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Introducción a la Mecánica (Parte II)

El documento es una guía sobre la mecánica, centrándose en el factor de seguridad, la deformación y el esfuerzo-deformación, cruciales para el diseño de varillas, tornillos y pernos bajo diversas condiciones de carga. Se abordan conceptos clave como la carga permisible, la elección del factor de seguridad y las ecuaciones de torsión elásticas. También se incluyen actividades prácticas y ejercicios para reforzar el aprendizaje de estos principios mecánicos.

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1 / 59 Introducción a la Mecánica (Parte II) J. A. Orduz-Ducuara 23 de junio de 2015
Contenido • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 2 / 59 Contenido Evaluación Producto Objetivo Conceptos ¿Cómo elegir una FS apropiado? Conceptos Fenómenos por flexión
Criterios de evaluación • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 3 / 59 Estos son los criterios de evaluación. El alumno debe: Exponer claramente conceptos como: • factor de seguridad. • deformación • Esfuerzo-deformación • deformación y relación esfuerzo-deformación. Realizar los ejercicios y ejemplos propuestos. Participar en clase con ideas, comentarios o conceptos.
Producto • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 4 / 59 Un examen con valor del 30 % Examen: viernes 22 de mayo de 2015. La bibliografía la encuentran al final de este documento.
Objetivo • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 5 / 59 Diseñar varillas, tornillos y pernos bajo condiciones un poco más complicadas de carga que lo visto anteriormente.
Conceptos • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 6 / 59 Carga permisible: Es una carga menor a la carga que lleva a un material al punto de cedencia. Algunas veces se le conoce como carga de trabajo o carga ed diseño. Factor de seguridad: Es la razón entre la carga de cedencia y la carga permisible; i. e.: FS = Carga de cedencia Carga permisible (1) Otra forma de definir FS, FS = Esfuerzo de cedencia Esfuerzo permisible (2)
• Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 7 / 59 Las ecuaciones anteriores (1 y 2) son identicas cuando existe una combinación lineal entre la carga y el esfuerzo. Pero esta relación termina cuando el valor del esfuerzo se aproxima al (esfuerzo) de cedencia. Importante: Carga permisible= Carga de funcionamiento = carga de diseño.
• Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 8 / 59 Elegir una FS es una tarea importante. A continuación daremos algunas consideraciones. Nótese que solamente una fracción de la la capacidad de la carga de cedencia se usa cuando la carga permisible se aplica. La porción restante de la capacidad de carga soportable del miembro se mantiene en reserva para asegurar su comportamiento seguro.
¿Cómo elegir una FS apropiado? • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 9 / 59 A continuación presentamos algunas consideraciones que se deben usar para elegir un FS apropiado:
• Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 10 / 59
• Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 11 / 59
• Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 12 / 59
• Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 13 / 59
• Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 14 / 59
• Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 15 / 59
Elección del FS • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 16 / 59 Elegir un FS es una tarea muy importante para la ingeniería. Elegir un FS demasiado pequeño, posibilita fallas y es inaceptable; si el FS se elige innecesariamente grande, el resultado es un diseño no funcional y costoso.
Códigos de construcción y especificaciones de diseño • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 17 / 59 A continuación daremos algunos ejemplos de los comités que regulan las especificiones de los materiales: Investigar: Factor de Resistencia
Conceptos: Torsión, presiones y las deformaciones causa- das • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 18 / 59 En esta sección consideraremos miembros y partes de las máquinas que están sometidas a torsiones
Actividad en Clase • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 19 / 59 Observe las siguientes simulaciones. Responda y discuta con sus compañeros sobre los siguientes tópicos (Colocar simulación de Physion) 1. ¿Qué tipo de esfuerzos intervienen en los fenómenos? 2. Las simulaciones estan desarrolladas en el plano, pero. . . ¿qué sucede si imagina el mismo fenómeno en el espacio tridimensional? a) ¿Aparecen nuevos esfuerzos o son los mismos que en el espacio bidimensional? b) ¿Qué otros esfuerzos aparecen? Explíquelos.
• Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 20 / 59 3. Puedes proponer otros fenómenos en los que sucedan esfuerzos nuevos, ¿cuáles? Explíquelos. 4. Piensa en los fenómenos de tracción y en los de torsión, ¿Cuál es la diferencia? 5. Piensa en los fenómenos de compresión y en los de torsión, ¿Cuál es la diferencia?
Introducción • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 21 / 59 En la siguiente sección vamos a trabajar sobre torsión ¿Cuál es la dirección de la torsión?
Introducción • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 22 / 59
Propiedad de los Ejes circulares • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 23 / 59 “Cuando un eje circular se somete a torsión, cada sección transversal permanece plana y sin deformar” Esta propiedad te permitirá determinar: “la distribución de esfuerzos de cizallamiento en un eje circular y concluir que el esfuerzo de cizallamiento varia linealmente con la distancia desde el eje axial del eje circular ”
Representaciones de torsión • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 24 / 59
Esfuerzos en una flecha (eje) • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 25 / 59 Consideremos la siguiente imagen: T ′ es el torque opuesto al e igual en magnitud al torque interno, T . El diagrama de cuerpo libre es: donde, dF es el diferencial de la fuerza de cizallamiento ρ es la distancia perpendicular desde la fuerza hasta el eje de la flecha.
El cizallamiento no puede ser en un plano. . . • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 26 / 59 En esta figura mostramos un elemento de la flecha que ilustra el esfuerzo de cizallamiento en las caras perpendiculares a los ejes de la flecha. También, señalamos los esfuerzos iguales en los planos que contienen los ejes de la flecha.
Representación matemática de los conceptos Físicos • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 27 / 59 Torque T = τ = r × F. Vamos a usar ρ para etiquetar el radio, usaremos negrillas o una flecha sobre la cantidad física que sean cantidades vectoriales (letra). Y ahora definimos que las cantidades vectoriales son perpendiculares, por esa razón, escribimos: ρdF = T (3) pero, sabemos que F = τA, donde τ es la tensión. Expresando como una derivada dF = τdA. Por lo que, podemos escribir: ρ(τdA) = T (4)
Descripción de las deformaciones por cizallamiento • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 28 / 59 Consideremos esta figura (a) donde la flecha ha sido girada un ángulo φ. Separemos un cilindro de radio ρ y consideremos un cuadrado mostrado en rojo (b). Veamos como el cuadrado se deforma, convirtiéndose en un rombo, después de someter la flecha a una carga (c).
Descripción de las deformaciones por cizallamiento • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 29 / 59 La deformación por cizallamiento en un elemento está dado por el cambio en los ángulos formados por los lados del elemento.
Descripción de las deformaciones por cizallamiento • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 30 / 59 Notemos que las líneas que forman los dos círculos permanecen sin cambiar; por lo que la deformación por cizallamiento debe ser igual al ángulo entre las líneas AB y A′B.
Descripción de las deformaciones por cizallamiento • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 31 / 59 Veamos las fig. c; podemos definir el arco AA′ = Lγ y observando la cara de la flecha, tenemos: AA′ = ρφ; por lo que igualando estas ecuaciones, obtenemos: Lγ = ρφ (5) γ = ρφ L (6) γ y θ medidos en radianes, ρ y L en unidades de longitud.
Conclusión • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 32 / 59 las deformaciones por cizallamiento en una flecha circular cambia linealmente con la distancia del eje de la flecha. En forma general, definimos: γmáx = cφ L (7) y, obtenemos, γ = ρ c γmáx (8)
La ley de Hooke • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 33 / 59 Recordando que la ley de Hooke la expresamos: esfuerzo normal de tensión o de compresión y el modulo de tensión de elasticidad del material (alargamiento) de la pieza que se está probando σ = E ǫ (9) deformación El modulo de Elasticidad (E) (modulo de Young) tiene las misma unidades que el esfuerzo de tensión (o tensión). Usamos los nuevos símbolos: τ = Gγ (10) donde σ → τ, E → G y ǫ → γ.
Esfuerzo de cizallamiento • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 34 / 59 Usando las ecuaciones anteriores, obtenemos: τ = ρ c τmáx (11) y concluimos que el esfuerzo de cizallamiento en una flecha varia linealmente con la distancia ρ desde el eje de la flecha. Introduciendo la ecuación (11) en (4), obtenemos: T = τmáx c ρ2 dA (12) donde Es el momento de Inercia: J.
Ecuaciones de torsión elásticas • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 35 / 59 Haciendo un poco de álgebra, podemos obtener: τmáx = T c J (13) y τ = T ρ J (14) las ecuaciones (13) y (14) son conocidas como: ecuaciones de torsión elástica.
Ejercicios • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 36 / 59 1. En el Sistema Internacional (SI) y de EE.UU. ¿Cuáles son las unidades de T, J y τ? 2. Calcule el momento de inercia de un círculo de radio ρ. 3. Calcule el momento de inercia de una flecha cuya sección transversal tiene un hoyo, el radio interno es c1 y el externo es c2. 4. Solucione y explíque el ejemplo 3.01 de la página 150. 5. Solucione y explíque el problema ejemplo 3.1 de la página 152. 6. Ejercicio para casa: Solucione y explíque el problema ejemplo 3.2 de la página 153. Lo revisaremos en la siguiente clase.
Ejercicio en Clase • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 37 / 59 Considere un sistema como el que se muestra en la siguiente figura: Considerando que el esfuerzo de cizallamiento permisible es de(τ) 8 500 psi, la magnitud del torque en el punto C (TC) es 5 kip · in; (kip = klb) y ade- más el ensamble está en equi- librio. Determinar el diámetro de la flecha a) BC y b) EF.
Solución • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 38 / 59 Usando la Fig. P325, que muestra un sistema con dos ejes y dos engranes que forman un engranaje. Objetivos: Calcular los diámetros de las dos flechas que funcionan como ejes de los engranes. Conocemos: τ = 8 500 psi = 8,5 ksi; TC = 5 kip · in; y que el sistema está en equilibrio i Fi = 0. Análisis: Los ejes tienen sección transversal circular y ya conocemos su momento de inercia: J = π c4 2 .
Resultados • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 39 / 59 a) Resultados: τmáx = T c J τmáx = T c π c4 2 τmáx = 2T π c3 despejando, c = 3 2T πτmáx entonces, dBC = 2c = 2 3 2T πτmáx
• Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 40 / 59 b) FA − FD = 0 TC cA = TF cD cD cA TC = TF Obtenemos TF y lo introducimos en: dEF = 2 3 2TF πτmáx
Ángulo de Torsión • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 41 / 59 El ángulo de torsión φ es pro- porcional al torque aplicado en la flecha. La flecha debe ser homogénea; es decir, G debe ser constante, sección transversal uniforme y la carga debe ser colocada en su extremo. Esta figura muestra el ángu- lo de giro φ. Podemos hacer uso de la ley de Hooke y de la ecuación que describe las de- formaciones por cizallamiento (7); esto es: γmáx = c φ L y γmáx = τmáx G = T c J G ; combinándolas obtenemos: φ = T L J G (15)
Flecha con sección transversal circular variable • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 42 / 59 Considerando la figura podemos expresar la ecuación para el ángulo de torsión: φ = L 0 T dx J G (16)
Ángulo relativo de Torsión • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 43 / 59 Cada flecha tiene un módulo de rigidez G. Aplicando un torque T se aplica en E; las dos flechas giran. Nótese que en D, la flecha AD está fija; el ángulo AD se mide por el ángulo de Torsión φA en el fin de A. Por otro lado, veamos que am- bos extremos de la flecha BE rotan; el ángulo de torsión BE is igual a la diferencia entre los ángulo de torsión φB y φE; es decir, el ángulo de giro es igual a el ángulo por el cual el extre- mo E rota con respecto al ex- tremo B. Llamemos a este án- gulo relativo de torsión de la si- guiente forma: φE/B = φE − φB = T L J G Realizar el problema muestra 3., pág.165.
¡Importante! • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 44 / 59 Es importante señalar que lo que hemos trabajado permanece en el límite elástico: “Un material se dice se comporta elásticamente, si las deformaciones causadas en un material de prueba por la aplicación de una carga dada, desaparecen cuando la carga se remueve.”
Fenómenos por flexión • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 45 / 59 En las secciones anteriores estudiamos fenómenos para determi- nar presiones de miembros sometidos a cargas axiales o de giro. . . . Ahora estudiaremos fe- nómenos relacionados con flexión.
Algunos conceptos • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 46 / 59 Flexión Pura: Un miembro se dice que está en flexión pura si se somete a acoplamientos iguales y opuestos M y M′ actuando en el mismo plano. Plano longitudinal: Es aquel plano que divide un miembro simétricamente (esta definición se toma para este curso y lo aclararemos posteriormente). Cargas axiales excéntricas: Son aquellas cargas que se aplican fuera del eje de axial. Cargas transversales: Son aquellas cargas que se aplican perpendicular al aje axial.
Representación Pictórica y Vectorial • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 47 / 59 Este es un ejemplo típico de una flexión pura. Las reacciones en las manos del deportista deben ser iguales y opuestas a las cargas.
• Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 48 / 59 Considerando la distancia entre CD de la figura anterior; podemos reemplazar las cargas y las reacciones por dos iguales y opuestas de 960 lb · in .
Cargas axiales excéntricas • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 49 / 59
Cargas Transversales • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 50 / 59 Esta figura se conoce como cantilever (miembros sujetos a cargas transversales). Observando el diagrama de cuerpo libre de la fig. 4.4b; obtenemos, el momento flexionante M = Px. También podemos ver la fuerza opuesta P′.
Deformaciones por Flexión • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 51 / 59 La línea que formaba el meimbro AB, ahora tiene una curva cuyo círculo tiene centro en C
Análisis • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 52 / 59
Algunas ecuaciones. . . • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 53 / 59 La longitud (L) del miembro no deformado es. L = ρθ y del miembro deformado es: L′ = (ρ − y)θ y la deformación es: δ = L′ − L; combinando las ecuaciones anteriores, obtenemos: δ = −yθ La deformación longitudinal de JK (ver figura anterior) se define como: ǫx = δ L = −y θ ρ θ , o ǫx = − y ρ . Relacionaremos el signo menos con la curva concava.
Conclusión • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 54 / 59 La deformación normal longitudinal ǫx varia linealmente con la dis- tancia y de la superficie neutra; es decir la superficie donde ǫx y σx son nulos. La superficie neutra intersecta el plano de simetría a lo largo de un arco de círculo DE (ver figura) y la sección transversal a lo largo de una línea recta llamada, eje neutro. El valor máximo que puede tomar la deformación ǫ es: ǫm = c ρ y obtenemos, ǫx = −y c ǫm.
Esfuerzo normal • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 55 / 59 El esfuerzo normal está dado por: σ = −M y I donde I es el momento de inercia y S es el módulo de la sección elástica y está dada por: S = I c ; por lo que obtenemo: σm = M S Retomando la ley dev Hooke, σx = Eǫx y usando la ecuación ante- rior para la deformación, obtenemos: σx = −y c σm y σm denota el valor absoluto máximo de tensión.
Ejemplo • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 56 / 59 Considere una viga de madera con una sección transversal rectangular de lados (ancho) b y (altura) h. Obtenga el módulo de sección elástica S. Considere que c = h/2. Observe el resultado note la dependencia con h.
Otra Conclusión (resultado) • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 57 / 59 La deformación del miembro causado por el momento flexionante se mide por la curvatura de la superficie neutra. La curvatura se define como el recíproco del radio de curvatura ρ y puede ser obtenido: 1 ρ = ǫm c , y en el rango elástico, tenemos: ǫm = σm/E; y haciendo álgebra, obtenemos, 1 ρ = M E I
Fin. . . • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 58 / 59 Continuará. . . Éxitos.
Referencias • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 59 / 59 [1] Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, John T. DeWolf, and David Mazurek. Mechanics of materials. Mc Graw Hill, 6th. edition, 2012. [2] Robert L. Mott. Resistencia de Materiales. Prentice Hall, 5ta edition, 2009. [3] William A. Nash. Resistencia de Materiales. Mc Graw Hill, 1991. [4] Sitio web, 2015. https://curiosoando.com/que-es-una-fuerza-axial. [5] Sitio web, 2015. http://www.parro.com.ar/definicion-de-fuerza+axial.

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Introducción a la Mecánica (Parte II)

  • 1.
    1 / 59 Introduccióna la Mecánica (Parte II) J. A. Orduz-Ducuara 23 de junio de 2015
  • 2.
    Contenido • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 2 / 59 Contenido Evaluación Producto Objetivo Conceptos ¿Cómo elegir una FS apropiado? Conceptos Fenómenos por flexión
  • 3.
    Criterios de evaluación •Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 3 / 59 Estos son los criterios de evaluación. El alumno debe: Exponer claramente conceptos como: • factor de seguridad. • deformación • Esfuerzo-deformación • deformación y relación esfuerzo-deformación. Realizar los ejercicios y ejemplos propuestos. Participar en clase con ideas, comentarios o conceptos.
  • 4.
    Producto • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 4 / 59 Un examen con valor del 30 % Examen: viernes 22 de mayo de 2015. La bibliografía la encuentran al final de este documento.
  • 5.
    Objetivo • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 5 / 59 Diseñar varillas, tornillos y pernos bajo condiciones un poco más complicadas de carga que lo visto anteriormente.
  • 6.
    Conceptos • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 6 / 59 Carga permisible: Es una carga menor a la carga que lleva a un material al punto de cedencia. Algunas veces se le conoce como carga de trabajo o carga ed diseño. Factor de seguridad: Es la razón entre la carga de cedencia y la carga permisible; i. e.: FS = Carga de cedencia Carga permisible (1) Otra forma de definir FS, FS = Esfuerzo de cedencia Esfuerzo permisible (2)
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    • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 7 / 59 Las ecuaciones anteriores (1 y 2) son identicas cuando existe una combinación lineal entre la carga y el esfuerzo. Pero esta relación termina cuando el valor del esfuerzo se aproxima al (esfuerzo) de cedencia. Importante: Carga permisible= Carga de funcionamiento = carga de diseño.
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    • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 8 / 59 Elegir una FS es una tarea importante. A continuación daremos algunas consideraciones. Nótese que solamente una fracción de la la capacidad de la carga de cedencia se usa cuando la carga permisible se aplica. La porción restante de la capacidad de carga soportable del miembro se mantiene en reserva para asegurar su comportamiento seguro.
  • 9.
    ¿Cómo elegir unaFS apropiado? • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 9 / 59 A continuación presentamos algunas consideraciones que se deben usar para elegir un FS apropiado:
  • 10.
    • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 10 / 59
  • 11.
    • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 11 / 59
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    • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 12 / 59
  • 13.
    • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 13 / 59
  • 14.
    • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 14 / 59
  • 15.
    • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 15 / 59
  • 16.
    Elección del FS •Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 16 / 59 Elegir un FS es una tarea muy importante para la ingeniería. Elegir un FS demasiado pequeño, posibilita fallas y es inaceptable; si el FS se elige innecesariamente grande, el resultado es un diseño no funcional y costoso.
  • 17.
    Códigos de construccióny especificaciones de diseño • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 17 / 59 A continuación daremos algunos ejemplos de los comités que regulan las especificiones de los materiales: Investigar: Factor de Resistencia
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    Conceptos: Torsión, presionesy las deformaciones causa- das • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 18 / 59 En esta sección consideraremos miembros y partes de las máquinas que están sometidas a torsiones
  • 19.
    Actividad en Clase •Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 19 / 59 Observe las siguientes simulaciones. Responda y discuta con sus compañeros sobre los siguientes tópicos (Colocar simulación de Physion) 1. ¿Qué tipo de esfuerzos intervienen en los fenómenos? 2. Las simulaciones estan desarrolladas en el plano, pero. . . ¿qué sucede si imagina el mismo fenómeno en el espacio tridimensional? a) ¿Aparecen nuevos esfuerzos o son los mismos que en el espacio bidimensional? b) ¿Qué otros esfuerzos aparecen? Explíquelos.
  • 20.
    • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 20 / 59 3. Puedes proponer otros fenómenos en los que sucedan esfuerzos nuevos, ¿cuáles? Explíquelos. 4. Piensa en los fenómenos de tracción y en los de torsión, ¿Cuál es la diferencia? 5. Piensa en los fenómenos de compresión y en los de torsión, ¿Cuál es la diferencia?
  • 21.
    Introducción • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 21 / 59 En la siguiente sección vamos a trabajar sobre torsión ¿Cuál es la dirección de la torsión?
  • 22.
    Introducción • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 22 / 59
  • 23.
    Propiedad de losEjes circulares • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 23 / 59 “Cuando un eje circular se somete a torsión, cada sección transversal permanece plana y sin deformar” Esta propiedad te permitirá determinar: “la distribución de esfuerzos de cizallamiento en un eje circular y concluir que el esfuerzo de cizallamiento varia linealmente con la distancia desde el eje axial del eje circular ”
  • 24.
    Representaciones de torsión •Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 24 / 59
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    Esfuerzos en unaflecha (eje) • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 25 / 59 Consideremos la siguiente imagen: T ′ es el torque opuesto al e igual en magnitud al torque interno, T . El diagrama de cuerpo libre es: donde, dF es el diferencial de la fuerza de cizallamiento ρ es la distancia perpendicular desde la fuerza hasta el eje de la flecha.
  • 26.
    El cizallamiento nopuede ser en un plano. . . • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 26 / 59 En esta figura mostramos un elemento de la flecha que ilustra el esfuerzo de cizallamiento en las caras perpendiculares a los ejes de la flecha. También, señalamos los esfuerzos iguales en los planos que contienen los ejes de la flecha.
  • 27.
    Representación matemática delos conceptos Físicos • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 27 / 59 Torque T = τ = r × F. Vamos a usar ρ para etiquetar el radio, usaremos negrillas o una flecha sobre la cantidad física que sean cantidades vectoriales (letra). Y ahora definimos que las cantidades vectoriales son perpendiculares, por esa razón, escribimos: ρdF = T (3) pero, sabemos que F = τA, donde τ es la tensión. Expresando como una derivada dF = τdA. Por lo que, podemos escribir: ρ(τdA) = T (4)
  • 28.
    Descripción de lasdeformaciones por cizallamiento • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 28 / 59 Consideremos esta figura (a) donde la flecha ha sido girada un ángulo φ. Separemos un cilindro de radio ρ y consideremos un cuadrado mostrado en rojo (b). Veamos como el cuadrado se deforma, convirtiéndose en un rombo, después de someter la flecha a una carga (c).
  • 29.
    Descripción de lasdeformaciones por cizallamiento • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 29 / 59 La deformación por cizallamiento en un elemento está dado por el cambio en los ángulos formados por los lados del elemento.
  • 30.
    Descripción de lasdeformaciones por cizallamiento • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 30 / 59 Notemos que las líneas que forman los dos círculos permanecen sin cambiar; por lo que la deformación por cizallamiento debe ser igual al ángulo entre las líneas AB y A′B.
  • 31.
    Descripción de lasdeformaciones por cizallamiento • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 31 / 59 Veamos las fig. c; podemos definir el arco AA′ = Lγ y observando la cara de la flecha, tenemos: AA′ = ρφ; por lo que igualando estas ecuaciones, obtenemos: Lγ = ρφ (5) γ = ρφ L (6) γ y θ medidos en radianes, ρ y L en unidades de longitud.
  • 32.
    Conclusión • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 32 / 59 las deformaciones por cizallamiento en una flecha circular cambia linealmente con la distancia del eje de la flecha. En forma general, definimos: γmáx = cφ L (7) y, obtenemos, γ = ρ c γmáx (8)
  • 33.
    La ley deHooke • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 33 / 59 Recordando que la ley de Hooke la expresamos: esfuerzo normal de tensión o de compresión y el modulo de tensión de elasticidad del material (alargamiento) de la pieza que se está probando σ = E ǫ (9) deformación El modulo de Elasticidad (E) (modulo de Young) tiene las misma unidades que el esfuerzo de tensión (o tensión). Usamos los nuevos símbolos: τ = Gγ (10) donde σ → τ, E → G y ǫ → γ.
  • 34.
    Esfuerzo de cizallamiento •Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 34 / 59 Usando las ecuaciones anteriores, obtenemos: τ = ρ c τmáx (11) y concluimos que el esfuerzo de cizallamiento en una flecha varia linealmente con la distancia ρ desde el eje de la flecha. Introduciendo la ecuación (11) en (4), obtenemos: T = τmáx c ρ2 dA (12) donde Es el momento de Inercia: J.
  • 35.
    Ecuaciones de torsiónelásticas • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 35 / 59 Haciendo un poco de álgebra, podemos obtener: τmáx = T c J (13) y τ = T ρ J (14) las ecuaciones (13) y (14) son conocidas como: ecuaciones de torsión elástica.
  • 36.
    Ejercicios • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 36 / 59 1. En el Sistema Internacional (SI) y de EE.UU. ¿Cuáles son las unidades de T, J y τ? 2. Calcule el momento de inercia de un círculo de radio ρ. 3. Calcule el momento de inercia de una flecha cuya sección transversal tiene un hoyo, el radio interno es c1 y el externo es c2. 4. Solucione y explíque el ejemplo 3.01 de la página 150. 5. Solucione y explíque el problema ejemplo 3.1 de la página 152. 6. Ejercicio para casa: Solucione y explíque el problema ejemplo 3.2 de la página 153. Lo revisaremos en la siguiente clase.
  • 37.
    Ejercicio en Clase •Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 37 / 59 Considere un sistema como el que se muestra en la siguiente figura: Considerando que el esfuerzo de cizallamiento permisible es de(τ) 8 500 psi, la magnitud del torque en el punto C (TC) es 5 kip · in; (kip = klb) y ade- más el ensamble está en equi- librio. Determinar el diámetro de la flecha a) BC y b) EF.
  • 38.
    Solución • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 38 / 59 Usando la Fig. P325, que muestra un sistema con dos ejes y dos engranes que forman un engranaje. Objetivos: Calcular los diámetros de las dos flechas que funcionan como ejes de los engranes. Conocemos: τ = 8 500 psi = 8,5 ksi; TC = 5 kip · in; y que el sistema está en equilibrio i Fi = 0. Análisis: Los ejes tienen sección transversal circular y ya conocemos su momento de inercia: J = π c4 2 .
  • 39.
    Resultados • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 39 / 59 a) Resultados: τmáx = T c J τmáx = T c π c4 2 τmáx = 2T π c3 despejando, c = 3 2T πτmáx entonces, dBC = 2c = 2 3 2T πτmáx
  • 40.
    • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 40 / 59 b) FA − FD = 0 TC cA = TF cD cD cA TC = TF Obtenemos TF y lo introducimos en: dEF = 2 3 2TF πτmáx
  • 41.
    Ángulo de Torsión •Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 41 / 59 El ángulo de torsión φ es pro- porcional al torque aplicado en la flecha. La flecha debe ser homogénea; es decir, G debe ser constante, sección transversal uniforme y la carga debe ser colocada en su extremo. Esta figura muestra el ángu- lo de giro φ. Podemos hacer uso de la ley de Hooke y de la ecuación que describe las de- formaciones por cizallamiento (7); esto es: γmáx = c φ L y γmáx = τmáx G = T c J G ; combinándolas obtenemos: φ = T L J G (15)
  • 42.
    Flecha con seccióntransversal circular variable • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 42 / 59 Considerando la figura podemos expresar la ecuación para el ángulo de torsión: φ = L 0 T dx J G (16)
  • 43.
    Ángulo relativo deTorsión • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 43 / 59 Cada flecha tiene un módulo de rigidez G. Aplicando un torque T se aplica en E; las dos flechas giran. Nótese que en D, la flecha AD está fija; el ángulo AD se mide por el ángulo de Torsión φA en el fin de A. Por otro lado, veamos que am- bos extremos de la flecha BE rotan; el ángulo de torsión BE is igual a la diferencia entre los ángulo de torsión φB y φE; es decir, el ángulo de giro es igual a el ángulo por el cual el extre- mo E rota con respecto al ex- tremo B. Llamemos a este án- gulo relativo de torsión de la si- guiente forma: φE/B = φE − φB = T L J G Realizar el problema muestra 3., pág.165.
  • 44.
    ¡Importante! • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 44 / 59 Es importante señalar que lo que hemos trabajado permanece en el límite elástico: “Un material se dice se comporta elásticamente, si las deformaciones causadas en un material de prueba por la aplicación de una carga dada, desaparecen cuando la carga se remueve.”
  • 45.
    Fenómenos por flexión •Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 45 / 59 En las secciones anteriores estudiamos fenómenos para determi- nar presiones de miembros sometidos a cargas axiales o de giro. . . . Ahora estudiaremos fe- nómenos relacionados con flexión.
  • 46.
    Algunos conceptos • Contenido •Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 46 / 59 Flexión Pura: Un miembro se dice que está en flexión pura si se somete a acoplamientos iguales y opuestos M y M′ actuando en el mismo plano. Plano longitudinal: Es aquel plano que divide un miembro simétricamente (esta definición se toma para este curso y lo aclararemos posteriormente). Cargas axiales excéntricas: Son aquellas cargas que se aplican fuera del eje de axial. Cargas transversales: Son aquellas cargas que se aplican perpendicular al aje axial.
  • 47.
    Representación Pictórica yVectorial • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 47 / 59 Este es un ejemplo típico de una flexión pura. Las reacciones en las manos del deportista deben ser iguales y opuestas a las cargas.
  • 48.
    • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 48 / 59 Considerando la distancia entre CD de la figura anterior; podemos reemplazar las cargas y las reacciones por dos iguales y opuestas de 960 lb · in .
  • 49.
    Cargas axiales excéntricas •Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 49 / 59
  • 50.
    Cargas Transversales • Contenido •Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 50 / 59 Esta figura se conoce como cantilever (miembros sujetos a cargas transversales). Observando el diagrama de cuerpo libre de la fig. 4.4b; obtenemos, el momento flexionante M = Px. También podemos ver la fuerza opuesta P′.
  • 51.
    Deformaciones por Flexión •Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 51 / 59 La línea que formaba el meimbro AB, ahora tiene una curva cuyo círculo tiene centro en C
  • 52.
    Análisis • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 52 / 59
  • 53.
    Algunas ecuaciones. .. • Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 53 / 59 La longitud (L) del miembro no deformado es. L = ρθ y del miembro deformado es: L′ = (ρ − y)θ y la deformación es: δ = L′ − L; combinando las ecuaciones anteriores, obtenemos: δ = −yθ La deformación longitudinal de JK (ver figura anterior) se define como: ǫx = δ L = −y θ ρ θ , o ǫx = − y ρ . Relacionaremos el signo menos con la curva concava.
  • 54.
    Conclusión • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 54 / 59 La deformación normal longitudinal ǫx varia linealmente con la dis- tancia y de la superficie neutra; es decir la superficie donde ǫx y σx son nulos. La superficie neutra intersecta el plano de simetría a lo largo de un arco de círculo DE (ver figura) y la sección transversal a lo largo de una línea recta llamada, eje neutro. El valor máximo que puede tomar la deformación ǫ es: ǫm = c ρ y obtenemos, ǫx = −y c ǫm.
  • 55.
    Esfuerzo normal • Contenido •Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 55 / 59 El esfuerzo normal está dado por: σ = −M y I donde I es el momento de inercia y S es el módulo de la sección elástica y está dada por: S = I c ; por lo que obtenemo: σm = M S Retomando la ley dev Hooke, σx = Eǫx y usando la ecuación ante- rior para la deformación, obtenemos: σx = −y c σm y σm denota el valor absoluto máximo de tensión.
  • 56.
    Ejemplo • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 56 / 59 Considere una viga de madera con una sección transversal rectangular de lados (ancho) b y (altura) h. Obtenga el módulo de sección elástica S. Considere que c = h/2. Observe el resultado note la dependencia con h.
  • 57.
    Otra Conclusión (resultado) •Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 57 / 59 La deformación del miembro causado por el momento flexionante se mide por la curvatura de la superficie neutra. La curvatura se define como el recíproco del radio de curvatura ρ y puede ser obtenido: 1 ρ = ǫm c , y en el rango elástico, tenemos: ǫm = σm/E; y haciendo álgebra, obtenemos, 1 ρ = M E I
  • 58.
    Fin. . . •Contenido • Evaluación • Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 58 / 59 Continuará. . . Éxitos.
  • 59.
    Referencias • Contenido • Evaluación •Producto • Objetivo • Conceptos • ¿Cómo elegir una FS apropiado? • Conceptos • Fenómenos por flexión 59 / 59 [1] Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, John T. DeWolf, and David Mazurek. Mechanics of materials. Mc Graw Hill, 6th. edition, 2012. [2] Robert L. Mott. Resistencia de Materiales. Prentice Hall, 5ta edition, 2009. [3] William A. Nash. Resistencia de Materiales. Mc Graw Hill, 1991. [4] Sitio web, 2015. https://curiosoando.com/que-es-una-fuerza-axial. [5] Sitio web, 2015. http://www.parro.com.ar/definicion-de-fuerza+axial.