
⌡
⌠
++
+

⌡
⌠
++
+
dx
cbxax
BAx
dx
cbxax
BAx
22
3. Integración por partes.
4. Funciones racionales. Descomposición en fracciones simples.
5. Método de Hermite. Reducción de Ostrogadsky.
6. Funciones irracionales.
7. Integrales de funciones racionales del tipo: 
⌡
⌠






++ dxcbxaxxR 2,
8. Integrales binomias.
9. Integrales trigonométricas.
10. Otros procedimientos.
EJERCICIOS
∫ 
⌡
⌠
++++
∫
⌡
⌠
−−

⌡
⌠
++ 3636213344
2
.5Arcsen.4
232
.3
522
.2sen2cos.1
xxxx
dxx
dxxx
xx
dx
xx
dx
dxxex
( )

⌡
⌠
−+

⌡
⌠
+


⌡
⌠
−



 +
−+



⌡
⌠




 +
+

⌡
⌠ 



 +
442
.10
1
4 3
.9
3112
223
.8
2
12
322
.722L.6
xxx
dx
dx
x
x
dx
xx
xx
dx
x
x
dxx
∫ ∫ ( )∫ 
⌡
⌠
+
∫
⌡
⌠
+
+
21
.1634cotg.152cos6sen.14
sen1
sen
.132cos.12145.11
x
dxx
dxxdxxx
x
dxx
dxxdxxx
∫ ∫ dxxxedx
x
x
dx
x
x
x
dxx
dx
x
x
dxxx sen.22
32cos
3sen
.21
1
1
.20
41
.19
2cos
2sen
.184cos3.17 
⌡
⌠

⌡
⌠
−
+

⌡
⌠
−

⌡
⌠



⌡
⌠




 +
+

⌡
⌠

⌡
⌠
++
+−


⌡
⌠
+




 +
∫ dx
xx
x
dx
x
x
dx
xx
xx
dd
2
123
22
.27
L
.26
92104
22
.25
3tg1
2sec2tg2
.24Arctg.23 θ
θ
θθ
θθ
( ) 
⌡
⌠
+


⌡
⌠




 −
−

⌡
⌠ −




 +
⌡
⌠
++
+−

⌡
⌠
+
−
xxx
dxx
dx
x
xx
dxxdx
x
x
dx
x
x
sen2cos23sen
cos
.32
2
3
21
4223
.312
3
12.30
231
231
.29
136
1
.28
∫ 
⌡
⌠
+
+

⌡
⌠ −




 ++
⌡
⌠

⌡
⌠
+
+
dx
xx
x
dxxxx
xx
dx
dx
x
xx
dxxx
L3
L1
.371tg5623.36
2cos2sen
.35
2sen3
cossen
.343cos2sen.33

2. 2/7
INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL
CÁLCULO INFINITESIMAL
RESUMEN TEÓRICO DE LOS PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN
1. Cambio de variable. Sustitución.
Consiste en transformar la función subintegral mediante sustitución de la variable x por
una función de una nueva variable t en la forma:
( ) ( ) ( )∫ ( )[ ] ( )∫ dtttfdxxfdttdxtx ϕϕϕϕ ′=⇒′=⇒=
* Ejemplo.
∫
∫ CxCtdttIxdxdtxt
xdxxI
+=+==⇒=⇒=
=
2/32/3
sen
3
2
3
2
cossen
cossen
* Ejercicios de aplicación: 1, 4, 13, 16, 17, 21, 24, 29, 31, 32, 33, 34, 37.
2. Integrales de la formas:

⌡
⌠

⌡
⌠
++
+
++
+
dx
cbxax
BAx
bdx
cbxax
BAx
a
2
)
2
)
En ambos casos, cuando A es distinto de cero la integral se descompone en suma de dos.
La primera se resuelve buscando en el numerador la derivada del denominador, lo que implica
obtener un logaritmo en el caso a) y una raíz en el caso b). Para resolver la segunda integral, que
será de la forma:

⌡
⌠

⌡
⌠
++++
dx
cbxax
C
bdx
cbxax
C
a
2
)
2
)
basta con transformar el denominador en suma o diferencia de cuadrados, con lo cual resultará
un arco tangente o logaritmo en el caso a) y un logaritmo o arco seno en el b).
* Ejemplo.
( )
C
x
xx
x
dx
xx
dx
xx
dx
xx
x
dx
xx
x
Idx
xx
x
I
+
−
++−=
+−
++−=
=
+−
+
+−
−
=
+−
+−
=⇒
+−
+
=






⌡
⌠






⌡
⌠

⌡
⌠

⌡
⌠

⌡
⌠
2
1
arctg2522L
2
1
421
4522L
2
1
522
4
522
22
2
1
522
822
2
1
522
3
* Ejercicios de aplicación: 2,3.

3. 3/7
3. Integración por partes.
Consiste en aplicar la expresión siguiente que se desprende de la derivada del producto
de funciones:
∫∫ −= vduuvudv
* Ejemplo.
CxxxxdxxxI
xvxdxdv
dxduxu
xdxxI
++−=+−=⇒
⇒
−=⇒=
=⇒=
⇒=
∫
∫



sencoscoscos
cossen
sen
* Ejercicios de aplicación: 4, 6, 22, 23, 26, 36.
4. Integración de funciones racionales. Descomposición en fracciones simples.
Una función racional es aquella que puede ser expresada mediante el cociente de dos
polinomios P(x) / Q(x). Cuando el grado de P(x) es menor que el de Q(x) entonces la fracción se
denomina propia; en caso contrario, impropia. No obstante, toda fracción impropia puede
expresarse como suma de un polinomio más una fracción propia sin más que dividir numerador
entre denominador. Como la integración de un polinomio no encierra problema alguno,
consideremos la integración de fracciones propias mediante la descomposición en fracciones
simples.
Para ello se buscan las raíces del denominador Q(x) que pueden ser reales o complejas,
y a la vez simples o múltiples. La descomposición se realiza como sigue:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )m
mm
n
i
n
ii
m
ii
n
i
qpxx
NxM
qpxx
NxM
qpxx
NxM
xx
A
xx
A
xx
A
qxpxxx
xP
xQ
xP
++
+
++
++
+
+
++
+
+
+
−
++
−
+
−
=
++−
=
222
22
2
11
2
21
2
)(
)(
)(
K
K
K
donde los coeficientes A, M y N han de calcularse reduciendo a común denominador el segundo
miembro de la igualdad y comparando posteriormente con el primero. Tras la descomposición
de la fracción propia, la integración de los sumandos obtenidos no reviste dificultad.
* Ejemplo.
( ) ( )
( ) ( ) { }
( )
( ) C
x
xx
x
dx
x
dx
x
dx
I
CBACxxBxxA
x
C
x
B
x
A
xxxxxxxx
dx
I
+
−
−−−
⌡
⌠
=
⌡
⌠
−
+
−
−
⌡
⌠=⇒
⇒=−==⇒+−+−=⇒
⇒
−
+
−
+=
−
=
+−

⌡
⌠
⇒
+−
=
1
1
1LL
11
1;1;1111
111
1
2
1
2
2
2223223
* Ejercicios de aplicación: 5, 13, 24, 25, 32.

4. 4/7
5. Método de Hermite (Ostrogadski).
Este procedimiento, alternativo al anterior, se aplica en la integración de funciones
racionales cuando existen raíces múltiples en el denominador de la fracción propia. Consiste en
expresar la función subintegral mediante fracciones de coeficientes indeterminados en la
siguiente forma:
( ) ( ) ( ) ( )
qpxx
NMx
xx
A
qxpxxx
xR
dx
d
qxpxxx
xP
xQ
xP
i
m
ii
n
i
m
ii
n
i
++
+
++
−
+
+








++−
=
++−
= −−
2
1212
)()(
)(
)(
K
KK
donde R(x) es un polinomio indeterminado de grado inferior en una unidad al correspondiente
denominador. Evidentemente, una vez calculados los coeficientes mediante derivación,
reducción a común denominador y comparación de ambos miembros, la integral se reduce a
encontrar la primitiva en los sumandos no afectados por el operador derivación.
* Ejemplo.
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
{ } ( )
( ) ( ) C
x
xxx
x
x
dx
xx
x
x
dx
xxx
x
INMAcba
xx
NMx
x
A
xxx
cbxax
dx
d
xxx
xxx
dx
I
+
+
++++−−
−
−=
=
⌡
⌠

⌡
⌠
++
+
+
−
−
+
++−
−
=⇒==−==−==⇒
⇒
++
+
+
−
+








++−
++
=
++−
⇒
⇒
⌡
⌠
++−
=
3
12
arctg
33
2
1L
9
1
1L
9
2
)1(3
1
2
9
2
19
2
)1)(1(
3/1
9/4;9/2;9/2;0;3/1;0
111111
1
11
2
3
2
2
22
2
222
222
* Ejercicios de aplicación: 7, 8, 27.
6. Integración de funciones irracionales.
La integración de funciones irracionales consiste en racionalizar previamente la
magnitud subintegral mediante los cambios de variables adecuados, si bien ello no siempre es
posible.
Cuando la integral a resolver es de la forma:


⌡
⌠










dxxxxR s
r
n
m
,,, K
donde la función R es tal que entre sus variables sólo se realizan operaciones racionales, para
transformarla en una integral del tipo 4 se efectúa el cambio de variable:

5. 5/7
dtktdxtx kk 1−
=⇒=
donde k es el común denominador de las fracciones m/n, ..., r/s. Análogamente se opera cuando
la base de todas las potencias, en lugar de ser x, es una misma función racional f (x).
* Ejemplo.
( ) ( ) CxxxCtttdt
t
tI
t
dtt
tt
dtt
Idttdxtx
xx
dx
I
+−−+−+−=+−++=
⌡
⌠






−
++=⇒
⇒
⌡
⌠
−
=
⌡
⌠
−
=⇒=⇒=−⇒
⌡
⌠
−−−
=
112L2122121L22
1
1
12
1
2
2
4212
1212
442
2
2
3
34
4
* Ejercicios de aplicación: 9, 28.
7. Integrales de funciones del tipo:

⌡
⌠






++ dxcbxaxxR 2,
Esta integral se reduce a la de una función racional mediante alguno de los siguientes cambios:
( )( ) ( )txxxa
cxtcbxaxc
txacbxaxa
αβαβα −=−−−
+=++>−
+=++>−
:trinomiodelraícessonySi
:0Si
:0Si
2
2
En todos los casos se eleva la igualdad al cuadrado y se despeja x como función de t.
* Ejemplo.
( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
C
xx
xx
C
t
t
t
dt
I
t
t
xxdt
t
t
dx
t
t
xtxxtxxx
xx
dx
I
+
+−−
+−+
=
⌡
⌠
+
−
+
=
−
=⇒
⇒
−
=−+
−
=⇒
⇒
−
+
=⇒+=−⇒+=−+⇒
⌡
⌠
−+
=
411
411
L
1
1
L
1
2
1
5
43;
1
10
1
41
41414
43
2
2
2
22
2
2
2
2
* Ejercicios de aplicación: 10.
8. Integrales de las diferenciales binomias.
Se trata de integrales de la forma:
( )∫ dxbxax
pnm
+
donde m, n, p, a, b son constantes.

6. 6/7
Estas integrales se reducen únicamente en los casos que siguen mediante los cambios
correspondientes que se indican:
( )
sn
sn
n
tbaxZp
n
m
pstbxaZ
n
m
txZp
=+∈+
+
−
=+∈
+
−
=∈−
−
:
1
Si
dedivisoreles:
1
Si
:Si
* Ejemplo:
( )
( )
( )
( )
( )∫ 3 44736
23
3333
1
4
1
2
1
332
43
34
1
3 4
1con3
7
12
12
1
1
121
112
1
1
2
1
,
3
1
,
4
1
,
2
1
;
1
xtCttdttt
dt
t
tt
dxxxI
ttdx
tx
tx
Z
n
m
pnmdx
x
x
I
+=+−=−=
=


⌡
⌠
−
−
=



⌡
⌠










+=





−=
−=
⇒=+⇒
⇒∈=
+
===
⌡
⌠ +
=
−
* Ejercicios de aplicación: 11, 30.
9. Integrales de funciones trigonométricas.
Entre los muchos casos que se pueden presentar, figuran las siguientes:
a) Integrales del tipo:
Znmdxxx nm
∈∫ ,cossen
- Si m es impar y positivo se toma un seno como diferencial del coseno y los restantes se
expresan en función del coseno. Análogamente se opera cuando n es impar y positivo.
- Si m y n son pares y positivos la expresión subintegral se transforma valiéndose de las
fórmulas del ángulo doble, cos 2x y sen 2x.
- Si m y n son ambos negativos y pares se introducen las funciones secante y/o cosecante como
paso previo a la introducción de la tangente, tomando en la integral la diferencial de dicha
función. Este método también se aplica para resolver las integrales siguientes cuando m es
entero positivo:
∫∫ xdxxdx mm
cotgytg
- En el caso general, para valores cualesquiera de m y n, también puede intentarse la integración
por partes.

7. 7/7
* Ejemplo.
( ) ( ) ( ) C
x
xxdxxdx
x
dx
I ++=
⌡
⌠
+=== ∫∫ 3
tg
tgtgtg1tgsec
cos
3
22
4
b) Integrales del tipo:
∫ dxnxmxcossen
Se transforman en sumas de integrales mediante las fórmulas de suma y diferencia de senos, o
cosenos.
* Ejemplo.
( )∫ ∫ +−=−== C
xx
dxxxxdxxI
20
10sen
16
8sen
10cos8cos
2
1
sen9sen
c) Integrales del tipo:
( )∫ dxxxR cos,sen
donde R es una función racional.
- El cambio general es: tg (x/2) = t.
- Si se cumple que R (-sen x, - cos x) = R (sen x, cos x) entonces es útil el cambio: tg x = t.
En ambos casos el seno y coseno se expresan respectivamente en función de la tangente
mediante las correspondientes fórmulas trigonométricas.
* Ejemplo.
( )
⌡
⌠
+





+=++=
+
=







+
−
=
+
=
+
=
⇒=
⌡
⌠
++
=
C
x
Ct
t
dt
I
t
t
x
t
t
x
t
dt
dx
t
x
xx
dx
I
2
tg1L1L
1
1
1
cos;
1
2
sen
1
2
2
tg;
cossen1
2
2
2
2
* Ejercicios de aplicación: 12, 13, 14, 15, 18, 24, 32, 33, 34, 35.
10. Otros procedimientos.
Aunque existen otros métodos orientados a resolver integrales de funciones específicas,
en numerosas ocasiones la cuadratura puede realizarse prescindiendo del método que a priori se
establece para su resolución, gracias a un inteligente cambio de variable u operación elemental
que reduzca la laboriosidad que con frecuencia va implícita en los procedimientos. Por ello,
debe entenderse que la búsqueda de primitivas, cuando éstas existen, es un arte cuyo dominio se
alcanza cuando se realizan numerosos problemas.
* Ejercicios de aplicación: 20, 32, 34.
_________________________________________