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INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL
CÁLCULO INFINITESIMAL
RESUMEN TEÓRICO DE LOS PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN
1. Cambio de variable. Sustitución.
Consiste en transformar la función subintegral mediante sustitución de la variable x por
una función de una nueva variable t en la forma:
( ) ( ) ( )∫ ( )[ ] ( )∫ dtttfdxxfdttdxtx ϕϕϕϕ ′=⇒′=⇒=
* Ejemplo.
∫
∫ CxCtdttIxdxdtxt
xdxxI
+=+==⇒=⇒=
=
2/32/3
sen
3
2
3
2
cossen
cossen
* Ejercicios de aplicación: 1, 4, 13, 16, 17, 21, 24, 29, 31, 32, 33, 34, 37.
2. Integrales de la formas:
⌡
⌠
⌡
⌠
++
+
++
+
dx
cbxax
BAx
bdx
cbxax
BAx
a
2
)
2
)
En ambos casos, cuando A es distinto de cero la integral se descompone en suma de dos.
La primera se resuelve buscando en el numerador la derivada del denominador, lo que implica
obtener un logaritmo en el caso a) y una raíz en el caso b). Para resolver la segunda integral, que
será de la forma:
⌡
⌠
⌡
⌠
++++
dx
cbxax
C
bdx
cbxax
C
a
2
)
2
)
basta con transformar el denominador en suma o diferencia de cuadrados, con lo cual resultará
un arco tangente o logaritmo en el caso a) y un logaritmo o arco seno en el b).
* Ejemplo.
( )
C
x
xx
x
dx
xx
dx
xx
dx
xx
x
dx
xx
x
Idx
xx
x
I
+
−
++−=
+−
++−=
=
+−
+
+−
−
=
+−
+−
=⇒
+−
+
=
⌡
⌠
⌡
⌠
⌡
⌠
⌡
⌠
⌡
⌠
2
1
arctg2522L
2
1
421
4522L
2
1
522
4
522
22
2
1
522
822
2
1
522
3
* Ejercicios de aplicación: 2,3.](https://image.slidesharecdn.com/complementos5-150115235354-conversion-gate01/85/Complementos-5-2-320.jpg)
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- 1. 1/7 INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL CÁLCULOINFINITESIMAL COMPLEMENTOS 5. EL OPERADOR INTEGRAL. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN PROCEDIMIENTOS 1. Cambio de variable, sustitución. 2. Integrales de los tipos: ⌡ ⌠ ++ + ⌡ ⌠ ++ + dx cbxax BAx dx cbxax BAx 22 3. Integración por partes. 4. Funciones racionales. Descomposición en fracciones simples. 5. Método de Hermite. Reducción de Ostrogadsky. 6. Funciones irracionales. 7. Integrales de funciones racionales del tipo: ⌡ ⌠ ++ dxcbxaxxR 2, 8. Integrales binomias. 9. Integrales trigonométricas. 10. Otros procedimientos. EJERCICIOS ∫ ⌡ ⌠ ++++ ∫ ⌡ ⌠ −− ⌡ ⌠ ++ 3636213344 2 .5Arcsen.4 232 .3 522 .2sen2cos.1 xxxx dxx dxxx xx dx xx dx dxxex ( ) ⌡ ⌠ −+ ⌡ ⌠ + ⌡ ⌠ − + −+ ⌡ ⌠ + + ⌡ ⌠ + 442 .10 1 4 3 .9 3112 223 .8 2 12 322 .722L.6 xxx dx dx x x dx xx xx dx x x dxx ∫ ∫ ( )∫ ⌡ ⌠ + ∫ ⌡ ⌠ + + 21 .1634cotg.152cos6sen.14 sen1 sen .132cos.12145.11 x dxx dxxdxxx x dxx dxxdxxx ∫ ∫ dxxxedx x x dx x x x dxx dx x x dxxx sen.22 32cos 3sen .21 1 1 .20 41 .19 2cos 2sen .184cos3.17 ⌡ ⌠ ⌡ ⌠ − + ⌡ ⌠ − ⌡ ⌠ ⌡ ⌠ + + ⌡ ⌠ ⌡ ⌠ ++ +− ⌡ ⌠ + + ∫ dx xx x dx x x dx xx xx dd 2 123 22 .27 L .26 92104 22 .25 3tg1 2sec2tg2 .24Arctg.23 θ θ θθ θθ ( ) ⌡ ⌠ + ⌡ ⌠ − − ⌡ ⌠ − + ⌡ ⌠ ++ +− ⌡ ⌠ + − xxx dxx dx x xx dxxdx x x dx x x sen2cos23sen cos .32 2 3 21 4223 .312 3 12.30 231 231 .29 136 1 .28 ∫ ⌡ ⌠ + + ⌡ ⌠ − ++ ⌡ ⌠ ⌡ ⌠ + + dx xx x dxxxx xx dx dx x xx dxxx L3 L1 .371tg5623.36 2cos2sen .35 2sen3 cossen .343cos2sen.33
- 2. 2/7 INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL CÁLCULOINFINITESIMAL RESUMEN TEÓRICO DE LOS PROCEDIMIENTOS DE INTEGRACIÓN 1. Cambio de variable. Sustitución. Consiste en transformar la función subintegral mediante sustitución de la variable x por una función de una nueva variable t en la forma: ( ) ( ) ( )∫ ( )[ ] ( )∫ dtttfdxxfdttdxtx ϕϕϕϕ ′=⇒′=⇒= * Ejemplo. ∫ ∫ CxCtdttIxdxdtxt xdxxI +=+==⇒=⇒= = 2/32/3 sen 3 2 3 2 cossen cossen * Ejercicios de aplicación: 1, 4, 13, 16, 17, 21, 24, 29, 31, 32, 33, 34, 37. 2. Integrales de la formas: ⌡ ⌠ ⌡ ⌠ ++ + ++ + dx cbxax BAx bdx cbxax BAx a 2 ) 2 ) En ambos casos, cuando A es distinto de cero la integral se descompone en suma de dos. La primera se resuelve buscando en el numerador la derivada del denominador, lo que implica obtener un logaritmo en el caso a) y una raíz en el caso b). Para resolver la segunda integral, que será de la forma: ⌡ ⌠ ⌡ ⌠ ++++ dx cbxax C bdx cbxax C a 2 ) 2 ) basta con transformar el denominador en suma o diferencia de cuadrados, con lo cual resultará un arco tangente o logaritmo en el caso a) y un logaritmo o arco seno en el b). * Ejemplo. ( ) C x xx x dx xx dx xx dx xx x dx xx x Idx xx x I + − ++−= +− ++−= = +− + +− − = +− +− =⇒ +− + = ⌡ ⌠ ⌡ ⌠ ⌡ ⌠ ⌡ ⌠ ⌡ ⌠ 2 1 arctg2522L 2 1 421 4522L 2 1 522 4 522 22 2 1 522 822 2 1 522 3 * Ejercicios de aplicación: 2,3.
- 3. 3/7 3. Integración porpartes. Consiste en aplicar la expresión siguiente que se desprende de la derivada del producto de funciones: ∫∫ −= vduuvudv * Ejemplo. CxxxxdxxxI xvxdxdv dxduxu xdxxI ++−=+−=⇒ ⇒ −=⇒= =⇒= ⇒= ∫ ∫ sencoscoscos cossen sen * Ejercicios de aplicación: 4, 6, 22, 23, 26, 36. 4. Integración de funciones racionales. Descomposición en fracciones simples. Una función racional es aquella que puede ser expresada mediante el cociente de dos polinomios P(x) / Q(x). Cuando el grado de P(x) es menor que el de Q(x) entonces la fracción se denomina propia; en caso contrario, impropia. No obstante, toda fracción impropia puede expresarse como suma de un polinomio más una fracción propia sin más que dividir numerador entre denominador. Como la integración de un polinomio no encierra problema alguno, consideremos la integración de fracciones propias mediante la descomposición en fracciones simples. Para ello se buscan las raíces del denominador Q(x) que pueden ser reales o complejas, y a la vez simples o múltiples. La descomposición se realiza como sigue: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m mm n i n ii m ii n i qpxx NxM qpxx NxM qpxx NxM xx A xx A xx A qxpxxx xP xQ xP ++ + ++ ++ + + ++ + + + − ++ − + − = ++− = 222 22 2 11 2 21 2 )( )( )( K K K donde los coeficientes A, M y N han de calcularse reduciendo a común denominador el segundo miembro de la igualdad y comparando posteriormente con el primero. Tras la descomposición de la fracción propia, la integración de los sumandos obtenidos no reviste dificultad. * Ejemplo. ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) C x xx x dx x dx x dx I CBACxxBxxA x C x B x A xxxxxxxx dx I + − −−− ⌡ ⌠ = ⌡ ⌠ − + − − ⌡ ⌠=⇒ ⇒=−==⇒+−+−=⇒ ⇒ − + − += − = +− ⌡ ⌠ ⇒ +− = 1 1 1LL 11 1;1;1111 111 1 2 1 2 2 2223223 * Ejercicios de aplicación: 5, 13, 24, 25, 32.
- 4. 4/7 5. Método deHermite (Ostrogadski). Este procedimiento, alternativo al anterior, se aplica en la integración de funciones racionales cuando existen raíces múltiples en el denominador de la fracción propia. Consiste en expresar la función subintegral mediante fracciones de coeficientes indeterminados en la siguiente forma: ( ) ( ) ( ) ( ) qpxx NMx xx A qxpxxx xR dx d qxpxxx xP xQ xP i m ii n i m ii n i ++ + ++ − + + ++− = ++− = −− 2 1212 )()( )( )( K KK donde R(x) es un polinomio indeterminado de grado inferior en una unidad al correspondiente denominador. Evidentemente, una vez calculados los coeficientes mediante derivación, reducción a común denominador y comparación de ambos miembros, la integral se reduce a encontrar la primitiva en los sumandos no afectados por el operador derivación. * Ejemplo. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) { } ( ) ( ) ( ) C x xxx x x dx xx x x dx xxx x INMAcba xx NMx x A xxx cbxax dx d xxx xxx dx I + + ++++−− − −= = ⌡ ⌠ ⌡ ⌠ ++ + + − − + ++− − =⇒==−==−==⇒ ⇒ ++ + + − + ++− ++ = ++− ⇒ ⇒ ⌡ ⌠ ++− = 3 12 arctg 33 2 1L 9 1 1L 9 2 )1(3 1 2 9 2 19 2 )1)(1( 3/1 9/4;9/2;9/2;0;3/1;0 111111 1 11 2 3 2 2 22 2 222 222 * Ejercicios de aplicación: 7, 8, 27. 6. Integración de funciones irracionales. La integración de funciones irracionales consiste en racionalizar previamente la magnitud subintegral mediante los cambios de variables adecuados, si bien ello no siempre es posible. Cuando la integral a resolver es de la forma: ⌡ ⌠ dxxxxR s r n m ,,, K donde la función R es tal que entre sus variables sólo se realizan operaciones racionales, para transformarla en una integral del tipo 4 se efectúa el cambio de variable:
- 5. 5/7 dtktdxtx kk 1− =⇒= dondek es el común denominador de las fracciones m/n, ..., r/s. Análogamente se opera cuando la base de todas las potencias, en lugar de ser x, es una misma función racional f (x). * Ejemplo. ( ) ( ) CxxxCtttdt t tI t dtt tt dtt Idttdxtx xx dx I +−−+−+−=+−++= ⌡ ⌠ − ++=⇒ ⇒ ⌡ ⌠ − = ⌡ ⌠ − =⇒=⇒=−⇒ ⌡ ⌠ −−− = 112L2122121L22 1 1 12 1 2 2 4212 1212 442 2 2 3 34 4 * Ejercicios de aplicación: 9, 28. 7. Integrales de funciones del tipo: ⌡ ⌠ ++ dxcbxaxxR 2, Esta integral se reduce a la de una función racional mediante alguno de los siguientes cambios: ( )( ) ( )txxxa cxtcbxaxc txacbxaxa αβαβα −=−−− +=++>− +=++>− :trinomiodelraícessonySi :0Si :0Si 2 2 En todos los casos se eleva la igualdad al cuadrado y se despeja x como función de t. * Ejemplo. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C xx xx C t t t dt I t t xxdt t t dx t t xtxxtxxx xx dx I + +−− +−+ = ⌡ ⌠ + − + = − =⇒ ⇒ − =−+ − =⇒ ⇒ − + =⇒+=−⇒+=−+⇒ ⌡ ⌠ −+ = 411 411 L 1 1 L 1 2 1 5 43; 1 10 1 41 41414 43 2 2 2 22 2 2 2 2 * Ejercicios de aplicación: 10. 8. Integrales de las diferenciales binomias. Se trata de integrales de la forma: ( )∫ dxbxax pnm + donde m, n, p, a, b son constantes.
- 6. 6/7 Estas integrales sereducen únicamente en los casos que siguen mediante los cambios correspondientes que se indican: ( ) sn sn n tbaxZp n m pstbxaZ n m txZp =+∈+ + − =+∈ + − =∈− − : 1 Si dedivisoreles: 1 Si :Si * Ejemplo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ 3 44736 23 3333 1 4 1 2 1 332 43 34 1 3 4 1con3 7 12 12 1 1 121 112 1 1 2 1 , 3 1 , 4 1 , 2 1 ; 1 xtCttdttt dt t tt dxxxI ttdx tx tx Z n m pnmdx x x I +=+−=−= = ⌡ ⌠ − − = ⌡ ⌠ += −= −= ⇒=+⇒ ⇒∈= + === ⌡ ⌠ + = − * Ejercicios de aplicación: 11, 30. 9. Integrales de funciones trigonométricas. Entre los muchos casos que se pueden presentar, figuran las siguientes: a) Integrales del tipo: Znmdxxx nm ∈∫ ,cossen - Si m es impar y positivo se toma un seno como diferencial del coseno y los restantes se expresan en función del coseno. Análogamente se opera cuando n es impar y positivo. - Si m y n son pares y positivos la expresión subintegral se transforma valiéndose de las fórmulas del ángulo doble, cos 2x y sen 2x. - Si m y n son ambos negativos y pares se introducen las funciones secante y/o cosecante como paso previo a la introducción de la tangente, tomando en la integral la diferencial de dicha función. Este método también se aplica para resolver las integrales siguientes cuando m es entero positivo: ∫∫ xdxxdx mm cotgytg - En el caso general, para valores cualesquiera de m y n, también puede intentarse la integración por partes.
- 7. 7/7 * Ejemplo. ( )( ) ( ) C x xxdxxdx x dx I ++= ⌡ ⌠ +=== ∫∫ 3 tg tgtgtg1tgsec cos 3 22 4 b) Integrales del tipo: ∫ dxnxmxcossen Se transforman en sumas de integrales mediante las fórmulas de suma y diferencia de senos, o cosenos. * Ejemplo. ( )∫ ∫ +−=−== C xx dxxxxdxxI 20 10sen 16 8sen 10cos8cos 2 1 sen9sen c) Integrales del tipo: ( )∫ dxxxR cos,sen donde R es una función racional. - El cambio general es: tg (x/2) = t. - Si se cumple que R (-sen x, - cos x) = R (sen x, cos x) entonces es útil el cambio: tg x = t. En ambos casos el seno y coseno se expresan respectivamente en función de la tangente mediante las correspondientes fórmulas trigonométricas. * Ejemplo. ( ) ⌡ ⌠ + +=++= + = + − = + = + = ⇒= ⌡ ⌠ ++ = C x Ct t dt I t t x t t x t dt dx t x xx dx I 2 tg1L1L 1 1 1 cos; 1 2 sen 1 2 2 tg; cossen1 2 2 2 2 * Ejercicios de aplicación: 12, 13, 14, 15, 18, 24, 32, 33, 34, 35. 10. Otros procedimientos. Aunque existen otros métodos orientados a resolver integrales de funciones específicas, en numerosas ocasiones la cuadratura puede realizarse prescindiendo del método que a priori se establece para su resolución, gracias a un inteligente cambio de variable u operación elemental que reduzca la laboriosidad que con frecuencia va implícita en los procedimientos. Por ello, debe entenderse que la búsqueda de primitivas, cuando éstas existen, es un arte cuyo dominio se alcanza cuando se realizan numerosos problemas. * Ejercicios de aplicación: 20, 32, 34. _________________________________________