Descargar para leer sin conexión
![5. Completa el siguiente cuadro, indicando a qué intervalo debe
pertenecer x para que la función sea negativa, cero o positiva.
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve
correctamente el ejercicio.
Función potencia y logarítmica | 15
Unidad
1
f (x) < 0 f (x) > 0 f (x) = 0
f (x) = x2
– 10
f (x) = |x – 5|
f (x) = 1 – 4x2
f (x) = –
1
x – 3
1
x
f x x
( ) = + 7
f x x
( ) = −
11
¿Qué debes recordar?
• Para los números racionales a, n y m, con a 0, se cumplen las siguientes propiedades de
las potencias y las raíces:
• am
· an
= am + n
• (am
)n
= am · n
• am
: an
= = am – n
• , con n 0
• Una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A un único
elemento f (x) de un conjunto B.
• Una función f (x) es:
a a
m
n
m
n
=
am
an
• creciente en un intervalo ]a, b[ si dados
x e y cualesquiera en ]a, b[, se cumple
siempre que x y ⇒ f (x) f (y).
• decreciente en un intervalo ]a, b[ si dados
x e y cualesquiera en ]a, b[, se cumple
siempre que x y ⇒ f (x) f (y).
UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:43 Página 15](https://image.slidesharecdn.com/mativ-210328013348/85/Mat-iv-16-320.jpg)
![Función potencia y logarítmica | 19
Unidad
1
En resumen
• Dada una función f (x), se dice que f –1
(x) es su función inversa si cuando f (a) = b, entonces
se tiene que f –1
(b) = a para todos los valores a del dom (f ).
• Para determinar la representación algebraica de f –1
(x), dada una función f (x), se despeja de
esta expresión la variable x, y luego se intercambian los nombres de las variables.
• En un mismo gráfico, las gráficas de f (x) y f –1
(x) son simétricas respecto de la recta y = x.
Si la función inversa existe, esto siempre se cumple, es decir, para
todo x perteneciente a dom (f ), se tiene que f –1
[f (x)] = x, así
como f [f –1
(x)] = x.
Observa la gráfica de f –1
(x) y compárala con la gráfica de la fun-
ción f (x) presentada en la página 16. ¿Qué puedes concluir?
1. Determina, a partir de cada gráfico, cuál o cuáles de las siguientes funciones tienen inversa. Explica
tu decisión.
a. b. c.
2. Encuentra la función inversa, si existe, para:
a. c. e. q(x) = 4 + 7x
b. d. f.
3. Encuentra la función inversa de f (x) = , con x 3. Explica cómo lo hiciste.
a. ¿Cuál es el dominio de f –1
? b. ¿Cuál es el recorrido de f –1
?
x – 1
x – 3
h x x
( ) = +
1
2
f x
x
( ) =
−
3 5
10
g x
x
( ) =
− 5
5
p x
x
( ) =
+
1
1
g x x
( ) = + −
3 4
Actividades
UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 19](https://image.slidesharecdn.com/mativ-210328013348/85/Mat-iv-20-320.jpg)
![24 | Unidad 1
Traslaciones verticales y horizontales
Observa los gráficos que se muestran a continuación, con f (x) = x3
:
g(x) = x3
– 4 = f (x) – 4 h(x) = x3
+ 3 = f (x) + 3 p(x) = x f x
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
2
1
2
3
q(x) = (x – 2)3
= f (x – 2)
En cada caso, la forma de la gráfica de la función polinomial es la
misma que la de la función potencia f (x) = x3
, pero está trasladada
con relación a ella. Observa.
Sea (a, a3
) un punto de la gráfica de f (x) = x3
. El punto (a + 2, a3
)
pertenece a la gráfica de q(x) = (x – 2)3
, ya que para cualquier valor
de a, se cumple que [(a + 2) − 2]3
= a3
.
Observa que tal como el punto (a + 2, a3
) está dos unidades a la
derecha de (a, a3
), se cumple que toda la gráfica de q(x) = (x – 2)3
se desplaza dos unidades a la derecha respecto de la gráfica de
f (x) = x3
.
De manera similar, la gráfica de p(x) = se desplaza media
unidad a la izquierda respecto de la gráfica de f (x) = x3
.
Por otra parte, el punto (a, a3
+ 3) pertenece a la gráfica de
h(x) = x3
+ 3. Observa que el punto (a, a3
+ 3) está tres unidades
arriba de (a, a3
); entonces, toda la gráfica de h(x) = x3
+ 3 tam-
bién se desplaza tres unidades arriba respecto de la gráfica de
f (x) = x3
. De manera similar, la gráfica de g(x) = x3
− 4 se desplaza
cuatro unidades hacia abajo respecto de la gráfica de f (x) = x3
.
x +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
2
3
Glosario
función polinomial: aquella que se
puede formar sumando múltiplos de
potencias de x con exponentes en-
teros positivos o cero; por ejemplo:
• f (x) = 2x4
+ 6x3
+ x – 7.
• g(x) = (x – 1)2
= x2
– 2x + 1.
Analicemos...
• Si observamos la representación algebraica de las funciones ante-
riores, ¿en qué se parecen?, ¿en qué se diferencian?
• ¿Qué semejanzas y diferencias tienen las gráficas de cada función?
• ¿Cómo se relaciona el desplazamiento de la gráfica en el plano
cartesiano con la diferencia en las expresiones algebraicas que las
representan?, ¿por qué?, ¿qué puedes concluir?
Para nombrar funciones se utilizan
distintas letras para funciones dife-
rentes. Por ejemplo, f(x), g(x)
y h(x).
Pon atención
UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 24](https://image.slidesharecdn.com/mativ-210328013348/85/Mat-iv-25-320.jpg)
![48 | Unidad 1
En resumen
• Una ecuación logarítmica es una igualdad en la que intervienen logaritmos y donde la
incógnita forma parte de al menos uno de sus argumentos.
• Para resolver una ecuación logarítmica se debe manipular la ecuación, de modo de
escribirla de la forma logb
f (x) = logb
g(x), donde f (x) y/o g(x) son expresiones positivas
que contienen la incógnita. Como la función logarítmica es siempre creciente, o bien
siempre decreciente, entonces:
logb
f (x) = logb
g(x) ⇔f (x) = g(x). Luego, ahora se resuelve f (x) = g(x).
• Las soluciones de una ecuación logarítmica se deben comprobar siempre, ya que los logaritmos
solo se definen para valores positivos y podría ocurrir que el valor encontrado, al remplazarlo
en la ecuación, presente logaritmos de un número negativo o cero, es decir, en
logb
f (x) = logb
g(x) se tenga f (x) 0 o g(x) 0.
1. Obtén el valor de x en los siguientes casos.
a. log2
128 = x e. logx
100 =
b. f. log2
322
= x
c. log3
[log3
(5x + 2)] = 1 g. log3
{log3
[log3
(x + 25)]} = 0
d. log2
{log2
[log2
(2x – 8)]} = 0 h. log5
(5x – 4) – log5
(2x – 7) = 2
1
2
log x
343 7 =
Actividades
Ejemplo 4
log2
[log2
(5x + 6)] = 2
log2
[log2
(5x + 6)] = log2
22
log2
(5x + 6) = 4
log2
(5x + 6) = log2
24
5x + 6 = 24
5x + 6 = 16
5x = 10, luego x = 2.
Comprobando, log2
[log2
(5 · 2 + 6)] = log2
[log2
16] = log2
4 = 2.
Igualando los argumentos.
Igualando el argumento de
ambos logaritmos.
Ya que a = logb
ba
Ya que a = logb
ba
UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 48](https://image.slidesharecdn.com/mativ-210328013348/85/Mat-iv-49-320.jpg)
![50 | Unidad 1
Aplicaciones de las ecuaciones logarítmicas
El pH es la escala de medida que diferencia el grado de acidez o de
alcalinidad de una solución. Los químicos calculan el pH de una
solución (condición de ácido o base) mediante la expresión:
pH = –log [H+
], donde [H+
] es la concentración de iones de hidrógeno
en moles por litro.
Para calcular el pH de la sangre, basta remplazar el valor de [H+
]
en la expresión. Observa.
pH = –log (3,98 · 10–8
) 艐 7,4
En cambio, para determinar el valor de [H+
] del huevo, se debe re-
solver la siguiente ecuación logarítmica:
–log x = 7,79
log x = –7,79
x = 10–7,79
艐 1,62 · 10–8
Entonces, la concentración de iones de hidrógeno del huevo es
1,62 · 10–8
.
Analicemos...
• Determina el pH aproximado de la sangre si tiene [H+
] = 3,98 · 10–8
.
• Si el huevo tiene un pH = 7,79, determina [H+
]. ¿Cómo lo calculaste?
• Muchas soluciones tienen un valor de pH que fluctúa entre 1 y
14. ¿Qué valores de [H+
] están asociados a esos valores extremos?
1. Encuentra [H+
] aproximada, en cada caso, dados sus valores de pH, aplicando la estrategia anterior.
a. Bebida cola, pH = 2,5
b. Vinagre, pH = 2,9
c. Manzana, pH = 3,0
d. Leche, pH = 6,5
e. Jabón de manos, pH = 10
2. La lluvia más ácida que se ha medido ocurrió en Escocia, en 1974; su pH era 2,4. Determina la con-
centración de iones de hidrógeno.
Actividades
Medidor de pH digital.
UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 50](https://image.slidesharecdn.com/mativ-210328013348/85/Mat-iv-51-320.jpg)
![60 | Unidad 1
1. La función inversa de g(x) = x3
+ 1 es:
A.
B.
C.
D.
E.
2. Si k(x) = 3x3
– 4, entonces k–1
(20) es:
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
E. Ninguna de las anteriores.
3. Si f(x) = 2x + 3, entonces f –1
(33) es:
A. 15
B. 18
C. 30
D. 69
E. 70
4. El recorrido de f(x) = 2x2
+ 5 es
el conjunto:
A. [5, + [
B. ]5, + [
C. IR+
D. IR–
E. IR0
+
5. ¿Cuál de las siguientes funciones corresponde
a la siguiente gráfica?
A. f (x) = 2x3
B. f (x) = x3
– 2
C. f (x) = (x – 2)3
D. f (x) = (x + 2)3
E. Ninguna de las anteriores.
6. Si logb
3 = – , entonces el valor de b es:
A. 3–1
B.
C. 9
D. 12
E. 27
7. Si pH = –log [H+
], determina [H+
] si el pH de una
sustancia es 6,8.
A. 1,58 · 10–7
B. 6,8 · 10–7
C. –6,8
D. 1,58 · 107
E. 6,8 · 107
1
27
1
3
x +
( )
1 3
3
x −
( )
1 3
3
x − 1
3
x x
+ 3
x
3
1
−
III. Resuelve los siguientes ejercicios y selecciona la alternativa correcta en cada caso.
UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:45 Página 60](https://image.slidesharecdn.com/mativ-210328013348/85/Mat-iv-61-320.jpg)
![4. Escribe la ecuación igualando las bases y determina el valor de x, en
cada caso.
a. d.
b. e.
c. f.
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve
correctamente el ejercicio.
Función exponencial | 65
Unidad
2
¿Qué debes recordar?
• Una función es una relación que asigna a cada elemento x de un conjunto A un único
elemento f (x) de un conjunto B, donde A se conoce como dominio (dom( f )) de la función y
B es el conjunto de llegada o codominio. El conjunto de valores que la función puede tomar
se conoce como imagen o recorrido (rec( f )).
• Una función f es creciente en el intervalo ]a, b[ con a, b R, si dados x e y cualesquiera en
ese intervalo, se tiene x y ⇒ f (x) f (y).
• Una función f es decreciente en el intervalo ]a, b[ con a, b R, si dados x e y cualesquiera
en ese intervalo, se tiene x y ⇒ f (x) f (y).
• La representación gráfica de una función permite observar algunas de sus características,
como su crecimiento o decrecimiento, el dominio y recorrido, las intersecciones con los ejes,
etc. Por ejemplo:
Función afín: Función cuadrática: Función logarítmica:
y = ax + b y = ax2
+ bx + c y = log x
• Para resolver una ecuación exponencial se pueden igualar las bases de las potencias y,
luego, resolver la ecuación que se obtiene de igualar los exponentes.
5 25
2 1
x−
= 1 0
2
5 84
− =
− −
a
x x
3
1
27
2 14 6
2 4
2
2
− + −
− +
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
x x
x x
2 0 5
2 3 3 2
x x
+ +
= ( )
,
1
9
1
3
2 12
x
=
1
4
8
3 2
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
− x
x
UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 65](https://image.slidesharecdn.com/mativ-210328013348/85/Mat-iv-66-320.jpg)
![Áreas y volúmenes | 177
El área de la base corresponde al área de un círculo, es decir, π · r 2
,
entonces, el área total de un cono se puede calcular mediante la
siguiente expresión:
Acono
= π · r · g + π · r 2
= π · r (g + r)
El área de un cono truncado corresponde a la suma de las áreas de
las bases del tronco del cono y el área lateral.
El área lateral se puede calcular como la diferencia entre el área
lateral del cono, si estuviera completo, y la del cono menor que lo
complementa, es decir:
ALTronco de cono
= π · R · (g + h) – π · r · g
Utilizando el teorema de Thales, se puede demostrar que el área
lateral del tronco de cono está dado por la expresión:
ALTronco de cono
= π · (R + r) · g
Luego, junto con el área de cada una de las bases, el área del
tronco de cono se puede calcular como:
ATronco de cono
= π · [(R + r) · g + R2
+ r2
]
Unidad
4
En resumen
• El área de un cilindro se determina de la siguiente forma: Acilindro
= 2 · π · r (r + g)
• El área de un cono está dada por la expresión: Acono
= π · r(r + g)
• El área de un tronco de cono está dada por la fórmula: ATronco de cono
= π [(R + r) · g + R2
+ r2
]
(r: radio, R: radio de la otra base, g: generatriz).
El área de un sector circular está
dada por la expresión Asc = ,
donde S es la longitud del arco de
circunferencia y r es el radio del
sector circular.
S · r
2
Recuerda que...
g
g
g
2
π
r
2
π
R
1. Un tarro tiene un diámetro de 10 cm y altura 30 cm. Calcula la cantidad de aluminio necesario
para fabricarlo.
2. ¿En qué razón están las áreas de dos cilindros rectos de igual altura, si sus radios son uno el doble
del otro?
3. El radio de la base de un cilindro y de un cono mide 6 cm. La altura del cono mide 8 cm. Determina
cuál debe ser la altura del cilindro para que ambos tengan:
a. la misma área lateral. b. la misma área total.
Actividades
R
UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:52 Página 177](https://image.slidesharecdn.com/mativ-210328013348/85/Mat-iv-178-320.jpg)
![196 | Unidad 5
¿Cuánto sabes?
1. En la siguiente tabla se muestra el número de alumnos y alumnas que
hay en 4º Medio en un colegio, agrupados por curso y por sexo.
Escribe la razón entre:
a. el número de niñas y el número de niños del 4º A.
b. el número de mujeres y el número de hombres.
c. los estudiantes del 4º A y del 4º B.
2. Completa la siguiente tabla:
3. Indica qué números enteros están contenidos en los siguientes intervalos:
a. [2, 9] b. ]–3, 3[ c. ]0, 1[ d. [–1, 10]
4. Encuentra un intervalo de números reales que cumpla con lo pedido.
a. Un intervalo abierto que contenga a , 0 y – .
b. Un intervalo que contenga todos los números mayores que 5.
c. Un intervalo que no contenga números positivos.
d. Un intervalo semiabierto que no contenga ni al 8,3 ni al .
7
10
1
3
1
2
Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno.
Niñas Niños
4º A 20 25
4º B 22 23
Porcentaje Fracción Fracción irreductible Expresión decimal
75%
75
100
3
4
0,75
62
100
1
50
0,3333...
90%
UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:54 Página 196](https://image.slidesharecdn.com/mativ-210328013348/85/Mat-iv-197-320.jpg)
![5. En la siguiente tabla se muestra la población por grupos de edad
del censo de 2002. Completa los recuadros de la tabla con la
frecuencia acumulada.
6 . Redondea los siguientes números decimales a la centésima:
a. 4,5656 c. 63,3532 e. 234,1222
b. 8,77779 d. 0,9876 f. 1,00494
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.
¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve
correctamente el ejercicio.
Estadística I | 197
Unidad
5
¿Qué debes recordar?
Ejemplo: 34% se representa por . Su fracción irreductible es y la expresión decimal
equivalente es 0,34.
• [a, b] es la representación del intervalo cerrado que contiene a a y a b y a todos los números
comprendidos entre ellos.
• ]a, b[ es la representación del intervalo abierto que solo contiene a aquellos números que
están comprendidos entre a y b.
• [a, b[ o ]a, b] son representaciones de un intervalo semiabierto que contiene a a o b, según
sea el caso y a los valores comprendidos entre a y b.
• Frecuencia: es la cantidad de veces que ocurre un suceso.
• Frecuencia acumulada: es la suma de las frecuencias observadas hasta un cierto valor.
17
50
34
100
Grupos de edad Habitantes
Frecuencia
acumulada
0-14 3 890 126
15-24 2 481 515
25-39 3 627 915
40-49 2 036 424
50-64 1 862 879
65 y más 1 217 576
• El a% de un número se puede representar con la fracción .
a
100
UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:54 Página 197](https://image.slidesharecdn.com/mativ-210328013348/85/Mat-iv-198-320.jpg)
![230 | Unidad 6
Desviación estándar para datos agrupados
Considera la siguiente tabla, que indica el tiempo de espera de los
pacientes en un consultorio.
Observa cómo se puede calcular la media aritmética si los datos
están agrupados.
x = = = 30,87
Es decir, el tiempo de espera es, en promedio, de casi 31 minutos.
Para calcular la desviación estándar, se siguen los pasos siguientes:
1º Calcular la desviación entre la media aritmética y la marca de
clase, en cada caso.
2º Elevar este resultado al cuadrado.
3º Multiplicar cada valor por la frecuencia correspondiente.
4º Sumar todos estos valores, y dividir este resultado por el total
de datos.
5º Calcular la raíz cuadrada de este cociente.
Paso 4: = 193,9627
Es decir, la desviación estándar de los tiempos de espera es de
aproximadamente 14 minutos.
Las medidas de dispersión como el rango, la desviación con res-
pecto a la media y la desviación estándar, determinan cuán cer-
canos o lejanos están los datos en relación a la media aritmética y
también indican el grado de variabilidad de los datos, lo que nos
permite realizar un análisis más completo.
10 086,0588
52
1605
52
6 · 7,5 + 21 · 22,5 + 15 · 37,5 + 10 · 52,5
6 + 21 + 15 + 10
La marca de clase representa los
datos pertenecientes a una clase. Se
calcula como la media entre el valor
inferior y el valor superior del inter-
valo o clase.
Recuerda que...
Tiempo (minutos) Frecuencia Marca de clase
[0, 15[ 6 7,5
[15, 30[ 21 22,5
[30, 45[ 15 37,5
[45, 60] 10 52,5
Tiempo (minutos) Paso 1 Paso 2 Paso 3
[0, 15[ 30,87 – 7,5 = 23,37 546,1569 3276,9414
[15, 30[ 30,87 – 22,5 = 8,37 70,0569 1471,1949
[30, 45[ 30,87 – 37,5 = –6,63 43,9569 659,3535
[45, 60] 30,87 – 52,5 = –21,63 467,8569 4678,5690
Paso 5: = 13,9270
193 96
,
UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:56 Página 230](https://image.slidesharecdn.com/mativ-210328013348/85/Mat-iv-231-320.jpg)
![Estadística II | 237
Unidad
6
Si se desea conocer la media aritmética de una población, a partir de
los datos de la muestra, se puede obtener un intervalo de confianza,
de modo que se pueda asegurar que la media se encuentra den-
tro del intervalo, con un nivel de confianza dado.
La media poblacional se encuentra en el siguiente intervalo
de confianza:
,donde x
–: media muestral.
k: coeficiente asociado al nivel
de confianza.
s: desviación estándar de la muestra.
n: número de elementos de la
muestra.
El margen de error depende del nivel de confianza y del tamaño
de la muestra, ya que el error corresponde a .
Ejemplo
Los siguientes datos son los puntajes obtenidos para 45 personas de
una escala de depresión (mayor puntaje significa mayor depresión).
Para determinar un intervalo de confianza para el puntaje prome-
dio de la población, se puede remplazar en la expresión la media
muestral, x
– = 14,5, la desviación estándar muestral, s = 4,3, y el
valor de k = 1,96, que corresponde a un nivel de confianza de 95%.
Luego, un intervalo de confianza aproximado es:
Es decir, el puntaje promedio de la población se encuentra entre
13,2 y 15,8, con un nivel de confianza de un 95%.
E k
s
n
= ⋅
Glosario
intervalo de confianza: intervalo en
el cual se encuentra el verdadero valor
del parámetro que se está estimando,
con una probabilidad determinada.
nivel de confianza:es la probabilidad
dequeelintervalocalculadocontenga
al verdadero valor del parámetro.
2 5 6 8 8 9 9 10 11
11 11 13 13 14 14 14 14 14
14 15 15 16 16 16 16 16 16
16 16 17 17 17 18 18 18 19
19 19 19 19 19 19 19 20 20
Un parámetro es una característica
numérica de una población. Corres-
ponde a una constante fija para
cada estudio particular;por ejemplo,
la media aritmética de la población.
Recuerda que...
El coeficiente k se obtiene de la
siguiente tabla:
Pon atención
Nivel de
confianza (%)
Coeficiente k
68 0,99
75 1,15
80 1,28
90 1,64
95 1,96
96 2,05
97 2,17
98 2,32
99 2,58
x k
s
n
x k
s
n
− ⋅ + ⋅
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
,
14 5 1 96
4 3
45
14 5 1 96
4 3
45
13 2
, ,
,
, , ,
,
, ,
− ⋅ + ⋅
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = 1
15 8
,
[ ]
UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:56 Página 237](https://image.slidesharecdn.com/mativ-210328013348/85/Mat-iv-238-320.jpg)
![238 | Unidad 6
En ocasiones, cuando se está planificando un estudio, los investi-
gadores necesitan estimar el tamaño de la muestra que les entre-
garía un nivel de confianza adecuado a sus requerimientos. En
estos casos, la expresión para el intervalo de confianza se puede
utilizar para estimar cuál sería el tamaño de la muestra necesario
para obtener un nivel de confianza dado. Observa.
El tamaño de la muestra se puede calcular de la siguiente forma:
donde k: nivel de confianza
σ: desviación estándar de la población
E: margen de error
Ejemplo
En un colegio de 1600 alumnos y alumnas se está estudiando la
relación entre la estatura de los niños y niñas al nacer y otras varia-
bles. Se sabe que la desviación estándar de la población es de 1,5 cm
y se desea estimar la media con un 99% de confianza y con un
error máximo de 0,5 cm.
Entonces, se debe tomar una muestra de al menos 60 estudiantes.
1. Una marca de artículos deportivos está interesada en conocer el promedio de edad de sus clientes.
Una muestra aleatoria de 25 clientes arrojó una edad promedio de 19 años, con una desviación
estándar de 3 años. Determinar el intervalo de confianza para la edad promedio de los clientes
y su amplitud, con un nivel de confianza de 95%.
2. Una muestra aleatoria de 81 televisores reportó que el intervalo de confianza para el tiempo promedio
de presentación de fallas técnicas (en años) fue de [2,113, 2,287]. Considerando que la desviación
estándar es de 0,4 años, ¿cuál es el nivel de confianza de este intervalo?
Actividades
Glosario
tamaño de la muestra:corresponde
al número mínimo de datos o sujetos
que se necesitan para conformar
una muestra n que asegure un error
estándar menor que un valor deter-
minado, fijado por el investigador,
dada la población N.
x: media muestral.
s: desviación estándar muestral.
μ: media poblacional.
σ: desviación estándar poblacional.
Pon atención
n
k
E
=
⋅
⎛
⎝
⎞
⎠
σ
2
n =
⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ≈
2 58 1 5
0 5
59 9076 60
2
, ,
,
,
UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 238](https://image.slidesharecdn.com/mativ-210328013348/85/Mat-iv-239-320.jpg)
![Estadística II | 241
La distribución de probabilidad normal ocupa un lugar importante
en la Estadística, porque en general se ajusta a las distribuciones de
frecuencia reales observadas en muchos fenómenos, incluyendo
características humanas (peso, estatura, CI, etc.) y resultados de
procesos físicos (dimensiones y rendimientos).
Cuando se conocen los valores de μ y σ de un conjunto de datos,
mediante la distribución normal se puede estimar el porcentaje de
individuos asociados a un intervalo de valores. En el caso de los
datos obtenidos por Matilda y Emiliano, μ = 10,5 y σ = 3,0, se
puede decir que el 68,3% de los datos obtenidos se encuentran en
el intervalo [μ – σ, μ + σ]; esto es, en [7,5, 13,5].
Del mismo modo, se puede decir que el 95,5% de los datos
obtenidos se encuentran en el intervalo [μ – 2σ, μ + 2σ]; esto es,
en [4,5, 16,5].
Y que el 99,7% de los datos obtenidos se encuentran en el inter-
valo [μ – 3σ, μ + 3σ]; esto es, en [1,5, 19,5].
Si X es una variable que se distribuye N(μ, σ), utilizando un cambio
de variable, se define Z = ; se puede demostrar que ahora Z
distribuye N(0, 1).
La ventaja de la variable Z es que existen valores tabulados para
ella (ver tabla de la página siguiente), de modo que se pueden
hacer cálculos de probabilidades y tamaños de grupos de
población usando correctamente la tabla, y luego realizando los
cálculos correspondientes.
X – μ
σ
Unidad
6
Si una población tiene distribución
normal con media μ y desviación
estándar σ, anotamos que ella dis-
tribuye N(μ, σ).
Pon atención
μ – 2σ μ + 2σ
μ
μ
95,5%
μ – σ μ + σ
μ
68,3%
μ – 3σ μ + 3σ
99,7%
z
P(Z z)
UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 241](https://image.slidesharecdn.com/mativ-210328013348/85/Mat-iv-242-320.jpg)
![Estadística II | 249
Unidad
6
2. Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias, que muestra los puntajes obtenidos por
50 alumnos en un test (se consideran valores enteros), calcula:
a. P3
b. P90
c. Q1
d. Q3
e. Interpreta los resultados obtenidos.
3. La siguiente tabla de frecuencias resume la información del precio, en pesos, de la gasolina automotriz
cada mes entre julio de 2003 y julio de 2008:
a. Calcula la media, la moda y la mediana.
b. Calcula Q1
y Q3
.
c. ¿Sobre qué precio estuvo la gasolina el 60% de los meses entre julio de 2003 y julio de 2008?
d. ¿Qué porcentaje de los meses estuvo la gasolina bajo los 530 pesos?
En resumen
• Los percentiles se conocen como medidas de posición y hacen referencia al lugar que ocupa
un dato cuando todos estos están ordenados de menor a mayor.
• Puede ocurrir que un mismo valor represente más de un percentil, esto ocurre generalmente
para un número pequeño de observaciones.
• Los cuartiles son un caso particular de los percentiles y reciben este nombre porque dividen un
conjunto de datos en cuatro partes iguales. Otros casos particulares son los quintiles y los deciles.
• La fórmula de cálculo para percentiles, cuando se tienen datos agrupados, es:
• El diagrama de cajas consiste en un gráfico que muestra simultáneamente diferentes carac-
terísticas de un conjunto de datos, tales como: mediana, rango, cuartiles, valores extremos,
etc. Este diagrama presenta los tres cuartiles (y los valores mínimos y máximos) alineados
sobre una caja horizontal o verticalmente.
P L
k
n
N
n
C
k k
k
k
= +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
· –
·
100
Intervalo [60, 64] [65, 69] [70, 74] [75, 79] [80, 84] [85, 89]
Frecuencia absoluta 5 5 8 12 16 4
Frecuencia acumulada 5 10 18 30 46 50
Precio [400, 450[ [450, 500[ [500, 550[ [550, 600[ [600, 650[ [650, 700[
fi 5 7 10 12 7 9
Fuente: Comisión Nacional de Energía
(http://www.cne.cl/cnewww/opencms/06_Estadisticas/energia/Hidrocarburos.html)
UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 249](https://image.slidesharecdn.com/mativ-210328013348/85/Mat-iv-250-320.jpg)
![Página 14
1. a. f.
b. g.
c. h.
d. i.
e.
2. a. Para x = –1 o x = 1
b. La función está definida para todo x.
c. Para x 1
d. La función está definida para todo x.
e. La función está definida para todo x.
f. Para x = –1
g. Para x = –1
h. Para x = –5
i. Para x a
j. Para x b2
3. a. Creciente en: ]–, –5[, decreciente en: ]–5, [.
b. Decreciente en: [–4, [.
c. Decreciente en: ]–, 10[, creciente en: ]10, [.
d. Decreciente en: ]–, 3[, creciente en: ]3, [.
4. a. f(x) = 21x – x2
b. Después de 11 unidades.
c. El ingreso máximo es 110 y ocurre cuando se
producen diez u once productos.
Página 15
5.
Página 17
1. a. No es función. b. Es función. c. Es función.
2. a. f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 2, f (4) = 3, f (5) = 5,
f (6) = 8
b. Dom( f ) = IN
3. a. Dom( f ) = IR – {1}, rec( f ) = IR – {1}
b. Dom( f ) = IR, rec(f ) = ]0, 1]
c. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+
0
d. Dom( f ) = IR – ]–1, 1], rec( f ) = IR+
0
– {1}
Página 19
1. Solamente la función a tiene inversa.
2. a. f –1
(x) = x + d. p–1
(x) =
c. h–1
(x) = x – f. g–1
(x) = 25x2
+ 5
1
2
1 – x2
x2
5
3
10
3
264 | Matemática 4º Medio
Solucionario
f (x) 0 f (x) 0 f (x) = 0
]–, 0[ ]3, [ ]0, 3[ Nunca
] , [
10
10 ]–,– [] ,[
10
10 – y 10
10
Nunca ]–, 5[ ]5, [ 5
]–, –0,5[ ]0,5, [ ]–0,5, 0,5[ –0,5 y 0,5
Nunca ]–7, [ –7
Nunca ]–, 11[ 11
Función potencia y logarítmica
1
b. g–1
(x) = (x – 3)2
+ 4 e. q–1
(x) = –
4
7
x
7
SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 16:59 Página 264](https://image.slidesharecdn.com/mativ-210328013348/85/Mat-iv-265-320.jpg)
![Solucionario | 267
b.
Dom(m) = ]4, [, dom(m1
) = ]4, [, ambas
funciones intersecan al eje X en el punto (5,0),
uno de los gráficos es la reflexión respecto al eje X
del otro gráfico.
Página 48
1. a. 7 c. 5 e. 10 000 g. 2
b. d. 6 f. 10 h.
Página 49
2. a. No tiene solución. d. x =
b. x = 1 e. x = 4
c. x = f. x = 3
3. a. Ninguna se cumple.
b. Se cumple solo para x = 5.
c. Ninguna se cumple.
d. Ninguna se cumple.
e. Se cumple solo para x = 100.
4. a. x = 2000 g. x =
d. x = –10 j. x = 4
e. x = 11 k. x = 10
f. x = 5 l. x = 100, x =
Página 50
1. a. 3,16 · 10–3
d. 3,16 · 10–7
b. 1,26 · 10–3
e. 1 · 10–10
c. 1 · 10–3
2. a. 3,98 · 10 –3
Página 51
3. Desde 1,58 · 10–4
a 1,58 · 10–3
aproximadamente.
4. a. 1,12 · 1026
ergios.
b. 355 veces más fuerte.
c. Pregunta abierta.
5. a. Aumenta en 3 dB.
b. Pregunta abierta.
c. 150 dB
d. No, corresponde a 153 dB.
6.
Página 53
1. a. 7 unidades hacia abajo.
b. 2 unidades hacia la izquierda.
c. Una unidad hacia la derecha y reflexión con
respecto al eje X.
d. No hay traslación, solamente hay cambio en la
forma de la gráfica.
2. a. x = 42 c. x = –
b. x = 9 d. x = 6
3. 6,31 · 10–3
W/m2
aproximadamente.
4. E
Página 55
1. a. 199 m c. 1002 m
b. 20 m d. 7,92 m
1
6
197
10
10
11 265
12
+
11
3
1 5
2
+
19
5
1
6
Solucionario
Fuente Intensidad Decibeles
10–10 20
10–5 70
10–3,5 85
100 120
10 130
104 160
10–1,9 101
c. x = i. x = 6
16
5
b. x = h. x = 3, x = 1,5
4
7
SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 11/11/10 15:48 Página 267](https://image.slidesharecdn.com/mativ-210328013348/85/Mat-iv-268-320.jpg)
![268 | Matemática 4º Medio
Solucionario
3. a. 0,5 km aproximadamente.
0,005 km aproximadamente.
14,68 aproximadamente.
b. 41,86 %
Dentro de 7,7 meses aproximadamente
Dentro de 28,8 meses aproximadamente.
Página 59
I. 1. Falso 7. Falso
2. Verdadero 8. Falso
3. Falso 9. Falso
4. Verdadero 10. Falso
5. Falso 11. Falso
6. Verdadero
II. 1. a. log d. logb
(a3
+ 1)
c. log f. logb
2. a. Dom( f ) = ]1, [ c. Dom( f ) =
b. Dom( f ) = ]–, 102
[ ] 103
, [
d. Dom( f ) = ]–10, 10[
3. x1
· x2
= 9
4. x = 2
Página 60
III. 1. C 3. A 5. C 7. A
2. B 4. A 6. B
Página 61
8. A 10. E 12. B 14. E
9. C 11. E 13. C
Página 64
1. a. Dom f = IR – {–1, 1}, rec f = IR –]–2, 0[
b. Dom g = IR – {–2, 2}, rec g = IR
c. Dom h = IR–
, rec h = IR–
d. Dom i = ]–, –4] [4, [, rec i = [4, [
b. f(x) = x2
–1, dom f = IR; rec f = ]–, –1]
c. f(x) = | x |, dom f = IR; rec f = [0, [
d. f(x) = + , dom f = ]–3, [; rec f = [ , [
3. a. c.
b. d.
Página 65
4. a. x = d. x = 12 o x = –7
b. x = –1 e. x = –3
c. x = 3 f. x = –4
Página 68
1. a. Creciente d. Creciente
b. Decreciente e. Creciente
c. Decreciente f. Creciente
2. a. f(x) = 6x
d. f(x) = 7x
g. f(x) =
c. f(x) = 8x
f. f(x) = 5x
i. f(x) = 2x
1
2
1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
x
10
3
2
1
2
x
+ 3
a + 2
a2
ab
ab
10
13 13
1013
b. 1 e. logb
a2
– ab + b2
a + b
Función exponencial
2
2. a. f(x) = x + 1, dom f = IR; rec f = IR
1
2
b. f(x) = e. f(x) = 2x
h. f(x) = (0,4)x
1
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
x
SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 16:59 Página 268](https://image.slidesharecdn.com/mativ-210328013348/85/Mat-iv-269-320.jpg)
![Solucionario | 269
3.
a. f(x1
) 1,7, g(x1
) = 0,5
b. f(x2
) 2,4, g(x2
) 0,3
c. f(x3
) 0,1, g(x3
) 32
4. a. Correcta b. Correcta
5. a.
Dom f = IR, rec f = IR+
, creciente, (0, 1).
b.
Dom f = IR, rec f = IR+
, decreciente, (0, 1).
c.
Dom f = IR, rec f = [1, [, decreciente en: ]–, 0[,
creciente en: ]0, [, (0, 1).
d.
Dom f = IR, rec f = IR+
, creciente, (0, 2).
e.
Dom f = IR, rec f = [–9, [, creciente, (0, 0).
f.
Dom f = IR, rec f = IR, creciente, (0, 0).
6.
a. Esta función también tiene la incógnita en el
exponente pero su gráfica es diferente a la de
las demás funciones exponenciales. No es una
función creciente ni decreciente.
b. Es una función constante.
Página 69
7.
a. Para ambas funciones: Dom = IR, rec = IR+
b. f es creciente y g es decreciente.
c. Ambas gráficas son simétricas entre sí.
Solucionario
SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 16:59 Página 269](https://image.slidesharecdn.com/mativ-210328013348/85/Mat-iv-270-320.jpg)
![Solucionario | 271
Página 81
1. a. x = ln (0,5) d. x = 0 o x =
b. x = ln (5) e. x = 0
c. x = 0 o x = –3 f. x = ln (2)
2. a. Aproximadamente 16 horas.
b. Cada 8 horas aproximadamente.
Página 83
1. a. 1,5% anual. c. 73,24 años.
b. 16 912 453 peces.
2. 2709 mosquitos; 223 524 mosquitos;
499 972 mosquitos.
3. a. 750 alumnos. c. A 1500 alumnos.
b. 1343 alumnos.
Página 85
1. a. x(P) = ln
b. Dom P: IR+
0
. No se consideran los reales nega-
tivos en el dominio de la función pues no tiene
sentido hablar de años negativos. Rec P: ]0, 500]
c. Aproximadamente 445,683 mg.
d. En 54 040 años aproximadamente.
e. En 6027 años.
2. a. P(t) = 300e–0,004951t
, con t medido en días
y P(t) medido en mg.
b. Aproximadamente 8,081 mg.
c. 140 días.
3. a. 10 mg. c. 25 días.
b. Después de 58 días.
Página 87
1. 9,54 % aproximadamente.
2. a. $ 83 855 b. Después de 10 años.
3. a. 17 716 848 personas. c. En el 2032.
b. En 44 años.
5. a. 600 bacterias.
b. 73% aproximadamente.
c. 3124 bacterias.
d. Después de 5,85 horas aproximadamente.
6. Después de 34 749 años aproximadamente.
7. a. 100 personas. c. 18 días.
b. 1777 personas.
Página 89
1. a. x = 8,42 aproximadamente.
b. x = –0,13 aproximadamente.
c. x =
e. x = –2,26 aproximadamente.
f. x = – 1 o x = 1,67 aproximadamente.
2. 6,84 años aproximadamente.
3. a. 6962 metros. b. 396 milibares.
4. B
Página 91
1. a. 57 ºC b. 4,4 minutos. c. 26,5 minutos.
3. a. 58 infectados. 6 infectados. 3 días.
b. $ 3 025 714. Después de 9,76 años. 5,776 %.
Página 95
I. 1. Falso 4. Falso 7. Verdadero
2. Falso 5. Falso
3. Falso 6. Falso
log c – log a
3 log a – log c
4
3
P
500
–1
0,000115
Solucionario
4. P(t) = 55 000 000 · , con t medido
en años. En 40 años más la población será de
136 177 974 personas.
1
12
100
5
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
t
1
3
1
3
d. x =
0,25 log p + log q
0,75 log q – 2 log p
SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 16:59 Página 271](https://image.slidesharecdn.com/mativ-210328013348/85/Mat-iv-272-320.jpg)
![278 | Matemática 4º Medio
Solucionario
Página 187
1. 826,6 cm3
3. a. 2211,85 cm3
b. 1224,31 cm2
c. A: 66π cm2
, V: 72π cm3
d. 1054,5 cm3
, 0,0015045 m3
, 1202,4 m2
e. 10,9 m3
Página 191
I. 1. F, es la proyección de frente.
2. F, es el triple.
3. V
4. F, deben tener la misma altura y además tener
igual área en sus secciones planas realizadas a
una misma altura.
5. V
6. F, considera todas las caras de la figura
geométrica.
II. 1. a.
b. 144π cm3
.
c. Sería mayor el sólido anterior, ya que el
volumen del otro es 96π cm3
.
d. Un lado debe ser el doble del otro.
2. a. 32π cm2
b. 104π cm2
c. 208π cm3
3. 49,23 veces.
4. a. El volumen es menor que el anterior.
b. No, ya que el envase final contiene
menos jugo.
5. 125 cajas.
Página 192
1. E 3. B 5. D
2. B 4. C 6. E
Pagina 193
7. E 10. A 13.E
8. E 11. D
9. C 12. B
Página 196
1. a. b. c. 1
2.
3. a. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
b. –2, –1, 0, 1, 2
c. Conjunto vacío.
d. –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
4. a. Por ejemplo, ]–1, 1[. c. Por ejemplo, ]–25, –1].
b. Por ejemplo, [5, [. d. Por ejemplo, ]–4, 0].
Página 197
5.
7
8
4
5
6
4
Estadística I
5
Porcentaje (%) Fracción Fracción irreducible Expresión decimal
75
75
100
3
4
0,75
62
62
100
31
50
0,62
2
2
100
1
50
0,02
33,3
33,3
100
1
3
0,3333…
90
90
100
9
10
0,9
Frecuencia acumulada
3 890 126
6 371 641
9 999 556
12 035 980
13 898 859
15 116 435
SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 16:59 Página 278](https://image.slidesharecdn.com/mativ-210328013348/85/Mat-iv-279-320.jpg)
![Solucionario | 281
Página 223
III. 6. C 9. B
7. B 10. A
8. D 11. D
Página 226
1. a. 45,7 d. 2620,86
b. 99,5 e. 55 800
c. 1233,54 f. 56 596,2
2. a. 33% c. 75% e. 1%
b. 40% d. 6%
3.
4. a. 1,68. b. 1,73.
5. a. F, la mediana es 43,5. c. V
b. F, la moda es 45.
Página 231
1. a. Primer semestre: 3,8; segundo semestre: 3,8.
El primer semestre.
b. Primer semestre: 1,10; segundo semestre: 0,764.
c. Pregunta abierta.
2. a. Primer semestre: 0,91; segundo semestre: 0,761.
b. Pregunta abierta.
Página 233
1. a. Positiva d. Positiva
b. Positiva e. Negativa
c. Negativa
2. Verdadero
3. Depende del rango de edad que se considere.
En los niños y niñas, la correlación entre edad y masa
es más alta que en la población de adultos mayores.
Página 235
1. 2 2 5 7 7 8
3 2 3 4 5 7 7 9
4 0 0 0 1 2 3 3 3 5 5 6 8 8 9
5 0 0 1 3 3 3 5 7 7 8
6 0 2 8
7 0
a. 44 b. 48 c. Muy dispersa.
2. a. 4º A
1 9
2 8 8 9 9
3 1 2 3 5 6 6 8 8 9 9
4 1 1 1 2 2 3 3 4 5 5 6 6 9
5 0 8
4º B
1 3 6 7
2 6 8 8 9 9
3 2 5 6 9
4 1 1 2 3 3 4 8 9
5 1 2 3 3 4 4 5 6
b. El 4º Año Medio A.
3. a. Natalidad
1 5 5 6 7 8 9
2 0 0 1 1 4 7
Mortalidad
0 9
1 4 6 9
2 0 0 1 2 2 8 9
5 7
b. Pregunta abierta.
c. A problemas relacionados con la sobrepoblación,
o bien, con el envejecimiento de la población.
Página 238
1. [17,82, 20,18], su amplitud es 2,36.
Solucionario
Estadística II
6
Fonasa o
Isapre
AFP
Sueldo
líquido
Daniel 11 567 21 482 132 200
Carolina 16 650 30 922 190 288
Andrea 17 635 32 750 201 540
Sebastián 22 260 41 341 254 403
SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 17:00 Página 281](https://image.slidesharecdn.com/mativ-210328013348/85/Mat-iv-282-320.jpg)
![Solucionario | 283
b. Pregunta abierta.
c. Pregunta abierta.
Página 255
1. a. Mediana: 116, Q1
= 103,25, Q3
= 134.
2. a.
El dato mínimo es alrededor de 10 años, el máximo
83. La mediana es en torno a 37 años y podemos
ver que la distancia entre el mínimo y el primer
cuartil es similar a la distancia entre el tercer
cuartil y el máximo.
b.
Se puede ver que el promedio de edad es más alto
en los hombres, además de que hay hombres más
viejos que mujeres.
3. C
Página 257
1. a. I. Media: 395,89; mediana: 408, Q1
= 278
II. 366,4
III. 552
3. a. I. 13,3%
II. 18%
Página 261
I. 1. V
2. F
3. F, el 50% de las observaciones se encuentran
bajo él.
4. V
5. V
II. 1. Categoría D: entre 960 y 997,5; categoría C:
entre 997,5 y 1020; categoría B: entre 1020 y
1045; categoría A: mayores que 1045.
2. a. [2,85; 3,15]
b. [2,9; 3,09]
c. El fabricante esta equivocado ya que, según
el estudio, el verdadero promedio es de 3 mg.
Página 262
III. 1. E 4. E
2. E 5. A
3. B 6. E
Página 263
7. B 10. C
8. E 11. A
9. B 12. E
Solucionario
20
40
60
80
83
37
26,75
10
60,25
20
Mujeres Hombres
40
60
80
83
60,25
55,75
36,5
26,75
26,25
10
13
38
SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 17:00 Página 283](https://image.slidesharecdn.com/mativ-210328013348/85/Mat-iv-284-320.jpg)
![Matematicas[1]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/matematicas1-120406210638-phpapp02-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
Mat iv
- 2. Matemática TEXTO DEL ESTUDIANTE 4º EducaciónMedia ÁNGELA ROSSANA BAEZA PEÑA PROFESORA DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE MAGÍSTER EN EDUCACIÓN MENCIÓN DIFICULTADES DEL APRENDIZAJE, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE. MARCIA ROMINA VILLENA RAMÍREZ PROFESORA DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE. PABLO ALFONSO JORQUERA ROZBACZYLO PROFESOR DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE. JAVIERA SETZ MENA LICENCIADO EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA, LICENCIADA EN EDUCACIÓN, PROFESORA DE MATEMÁTICA, EDUCACIÓN MEDIA, PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE. INICIALES 4º (1–11):Maquetación 1 4/11/10 16:58 Página 1
- 3. El Texto delEstudiante Matemática 4, para Cuarto Año de Educación Media, es una obra colectiva, creada y diseñada por el departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de: MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA COORDINACIÓN DE PROYECTO: Eugenia Águila Garay COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA: Viviana López Fuster EDICIÓN: Javiera Setz Mena AUTORES: Ángela Baeza Peña Marcia Villena Ramírez Pablo Jorquera Rozbaczylo Javiera Setz Mena CORRECCIÓN DE ESPECIALISTAS: Sergio Muñoz Venegas Florencia Darrigrandi Navarro CORRECCIÓN DE ESTILO: Isabel Spoerer Varela Gabriela Precht Rojas DOCUMENTACIÓN: Paulina Novoa Venturino La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de: VERÓNICA ROJAS LUNA COORDINACIÓN GRÁFICA: Carlota Godoy Bustos COORDINACIÓN GRÁFICA LICITACIÓN: Xenia Venegas Zevallos JEFA DE DISEÑO ÁREA MATEMÁTICA: Mariela Pineda Gálvez DIAGRAMACIÓN: Mariela Pineda Gálvez ILUSTRACIONES: Antonio Ahumada Mora FOTOGRAFÍAS: Archivo Santillana CUBIERTA: La Práctica S.P.A. PRODUCCIÓN: Germán Urrutia Garín Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público. © 2010, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile) PRINTED IN CHILE Impreso en Chile por WorldColor Chile S.A. ISBN: 978-956-15-1760- 8 Inscripción N°: 197.993 Se terminó de imprimir esta 1a edición de 203.600 ejemplares, en el mes de diciembre del año 2010. www.santillana.cl Referencias del Texto Educación Matemática 4, Educación Media y del Texto Matemática 4, Educación Media, Mineduc, de los autores: Marcela Guerra Noguera, Patricia Urzúa Figueroa, Rodrigo Hernández Reyes, Alejandro Pedreros Matta, Ángela Baeza Peña, Marcia Villena Ramírez, Pablo Jorquera Rozbaczylo, Gabriel Moreno Rioseco. Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2005 y 2010. INICIALES 4º (1–11):Maquetación 1 23/11/10 16:36 Página 2
- 4. A los alumnosy alumnas: El Texto Matemática Cuarto Año Medio ha sido creado y diseñado pen- sando en la culminación de tu proceso escolar. En cada una de las Unidades te invitamos a profundizar nuevos contenidos matemáticos, relacionando e integrando a través de una mirada retros- pectiva, los conocimientos adquiridos en años anteriores. La construcción de modelos matemáticos, que ya has estudiado, se amplía al conocimiento de otro tipo de funciones que, entre otros aprendizajes, te facilitarán la comprensión de fenómenos sociales, naturales, químicos y físicos. En el estudio de la Geometría, podrás dejar usar toda tu imaginación para profundizar en modelos vectoriales, relacionados con el movimiento y la trayectoria que describe una figura y con la generación de cuer- pos geométricos mediante traslación y rota- ción, aplicando así tu creatividad y habilidad en la resolución de problemas. Te presentamos dos Unidades de Estadística cuyo estudio te aportará conceptos para el análisis e interpretación de la información en- tregada por los medios de comunicación y para manejar recursos objetivos para funda- mentar tus opiniones. Presentación | 3 Presentación INICIALES 4º (1–11):Maquetación 1 4/11/10 16:58 Página 3
- 5. Te damos labienvenida a este nuevo año escolar y queremos apoyarte en tu crecimiento y desarrollo con este Texto, que te entregará herramientas para enfrentarte de mejor manera en el mundo que te rodea, y te invita a comprender que la Matemática es parte de él. A través de sus seis Unidades te enfrentarás a diversas situaciones, en las que podrás explorar, aprender, construir y consolidar conceptos relacionados con números, álgebra, geometría, datos y azar. En ellas encontrarás las siguientes páginas y secciones: Páginas de inicio 4 | Matemática 4º Medio Estructura del Texto • Mediante un esquema, conocerás los contenidos y su vinculación con los principales aprendizajes que se espera que logres con el desarrollo de la Unidad. ¿Cuánto sabes? En esta sección te invitamos a resolver ejercicios y problemas que te ayudarán a evaluar tus conocimientos y a recordar lo que aprendiste en años anteriores y que serán la base para el desarrollo de la Unidad. ¿Qué debes recordar? Podrás activar tus conocimientos previos a través de un resumen que incluye los principales conceptos trabajados en años anteriores y que te servirán como apoyo para los aprendizajes que se espera que logres en la Unidad. Conversemos de... A través de una introducción al tema de la Unidad conectamos elementos e imágenes de la vida diaria con el contenido que trabajarás.Además, encontrarás preguntas relacionadas con la imagen y con los contenidos de la Unidad que te permitirán exponer tus ideas, dar opiniones y argumentar a partir de tus experiencias. INICIALES 4º (1–11):Maquetación 1 4/11/10 16:58 Página 4
- 6. Páginas de desarrollo Estructuradel Texto | 5 Estructura del Texto Actividades Resolverás variadas actividades para ir construyendo los conceptos y reforzando así tu aprendizaje. Analicemos... Por medio de preguntas, trabajarás el razonamiento, explorarás el contenido matemático que aprenderás, pondrás en práctica lo que ya sabes, compartirás tus ideas y extraerás conclusiones. En resumen Encontrarás explicaciones, formalizaciones o definiciones que destacan y precisan lo que vas aprendiendo. Recuerda que... Te recordará un contenido o procedimiento ya aprendido y necesario para lograr tus nuevos aprendizajes. INICIALES 4º (1–11):Maquetación 1 4/11/10 16:58 Página 5
- 7. 6 | Matemática4º Medio Herramientas tecnológicas Aprenderás a utilizar planillas de cálculo y programas computacionales. Glosario Te presentará nuevos términos matemáticos relacionados con el contenido que se está desarrollando. Pon atención Te recordará que debes revisar tus procedimientos, analizar la pertinencia y consistencia de las soluciones, entre otras. INICIALES 4º (1–11):Maquetación 1 4/11/10 16:58 Página 6
- 8. Estructura del Texto| 7 Estructura del Texto Páginas de cierre Organizando lo aprendido Podrás organizar y sintetizar lo aprendido utilizando un mapa conceptual.Además, aclararás los conceptos trabajados respondiendo preguntas sobre ellos y sus relaciones. Mi progreso Resolverás actividades que te permitirán evaluar tu progreso en el logro de los aprendizajes. Cómo resolverlo En estas dos páginas observarás un problema resuelto paso a paso a través de una determinada estrategia y, luego, podrás practicar la estrategia utilizada o aplicar otras que te permitan encontrar la solución. Eso sí, en Matemática siempre hay más de un camino para resolver un problema. INICIALES 4º (1–11):Maquetación 1 4/11/10 16:58 Página 7
- 9. 8 | Matemática4º Medio SÍntesis de la Unidad Este es un espacio para que construyas tu mapa conceptual de todo lo trabajado en la Unidad a partir de algunos conceptos fundamentales. También responderás preguntas conceptuales para evaluar lo que has aprendido en la Unidad. Evaluación En estas tres páginas podrás autoevaluar los aprendizajes que lograste en la Unidad. Incluye preguntas de verdadero o falso y actividades de desarrollo.Tomando en cuenta que una de las alternativas al egresar de la Educación Media es rendir la PSU, incluimos algunas preguntas tipo de esta prueba. En terreno A partir de una situación desarrollada en un contexto real o laboral, desarrollarás (primero individualmente y luego en equipo) actividades que te permitirán aplicar lo que aprendiste en la Unidad. INICIALES 4º (1–11):Maquetación 1 4/11/10 16:58 Página 8
- 10. Índice | 9 Índice ¿Cuántosabes? 64 Función exponencial 66 Herramientas tecnológicas 70 Función exponencial y logarítmica 72 Aproximándonos al número e 74 Organizando lo aprendido 76 Mi progreso 77 Ecuaciones exponenciales 78 Ecuaciones exponenciales con base e 80 Crecimiento exponencial 82 Decrecimiento exponencial 84 Aplicaciones de las ecuaciones exponenciales 86 Organizando lo aprendido 88 Mi progreso 89 Cómo resolverlo 90 En terreno 92 Síntesis de la Unidad 94 Evaluación 95 Índice ¿Cuánto sabes? 14 Funciones 16 Función inversa 18 Función potencia 20 Herramientas tecnológicas 23 Traslaciones verticales y horizontales 24 Organizando lo aprendido 26 Mi progreso 27 Logaritmos 28 Propiedades de los logaritmos 32 Propiedades de las operaciones de los logaritmos 34 Demostraciones aplicando logaritmos 36 Organizando lo aprendido 38 Mi progreso 39 Función logarítmica 40 Herramientas tecnológicas 44 Ecuaciones logarítmicas 46 Aplicaciones de las ecuaciones logarítmicas 50 Organizando lo aprendido 52 Mi progreso 53 Cómo resolverlo 54 En terreno 56 Síntesis de la Unidad 58 Evaluación 59 Función potencia y logarítmica 12 1 Función exponencial 62 2 INICIALES 4º (1–11):Maquetación 1 4/11/10 16:58 Página 9
- 11. 10 | Matemática4º Medio ¿Cuánto sabes? 100 Vectores 102 Operatoria con vectores 104 Vectores en el plano cartesiano 106 Traslación de figuras planas 108 Producto por un escalar 110 Homotecia 112 Herramientas tecnológicas 115 Organizando lo aprendido 116 Mi progreso 117 Producto punto 118 Ecuación vectorial de la recta en el plano 120 Ecuación vectorial de una recta y su ecuación cartesiana 123 Producto cruz y vectores en el espacio 126 Organizando lo aprendido 130 Mi progreso 131 Ecuación vectorial de la recta en el espacio 132 Rectas y planos 134 Ecuación vectorial y ecuación cartesiana de un plano en el espacio 136 Posición relativa entre planos 140 Intersección de una recta y un plano, y entre dos planos 142 Organizando lo aprendido 146 Mi progreso 147 Cómo resolverlo 148 En terreno 150 Síntesis de la Unidad 152 Evaluación 153 ¿Cuánto sabes? 158 Área y volumen 160 Proyecciones en el plano 162 Área de prismas y pirámides 164 Cuerpos generados por traslación 166 Volumen de un prisma 168 Volumen de pirámides 170 Organizando lo aprendido 172 Mi progreso 173 Cuerpos generados por rotación 174 Área de cilindros y conos 176 Volumen de cilindros 178 Herramientas tecnológicas 179 Volumen de conos 180 Volumen y área de la esfera 182 Organizando lo aprendido 184 Mi progreso 185 Cómo resolverlo 186 En terreno 188 Síntesis de la Unidad 190 Evaluación 191 Vectores 98 3 Áreas y volúmenes 156 4 INICIALES 4º (1–11):Maquetación 1 4/11/10 16:58 Página 10
- 12. Índice | 11 Índice ¿Cuántosabes? 196 Orígenes de la Estadística 198 Población y muestra 200 Ordenando la información 202 Análisis de gráficos 204 Medidas de tendencia central 208 Herramientas tecnológicas 212 Organizando lo aprendido 214 Mi progreso 215 Cómo resolverlo 216 En terreno 218 Síntesis de la Unidad 220 Evaluación 221 ¿Cuánto sabes? 226 Medidas de dispersión 228 Correlación 232 Diagrama de tallo y hojas 234 Muestras al azar 236 Distribución normal 240 Organizando lo aprendido 244 Mi progreso 245 Medidas de posición 246 Herramientas tecnológicas 250 Aplicaciones de la Estadística 251 Organizando lo aprendido 254 Mi progreso 255 Cómo resolverlo 256 En terreno 258 Síntesis de la Unidad 260 Evaluación 261 5Estadística I 194 6Estadística II 224 Solucionario 264 Índice temático 284 Bibliografía 287 INICIALES 4º (1–11):Maquetación 1 4/11/10 16:58 Página 11
- 13. Usar programas computacionales paragraficar funciones. Analizar sus gráficas según las variaciones de sus coeficientes. Obtener funciones inversas. Resolver ecuaciones logarítmicas. Resolver problemas en los que se utiliza logaritmos. Caracterizar las funciones: dominio, recorrido, crecimiento y decrecimiento. Función potencia y logarítmica 1 Función logarítmica Propiedades de los logaritmos Logaritmos Función potencia Función inversa Funciones TRABAJANDO CON: APRENDERÁS A: 12 | Unidad 1 UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:43 Página 12
- 14. Función potencia ylogarítmica | 13 Conversemos de... La contaminación acústica afecta negativamente la calidad de vida de los individuos que están expuestos a ella. Un informe de la Organización Mundial de la Salud (OMS) considera los 50 decibeles (dB) como el límite superior de ruido tolerable. Los decibeles son la unidad de medida del nivel de intensidad β de un sonido, que se calcula usando la expresión: β = 10 log , donde log es la función logaritmo, I0 es la intensidad de referencia (el mínimo sonido que el oído humano puede detectar corresponde a 10–12 W/m2 ) e I es la intensidad del sonido dado, medida también en W/m2 . Por ejemplo, el nivel de intensidad del estruendo de una explosión, como la de la imagen, es de 130 dB. 1. ¿Cuál es la diferencia entre sonido y ruido?, ¿cuándo un sonido se transforma en ruido? 2. ¿Cuáles son los ruidos cotidianos que más te molestan?, ¿por qué? 3. ¿Qué es la contaminación acústica? 4. ¿Qué problemas y trastornos puede provocar la contaminación acústica? 5. ¿Qué fuentes de contaminación acústica hay en el entorno de tu escuela?, ¿se podrían evitar? Comenta con tus compañeros y compañeras. I I0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ Latinstock UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:43 Página 13
- 15. 14 | Unidad1 ¿Cuánto sabes? 1. Grafica las siguientes funciones. a. g(x) = 8x – 3 d. m(x) = 9 + 4x g. h(x) = –7x b. h(x) = –2x2 + 1 e. k(x) = 3x2 h. c. f. g(x) = 5 i. h(x) = 6 – 5x2 2. Determina para qué valores no están definidas las siguientes funciones reales. Explica cómo lo hiciste. a. f (x) = f. p(x) = b. m(x) = 4x2 – (2x)2 + 5 g. c. h. q(x) = d. g(x) = (x – 3) (x + 8) i. e. n(x) = x2 + 2ax + a2 j. 3. Determina los intervalos para los cuales las siguientes funciones son crecientes y decrecientes. Explica el procedimiento que utilizaste. a. u(x) = – (x + 5)2 c. w(x) = 3 + (10 – x)2 b. d. t(x) = I3x – 9I 4. Una fábrica de botellas modeló el ingreso utilizando una función cuadrática. Si venden x unidades, el precio debe ser 21 – x, por unidad. a. Encuentra el ingreso como una función de las ventas. b. ¿Cuándo los ingresos empiezan a decaer? c. ¿Cuál es el ingreso máximo de la industria por las ventas de este artículo? ¿Cuántas unidades de este artículo se deben producir para tener el ingreso máximo? x + 2 x2 + 10x + 25 1 – x2 x + 1 2 x2 – 1 v x x ( ) = − + 2 4 h x x ( ) = + − 6 3 1 q x x ( ) = + − 6 2 f x x ( ) = − + 4 Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno. k x x a ( ) = − u x x b ( ) = − 1 2 i(x) = 4 x + 1 UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:43 Página 14
- 16. 5. Completa elsiguiente cuadro, indicando a qué intervalo debe pertenecer x para que la función sea negativa, cero o positiva. Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. Función potencia y logarítmica | 15 Unidad 1 f (x) < 0 f (x) > 0 f (x) = 0 f (x) = x2 – 10 f (x) = |x – 5| f (x) = 1 – 4x2 f (x) = – 1 x – 3 1 x f x x ( ) = + 7 f x x ( ) = − 11 ¿Qué debes recordar? • Para los números racionales a, n y m, con a 0, se cumplen las siguientes propiedades de las potencias y las raíces: • am · an = am + n • (am )n = am · n • am : an = = am – n • , con n 0 • Una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A un único elemento f (x) de un conjunto B. • Una función f (x) es: a a m n m n = am an • creciente en un intervalo ]a, b[ si dados x e y cualesquiera en ]a, b[, se cumple siempre que x y ⇒ f (x) f (y). • decreciente en un intervalo ]a, b[ si dados x e y cualesquiera en ]a, b[, se cumple siempre que x y ⇒ f (x) f (y). UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:43 Página 15
- 17. 16 | Unidad1 Funciones Analicemos... En la mayoría de los países, la escala de temperatura usada corres- ponde a la escala Celsius, en la cual el agua se congela a los 0 ºC y hierve a los 100 ºC. Sin embargo, en Estados Unidos, por ejemplo, se emplea la escala de temperatura Fahrenheit, en la cual el agua se congela a los 32 ºF y hierve a los 212 ºF. Los grados Fahrenheit y Celsius se pueden relacionar por la siguiente expresión: 9C = 5 (F – 32), asumiendo que esta relación es lineal. Pero si se considera C como la variable independiente y F como la variable dependiente, es equivalente a la función lineal: f (x) = x + 32. Observa su gráfica, que se muestra a la izquierda. Así, por ejemplo, si queremos saber a cuántos grados Fahrenheit equi- valen 0 ºC, basta con remplazar este valor en la función lineal dada. f (0) = · 0 + 32 = 32 Luego, 0 ºC equivalen a 32 ºF. De la misma forma, se puede obtener que –15 ºC equivalen a 5 ºF. Observa que para esta función siempre se puede calcular el valor correspondiente de f (x) para algún valor de x, o, dicho de otro modo, no existe valor de x tal que no se pueda calcular su correspon- diente f (x). En casos como este, se dice que el dominio de f es R. 9 5 9 5 • La temperatura normal del ser humano es 37 ºC. ¿A cuántos grados Fahrenheit (ºF) corresponden?, ¿cómo lo calculaste? • ¿Existe una expresión que permita convertir grados Celsius (ºC) a grados Fahrenheit (ºF)? Explica. • Si así fuera, esta expresión (u otra equivalente) ¿correspondería a una función?, ¿por qué? • ¿Qué distingue a una función de una expresión algebraica? Justifica. UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:43 Página 16
- 18. Función potencia ylogarítmica | 17 Unidad 1 En cambio, si en una función existieran valores para los cuales no se puede calcular el valor de la función, estos valores deben excluirse de su dominio. Por ejemplo, en la función g(x) = , al intentar calcular g(2) se obtiene 0 en el denominador; luego, la función g(x) no está definida para x = 2. Entonces, se dice que dom (g) = IR – {2}. De manera similar, se puede calcular el recorrido de la función, es decir, el conjunto de valores que la función puede tomar. General- mente, es más fácil observar los valores que la función no puede tomar y no considerarlos en el recorrido. Por ejemplo, en la función f (x) = x2 , por definición de x2 , los valores de f (x) no pueden ser negativos, luego rec(f ) = IR0 . 1 (x – 2) No siempre una expresión algebraica es función. Gráficamente, se puede saber si una expresión es función o no trazando rectas imaginarias para- lelas al eje Y.Si alguna de ellas inter- seca a la gráfica en dos o más puntos, entonces no es función. Pon atención En resumen • Una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A un único elemento y de un conjunto B, donde A se conoce como dominio dom(f ), de la función y B es el conjunto de llegada o codominio. El conjunto de valores que la función puede tomar se conoce como imagen o recorrido, rec(f ). No siempre se cumple que el codominio y el recorrido de una función sean iguales. 1. Determina cuál o cuáles de las siguientes representaciones gráficas es función. Justifica. a. b. c. 2. Si x es un número natural, se define f (x) de la siguiente manera: Si x = 1 o x = 2, entonces f (x) = 1. Si x 2, entonces f (x) = f (x – 1) + f (x – 2). a. Calcula: f (1), f (2), f (3), f (4), f (5) y f (6). b. Determina el dominio de la función. 3. Determina el dominio y recorrido de cada función. Explica cómo lo hiciste. a. f (x) = b. f (x) = c. d. f x x x ( ) = + − 1 1 f x x ( ) = + 2 1 x2 + 1 x x – 1 Actividades + UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:43 Página 17
- 19. (y – 32)= x La expresión obtenida en el procedimiento anterior se conoce como la función inversa de f (x) y se escribe como f –1 (x). En este caso, f –1 (x) = (x – 32). Observa que siempre se representa en términos de x. Luego, se tiene por ejemplo: f –1 (–4) = (–4 – 32) = –20. Además, f (–20) = (–20) + 32 = –4. Entonces, f (f –1 (–4)) = –4. 9 5 5 9 5 9 5 9 y – 32 = x 9 5 18 | Unidad 1 Función inversa Antonio estaba revisando noticias en Internet y se distrajo con el informe del tiempo. El pronóstico para ese día era de 91 ºF, la temperatura máxima y 68 ºF, la temperatura mínima. y = f (x) = x + 32 como x corresponde a grados Celsius, se despeja en la ecuación 9 5 Analicemos... • ¿En qué unidad está dada la temperatura que encontró Antonio en Internet? • Si se aplica la función f (x) = x + 32, ¿cuáles son las tempera- turas publicadas para Nueva York medidas en grados Celsius? • ¿Cómo se podría obtener una función que permita convertir grados Fahrenheit a grados Celsius? Explica. • ¿Qué relación hay entre esta última función y la anterior, f (x) = x + 32? Justifica. 9 5 9 5 No todas las funciones tienen in- versa. Gráficamente, se puede sa- ber si una función tiene o no tiene inversa trazando rectas imagina- rias paralelas al eje X. Si alguna de ellas interseca a la función en dos o más puntos, entonces la función no tiene inversa. Pon atención ¿Qué?, ¿hay 91 grados de temperatura ambiente en Nueva York? Ah… entonces, ¿cuál es la temperatura en Nueva York, en grados Celsius? UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 18
- 20. Función potencia ylogarítmica | 19 Unidad 1 En resumen • Dada una función f (x), se dice que f –1 (x) es su función inversa si cuando f (a) = b, entonces se tiene que f –1 (b) = a para todos los valores a del dom (f ). • Para determinar la representación algebraica de f –1 (x), dada una función f (x), se despeja de esta expresión la variable x, y luego se intercambian los nombres de las variables. • En un mismo gráfico, las gráficas de f (x) y f –1 (x) son simétricas respecto de la recta y = x. Si la función inversa existe, esto siempre se cumple, es decir, para todo x perteneciente a dom (f ), se tiene que f –1 [f (x)] = x, así como f [f –1 (x)] = x. Observa la gráfica de f –1 (x) y compárala con la gráfica de la fun- ción f (x) presentada en la página 16. ¿Qué puedes concluir? 1. Determina, a partir de cada gráfico, cuál o cuáles de las siguientes funciones tienen inversa. Explica tu decisión. a. b. c. 2. Encuentra la función inversa, si existe, para: a. c. e. q(x) = 4 + 7x b. d. f. 3. Encuentra la función inversa de f (x) = , con x 3. Explica cómo lo hiciste. a. ¿Cuál es el dominio de f –1 ? b. ¿Cuál es el recorrido de f –1 ? x – 1 x – 3 h x x ( ) = + 1 2 f x x ( ) = − 3 5 10 g x x ( ) = − 5 5 p x x ( ) = + 1 1 g x x ( ) = + − 3 4 Actividades UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 19
- 21. 20 | Unidad1 Función potencia Sea x un número real: • Si n es par, el valor de xn es siem- pre positivo. • Si n es impar, el signo de xn es igual al signo de x. Recuerda que... Observa los siguientes gráficos de la función f (x) = axn , con a 0. Los gráficos anteriores son ejemplos de la función potencia. Observa que no hay restricciones para los valores que puede tomar x en la función potencia, es decir, la función está definida para todo R, luego: dom (f ) = R. En cambio, para determinar el recorrido de la función, es necesario distinguir qué sucede en los casos de n par y n impar. Observa. Los valores de y correspondientes a la función f (x) = axn , para n par, con a 0, por propiedades de las potencias y según el signo de a, son siempre positivos o cero. Luego: rec (f ) = R0 + . Analicemos... • A partir de las gráficas, en cada caso, ¿cuál es el valor de f (x) para x = –2?, ¿para x = 0? Y ¿para x = 1? • ¿Se interseca cada función con cada uno de los ejes?, ¿en qué punto?, ¿por qué? • ¿Cuál es el dominio y recorrido de la función, en cada caso?, ¿qué puedes concluir? Justifica. • ¿En qué se parecen las gráficas de las funciones?, ¿en qué se diferencian?, ¿qué puedes concluir? Glosario función potencia: toda función de la forma f (x) = axn , con a 0, n 僆 IN – {1}, a 僆 IR, x 僆 IR. UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 20
- 22. Función potencia ylogarítmica | 21 Unidad 1 Si a 0 en la función y = axn , para n impar. En estos casos, la gráfica de la función f (x) = axn , para n impar, a 0, se encuentra en el segundo y cuarto cuadrante. Pero en el caso de f (x) = axn , para n impar, con a 0, los valores de y correspondientes dependen del signo de x, es decir, cuando x 0, se tiene y 0; cuando x = 0, y = 0, y cuando x 0, se tiene y 0, por propiedades de las potencias. Luego: rec ( f ) = IR. En cuanto a las gráficas, se observa que, cuando n es par, tienen forma similar a la función cuadrática se encuentran en el primer y segundo cuadrante, y su vértice corresponde al punto más bajo de la curva, aunque, en rigor, no son parábolas si n 2. Por otra parte, si n es impar, cuando a 0, las gráficas son siempre cre- cientes y se encuentran en el primer y tercer cuadrante. En cada cuadrante, su forma es similar a la mitad de una parábola, pero no son parábolas. Observa ahora qué sucede en la función f (x) = axn , para n par, si el valor de a es negativo. En estos casos, la gráfica de la función f (x) tiene su vértice en el punto más alto de la curva y está en el tercer y cuarto cuadrante. Observa que tanto si a 0 como cuando a 0 la gráfica de la fun- ción f (x) = axn para n par es simétrica respecto del eje Y. Glosario vértice: punto de una curva en que la curvatura tiene un máximo o un mínimo. cuadrante: cuarta parte del plano cartesiano comprendida entre los dosejesperpendiculares.Se numeran desde el eje X positivo y en direc- ción antihoraria. f (x) = –x2 f (x) = –x4 f (x) = –x6 I II Y X IV III y = – x3 3 2 y = –3x5 y = – x7 1 2 UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 21
- 23. 22 | Unidad1 En resumen • Una función potencia es una función de la forma f (x) = axn , donde a es un número real, distinto de cero, y n es un número natural, distinto de uno. • El dominio de una función potencia es IR. • El recorrido de la función f (x) = axn , con n par, es R+ 0 ; en cambio, si es n impar, su recorrido es R. • La gráfica de la función f (x) = axn depende de si n es par o impar y del signo de a. a 0 a 0 n impar n par 1. Dibuja en un mismo gráfico las funciones f (x) = x2 , g(x) = 4x2 y h(x) = 4x2 – 2. Luego, responde: a. ¿Qué semejanzas hay entre las gráficas de f (x) y g(x)?, ¿cuáles son sus diferencias? b. ¿Y entre las gráficas de g(x) y h(x)?, ¿cuáles son sus semejanzas y diferencias? c. ¿Qué puedes concluir? 2. Dibuja en un mismo gráfico las funciones p(x) = x3 , q(x) = –2x3 y r(x) = –2x3 + 4. Luego, responde: a. ¿Qué semejanzas hay entre las gráficas de p(x) y q(x)?, ¿cuáles son sus diferencias? b. ¿Y entre las gráficas de q(x) y r(x)?, ¿cuáles son sus semejanzas y diferencias? c. ¿Qué puedes concluir? Actividades UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 22
- 24. Función potencia ylogarítmica | 23 Unidad 1 Herramientas tecnológicas GeoGebra es un software libre que relaciona aritmética, geometría, álgebra y cálculo. Por una parte, es un sistema de geometría interactiva, en el que se pueden construir puntos, vectores, rectas y funciones, y luego modificarlas dinámicamente. Pero también se pueden ingresar las ecuaciones y coordenadas directamente y obtener las gráficas correspondientes. Esto permite construir y analizar gráficas de di- versas funciones. Para descargar este programa ingresa a www.geogebra.org/cms/es. Pulsa el botón Descarga, y luego haz clic en el botón Applet Start. De este modo podrás trabajar con este software sin tener la necesidad de instalarlo en tu computador. • Para graficar una función, se escribe directamente en la celda Entrada, ubicada en la parte inferior de la ventana. Si la función tiene potencias, los exponentes se anotan a conti- nuación del símbolo ^. Por ejemplo, para graficar f (x) = x3 se escribe f (x) = x^3 y se presiona enter. 1. Utilizando GeoGebra, o bien un papel milimetrado o cuadriculado, grafica las siguientes funciones y responde. a. y = x4 b. y = x6 c. y = x8 d. y = x10 • Las funciones dadas, ¿son simétricas?, ¿por qué? • A medida que el exponente aumenta, ¿qué puedes observar en las gráficas de las funciones? 2. Grafica las siguientes funciones y contesta: a. y = 0,05x4 c. y = 3x4 e. y = 0,8x3 g. y = 7x3 b. y = x4 d. y = 5x4 f. y = x3 h. y = 10x3 • ¿Qué sucede a medida que a crece? • ¿Ocurrirá lo mismo para a 0?, ¿cómo lo sabes? UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 23
- 25. 24 | Unidad1 Traslaciones verticales y horizontales Observa los gráficos que se muestran a continuación, con f (x) = x3 : g(x) = x3 – 4 = f (x) – 4 h(x) = x3 + 3 = f (x) + 3 p(x) = x f x + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 2 1 2 3 q(x) = (x – 2)3 = f (x – 2) En cada caso, la forma de la gráfica de la función polinomial es la misma que la de la función potencia f (x) = x3 , pero está trasladada con relación a ella. Observa. Sea (a, a3 ) un punto de la gráfica de f (x) = x3 . El punto (a + 2, a3 ) pertenece a la gráfica de q(x) = (x – 2)3 , ya que para cualquier valor de a, se cumple que [(a + 2) − 2]3 = a3 . Observa que tal como el punto (a + 2, a3 ) está dos unidades a la derecha de (a, a3 ), se cumple que toda la gráfica de q(x) = (x – 2)3 se desplaza dos unidades a la derecha respecto de la gráfica de f (x) = x3 . De manera similar, la gráfica de p(x) = se desplaza media unidad a la izquierda respecto de la gráfica de f (x) = x3 . Por otra parte, el punto (a, a3 + 3) pertenece a la gráfica de h(x) = x3 + 3. Observa que el punto (a, a3 + 3) está tres unidades arriba de (a, a3 ); entonces, toda la gráfica de h(x) = x3 + 3 tam- bién se desplaza tres unidades arriba respecto de la gráfica de f (x) = x3 . De manera similar, la gráfica de g(x) = x3 − 4 se desplaza cuatro unidades hacia abajo respecto de la gráfica de f (x) = x3 . x + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 2 3 Glosario función polinomial: aquella que se puede formar sumando múltiplos de potencias de x con exponentes en- teros positivos o cero; por ejemplo: • f (x) = 2x4 + 6x3 + x – 7. • g(x) = (x – 1)2 = x2 – 2x + 1. Analicemos... • Si observamos la representación algebraica de las funciones ante- riores, ¿en qué se parecen?, ¿en qué se diferencian? • ¿Qué semejanzas y diferencias tienen las gráficas de cada función? • ¿Cómo se relaciona el desplazamiento de la gráfica en el plano cartesiano con la diferencia en las expresiones algebraicas que las representan?, ¿por qué?, ¿qué puedes concluir? Para nombrar funciones se utilizan distintas letras para funciones dife- rentes. Por ejemplo, f(x), g(x) y h(x). Pon atención UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 24
- 26. Función potencia ylogarítmica | 25 Unidad 1 En resumen • Si f (x) = axn , entonces: 1. Grafica las siguientes funciones. a. f(x) = x4 d. p(x) = 2x3 b. g(x) = (x + 2)4 e. q(x) = 2(x – 1)3 c. h(x) = (x – 2)4 f. r(x) = 2(x + 1)3 2. A partir de la gráfica de la función g(x) = x5 , dibuja la gráfica de las siguientes funciones y responde. a. t(x) = g(x)+ 4 c. u(x) = g(x) – 3 b. v(x) = g(x + 1) d. w(x) = g(x – 2) + 5 • ¿Qué semejanzas encuentras? • ¿En qué se diferencian las gráficas? Explica. 3. ¿Cómo se obtiene una función trasladada verticalmente con respecto a f(x) = –3x2 ? 4. Construye una función polinomial que corresponda a una traslación horizontal y una que corresponda a una traslación vertical de su gráfica en cada caso. Dibuja sus gráficas. a. f(x) = –3x3 b. g(x) = 5x4 c. h(x) = –5x5 • ¿Cualquier función polinomial se puede escribir de modo que corresponda a una traslación de una función potencia?, ¿por qué? Actividades • la gráfica de g(x) = a(x + c)n es idéntica a la de f, pero trasladada en 冟 c 冟 unidades hacia la izquierda si c 0, o bien hacia la derecha si c 0. • la gráfica de h(x) = axn + c es idéntica a la de f, pero trasladada en 冟 c 冟 unidades hacia arriba si c 0, o bien trasladada hacia abajo si c 0. UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 25
- 27. 26 | Unidad1 • En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores. • Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote con el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Qué es el dominio de una función?, ¿y el recorrido? 3. ¿Cuál es la diferencia entre una función potencia de exponente par y una de exponente impar? Explica. 4. ¿Qué características tiene la gráfica de una función potencia f (x) = xn , si n es impar? 5. La función potencia f (x) = xn , si n es par, ¿es simétrica?, ¿por qué? 6. ¿En qué casos una función potencia tiene un valor máximo?, ¿por qué? 7. ¿Qué es el vértice de una función potencia?, ¿siempre existe? Explica. 8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto. es DOMINIO R RECORRIDO donde es f (x) = axn Organizando lo aprendido su su se denota por FUNCIÓN POTENCIA R0 + n PAR R cuando VÉRTICE MÍNIMO si a 0 es MÁXIMO si a 0 es FUNCIÓN CRECIENTE si a 0 es una FUNCIÓN DECRECIENTE si a 0 es una cuando n IMPAR n ES EL EXPONENTE tiene UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 26
- 28. Mi progreso Unidad 1 1. Determinael dominio y el recorrido de cada función. Explica el procedimiento que usaste. a. f (x) = x2 + 2 b. g(x) = 7x – 5 c. h(x) = 冟 3x – 6 冟 2. Calcula la función inversa para: a. p(x) = b. c. r(x) = 3. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta. a. La función potencia f (x) = axn , con n impar, es siempre creciente. b. El recorrido de una función potencia f (x) = axn es R. c. El vértice de una función potencia f (x) = axn es el punto más bajo de la curva. d. La gráfica de la función potencia f(x) = axn , con n impar, a 0, se halla en el segundo y cuarto cuadrante. 4. La gráfica de g(x) = x3 + 5 se encuentra, respecto de la gráfica de f (x) = x3 , trasladada: A. 5 unidades hacia la izquierda. B. 5 unidades hacia la derecha. C. 5 unidades hacia abajo. D. 5 unidades hacia arriba. E. Ninguna de las anteriores. 3 – x x + 4 5x – 5 7 q x x ( ) = − 4 1 • Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas. ¿Cómo voy? Función potencia y logarítmica | 27 CRITERIO ÍTEM PÁGINAS DONDE SE TRABAJA Determinar el dominio y recorrido de una función. 1 16 a 19 Calcular la función inversa de una función. 2 18 y 19 Reconocer características de la función potencia. 3 20 a 23 Relacionar el desplazamiento de la gráfica de una función potencia con la función polinomial asociada. 4 24 y 25 UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 27
- 29. 28 | Unidad1 Logaritmos Hasta hace casi 400 años, la tarea de un calculador podía ser agota- dora. Imagina calcular multiplicaciones, divisiones, potencias, o sacar raíces, no solo de números enteros sino también de fracciones y números decimales sin tener una calculadora. Observa las siguientes multiplicaciones: Analicemos... • Calcula los productos de las multiplicaciones anteriores sin usar calculadora y compara los resultados en tu curso. ¿Existen dife- rencias?, ¿por qué? • ¿Hay alguna forma de simplificar estos cálculos sin calcula- dora? Explica. • Observa la siguiente tabla. ¿Reconoces en ella algunos de los factores anteriores?, ¿y algunos de tus resultados?, ¿qué tienen en común? • Escribe los factores y el resultado, en cada caso, en forma de potencias. ¿Qué puedes concluir? n 2n 3n 4n 5n 1 2 3 4 5 2 4 9 16 25 3 8 27 64 125 4 16 81 256 625 5 32 243 1024 3125 6 64 729 4096 15 625 7 128 2187 16 384 78 125 8 256 6561 65 536 390 625 9 512 19 683 262 144 1 953 125 10 1024 59 049 1 048 576 9 765 625 11 2048 177 147 4 194 304 48 828 125 12 4096 531 441 16 777 216 244 140 625 16 · 128 81 · 2187 256 · 16 384 625 · 78 125 UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 28
- 30. Función potencia ylogarítmica | 29 Observa que todos los resultados conseguidos en la tabla anterior se ubican en la fila correspondiente a n = 11. Es decir, 11 es el ex- ponente al que hay que elevar el 2 para obtener 2048, o el 3 para lograr 177 147, por ejemplo. Para referirnos al cálculo de este exponente, por ejemplo, al que hay que elevar el 2 para obtener 2048, decimos que el logaritmo de 2048, en base 2, es 11 y lo denotamos: log2 2048 = 11, pues 211 = 2048 o que el logaritmo de 177 147, en base 3, es 11 y lo denotamos: log3 177 147 = 11, pues 311 = 177 147 Y así sucesivamente. Veamos ahora cómo se simplifica el cálculo de 625 · 78 125 uti- lizando la tabla. Se ubican en la tabla cada uno de los factores y se expresan como potencias con igual base: 625 · 78 125 = 54 · 57 = 511 . Entonces, se busca en la tabla, en la columna que corresponde a 5n , su valor para n = 11. Este valor es 48 828 125, tal como cuando resolviste la multiplicación mediante el algoritmo habitual. De manera similar, podríamos efectuar otras operaciones, como divisiones; por ejemplo: = = 54 = 625 512 58 244 140 625 390 625 Unidad 1 Glosario logaritmo: exponente al que es necesario elevar una cantidad positiva para que resulte un número determinado. Además, existe una propiedad , con la que se puede determinar el resultado de log27 19 683. A partir de la tabla se observa que 19 683 y 27 son ambos potencias de 3; luego, se pueden escribir utilizando los logaritmos en base 3 y ubicar los valores en la tabla. Observa. log27 19 683 = = = 3. Es decir, 273 = 19 683. De esta manera, las multiplicaciones se pueden convertir en sumas, las divisiones en restas y las raíces en divisiones, con lo que se fa- cilita notablemente el cálculo, más aún cuando los números impli- cados son grandes y se cuenta, obviamente, con tablas apropiadas. 9 3 log3 19 683 log3 27 log B log B log b b c c = • an · am = an + m • = an – m con a 0, n, m 僆 ⺡ Recuerda que... an am A diferencia de la tabla de la página anterior, las tablas de logaritmos muestran los valores de n a partir de los valores de an . Pon atención UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 29
- 31. 30 | Unidad1 Volvamos a la definición de logaritmo: “Exponente al que es nece- sario elevar una cantidad positiva para que resulte un número de- terminado”. Si se escribiera como ecuación, logb a, donde b es la base del logaritmo y a es su argumento, con a y b positivos, corres- ponde a resolver bx = a. Por ejemplo, calcular log2 16 equivale a resolver la ecuación 2x = 16, ya que la base del logaritmo es 2, el exponente no se conoce y 16 es el argumento, que corresponde al valor de la potencia. Y como 16 es una potencia de 2, de hecho, 24 , esto equivale a 2x = 24 ; luego, igualando los exponentes, se obtiene que x = 4. Ejemplo 1: Calcula el valor de log7 343. log7 343 = x 7x = 343 = 73 x = 3 Luego, log7 343 = 3. Ejemplo 2: Determina el valor de . Al igual que en el caso de las raíces, no todos los logaritmos se pueden calcular. Esta es la razón de la condición de valores posi- tivos para a y b. Observa. Ejemplo 3: Determina el valor de log8 –512. log8 –512 = x ⇒ 8x = –512 Pero ¿la potencia de un número positivo puede ser negativa? No, en ningún caso. Luego, log8 –512 no existe. Ejemplo 4: Calcula el valor de log(–2) 8. log(–2) 8 = x ⇒ (–2)x = 8 = 23 En este caso, la base de la potencia es negativa y su exponente es impar; luego, el valor de la potencia debiera ser negativo también. Como esto no se cumple, no existe log(–2) 8. Ejemplo 5: ¿Cuánto resulta log1 5? log1 5 = x ⇒ 1x = 5 Ya que toda potencia de 1 es 1, no existe un valor de x, tal que 1x sea igual a 5. log2 8 = x ⇒2x = 8 ⇒ 2x = (23 ) = 2 3 2 1 2 1 2 log2 8 Luego, = . log2 8 3 2 Glosario argumento: número o expresión al que se le aplica logaritmo. Por ejem- plo, en la expresión logb a, el argu- mento es a. UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 30
- 32. Función potencia ylogarítmica | 31 Unidad 1 Considerando situaciones como estas, es que se ha definido que el valor de la base y el argumento del logaritmo deben ser positivos. En particular, la base tiene que ser distinta de 1. En un mundo sin calculadoras, los logaritmos fueron utilizados como la principal herramienta en los cálculos aritméticos. Gracias a su uso se ahorró un increíble esfuerzo, pues se pudo trabajar con los pesados cálculos necesarios en las aplicaciones a la agrimen- sura, la astronomía y, particularmente, la navegación. Además, permitió realizar otros cálculos matemáticos que sin su invención no hubieran sido posibles. Las tablas de logaritmos y las reglas de cálculo eran imprescindibles en cualquier centro de cálculo, hasta la aparición de las calculadoras y computadores. Actualmente, los logaritmos ya no son necesarios para lo que fueron concebidos. Sin embargo, son fundamentales en la modelación matemática y en ciencias, por lo que han sobrevivido al desarrollo de las calculadoras electrónicas. 1. Calcula cada uno de los siguientes logaritmos. a. log9 243 d. log0,7 0,343 g. loga j. log m. log16 8 b. log2 128 e. loga a9 h. log6 k. log8 16 n. loga c. log5 625 f. log12 1 i. log4 1024 l. log8 0,125 o. log27 9 • Verifica con la calculadora los resultados obtenidos. 2. Dada cada expresión, encuentra el valor de x. Explica cómo lo hiciste. a. log2 x = 6 b. log x = –2 c. log0,3 x = 3 d. log0,004 x = –3 3 4 3 2 a 8 Actividades 1 36 9 4 a 2 5 En resumen • Por definición, x = logb a ⇒ bx = a, entonces se puede decir que el logaritmo es el exponente de la potencia en base b cuyo valor es a. • La expresión logb a se lee como: “logaritmo de a en base b”. • El argumento y la base de un logaritmo son números reales positivos. Además, la base no puede ser 1. Es decir, en la expresión logb a, siempre, por definición, a 僆 R+ y b 僆 R+ – {1}. Las calculadoras tienen teclas para calcular el logaritmo en base 10 (log) y el logaritmo natural (ln), pero no el logaritmo en una base cualquiera. En ese caso, se puede calcular usando la fórmula de cam- bio de base. Pon atención UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 31
- 33. 32 | Unidad1 Propiedades de los logaritmos Tomás, a partir de la definición y luego de comprobarlo con algunos valores, determinó las siguientes relaciones entre los valores de a, b y c, con b 1: logb a = c bc = a b a c = Las propiedades que se cumplen para los logaritmos, para cualquier valor adecuado de la base b, se pueden establecer y demostrar a partir de las propiedades de las potencias. Observa. • Logaritmo de la unidad: logb 1 = x ⇔bx = 1 ⇔ bx = b0 , ya que b 0, b 1 ⇒x = 0 Por propiedades de potencias, ya que el valor de la potencia es 1 cuando el exponente de la potencia es cero (pues la base es positiva y distinta de 1). Luego, logb 1 = 0, con b 1. Ejemplo: log5 1 = 0. • Logaritmo de la base del sistema: logb b = x ⇔ bx = b ⇔ bx = b1 ⇒x = 1. Luego, logb b = 1, con b 1. Ejemplo: log3 3 = 1. • Logaritmo de una potencia con igual base: logb ba = x ⇔ bx = ba ⇒x = a Luego, logb ba = a, con b 1, con a, número real. Ejemplo: log6 63 = 3. Analicemos... • ¿Están correctas las relaciones que estableció Tomás? Comprué- balas remplazando con los valores correspondientes en cada caso. • Tal como existen propiedades para las potencias y para las raíces, ¿se pueden establecer propiedades para los logaritmos? Justifica. • Por ejemplo, en el caso de logb bn , ¿existe alguna propiedad que simplifique los cálculos? Explica. UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 32
- 34. Función potencia ylogarítmica | 33 Unidad 1 • Cambio de base logb B = x ⇔ bx = B logc bx = logc B x · logc b = logc B Por lo tanto, para todo b, c, B 0; b, c 1. Ejemplo: log2 5 = = = 2,32192. log B log B log b b c c = Los logaritmos de base diez, es decir, log10 x, son llamados loga- ritmos decimales y en este texto los denotaremos como log x. Pon atención x log B log b c c = log 5 log 2 0,69897 0,30103 1. Calcula cada uno de los siguientes logaritmos. Explica cómo lo hiciste. a. log2 64 d. log5 1 g. log16 128 j. log c. log0,7 0,49 f. log5 57 i. log6 63 l. log5 2. Utilizando una calculadora, encuentra el valor de las siguientes expresiones. a. log2 5 b. log6 7 c. log7 9 d. log6 11 3. Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones. a. log4 64 + log 1000 + log5 125 d. 3 log 32 + 7 log 125 – 6 log 243 b. log – log + log 10 000 e. 4 log + 2 log – 5 log c. 2 log5 25 – 3 log7 49 + 4 log8 4096 f. 2 log 100 000 – 2 log4 256 + 4 log2 32 1 3 1 5 1 4 6 7 2 5 5 7 5 6 2 3 4 3 Actividades 16 9 1 25 25 49 8 125 216 343 4 9 125 216 En resumen Los logaritmos cumplen, ya que la base b es positiva y distinta de 1, que: • Logaritmo de la unidad: logb 1 = 0. • Logaritmo de la base del sistema: logb b = 1. • Logaritmo de una potencia con igual base: logb ba = a, con a 僆 IR. • Cambio de base: para todo b, c, B 0; b, c 1. log B log B log b b c c = b. log27 243 e. log3 3 h. log128 1 k. log 128 1 2 se aplican logaritmos en una base c por propiedad de logaritmos que se trabajará en la página 35. UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 33
- 35. 34 | Unidad1 Propiedades de las operaciones de los logaritmos Al igual que para las potencias y las raíces, para los logaritmos tam- bién existen propiedades que permiten simplificar los cálculos. Para demostrarlas, los logaritmos se pueden escribir en forma ex- ponencial y aplicar algunas de las propiedades de las potencias. Por ejemplo, el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. Es decir, logb (a · c) = logb a + logb c. Para comprobar con un ejemplo que esta propiedad se satisface, se puede resolver un logaritmo de dos maneras distintas: directamente y aplicando el logaritmo del producto. Observa: log2 128 = x ⇔ 2x = 128 ⇔ 2x = 27 , luego x = 7. Por otra parte, log2 128 = log2 (4 · 32) = log2 4 + log2 32 = 2 + 5 = 7. Pero no basta con comprobar con un ejemplo para justificar que la propiedad está correcta. Es necesario demostrar que se cumple para cualquier valor positivo de a, b o c, con b 1. Considera que logb a = y ⇔ by = a logb c = z ⇔ bz = c logb (a · c) = x ⇔ bx = a · c bx = by · bz bx = by + z ⇒ x = y + z logb (a · c) = logb a + logb c De manera similar se pueden demostrar las siguientes propiedades: • El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los loga- ritmos del dividendo y el divisor. logb = logb a – logb c a c ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ Analicemos... • Considera valores positivos para a, b y c, con b 1, y remplázalos en la expresión. ¿Efectivamente se satisface? Justifica. • ¿Crees que también se cumpla logb (a · c) = logb a · logb c? Justifica. • A partir de esta propiedad, ¿se pueden obtener otras? Explica. remplazando a · c por propiedad de potencias remplazando Ejemplo: log3 = log3 81 – log3 243 = 4 – 5 = – 1. 81 243 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 34
- 36. En relación conlas propiedades de los logaritmos se debe tener pre- sente que se cumple en general: • logb (p · q) logb p · logb q • logb (p + q) logb p + logb q • logb (p – q) logb p – logb q • Función potencia y logarítmica | 35 Unidad 1 • El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente de dicha potencia por el logaritmo de su base. logb ac = c · logb a Ejemplo: log2 43 = 3 · log2 4 = 3 · 2 = 6. • El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical, dividido por el índice de la raíz. Ejemplo: log4 = · log4 16 = · 2 = . Pon atención 1. Si A = log6 2, B = log6 3 y C = log6 5, expresa en términos de A, B y C los siguientes logaritmos. a. log6 5400 b. log6 90 c. d. log6 2. Reduce cada una de las siguientes expresiones a un solo logaritmo. a. logm a – 2 logm b + logm c – 3 logm d e. 2 logb 3 + 3 logb 2 b. logb (x2 + 1) + logb (x + 1) + logb (x – 1) f. logb c – 6 logb a c. logp (x + y + z) – 4 logp (x – y – z) g. logb a – logb c – logb d + logb e d. logp (x + 3) – 4 logp (x – 2) h. logb c + logb a – 1 3. Desarrolla cada una de las siguientes expresiones utilizando las propiedades. a. logb (x2 – 9x – 22) c. logb (x3 + y3 )2 b. logb (100x8 – 80x7 + 16x6 ) d. 8 3 1080 32 400 log6 216 log a b c d p 2 4 5 2 log a log a n b n b = 1 6 1 6 1 3 16 6 log p log q p q b b ≠ En resumen Sean a, b, c números racionales y positivos, con la base b distinta de 1: • Logaritmo de un producto: logb (a · c) = logb a + logb c. • Logaritmo de un cociente: logb ( )= logb a – logb c. • Logaritmo de una potencia: logb ac = c · logb a. • Logaritmo de una raíz: . log a log a n b n b = a c Actividades UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 35
- 37. 36 | Unidad1 Demostraciones aplicando logaritmos Frecuentemente, en Matemática es necesario expresar la relación entre dos o más variables de diferentes formas. Por ejemplo, demuestra que si se cumple u3 – v · w5v = uv + 5 · w3v , entonces también se cumple: v log ( )= log u. w u Suponiendo que la primera igualdad se cumple para valores posi- tivos, observa cómo se demuestra que es equivalente a la segunda. u3 – v · w5v = uv + 5 · w3v (3 – v) log u + 5v log w = (v + 5) log u + 3v log w 3 log u – v log u + 5v log w = v log u + 5 log u + 3v log w 3 log u – v log u – v log u – 5 log u = 3v log w – 5v log w –2v log u – 2 log u = –2v log w –2 log u = –2v log w + 2v log u log u = v log w – v log u log u = v(log w – log u) log u = v log Como se observa en este ejemplo, una de las ventajas de los loga- ritmos es que permiten transformar multiplicaciones en sumas, divi- siones en restas y potencias en productos, con lo que se facilitan mucho los cálculos y también las demostraciones. Ejemplo 1 Considera la siguiente figura: Demuestra que logh q + logh p = 2. Analicemos... • ¿Siempre se cumple la primera igualdad?, ¿y la segunda? Explica. • ¿Los valores positivos de u, v y w que satisfacen la primera igualdad también lo hacen con la segunda? Explica. h p q se aplican logaritmos se reducen términos semejantes dividiendo por –2 factorizando queda demostrado w u UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 36
- 38. Función potencia ylogarítmica | 37 Unidad 1 Solución A partir de la figura, se puede aplicar claramente el teorema de Euclides: p · q = h2 se aplican logaritmos log (p · q) = log h2 log p + log q = 2 log h se realizan los cambios de base: y . Luego, logh q + logh p = 2, que es lo que se quería demostrar. Ejemplo 2 Si , calcula log a en función de p. Solución Recuerda que . log a = p ⇒ log a = p ⇒ log a = 3p 1 3 1 3 log a p 3 = 2 5 log a p 3 = 1. Demuestra las siguientes propiedades, para a, b y x positivos y b 1. a. b. logb + logb a = 0 2. Determina si las siguientes relaciones son verdaderas o falsas con a 0, a 1. Justifica en cada caso. a. loga u = loga v + loga c. loga au = 1 + loga u b. d. 3. Demuestra que: loga b · logb c · logc d · … · logm n · logn a = 1, para los números positivos a, b, c,…, n, distintos de 1. 1 a ( ) a b log a b = log u log u a a = Actividades log p log q log h + = 2 log p log h log q log h + = 2 u v log u log v log u v a a a = Por otro lado, la expresión log a puede ser escrita como log a. Luego, remplazando se tiene: log a = · 3p = p. Entonces, log a = p. 6 5 2 5 6 5 2 5 2 5 2 5 2 5 UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 37
- 39. 38 | Unidad1 • En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores. • Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote con el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Cuál es la definición de logaritmo? 3. ¿Cómo se relacionan los logaritmos con las potencias y las raíces enésimas? Explica. 4. ¿Cuál es la diferencia entre un logaritmo de base 2 y uno de base 10? 5. ¿Qué tipo de ecuaciones se pueden resolver utilizando logaritmos?, ¿por qué? 6. ¿En qué casos el logaritmo de 1 es 0? Justifica. 7. ¿Se puede afirmar que el logaritmo de una suma corresponde a la suma de los logaritmos?, ¿por qué? 8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto. y BASE: b ARGUMENTO: a logb a = c se corresponden con Organizando lo aprendido cuyos componentes son se denotan por hay propiedades para POTENCIAS bc = a RAÍCES ENÉSIMAS ECUACIONES LOGARITMOS b a c = permiten resolver LOGARITMO DE LA UNIDAD LOGARITMO DE LA BASE LOGARITMO DE UN PRODUCTO LOGARITMO DE UN COCIENTE LOGARITMO DE UNA POTENCIA CAMBIO DE BASE UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 38
- 40. Función potencia ylogarítmica | 39 Mi progreso 1. Utilizando la tabla de la página 28, calcula los siguientes logaritmos. a. log4 16 384 b. log5 1 953 125 c. log16 1 048 576 d. log8 2048 2. Calcula los siguientes logaritmos. Explica cómo lo hiciste. a. log6 216 b. log2 1024 c. log16 16 d. log9 1 3. Desarrolla cada una de las siguientes expresiones utilizando propiedades. a. b. 4. Reduce cada una de las siguientes expresiones a un solo logaritmo. a. loga d – 3 loga b + loga 5 – 3 loga c c. logc (x + 2y – z) – 3 logc (x – y + 4z) b. 2 · logb (x2 – 9) + logb (x – 3) – logb (x + 3) d. 6 logb 5 + 4 logb 15 5. Decide si las siguientes relaciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta. a. loga (u + v) = loga uv b. (loga b)(logb a) = 1 6. Determina cuál de las siguientes afirmaciones es falsa. Justifica tu decisión. A. El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo de la base de la potencia. B. El valor del logaritmo cuya base es igual al argumento es siempre igual a 1. C. La base de un logaritmo es un número real positivo. D. Dos logaritmos en la misma base son iguales si y solo si sus argumentos son iguales. E. Ninguna de las anteriores. log p q b 2 2 3 − log p q r s b 2 3 4 • Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas. ¿Cómo voy? Unidad 1 CRITERIO ÍTEMS PÁGINAS DONDE SE TRABAJA Calcular logaritmos utilizando tablas de potencias. 1 28 y 29 Calcular logaritmos. 2 30 a 33 Aplicar propiedades de los logaritmos. 3 y 4 32 a 35 Reconocer y demostrar propiedades de los logaritmos. 5 y 6 30 a 37 UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 39
- 41. 40 | Unidad1 Función logarítmica Observa las siguientes gráficas: Las gráficas anteriores son ejemplos de la función logarítmica. Un método posible para determinar la expresión algebraica que representa a una función conocida, a partir de la gráfica, es utilizar su tabla de valores. Observa que en la tabla correspondiente al caso I, los valores de x son potencias de 3, cuyos exponentes son los valores asociados de y. Es decir, x = 3y , lo que equivale a y = log3 x. Entonces, la expresión algebraica que representa a la función dada en la primera gráfica es f (x) = log3 x, con x 僆 IR. En cambio, la expresión algebraica que representa a la función dada en la segunda gráfica es f(x) = log x, con x 僆 IR. 1 3 Analicemos... • A partir de las gráficas, en cada caso, ¿cuál es el valor de y para x = 3?, ¿para x = 1? Y ¿para x = 0? • En cada caso, ¿qué sucede a medida que x aumenta?, ¿y a medida que x se acerca a 0? Explica. • En cada caso, ¿cuál parece ser el dominio de la función?, ¿y recorrido? • ¿Se interseca cada función con cada uno de los ejes?, ¿en qué punto? • Estas gráficas, ¿se parecen a las gráficas de alguna función que conozcas?, ¿por qué? • ¿Qué semejanzas y diferencias observas entre estas gráficas? x 1 3 1 3 9 27 y –1 0 1 2 3 x 9 3 1 1 3 1 27 y –2 –1 0 1 3 Caso I Caso II Glosario función logarítmica: toda función cuya variable se encuentra en el ar- gumento de un logaritmo, por ejemplo, de la forma f (x) = logb x, con b 0, b 1, x 0. UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 40
- 42. Función potencia ylogarítmica | 41 Observa ahora las siguientes gráficas para determinar las carac- terísticas de la función logarítmica. Caso I: Función logarítmica: f(x) = logb x, con b 1. En el sistema de coordenadas se han graficado las siguientes fun- ciones: , , , . En estas gráficas se observa: • La curva asociada a la función logarítmica interseca al eje X en el punto (1, 0). • El dominio de la función son los números reales positivos: R+ . • La función es creciente para todo su dominio, es decir, logb x logb y cuando 0 x y. • El recorrido de la función son todos los números reales: IR. Caso II: Función logarítmica f(x) = logb (x), con 0 b 1. En el sistema de coordenadas se han graficado las siguientes funciones: , , , . En estas gráficas se observa: • La curva asociada a la función logarítmica interseca al eje X en el punto (1, 0). • El dominio de la función son los números reales positivos: IR+ . • La función es decreciente para todo su dominio, es decir, logb x logb y cuando 0 x y. • El recorrido de la función son todos los números reales: IR. ¿Qué conclusiones puedes sacar de ambos casos? f x log x 3 0 6 ( )= , f x log x 2 0 5 ( )= , f x log x 1 0 2 ( )= , f x log x 4 5 ( )= f x log x 3 4 ( )= f x log x 2 3 ( )= f x log x 1 2 ( )= Unidad 1 Una función es creciente si x1 x2 ; entonces f (x1 ) f (x2 ) para todos los valores x1 , x2 del dominio de la función. En cambio, si cuando x1 x2 se tiene que f (x1 ) f (x2 ), la función es decreciente. Recuerda que... f x log x 4 0 75 ( )= , UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 41
- 43. 42 | Unidad1 Observa ahora distintas gráficas de la función logarítmica: A partir de la función f(x) = logb x, con b 0, analizaremos distin- tas gráficas según sea el caso. Caso I. Función logarítmica f(x) = a logb x, con a 僆 IR, a 0. a 0 Se observa en las gráficas anteriores, dada la función f(x) = a logb x, con b 1, que: • Si a 0, la gráfica de la función será siempre creciente. • Si a 0, la gráfica de la función será siempre decreciente. ¿Qué otras conclusiones se podrían obtener de las gráficas anteriores? Caso II. Sea f(x) = logb (x + a), con a 僆 IR, b 1. Caso III. Sea f(x) = logb x + a, con a 僆 IR, b 1. En el caso II observamos que las gráficas corresponden a traslaciones horizontales de la función f1 (x) = log x y según sea el valor de a, positivo o negativo, la traslación es hacia la izquierda o hacia la derecha, respectivamente. En las gráficas del caso III, las traslaciones son verticales, hacia abajo o hacia arriba, según sea el valor positivo o negativo de a. a 0 Caso II Caso III f x log x b 1( ) = f x log x b 2 2 ( ) = f x log x b 3 4 ( ) = f x log x b 4 0 5 ( ) = , f x log x b 5 3 ( ) = − f x log x b 6 5 ( ) = − f x log x b 7 0 3 ( ) = − , f x log x b 1( ) = f x log x b 2 1 ( ) = − ( ) f x log x b 3 1 ( ) = + ( ) f x log x b 1( ) = f x log x b 2 2 ( ) = + f x log x b 3 2 ( ) = − Para evitar confusiones,observa que log x + y corresponde a (log x) + y, no a log(x + y). Pon atención UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 6/12/10 10:48 Página 42
- 44. Función potencia ylogarítmica | 43 Unidad 1 1. Dada la función logarítmica f(x) = log2 x, determina: a. f (4) c. f e. 2f (2) – 6f 2. Respecto de las siguientes funciones, sin graficar, indica qué tipo de transformación presentan sus gráficas en relación con la función f(x) = log x. a. f (x) = log x + 4 b. f (x) = log (x – 5) c. f (x) = –log (x + 1) 3. Grafica en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones y responde. a. f (x) = log x y f 1 (x) = –log x b. m(x) = log (x – 4) y m1 (x) = –log (x – 4) • ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de las funciones de a?, ¿y de b? • En las funciones dadas en a y b, ¿cuál es el punto de intersección con el eje X? • ¿Cuál es el dominio de las funciones dadas en a y b? 1 8 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 8 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ Actividades b. f (16) d. f f. 2f (4) + 3f (32) – f 1 64 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 8 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ En resumen La función logarítmica f(x) = logb x tiene las siguientes características: • El dominio de la función son los números reales positivos. • El recorrido de la función son los números reales. • La gráfica de la función interseca al eje de las abscisas en el punto (1, 0). • Si b 1, entonces la función es creciente. • Si 0 b 1, entonces la función es decreciente. UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 43
- 45. 44 | Unidad1 Herramientas tecnológicas La utilización de programas computacionales resulta muy útil para el análisis de funciones. En estas páginas aprenderás a usar el programa Graphmatica para construir y analizar gráficas de funciones. Para bajar este programa ingresa a www.graphmatica.com/espanol. Al abrir el programa, la interfase presenta el siguiente aspecto: Sobre la cuadrícula hay una barra en blanco que per- mite escribir funciones usando las variables x e y. Una vez ingresada la función, presiona el botón dibujar gráfica o simplemente presiona enter. A continuación aparecerá en la cuadrícula la gráfica de la función. Se puede cambiar la escala de la gráfica de la función y el aspecto de la cuadrícula de la siguiente forma: • Para cambiar la escala haz clic en el menú Ver y selecciona Rango de la cuadrícula. Aquí se puede modificar el rango horizontal (opciones izquierda y derecha) y el rango vertical (opciones arri- ba y abajo). • Para cambiar los colores del plano cartesiano o de la gráfica de la función, en el menú Opciones selecciona papel gráfico para modificar el color de las gráficas y el color de fondo, así como eti- quetar los ejes, etcétera. Para obtener la gráfica de varias funciones se debe escribir cada ecuación en la barra en blanco sobre la cuadrícula y presionar enter antes de anotar la siguiente. Obtendrás en pantalla una o más gráficas, tal como se muestra en la imagen de la derecha: Para modificar las gráficas sin empezar todo de nuevo se puede utilizar: • Presiona el botón para ocultar la última gráfica y el botón para ocultarlas todas. • Para borrar las gráficas selecciona la función que deseas borrar y utiliza el botón . UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 8/11/10 15:22 Página 44
- 46. Función potencia ylogarítmica | 45 Unidad 1 Utilizando Graphmatica, realiza lo siguiente: 1. Grafica las siguientes funciones y determina si tienen o no inversa. Explica cómo lo supiste. a. f (x) = d. b. f (x) = e. f (x) = x3 – x2 – 2x c. f (x) = |x – 2| f. f (x) = 4 – x2 2. Grafica las siguientes funciones de la forma y = ax5 . Luego, responde. a. y = –0,05x5 b. y = –2x5 c. y = –7x5 • ¿Qué sucede a medida que el valor de a crece? • ¿Ocurrirá lo mismo para a 0? 3. A partir de la gráfica de la función g(x) = x7 , dibuja la gráfica de las siguientes funciones. Luego, responde. a. p(x) = g(x) + 10 c. r(x) = g(x) – 6 b. q(x) = g(x + 3) d. s(x) = g(x – 4) + 8 • ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de las funciones? • En cada caso, ¿cuál es el punto de intersección con el eje X?, ¿por qué? 4. A partir de la gráfica de la función f (x) = log4 x, dibuja la gráfica de las siguientes funciones. Luego, responde. a. p(x) = f (x) + 4 c. r(x) = f (x) – 1 b. q(x) = f (x + 2) d. s(x) = f(x – 3) + 5 • ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de las funciones? • En cada caso, ¿cuál es el punto de intersección con el eje X?, ¿por qué? 5. Grafica en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones y luego responde. a. f (x) = log x y f1 (x) = log (–x) b. g(x) = log2 x y g1 (x) = log4 x c. m(x) = log (x + 5) y m1 (x) = –log (x – 5) • ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de las funciones del ítem a?, ¿del b?, ¿y del c? • En cada caso, ¿cuál es el punto de intersección con el eje X? f x x x ( )= + − 1 1 1 1 x – 1 1 x2 UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 45
- 47. 46 | Unidad1 Ecuaciones logarítmicas Una escala utilizada para medir la cantidad de energía liberada por un sismo es la escala de Richter, representada por la ecuación: log E = 1,5 · R + 11,8, donde E: energía liberada, medida en ergios, y R: magnitud del sismo, medida en grados de la escala de Richter. Por ejemplo, el terremoto del 13 de junio de 2005 en Huara, provincia de Iquique, tuvo una magnitud de 7,8. La ecuación logarítmica que permite responder la situación presen- tada es log x = 1,5 · 7,8 + 11,8, ya que R, en este caso, es igual a 7,8. Luego, para calcular cuál es el valor de x, se aplican potencias de 10. Observa. log x = 1,5 · 7,8 + 11,8 log x = 23,5 , pero , por definición de logaritmos. x = 3,162 · 1023 Luego, la energía liberada en el terremoto del 13 de junio de 2005 fue de 3,162 · 1023 ergios. En general, para resolver una ecuación logarítmica con una incógnita, se debe manipular la ecuación, de modo de escribirla de la forma logb f (x) = logb g(x), donde f (x) y/o g(x) son expresiones que con- tienen la incógnita. Como la función logarítmica es siempre creciente, o bien siempre decreciente, entonces: logb f (x) = logb g(x) ⇔f (x) = g(x). Lo anterior, junto con las propiedades de los logaritmos, nos per- mitirá resolver una ecuación. 10 10 log x x = 10 10 10 23 5 log x = , Analicemos... • ¿Cuánta energía fue liberada en esa ocasión?, ¿cómo lo calculaste? • ¿Cuánta energía más liberaría un terremoto de magnitud 8,5 en la escala de Richter? Explica. Glosario ecuación logarítmica: igualdad en la que intervienen logaritmos y donde la incógnita forma parte del argu- mento de, al menos, uno de ellos. Hombre removiendo escombros provocados por el terremoto de Huara. Gentileza: Ministerio de Interior. UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 46
- 48. Función potencia ylogarítmica | 47 Unidad 1 Ejemplo 1 log (x + 4) = log 2 + log (x + 1) log (x + 4) = log (2 · (x + 1)) log (x + 4) = log (2x + 2) x + 4 = 2x + 2 x = 2 Se verifica la solución, remplazando x = 2 en la ecuación: log (2 + 4) = log 2 + log (2 + 1) log 6 = log (2 · 3) Por lo que x = 2 satisface la ecuación. Ejemplo 2 log (x2 – 18) = log 3 + log x log (x2 – 18) = log (3x) x2 – 18 = 3x x2 – 3x – 18 = 0 (x – 6) (x + 3) = 0 x = 6 y x = –3 Al remplazar x = 6 se obtiene: log (62 – 18) = log 3 · 6. Por lo tanto, satisface la ecuación logarítmica. Por otra parte, con x = –3 se obtiene log –9 = log 3 + log –3, pero la función logarítmica no está definida para un número negativo. Por lo tanto, x = –3 no es una solución de la ecuación. Ejemplo 3 log (x2 – 1) = log (x – 1) x2 – 1 = x – 1 x2 – x = 0 x(x – 1) = 0 x = 0 y x = 1 Para x = 0 se obtiene log (–1), que no está definido. Para x = 1 se obtiene log (0), que tampoco está definido. Por lo tanto, esta ecuación logarítmica no tiene solución real, aunque algebraicamente se determinaron valores. De aquí la importancia de comprobar siempre los resultados. Las soluciones de una ecuación lo- garítmica deben comprobarse siem- pre, ya que la función logarítmica solo admite valores positivos en sus argumentos, y podría ocurrir que con el valor de x encontrado no se satisfaga esta condición. Pon atención aplicando propiedades de los logaritmos se aplican propiedades de los logaritmos igualando el argumento de ambos logaritmos al resolver esta ecuación de segundo grado se obtienen dos soluciones igualando el argumento de ambos logaritmos se resuelve la ecuación de segundo grado se igualan los argumentos UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 47
- 49. 48 | Unidad1 En resumen • Una ecuación logarítmica es una igualdad en la que intervienen logaritmos y donde la incógnita forma parte de al menos uno de sus argumentos. • Para resolver una ecuación logarítmica se debe manipular la ecuación, de modo de escribirla de la forma logb f (x) = logb g(x), donde f (x) y/o g(x) son expresiones positivas que contienen la incógnita. Como la función logarítmica es siempre creciente, o bien siempre decreciente, entonces: logb f (x) = logb g(x) ⇔f (x) = g(x). Luego, ahora se resuelve f (x) = g(x). • Las soluciones de una ecuación logarítmica se deben comprobar siempre, ya que los logaritmos solo se definen para valores positivos y podría ocurrir que el valor encontrado, al remplazarlo en la ecuación, presente logaritmos de un número negativo o cero, es decir, en logb f (x) = logb g(x) se tenga f (x) 0 o g(x) 0. 1. Obtén el valor de x en los siguientes casos. a. log2 128 = x e. logx 100 = b. f. log2 322 = x c. log3 [log3 (5x + 2)] = 1 g. log3 {log3 [log3 (x + 25)]} = 0 d. log2 {log2 [log2 (2x – 8)]} = 0 h. log5 (5x – 4) – log5 (2x – 7) = 2 1 2 log x 343 7 = Actividades Ejemplo 4 log2 [log2 (5x + 6)] = 2 log2 [log2 (5x + 6)] = log2 22 log2 (5x + 6) = 4 log2 (5x + 6) = log2 24 5x + 6 = 24 5x + 6 = 16 5x = 10, luego x = 2. Comprobando, log2 [log2 (5 · 2 + 6)] = log2 [log2 16] = log2 4 = 2. Igualando los argumentos. Igualando el argumento de ambos logaritmos. Ya que a = logb ba Ya que a = logb ba UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 48
- 50. Función potencia ylogarítmica | 49 Unidad 1 2. Determina el valor de x en cada caso. Explica el procedimiento que utilizaste. a. d. log3 (3x – 2) = 2 b. log2 x + log2 6 = log2 30 – log2 5 e. log2 x2 + 3log2 x = 10 c. f. log2 (x + 1) + log2 (x – 1) = log2 8 3. Verifica si se cumplen las igualdades para cada valor de x. a. log (x + 3) + log (x – 5) = 2 log (x – 6) Para x = 8, x = 6,5, x = 7,5 b. log (3x – 4) – log x + log 5 = log (15x + 2) – log (x + 2) Para x = 3, x = 5, x = 7 c. log (6x + 5) + log (2x + 7) = log (3x + 4) + log (x + 5) Para x = – , x = –3, x = 2 e. log x + 2 log x + log x3 – 5 log x = 2 Para x = 20, x = 50, x = 100 4. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. Comprueba, en cada caso, si los valores obtenidos satisfacen la ecuación. a. log x – log 2 = 3 g. 2 log (2x – 1) – 2 = –2 log (3x – 4) b. log x + log 7 = log 4 h. c. 6 log x = log 64 + log i. d. j. log (x + 3) – log (2x – 1) = 0 e. log (x + 5) = log 2 k. log x3 – log x = f. log (x – 4) + log x = log 5 l. log x – 1 + (log x) – 1 = – 3 6 log x log x 3 2 3 3 2 2 + ( ) ( ) = – log x log x 7 7 1 + = 3 2 5 2 1 2 log x log x log + + − = 3 5 3 log x log log x 9 2 9 2 − ( )= ( )− 1 4 log x x 3 2 10 1 2 − + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = x 4 d. log (x + 7) – log (x + 5) = log (x2 + 10x + 25) Para x = 5, x = 0, x = –5 1 2 1 2 1 2 UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 49
- 51. 50 | Unidad1 Aplicaciones de las ecuaciones logarítmicas El pH es la escala de medida que diferencia el grado de acidez o de alcalinidad de una solución. Los químicos calculan el pH de una solución (condición de ácido o base) mediante la expresión: pH = –log [H+ ], donde [H+ ] es la concentración de iones de hidrógeno en moles por litro. Para calcular el pH de la sangre, basta remplazar el valor de [H+ ] en la expresión. Observa. pH = –log (3,98 · 10–8 ) 艐 7,4 En cambio, para determinar el valor de [H+ ] del huevo, se debe re- solver la siguiente ecuación logarítmica: –log x = 7,79 log x = –7,79 x = 10–7,79 艐 1,62 · 10–8 Entonces, la concentración de iones de hidrógeno del huevo es 1,62 · 10–8 . Analicemos... • Determina el pH aproximado de la sangre si tiene [H+ ] = 3,98 · 10–8 . • Si el huevo tiene un pH = 7,79, determina [H+ ]. ¿Cómo lo calculaste? • Muchas soluciones tienen un valor de pH que fluctúa entre 1 y 14. ¿Qué valores de [H+ ] están asociados a esos valores extremos? 1. Encuentra [H+ ] aproximada, en cada caso, dados sus valores de pH, aplicando la estrategia anterior. a. Bebida cola, pH = 2,5 b. Vinagre, pH = 2,9 c. Manzana, pH = 3,0 d. Leche, pH = 6,5 e. Jabón de manos, pH = 10 2. La lluvia más ácida que se ha medido ocurrió en Escocia, en 1974; su pH era 2,4. Determina la con- centración de iones de hidrógeno. Actividades Medidor de pH digital. UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:44 Página 50
- 52. Función potencia ylogarítmica | 51 Unidad 1 3. Los valores de pH para los vinos varían desde 2,8 a 3,8. Determina el rango correspondiente en con- centraciones de iones de hidrógeno. 4. Una famosa escala para medir la cantidad de energía liberada por un sismo es la escala de Richter, representada por la ecuación: log E = 1,5 · R + 11,8 donde E: energía liberada, medida en ergios; R: magnitud del sismo, en grados de la escala Richter. a. El terremoto de mayor magnitud registrado corresponde al ocurrido en 1960 en la ciudad de Valdivia, el cual alcanzó una magnitud de 9,5 grados Richter. ¿Cuánta energía se liberó por este sismo? b. El terremoto acontecido el 3 de marzo de 1985, en San Antonio, fue de 7,8 grados Richter. ¿Cuántas veces más energía liberó el terremoto de Valdivia que el de San Antonio? c. Averigua acerca de otros terremotos ocurridos en nuestro país y compara su magnitud con el terremoto de Valdivia (busca información en la página web del Servicio Sismológico de la Universidad de Chile http://ssn.dgf.uchile.cl/). 5. El nivel de decibeles del sonido (dB) se puede calcular mediante la siguiente fórmula: D = 10 log (I · 1012 ), donde I corresponde a la intensidad del sonido medido en W/m2 . a. Si se duplica la intensidad del sonido, ¿cómo cambia el nivel de decibeles del sonido? b. El umbral auditivo es la mínima intensidad de sonido que podemos oír, y corresponde a 10–12 W/m2 . Demuestra que el nivel de decibeles del umbral auditivo es cero. c. En una multitienda se vende un equipo musical que tiene 1000 W/m2 de salida. ¿A qué nivel de decibeles corresponde esta intensidad? d. Si en la misma tienda se ofrece otro equipo musical cuya intensidad es de 2000 W/m2 , ¿corresponde al doble del nivel de decibeles del equipo anterior?, ¿por qué? 6. Completa la siguiente tabla. • ¿Qué medidas implementarías para disminuir la contaminación acústica? Discútelo con tus compañeros y compañeras. Fuente Intensidad Decibeles Susurro 10–10 Tráfico callejero 10–5 Posible daño auditivo 10–3,5 Cercano a un trueno 120 Umbral del dolor 130 Perforación instantánea del tímpano 160 Concierto de rock 101 UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:45 Página 51
- 53. 52 | Unidad1 • En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores. • Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote con el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Qué características tiene la gráfica de una función logarítmica f (x) = logb x? 3. ¿Qué características tiene el dominio de una función logarítmica?, ¿y el recorrido? 4. ¿En qué casos una función logarítmica es positiva?, ¿por qué? 5. ¿Cuál es la diferencia entre una escala lineal y una escala logarítmica? 6. ¿Cómo se puede resolver una ecuación logarítmica? Explica. 7. ¿Una ecuación logarítmica siempre tiene solución?, ¿por qué? 8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto. f(x) = logb x f(x) = log x Organizando lo aprendido si su base es 10 cuando la está en el se denotan por ECUACIÓN LOGARÍTMICA INCÓGNITA ARGUMENTO DE UN LOGARITMO ESCALAS LOGARÍTMICAS MAGNITUD DE UN SISMO FUNCIÓN LOGARÍTMICA APLICACIONES por ejemplo pH NIVEL DE INTENSIDAD DEL SONIDO UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:45 Página 52
- 54. Función potencia ylogarítmica | 53 Unidad 1 Unidad 1 Mi progreso 50 y 51 46 a 48 1. Sin graficar, indica qué tipo de transformación presentan las gráficas en relación con la función f(x) = log x, en cada caso. a. f(x) = log x – 7 c. f(x) = –log (x – 1) b. f(x) = log (x + 2) d. f(x) = 2 log x 2. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones. Comprueba, en cada caso, que los valores obtenidos satisfagan la ecuación. a. log8 x – log8 3 – log8 7 = c. b. log2 (x2 – 9x + 8) – log2 (x – 8) = 3 d. 3. El nivel de intensidad del sonido de un tren del Metro se midió en 98 dB. Determina la intensidad del sonido correspondiente en W/m2 . 4. Determina cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera. Justifica tu decisión. A. La función logarítmica es siempre creciente. B. Las ecuaciones logarítmicas siempre tienen solución. C. El dominio de una función logarítmica son todos los números reales. D. La gráfica de las funciones logarítmicas intersecan al eje X en el punto (1, 0). E. Ninguna de las anteriores. 1 3 log x log x log + + − = 3 5 3 log x log x 4 2 4 8 3 2 + ( ) + ( ) = PÁGINAS DONDE SE TRABAJA ÍTEM CRITERIO • Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas. ¿Cómo voy? Relacionar gráficas de funciones logarítmicas. 1 40 a 45 Resolver ecuaciones logarítmicas. 2 Resolver problemas asociados a ecuaciones logarítmicas. 3 40 a 49 Reconocer propiedades de las funciones logarítmicas. 4 UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:45 Página 53
- 55. Observa, paso apaso, las estrategias utilizadas en la resolución del siguiente problema. La intensidad del sonido depende de la distancia a la fuente sonora. Los niveles de decibeles β1 y β2 a las distancias d1 y d2 de una fuente sonora están relacionados por la ecuación: Si el nivel de intensidad de un concierto de rock es de 120 dB a una distancia de 2 m de los altavoces, determina: a. a qué distancia de los altavoces el nivel de intensidad es de 106 dB. b. el nivel de intensidad a 50 m de los altavoces. Solución a. Remplazando los datos en la ecuación, se obtiene: 106 = 120 + 20 · log –0,7 = log –0,7 = log 2 – log x –1 艐 – log x log x 艐 1 x 艐 10 Luego, aproximadamente a 10 m de distancia de los altavoces, el nivel de intensidad es de 106 dB. b. En este caso, al remplazar se obtiene: x = 120 + 20 · log x = 120 + 20 · (2 log ) x = 120 + 40 · (log 2 – log 10) x 艐 120 + 40 · (0,3 – 1) x 艐 120 + 40 · (–0,7) = 120 – 28 = 96 Luego, a 50 m de distancia de los altavoces, aproximadamente el nivel de intensidad es de 96 dB. 2 50 Cómo resolverlo 54 | Unidad 1 se aplican propiedades de logaritmos se remplaza log 2 艐 0,3 se despeja log 2 x ya que la base de log x es 10 pero = = ( ) 2 4 100 2 50 2 10 aplicando propiedades de logaritmos se remplaza log 2 0,3 β β 2 1 1 2 20 = + log d d 2 x 2 x 2 10 Concierto de rock. UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:45 Página 54
- 56. Función potencia ylogarítmica | 55 Unidad 1 Actividades 1. Aplica el procedimiento aprendido para resolver las siguientes situaciones: a. Si el nivel de intensidad de una sirena de bomberos es de 100 dB a una distancia de 5 m del cuartel, determina a qué distancia de este el nivel de intensidad es de 68 dB. b. Si la conversación entre dos amigos situados a 2 m entre sí es de 60 dB, calcula a qué distancia el nivel de intensidad de su conversación baja a 40 dB. c. Si el nivel de intensidad de un avión despegando es de 130 dB a una distancia de 20 m de la pista de aterrizaje, determina a qué distancia de la pista el nivel de intensidad es de 96 dB. d. Si el ruido de un secador de pelo funcionando a 50 cm es de 70 dB, calcula a qué distancia el nivel de intensidad de su sonido baja a 46 dB. 2. Busca un procedimiento distinto para resolver los problemas anteriores. Respecto del procedimiento anterior, ¿cuál es más simple?, ¿por qué? 3. Resuelve los siguientes problemas aplicando el procedimiento aprendido u otro. Compara el pro- cedimiento que utilizaste en cada caso con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a. Los astrónomos utilizan la siguiente fórmula para determinar el diámetro d, en kilómetros, de los asteroides: log d = 3,7 – 0,2 · g, donde g es una cantidad llamada magnitud absoluta del asteroide. • Determina el diámetro de un asteroide si su magnitud absoluta es 20. • Calcula el diámetro de un asteroide si su magnitud absoluta es 30. ¿Qué puedes concluir? • Determina la magnitud absoluta de un asteroide cuyo diámetro mide 5,8 kilómetros. b. Felipe acaba de terminar un curso de física. Se estima que el porcentaje del curso que él recordará dentro de t meses se puede calcular mediante la función R(t) = 94 – 46,8 · log (t + 1), para 0 t 48. • Determina el porcentaje del curso que Felipe recordará dentro de 12 meses. • Calcula dentro de cuánto tiempo Felipe recordará solo el 50% de los contenidos del curso. • Determina dentro de cuánto tiempo Felipe recordará solo el 25% de los contenidos del curso. ¿Qué puedes concluir? UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:45 Página 55
- 57. 56 | Unidad1 En terreno En terreno Sismo de 8,8 grados Richter y posterior tsunami en la zona centro-sur de Chile Un terremoto de 8,8 grados en la escala de Richter se registró la madrugada del 27 de febrero, afectando a la zona centro-sur del país. El sismo ocurrió a las 3:34 horas y su epicentro se situó a 63 kilómetros al suroeste de Cauquenes, en la región del Maule, informó el Servicio Sismológico de la Universidad de Chile. Según indicó la Oficina Nacional de Emergencia (Onemi), el sismo tuvo una intensidad máxima de IX grados en la escala de Mercalli en las regiones del Biobío y la Arau- canía; de VIII grados en la región Metropolitana, del Libertador Gral. Bernardo O’Higgins y del Maule, y de grado VI en la región de Valparaíso y de Los Ríos. En las zonas de mayor intensidad, el movimiento telúrico se prolongó por hasta tres minutos. Pero, sin duda, un trecho de aproximadamente 300 kilómetros de costa de las re- giones del Maule y Biobío fue el más afectado por el terremoto. Iloca, Constitu- ción, Pelluhue, Curanipe, Cobquecura, Dichato y Talcahuano, y muchas más, fueron arrasados por el tsunami que siguió al terremoto. A estas localidades hay que sumar una tragedia similar en Juan Fernández. En Iloca, el sargento Molina advirtió las marejadas, por lo que empezó a gritar que la gente corriera hacia los sectores altos y recorrió el borde costero dando aviso con un megáfono. Aunque en Iloca hubo una gran destrucción, no se registraron fallecidos gracias a la oportuna acción de los carabineros. Fuentes: Diario La Tercera, www.latercera.com, Diario El Mercurio, www.emol.com, Oficina Nacional de Emergencia, www.onemi.cl, consultados en marzo de 2010. Retén de Iloca, marzo de 2010. UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:45 Página 56
- 58. Actividades 1. Considerando laexpresión log E = 1,5 · R + 11,8, donde E: energía liberada, medida en ergios y R: magnitud del sismo, en grados de la escala Richter, calcula la energía liberada en el sismo del 27 de febrero de 2010. 2. Calcula la cantidad de energía liberada en un sismo de grado 6 y en uno de grado 7. ¿Qué relación numérica existe entre ambos valores? 3. ¿Qué aumento representa en la cantidad de energía liberada el incremento de un grado en la es- cala Richter? Si el aumento fuera de dos grados, ¿cómo se incrementa la energía liberada?, ¿qué puedes concluir? Investiguemos... Trabajen en un grupo de tres o cuatro personas y respondan: 1. La escala de Richter es logarítmica, ¿por qué?, ¿cuándo se dice que una escala es logarítmica? 2. ¿Qué otras situaciones o fenómenos se han modelado mediante una escala logarítmica? 3. Averigüen cuál es la diferencia entre la escala de Richter y la escala de Mercalli. ¿Por qué un mismo temblor puede tener distintos grados en la escala de Mercalli?, ¿ocurre lo mismo en el caso de la escala de Richter? 4. ¿Cuál es la diferencia entre un temblor y un terremoto? 5. ¿Cuáles han sido los terremotos más dañinos en Chile?, ¿y en tu región?, ¿por qué? 6. Realicen una encuesta en el curso o en el colegio preguntando, al menos: a. ¿Sintieron el terremoto del 27 de febrero?, ¿dónde se encontraban? b. ¿Qué es lo primero que hacen cuando tiembla? c. ¿Cuál es el lugar más seguro de la casa (o de la escuela)? d. ¿Qué medidas de prevención se pueden tomar para evitar los daños que produce un temblor fuerte o un terremoto? 7. Escriban un informe con todas sus conclusiones y preparen una presentación con sus resultados y una propuesta con las medidas de prevención que podrían tomar en sus familias para disminuir los posibles daños que provocaría un terremoto. Evaluemos nuestro trabajo • ¿Qué aprendieron acerca de los terremotos? • ¿Cuál de los resultados de la encuesta les llamó más la atención?, ¿por qué? • Comparen sus conclusiones y su propuesta con las de sus compañeros y compañeras. ¿Presentaron ellos algo distinto a lo que ustedes concluyeron?, ¿qué les faltó? Función potencia y logarítmica | 57 Unidad 1 UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:45 Página 57
- 59. 58 | Unidad1 Síntesis de la Unidad A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Construye con ellos un mapa conceptual, en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos. A partir de lo trabajado en la Unidad, responde: 1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Cuáles son las principales características de la representación gráfica de la función potencia cuando el exponente es impar? 3. ¿Cuándo existe la función inversa de una función? Justifica. 4. ¿Qué estrategias se pueden aplicar para resolver una ecuación logarítmica? Explica. 5. ¿En qué casos una solución que se ha obtenido algebraicamente no corresponde a la solución de una ecuación logarítmica?, ¿por qué? 6. ¿En qué situaciones o fenómenos sociales o naturales se utilizan escalas logarítmicas? 7. ¿Cómo se define el logaritmo en base b de un número? 8. ¿En qué casos se debe realizar un cambio de base? Explica. 9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto. FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA DOMINIO RECORRIDO CAMBIO DE BASE ECUACIÓN LOGARÍTMICA EXPONENTE ESCALA LOGARÍTMICA LOGARITMO FUNCIÓN LOGARÍTMICA FUNCIÓN INVERSA BASE FUNCIÓN POTENCIA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:45 Página 58
- 60. Función potencia ylogarítmica | 59 Evaluación I. Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta. 1. Los logaritmos son siempre positivos. 2. No existen logaritmos de números negativos. 3. Los logaritmos están definidos para bases positivas. 4. Las potencias de un número positivo son todas positivas. 5. loga x + logb x = logab x para todo valor de x, siendo a y b positivos. 6. La función f(x) = log x es creciente. 7. La gráfica de la función f(x) = log3 x pasa por el punto (2, 9). 8. Una función logarítmica es decreciente para valores negativos de x. 9. Una función potencia es siempre creciente. 10. La gráfica de una función logarítmica es siempre simétrica con respecto al eje de las abscisas. 11. El punto (1, 0) pertenece a la gráfica de cualquier función logarítmica. II. Aplica lo que aprendiste en la Unidad para desarrollar las siguientes actividades. 1. Expresa en la forma más reducida posible. a. d. logb (a2 – a + 1) + logb (a + 1) b. e. logb (a3 + b3 ) – 2 logb (a + b) c. f. logb (a2 + 4a + 4) – logb a6 2. Calcula, en cada caso, el dominio de f(x). Explica el procedimiento que utilizaste. a. f(x) = log (log x) c. f(x) = log x + log (– x) b. d. f(x) = log (100 – x2 ) 3. Calcula el valor de x1 · x2 , considerando que x1 y x2 son dos números reales positivos tales que: 4. Resuelve la siguiente ecuación. Explica, paso a paso, cómo la resolviste. 2 log (2x + 1) – 2 = –2 log (3x – 4) 1 3 1 2 f x log x log x ( ) = ( ) − + 2 5 6 log b loga ab + − 1 2 − + + 1 2 logab log a log b log log 13 13 13 + − Unidad 1 log x x log x log x 1 2 1 2 3 1 2 ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = + ( ) UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:45 Página 59
- 61. 60 | Unidad1 1. La función inversa de g(x) = x3 + 1 es: A. B. C. D. E. 2. Si k(x) = 3x3 – 4, entonces k–1 (20) es: A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 E. Ninguna de las anteriores. 3. Si f(x) = 2x + 3, entonces f –1 (33) es: A. 15 B. 18 C. 30 D. 69 E. 70 4. El recorrido de f(x) = 2x2 + 5 es el conjunto: A. [5, + [ B. ]5, + [ C. IR+ D. IR– E. IR0 + 5. ¿Cuál de las siguientes funciones corresponde a la siguiente gráfica? A. f (x) = 2x3 B. f (x) = x3 – 2 C. f (x) = (x – 2)3 D. f (x) = (x + 2)3 E. Ninguna de las anteriores. 6. Si logb 3 = – , entonces el valor de b es: A. 3–1 B. C. 9 D. 12 E. 27 7. Si pH = –log [H+ ], determina [H+ ] si el pH de una sustancia es 6,8. A. 1,58 · 10–7 B. 6,8 · 10–7 C. –6,8 D. 1,58 · 107 E. 6,8 · 107 1 27 1 3 x + ( ) 1 3 3 x − ( ) 1 3 3 x − 1 3 x x + 3 x 3 1 − III. Resuelve los siguientes ejercicios y selecciona la alternativa correcta en cada caso. UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:45 Página 60
- 62. Función potencia ylogarítmica | 61 8. Si logb 16 = –2, entonces el valor de b es: A. C. 4 D. 2 E. 4 y – 4 9. La solución de la ecuación es: A. 10 B. 1 C. 1 y –1 D. 3 E. Todos los reales. 10. Encuentra el valor de x en la ecuación log2 x + log2 x = 2 A. x = 0 B. x = 3 C. x = 1 D. x = 2,5 E. x = 2 11. Al aplicar la definición de logaritmo a la expresión log3 5 = a, resulta: A. a3 = 5 B. a5 = 3 C. 53 = a D. 35 = a E. 3a = 5 12. La siguiente fórmula relaciona los decibeles según la intensidad de un amplificador D = 10 · log (I · 1012 ) (con I : intensidad). Si en un amplificador de sonido se triplica la intensidad, ¿en cuánto aumentan los decibeles? A. Aproximadamente 4 unidades. B. Aproximadamente 5 unidades. C. Aproximadamente 10 unidades. D. Aproximadamente 12 unidades. E. Ninguna de las anteriores. 13. Si en el mismo amplificador se aumenta de I a 5I, ¿cuántos decibeles, aproximadamente, aumenta D? A. 5 B. 15 C. 7 D. 70 E. 10 14. Una expresión equivalente a · (3 loga x – 5 loga y – 30 loga z) es: A. B. C. D. E. Ninguna de las anteriores. log x 3 3 1 2 = 1 2 1 4 Unidad 1 log x y z a 3 5 30 + log x y z a 3 5 30 + log x y z a 3 5 30 + B. y – 1 4 1 4 Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. log x y z a 3 5 30 + UNIDAD 1 (12-61)C :Maquetación 1 4/11/10 16:45 Página 61
- 63. Función exponencial 2 62 | Unidad2 Función inversa Logaritmos y sus propiedades Número e Función exponencial y su gráfica Resolver ecuaciones exponenciales. Utilizar la función exponencial para modelar situaciones o fenómenos naturales o sociales y resolver problemas. Analizar el comportamiento gráfico y analítico de la función exponencial. Crecimiento y decrecimiento exponencial Analizar el crecimiento y decrecimiento de funciones exponenciales. Reconocer las funciones exponenciales y logarítmicas una como inversa de la otra. TRABAJANDO CON: APRENDERÁS A: UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:46 Página 62
- 64. Función exponencial |63 Conversemos de... Los biólogos han observado que, aunque una especie se reproduzca naturalmente, factores como la existencia de predadores o la escasez de alimentos limitan el crecimiento de su población. Así, para asegurar su preservación, algunas especies producen numerosos descendientes, pero con una alta mortalidad. En cambio, otras producen pocos descendientes con una mayor probabilidad de su- pervivencia. Y, de hecho, muchas especies se basan en una estrategia intermedia. Por ejemplo, la tortuga verde de mar que se observa en la imagen deposita entre 100 a 200 huevos en la arena, pero cuando las crías van rumbo al agua, depredadores como las gaviotas o los cangrejos atra- pan muchas de ellas. Actualmente, es una especie declarada en peligro de extinción, por lo que es ilegal importar, exportar, matar, capturar o perturbar esta especie de tortugas. La ecuación permite estimar la población de una especie a lo largo del tiempo, donde P0 es su población inicial, K es su capacidad de persistencia y r, su tasa de crecimiento. 1. ¿Cuál es la variable independiente en esta función?, ¿cuál es la variable dependiente? 2. ¿Podrías calcular P(t), dados los valores de K, r y P0 correspondientes?, ¿por qué? 3. ¿Qué representa e en la ecuación?, ¿cuál es el valor de e? 4. Busca tres ejemplos de animales que manifiesten las estrategias descritas, en cada caso. P t K P e K P e r t r t ( ) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ( ) 0 0 1 Latinstock UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 63
- 65. 64 | Unidad2 ¿Cuánto sabes? 1. Determina el dominio y recorrido de las siguientes funciones reales: a. c. b. d. 2. A partir de las siguientes gráficas, escribe una posible representación algebraica de esas funciones y determina su dominio y recorrido, en cada caso. a. c. b. d. 3. Grafica las siguientes funciones. a. c. b. d. i(x) = 25 – x2 g x x ( ) = − + 1 4 h x x x x ( ) = − 4 2 f x x x ( ) = − + 2 16 6 Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno. f x x ( ) = − 2 1 2 g x x x ( ) = − 2 4 2 h x x x ( ) = − 4 i x x ( ) = − + 2 16 4 UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 64
- 66. 4. Escribe laecuación igualando las bases y determina el valor de x, en cada caso. a. d. b. e. c. f. Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. Función exponencial | 65 Unidad 2 ¿Qué debes recordar? • Una función es una relación que asigna a cada elemento x de un conjunto A un único elemento f (x) de un conjunto B, donde A se conoce como dominio (dom( f )) de la función y B es el conjunto de llegada o codominio. El conjunto de valores que la función puede tomar se conoce como imagen o recorrido (rec( f )). • Una función f es creciente en el intervalo ]a, b[ con a, b R, si dados x e y cualesquiera en ese intervalo, se tiene x y ⇒ f (x) f (y). • Una función f es decreciente en el intervalo ]a, b[ con a, b R, si dados x e y cualesquiera en ese intervalo, se tiene x y ⇒ f (x) f (y). • La representación gráfica de una función permite observar algunas de sus características, como su crecimiento o decrecimiento, el dominio y recorrido, las intersecciones con los ejes, etc. Por ejemplo: Función afín: Función cuadrática: Función logarítmica: y = ax + b y = ax2 + bx + c y = log x • Para resolver una ecuación exponencial se pueden igualar las bases de las potencias y, luego, resolver la ecuación que se obtiene de igualar los exponentes. 5 25 2 1 x− = 1 0 2 5 84 − = − − a x x 3 1 27 2 14 6 2 4 2 2 − + − − + = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ x x x x 2 0 5 2 3 3 2 x x + + = ( ) , 1 9 1 3 2 12 x = 1 4 8 3 2 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = − x x UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 65
- 67. 66 | Unidad2 Función exponencial Observa las siguientes gráficas: Las gráficas anteriores son ejemplos de la función exponencial. Un método posible para determinar la expresión algebraica que representa a una función conocida, a partir de la gráfica, es uti- lizar su tabla de valores. Observa que en la tabla correspondiente al gráfico A, los valores de y son exactamente potencias de 2, cuyos exponentes son los correspondientes valores de x. Es decir, y = 2x . Luego, la expresión la expresión algebraica que representa a la función del gráfico A es con x IR. Y la expresión algebraica que representa a la función del gráfico B es , con x IR. f x x ( )= ( ) 1 2 f x x ( )= 2 • A partir de la gráfica, en cada caso, ¿cuál es el valor de y para x = –2?, ¿para x = 0?, ¿y para x = 1? • En cada caso, ¿qué sucede con el valor de y a medida que x aumenta?, ¿y a medida que disminuye? Explica. • ¿Cuál podría ser el dominio y recorrido de cada función? • Según la gráfica, ¿se interseca cada función con cada uno de los ejes?, ¿en qué puntos? • ¿Qué semejanzas y diferencias observas entre las gráficas? • Estas gráficas, ¿se parecen a las gráficas de alguna función que conozcas?, ¿por qué? Analicemos... x y –1 1 2 0 1 1 2 2 4 3 8 x y –2 4 –1 2 0 1 1 1 2 2 1 4 A B Glosario función exponencial: toda función cuya variable se encuentre solo en el exponente de una potencia. Su representación algebraica es con x IR y a 0, a 1. f x a x ( )= UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 66
- 68. Función exponencial |67 Unidad 2 Observa ahora las siguientes gráficas para determinar las caracterís- ticas de la función exponencial. Caso I: Función exponencial , con a 1. En el sistema de coordenadas se han graficado las siguientes funciones: , , , Las gráficas sugieren que: • El dominio de la función exponencial , para los distintos valores de a 1, son todos los números reales. • Su recorrido son los números reales positivos. • La función es creciente para todo valor de x, es decir ax ay cuando x y. • La gráfica de la función interseca al eje Y siempre en el punto (0, 1). En cambio, es asintótica al eje X. Caso II: Función exponencial , con 0 a 1. En el sistema de coordenadas se han graficado las siguientes funciones: , , , Las gráficas sugieren que: • El dominio de la función exponencial , con 0 a 1, son todos los números reales; y el recorrido, los números reales positivos. • La función es decreciente para todo valor de x, es decir ax ay cuando x y. • La gráfica de la función interseca al eje Y en el punto (0, 1). En cambio, es asintótica al eje X. Comparando los dos casos, ¿qué puedes concluir? f x a x ( )= f x a x ( )= f x a x ( )= f x a x ( )= f x x 1 2 ( ) = f x x 2 4 ( ) = f x x 3 9 ( ) = f x x 4 100 ( ) = f x x 1 1 2 ( ) = ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ f x 2 1 4 ( ) = ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ f x x 3 1 9 ( ) = ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ f x x 4 1 100 ( ) = ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ Una función se dice creciente si x1 x2 , entonces f (x1 ) f (x2 ). En cambio, si cuando x1 x2 , se tiene que f (x1 ) f (x2 ), la función es decreciente. Recuerda que... Glosario asintótica: dicho de una curva, que se acerca continuamente a una recta sin llegar nunca a intersecarla. UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 67
- 69. 68 | Unidad2 1. Sin construir las tablas de valores ni las gráficas, indica cuáles de las siguientes funciones son crecientes o decrecientes. Justifica. a. c. e. f(x) = ( ) x b. d. f. f(x) = (1,2)x 2. Determina, en cada caso, la función exponencial f(x) = ax que pasa por los siguientes puntos. a. (3, 216) d. (3, 343) g. (–3, 8) b. (–1, 5) e. (–4, 0,0625) h. (2, 0,16) c. (4, 4096) f. (m, 5m ) i. (7, 128) 3. Grafica las funciones y en el mismo plano cartesiano, y determina en el gráfico el valor aproximado, en cada caso, para: a. b. c. 4. Dada la función exponencial , indica cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son correctas. Justifica. a. b. 5. Grafica las siguientes funciones. Luego, determina su dominio, recorrido, si es creciente o decreciente y su punto de intersección con el eje Y. a. d. b. e. c. f. • Explica el procedimiento que utilizaste para realizar esta actividad. 6. Grafica f(x) = 1x . a. ¿Qué semejanzas y diferencias observas, respecto de las funciones anteriores? b. Respecto de los ejes de coordenadas, ¿qué tipo de gráfica es? 7 4 f x x ( ) = ( ) 0 09 , Actividades f x x ( ) = 675 f x x ( ) = 0 001 , f x x ( ) = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 4 5 f x x ( ) = 2 01 , f x x ( ) = 3 g x x ( ) = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 4 f m f m − ( ) = ( )−1 f n m f n f m + ( ) = ( )⋅ ( ) x1 0 5 = , x2 4 5 = f x x ( ) = 5 f x x ( ) = + 2 1 f x x ( ) = − + 3 9 2 f x x x ( ) = − − 3 3 f x x ( ) = 1 4 f x x ( ) = 2 x3 2 5 = − , UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 68
- 70. En resumen La funciónexponencial, f (x ) = ax , con a IR+ – {1} y x IR, posee las siguientes características: • El dominio de la función son los números reales. • El recorrido de la función son los números reales positivos. • La curva asociada a la función interseca al eje de las ordenadas en el punto (0, 1). Si a 1, la función es creciente. Si 0 a 1, la función es decreciente. • Caso particular: , es decir: f ( x ) = a x , con a = 1. Se observa que para todo valor real de x se tiene que , que corresponde a una función cons- tante, por lo que no se habla de una fun- ción exponencial. f x x ( )= 1 f x ( )= 1 Función exponencial | 69 Unidad 2 7. Grafica en un mismo sistema de coordenadas y . a. Determina, en cada caso, su dominio y recorrido. b. Indica si estas funciones son crecientes o decrecientes. Justifica. c. Observa sus gráficas. ¿Qué puedes observar? f x x ( ) = 2 g x x x ( ) = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = − 1 2 2 UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 69
- 71. 70 | Unidad2 Herramientas tecnológicas GeoGebra es un software libre que relaciona aritmética, geometría, álgebra y cálculo. Por una parte, es un sistema de geometría interactiva, en el que se pueden construir puntos, vectores y rectas, y luego modi- ficarlas dinámicamente. Pero también se pueden ingresar las ecuaciones y coordenadas directamente y obtener las gráficas correspondientes. Esto permite construir y analizar gráficas de diversas funciones. Para descargar este programa ingresa a www.geogebra.org/cms/es. Pulsa el botón Descarga, y luego haz clic en el botón Applet Start. De este modo podrás trabajar con este software sin tener la necesidad de instalarlo en tu computador. • Para graficar una función, se debe escribir directamente en la celda Entrada, ubicada en la parte inferior de la ventana. Si la función tiene potencias, los exponentes se escriben usando el símbolo ^. Por ejemplo, para graficar se escribe y se presiona enter. • Si la función tiene base fraccionaria, se debe escribir el número entre paréntesis y usar / para escribir la fracción, por ejemplo: . • Si la función tiene un polinomio en el exponente, como por ejemplo: , se debe escribir este exponente entre paréntesis, así: . x ∧ 2 x − ( ) ∧ 2 1 f x x ( )= − ( ) 2 1 x ( )∧ 1 2 f x x ( )= 2 UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 70
- 72. Función exponencial |71 Unidad 2 1. Utilizando GeoGebra, grafica las siguientes funciones. a. e. b. f. c. g. d. h. 2. Observa las gráficas de las funciones. Luego, responde. a. ¿Cuál es el dominio de cada función?, ¿cuál es el recorrido? b. ¿Es creciente o decreciente? c. ¿En qué punto intersecan al eje de las ordenadas? 3. Utilizando GeoGebra, grafica en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones. a. e. b. f. c. g. f (x ) = 2 x + 1 , g (x ) = 2 x – 1 d. h. 4. Observa las gráficas de las funciones. Luego, responde en cada caso. a. ¿Cuál es el dominio y recorrido de las funciones? b. ¿En qué punto se intersecan con los ejes de coordenadas? c. ¿En qué punto se intersecan ambas curvas? d. En relación a las primeras cuatro funciones, observa las gráficas en cada caso, ¿existe alguna simetría entre ellas? Si la hay, identifica el eje de simetría. e. De las segundas cuatro funciones, ¿qué puedes concluir respecto de sus gráficas? f x x ( ) = 2 f x x ( ) = 2 2 f x x ( ) = ⋅ 4 3 f x x ( ) = −3 f x x ( ) = − 5 f x x ( ) = − 4 1 f x x ( ) = − 1 2 f x x ( ) = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 3 f x g x x x ( ) = ( ) = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 5 1 5 , f x g x x x ( ) = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ( ) = 1 7 7 , f x g x x x ( ) = ( ) = − 3 3 , f x g x x x ( ) = − ( ) = 2 2 , f x g x x x ( )= ( )= 3 2 2 2 · , · f x g x x x ( ) = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ( ) = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 1 2 3 1 2 · , · f x g x x x ( ) = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ( ) = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − + 1 3 1 3 1 1 , UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 71
- 73. Observa las gráficasde la función exponencial y la función loga- rítmica, para cada caso: Caso I: Si b 1 Caso II: Si 0 b 1 72 | Unidad 2 Función exponencial y función logarítmica Función inversa: la función inversa de f (x) = y corresponde a la fun- ción g que al evaluar el elemento y se obtiene a x de tal forma que g(f (x)) = x. Siempre y cuando se cumpla: • • • f (x) = f (y) si y solo si x = y Esta función g usualmente se representa por . f x − ( ) 1 Dom f Recg = Rec f Domg = Recuerda que... • En el primer caso, en relación a la gráfica de y = x, ¿qué puedes concluir respecto de las gráficas de f(x) y g(x)?, ¿ocurrirá lo mismo para cualquier valor de b 1? Explica. • En el segundo caso, ¿también ocurre lo mismo? Explica. • ¿La función exponencial y la función logarítmica son funciones inversas? Justifica. f (x) = bx f(x) = bx y = x g(x) = logb x g(x) = logb x y = x Analicemos... En las gráficas anteriores, se puede observar que: • Ambas funciones son simétricas entre sí con respecto a la recta y = x. • El dominio de la función logarítmica es el conjunto de los reales positivos, lo cual corresponde al recorrido de la fun- ción exponencial. • El recorrido de la función logarítmica es el conjunto de los nú- meros reales y corresponde al dominio de la función exponencial. Para justificar el hecho de que son funciones inversas, se calcula la función inversa de la función exponencial y se compara con la fun- ción logarítmica. Observa. UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 72
- 74. Función exponencial |73 Unidad 2 Para determinar la función inversa de una función, se puede despejar la variable independiente en térmi- nos de la variable dependiente y, luego, se intercambian las variables x e y en la expresión resultante. Sin embargo,hay funciones para las que este procedimiento no es útil, como la función cuadrática, por ejemplo. Recuerda que... Dada , con a 0, a 1, se determina la función inversa, para esto se puede despejar x en términos de y. Para escribir la función inversa, se remplaza x por y. Luego, . y log x a − = 1 y a x = y a x = log y loga x = log y x loga = · x log y loga = x log y a = se aplica logaritmo ya que y y a son números positivos ya que a 1 utilizando la propiedad de cambio de base, se tiene que En resumen • Sea y = ax una función exponencial, su función inversa está dada por . y log x a − = 1 1. Aplicando el procedimiento anterior, determina la función inversa de las siguientes funciones. a. e. b. f. c. g. d. h. 2. Dada la función , determina su función inversa y grafícalas en un mismo sistema cartesiano. 3. Dadas las funciones exponencial f ( x ) = 3 x y logarítmica . a. Represéntalas en un mismo sistema de coordenadas. b. Determina su dominio, recorrido, intersección con los ejes de coordenadas, y si son crecientes o decrecientes, en cada caso. c. Observa sus gráficas, ¿qué puedes concluir? y x = 4 g x log x ( ) = 3 Actividades y x = 2 y x = 3 y x = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 5 4 y log x = 2 5 y log x = 3 4 y x = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 15 7 y log x = 6 y log x = 9 UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 73
- 75. 74 | Unidad2 Aproximándonos al número e Considera la situación siguiente, en la que se aplica un interés compuesto: Si se invierte, por ejemplo, $ 1 000 000 con un interés del 100% anual y se liquida al terminar el año, se obtendrán, en total, $ 2 000 000. Ahora, si se pagaran intereses cada seis meses, pero dividiendo el interés anual en dos partes, la cantidad obtenida corresponde a aplicar un 50% de interés al capital, de $ 1 000 000, y al resultado de esto, aplicar nuevamente un 50% de interés, es decir: Y si se dividiera el año en cuatro períodos (cada uno de tres meses), al igual que la tasa de interés, se aplica al capital cuatro veces el interés de 25%, sucesivamente, y se obtiene: 1000 000 1 1 4 2 441406 4 ⋅ + ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ = 1000 000 1 1 2 2250 000 2 ⋅ + ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ = De igual forma, en el caso de pagos mensuales, el monto obtenido corresponde a . Y, en general, la función que representa el factor por el cual se mul- una calculadora o una planilla de cálculo, observa que, a medida que el valor de x aumenta, el valor de f (x) se aproxima a 2,71828... esto es, al número e. El número e se define como el valor al que se aproxima la expresión cuando x toma valores muy grandes. Es un número irracional, cuya expresión decimal es, aproximadamente, 2,7182818284. Entonces, en la situación inicial, aunque se pudiera dividir infinita- mente el interés aplicado en un año, el monto obtenido nunca su- peraría los $ 2 718 281. 1 1 + ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ x x 1000 000 1 1 12 2613035 12 ⋅ + ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ = Glosario interés compuesto: se refiere a la ganancia del capital a una tasa de interés durante un cierto período de tiempo, en el cual los intereses obtenidos al final de cada período no se retiran, sino que se añaden al capital. Por lo tanto, los intere- ses se reinvierten. Analicemos... • Si el interés se aplicara ahora cada dos meses, ¿a cuánto asciende el monto obtenido?, ¿y si se aplicara cada mes? • ¿Cuánto se obtiene aplicando el interés cada semana?, ¿y cada día? • Si el interés se pudiera aplicar en fracciones de tiempo más pequeñas aún, ¿se alcanza a obtener $ 3 000 000 en un año?, ¿por qué? f (x ) tiplica el monto inicial, está dada por . Utilizando f x x x ( ) = + ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ 1 1 UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 74
- 76. Función exponencial |75 Unidad 2 La función exponencial más utilizada, por sus características y sus diversas aplicaciones científicas, es , cuya base es el número e, llamado número de Euler. Observa que conserva las características de las funciones exponenciales: • El dominio de la función son los números reales. • El recorrido son los números reales positivos. • La gráfica de la función interseca al eje de las ordenadas en el punto (0, 1). A partir de y = ex , para obtener la función inversa de podemos despejar la variable x. Siguiendo el mismo desarrollo que en el caso de y = ax , se obtiene , que, por notación, se escribe como . f x e x ( )= x lny = x log y e = f x e x ( )= Por lo tanto, . f x lnx − ( )= 1 En resumen • A medida que los valores de x se hacen cada vez más grandes, el valor de la función se aproxima crecientemente al número e = 2,71828182845. f x x x ( ) = + ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ 1 1 • La función inversa de la función exponencial natural , es la función logarítmica natural, f (x) = ln x. y e x = 1. Dadas las siguientes funciones, determina su dominio y recorrido, la intersección con los ejes de coordenadas y si son crecientes o decrecientes, en cada caso. a. f (x) = ex + 1 b. f (x) = –ex + 1 c. f (x) = e2x d. f (x) = e–2x 2. Justifica las siguientes identidades: a. ax = ex ln a , con a 0. b. loga x = 3. En un mismo sistema de coordenadas, grafica las funciones f (x) = ln x, g(x) = ex . a. Indica los puntos de intersección con los ejes. b. Determina el dominio y recorrido de cada función. c. ¿Sus gráficas son simétricas? Explica. ln x ln a Actividades UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 75
- 77. 76 | Unidad2 • En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores. • Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿En qué casos una función exponencial es creciente? 3. ¿Cómo se define el número e?, ¿cuál es su valor? 4. ¿Qué características tiene la gráfica de una función exponencial? Explica. 5. ¿Cuál es la función inversa de la función exponencial?, ¿cómo se puede determinar? 6. ¿Cómo se relacionan las gráficas de las funciones inversas, en general? 7. ¿Cuál es la diferencia en la función f ( x ) = ax , según si a 1 ó 0 a 1? 8. ¿En qué punto la función exponencial interseca al eje Y?, ¿y al eje X? 9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto. Organizando lo aprendido FUNCIÓN EXPONENCIAL se denota por es una 0 a 1 FUNCIÓN DECRECIENTE FUNCIÓN INVERSA es una FUNCIÓN CRECIENTE a 1 NÚMERO e llamada con caso particular cuya base es el FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL en ambos casos su FUNCIÓN LOGARÍTMICA es la f ( x ) = ex según el valor de a si f ( x ) = ax UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 76
- 78. Mi progreso Unidad 2 1. Indicael dominio, recorrido y el punto de intersección con cada eje, de las siguientes funciones. a. b. c. 2. Determina la función inversa de las siguientes funciones. a. b. c. 3. En cada uno de los siguientes puntos, la gráfica de una función exponencial f ( x ) = ax pasa por el punto dado. Determina la función f. a. b. c. 4. Clasifica las siguientes funciones en crecientes o decrecientes, según su representación algebraica. Además, determina su dominio y recorrido. a. b. c. 5. En relación a la función , determina cuál de las siguientes alternativas es verdadera. A. El dominio de f (x) son los números reales positivos. B. f (x) es siempre decreciente. C. El recorrido de f (x) son los números reales. D. El valor de f (5) = 324 E. La gráfica de f (x) pasa por el punto (3, 3). – , 1 1 9 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 3 9 , e ( ) 2 2 3 , e − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ y x = 5 2 y log x = 8 y ln x = 4 f x x ( ) = − 3 f x x ( ) = 1 6 f x x ( ) = 4 f x x ( ) = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 5 f x x ( ) = ( ) 0 6 , f x x ( ) = 5 • Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas. ¿Cómo voy? Función exponencial | 77 f x x ( ) = − 3 2 CRITERIO ÍTEMS PÁGINAS DONDE SE TRABAJA Identificar el dominio y recorrido de una función exponencial. 1, 4 y 5 66 a 69 Calcular la función inversa de una función exponencial dada. 2 72 a 75 Reconocer la representación algebraica de la función exponencial, cuya gráfica pasa por un punto dado. 3 y 5 66 a 69 Clasificar funciones exponenciales según si son crecientes o decrecientes. 4 y 5 66 a 69 UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 77
- 79. 78 | Unidad2 Ecuaciones exponenciales Para recuperarse, la dosis inicial que ingiere Carla es de 10 mg a las 8:00 horas. Luego, el medicamento es eliminado paulatinamente del cuerpo por medio de la orina. La cantidad que queda en el cuerpo t horas después está dada por C(t) = 10 · 0,8t . Para que el medicamento haga efecto, el cuerpo debe tener al menos 2 mg. Analicemos... • ¿Cuánto tiempo estimas que el medicamento sigue haciendo efecto?, ¿dos horas, seis, doce?, ¿por qué? • ¿A qué hora (aproximadamente) dejará de hacer efecto el medi- camento?, ¿cómo lo supiste? La ecuación exponencial que permite responder la situación pre- sentada es 10 · 0,8t = 2. Para resolverla, una posibilidad es intentar igualar las bases y resolver la ecuación correspondiente a sus expo- nentes. Cuando esto no es posible, como en este caso, se pueden aplicar logaritmos a ambos lados de la ecuación, para así obtener una ecuación lineal. 10 · 0,8t = 2 0,8t = 0,2 t · log 0,8 = log 0,2 Como y = 10 · 0,8t es una función decreciente, ya que 0 0,8 1, el medicamento dejará de hacer efecto después de 7 horas, aproxi- madamente, ya que, después de las 15:00 horas, Carla tendrá menos de 2 mg en el organismo. Ejemplo 1 Resuelve la siguiente ecuación exponencial: ax + 3 = b2x + 5 , con a y b positivos y, en este caso, a b2 . ax + 3 = b2x + 5 Glosario ecuación exponencial: igualdad en la que intervienen potencias, en uno o en ambos lados de la ecuación, y en la que la incógnita se encuentra en al menos uno de sus exponentes. se aplica log, ya que 0,8 y 0,2 son positivos ya que, en este caso, a b2 , se tiene que log a – 2 · log b 0 se aplica logaritmo y sus propiedades, ya que ax + 3 y b2x + 5 son expresiones positivas utilizando propiedad distributiva agrupando y factorizando los términos de la incógnita x log b loga loga log b = ⋅ − ⋅ − ⋅ 5 3 2 x loga x log b + ( )⋅ = + ( )⋅ 3 2 5 x loga loga x log b log b ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ 3 2 5 x loga log b log b loga ⋅ − ⋅ ( )= ⋅ − ⋅ 2 5 3 Antes de aplicar logaritmos a una ecuación,se debe comprobar que las expresiones a cada lado de la igual- dad son necesariamente positivas (para cualquier valor de la incógnita). Pon atención t log log = ≈ 0 2 0 8 7 , , UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 78
- 80. Función exponencial |79 Ejemplo 2 Resuelve la ecuación 16x 2 – 4x – 1 = 32 Aplicando logaritmo, ya que ambos lados de la igualdad son positivos, (x2 – 4x – 1) log 16 = log 32 x2 – 4x – 1 = = log16 32 = 4x2 – 16x – 9 = 0 Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son x1 = y x2 = – log 32 log 16 5 4 1 2 9 2 Unidad 2 • Una ecuación exponencial es una ecuación en la que intervienen potencias, en uno o en ambos lados de la igualdad, y en la que la incógnita se encuentra en al menos uno de sus exponentes. • Para resolver una ecuación exponencial, si no es posible igualar las bases, se debe aplicar logaritmos y sus propiedades para obtener una ecuación no exponencial. En este caso, hay que comprobar previamente que las expresiones son siempre positivas, ya que el logaritmo de un número negativo no existe. Siempre se debe remplazar el valor obtenido como solución en la ecuación original, para comprobar que realmente la satisface, y veri- ficar que es pertinente al contexto del problema. Pon atención aplicando la ecuación cuadrática x = ± − ⋅ ⋅ − ( ) ⋅ = ± 16 16 4 4 9 2 4 16 400 8 2 1. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales, igualando las bases. a. 83x + 1 = 32x b. 81x2 – 1 = 27–(7 – 5x) c. 8–3x · 2x + 1 = 4x + 2 2. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales, mediante logaritmos. a. 22x + 1 = 3x + 5 d. 5 · 23x = 9 g. 3x + 5 – 3x + 2 + 3x = 506 b. 4x2 – 1 = 154 e. 4x + 2 = 93x – 4 h. 22(x + 3) + 22(5 + x) = 3264 c. f. a3x + 4 = b2x – 3 i. (2401)x2 – 2x = 16 807 3 768 2 x = Actividades En resumen Luego, x2 – 4x – 1 = 5 4 UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 79
- 81. 80 | Unidad2 Ecuaciones exponenciales con base e El señor Molina fue encontrado muerto en su oficina. Cuando la Policía llegó al lugar, a las 12:00, la temperatura del cadáver era de 29 °C y la de la oficina era de 23 °C. Más tarde, a las 13:30, la tem- peratura del cuerpo bajó a 27 °C. La Policía estimó la hora de muerte del señor Molina, aplicando la ley de enfriamiento de Newton, que se expresa algebraicamente por: , donde t es el tiempo transcurrido, k 0 es una constante y Δ es la diferencia de temperatura entre el estado inicial y la del ambiente T0 . Glosario ley de enfriamiento de Newton: relaciona la temperatura de un objeto, según el tiempo transcurrido, y la temperatura del medio en el que se encuentra, y que se puede enunciar como: “La rapidez con que un objeto se enfría es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre el objeto y el medio que lo rodea”. T t T e kt ( )= + Δ ⋅ − 0 Cuando se aplica un cambio de va- riable, luego de resolver la ecuación se debe remplazar la variable, de modo que la solución se entregue en la variable original. Pon atención Analicemos... • ¿A qué hora estimas que falleció el señor Molina? • Según estos datos, ¿cuál es el valor de la constante k, en este caso? • Si la temperatura normal del cuerpo humano es 36,5 °C, ¿a qué hora ocurrió el deceso? Explica. Para resolver esta situación, se puede aplicar la ley de enfriamiento de Newton. Remplazando los datos T0 = 23 y Δ = 29 – 23 = 6, se tiene: y se obtiene: k = 0,27031. Luego, la función es Ahora, para calcular cuánto tiempo ha transcurrido desde su muerte, se remplaza el valor de la temperatura normal, 36,5: , que es equivalente a 2,25 = Al resolver esta ecuación, se obtiene t = –3, con lo que se concluye que el deceso ocurrió 3 horas antes de que llegara la Policía, es decir, a las 9 de la mañana. Ejemplo 1 Resuelve la ecuación e 2x + 5 · ex – 14 = 0 (u – 2) (u + 7) = 0 e t −027031 , 365 23 6 027031 , , = + ⋅ − e t T t e t ( )= + ⋅ − 23 6 027031 , una hora y media después, la temperatura del cadáver era de 27 °C, es decir, t = 1,5 y T(1,5) = 27 como la base es e, en este caso, se aplica logaritmo natural ln ln e k 2 3 15 ( )= ( ) − , 27 23 6 15 = + ⋅ − ⋅ , e k T t e kt ( )= + ⋅ − 23 6 realizando un cambio de variable: u = ex u u 2 5 14 0 + ⋅ − = luego, u = 2 o bien u = –7 UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 80
- 82. Función exponencial |81 Unidad 2 Ahora, se remplaza en la expresión correspondiente al cambio de variable: ex = 2, o bien ex = –7. Al resolver ex = 2, se obtiene x = ln 2. En cambio, ex = –7 no tiene solución. Por lo tanto, la solución de e 2x + 5 · ex – 14 = 0 es x = ln 2. Ejemplo 2 Resuelve la ecuación . Como la incógnita x está como factor y también en el exponente, es necesario reescribir la ecuación antes de igualar exponentes o aplicar logaritmos. Por propiedades de la multiplicación, si el producto de dos o más números es igual a cero, entonces por lo menos uno de los factores es igual a cero. Esto permite separar la ecuación en tres ecuaciones, en este caso. x + 5 = 0 x – 1 = 0 ex = 0. Pero, por definición, ex 0, entonces las soluciones son x = –5 o bien x = 1. x e e x e x x x 2 5 4 0 ⋅ − + ⋅ = 1. Resuelve las siguientes ecuaciones. a. 2ex + 5 = 3e–x c. 3x2 ex + x3 ex = 0 e. x · e 2x – 9 xe 2x = 0 b. ex – 20e–x – 1 = 0 d. 4x3 e–3x + 3x4 e–3x = 0 f. e 2x + 5e x – 20 = –6 2. Al consumir cierto medicamento, este queda en el organismo una cierta cantidad de tiempo, dado por la expresión: , donde m representa los miligramos del medicamento y h el tiempo en horas. a. Si en un organismo se encuentran 0,407 miligramos de este medicamento, ¿cuánto tiempo ha transcurrido desde que se ingirió? b. Si la cantidad de medicamento no puede ser menor a 2 miligramos, ¿cada cuánto tiempo se debe tomar el remedio?, ¿qué podría ocurrir si no se respetan los horarios de ingesta de medicamentos? Comenta. m h e h ( ) = − 10 0 2 , Actividades factorizando x x e x 2 5 4 0 − + ( )⋅ = x x e x + ( ) − ( )⋅ = 5 1 0 Todo logaritmo y toda exponencial se pueden escribir en función de logaritmo natural y exponencial con base e, mediante las identidades: logb x = , y bx = ex ln b Por esto, y por otras propiedades matemáticas, muchas situaciones se modelan utilizando logaritmo naturales y/o exponencial con base e, aunque puedan expresarse con una base distinta de e. ln x ln b Pon atención UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 81
- 83. 82 | Unidad2 Crecimiento exponencial El día de Año Nuevo del año 2009 la población del mundo era de aproximadamente 6750 millones de personas. Si el ritmo de creci- miento de la población mundial se analiza desde una perspectiva histórica, se observa que después de la Segunda Guerra Mundial se produce una explosión demográfica sin precedentes. Una forma de percibir este efecto es observar cómo ha ido disminuyendo el tiempo transcurrido para que la población mundial se duplique. A partir de los datos, se tiene: • Población P0 del mundo en 2009: 6750 millones • Tasa de crecimiento anual (r) 1,2% = 0,012 La ecuación que se puede utilizar para determinar en cuánto tiempo t habrá una población P(t) de 8000 millones de habitantes es: 8000 = 6750 · e0,012 · t . Observa su resolución: Por lo tanto, en algo más de 14 años la población mundial alcanzará 8 mil millones de habitantes, aproximadamente. Lo que corresponde al año 2023. Año Población mundial 600 500 millones 1800 1000 millones 1930 2000 millones 1976 4000 millones Fuentes: U.S. Census Bureau. www.census.gov/ipc/www/popclockworld.html, Universidad Nacional de Cuyo. www.cricyt.edu.ar/enciclopedia/terminos/PoblacMund.htm. Consultados en julio de 2009. 1200 años 130 años 46 años Tiempo transcurrido para duplicarse Analicemos... • Actualmente, la tasa de crecimiento de la población mundial observada es de 1,2% anual. Si la población sigue creciendo así, ¿en cuánto tiempo alcanzará a 8 mil millones de personas?, • ¿Cuándo la población alcanzará el doble de habitantes que en 2009?, ¿cómo lo supiste? • ¿Cómo es la gráfica que representa esta situación? Explica. 8000 6750 0012 = ⋅ e t , ln ln e t 8000 6750 0012 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = ( ) ⋅ , 0169899 0 012 , , = ⋅ t 14158 , = t aplicando logaritmo natural ya que ln ex = x Antes de aplicar log o ln a una ecuación, se debe verificar que las expresiones, a ambos lados de la igualdad, son siempre positivos. Pon atención Infantes nacidos el año 2009. UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 82
- 84. Función exponencial |83 Unidad 2 1. El número de una determinada especie de pez está dada por la fórmula P(t ) = 15 · e0,015 · t , donde t se mide en años y P( t ) se mide en millones. a. ¿Cuál es la tasa de crecimiento relativo de la población de peces? Exprésala como porcentaje. b. ¿Cuál será la población de peces después de 8 años?, ¿cómo lo calculaste? c. ¿Dentro de cuántos años el número de peces llegará a la cifra de 45 millones? 2. Generalmente, el crecimiento de las poblaciones de seres vivos comienza acorde a una función ex- ponencial, pero luego se ve frenado por condiciones medioambientales. En estos casos, la función logística f ( t) = , donde L es el valor máximo al que crece esta población, k y a son constantes por determinar y t el tiempo transcurrido en días, permite representar esta situación. La siguiente función corresponde a una población de mosquitos: f (t) = donde f (t) corresponde a miles de mosquitos en una cantidad t de días. ¿Cuál es la población en 50 días?, ¿y en 300 días?, ¿y en 800 días? 3. El crecimiento de organismos en ambientes limitados sigue otro tipo de fórmula o modelo. Por ejemplo, para predecir el número de estudiantes de una universidad que tiene planes de expansión limitada, el modelo usado es: P( t ) = 1500 · (0,5)0,4 t , donde t es el número de años después de abierta la universidad. a. ¿Qué cantidad de estudiantes había cuando abrió la universidad? b. Después de 2 años de funcionamiento, ¿cuántos estudiantes tiene? c. ¿A qué valor máximo se aproxima P?, ¿por qué? 500 1 + 499 · e–0,02t L 1 + k · e–at Actividades En resumen • Si el crecimiento de las variables se puede modelar mediante la función f ( x ) = c · ax , con c 0, a 1, se dice que crecen exponencialmente, o bien que presentan un crecimiento exponencial. Su gráfica es de la forma: • En particular, el crecimiento de una población de or- ganismos puede describirse, aproximadamente, por P( t) = P0 · ert , donde P0 es el tamaño inicial de una población, P ( t ) es la población en el tiempo t y r es la tasa de crecimiento relativo expresada como un número decimal. UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 83
- 85. 84 | Unidad2 Decrecimiento exponencial Las sustancias radiactivas se desintegran emitiendo radiaciones de manera espontánea. Existe una medida de tiempo llamada vida media, que es el tiempo que transcurre hasta que se desintegra la mitad de la masa de dicha sustancia radiactiva. Usando esta información es posible hallar la edad aproximada de objetos de edad desconocida. La función permite determinar la masa m(t) que queda en el tiempo t, donde r es la tasa de desintegración expresada como una proporción de la masa y m0 es la masa inicial. m t m e rt ( ) = − 0 Si h es la vida media, entonces la masa de 1 unidad se convertirá en unidad cuando t = h. Sustituyendo lo anterior en , queda: Luego, considerando que la vida media del radio-226 es h = 1600, entonces . Como m0 = 22, utilizando la función de la desintegración radiactiva, se obtiene: . Así, quedarán aproximadamente 3,9 mg de radio-226 después de 4000 años. r ln = ≈ 2 1600 0 0004332 , m e 4000 22 3 8894 00004332 4000 ( )= ⋅ ≈ − ⋅ , , 1 2 Analicemos... • Para una vida media dada h, ¿se puede obtener la tasa r de desintegración?, ¿cómo? • Si la vida media del radio-226 es de 1600 años y tenemos una muestra de 22 mg, ¿cuánto quedará de la muestra después de 4000 años? • ¿Cuál es la gráfica que representa esta situación? 1 2 1 = ⋅ − ⋅ e r h aplicando logaritmos, ln r h lne 1 2 ( )= − ⋅ ⋅ despejando la incógnita ln r h 2 1 − ( )= − ⋅ por lo tanto, es la tasa de desintegración − = − ln h r 2 r ln h = 2 Glosario radio-266: elemento químico radiac- tivo. Metal raro en la corteza terres- tre, se encuentra acompañando a los minerales de uranio, elemento del que procede por desintegración. Se usa en la industria nuclear y en la fabricación de pinturas fosfores- centes. Se simboliza como 266 88 Ra. Contador de Geiger. m t m e rt ( ) = − 0 UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 84
- 86. Función exponencial |85 Unidad 2 1. Se dispone de 500 mg de carbono-14 de un organismo muerto. Si la cantidad que queda después de x años está dada por P(x ) = 500 · e–0,000115 · x mg: a. expresa x en términos de P. b. Indica el dominio y recorrido de la función. c. ¿Qué cantidad es posible encontrar en 1000 años más? d. ¿Cuántos años deben transcurrir para que solo sea posible hallar 1 mg? e. Según este modelo, determina la vida media del carbono-14 2. El polonio-210 tiene una vida media de 140 días. Si una muestra de esta sustancia tiene una masa de 300 mg: a. determina la fórmula para la cantidad de la muestra que queda al tiempo t. b. Determina la masa que queda después de 2 años (considera 1 año = 365 días). c. ¿Cuánto tardará para que la muestra se desintegre hasta tener una masa de 150 mg? 3. La masa m ( t ) que queda después de t días de una muestra de 40 mg de torio-234 está dada por: m(x ) = 40 · e–0,0277 · t a. ¿Cuánto quedará de la muestra después de 50 días? b. ¿Después de cuántos días solo quedarán 8 mg de la muestra? c. Determina la vida media del torio-234. Actividades En resumen • Si el decrecimiento de las variables se puede modelar mediante la función f ( x ) = c · arx , con c 0, a 1 y r 0, se dice que decrecen exponencialmente, o bien que presentan un decrecimiento exponencial. Su grá- fica es de la forma: • En particular, la expresión que describe la masa m ( t ), que queda al tiempo t de una sustancia radiactiva, está dada por m ( t ) = m0 e–rt , donde m0 es la masa inicial. Si h es la vida media de dicha sustancia, se tiene que . r ln h = 2 UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 85
- 87. 86 | Unidad2 Aplicaciones de las ecuaciones exponenciales Una persona deposita en un banco $ 2 000 000 al 12% anual de interés compuesto. ¿En cuánto tiempo su capital ascenderá a $ 3 500 000? La expresión que permite calcular el capital final Cf que se obtiene a partir de cierto capital inicial Ci es: , donde t es la tasa de interés compuesto que se aplica y n, el número de perío- dos de tiempo. Como, en este caso, la incógnita es el valor de n, se trata de una ecuación exponencial. Como no se pueden igualar las bases, se aplican logaritmos y sus propiedades: Finalmente, se remplaza: log Ci = log 2 000 000 = 6,30103, log Cf = log 3 500 000 = 6,54407 Además, como t = 12: luego, n = Entonces, su capital final será de $ 3 500 000 al cabo de 5 años. log t log log 1 100 1 12 100 112 0 0492 , , + ( )= + ( )= = 2 2 C C t f i n = ⋅ + ( ) 1 100 Analicemos... • ¿A cuánto asciende su capital después de transcurrido el primer año?, ¿cómo lo calculaste? • Entonces, ¿cuánto estimas que demorará en obtener $ 3 500 000?, ¿por qué? • ¿Qué es el interés compuesto? Explica. • Escribe la ecuación correspondiente a esta situación. ¿Aplicar loga- ritmos te permite resolver esta ecuación? Justifica. logC log C t f i n = + ( ) ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 1 100 logC logC log t f i n = + + ( ) 1 100 logC logC n log t f i − = ⋅ + ( ) 1 100 n logC logC log t f i = − + ( ) 1 100 se despeja el valor de n 654712 6 30103 0 04922 5 , , , − ≈ UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 86
- 88. Función exponencial |87 Unidad 2 1. Calcula la tasa de interés compuesto anual al que se invierten $ 10 000 000, si al cabo de 2 años produjeron 2 millones de pesos. Verifica tu respuesta utilizando una calculadora científica. 2. Una persona invierte $ 50 000, a una tasa de interés compuesto del 9% anual. Utilizando una calculadora científica, calcula: a. ¿cuál es el monto final del capital después de 6 años? b. ¿Después de cuánto tiempo su capital ascenderá a $ 118 368? 3. Según los resultados del censo de 2002, la población de Chile es de 15 116 435 habitantes y la tasa de crecimiento, entre el censo de 1982 y el censo de 1992, fue de 1,6% anual. Si la tasa de creci- miento se mantiene en los siguientes 30 años: a. ¿cuál será la población en el año 2012? b. ¿En cuánto tiempo se habrá duplicado la población? c. ¿En qué año la población será de 24 millones de habitantes? 4. Determina una fórmula que describa el crecimiento exponencial de una población que aumenta el 12% cada 5 años, considerando una cantidad inicial de 55 millones de personas. ¿Cuál será la población en 40 años más? 5. El número de bacterias de un cultivo está dado por la fórmula B(t ) = 600 · e0,55 · t donde t se mide en horas. a. ¿Cuál es el número inicial de bacterias? b. ¿Cuál es la tasa de crecimiento relativo de esta población de bacterias expresada como un porcentaje? c. ¿Cuántas bacterias hay en el cultivo después de 3 horas? d. ¿Después de cuántas horas la población será de 15 000 bacterias? 6. Al momento de morir, un organismo contiene 50 miligramos de átomos de carbono-14 radioactivo. La cantidad de carbono-14, x años después, se ajusta a la función P(x ) = 50 · e–0,000119 · x miligramos. ¿Después de cuánto tiempo de su fecha de muerte le quedarán 0,8 miligramos de carbono-14? 7. Después de x semanas del brote de influenza en una región del país, la cantidad de personas (en cientos) que había contraído el virus se podía modelar mediante la función: a. ¿Cuántas personas padecían la enfermedad cuando se comenzó a hablar de brote? b. Después de cuatro semanas y si las condiciones siguen igual, ¿cuántas personas tendrán influenza? c. Si no se ataca el brote en su momento, ¿en cuánto tiempo es posible esperar mil infectados?; ¿qué medidas consideras se debieran tomar en una situación similar? Actividades f x e x ( ) = + − 22 1 21 1 12 , UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 87
- 89. 88 | Unidad2 • En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores. • Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿En qué casos se dice que una ecuación es exponencial?, ¿cómo se resuelve? 3. ¿Qué características tiene una situación que implica crecimiento exponencial?, ¿y en el caso de decrecimiento exponencial? 4. ¿Cómo es la gráfica de una situación que implica crecimiento exponencial?, ¿y en el caso de decrecimiento exponencial? 5. Menciona dos ejemplos de situaciones que impliquen crecimiento exponencial y dos para decrecimiento exponencial. 6. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto. Organizando lo aprendido FUNCIÓN EXPONENCIAL CRECIMIENTO EXPONENCIAL ECUACIONES EXPONENCIALES DECRECIMIENTO EXPONENCIAL modela se resuelven mediante se relacionan con IGUALACIÓN DE BASES LOGARITMOS UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 88
- 90. Función exponencial |89 Mi progreso 1. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales a. 2x + 4 = 3 · 4x – 3 d. p2x + = q 0,75x – 1 b. 3 · 22x + 1 = 5 e. 0,1252(x + 1) – 0,253(x + 2) = 189 c. a3x + = c x + 1 f. (216)x2 + x = (7776)x + 1 3. La medida de la presión atmosférica P en milibares a una altitud de x kilómetros sobre el nivel del mar, está dada por la ecuación P(x ) = 1035 · e–0,12x . a. Si la presión en la cima de la montaña es de 449 milibares, determina la altura de la montaña. b. ¿Cuál es la presión atmosférica en la cima del Everest? (Altura 8000 metros). 4. Si la cantidad inicial del isótopo del polonio es de 50 mg y se sabe que la cantidad restante a los t días es A(t) = 50 ·e–0,00495 t , ¿cuántos días han transcurrido, si ahora hay 34,32 mg del isótopo del polonio? A. 95 días. B. 76 días. C. 365 días. D. 65 días. E. 150 días. 1 4 1 3 1 3 • Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas. ¿Cómo voy? Unidad 2 2. La población de un continente, en millones de habitantes, está dada por la función: P(t) = 10 · . Si t se mide en años,¿cuánto tiempo transcurrirá para que la población de este continente se cuadruplique? 3 2 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ t CRITERIO ÍTEMS PÁGINAS DONDE SE TRABAJA Resolver ecuaciones exponenciales. 1 a 4 78 a 81 Resolver problemas asociados a crecimiento y/o decrecimiento exponencial. 2, 3 y 4 78 a 81 UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 89
- 91. Cómo resolverlo 90 |Unidad 2 Observa, paso a paso, las estrategias utilizadas en la resolución del siguiente problema. El contenido de una taza de café tiene una temperatura de 90 ºC y se coloca en una habitación cuya temperatura es de 21 ºC. Después de diez minutos, la temperatura del café es de 65 ºC. a. Determina la función para la temperatura del café en términos del tiempo t. b. Calcula la temperatura del café después de treinta minutos. c. ¿En cuánto tiempo se habrá enfriado el café hasta la mitad de su temperatura inicial?, ¿cómo lo calculaste? Solución Para resolver la situación planteada, se puede aplicar la ley de enfria- miento de Newton, cuya expresión algebraica es: . a. Al remplazar los datos T0 = 21 y Δ = 90 – 21 = 69 en la función, se tiene que: k = 0,045 b. Los datos iniciales se mantienen, esto es, T0 = 21 y Δ= 90 – 21 = 69, pero ahora se remplazan en la función ya obtenida, con t = 30: . Es decir, después de treinta minutos, la temperatura del café es de 38,9 ºC. c. La temperatura inicial del café era de 90 ºC, luego, la mitad corres- ponde a 45 ºC. Entonces, ahora T(t) = 45, y la incógnita es t. y se obtiene: t = 23,5. Es decir, la temperatura del café era de 45 ºC después de veintitrés minutos y medio. ln ln e t 24 69 0045 ( )= ( ) − , T t T e kt ( )= + ⋅ − 0 Δ diez minutos después, la temperatura del café era de 65 °C, es decir, t = 10 y T(10) = 65 como la base es e, se aplica logaritmo natural luego, la función en este caso, es T t T e t ( )= + Δ ⋅ − 0 0045 , 65 21 69 10 = + ⋅ − ⋅ e k 44 69 10 = − ⋅ e k ln ln e k 44 69 10 ( )= ( ) − T t e ( )= + ⋅ ≈ − ⋅ 21 69 38 9 0045 30 , , 45 21 69 0045 = + ⋅ − ⋅ , e t 24 69 0045 = − ⋅ e t , , donde t es el tiempo transcurrido, k 0 es una constante y Δ es la diferencia de temperatura entre el estado inicial y la del ambiente T0 . T t T e kt ( )= + ⋅ − 0 Δ Recuerda que... Taza de café caliente. UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 90
- 92. Función exponencial |91 Unidad 2 Actividades 1. Aplica el procedimiento aprendido para resolver las siguientes situaciones: a. En un hervidor, el agua alcanza los 100 ºC. Si la temperatura de la habitación es de 25 ºC y transcurridos dieciocho minutos la temperatura del agua se reduce a 70 ºC, ¿cuál es su tempe- ratura después de media hora? b. El motor de un automóvil opera a una temperatura de 88 ºC. Cuando se apaga el motor, se enfría de acuerdo a la ley de enfriamiento de Newton, con una constante k = 0,341. ¿Cuál es el tiempo necesario para que el motor se enfríe a 32 ºC, si la temperatura del ambiente es de 16 ºC? c. Un plato de lentejas con temperatura de 80 ºC se pone en la mesa de un comedor que está a 22 ºC. Su temperatura después de x minutos está dada por la función f (x ) = 22 + 58 · e–0,051x . ¿Cuánto tarda este plato de lentejas en enfriarse hasta llegar a una temperatura de 37 ºC? 2. Busca un procedimiento distinto para resolver los problemas anteriores. Respecto del procedimiento anterior, ¿cuál es más simple?, ¿por qué? 3. Resuelve los siguientes problemas utilizando el procedimiento aprendido u otro. Compara el procedi- miento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a. Se vacunó a la población para tratar el virus de la influenza. Se espera que la cantidad de contagiados disminuya según el siguiente modelo: f (x) = 150 · e–0,472 · x , donde x representa los días transcurridos. • ¿Cuál es el número de contagiados luego de 2 días? • ¿Cuál es el número de contagiados después de una semana? • ¿Cuánto tiempo se debe esperar para que la cantidad de contagiados disminuya a la cuarta parte? Explica. b. Si se invierten P0 pesos a una tasa de interés anual R y el interés se capitaliza continuamente, después de t años se dispone de P (t) = P0 · eRt pesos. • Si se invierten dos millones de pesos a una tasa de interés anual del 6,9%, calcula el monto obtenido después de seis años, si el interés se capitaliza continuamente. • ¿Después de cuánto tiempo se duplicará un capital, si se invierte a una tasa de interés anual del 7,1% con capitalización continua? • El dinero depositado en una financiera se duplica cada doce años. Esta financiera capita- liza el interés en forma continua. ¿Cuál es su tasa de interés? UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 91
- 93. 92 | Unidad2 En terreno En terreno Residuos electrónicos, la nueva basura del siglo XXI ¿Cuántos computadores, celulares, agendas electróni- cas y juegos electrónicos obsoletos se amontonan en los hogares y oficinas de Chile? ¿Has pensado alguna vez adónde fue a parar ese cargador que ya no servía, adónde quedó tu primer celular? El rápido avance tecnológico ha contribuido a la creciente producción de aparatos electrónicos, cada vez de menor tamaño y que en menor tiempo quedan obsoletos. Por ejemplo, en Chile, en 1990 cerca de 10 mil personas contaban con un teléfono móvil, y a fines del 2008 los usuarios de estos equipos ya bordeaban los 16 millones. Se calcula que desde la década del noventa hasta la actua- lidad, más de 13 millones de estos aparatos estarían ya obsoletos, a un peso promedio de 200 g cada uno, corres- ponden a 2600 toneladas de basura electrónica. Fuentes: Comisión Nacional del Medioambiente, www.conama.cl/rm/568/article-38368.html Sociedad de Fomento Fabril, www.sofofa.cl/BIBLIOTECA_Archivos/Estudios/2008/EconomiaChile2008.pdf. Consultados en julio de 2009. Telefonía Móvil en Chile Año Miles de abonados 1990 10 1991 36 1992 64 1993 85 1994 116 1995 197 1996 319 1997 410 1998 964 1999 2261 2000 3402 2001 5101 2002 6244 2003 7268 2004 9261 2005 10 570 2006 12 451 2007 13 955 2008 15 880 Contenedor colmado de computadores en desuso. UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 92
- 94. Actividades 1. Construye ungráfico a partir de los datos de la tabla. ¿Qué puedes concluir? 2. Si se pudiera asociar una función a estos valores, ¿a qué tipo de función corresponde?, ¿por qué? 3. Según estos datos, ¿cuántos abonados a la telefonía móvil habrá en el año 2015? Justifica. 4. ¿Crees que se mantenga el ritmo de crecimiento de estos datos?, ¿por qué? Investiguemos... Trabajen en un grupo de tres o cuatro personas: 1. Comparen las estimaciones del número de abonados a la telefonía móvil para el año 2015 que hizo cada uno. ¿Qué pueden concluir? 2. Averigüen las proyecciones de población en Chile para los próximos años y compárenlos con la proyec- ción sobre la cantidad de celulares, ¿existe alguna concordancia?, ¿por qué? 3. Realicen una encuesta en el curso o en el colegio preguntando, al menos: a. ¿cuántos teléfonos celulares están en uso actualmente en tu familia? b. ¿cuántos celulares ya se han desechado en tu familia? c. en promedio, ¿cuánto tiempo han tenido cada uno de estos aparatos?, ¿por qué los desecharon? d. ¿qué han hecho con los teléfonos celulares obsoletos? 4. Comenten los resultados de la encuesta y calculen la cantidad de basura electrónica correspondiente al total de familias encuestadas. ¿Qué pueden concluir? 5. ¿Qué otros aparatos electrónicos forman parte de la basura electrónica?, ¿cuáles de estos aparatos se renuevan más rápidamente en la actualidad?, ¿por qué? 6. Comenten si los teléfonos celulares se pueden reciclar, averiguando, por ejemplo: a. ¿qué materiales se pueden obtener de ellos? b. ¿Cuáles son las ventajas de reciclar? c. ¿Qué materiales peligrosos contienen, que no debieran mezclarse con la basura domiciliaria? d. ¿Qué se hace en Chile actualmente con la basura electrónica? 7. Escriban un informe con todas sus conclusiones y preparen una presentación con sus resultados y una propuesta de cómo podrían disminuir la basura electrónica generada en sus familias. Evaluemos nuestro trabajo • ¿Qué aprendieron acerca de la basura electrónica? • ¿Cuál de los resultados de la encuesta les llamó más la atención?, ¿por qué? • Comparen sus conclusiones y su propuesta con las de sus compañeros y compañeras. ¿Presentaron ellos algo distinto a lo que ustedes concluyeron?, ¿qué les faltó? Función exponencial | 93 Unidad 2 UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 93
- 95. 94 | Unidad2 Síntesis de la Unidad A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Construye con ellos un mapa conceptual, en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos. A partir de lo trabajado en la Unidad, responde: 1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Qué estrategias se pueden aplicar para resolver una ecuación exponencial? Explica. 3. ¿En qué casos una solución que se ha obtenido algebraicamente no corresponde a la solución de una ecuación exponencial?, ¿por qué? 4. ¿Qué situaciones o fenómenos sociales o naturales se pueden modelar mediante el crecimiento exponencial? 5. ¿Cuáles son las principales características de la representación gráfica de la función exponencial? 6. ¿Cuál es la función inversa de la función exponencial? Justifica. 7. ¿Cuáles son las principales aplicaciones del decrecimiento exponencial? 8. ¿Cómo se define el número e? 9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto. FUNCIÓN EXPONENCIAL NÚMERO e ECUACIÓN EXPONENCIAL RECORRIDO FUNCIÓN INVERSA DOMINIO CRECIMIENTO EXPONENCIAL DECRECIMIENTO EXPONENCIAL FUNCIÓN LOGARÍTMICA INTERÉS COMPUESTO UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 94
- 96. Función exponencial |95 Evaluación I. Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta. 1. Si la función y = ax es creciente, entonces y = loga x es decreciente. 2. Las gráficas de las funciones f (x) = 10x , g (x) = log x son simétricas con respecto a la recta y = 10x. 3. La función p(z) = 2z pasa por el origen cuando z = 0. 4. El recorrido de la función exponencial natural son los números reales. 5. La función f (x) = ex – 1 es decreciente. 6. La intersección de la función f (x) = 52 – x con el eje de las ordenadas es en el punto (–2, 0). 7. La función exponencial que pasa por el punto es . II. Aplica lo que aprendiste en la Unidad para desarrollar las siguientes actividades. 1. La población de ranas en un pequeño estanque crece exponencialmente. La población actual es de 75 ranas, y la tasa de crecimiento relativo es de 16% anual. a. Determina una función f (t ) para la población después de t años. b. Determina la población proyectada después de 2 años, y después de 5 años. c. Determina el número de años necesarios para que la población de ranas alcance a las 800 ranas. 2. El número de bacterias en un cultivo, está dado por la relación f (t) = B · 2kt , con t medido en horas. Si al cabo de 8 horas, el número de bacterias es veces lo que había al principio, ¿cuál es el valor de k? 3. Si se añaden 10 gramos de sal a una cierta cantidad de agua, la cantidad c(x) que no se disuelve después de x minutos está dada por c (x ) = 10 · . a. ¿Cuántos gramos de sal no se disuelven al cabo de 8 minutos? b. ¿Después de cuántos minutos quedan 5,12 gramos de sal? 4. Un automóvil que se compra hoy en D dólares, se estima que su valor comercial v(t) al cabo de t años está dado por v (t) = 0,88 · D · 0,85t – 1 . a. Si el costo original es de 10 000 dólares, ¿cuál será su valor comercial después de 3 años? b. ¿Cuántos años han transcurrido desde que se compró, si actualmente cuesta 3905 dólares? 4 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ x f x x ( ) = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 2 3 1 8 , ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 16 Unidad 2 UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 95
- 97. 96 | Unidad2 III. Resuelve los siguientes ejercicios y selecciona la alternativa correcta en cada caso. 1. Si A = log x, B = log (1 – x) y C = log (x – x2 ) con 0 x 1, entonces se cumple: A. A – B = C B. A – B + C = 0 C. A + B = C D. B + C = A E. Ninguna de las anteriores. 2. El valor de x en e ln (5x – 5) = 5 es: A. x = 0 B. x = e C. x = 2 y x = –2 D. x = 2 E. x = 5 3. La solución de ln e–4x + 5 = 21 es: A. x = –4 B. x = 4 C. x = 4 y x = –4 D. x = e E. Ninguna de las anteriores. 4. Una población de bacterias duplica su tamaño cada 21 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en incrementarse el número de organismos de 106 a 109 bacterias? A. 63 minutos. B. 126 minutos. C. 200 minutos. D. 209 minutos. E. Ninguna de las anteriores. 5. Un cultivo de bacterias tiene 300 bacterias en un principio y después de una hora hay 450 bacte- rias. Según este crecimiento, ¿en cuánto tiempo el número de bacterias se triplica? A. 90 minutos. B. 163 minutos. C. 180 minutos. D. 205 minutos. E. 227 minutos. 6. Cuando x toma un valor muy grande, f (x) = 2 + 3 · 10 –x se acerca a: A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 E. Falta información. 7. Al despejar la variable x en la ecuación y = ln(x – 1) se obtiene: A. x = e2y + 1 B. x = e2y + 1 C. x = e2y D. x = 2ln(y – 1) E. x = ln(y – 1) 8. El valor de log2 (3x + 3x + 1 ) es igual a: A. xlog 3 + 2 B. xlog2 3 + 2 C. log2 3x + log2 3x + 1 D. log2 32x + 1 E. 32x + 1 1 2 UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 96
- 98. Función exponencial |97 9. El valor de 3x + 3x + 1 es igual a: A. 3 · 3x + 1 B. 2 · 32x + 1 C. 4 · 3x D. 32x + 1 E. Otro valor. 10. Al simplificar ln ex + elnx + 1 se obtiene: A. 1 B. x + 1 C. 2x + 1 D. ln(ex + 1) E. Otro valor. 11. ¿Cuál de las siguientes relaciones son verda- deras para la función exponencial f (x) = ax con a 0 y a 1? I. El dominio de f (x) es R. II. Si a 1, entonces f (x) es creciente. III. ax = az ⇔ x = z A. Solo I B. Solo II C. I y III D. II y III E. I, II y III 12. Sea la función exponencial . ¿Cuál es el valor de f (4)? A. 15 B. 25 C. 60 D. 1125 E. 9000 13. Al resolver la ecuación ln(5 – 2x) = –2, el valor de x es: A. 5 – e–2 B. C. D. E. Ninguna de las anteriores. 14. Al resolver la ecuación 2x · 42x – 1 = 84 – 2x el valor que se obtiene para x es: A. 10 B. C. D. – 4 E. 27 15. Un pollo asado se saca del horno cuando su temperatura ha alcanzado 70 ºC y se coloca sobre la mesa de un comedor donde la temperatura es de 26 ºC. Si la temperatura del pollo es de 50 ºC después de quince minutos, ¿cuál será su temperatura después de media hora? A. 30 ºC B. 39 ºC C. 24 ºC D. 54 ºC E. 52 ºC f t t ( ) = 4500 6412 14 11 5 2 5 – e–2 2 Unidad 2 Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. e–2 10 1 2 UNIDAD 2 (62-97)C :Maquetación 1 4/11/10 16:47 Página 97
- 99. Vectores 3 98 |Unidad 3 TRABAJANDOCON: APRENDERÁS A: Vectores Traslaciones Homotecias Coordenadas cartesianas en el plano y el espacio Rectas y planos en el espacio Ecuaciones cartesianas Ecuaciones vectoriales Conocer y utilizar la operatoria con vectores. Realizar traslaciones y homotecias de figuras. Reconocer vectores en el plano y en el espacio. Identificar y describir puntos, rectas y planos en el espacio. Escribir la ecuación de la recta, vectorial y cartesiana. Escribir la ecuación del plano, vectorial y cartesiana. UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 98
- 100. Vectores| 99 Conversemos de... Ellanzamiento del martillo es una competición de atletismo donde se lanza una bola de metal unida a una empuñadura mediante un cable de acero, denominado martillo. Gana quien lo arroja a una mayor distancia. Esta prueba requiere tanto de fuerza como de destreza y velocidad, ya que el o la atleta debe balancear el martillo y, luego, girar con él para lanzarlo con la mayor veloci- dad posible. Se incorporó para hombres en el año 1900 en los Juegos Olímpicos de París y para mujeres en el año 2000, en Sidney. 1. ¿Qué fuerzas actúan sobre el martillo mientras el atleta gira con él antes del lanzamiento?, ¿cómo las representarías? 2. ¿Qué fuerzas actúan sobre el martillo mientras está en el aire?, ¿podrías señalarlas en la imagen? ¿Cómo las representaste?, ¿por qué? Latinstock UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 99
- 101. 100 | Unidad3 ¿Cuánto sabes? 1. Completa las siguientes afirmaciones. a. Si la abscisa y la ordenada tienen el mismo signo, el punto (x, y) se encuentra en el ___________ cuadrante. b. Si la ordenada es negativa y la abscisa es positiva, el punto (x, y) se encuentra en el ___________ cuadrante. c. Las coordenadas del punto, que está 4 unidades a la izquierda del eje de las ordenadas y a 3 unidades por encima del eje de las abscisas, son _________. 2. Verifica que los puntos A, B, C y D indicados en la figura son vértices de un paralelogramo. Justifica. 3. Escoge cuatro puntos,de tal manera que sean los vértices de un cuadrado, y cada punto pertenezca a un único cuadrante. Explica cómo lo hiciste. 4. Grafica las siguientes ecuaciones de la recta. a. y = 2 c. y = –3x + 3 b. y = x + 7 d. y = – x + 2 5. Comprueba la falsedad de las siguientes proposiciones, dando un con- traejemplo. Guíate por el ejemplo. Afirmación: La suma de dos números primos siempre es otro número primo. Contraejemplo: Los números 3 y 7 son primos, pero su suma es 10, y este número no es un número primo. Por lo tanto, la proposición es falsa. a. El producto de un número impar por otro par es siempre impar. b. Todo número natural al cuadrado es siempre un número par. c. El producto de dos fracciones es siempre menor que 1. 1 4 1 2 Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno. Y X A(–4, 2) B(2, 10) C(20, 14) D(14, 6) O Glosario contraejemplo: ejemplo que con- tradice una afirmación. UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 100
- 102. 6. Resuelve lossiguientes sistemas de ecuaciones y analiza sus soluciones. a. 3x + 2y = 14 b. x + y = 42 c. x – y = 3 x – y = 28 2x + 2y = 24 4x – 2y = 24 Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. 1 4 1 2 Vectores | 101 Unidad 3 ¿Qué debes recordar? • El plano cartesiano está formado por dos líneas rectas (ejes) perpendiculares entre sí. La representación en coordenadas de los cuadrantes es la siguiente: Primer cuadrante (x, y) Segundo cuadrante (–x, y) Tercer cuadrante (–x, –y) Cuarto cuadrante (x, –y) (Considerando x 0, y 0). El eje horizontal se llama eje de abscisas o también eje X; el eje vertical se llama eje de las ordenadas o eje Y, y el punto O se llama origen de coordenadas. • Las transformaciones del plano modifican los puntos del plano siguiendo una regla o condición dada. Las transformaciones isométricas conservan la forma y el tamaño de las figuras, de modo que la figura resultante es congruente con la figura inicial. Se clasifican en traslación, reflexión y rotación. • Todo sistema de dos ecuaciones lineales presenta tres posibilidades en cuanto a sus soluciones. • Si una de las ecuaciones de la recta es una amplifi- cación de la otra, el sis- tema tiene infinitas solu- ciones, ya que las rectas son coincidentes. • Si ambas rectas tienen igual valor de la pendien- te y no son coincidentes, el sistema no tiene solu- ción, ya que sus rectas son paralelas. • Si se tiene que las rectas no son coincidentes ni paralelas, el sistema tiene una única solución, ya que sus rectas son secantes. I II Y O X IV III UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 101
- 103. 102 | Unidad3 Vectores Analicemos... Como ya lo mencionamos, en el desarrollo de la prueba olímpica del lanzamiento del martillo se manifiestan diversas fuerzas. Observa el dibujo donde se ha representado la fuerza centrípeta y la velocidad tangencial que interviene en la velocidad final del martillo. Una forma de observar cuáles son las fuerzas de que depende la velocidad final del martillo, es utilizar un diagrama en el que se representa la fuerza que actúa sobre él y su velocidad tangencial mediante flechas, lo que permite visualizar cuál es la fuerza resul- tante y cómo afecta, en este caso, a su velocidad de lanzamiento. Cuando se representa una fuerza, no basta con señalar su magnitud. Una fuerza tiene también dirección, ya que cuando se aplica en di- recciones diferentes provocará distintos efectos. Es así como toda fuerza se puede representar sobre un diagrama utilizando flechas. La dirección de la flecha será la dirección en que se ejerce la fuerza y su longitud debe ser proporcional a la magnitud de esta. La fuerza, tal como la velocidad y el desplazamiento, es un vector. Un vector se caracteriza por su: • módulo: es el valor numérico de la magnitud vectorial. Se repre- senta gráficamente por la longitud de la flecha. • dirección: está dada por la orientación en el plano o en el espacio de la recta que lo contiene. • sentido: se muestra mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. El vector se representa por un segmento orientado con origen en A y extremo en B, se representa por el símbolo AB → . La distancia entre A y B representa gráficamente el módulo del vector AB → . • ¿Se puede decir que dos fuerzas son iguales, si las flechas que las representan tienen igual longitud?, ¿por qué? • ¿Se pueden aplicar dos fuerzas distintas, de modo que la fuerza resultante sea nula? Justifica. • ¿De qué depende la longitud de la flecha, en cada caso?, ¿y su dirección? Explica. Glosario vector: toda magnitud en la que, además de la cantidad, hay que considerar la dirección y el sentido. A AB → B UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 102
- 104. Vectores | 103 Unidad 3 Dossegmentos orientados representan al mismo vector si son para- lelos, tienen el mismo sentido y la misma magnitud o módulo sin importar dónde está ubicado su origen. Si alguna de estas condi- ciones no se cumple, se dice que son distintos. Se dice que dos vectores son opuestos si tienen igual módulo y di- rección, pero sentido contrario. En resumen • Un vector es un objeto matemático caracterizable mediante una magnitud o módulo, una dirección y un sentido. • Dos vectores son iguales solo si son, a la vez, paralelos, con igual sentido y con la misma magnitud o módulo. • El vector 0 → corresponde a un vector, pero de magnitud 0, y sin dirección ni sentido. 1. Determina si los siguientes vectores son iguales, opuestos o distintos, en cada caso. Justifica. a. b. c. 2. La figura ABCDEF es un hexágono regular. Determina: a. dos parejas de vectores con igual sentido, dirección y módulo. b. Una pareja de vectores de distinta dirección pero con igual módulo. c. Una pareja de vectores con distinto módulo pero con igual dirección. 3. Determina cuáles de los siguientes vectores tienen igual módulo, en cada caso. Justifica. a. b. Actividades B C D E F A UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 103
- 105. 104 | Unidad3 Operatoria con vectores Analicemos... Observa el siguiente mapa y sigue las trayectorias que han hecho Pablo y Andrea, desde la Plaza de la Independencia. Pablo caminó por Aníbal Pinto hasta Chacabuco, y dobló hacia su derecha hasta Colo-Colo. Andrea se fue por O’Higgins hasta llegar a Tucapel. Al igual que la fuerza, el desplazamiento es un vector, ya que es la diferencia entre una posición inicial y una posición final; luego tiene magnitud y también dirección y sentido. En cambio, la trayectoria tiene magnitud, pero no dirección. Para sumar dos o más trayecto- rias, basta sumar sus magnitudes. Pero, para sumar desplazamientos, su suma depende de la dirección de los desplazamientos. Observa. Una forma de calcular el vector suma s → = a → + b → es dibujar uno de ellos, por ejemplo a → , y luego representar el vector b → colocando el origen de b → en el extremo de a → . El vector resultante tiene su ori- gen en el origen de a → y su extremo, en el extremo de b → . Otra forma de realizar la suma de a → y b → es dibujar dos representantes de ambos vectores con un mismo origen, O, y completar el paralelo- gramo. El vector suma a → + b → es la diagonal de origen O de dicho para- lelogramo. Observa que para realizar la suma de b → + a → , el parale- logramo correspondiente es el mismo; luego su vector suma también. • ¿Quién recorrió más?, ¿por qué? • Ahora, dibuja una flecha que indique el desplazamiento de cada uno. ¿Quién se desplazó más? Justifica. • Más tarde, Pablo y Andrea se reunieron en la Plaza Perú. ¿Cómo se representa el desplazamiento de cada uno?, ¿cuál es su des- plazamiento total, en cada caso? O´Higgins Plaza de la Independencia Plaza Perú Chacabuco A n í b a l P i n t o T u c a p e l C o l o - C o l o Una diagonal de un paralelogramo es la recta que pasa por dos vértices opuestos. Recuerda que... Glosario trayectoria:línea descrita en el plano o en el espacio por un cuerpo que se mueve. desplazamiento: cambio de la posi- ción de un cuerpo. a → b → a → a → a → s → = a → + b → a → + b → b → b → b → 0 UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 104
- 106. En resumen • Lasuma de dos o más vectores es un vector. La adición de vectores es asociativa, conmutativa, tiene un elemento neutro y elemento inverso para cada vector. • La resta de vectores, a → – b → , consiste en sumar a a → el vector opuesto de b → . • Para representar la suma o resta de vectores, se pueden utilizar las diagonales de un paralelogramo como representación de ellas. Vectores | 105 Unidad 3 La adición de vectores cumple las siguientes propiedades: • Conmutativa: a → + b → = b → + a → . • Asociativa: a → + ( b → + c → ) = ( a → + b → ) + c → . • Elemento neutro: a → + 0 → = 0 → + a → = a → . • El módulo del vector resultante es menor o igual que la suma de los módulos de los vectores. Es igual solo cuando los sumandos tienen la misma dirección y el mismo sentido. • Dado un vector a → , existe un vector opuesto –a → , de igual módulo y dirección, pero sentido contrario, de forma que al sumarlos se obtiene el vector 0 → o nulo. Esto es, a → + (–a → ) = 0 → . Al igual que en el caso de los números, la sustracción de vectores es la operación inversa de la adición de vectores. Restar dos vectores consiste en sumarle al primero el vector opuesto del segundo: w → – v → = w → + –v → . Gráficamente, si se emplea el método del paralelogramo para la sus- tracción, la diagonal del paralelogramo obtenido que une los pun- tos extremos de los vectores representa la resta de los dos vectores. 1. Resuelve los siguientes problemas. a. El minutero de un reloj mide 5 cm. Si el minutero parte desde 0, representa gráficamente el vector desplazamiento de su punta después de quince minutos, media hora, tres cuartos de hora y después de una hora. b. Dos vectores de desplazamiento centrados en el origen tienen módulos iguales a 6 m y 8 m. ¿Cuál debe ser la dirección y sentido de cada uno de estos vectores para que la resultante tenga un módulo igual a 14 m, 2 m y 6 m? Representa gráficamente cada uno de los casos pedidos. Actividades w → v → w → – v → v → + w → • El resultado de la adición y la sustracción de vectores es siem- pre un vector. • La representación de la diagonal, como a → – b → o b → – a → , dependerá del punto de aplicación del vector y de su extremo. Pon atención UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 105
- 107. 106 | Unidad3 Vectores en el plano cartesiano Analicemos... Recuerda que en cursos anteriores conociste el plano cartesiano, que permite representar la ubicación de puntos en el plano mediante sus coordenadas. Observa ahora la siguiente figura, en la que el origen y extremo de un vector a → en el plano cartesiano correspon- den a los puntos P(2, 3) y Q(12, 9), respectivamente. Cuando el punto de aplicación de un vector está en el origen de un sistema de coordenadas, su extremo coincidirá con un punto del plano y se representa utilizando este punto, por ejemplo v → = x, y. En este caso se puede determinar su módulo utilizando el teorema de Pitágoras. Entonces || v ||2 = x2 + y2 , o bien || v → || = . Por otra parte, cuando el origen del vector no coincide con el origen del sistema de coordenadas, se puede calcular la diferencia, com- ponente a componente, entre el extremo y el origen del vector para obtener la representación cartesiana del vector. Es decir, si v → tiene su origen en el punto P2 (x2 , y2 ) y su extremo en el punto P1 (x1 , y1 ), se puede calcular v → = x1 – x2 , y1 – y2 . Por ejem- plo, si el origen de a → corresponde al punto (–5, 2) y su extremo al punto (7, 3), entonces a → = 7 – (–5), 3 – 2 = 12, 1. Y para determinar su módulo, se puede calcular la distancia entre el origen y el extremo del vector. Observa. Dado que el punto E tiene coorde- nadas (x1 , y2 ), la medida de los lados estaría dada por: P2 E = (x1 – x2 ) y EP1 = (y1 – y2 ). x y 2 2 + • Si a → se trasladara de modo que su origen se situara en (0, 0), ¿en qué punto se ubicaría su extremo? • ¿Cómo se representa con números el vector a → ?, ¿por qué? • ¿Cómo se puede calcular el módulo de a → ? Explica. • En general, ¿cómo se representa un vector, si se conocen las coordenadas de su origen y su extremo? Justifica. • Existen diversas formas de re- presentar analíticamente un vec- tor, en este Texto utilizaremos la notación x, y. • Se utiliza || v → || para simbolizar el módulo de v → . Pon atención Teorema de Pitágoras: la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa. Recuerda que... 9 3 2 12 Y P O Y B O D E A C P2 (x2 , y2 ) P1 (x1 , y1 ) X x y Q X Y X a → v → UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 106
- 108. Vectores | 107 Unidad 3 PP x x y y 1 2 1 2 2 1 2 2 = − ( ) + − ( ) Glosario forma analítica: se dice de los vec- tores cuando están representados utilizando sus coordenadas carte- sianas, para distinguirlos de su repre- sentación geométrica. • Un vector OP → que va desde el origen del plano cartesiano al punto P, se denomina vector posición y se representa por p → . Las componentes de p → coinciden con las coordenadas del punto P(px , py ), dado que p → = px – 0, py – 0 = px , py . • Si el origen y extremo de un vector a → en el plano cartesiano corresponden a los puntos P(x1 , y1 ) y Q(x2 , y2 ), respectivamente, entonces la forma analítica de ese vector está determinada por: a → = PQ → = x2 – x1 , y2 – y1 . • El módulo de un vector, que corresponde a su longitud o tamaño, se puede calcular mediante la expresión: || v → || = , si v → = x, y. x y 2 2 + En resumen Aplicando el teorema de Pitágoras, se obtiene que ||P1 P2||2 = (x1 – x2 )2 + (y1 – y2 )2 , de donde La adición de vectores en forma analítica se efectúa a través de sus coordenadas cartesianas, sumando componente a componente. Por ejemplo, al sumar los vectores a → = 2, 3 y b → = –1, 2, el vector resultante es: 2, 3 + –1, 2 = 2 + –1, 3 + 2 = 1, 5. 1. Dibuja y, luego, calcula el módulo de los siguientes vectores centrados en el origen del plano y cuyo extremo es el punto: a. A(3, 4) c. C(–9, –12) e. E(–1, 0) b. B(–7, 12) d. D(–13, 12) f. F(0, –4) 2. Si a → = –4, 5, b → = 6, –3 y c → = –2, –2, grafica y determina v → de modo que v → = a → + b → – c → . Luego, calcula su módulo. Explica, paso a paso, cómo lo hiciste. 3. Dados los vectores a → = 3, –2, b → = –1, 5 y c → = 4, 6, determina: a. a → − b → + c → c. a → − b → − c → e. a → + b → + c → b. b → − c → d. a → + b → − c → f. a → + c → 4. Sobre un cuerpo actúan las fuerzas f1 → = 6, 8, f2 → = –15, 20, f3 → = –4, –16. Calcula: a. la magnitud del vector resultante. b. la dirección del vector resultante. Actividades y2 y1 x1 x2 x2 – x1 y2 – y1 Y P Q X a → UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 107
- 109. Observa la siguientefigura: 108 | Unidad 3 Traslación de figuras planas Una traslación es una transformación isométrica que desplaza todos los puntos de una figura en igual mag- nitud, dirección y sentido. Recuerda que... Glosario imagen bajo una transformación: elemento (punto,segmento o figura) obtenido,a partir de otro similar,me- diante una transformación del plano. • Compara las medidas y la dirección de los trazos AA´, BB´, CC´ y DD´. ¿Qué puedes concluir? • ¿Corresponde a una transformación isométrica? Justifica. • ¿Esta transformación se puede representar utilizando vectores?, ¿por qué? • Si se conocen las coordenadas de la figura ABCD, ¿cómo se pueden obtener las coordenadas de A´B´C´D´? Explica. Analicemos... A una figura dada se le puede aplicar una traslación, que desplaza todos los puntos de una figura en igual magnitud, dirección y sen- tido. Luego, tal como las fuerzas y los desplazamientos, se puede utilizar un vector para representarla, el que se suma a los vectores posición de cada punto. Para obtener la imagen bajo una transformación de una figura (la imagen de una figura bajo la traslación), basta con sumar el vector de traslación, en este caso, a cada uno de los vértices de la figura, coordenada a coordenada. Por ejemplo, la traslación del trián- gulo cuyos vértices son A(–4, 4), B (–2, 2) y C (–3, 6), dada por el vector v → = 2, 1, es: A’: (–4, 4) + (2, 1) = (–2, 5) B’: (–2, 2) + (2, 1) = (0, 3) C’: (–3, 6) + (2, 1) = (–1, 7) La traslación anterior se denota como T → 2, 1 de los puntos del ΔABC. En la imagen se muestra la traslación del triángulo ABC. C D A B C´ D´ A´ B´ 7 6 2 1 B´ A´ C´ B A C –2 2 4 –4 v → UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 108
- 110. Vectores | 109 Unidad 3 Aligual que en el caso de las fun- ciones, la inversa de una traslación T → es aquella traslación que deshace las transformaciones que realiza T → . Pon atención Composición de traslaciones Si al resultado de una traslación se le aplica otra traslación, se habla de composición de traslaciones. Observa la figura: Como se puede observar, ΔA’B’C’ se obtiene aplicando T → 1 10, 2 a los vértices del ΔABC. En cambio, ΔA’’B’’C’’ se obtiene aplicando T → 2 1, –6 a los vértices del ΔA’B’C’. Entonces, para representar la traslación del ΔABC al ΔA’’B’’C’’, se calcula la composición de las traslaciones; esto es, si T → 1 x1 , y1 y T → 2 x2 , y2 , entonces T → 2 º T → 1 = x1 + x2 , y1 + y2 . En este caso, T → 2 º T → 1 = 10 + 1, 2 + –6 = 11, –4 representa la traslación del ΔABC al ΔA’’B’’C’’. En resumen • La traslación de una figura en el plano cartesiano da origen a una nueva figura, que es congruente con la anterior; es decir, mantiene la misma forma y medidas. • Una composición de traslaciones resulta de aplicar una traslación a otra traslación ya realizada. • Si T → x, y es una traslación en el plano cartesiano, entonces T –1 → x, y es su traslación inversa, y corresponde a la trasformación que tiene la misma magnitud y dirección, pero sentido contrario. O sea, T –1 → x, y = T → –x, –y. 1. Los vértices de un cuadrilátero son (1, 0), (0, 2), (–3, 0), (0, –1). ¿Cuáles serán los vértices del cuadrilátero si se aplica una traslación de vector 3, –2? 2. Considera dos circunferencias de igual radio, una con centro O (–2, 3) y la otra con centro A (–1, 1). Determina el vector que permite trasladar la circunferencia de centro O a la posición con centro en A. Luego, determina el vector de la traslación opuesta a la realizada. ¿Qué puedes concluir? 3. Determina las traslaciones inversas de cada una de las siguientes traslaciones: a. T → 1 2, 3 b. T → 2 –3, 4 c. T → 3 –6, –7 d. T → 4 0, –4 Actividades Glosario composición: de transformaciones, dadas dos transformaciones S → , T → , es otra transformación, T → º S → , que resulta de aplicar sucesivamente las anteriores. Esto es: (T → º S → ) x, y = T → (S → x, y). Observa que primero se aplica S → y a su imagen se aplica T → . –6 –4 –2 2 4 6 8 10 –2 2 T1 T2 4 –4 –6 –8 C A Á B´ C´ C´´ A´´ B´´ B UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 109
- 111. 110 | Unidad3 Producto por un escalar Sobre un cuerpo se aplican dos fuerzas, una se representa mediante el vector f → = 2, –3, y la otra por el vector g → = –6, 9. distributividad asociatividad elemento neutro propiedad absorbente del cero Al dibujar en un plano cartesiano los vectores f → y g → seguramente pudiste observar que tienen la misma dirección, aunque no tienen el mismo sentido ni la misma magnitud. Además, para calcular el triple de la fuerza f → , se calcula el triple de cada una de las coordenadas. Esto es: 3 · f → = 3 · 2, –3 = 3 · 2, 3 · –3 = 6, –9 Es decir, tanto gráfica como algebraicamente, el vector resultante aumenta al triple su módulo, manteniendo su dirección y sentido. En general, cuando se calcula el producto por un escalar de un vec- tor, se obtiene un nuevo vector, que conserva la dirección del vector original, pero cuya magnitud y sentido cambian según el valor por el cual fue multiplicado. Observa. Para graficar el mismo vector, pero multiplicado por –1, se puede calcular –1 f → = –1 · 2, –3 = –1 · 2, –1 · –3 = –2, 3 Observa la imagen donde se represen- taron f → y –f → Propiedades del producto por un escalar Dados los escalares λ y μ, y los vectores a → y b → , se cumplen las siguientes propiedades: 1. λ (a → + b → ) = λa → + μb → 2. (λ+ μ)a → = λa → + μa → 3. λ (μa → ) = (λμ)a → 4. 1a → = a → 5. 0a → = 0 → Glosario producto por un escalar: aplicado a un vector a → , es otro vector cuya magnitud es el producto del escalar por la magnitud de a → , cuya direc- ción es la de a → y cuyo sentido es el mismo u opuesto, según el escalar sea positivo o negativo. escalar: elemento de un conjunto numérico;se usa,en particular,cuan- do se le quiere distinguir claramente de los vectores. Analicemos... • Dibuja un plano cartesiano y traza los vectores f → y g → , partiendo del origen. ¿Qué tienen en común? Explica. • Representa en el mismo plano una fuerza que sea el triple de la fuerza f → . ¿Cuál es su representación algebraica?, ¿por qué? • ¿Cuál es el valor de λ tal que se cumpla g → = λ · f → ? Justifica. Y X –f → f → UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 110
- 112. Vectores | 111 Unidad 3 |λ | se refiere al valor absoluto de un número real. || a → || se refiere al módulo de un vector. Recuerda que... Ejemplo Dados los vectores a → = 具–6, 2典 y b → = 具3, –4典, ¿cuánto resulta 5(a → + b → )? 5(a → + b → ) = 5a → + 5b → = 5具–6, 2典 + 5具3, –4典 = 具–30, 10典 + 具15, –20典 = 具–30 + 15, 10 + –20典 = 具–15, –10典 En resumen • El producto de un escalar λ por un vector a → , de coordenadas 具x, y典, es otro vector dado por λa → , y se define como: λa → = λ具x, y典 = 具λx, λy典. Se dice que λa → es un vector ponderado de a → . • Observa que dos vectores paralelos se pueden expresar uno como ponderado del otro: a → = λb → o bien b → = μa → . • El vector ponderado λa → tiene las siguientes características: • Mantiene la dirección de a → . • || λ · a → || = | λ | · || a → ||. • Si λ 0, el vector mantiene el sentido de a → . Si λ 0, el vector cambia de sentido. • Si λ = 0, entonces λa → = 0 → (vector nulo). 1. Copia en tu cuaderno los vectores u → , v → y w → . Luego, representa: a. u → + v → d. v → + 2w → b. 3u → e. 2u → – v → – w → c. 2u → – v → 2. Calcula el resultado de las siguientes operaciones: a. 3具2, –1典 – 3具2, 3典 c. 具5, –2典 – 具3, 1典 + 2具6, 0典 b. –2具7, –3典 + 5具0, 5典 d. 5具3, –2典 – 4具–1, 0典 + 2具–1, –3典 3. Dado el producto de μa → , con a → ⫽ 0, ¿qué características cumple el producto, en cada caso? Justifica tu respuesta con la representación gráfica correspondiente. a. ¿si μ 1? d. ¿si μ = 0? b. ¿si μ = 1? e. ¿si μ = –1? c. ¿si 0 μ 1? f. ¿si μ –1? Actividades u → v → w → b → b → a → a → a → = λb → UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 11/11/10 15:43 Página 111
- 113. 112 | Unidad3 Homotecia En cursos anteriores aprendiste que las transformaciones isométricas son transformaciones geométricas que preservan la forma y el tamaño de las figuras; sin embargo, no todas las transformaciones geométricas son así. Por ejemplo, en la siguiente figura se puede observar el cuadrilátero KLMN, de vértices K(10, –2), L(4, –8), M(12, –12) y N(14, –6), y sus respectivas imágenes: el cuadrilátero K1 L1 M1 N1 y el cuadrilátero K2 L2 M2 N2 . En la figura anterior puedes observar que las imágenes bajo la transformación tienen la misma forma original, las medidas de sus ángulos se mantienen, pero no así las medidas de sus lados; es decir, son semejantes, ya sean de menor o mayor tamaño. En cada caso, la imagen resultante se puede construir con ayuda de rectas que pasan por el mismo punto O. Observa que al comparar los vectores correspondientes (por ejemplo, OM → con OM → 1 , OL → con OL → 1 , etc.) se obtiene que la razón de sus módulos es una constante. La imagen bajo una transformación es un elemento (punto, segmento o figura) obtenido, a partir de otro similar, mediante una transforma- ción del plano. Recuerda que... Analicemos... • ¿Cómo describirías los cuadriláteros obtenidos, respecto del original? Explica. • ¿Corresponde, en cada caso, a la imagen bajo una transformación isométrica?, ¿por qué? • Determina los pares ordenados correspondientes a los vértices de cada cuadrilátero. ¿Qué puedes concluir? • Calcula la medida de los lados de cada cuadrilátero. ¿Existe una proporción entre ellos? Explica. M1 L1 K1 N1 O Y X K2 L2 M2 N2 N M L K UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 112
- 114. Cuando esto ocurre,se dice que una de las figuras es la imagen de la otra bajo una homotecia. La homotecia está definida por el punto O, que es el centro de la homotecia, y un número k, que es la razón entre el módulo de los vectores correspondientes en esa transformación. Se representa como H(O, k). El número k es dis- tinto de cero, ya sea positivo o negativo. Si la homotecia tiene una razón k, se puede concluir que la magni- tud del vector OA´ → es | k | veces igual a la magnitud del correspon- diente vector OA → . En caso que la homotecia tenga razón negativa, (k 0), el vector OA´ → está en la misma dirección, pero en sentido contrario al vector OA → . Ejemplo Considera el ΔABC, de coordenadas A(2, –4), B (0, –2) y C (6, 3), y el origen O (0, 0). Encuentra su imagen bajo la homotecia H(O, –2). Para aplicar una homotecia es necesario determinar primero los vectores desde el centro de homotecia O a cada uno de los puntos. En este caso, ya que el centro de la homotecia está en el origen O(0, 0), los vectores son OA → = 2, –4, OB → = 0, –2, OC → = 6, 3. A estos vectores se les aplica la homotecia; luego, OA´ → = –4, 8, OB → = 0, 4, OC → = –12, –6. Entonces, su imagen es el ΔA’B’C’ de coordenadas A’(–4, 8), B’(0, 4), C’(–12, –6). Observa que la proporción que existe entre los trián- gulos corresponde a la razón de homotecia. Se puede verificar que dos figuras son homotéticas si, al unir me- diante rectas los puntos o vértices correspondientes de ellas, estas rectas concurren en un único punto que es el centro de homotecia O. Composición de homotecias Al igual que con las traslaciones, se puede realizar una composi- ción de homotecias; es decir, se puede aplicar una homotecia a la imagen de la homotecia de una figura. La composición de homotecias, cuando su centro de homotecia es el mismo, es una homotecia con igual centro, y cuya razón corres- ponde al producto de las razones de las homotecias originales. Unidad 3 Vectores | 113 Glosario homotecia: transformación en el plano con respecto a un centro O, que permite obtener una figura se- mejante a otra figura dada. homotético(a): elemento (punto, segmento o figura) que es imagen de otro similar bajo una homotecia. Cuando la homotecia tiene centro en el origen de coordenadas, dado un punto A(x, y) y su homotético A’(x’, y’), se cumple que la relación que hay entre ellos es la siguiente: x’ = kx e y’ = ky, donde k es la razón de la homotecia. Pon atención UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 113
- 115. 114 | Unidad3 Ejemplo Dado los puntos A(3, 7) y O(2, 5) y las homotecias H1 (O, –2) y H2 (O, –1,5), determina el homotético de A respecto de la com- posición de homotecias H2 º H1 . • Se obtiene el vector OA → : OA → = 3 – 2, 7 – 5 = 1, 2. • Se aplica primero la homotecia H1 ; luego, OA’ → = –2 · 1, 2 = –2, –4. • Se aplica la homotecia H2 al vector OA’ → ; luego, OA’’ → = –1,5 · –2, –4 = 3, 6. Luego, A’’ se obtiene de O → + OA’’ → = 2, 5 + 3, 6 = 5, 11. Es decir, el homotético de A es el punto (5, 11). A ´ OA ´ O OA A A ´´ En resumen • Una homotecia es una transformación geométrica que no afecta la forma de la figura, pero sí puede cambiar su tamaño y orientación. • Una homotecia de centro O y razón k, con k ⫽ O transforma un vector OP → en un vector OP’ → , tal que OP’ → = k · OP → . Se escribe H(O, k). Algunas de sus características son: • las figuras generadas mediante homotecia son semejantes a las figuras originales. • los lados correspondientes entre dos figuras homotéticas son paralelos. • si la razón es positiva, la homotecia preserva el sentido de las figuras. Si la razón es negativa, la homotecia invierte las figuras. • La composición de dos homotecias de centro C es otra homotecia de centro C, y su razón corres- ponde al producto de las razones; esto es, si H’ (C, k’) y H (C, k), H´ º H = H1 , donde H1 (C, k · k’). 1. Considera un cuadrilátero ABCD de coordenadas A (3, –3), B (6 , –6), C (10, 1) y D (4, 3) y el origen O (0, 0). Encuentra su figura homotética, respecto de: a. H (O, –1) b. H (O, ) 2. Considera un cuadrado ABCD, tal que el punto de intersección de sus diagonales es E. Haz el dibujo en tu cuaderno de las siguientes transformaciones homotéticas: a. H1 º H2 , con H1 (E, 3) y H2(E, ) b. H3 º H4 , con H3 (A, 2) y H4(A, – ) 3. Verifica si el área de una figura homotética es igual al producto del área de la figura original por el cuadrado de la razón de homotecia. 1 2 3 2 3 2 Actividades UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 114
- 116. Vectores | 115 Unidad 3 Herramientastecnológicas Usando el programa Regla y Compás, aprenderás a analizar gráficamente el concepto de homotecia. Ingresa al sitio web: www.educacionmedia.cl/web, escribe el código 11m4115 y pulsa la flecha verde. Al hacerlo, se abrirá una nueva página. Haz clic en el botón Descarga y Webstart que está ubicado en el costado izquierdo de la pantalla. Luego selecciona el sistema operativo que tiene tu computador y presiona Download. De este modo habrás descargado el software. Instálalo y luego realiza las siguientes actividades: • Con el comando vector construye tres o cuatro vectores cuyo punto de origen sea el mismo para todos ellos. • A continuación, selecciona del menú Macros, la opción Vectores y luego Vect. mult. por un real (dlog). • Selecciona uno de los vectores, y después marca el punto de origen del vector. • Escribe la razón de homotecia en un cuadro que aparecerá más abajo (no muy grande, por ejemplo 2,0 o 2,5), y presiona enter. Aparecerá en pantalla un segundo vector con el mismo origen y dirección que el primero. • Repite el paso anterior para cada uno de los demás vectores, cuidando de multiplicar todos los vectores por el mismo factor. La razón de homotecia será el factor de multiplicación, ya que al indicar el origen del vector, el segundo vector toma como origen este mismo punto. • Finalmente, presiona el botón mover, o selecciona esta opción del menú Edición. Puedes mover tanto el centro de homotecia (el origen de los vectores que construiste) como los puntos finales de los vectores. Obtendrás algo como lo que se muestra en la siguiente imagen: Utilizando Regla y Compás, desarrolla las siguientes actividades: 1. Comprueba que la razón de homotecia se mantiene, independientemente de mover el origen o cualquiera de los puntos de la figura original. 2. Considera ahora una homotecia con un factor k negativo, ¿qué características tiene la imagen resultante respecto de la original? Explica. UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 115
- 117. 116 | Unidad3 • En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores. • Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Qué es la magnitud de un vector?, ¿y el sentido? 3. ¿Cuál es la diferencia entre una traslación y una homotecia? 4. ¿Cómo se suman dos vectores cuando están representados gráficamente? Explica. 5. ¿Qué características tiene una homotecia si k 1? 6. El producto por un escalar, ¿mantiene el sentido del vector?, ¿por qué? 7. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto. Organizando lo aprendido VECTORES su DEFINICIÓN APLICACIONES puede ser en permite realizar REPRESENTACIÓN OPERATORIA ADICIÓN SUSTRACCIÓN PRODUCTO POR UN ESCALAR su requiere de tiene GRÁFICA FÍSICA MAGNITUD DIRECCIÓN SENTIDO ANALÍTICA tales como GEOMETRÍA TRASLACIÓN HOMOTECIA FUERZA VELOCIDAD DESPLAZAMIENTO para representar para representar UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 116
- 118. Mi progreso Unidad 3 1. Utilizandolos vectores que determinan los vértices y el centro del hexágono regular de la figura, halla los vectores solución de las siguientes operaciones: a. AB → + OC → b. FA → + ED → c. AO → + AB → d. AO → – OC → 2. Dados los vectores a → = 3, –2 y b → = –1, 5, determina: a. 3a → – 2b → b. –a → – b → c. 5a → + 2b → d. || a → + 3b → || 3. Dado el triángulo ABC de vértices A(4, 2), B(7, 2) y C(7, 5), determina su imagen si se aplica: a. una traslación T → –3, 1. b. una homotecia H(O, –2). 4. Los vectores de la figura tienen su origen en el centro de un cuadrado y el extremo en un vértice o en el punto medio de uno de los lados del cuadrado. ¿Cuál de las siguientes igualdades es incorrecta? Explica tu decisión en cada caso. A. a → – b → = –2c → B. a → + b → = 2 d → C. || a → – d → || = || b → + c → || D. c → – d → = b → E. || c → + a → || = || b → + d → || • Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas. ¿Cómo voy? Vectores | 117 a → d → c → b → E D A B O F C CRITERIO ÍTEMS PÁGINAS DONDE SE TRABAJA Operar con vectores representados gráficamente. 1 y 4 102 a 105 Operar con vectores representados analíticamente. 2 106, 107, 110 y 111 Aplicar traslaciones y homotecias a una figura. 3 108, 109, 112 a 114 UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 117
- 119. 118 | Unidad3 Producto punto En Física, se define el trabajo mecánico como el producto entre la fuerza aplicada a un cuerpo y su desplazamiento. Mientras mayor sea la fuerza aplicada y/o el desplazamiento logrado, mayor será también el trabajo realizado. Ya que tanto la fuerza como el desplazamiento son vectores, el tra- bajo depende de las direcciones en que se aplica la fuerza y en que se produce el desplazamiento; en particular, depende del ángulo que se forma entre estos vectores, y se calcula mediante la expresión: W = || F → || · || d → || · cos(α) Analicemos... • Considerando la expresión que define el trabajo mecánico, ¿W corresponde a un valor numérico o a un vector?, ¿por qué? • Dada una fuerza aplicada a un cuerpo y su correspondiente desplazamiento, ¿qué condiciones deben cumplirse para que el trabajo realizado sea máximo? Explica. • ¿Es posible que se aplique fuerza a un cuerpo y este cuerpo se desplace, pero que el trabajo sea nulo? Justifica. La operación que permite obtener el trabajo mecánico W a partir de la fuerza F → y el desplazamiento d → , se conoce como producto punto o producto escalar. El producto punto de dos vectores es un número y dicho producto será un número positivo, nulo o negativo, según si el ángulo for- mado por los dos vectores es agudo, recto u obtuso (0 ⱕ α ⱕ 180º). También el producto punto es nulo si alguno de los factores es nulo. Si aplicamos esto a la definición de trabajo mecánico, el trabajo obtenido es: máximo cuando la fuerza aplicada y el desplaza- miento tienen la misma dirección y sentido, positivo si el ángulo α (que forman sus vectores) cumple que 0 α 90º, nulo cuando sus vectores son perpendiculares, y negativo si el ángulo α cumple que 90º α ⱕ 180º. Ejemplo Calcula el producto punto de los vectores si || a → || = 3, || b → || = 8 y α = 60º. a → · b → = || a → || · || b → || · cos(α) = 3 · 8 · cos(60º) = 12. Glosario producto punto: se dice de dos vectores, a → y b → , al número real igual a || a → || · || b → || · cos(α), don- de α es el ángulo (entre 0 y 180º) que forman. b → a → α UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 118
- 120. Vectores | 119 Encambio, si dos vectores en el plano están representados en forma analítica, digamos a → = a1 , a2 y b → = b1 , b2 , el producto punto se calcula multiplicando las coordenadas de ambos vectores, componente a componente, y sumando sus resultados, es decir: a → · b → = a1 , a2 · b1 , b2 = a1 b1 + a2 b2 . Ejemplo Dados a → = 2, –1 y b → = 3, 4, calcula a → · b → y b → · a → . ¿Qué puedes concluir? • a → · b → = 2, –1 · 3, 4 = 2 · 3 + (–1) · 4 = 6 – 4 = 2. • b → · a → = 3, 4 · 2, –1 = 3 · 2 + 4 · (–1) = 6 – 4 = 2. En general, el producto punto es conmutativo, es decir: a → · b → = b → · a → . Unidad 3 1. Calcula el producto punto de los vectores, considerando los datos dados. a. || u → || = 5; || v → || = 7; α = 30º c. || u → || = ; || v → || = 1; α = 45º b. || u → || = 7; || v → || = 7; α = 90º d. || u → || = 10; || v → || = 3; α = 180º 2. Para cada par de vectores siguientes, calcula || a → ||, ||b → || y | a → · b → |. Luego, verifica que se cumple que | a → · b → | ⱕ || b → || · || a → ||, en cada caso. ¿Qué debe ocurrir para que se cumpla | a → · b → | = || b → || · || a → ||? a. a → = 3, 2 y b → = 5, 1 c. a → = –2, 0 y b → = 8, 2 b. a → = 4, 7 y b → = 3, –1 d. a → = , y b → = –2, 3 3. Analiza qué ocurre con el producto punto de a → y b → si: a. a → aumenta y b → se mantiene constante. c. a → y b → son perpendiculares. b. a → y b → aumentan. d. a → y b → son paralelos. 2 3 1 2 3 5 Actividades En resumen • El producto punto de dos vectores está dado por la expresión a → · b → = || a || · || b || · cos(α), con α: ángulo comprendido entre ambos vectores. • O bien, si a → = a1 , a2 y b → = b1 , b2 , el producto punto se calcula: a → · b → = a1 , a2 · b1 , b2 = a1 b1 + a2 b2 . • Para todos los vectores a → , b → , se cumple que: | a → · b → | ⱕ || b → || · || a → ||. • Si a → y b → son perpendiculares, a → · b → = 0. UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 119
- 121. 120 | Unidad3 Ecuación vectorial de la recta en el plano Viviana representó en su cuaderno los siguientes vectores en un sistema de coordenadas: –2, 1; 2, –1; 0, 1; 4, –2; 1, –0,5; 3, 1,5 Sebastián observó que, en algunos casos, parecía que los vectores estuvieran sobre una misma recta. d → P O L Glosario vector director: se dice de un vec- tor que es paralelo a otro elemento, como una recta o un plano, de modo que indica su dirección. Analicemos... • Dibuja los vectores anteriores en tu cuaderno. ¿Se cumple lo que dice Sebastián?, ¿por qué? • Determina cuáles de ellos pueden representarse uno como vector ponderado del otro. Luego, decide si se cumple la frase: “Si uno o más vectores pueden escribirse uno como vector ponderado de otro, entonces pertenecen a la misma recta”. Justifica tu respuesta. • ¿Se pueden representar rectas en el plano, utilizando vectores en su forma analítica?, ¿por qué? • ¿Cómo es la ecuación vectorial de la recta que contiene a un vector dado? Explica. • Dados dos puntos distintos, se puede obtener una única recta que pase por los dos puntos. • Todo punto en el plano cartesiano tiene coordenadas (x, y). Pon atención Para analizar si lo que observó Sebastián es correcto, podemos uti- lizar nuestros conocimientos. Sabemos que dos puntos determi- nan una recta en el plano. Si se considera que uno de estos puntos es el origen, y el otro es el correspondiente al extremo del vector, entonces basta un vector para determinar una recta, que tiene la misma dirección del vector y pasa por el origen. En un plano cartesiano se puede representar una recta L, que pasa por el origen O(0, 0) y con vector director d → = d1 , d2 paralelo a la recta L. Si P es un punto que pertenece a la recta L, por ejemplo P(x, y), entonces siempre existe un número real λ, tal que OP → = λ · d → . Observa: Luego la ecuación vectorial de la recta L, expresada en coorde- nadas, es x, y = λd1 , d2 . La colinealidad de puntos se puede expresar y verificar vectorialmente por medio de la ponderación. Si M, N y P son tres puntos colineales, entonces existe algún número real λ, tal que MP → = λ · MN → . Recuerda que... M N P UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 120
- 122. Vectores | 121 Unidad 3 Ahora,cuando la recta no pasa por el origen, además del vector di- rector es necesario determinar un vector que indique la ubicación de la recta en el plano. En este caso, para representar la recta L con vector director d → , pero que pasa por el punto P0 (x0 , y0 ), se considera que si P es un punto cualquiera de la recta, de coordenadas P(x, y), existe un número real λ, tal que P0 P → = λ · d → , y por lo tanto: OP → = OP0 → + λ · d → . Utilizando el vector posición p0 → de P0 y considerando el vector p → de P, resulta: p → = p0 → + λ · d → . Además, si d1 y d2 son las componentes del vector d → , la ecuación vectorial de la recta, expresada en coordenadas es: x, y = x0 , y0 + λ d1 , d2 . Ejemplo Dados los puntos A (2, 3) y B (5, 2), determina la ecuación vecto- rial de la recta que pasa por ellos. Se utiliza el vector b → como vector posición de la recta. Luego, se calcula su vector director d → , que corresponde al vector AB → , d → = a → – b → = 2, 3 – 5, 2 = –3, 1. De esa manera, se puede escribir la ecuación vectorial de la recta como: x, y = 5, 2 + λ–3, 1. O bien, como: x, y = 5 – 3λ, 2 + λ con λ 僆 IR. También se puede usar a → como vector posición. Veamos ahora qué sucede si λ = . Al remplazar en la ecuación: Observa que, por otra parte, el punto medio del segmento AB está dado por: , lo que coincide con el punto correspondiente a 2 5 2 3 2 2 7 2 5 2 , , + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 2 a c b d , + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 2 x y , – , – , = + = + = 5 3 2 5 3 2 2 1 2 10 λ λ − − + = , , 3 2 4 1 2 7 2 5 2 Glosario vector posición: se dice del vector que indica la posición de otro ele- mento, como una recta o un plano. Una recta que no pasa por el ori- gen, L: p → = p → 0 + λ d → , es una traslación en el vector p → 0 de la recta p → = λ d → . Pon atención El punto medio de un segmento, cuyos extremos son (a, b) y (c, d) está dado por: Y X O P0 P p0 → p → d → λ = . 1 2 Recuerda que... a c b d , + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 2 UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 121
- 123. 122 | Unidad3 Una ventaja importante de una ecuación vectorial de una recta es poder obtener ecuaciones para un segmento específico de la recta por medio de una restricción del parámetro λ. Por ejemplo, la ecuación x, y = 2, –1 + λ1, 2, con 1 ⱕ λ ⱕ 3 des- cribe el segmento de recta que une los puntos (3, 1) y (5, 5) (obtenidos al remplazar por el mínimo y el máximo valor del parámetro λ). 1. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por dos puntos dados: A(–4, 6) y B(4, –2). 2. ¿Se puede determinar la ecuación vectorial de la recta a partir de los puntos (1, 1) y (4, 4)? En caso afirmativo, ¿cuál es su ecuación vectorial? 3. Dado el punto P(2, –2) y el punto Q(–4, 4), ¿cuál es el punto medio del segmento PQ? 4. Dada la ecuación vectorial de la recta x, y = 1, 2 + λ4, 8, determina tres puntos que pertenezcan a la recta. 5. ¿A qué recta pertenecen los puntos A(–1, –4), B(1, 1) y C(0, 5)? Justifica. A. L: x, y = 1 + 2λ, –1 + 3λ B. L: x, y = –1 + 2λ, 3 – 2λ C. L: x, y = 2 – λ, –1 + 2λ D. L: x, y= –2 – λ, –3 + 2λ E. Ninguna de las anteriores. 6. Determina la ecuación vectorial de una recta paralela a x, y = 2, –5 + λ1, –4; luego, grafica ambas rectas. Actividades En resumen • La expresión p → = p0 → + λ d → recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta o ecuación de la recta en la forma vectorial. p0 → es el vector posición de la recta, cuando no pasa por el origen (que no es un vector ponderado de d → ), d → es el vector director, paralelo a la recta, y λ es un parámetro que, al tomar diferentes valores, nos entrega distintos puntos que forman la recta. Glosario parámetro: variable que puede to- mar diferentes valores,condicionando así los del resto de las variables. UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 122
- 124. Vectores | 123 Unidad 3 Ecuaciónvectorial de una recta y su ecuación cartesiana Como ya sabemos, la ecuación vectorial de la recta está determi- nada por un punto y una dirección; por consiguiente, por un punto de la recta y un vector paralelo a ella. Considera una recta L en el plano, cuyo vector director es d → = 6, 4 y A (5, 7) un punto perteneciente a ella. Remplazando valores en la ecuación vectorial, se pueden ubicar en el plano cartesiano dos puntos pertenecientes a la recta y, luego, graficarla. Observa: Primer paso: determinar la ecuación vectorial de la recta. Ya que la recta L pasa por el punto A, este es el vector posición: x, y = 5, 7 + λ6, 4 con λ, número real. Segundo paso: para determinar un punto B se asigna un valor cualquiera a λ y se remplaza en la ecuación. Por ejemplo, si λ = 2, el punto B resultante es: B = (5, 7) + 2 · (6, 4) = (5, 7) + (12, 8) = (17, 15) Tercer paso: se grafican los puntos A y B y se traza la línea que pasa por ellos para obtener la recta L. Cuarto paso: se calcula la ecuación cartesiana de la recta dados un punto de ella y su pendiente. La pendiente m se calcula a partir de las coordenadas del vector director d1 , d2 como m = . y – 7 = · (x – 5). Ordenando, se obtiene 2x – 3y + 11 = 0. 4 6 d2 d1 Analicemos... • ¿Cuál es la ecuación vectorial de L? Explica. • ¿Cómo se obtiene un punto B que pertenezca a la recta L? Justifica. • ¿Cómo se obtiene la ecuación cartesiana de la recta L? Explica. • Conocidos los puntos A y B, ¿se puede graficar la recta L?, ¿por qué? • En general, ¿cómo se grafica una recta en el plano, a partir de su ecuación vectorial? 10 12 14 16 8 6 4 2 –2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 A L B –2 d → La ecuación cartesiana de la recta, dada su pendiente m y un punto de ella (x0 , y0 ) es: y – y0 = m · (x – x0 ) Recuerda que... UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 123
- 125. 124 | Unidad3 Ejemplo 1 Dada la ecuación vectorial de la recta: x, y = 5, 2 + λ 3, 1, de- termina la correspondiente ecuación cartesiana. Otra forma de obtener la ecuación cartesiana correspondiente es igualar componente a componente y despejar el parámetro λ en cada una de estas ecuaciones: x = 5 + 3λ ⇒ λ = y = 2 + λ ⇒λ = y – 2 Luego, se igualan ambos parámetros y se despeja y: = y – 2 x – 5 = 3y – 6 y = x + (Ecuación cartesiana de la recta) Ejemplo 2 Dada la ecuación cartesiana de la recta: 4x + 3y + 7 = 0, determina la correspondiente ecuación vectorial. Primer paso: para obtener el vector posición se requiere determinar un punto que pertenezca a la recta. Por ejemplo, se puede calcular el valor de y remplazando en la ecuación de la recta un valor para x. Si x = –1, 4 · (–1) + 3y + 7 = 0 3y + 3 = 0 y = –1 Entonces, el vector posición es –1, –1. Segundo paso: para obtener el vector director se puede calcular la pendiente de la recta m = y, luego, escribir el vector director 4x + 3y + 7 = 0 3y = –4x – 7 y = – x – , es decir, m = – . Luego un vector director es 3, –4. Por lo tanto, una ecuación vec- torial de la recta es: x, y = –1, –1 + λ3, –4. 4 3 7 3 4 3 d2 d1 1 3 1 3 x – 5 3 x – 5 3 como d1 , d2 . Observa que la recta tiene pendiente ; mientras que su vector di- rector es 3, 1. 1 3 • La ecuación cartesiana de la recta está dada por ax + by + c = 0, o bien y = mx + n. • Dos rectas son paralelas si tienen igual pendiente. • Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes satisfacen m1 · m2 = –1. Recuerda que... UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 124
- 126. Vectores | 125 Unidad 3 1.Dada la ecuación vectorial de la recta x, y = 1, 2 +λ4, 8, determina la ecuación cartesiana correspondiente. 2. Encuentra la ecuación cartesiana correspondiente a la recta que pasa por el punto (5, –2) y es paralela al vector d → = –2, 3. 3. Encuentra la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto (–3, 2) y es paralela a la recta y = 3x – 2. 4. Decide si los puntos (0, 0), (0, 11) y (–3, 0) pertenecen a la recta anterior. Justifica tu decisión. 5. Determina la ecuación vectorial para cada recta. 4x + 2 = 3y – 3 2x – 5y + 1 = 0 6. Indica cuál es la posición relativa entre las rectas dadas. Explica. L1 : x – y – 2 = 0, L2 : x, y = 1, 2 + λ2, 2 7. De la recta x, y = 2, –3 + λ1, 2 y el punto P(2, 1), obtén la ecuación de la recta: a. paralela a la dada que pasa por P. b. perpendicular a la dada que pasa por P. 8. Obtén la recta que pasa por el punto A(2, –1) y tiene la misma pendiente que: a. x, y) = 0, 3 + λ1, 1 b. 2x – 3y = 6 Actividades En resumen • La ecuación de la recta en el plano se puede representar mediante: • la ecuación cartesiana de la recta: ax + by + c = 0. • la ecuación vectorial de la recta: x, y = p0 → + λ d → = x0 , y0 +λd1 , d2 , donde d → es el vector director de la recta, p0 → x0 , y0 es el vector posición y λ es su parámetro. • Si d → es un vector director cuyas coordenadas son d1 , d2 , la pendiente m de la recta correspondiente está dada por m = . d2 d1 UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 125
- 127. 126 | Unidad3 Producto cruz y vectores en el espacio Sergio intentó abrir una puerta batiente empujando en el centro de la puerta. Aunque finalmente lo consiguió, tuvo que aplicar más fuerza de la que pensaba. Andrea, en cambio, la empujó lo más afuera posible. En la situación presentada podíamos observar que Sergio y Andrea aplicaban una fuerza sobre una puerta. Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo, la puerta en este caso, y producto de esta acción el cuerpo gira, se dice que se ha producido un torque sobre el cuerpo. Otro ejemplo es la fuerza que se aplica al pedal de la bicicleta que permite que gire el plato, y con él la cadena de la bicicleta. El torque sobre el cuerpo se puede calcular como el producto cruz entre la fuerza aplicada y la posición del punto de aplicación de la fuerza respecto del eje de giro del cuerpo: τ → = r → × F → El producto cruz o vectorial a → × b → entre dos vectores en el espacio se define como un tercer vector p → , perpendicular a ambos, a → y b → . El módulo de p → = a → × b → corresponde al área del paralelogramo formado por a → y b → ; luego, || p → || = || a → || · || b → || · sen(α), donde α es el ángulo agudo formado por los vectores a → y b → . Analicemos... • ¿Crees que Andrea tuvo que aplicar la misma fuerza que Sergio para abrir la puerta?, ¿por qué? • Si se aplicara la misma fuerza en distintos puntos de la puerta, ¿se obtendría el mismo movimiento en torno a su eje? Explica. • Si se aplica una fuerza, ¿en qué posición se obtiene el máximo giro?, ¿en qué posición se obtiene un giro nulo? Comenta con tus compañeros y compañeras. Glosario torque: magnitud resultante del pro- ducto del valor de una fuerza por su distancia a un punto de referencia. • El producto punto entre dos vec- tores a → y b → tiene como resul- tado un valor numérico (escalar); en cambio, el resultado del pro- ducto cruz es un nuevo vector. • El producto cruz se define solo para vectores en el espacio. No tiene sentido para vectores en el plano. Pon atención p → = a → X b → p → = b → X a → II p → II= IIa → II · IIb → IIsen(α) a → IIb → IIsen(α) α b → p → p → a → a → b → b → α α UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:49 Página 126
- 128. Vectores | 127 Unidad 3 Paracalcular el producto cruz de dos vectores, utilizando sus coor- denadas cartesianas, es indispensable considerarlos en el espacio cartesiano, es decir, con sus tres coordenadas. Por ejemplo, si se considera el plano cartesiano como el piso de la sala, la tercera coor- denada va a representar la altura que tiene el vector. Así, en el gráfico siguiente está representado el punto C = (1, 4, 6). Una forma de calcular el producto cruz entre dos vectores es repre- sentando cada vector mediante los vectores unitarios cartesianos. Los vectores unitarios asociados con las direcciones de los ejes coorde- nados cartesianos X, Y, Z, se designan por i ^ , j ^ , k ^ , respectivamente. Permiten expresar los vectores por medio de sus componentes cartesianas. Así, i ^ = 1, 0, 0, j ^ = 0, 1, 0, k ^ = 0, 0, 1. Ejemplo Observa la siguiente imagen en que se muestra c → = 1, 4, 6. De esta manera, el vector c → se puede representar como: c → = 1, 4, 6 = i ^ + 4j ^ + 6k ^ . 6 7 5 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 Y Z X 6 7 5 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 Y Z X i ^ i ^ j ^ j ^ k ^ k ^ Glosario vectores unitarios: vectores cuya magnitud o módulo es igual a la unidad. Definen las coordenadas de un vector respecto del origen del plano cartesiano. Si colocas los dedos de tu mano derecha de modo que apunten en la dirección y sentido del vector a → y, luego, doblas los dedos apun- tando hacia b → , la dirección y sen- tido de a → × b → están dados por el dedo pulgar extendido.Esto se cono- ce como la regla de la mano derecha. Pon atención c → UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 127
- 129. 128 | Unidad3 Observa cómo se calcula el producto cruz entre dos vectores, uti- lizando sus coordenadas cartesianas y los vectores unitarios. Sean dos vectores A → = a, b, c y V → = u, v, w A → × V → = (ai ^ + bj ^ + ck ^ ) × (ui ^ + vj ^ + wk ^ ) = au (i ^ × i ^ ) + av (i ^ × j ^ ) + aw (i ^ × k ^ ) + bu ( j ^ × i ^ ) + bv (j ^ × j ^ ) + bw ( j ^ × k ^ ) + cu (k ^ × i ^ ) + cv (k ^ × j ^ ) + cw (k ^ × k ^ ) = av k ^ – aw j ^ – bu k ^ + bw i ^ + cu j ^ – cv i ^ = (bw – cv) i ^ + (cu – aw) j ^ + (av – bu) k ^ Ejemplos Sean dos vectores A → = 3, 4, –1 y V → = 2, –5, 6: 1. A → × V → = (3i ^ + 4j ^ – k ^ ) × (2i ^ – 5j ^ + 6k ^ ) = 6 (i ^ × i ^ ) + –15 (i ^ × j ^ ) + 18 (i ^ × k ^ ) + 8 (j ^ × i ^ ) + –20 (j ^ × j ^ ) + 24 ( j ^ × k ^ ) + –2 (k ^ × i ^ ) + 5 (k ^ × j ^ ) + –6 (k ^ × k ^ ) = –15 k ^ + 18 (–j ^ ) + 8 (–k ^ ) + 24 i ^ + –2 j ^ + 5 (–i ^ ) = 19 i ^ – 20 j ^ – 23 k ^ 2. A → × A → = (3i ^ + 4j ^ – k ^ ) × (3i ^ + 4j ^ – k ^ ) = 9 (i i ^ × i ^ ) + 12 (i ^ × j ^ ) + –3 (i ^ × k ^ ) + 12 (j ^ × i ^ ) + 16 (j ^ × j ^ ) + –4 ( j ^ × k ^ ) + –3 (k ^ × i ^ ) + –4 (k ^ × j ^ ) + 1 (k ^ × k ^ ) = 12 k ^ + –3 (–j ^ ) + 12 (–k ^ ) + –4 i ^ + –3 j ^ + –4 (–i ^ ) = 0 i ^ + 0 j ^ + 0 k ^ = 0 → El producto cruz cumple con las siguientes propiedades: • es distributivo respecto de la suma de vectores. Es decir, a → × (b → + c → ) = (a → × b → ) + (a → × c → ). • a → × (λb → ) = λ (a → × b → ) = (λa → ) × b → . • el producto cruz de un vector con uno de sus ponderados es nulo. Es decir, a → × λa → = 0 → . • no es conmutativo, ya que a → × b → = –(b → × a → ). i ^ × i ^ = 0 j ^ × j ^ = 0 k ^ × k ^ = 0 • Por definición,i ^ ,j ^ y k ^ son vectores perpendiculares entre sí; es decir: i ^ 芯j ^ , j ^ 芯k ^ , k ^ 芯i i ^ . • Aplicando la regla de la mano derecha, se cumple que: i ^ × j ^ = k ^ i i ^ × k ^ = –j ^ j ^ × i i ^ = –k ^ j ^ × k ^ = i i ^ k ^ × i i ^ = j ^ k ^ × j ^ = –i ^ Pon atención En resumen • Para representar vectores unitarios que están en los ejes X, Y y Z, en sentido positivo, utilizamos las letras i ^ , j ^ y k ^ , respectivamente. • El producto cruz, de dos vectores u → × v → , es un vector de módulo | u → | · | v → | · sen(α), con dirección perpendicular al plano determinado por u → y v → , y cuyo sentido se puede determinar mediante la regla de la mano derecha. UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 128
- 130. Vectores | 129 Unidad 3 1.Expresa los vectores a → , b → , c → y d → en términos de los vectores unitarios i ^ y j ^ . 2. Expresa los siguientes vectores, utilizando los vectores unitarios cartesianos, y grafícalos. a. s → = –1, 2, 3 b. t → = –3, – , 0 c. u → = –4, 0, 2 d. v → = 0, 5, –6 3. Considera un cubo de 4 unidades de arista y los posibles vectores que se pueden formar. Completa, en cada caso, con el vector que resulta. a. AB → × AD → b. CD → × CB → c. EA → × EF → d. BF → × BC → 4. Calcula u → × v → para los siguientes vectores u → , v → , en cada caso. a. u → = –1, 5, 3 y v → = 1, 0, 2 d. u → = –3, –3, –3 y v → = –2, –2, –2 b. u → = –2, 2, 0 y v → = 6, –1, 1 e. u → = 8, 0, 1 y v → = –7, 6, 4 c. u → = –1, –1, 3 y v → = 0, 6, 2 f. u → = –6, 6, 6 y v → = –4, –4, 4 5. Demuestra algebraicamente que el producto cruz: a. no es conmutativo. b. es distributivo, respecto de la suma de vectores. c. de un vector por sí mismo es el vector nulo. 1 3 Actividades –4 –4 4 4 X Y H G F B A D E C UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 129
- 131. 130 | Unidad3 • En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores. • Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Qué indica el vector posición de una ecuación de la recta?, ¿y el vector director? 3. ¿Cuál es la diferencia entre la ecuación vectorial de una recta y la ecuación cartesiana? 4. ¿Cómo se calcula el producto cruz de dos vectores?, ¿para qué se utiliza la regla de la mano derecha? 5. ¿En qué casos el producto cruz de dos vectores es cero?, ¿por qué? 6. ¿Se puede calcular el producto cruz entre dos vectores del plano cartesiano?, ¿por qué? 7. ¿Cómo se calcula el producto punto entre dos vectores? Explica. 8. ¿En qué casos el producto punto entre dos vectores es cero?, ¿por qué? 9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto. Organizando lo aprendido VECTORES UNA RECTA EN EL PLANO ECUACIÓN CARTESIANA OPERATORIA permiten representar su considera también mediante ECUACIÓN VECTORIAL VECTOR POSICIÓN VECTOR DIRECTOR PRODUCTO PUNTO VECTORES PERPENDICULARES TRABAJO MECÁNICO VECTORES EN EL ESPACIO TORQUE cuando es cero son a partir de para calcular solo para para calcular PRODUCTO CRUZ UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 130
- 132. Vectores | 131 Miprogreso 1. Obtén el producto punto de los siguientes pares de vectores: a. u → = 3, 2 y v → = 0, 4 b. u → = –2, 1 y v → = 4, 6 c. u → = 5, –2 y v → = –1, 7 2. Dados los vectores u → = x, 2 y v → = 3, 1, determina el valor de x para que: a. sean paralelos. b. sean perpendiculares. 3. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P y tiene vector director d → , en cada caso. Luego, obtén otros tres puntos de cada recta. a. P(2, 1) y d → = –2, 6 b. P(–1, 4) y d → = 3, 8 c. P(0, 5) y d → = 4, –7 4. Determina la ecuación vectorial correspondiente, en cada caso. a. 4x – 5 = 2y + 3 b. 3x – 4y + 7 = 0 5. Los vectores a → , b → , c → y d → de módulo 4 forman un cuadrado. El producto a → × b → es: A. módulo 4, perpendicular hacia afuera. B. módulo 16, paralelo a b → . C. módulo 16, perpendicular hacia afuera. D. módulo 4, perpendicular hacia dentro. E. módulo 16, perpendicular hacia dentro. • Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste algunas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas. ¿Cómo voy? Unidad 3 CRITERIO ÍTEMS PÁGINAS DONDE SE TRABAJA Calcular y aplicar el producto punto de dos vectores. 1 y 2 118 y 119 Determinar la ecuación vectorial de la recta. 3 y 4 120 a 125 Calcular el producto cruz de dos vectores. 5 126 a 129 c → d → a → b → UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 131
- 133. 132 | Unidad3 Ecuación vectorial de la recta en el espacio Anteriormente vimos que para escribir la ecuación vectorial de la recta en el plano es necesario determinar su vector posición y su vector director. Ahora veremos cómo se puede calcular la ecuación vectorial de la recta L en el espacio. Para ello, considera los pun- tos P(3, –3, 5) y Q(1, 4, 6) y observa la imagen. P Z Q Y O X L d → q → p → Observa que en el espacio se requiere de tres coordenadas para ubicar los puntos correctamente, pero esto no significa que se necesiten tres vectores para representar una recta. En cambio, se puede indicar su vector posición y su vector director, tal como en el plano, solo que ahora estos vectores tienen tres coordenadas. En este caso, el vector director está dado por d → = PQ → = –2, 7, 1, luego la ecuación de L es x, y, z = 3, –3, –5 + λ–2, 7, 1. La ecuación vectorial de una recta en el espacio, se escribe como la de una recta en el plano, extendiéndola a tres coordenadas. Es decir, dado un punto P(x0 , y0 , z0 ) y un vector d → = d1 , d2 , d3 , la ecuación vectorial de la recta que pasa por P y tiene dirección d → es: x, y, z = x0 , y0 , z0 + λd1 , d2 , d3 , con λ 僆 IR. O también x, y, z = x0 + λd1 , y0 + λd2 , z0 + λd3 , con λ 僆 IR. Ejemplo Determina si los puntos P(1, 1, 1), Q(0, 1, –1) y R(2, 1, 3) son co- lineales. Si lo fueran, escribe la ecuación vectorial de la recta que los contiene. Primero, se verifica si PQ → y QR → son paralelos: PQ → = 0 –1, 1 –1,–1 –1 = –1, 0, –2 y QR → = 2 – 0, 1 –1, 3 – –1 = 2, 0, 4. Para esto, se determina si existe un número real λ, tal que QR → = λPQ → . En efecto, 2, 0, 4 = λ–1, 0, –2 ⇒ 2 = –λ y 4 = –2λ, de donde se in- fiere que λ = –2. Por lo tanto, los puntos P, Q y R son colineales. Analicemos... • ¿Existe una recta que pase por P y Q?, ¿existe más de una?, ¿cómo lo sabes? • Además de los vectores posición y director, ¿se necesita un nuevo vector para identificar una recta en el espacio?, ¿por qué? • Si la recta L pasa por P y Q, ¿cómo se calcula su vector director? Justifica. Luego, escribe la ecuación vectorial de la recta L. • Dos vectores v → y w → son paralelos si existe un número real λ, tal que v → = λw → . • Dos vectores v → y w → son perpen- diculares si v → · w → = 0, donde a,b,c ·d,e,f = ad+ be+ cf, tal como en el plano. Recuerda que... UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 132
- 134. Vectores | 133 Luegosi se utiliza el vector p → y el vector QR → , la recta que contiene a P, Q y R se puede representar con la ecuación: x, y, z = x0 , y0 , z0 + λd1 , d2 , d3 . x, y, z = 1, 1, 1 + λ2, 0, 4 Ahora, si se utiliza el vector r → y el vector PQ → , se obtiene una ecuación diferente, x, y, z = 2, 1, 3 + λ1 –1, 0, –2, pero que re- presenta la misma recta. Una misma recta puede representarse mediante distintas ecua- ciones vectoriales. Esto sucede porque, por ejemplo, los vectores 2, 0, 4 y –1, 0, –2 representan la misma dirección. Por otra parte, cualquiera de los puntos que pertenecen a la recta puede utilizarse como vector posición. Para verificar que un punto pertenece a una recta, se puede deter- minar cuál es el valor de λ de modo que se satisfaga la ecuación vectorial correspondiente. Observa. 2, 1, 3 pertenece a la recta de ecuación x, y, z = 1, 1, 1 + λ2, 0, 4 porque al remplazar λ = se satisface la igualdad: 1 2 Unidad 3 Z X Y Q P R 2, 1, 3 = 1, 1, 1 + · 2, 0, 4 1 2 Sean L1 : p → = p0 → + λv → y L2 : q → = q0 → + μw → , entonces L1 // L2 solo si v → es paralelo a w → . Del mismo modo, L1 ⊥ L2 solo si v → es perpendicular a w → . Pon atención En resumen • La ecuación vectorial de la recta en el espacio está dada por la expresión x, y, z = p0 → + λd → = x0 , y0 , z0 + λd1 , d2 , d3 , donde d → : vector director de la recta; p0 → x0 , y0 , z0 : vector posición de la recta; λ: parámetro. 1. Escribe la ecuación vectorial de la recta L que pasa por P(12, –5, 7) y Q(0, 6, –3). 2. Determina si los siguientes puntos son colineales. Si así fuera, escribe la ecuación vectorial correspondiente. a. P(1, 0, 2), Q(–1, 1, 1) y R(3, –1, 1) c. P(0, –1, –2), Q(0, 2, 4) y R(0, 1, 2) b. P(–1, –1, –1), Q(–1, 0, 1) y R(–1, –2, –3) d. P(4, 2, 1), Q(3, 7, 3) y R(1, –5, –2) Actividades UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 133
- 135. 134 | Unidad3 Rectas y planos Observa los planos representados en la siguiente imagen. Considera que las rectas y los puntos pertenecen a los planos correspondientes, en cada caso. Π1 Π2 Π4 Π3 L1 L1 L2 C A B L C B A L2 Un plano posee solo dos dimensiones, es ilimitado y contiene infini- tos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales, junto con el punto y la recta. Se considera un concepto primitivo, que no puede definirse; solamente puede ser descrito en relación a otros elementos geométricos similares. Tal como dos puntos distintos definen una única recta que pasa por esos puntos, se puede determinar el plano que contiene al- gunos puntos y/o rectas, cuando cumplen ciertas condiciones: • tres puntos no colineales: tres puntos no colineales determinan un único plano. • dos rectas que se intersecan: dos rectas secantes y distintas de- terminan un único plano. Analicemos... • Dada una recta cualquiera, ¿siempre está contenida en algún plano? Si es así, ¿es el único que la contiene?, ¿por qué? • Dadas dos rectas paralelas, como en el plano Π1 , ¿existe un plano que contenga a ambas rectas? Si existe, ¿es único? Explica. • Si dos rectas no son paralelas, ¿existe un plano que las con- tenga?, ¿alguno de los planos muestra este caso? Justifica. • Si se tiene una recta y un punto que no pertenece a esta recta, como en el plano Π2 , ¿siempre existe un plano que contenga a esa recta y pase por ese punto?, ¿por qué? • Los puntos A, B y C pertenecen al plano Π4 . ¿Existe un plano distinto a él que también los contenga?, ¿por qué? • Si dos puntos distintos definen una única recta que pasa por esos puntos, ¿cuántos puntos definen un único plano que pasa por ellos? Explica. • Tres puntos son colineales si pertenecen a una misma recta. • Si la intersección de dos rectas o de dos planos es no vacía, se dice que son secantes. Recuerda que... Los planos se simbolizan utilizando la letra Π. Pon atención UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 134
- 136. Vectores | 135 Unidad 3 Glosario alabeadas:sedice de dos rectas que están contenidas en planos distintos y no se intersecan. coplanarios:se dice de puntos u otros elementos que pertenecen al mismo plano. 1. Indica ejemplos de modelos físicos en que se observen, en cada caso: a. rectas: secantes, paralelas y alabeadas. b. puntos no colineales. c. rectas y planos: secantes, paralelos y coincidentes. 2. De acuerdo con la figura, ABCDEF es un octaedro, en el cual los puntos A, B, C, D y G son coplanarios, indica en cada caso si la afirmación es verdadera o falsa, según corresponda. Justifica tu decisión. a. Los puntos A, E y F son colineales. b. Los puntos B, C, E y F son coplanarios. c. El segmento AC se interseca con BD. d. El segmento AC se interseca con DF. e. Los puntos A, C y F son coplanarios. f. Los puntos B, D, F y G son coplanarios. 3. Construye un contraejemplo para cada una de las siguientes proposiciones: a. Si dos rectas diferentes se intersecan, existen solo dos planos que las contienen. b. Dados tres puntos colineales, existe un único plano que los contiene. • dos rectas paralelas: dos rectas paralelas y distintas determinan un único plano. • una recta y un punto exterior a ella: una recta y un punto ex- terior a ella determinan un único plano. En resumen • Un plano posee solo dos dimensiones, es ilimitado y contiene infinitos puntos y rectas. Se le considera un concepto primitivo, que no puede definirse. • Se puede determinar un único plano a partir, en cada caso, de: • tres puntos no colineales. • dos rectas secantes y distintas. • dos rectas paralelas y distintas. • una recta y un punto exterior a ella. Actividades E C D G F B A UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 135
- 137. 136 | Unidad3 Ecuación vectorial y ecuación cartesiana de un plano en el espacio Anteriormente vimos cómo se determina la ecuación de la recta en el espacio. Ahora veremos cómo se puede calcular la ecuación vec- torial de un plano en el espacio. Para ello, considera los vectores OA → = 3, 1, 6, OB → = 0, 2, 4 y OC → = 2, 5, 8. Recuerda que para determinar la ecuación de la recta en general, se puede calcular a partir de dos puntos dados, o bien de un punto y su dirección, ya sea que se indique vectorialmente o mediante la pendiente de la recta. De manera similar, para determinar la ecuación de un plano, se puede calcular a partir de tres puntos no colineales o de puntos y rectas que estén contenidas en él. En general, un plano en el espacio Π puede quedar determinado por un punto A (a1 , a2 , a3 ) y dos vectores directores no paralelos entre sí, r → = r1 , r2 , r3 y s → = s1 , s2 , s3 . A partir de la figura, observa que para un punto P(x, y, z) cualquiera del plano Π, se cumple lo siguiente: OP → = OA → + AP → . Por lo que AP → es un vector paralelo al plano Π, es decir, r → , s → y λr → + μs → (con λ, μ 僆 IR), son paralelos al mismo plano, luego OP → = OA → + λr → + μs → . Entonces, la ecuación vectorial del plano Π se escribe: x, y, z = a1 , a2 , a3 + λr1 , r2 , r3 + μs1 , s2 , s3 . Luego, se pueden igualar, componente a componente, para determi- nar las ecuaciones x = a1 + λr1 + μs1 ; y = a2 + λr2 + μs2 ; z = a3 + λr3 +μs3 . Estas ecuaciones se pueden reescribir como un sistema de ecua- ciones, para eliminar los parámetros λ y μ, y así obtener la ecuación general o cartesiana de un plano, cuya forma general es: Ax + By + Cz + D = 0 Analicemos... • ¿Los puntos A, B y C son colineales?, ¿son coplanarios? Justifica. • Determina los vectores AB → y AC → . ¿El punto D = (–5, 10, 2) se puede representar a partir de los vectores AB → y AC → ? Explica. • ¿Cuál es la ecuación vectorial del plano que contiene a los pun- tos A, B y C? Explica. • ¿El punto D pertenece al plano que contiene a los puntos A, B y C?, ¿por qué? P A O Y X X Y Z Z Π s → r → A B C Un vector director de una recta o de un plano es un vector paralelo a dicha recta o plano. Pon atención UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 136
- 138. Vectores | 137 Ejemplo1 Dado un plano Π que pasa por los puntos P (1, 1, 1), Q (2, 1, 2) y R (0, 2, –1), ¿cuál es la ecuación vectorial del plano?, ¿cuál es su ecuación cartesiana? Para obtener la ecuación vectorial pedida, primero se determinan los vectores directores. QP → = p → – q → = 1 – 2, 1 – 1, 1 – 2 = –1, 0, –1 RP → = p → – r → = 1 – 0, 1 – 2, 1 + 1 = 1, –1, 2 Luego, la ecuación vectorial del plano es: Π: x, y, z = 1, 1, 1 + λ–1, 0, –1 + μ1, –1, 2 Igualando componente a componente, se obtienen las ecuaciones: x = 1 + –1 · λ + 1 · μ x – z = –μ x – y – z = –1 y = 1 + 0 · λ + –1 · μ y = 1 – μ z = 1 + –1 · λ + 2 · μ Por lo tanto, la correspondiente ecuación cartesiana es: x – y – z = –1. Observa que P, Q y R satisfacen esta ecuación. Ejemplo 2 Dados tres puntos, P (0, 0, –1), Q (2, 1, 1) y R (4, 1, 4), no colineales. • Determina la ecuación vectorial del plano Π que pasa por los puntos P, Q y R. • Determina un punto T, tal que el cuadrilátero PQRT sea un paralelogramo. ¿El punto T pertenece al plano Π? Justifica. La ecuación del plano que pasa por los puntos P, Q y R es: x, y, z = p → + λ PQ → + μ PR → , con λ, μ 僆 IR. x, y, z = 0, 0, –1 + λ 2, 1, 2 + μ 4, 1, 5 Se obtiene T de la siguiente manera: t → = p → + QR → = p → + (r → – q → ) = p → + r → – q → t → = 0 + 4 – 2, 0 + 1 – 1, –1 + 4 – 1 = 2, 0, 2 Unidad 3 Z Y X P se elimina λ se elimina μ Q R Ya que PQRT debe ser un paralelo- gramo, t → se obtiene de sumar el vector posición p → y el vector QR → , que representa la dirección y me- dida del lado QR → . Observa. Pon atención P T R Q Z Y X • Si P y Q son puntos que per- tenecen a una recta o plano, un vector director posible es QP → . • Cualquier punto de un plano o recta se puede utilizar como vec- tor posición. Recuerda que... UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 137
- 139. 138 | Unidad3 Para comprobar que el punto T(2, 0, 2) pertenece al plano, se deben determinar los valores de λ y μ en la siguiente ecuación: 具2, 0, 2典 = 具0, 0, –1典 + λ 具2, 1, 2典 + μ 具4, 1, 5典 Esto equivale a resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 2 = 2λ + 4μ 0 = λ + μ λ = –1 0 = λ + μ 0 = 1 – μ μ = 1 2 = –1 + 2λ + 5μ Como este sistema tiene solución (los valores de λ y μ satisfacen las tres ecuaciones), el punto T pertenece al plano y, además, con- forma un paralelogramo originado a partir de los puntos P, Q y R. Observa ahora cómo graficar un plano en el espacio. Ejemplo 1 Grafica el plano Π: 5x + 2y + 4z = 20 Primer paso: se determinan los puntos en que el plano corta a los ejes coordenados. Observa. Intersección con el eje X: se remplaza y = 0 y z = 0, entonces 5x = 20 ⇒ x = 4. Se obtiene (4, 0, 0). Intersección con el eje Y: se remplaza x = 0 y z = 0, entonces 2y = 20 ⇒ y = 10. Se obtiene (0, 10, 0). Intersección con el eje Z: se remplaza x = 0 e y = 0, entonces 4z = 20 ⇒ z = 5. Se obtiene (0, 0, 5). Segundo paso: se ubican estos puntos en los ejes coordenados y, luego, se trazan los segmentos que los unen y se grafica el plano. Ejemplo 2 Grafica el plano cuya ecuación cartesiana es 3x + 4y = 12. Primer paso: determina los puntos en que el plano corta a los ejes coordenados. Intersección eje X: se remplaza y = 0 y z = 0, entonces 3x = 12 ⇒ x = 4. Se obtiene (4, 0, 0). Planos destacados en el espacio tridimensional: • Plano horizontal XY ecuación z = 0. • Plano vertical YZ ecuación x = 0. • Plano vertical XZ ecuación y = 0. . Pon atención Z Y X Z X Y Z X Y restando Z X Y 10 4 5 UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 11/11/10 15:42 Página 138
- 140. Vectores | 139 Unidad 3 Interseccióneje Y: se remplaza x = 0 y z = 0, entonces 4y = 12 ⇒ y = 3. Se obtiene (0, 3, 0). Intersección eje Z: se remplaza x = 0 e y = 0, entonces 0 = 12 ⇒ falso. Como esto no es cierto, significa que no existe un punto de inter- sección en el eje Z. Segundo paso: como no hay un punto común al eje Z, el plano que se graficará es paralelo a ese eje, y pasa por los puntos (4, 0, 0) y (0, 3, 0). En resumen • La ecuación vectorial del plano en el espacio está dada por: Π: x, y, z = x0 , y0 , z0 + λd1 , d2 , d3 + μv1 , v2 , v3 , con d → y v → vectores directores del plano, no paralelos entre sí; p0 → x0 , y0 , z0 : vector posición, λ, μ: parámetros. • La ecuación general o cartesiana de un plano en el espacio está dada por: Ax + By + Cz + D = 0. 1. Dados A(2, –2, 1), r → = 1, 0, –1 y s → = –2, 3, 2, determina la ecuación vectorial del plano. 2. Caracteriza el plano formado por los puntos de la forma λ2, 2, 0 + μ0, 0, 1, con λ y μ 僆 IR. 3. Sitúa un cubo de arista 5 con un vértice en el origen, de modo que algunas aristas se ubiquen sobre los ejes X, Y, Z. Determina la ecuación vectorial y cartesiana de los planos portadores de sus caras y las ecuaciones vectoriales de las rectas formadas por la prolongación de sus aristas. 4. La ecuación vectorial de un plano es x, y, z = 0, 0, 2 +λ 2, 4, 4 + μ 2, 6, 7, con λ, μ 僆 IR. Determina si es paralelo a alguno de los ejes X, Y o Z. 5. Grafica el plano que pasa por el punto (1, 6, 1) y es paralelo al plano XZ. 6. Determina la ecuación cartesiana y el gráfico de un plano, dada la ecuación: x, y, z = λ, 3μ, μ con λ, μnúmeros reales. 7. Analiza la suma λv → + μ0, 0, 1 para cualquier valor de los parámetros λy μ, con v → un vector en el espacio tridimensional. ¿Qué se obtiene? Actividades Z X Y 3 4 UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 139
- 141. 140 | Unidad3 Posición relativa entre planos Observa las siguientes figuras, donde se representan las posibles posiciones entre dos planos en el espacio. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Las figuras presentadas nos muestran las posibles posiciones entre dos planos en el espacio, que se pueden describir como: • planos paralelos: cuando no tienen puntos de intersección. • planos secantes: cuando su intersección determina una recta y, por ende, posee infinitos puntos de intersección: todos los pun- tos que pertenecen a esa recta. • planos coincidentes: cuando tienen todos sus puntos en común. Observa que la intersección de dos planos da origen a distintos semiplanos que se intersecan. El ángulo de intersección entre dos semiplanos se denomina ángulo diedro. En la figura, se observa que P se ubi- ca en una cara y Q en la otra (cada cara corresponde a un semiplano). Mientras, los puntos A y B se ubican en la arista del diedro (recta común a los dos semiplanos). Analicemos... • Si se tiene una recta cualquiera, ¿el plano que contiene a esa recta es único?, ¿por qué? • Dados dos planos distintos, ¿existe una recta que pertenezca a ambos planos?, ¿en cuál de las figuras anteriores se representa esta situación? Explica. • Si se tienen tres planos distintos, ¿existe un punto que pertenezca a los tres planos? Justifica. Glosario ángulo diedro: porción de espacio comprendida entre dos semiplanos que tienen un borde (recta) común y están situados en planos distintos. Cara Cara Ángulo diedro Arista Π2 Π2 Π1 Π1 Π1 Π2 A C B A B Q P Π2 Π1 Una recta contenida en un plano lo divide en dos semiplanos. Pon atención UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 140
- 142. Vectores | 141 Losángulos diedros se simbolizan de la siguiente manera: ⬏(P, AB, Q), donde P y Q representan puntos de cada semiplano, respectivamente, y AB representa la recta común a ambos semi- planos. Dado el nombre de cada semiplano, un ángulo diedro tam- bién se puede representar por: ⬏(Π1 , AB, Π2 ). Veamos ahora cómo conocer la medida del ángulo diedro. Observa que el ángulo diedro es igual al ángulo formado por dos rectas contenidas cada una en un semiplano, de manera tal que ambas sean perpendiculares a la intersección de los semiplanos, AB, en un mismo punto de ella. En la figura, la medida del ángulo diedro es igual a la medida de ⬏POQ. Unidad 3 Q P B O A Π2 Π1 En resumen • Posiciones relativas entre dos planos: las posibles posiciones entre dos planos en el espacio se pueden describir como paralelos, secantes o coincidentes. • El ángulo diedro entre dos planos es la porción de espacio comprendida entre dos semiplanos que tienen una recta común y están situados en planos distintos. 1. Representa gráficamente las siguientes situaciones: a. El plano Π1 tiene origen a partir de la recta Lβ y un punto Z exterior a ella. b. El plano Π1 es secante con Π2 , dando origen a la recta L1 , que es perpendicular a la recta L2 , que pertenece a Π2 . c. El plano Π1 es perpendicular con π2 , dando origen a la recta L1 , que es paralela a la recta L2 , que pertenece a Π1 . d. Dados los planos Π1 , Π2 y Π3 , cada uno de ellos interseca a los otros dos planos. ¿Cuántos semiplanos se forman en esta representación gráfica? 2. Dados dos semiplanos Π1 y Π2 que se intersecan en una recta L, y un punto P1 en Π1 , un punto P2 en Π2 y un punto Q en L, ¿qué medidas puede tener el ángulo (no diedro) formado por P1 , Q y P2 , cuyo vértice es Q? Explica. Actividades UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 141
- 143. En años anterioresvimos que dos rectas paralelas y distintas no se intersecan y dos rectas secantes se intersecan en un solo punto. Como un plano contiene infinitas rectas, estas relaciones se pueden extender al analizar una recta y un plano. Observa las siguientes figuras, donde se representan las posibles posiciones relativas entre una recta y un plano en el espacio. 142 | Unidad 3 Intersección de una recta y un plano, y entre dos planos Si todos los puntos de una recta dada pertenecen a un plano dado, se dice que la recta está contenida en el plano. En cambio, si ningún punto de esta recta pertenece al plano, se dice que la recta y el plano son paralelos. Por último, cuando la recta no está contenida ni es paralela al plano, lo interseca en un solo punto. En este caso, se dice que son secantes. En las figuras anteriores se representaron las posibles posiciones relativas entre una recta y un plano en el espacio. Pero esto no solo se puede ver gráficamente. También se puede determinar analítica- mente; es decir, a partir de sus respectivas ecuaciones. Observa. Ejemplo ¿Cuál es la intersección de la recta L: x, y, z = 4, 6, –2 +λ2, 3, 0 y el plano Π: 4x + 3y – z = 2? Sea x0 , y0 , z0 el punto que pertenece al plano y a la recta. Analicemos... • ¿En qué casos la recta no se interseca con el plano?, ¿en cuál de las figuras anteriores se representa esta situación? Explica. • Si se tiene una recta y un plano, ¿puede ser que la intersección entre ellos tenga infinitas soluciones?, ¿por qué? ¿En cuál de las figuras anteriores se representa esta situación? Explica. • ¿Puede ocurrir que la intersección entre una recta y un plano tenga más de una solución, pero no infinitas? Justifica. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Π Π Π L L L P UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 142
- 144. Vectores | 143 Entonces,se tiene: 4x0 + 3y0 – z0 = 2 x0 , y0 , z0 = 4 + 2λ0 , 6 + 3λ0 , –2, para algún valor λ0 . Para resolverlo se pueden remplazar las ecuaciones de cada coor- denada, en la ecuación del plano y, luego, obtener el valor de λ0 . 4(4 + 2λ0 ) + 3(6 + 3λ0 ) – (–2) = 2 16 + 8λ0 + 18 + 9λ0 + 2 = 2 λ0 = –2 Por lo tanto, al remplazar λ0 = –2 en la ecuación de la recta: x0 = 4 + 2 · –2 = 0; y0 = 6 + 3 · –2 = 0; z0 = –2. El punto obtenido es (0, 0, –2). Este único punto satisface la ecuación del plano y la de la recta; por lo tanto, en este caso, la recta es se- cante al plano. Unidad 3 Π3 Π2 Π1 Π1 Π1 Π2 Π3 Π3 Π2 Π1 Π2 Π3 A C B Planos y sistemas de ecuaciones Las representaciones gráficas de planos en el espacio permiten vi- sualizar las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales, de tres ecuaciones con tres incógnitas. Ejemplos Siempre que tres planos se intersequen en una misma recta, se puede inferir que el sistema de ecuaciones asociado a la repre- sentación gráfica tiene infinitas soluciones, ya que una línea recta está constituida por infinitos puntos. Si dos planos paralelos son secantes a un tercer plano, se puede inferir que el sistema de ecuaciones asociado a la representación gráfica no tiene solución, ya que ningún punto pertenece a los tres planos. Si tres planos son coincidentes, el sistema de ecuaciones asociado a la representación gráfica tiene infinitas soluciones, ya que todos los puntos del plano pertenecen también a los otros dos planos. Cuando tres planos se intersecan en un único punto, la solución del sistema de ecuaciones asociado a la representación gráfica tam- bién es única. UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 143
- 145. 144 | Unidad3 Por otra parte, la intersección entre dos planos puede corresponder a infinitas soluciones, ya sea porque corresponden al mismo plano o a una recta que pertenece a ambos planos, o bien a ninguna solu- ción, cuando estos planos son paralelos. Ejemplo Determina a qué corresponde la intersección entre los siguientes planos y escribe su ecuación vectorial. Π1 : 4x + 3y + z = 6 Π2 : 3x + 4y + 4z = 12 Para decidir si existe la intersección entre estos planos, primero se pueden graficar los planos, remplazando por 0 las coordenadas correspondientes para determinar los puntos de intersección en cada eje. Observa. Se pueden ubicar estos seis puntos en el sistema de coordenadas y, luego, trazar los segmentos que unen los puntos para cada plano, para visualizar si existe intersección. Observa en la gráfica que P y Q son puntos de intersección de ambos planos. Gráfica- mente, la intersección de estos planos es una recta. Pero es nece- sario justificarlo algebraicamente. Observa que el punto P se ubica en el plano XZ, por lo que su se- gunda coordenada es cero. Remplazando este valor en las ecua- ciones, se pueden determinar sus coordenadas. Luego, P tiene coordenadas . Como este punto P existe, se concluye que los planos Π1 y Π2 no son paralelos, ya que P pertenece a ambos planos. Ahora, el punto Q se ubica en el plano YZ, por lo que su primera coordenada es cero. Remplazando este valor en las ecuaciones, se pueden determinar sus coordenadas. 12 13 0 30 13 , , ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ Dados dos planos en el espacio,estos pueden ser paralelos (y distintos), secantes (y distintos) o coincidentes. Recuerda que... Eje X Eje Y Eje Z Π1 ( , 0, 0) (0, 2 , 0) (0, 0, 6) Π2 (4, 0, 0) (0, 3, 0) (0, 0, 3) 3 2 3 2 4 2 3 Π1 Π2 3 6 Z X Y Q P y = 0 x = , z = 30 13 12 13 4x + z = 6 3x + 4z = 12 x = 0 y = z = 3 2 3y + z = 6 4y + 4z = 12 UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 144
- 146. Vectores | 145 LuegoQ tiene coordenadas . Entonces, los planos tienen dos puntos de intersección, P y Q. Esto significa que pueden ser se- cantes, o bien coincidentes. Falta justificar por qué no son coincidentes. Si fueran coincidentes, todo punto de Π1 sería también un punto de Π2 . En cambio, si existe un punto que pertenezca a un plano, pero no al otro, los planos serían secantes. Por ejemplo, R(1, 1, –1) pertenece a Π1 , pero al remplazarlo en la ecuación del plano Π2 se obtiene 4 · 1 + 3 · 1 + 4 · –1 = 3, como 3 ⫽ 12, luego R no pertenece al plano Π2 , y los planos son secantes. Para determinar la ecuación vectorial de la recta correspondiente a la intersección, observa que la recta pasa por el punto P y tiene dirección PQ → = – , , – . Entonces, la ecuación vectorial de la recta es: x, y, z = , 0, + λ– , , – . Si quisiéramos escribir su ecuación cartesiana, la recta en el espacio se representa como la intersección de dos planos que la contienen. Es decir, las ecuaciones cartesianas de la recta, que deben conside- rarse simultáneamente, son, en este caso: 4x + 3y + z = 6 3x + 4y + 4z = 12 Porque corresponden a los planos Π1 y Π2 que contienen a la recta. 12 13 3 2 12 13 0 3 2 3 2 , , ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 30 13 3 2 12 13 21 26 21 26 Unidad 3 En resumen • Las posibles posiciones relativas entre una recta y un plano son: • la recta está contenida en el plano, si todos los puntos de la recta pertenecen al plano. • paralelos (y distintos), si ningún punto de esta recta pertenece al plano. • secantes, si la recta interseca al plano en un solo punto. • Las posibles posiciones relativas entre dos planos en el espacio son: • coincidentes, si tienen todos los puntos en común. • paralelos (y distintos), si no tienen ningún punto en común. • secantes, si los planos se intersecan en una sola recta. • La recta en el espacio se representa como la intersección de dos planos distintos que la contienen. Se les llama las ecuaciones cartesianas de la recta, y deben considerarse simultáneamente. UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 145
- 147. 146 | Unidad3 • En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores. • Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Por qué se necesitan dos vectores directores para escribir la ecuación vectorial del plano? 3. ¿Cuál es la diferencia entre el vector director y el vector posición? Justifica. 4. ¿Cómo se relaciona la posición relativa de dos o más planos en el espacio con la cantidad de soluciones del correspondiente sistema de ecuaciones lineales? Explica. 5. ¿Cuál es la ventaja de la ecuación vectorial del plano en comparación con su correspondiente ecuación cartesiana? Justifica. 6. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto. Organizando lo aprendido RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO REPRESENTACIÓN ALGEBRAICA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES POSICIÓN RELATIVA cuya se relaciona con cuya entre puede ser ECUACIÓN CARTESIANA VECTOR POSICIÓN VECTOR DIRECTOR depende de pueden ser pueden ser DOS PLANOS PARALELOS UNA RECTA Y UN PLANO ECUACIÓN VECTORIAL CONTENIDA SECANTES PARALELOS COINCIDENTES SECANTES ÁNGULO DIEDRO forman UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 146
- 148. Vectores | 147 Unidad 3 Miprogreso 1. Determina si los siguientes puntos son colineales. Si así fuera, escribe la ecuación vectorial correspondiente. a. P(1, 0, 2), Q(–1, 1, 1) y R(3, –1, 1) c. P(2, 5, 1), Q(–6, –15, –3), R(4, 20, 2) b. P(–1, –1, –1), Q(–1, 0, 1) y R(–1, –2, –3) d. P(1, 2, 1), Q(4, 5, 4), R(–2, –1, –2) 2. Grafica el plano 6x + 4z = 24. ¿A qué eje es paralelo? 3. Determina la ecuación cartesiana del plano que pasa por el punto A (1, 3, 2) y es paralelo a los vec- tores v → = 2, 5, 1 y u → = –3, 4, –1. 4. Determina la posición relativa entre los siguientes planos, en cada caso, y escribe la ecuación vectorial de la recta correspondiente a su intersección, si existe. a. Π1 : 2x + 3y – z – 4 = 0 y Π2 : x – y + z – 4 = 0. b. Π1 : 3x + 4y – 2z + 7 = 0 y Π2 : x – y – 3z + 3 = 0. c. Π1 : x + 2y – z = 1 y Π2 : 10x + 10y + 1 = 0 d. Π1 : y = 1 y Π2 : x + y + z = 0 5. ¿Cuál es la ecuación vectorial de la recta correspondiente a la intersección de Π1 : x – y + 2z = 8 y Π2 : x + 2y + 8z = 20? A. x, y, z = 1, –1, 2 + λ1, 2, 8 B. x, y, z = 0, –2, 3 + λ4, –2, –1 C. x, y, z = 0, –2, 3 + λ4, 2, –1 D. x, y, z = 0, –2, –3 + λ4, 2, 1 E. x, y, z = 4, 2, –1 + λ0, –2, 3 • Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas. ¿Cómo voy? CRITERIO ÍTEMS PÁGINAS DONDE SE TRABAJA Determinar si tres puntos son colineales y escribir la ecuación vectorial de la recta que pasa por ellos. 1 132 y 133 Graficar planos dadas sus ecuaciones. 2 134 a 139 Determinar la ecuación cartesiana del plano. 3 136 y 137 Determinar la posición relativa y la intersección entre dos planos. 4 y 5 140 a 145 Unidad 3 UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 147
- 149. Cómo resolverlo 148 |Unidad 3 Observa, paso a paso, las estrategias utilizadas en la resolución del siguiente problema. Dado un paralelogramo ABCD, se conocen tres vértices: A(1, –2), B(6, 1) y D(–6, 3). a. Calcula el cuarto vértice C. b. Determina el punto medio M del segmento AC. c. Escribe la ecuación vectorial de la recta L que contiene a la diagonal BD. d. Determina si los puntos M, B y D son colineales. Solución Para facilitar la resolución del problema, lo representaremos gráficamente. a. Observa que c → está dado por la suma de b → y BC → , es decir, c → = b → + BC → c → = b → + AD → c → = b → + (d → – a → ) = (6, 1) + (–6, 3) – (1, –2) = (–1, 6) Entonces, el vértice C tiene coordenadas (–1, 6). b. El punto medio se calcula componente a componente, por lo tanto: c. Se escribe la ecuación vectorial de la recta L que contiene a la diagonal BD. Para el vector posición se puede considerar tanto b → como d → . Y el vector director está dado por BD → . L = b → + λ · BD → = b → + λ ( d → – b → ) L = 6, 1 + λ (–6, 3 – 6, 1) = 6, 1 + λ –12, 2 d. Por último, determinar que M, B y D sean colineales equivale a establecer si el punto M pertenece a la recta L, que contiene a la diagonal BD. Es decir, ¿existe λ tal que 0, 2 = 6, 1 + λ –12, 2? Remplazando λ = se obtiene la igualdad, luego M pertenece a la recta L. 1 2 7 6 5 4 3 2 1 –1 –1 1 2 3 4 5 6 B A D C –2 –3 –4 –5 –6 –2 M – , – , = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = ( ) 1 1 2 2 6 2 0 2 en un paralelogramo, los lados paralelos corresponden a un mismo vector, por lo tanto: B BC → = AD → El punto medio entre (a, b) y (d, c) está dado por . a d b c , + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 2 2 Recuerda que... UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 148
- 150. Vectores | 149 Unidad 3 Actividades 1.Aplica el procedimiento aprendido para resolver las siguientes situaciones: a. Dado un paralelogramo ABCD, se conocen tres vértices: A(2, 1), B(6, 4) y D(5, 5). • Calcula el cuarto vértice C. • Escribe la ecuación vectorial de la recta L1 , que contiene a la diagonal AC, y la de la recta L2 , que contiene a la diagonal BD. • Determina el punto de intersección de las diagonales AC y BD. • Demuestra que las diagonales AC y BD son perpendiculares. • Decide y justifica si el paralelogramo ABCD es un rombo. 2. Busca un procedimiento distinto para resolver los problemas anteriores. Respecto del procedimiento anterior, ¿cuál es más simple?, ¿por qué? 3. Resuelve los siguientes problemas utilizando el procedimiento aprendido u otro. Compara el procedi- miento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a. Determina si los siguientes puntos son colineales, en cada caso. • A(–1, –1, –1), B(–1, 1, 0) y C(–1, 0, 1) • D(7, 0, 1), E(1, 1, 0) y F(0, 5, 2) • M(0, 2, 1), N(0, –2, –1) y O(0, –4, 0) • P(1, 2, 3), Q(2, 3, 4) y R(4, 5, 6) Escribe la ecuación vectorial correspondiente para cada trío de puntos colineales encontrados anteriormente. b. Comprueba si el cuadrilátero ABCD, cuyos vértices son A(–1, –2), B(8, 4), C(5, 5) y D(2, 3), es un trapecio. Justifica. c. La recta que pasa por los puntos A(–3, 1) y B(2, 4), ¿es perpendicular a la recta que pasa por los puntos C(–1, 3) y D(1, 1)? Explica. d. Dados los puntos A(1, 2, 3), B(2, 5, 1) y C(3, 0, –4), determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto C y que es paralela a la recta que pasa por los puntos A y B. e. Una araña está en un vértice de una sala cuyas dimensiones son 7 m de largo, 5 m de ancho y 3 m de alto, y desea ir al vértice diametralmente opuesto. Determina la distancia mínima que recorrería y el vector desplazamiento que realizaría. UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 149
- 151. 150 | Unidad3 En terreno En terreno Sistema de Posicionamiento Global El GPS es un sistema militar desarrollado por Estados Unidos y compuesto por una red de 24 satélites que giran alrededor de la Tierra a unos 20 200 km de distan- cia, y receptores GPS, que permiten determinar una posición en cualquier lugar del planeta. Para ubicar un punto se utilizan como mínimo cuatro satélites. El dispositivo GPS recibe las señales y las horas de cada uno de ellos. Con estos datos y por triangu- lación calcula la posición en el mundo donde se encuentra. O sea, el GPS permite a cualquier persona, en cualquier lugar del mundo, saber en qué posición física del globo terráqueo está en ese momento. Este sistema tiene variadas aplicaciones en nuestro país; por ejemplo, la existencia del Sistema Nacional de Control Horario, vía GPS, permitió la ubicación rápida y oportuna de un bus sustraído por desconocidos. El bus fue ubicado por operadores del sistema, quienes indicaron que iba sobre los 128 km/h, con destino a Melipilla. Carabineros fue alertado respecto de la situación, y dispuso instrucciones a su per- sonal para la ubicación y recuperación del vehículo. Fuente: Teletrece Internet, http://teletrece.canal13.cl, Diario El Mercurio, http://www.emol.com/ Receptor GPS. UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 150
- 152. Actividades 1. Averigua quées el GPS y qué datos se pueden obtener si se cuenta con un receptor de GPS. 2. ¿Para qué situaciones puede ser útil contar con un receptor de GPS?, ¿en qué casos se vuelve indispen- sable? Explica. 3. ¿Cómo se localiza un punto cualquiera de la Tierra utilizando las coordenadas geográficas? Por ejemplo, ¿cómo podrías indicar exactamente la ubicación de tu casa? 4. ¿Cuáles son las coordenadas geográficas de tu ciudad o localidad?, ¿cuál es la diferencia con las coordenadas de la capital de tu región?, ¿cómo se puede calcular la distancia entre tu localidad y la capital regional usando estos datos? Explica. Investiguemos... 1. ¿En qué consisten las coordenadas geográficas?, ¿cómo se asignan los valores de la latitud y la lon- gitud? ¿En qué lugar se encuentra la latitud 0º?, ¿y la longitud 0º? 2. ¿A qué distancia en la superficie terrestre corresponde la diferencia de un grado de latitud?, ¿y en el caso de un grado de longitud? 3. Analicen las semejanzas y diferencias entre las coordenadas geográficas y las coordenadas esféricas. ¿Por qué las coordenadas geográficas consideran solo dos valores, aunque se utilizan para localizar un punto en el espacio? 4. En general, ¿cómo se representa un vector cualquiera en coordenadas esféricas (en el espacio) o polares (en el plano)?, ¿cuál es la diferencia respecto de las coordenadas cartesianas? 5. ¿Cómo funciona el GPS?, ¿en qué consiste el proceso de triangulación? Expliquen. Comenten sobre las aplicaciones más importantes del GPS actualmente. 6. En la página de MundiVideo – Coordenadas decimales, sexagesimales y UTM, disponible en el sitio web http://www.mundivideo.com/coordenadas.htm, pueden observar las coordenadas geográficas de cualquier punto de la Tierra. a. Ingresen la dirección de su escuela, por ejemplo, y observen los datos de su latitud y longitud. Si no reconocen el lugar, prueben con el nombre de la localidad o de un pueblo cercano. b. Localicen en el mapa otro punto de interés; por ejemplo, la casa de alguno de ustedes, y hagan clic sobre él. Comparen estos datos con los anteriores y calculen la distancia entre ellos. ¿Corresponde a la distancia real?, ¿por qué? Evaluemos nuestro trabajo • ¿Qué aprendieron acerca de las coordenadas geográficas? • ¿Qué aprendieron respecto del funcionamiento y utilidad del GPS? • Comenten con sus compañeros y compañeras. ¿Qué pueden concluir? Vectores | 151 Unidad 3 UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 151
- 153. 152 | Unidad3 Síntesis de la Unidad A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Construye con ellos un mapa conceptual, en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos. A partir de lo trabajado en la Unidad, responde: 1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Cuáles son los elementos que definen un vector? 3. ¿Cuál es la diferencia entre vector posición y vector dirección? Explica. 4. Dados dos planos distintos, ¿cuáles son las posibles posiciones relativas entre ellos? Justifica. 5. La intersección entre un plano y una recta en el espacio, ¿cuántas posibles soluciones tiene? Explica. 6. ¿En qué se diferencia la ecuación vectorial de un plano y su ecuación cartesiana? Explica. 7. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto. VECTORES SENTIDO DIRECCIÓN VECTOR POSICIÓN ECUACIÓN CARTESIANA ESPACIO VECTOR DIRECTOR ECUACIÓN VECTORIAL ÁNGULO DIEDRO MAGNITUD PRODUCTO PUNTO RECTA PLANO UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 152
- 154. Vectores | 153 Evaluación I.Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta. 1. Un vector se define por su módulo y su dirección. 2. El resultado del producto punto entre dos vectores en el espacio también es un vector. 3. El producto cruz de dos vectores en el plano cartesiano no se puede calcular. 4. La imagen de una figura bajo una homotecia es semejante a la figura original. 5. Para representar una recta mediante su ecuación vectorial, solo se necesita conocer su vector posición. 6. La intersección entre dos planos siempre es una recta en el espacio. 7. La ecuación vectorial de una recta en el espacio es similar a la de la recta en el plano; en el espacio los vectores tienen tres coordenadas. 8. Existen casos en que la intersección entre una recta y un plano no existe. II. Aplica lo que aprendiste en la Unidad para desarrollar las siguientes actividades. 1. Determina si los planos Π1 : x + y + z = 2 y Π2 : x + 3y + z = 5 son secantes. 2. Considera un cuadrado ABCD, tal que el punto de intersección de sus diagonales es G. Haz el dibujo en tu cuaderno de las siguientes transformaciones homotéticas: a. H1 º H2 , con H1 (A, 3) y H2 (A, –2) b. H3 º H4 , con H3 (G, –1) y H4 (G, 2) 3. Dadas las siguientes parejas de puntos: ubícalas en el plano cartesiano; calcula los componentes del vector AB → y calcula su módulo en cada caso. a. A(1, 3); B(–4, 5) b. A(4, 0); B(–1, –5) c. A(2, 3); B(–1, 4) d. A(0, 6); B(–3, 7) 4. En el pizarrón se dibuja un vector horizontal de 12 unidades y otro de 10 unidades que forma un ángulo de 30º con el anterior. a. ¿Cuál es la dirección del producto de a → × b → ? b. ¿Cuál es el sentido de este vector? c. ¿Cuál es el módulo de este producto cruz? d. ¿Cuál es el área del paralelogramo que se forma con estos vectores? 5. Determina el valor que debe tomar x para que los siguientes vectores sean perpendiculares: a. 1, –2 y x, 3 b. 0, 5 y 2, x c. 0, 3 y x, 2 Unidad 3 UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 153
- 155. 154 | Unidad3 1. Los vectores de la figura tienen la misma magnitud. Si r → = 2a → – b → + c → , entonces el vector que mejor representa la dirección de r → es: A. B. C. D. E. 2. Los módulos de los vectores a → , b → , c → son 4, 3 y 2 unidades, respectivamente. Si r → = 2a → – 2b → – 3c → , entonces el módulo de r → es: A. 4 unidades. B. 8 unidades. C. 14 unidades. D. 16 unidades. E. 18 unidades. 3. Los vértices de un hexágono regular definen los vectores de la figura. ¿Cuál de las siguientes relaciones es incorrecta? A. a → + b → + c → = 0 B. e → + d → = b → – a → C. e → – c → = a → D. d → + a → = –2c → E. e → – d → = 3c → 4. La ponderación entre λ= 5 y a → = 1, 5 es: A. 5 B. 25 C. 1, 5 D. 5, 25 E. Ninguna de las anteriores. 5. Si a → = 2, 1; b → = 0, 1, entonces a → · b → = A. 1 B. 2 C. 3 D. 2, 1 E. 0, 1 6. Sean a → = 2, 3 y b → = 7, 2, entonces a → · b → + b → es: A. 29 B. 21, 8 C. 27, 22 D. 27 E. No se puede determinar. 7. Los vectores de la figura forman un cuadrilátero. ¿Cuál de las siguientes relaciones entre ellos es correcta? A. a → + d → = b → + c → B. a → – c → = b → – d → C. a → + d → = c → – b → D. a → + c → = d → – b → E. a → + b → = c → + d → III. Resuelve los siguientes ejercicios y selecciona la alternativa correcta en cada caso. a → b → c → a → a → a → b → b → b → c → c → e → d → d → c → UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 154
- 156. Vectores | 155 8.Si los vectores a → , b → y c → se encuentran en un plano cartesiano, ¿cuál o cuáles de las siguientes relaciones es o son correctas? I. a → = –5i ^ – 2j ^ II. b → = –3i ^ – 4j ^ III. c → = 3i ^ – 3j ^ A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. I, II y III E. Ninguna de las anteriores. 9. Si a → = 8i ^ – 11j ^ y b → = – 5i ^ + 7j ^ , ¿cuál es el vector c → tal que a → + b → + c → = 0? A. 3i ^ – 4j ^ B. 13i ^ –18j ^ C. –3i ^ + 4j ^ D. –3i ^ – 4j ^ E. Ninguna de las anteriores. 10. Si P es un punto de la recta MN y Q es un punto que no pertenece a esta recta, entonces es falso que: A. hay una recta perpendicular a MN que pasa por Q. B. hay un plano que contiene MN. C. P, Q y M son colineales. D. P, M y N son colineales. E. hay un solo plano que pasa por Q, M y N. 11. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la misma recta que la ecuación vectorial x, y = 1, 1 + λ–1, 1? A. y – x – 2 = 0 B. y + x – 2 = 0 C. y + x + 2 = 0 D. –y – x – 2 = 0 E. –y + x – 2 = 0 12. La ecuación analítica y la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto A(–2, 1) y es paralela a la recta y = 2x + 3 es: A. y = 2x + 5λ ; L = λ B. y = 2x – 1 ; L = λ1, 2 + –5, 0 C. y = 2x + 5 ; L = λ1, 2 + –5, 0 D. y = 2x – 1 ; L = λ 13. (Demre, 2003) ¿Cuál de las siguientes rectas del plano cartesiano es representada por la ecuación x = a? A. La recta paralela al eje X que pasa por el punto (0, a). B. La recta paralela al eje X que pasa por el punto (a, 0). C. La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (0, a). D. La recta paralela al eje Y que pasa por el punto (a, 0). E. La recta que pasa por el origen y por el punto (a, a). Unidad 3 E. y = 2x + 5 ; L = λ 1 2 1 5 2 0 , – , + a → b → c → Y X 1 2 1 5 2 0 , – , + 1 2 1 5 2 0 , – , + Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. UNIDAD 3 (98-155)C :Maquetación 1 4/11/10 16:50 Página 155
- 157. Áreas y volúmenes 4 156|Unidad 4 Prismas y pirámides Cilindros y conos Esfera y cuerpos de revolución Principio de Cavalieri Unidades de medida de área y volumen Formular y verificar conjeturas respecto de los cuerpos generados a partir de traslaciones o rotaciones de figuras planas. Resolver problemas sobre área y volumen de cuerpos geométricos. Dibujar las proyecciones de un cuerpo en el plano. TRABAJANDO CON: APRENDERÁS A: UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:51 Página 156
- 158. Áreas y volúmenes| 157 Conversemos de... Para crear piezas de cerámica, algunos alfareros utilizan el torno, que es una máquina consistente en una superficie redonda y plana, llamada platina, unida a un eje que se hace girar a una ve- locidad que varía de 30 a 120 revoluciones por minuto (rpm) aproximadamente. Sobre la platina, el alfarero modela con las dos manos mojadas –una en la parte externa y la otra en el interior– una porción de arcilla o greda. Debido a su naturaleza, los trabajos realizados mediante el empleo del torno son casi exclusivamente piezas con simetría radial respecto de un eje vertical. 1. ¿Qué es la simetría radial? Explica. 2. ¿Cómo se puede estimar el volumen de una vasija como la de la imagen? Comenta con tus compañeros y compañeras qué estrategias podrían utilizar. 3. Si supieras la medida de su sección longitudinal, ¿podrías calcular el volumen de la vasija?, ¿por qué? 4. Si la medida de la sección longitudinal de dos vasijas fuera la misma, ¿tendrían el mismo volumen? Justifica. Latinstock UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:51 Página 157
- 159. 158 | Unidad4 ¿Cuánto sabes? 1. Completa las siguientes equivalencias: a. 4,51 m = ____ cm e. 0,0079 cm2 = ____ m2 b. 3 600 000 dm = ____ m f. 5000 dm2 = ____ m2 c. 9350 cm2 = ____ dm2 g. 5,606 cm3 = ____ m3 d. 8400 dm2 = ____ cm2 h. 4,0009 m3 = ____ cm3 2. Calcula el área y perímetro de los siguientes polígonos regulares: a. Un pentágono de lado 1 cm y apotema 0,69 cm. b. Un hexágono cuyo lado mide 2 cm y su apotema 1,73 cm. c. Un octógono cuyo lado mide 2 cm y su apotema 2,41 cm. d. Un decágono de lado 4 cm y apotema 6,16 cm. e. Un dodecágono cuyo lado mide 6 cm y su apotema 11,2 cm. 3. Calcula el área coloreada de las siguientes figuras, considerando la unidad de medida indicada, en cada caso. a. A = dm2 b. A = m2 c. A = cm2 4. Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal mide cm. 5. El área de un cuadrado circunscrito a una circunferencia es 144 m2 . Calcula el área del círculo correspondiente. 6. Escribe la expresión para representar el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia, en función de su radio. 7. Calcula el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 8 cm. 4 2 Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno. 15 m 7,5 m 2 m 3 m UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:51 Página 158
- 160. 8. Determina elárea de un triángulo cuya base y altura son respecti- vamente el lado del triángulo equilátero y el lado del cuadrado, ambos inscritos en una circunferencia de radio cm. 9. En la figura, el cuadrado ABCD está inscrito en una circunferencia y circunscrito a otra. Si el lado del cuadrado mide 10 m, calcula la razón entre el área de ambos círculos. Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. 4 2 Áreas y volúmenes | 159 Unidad 4 ¿Qué debes recordar? • Un polígono es una figura geométrica plana, limitada por al menos tres segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados. • Se llama polígono regular a todo polígono cuyos lados son de igual medida y sus ángulos son congruentes. • El apotema es la distancia entre el centro de un polígono regular y uno cualquiera de sus lados. • El área de un polígono regular se puede calcular mediante la expresión A = , donde P es el perímetro del polígono y ap es su apotema. • Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices pertenecen a ella. • Un polígono está circunscrito a una circunferencia si todos sus lados son tangentes a ella. • Un ángulo mide un radián si su arco tiene igual longitud que el radio. Utilizando esta unidad de medida, un ángulo puede tomar valores entre 0 y 2π radianes. • El perímetro y el área de un círculo de radio r se pueden calcular mediante las expresiones P = 2πr y A = πr 2 , respectivamente. • Algunas equivalencias en las unidades de medida son: • 1 m = 10 dm = 100 cm • 1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 • 1 m3 = 1000 dm3 = 1 000 000 cm3 P · ap 2 ap l D C A B h b b h UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:51 Página 159
- 161. 160 | Unidad4 Área y volumen Analicemos... Para indicar el tamaño de una caja de cartón, lo común es señalar sus dimensiones, es decir, las medidas de su largo, ancho y alto. Pero para otros envases, como los frascos, por ejemplo, referirse a sus dimensiones puede no ser muy útil. Observa. Para responder a las preguntas planteadas podemos considerar que el tamaño de un envase, en general, puede describirse según la cantidad de espacio que ocupa, lo que no depende de la forma del envase y puede ser más claro que señalar cada una de sus dimensiones. Para calcular el volumen de un cuerpo, se compara con un cubo de una unidad de arista. En el sistema métrico decimal, la unidad de volumen es el metro cúbico (correspondiente al volumen de un cubo de un metro de arista), aunque frecuentemente se utilizan sus submúltiplos, y, especialmente en el caso de líquidos y gases, el litro. En cambio, si se requiere saber cuánto material se utilizó en la fabri- cación del envase, es necesario conocer su forma, es decir, a qué cuerpo geométrico se parece y sus medidas. El área es la medida de una superficie; el área de un cuerpo será entonces la suma de las medidas de la superficie de cada una de sus caras. El área se mide en unidades tales como centímetros cuadrados, metros cuadrados, etcétera. • ¿Cómo puedes describir el tamaño de los frascos de la imagen? • ¿Cuál de los frascos contiene más agua?, ¿por qué? • ¿Para cuál de ellos fue necesario utilizar más vidrio en su fabri- cación? Explica. • ¿Qué unidad de medida es adecuada para describir el tamaño de un envase?, ¿por qué? Una idea intuitiva de superficie se refiere a aquellas formas que carac- terizan a un cuerpo. Una superficie puede ser plana, como es el caso de las caras de prismas, pirámides y poliedros,entre otros,o bien,curvas, como las del cono, cilindro y esfera. Recuerda que... Glosario volumen: medida del espacio que ocupa un cuerpo. cuerpo: objeto material en que pue- den apreciarse las tres dimensiones principales,longitud,anchura y altura. litro:unidad de capacidad que equi- vale al volumen de un decímetro cúbico. Es decir, 1000 litros corres- ponden a un metro cúbico. capacidad:medida del volumen que puede contener un cuerpo. 1 m Frascos con agua. UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:51 Página 160
- 162. Ejemplo Cada uno delos siguientes cuerpos está formado por cubitos de 1 cm de arista. Observa que todos tienen igual volumen, 8 cm3 , pues están formados por ocho cubitos de igual medida; en cambio, tienen diferente área, sus superficies miden 24 cm2 , 28 cm2 y 34 cm2 , respectivamente. Áreas y volúmenes | 161 Unidad 4 En resumen • El volumen de un cuerpo es la medida del espacio que ocupa. • El área de un cuerpo es la suma de las medidas de la superficie de cada una de sus caras. • La unidad de medida del volumen en el sistema métrico decimal es el metro cúbico, que equivale a 1000 litros. 1. ¿Qué sucede con el volumen de un cubo si su lado aumenta al doble?, ¿y con el área? Explica. 2. Estima en qué razón están los volúmenes de dos cilindros de igual altura, si el radio de uno de ellos es el doble de la medida del radio del otro. Explica. 3. Demuestra que el plano trazado que contiene a las aristas opuestas de un paralelepípedo oblicuo divide a este cuerpo en dos prismas trian- gulares equivalentes en volumen. 4. Si entre dos cuerpos semejantes, el cociente de sus longitudes (ya sea referido a aristas, diagonales, etcétera) es k, ¿cuál es el cociente entre sus volúmenes? Justifica. Actividades • A pesar de que volumen no es lo mismo que capacidad,para calcu- lar la capacidad se suelen utilizar las mismas expresiones que para el volumen. • Es común asignar al concepto de superficie y área el mismo signifi- cado; sin embargo,debemos dife- renciar ambos términos.La super- ficie es una extensión en que solo se consideran dos dimensiones. El área es la medida de la superficie. Pon atención 1 1 8 1 4 2 2 2 2 H G F C B A D E r 2r UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:51 Página 161
- 163. 162 | Unidad4 Proyecciones en el plano Analicemos... En variadas ocasiones, las personas requieren plasmar en una hoja de papel un objeto o un cuerpo geométrico que, al tener tres dimensiones, su representación no es in- mediata. Observa. Disciplinas como el dibujo y la pintura resuelven la representación de un cuerpo en el plano mediante el color y la aplicación de luces y sombras; en cambio, otras disciplinas, como el dibujo téc- nico y la arquitectura, lo resuelven realizando las proyecciones en el plano correspondientes. En la figura siguiente, este cuerpo está representado en tres planos por medio de proyecciones perpendiculares a los planos. A partir de las proyecciones de un sólido se puede obtener un mo- delo de él en tres dimensiones. Este principio es usado en algunos programas computacionales para representar el volumen de un cuerpo que se muestra en una pantalla. • Si miraras este cuerpo de frente, ¿qué figuras puedes observar?; ¿y al mirarlo de perfil?, ¿y al mirarlo desde arriba? Dibuja todas las figuras en tu cuaderno. • ¿Crees que estas figuras son una adecuada representación de este cuerpo?, ¿por qué? Glosario proyecciones en el plano: figuras que resultan, en una superficie, de proyectar en ella todos los puntos de un sólido u otra figura, desde distintas perspectivas. UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:51 Página 162
- 164. En resumen • Lasproyecciones en el plano son figuras que resultan de proyectar en una superficie todos los puntos de un sólido o cuerpo, desde distintas perspectivas. • Las proyecciones ortogonales originan tres vistas del cuerpo: la planta, el alzado y el perfil. Áreas y volúmenes | 163 Unidad 4 Así, las proyecciones ortogonales originan tres vistas del objeto: la planta, el alzado y el perfil, términos muy utilizados por profesiona- les de la arquitectura y el diseño. Observa. 1. Dibuja la planta, el alzado y el perfil de los siguientes cuerpos. a. b. 2. Dibuja el cuerpo correspondiente a cada una de las siguientes proyecciones. a. c. b. d. Actividades Glosario planta:proyección de un cuerpo visto desde arriba. alzado: proyección de un cuerpo visto desde el frente. perfil:proyección de un cuerpo visto desde uno de sus lados. Objeto Planta Planta Alzado Alzado Perfil Perfil UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:51 Página 163
- 165. 164 | Unidad4 En resumen • El área total de un cuerpo geométrico equivale a la suma de las áreas de cada una de sus caras, tanto de la o las bases como de sus caras laterales. • El área de un prisma es A = AL + 2 · AB , donde A: área total; AL : área lateral; AB : área basal. • El área de una pirámide es A = AL + AB , donde A: área total; AL : área lateral; AB : área basal. Área de prismas y pirámides Analicemos... Observa los siguientes prismas. • ¿Cuántos polígonos conforman la red del prisma, en cada caso?, ¿cuáles polígonos son, en cada caso? Explica. • ¿Para calcular el área total de un prisma es suficiente con saber el área de la base y la medida de su altura?, ¿por qué? • ¿Qué medidas necesitas conocer para calcular el área de un prisma?, ¿cómo lo calcularías? • En el caso de una pirámide, ¿cómo calcularías su área? Justifica. • Un poliedro es un cuerpo geo- métrico limitado por cuatro o más regiones poligonales no copla- nares. Estas regiones poligonales se llaman caras del poliedro, los lados de las caras reciben el nom- bre de aristas y concurren en un punto llamado vértice. • La red de un poliedro u otro cuer- po geométrico es la figura que se obtiene al extenderlo sobre un plano. • El área basal corresponde al área del o los polígonos que for- man la base. Recuerda que... A partir de la red de un prisma, se puede determinar la forma y el número de caras que tiene el prisma y, luego, calcular su área. En general, el área total de un cuerpo geométrico equivale a la suma de las áreas de cada una de sus caras, tanto de la o las bases como de sus caras laterales. ap b • El número de caras laterales de un prisma o de una pirámide de- pende siempre del número de lados de la base. • Las caras laterales son siempre paralelogramos, en el caso de los prismas, y triángulos, en el caso de las pirámides. Pon atención UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:51 Página 164
- 166. Áreas y volúmenes| 165 Unidad 4 1. Calcula el área de un paralelepípedo recto de 6,4 y 9,5 cm de base y 16,5 cm de altura. 2. Calcula el área de un prisma regular, de base hexagonal con arista 8 cm, y altura 10 cm. 3. El área total de un paralelepípedo recto es igual a la de un cubo. Si las medidas de las aristas que concurren a un vértice del paralelepípedo miden 3, 5 y 7 cm, respectivamente, ¿cuánto mide la diagonal del cubo? 4. ¿Qué cantidad de cartón se utilizará para hacer una caja de forma de paralelepípedo recto de dimensiones 1,2 m de largo, 1,4 m de ancho y 2 m de fondo?, ¿cómo lo supiste? 5. En un envase con forma de prisma de base cuadrada, la altura es el doble de la medida del lado de la base y el área total es 250 m2 . Calcula las dimensiones del envase. 6. Calcula el área de los siguientes prismas. Explica, paso a paso, cómo lo calculaste. a. b. c. d. 7. El techo de una casa tiene forma de pirámide cuya base es un cuadrado de 12 m de lado y 8 m de altura. Determina los metros cuadrados de tejas necesarios para cubrir todo el techo. 8. Dibuja la red correspondiente a una pirámide triangular recta con aristas laterales de 6 cm y con base un triángulo equilátero de 4 cm de lado. Calcula su área total. 9. Los siguientes son juguetes de madera que serán pintados del mismo color. Sobre cada uno se indica cuántos se van a fabricar. Calcula la cantidad de pintura necesaria para tal labor, considerando que un litro de pintura rinde aproximadamente 3 m2 . Actividades 8 cm 5 cm 4,3 cm 5 cm 4 cm 4 cm 6 cm 10 cm 12 cm 4 cm 4 cm 4 cm 10 cm 10 cm 12 cm 5 cm 15 cm 10 cm 15 cm 4 cm 3 cm 15 30 22 UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:51 Página 165
- 167. 166 | Unidad4 Cuerpos generados por traslación Al realizar la traslación de un polígono, en cada caso, se puede considerar que se está formando un cuerpo geométrico. Observa. • En cada caso, ¿qué cuerpo geométrico se forma?, ¿por qué? • Si la generatriz fuera un círculo, ¿qué cuerpo geométrico se forma al aplicar una traslación? Justifica. • Comenta con tus compañeros y compañeras y decidan cuál o cuáles de los cuerpos geométricos que conocen se pueden for- mar mediante la traslación de una figura. Justifiquen en cada caso. Analicemos... En la imagen, mediante la traslación de un rectángulo se obtiene un paralelepípedo, y mediante la traslación de un hexágono, un prisma de base hexagonal. Observa que para que se genere efec- tivamente un cuerpo, el vector de traslación no puede ser para- lelo al plano que contiene la generatriz. En general, se dice que un cuerpo es generado por traslación si se puede formar mediante la traslación de una figura plana. Otros ejemplos son los cubos y los cilindros. En resumen • Se llama generatriz a la figura plana que por su movimiento engendra un sólido geométrico. 1. Supón que un cuadrado tiene uno de sus vértices en el origen, con uno de sus lados sobre el eje X y el otro sobre el eje Y y cuyo lado mide 4 unidades de longitud. a. ¿Qué cuerpo se genera al trasladar este cuadrado por el vector (0, 0, 4)? b. ¿Cuál es el volumen de este cuerpo?, ¿por qué? c. ¿Cuál es el área total del cuerpo generado? Justifica. Actividades Cuerpos generados por traslación Un paralelepípedo es generado por la traslación de un paralelogramo. Un prisma es gene- rado por la traslación de un polígono. Un cilindro es gene- rado por la traslación de un círculo. Glosario generatriz: dicho de una línea o de una figura, que por su movimiento genera una figura o un sólido geo- métrico, respectivamente. T1 → B B T2 → UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:51 Página 166
- 168. Áreas y volúmenes| 167 Unidad 4 Principio de Cavalieri Jorge estaba preparando el almuerzo y trozó una berenjena en rodajas y, luego, Gabriel, su nieto, tomó las rodajas e intentó or- denar los trozos como se muestra en la imagen. Observa. • ¿La berenjena tiene el mismo volumen que antes de partirla?, ¿por qué? • Ahora, considera un cubo y un prisma de base triangular que tienen igual altura y además sus bases tienen igual área, ¿tienen igual volumen? Justifica. Analicemos... En la situación anterior, la berenjena que Gabriel apiló así tiene igual volumen que antes de cortarla, porque si ordenáramos las rodajas, una a una, podríamos reconstituir la forma de la berenjena. Esta idea también puede aplicarse para comparar el volumen de dos o más cuerpos, aunque sean distintos. Por ejemplo, supón que un prisma y un paralelepípedo tienen igual altura. Si sus bases tienen igual área, aunque no tengan la misma forma, entonces tam- bién tienen igual volumen. Observa. En general, es posible afirmar que si dos cuerpos tienen la misma altura y además tienen igual área en sus secciones planas reali- zadas a una misma altura, entonces poseen igual volumen. Esto se conoce como el principio de Cavalieri. En resumen • Principio de Cavalieri: si dos cuerpos tienen la misma altura y bases de igual área, y al cortarlos por cualquier plano paralelo a las bases el área de las secciones es la misma, ambos tienen el mismo volumen. Glosario sección plana: figura que resulta de la intersección de un cuerpo o sólido con un plano. A2 A1 V1 V2 Si A1 = A2 , entonces V1 = V2 . Berenjena trozada. UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:51 Página 167
- 169. 168 | Unidad4 En resumen • El volumen de un prisma está dado por la expresión: V = B · h, donde B es el área de la base y h la altura del prisma. • En particular, el volumen de un prisma oblicuo no depende de su ángulo de inclinación, sino de su altura y área basal. El volumen de un paralelepípedo recto se puede calcular multipli- cando las medidas de su largo, ancho y altura. Recuerda que... Volumen de un prisma Considera que los cuerpos de la siguiente imagen tienen igual al- tura y sus bases tienen la misma área. Observa. • ¿Cómo se calcula el volumen de un paralelepípedo? Explica. • ¿Cómo se calcula el volumen de un prisma?, ¿por qué? • ¿El volumen de un prisma depende de su inclinación?, ¿por qué?, ¿y de su altura? Justifica. Analicemos... Como se puede observar, todos los cuerpos de la imagen anterior tienen la misma altura y sus bases tienen igual área. Según el prin- cipio de Cavalieri, como sus secciones planas son iguales, los volúmenes también lo son; por tanto, se puede calcular el volu- men tal como en el caso del paralelepípedo, esto es, como el pro- ducto entre el área de la base y la altura. Por consiguiente, depende del área del polígono que corresponde a la base del prisma. Observa que el volumen no cambia si se compara un prisma recto con uno oblicuo; de hecho, no depende de la inclinación del prisma, sino del área de la base y de su altura. Esto también se explica por el principio de Cavalieri. h h h B B B Glosario oblicuo:se dice de un prisma cuando sus aristas laterales no son perpen- diculares a la base del prisma. UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:51 Página 168
- 170. Áreas y volúmenes| 169 Unidad 4 1. Calcula el volumen de un cubo de arista 12 cm. Justifica. 2. Calcula el volumen de un prisma triangular, de altura 6 cm y base un triángulo equilátero, cuyo lado mide 10 cm. Explica, paso a paso, cómo lo hiciste. 3. Calcula el volumen de los siguientes prismas. En ambos casos, la arista de la base mide 3 cm, la altura 4 cm y sus bases son polígonos regulares. 4. Las aristas de un paralelepípedo recto están en la razón 2 : 3 : 4 y su diagonal principal mide cm. ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo? Explica, paso a paso, cómo lo calculaste. 5. El volumen de un prisma recto de base hexagonal es m3 y su altura mide 5 cm. ¿Cuál es la medida de los lados del hexágono? 6. Calcula el área total de un prisma recto de base hexagonal regular, cuya arista basal mide 4 cm y la arista lateral 16 cm. 7. Si el volumen del prisma de la figura es 340 cm3 , calcula el área de una sección transversal que se obtiene mediante el corte con un plano para- lelo a las bases. 8. Se tiene un cubo cuya arista es de 4 cm y está constituido por pequeños cubos independientes con aristas de 1 cm. Se desea construir con ellos un paralelepípedo. ¿Qué dimensiones tiene el para- lelepípedo de menor área que se puede formar?, ¿y el de mayor área? 9. De un cubo sólido de arista a unidades se extrajo un cubo de arista b unidades, tal como se muestra en la figura. Calcula el volumen del cuerpo resultante, teniendo en cuenta los siguientes datos: • (a – b)3 = 27 • a2 b = 50 • ab2 = 20 10. En el caso de un prisma oblicuo, ¿se puede calcular el volumen si se conoce el área de la base y la medida de la arista lateral?, ¿por qué? 4 29 120 3 Actividades 12 cm UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:51 Página 169
- 171. 170 | Unidad4 Volumen de pirámides Considera el siguiente prisma de base triangular de bases ΔABC y ΔDEF. Si se realizan dos cortes desde el punto D, uno de ellos hasta la arista BC y el otro hasta la diagonal EC, como se muestra en las figuras, el prisma se descompone en tres pirámides: P1 (ABDC), P2 (DEBC) y P3 (DEFC). Observa que los triángulos ABD y EDB son congruentes, ya que DB es la diagonal del rectángulo DEBA. Como puede verse en la primera figura, si se consideran como bases los triángulos de color, en cada caso, la arista común BC es la altura de las pirámides P1 y P2 . Luego, por principio de Cavalieri, P1 y P2 tienen igual volumen. De igual modo, los triángulos EBC y EFC son congruentes, ya que EC es la diagonal del rectángulo EFCB. Como puede verse en la segunda figura, si se consideran como bases los triángulos de color, en cada caso, la arista común DE es la altura de las pirámides P2 y P3 . Luego, por principio de Cavalieri, P2 y P3 tienen igual volumen. En términos de su volumen, P1 = P2 y P2 = P3 , luego, necesariamente, P1 = P3 . Es decir, el volumen de las tres pirámides son iguales. Como las tres juntas forman el prisma, podemos afirmar que el volumen de cada pirámide es un tercio del volumen del prisma. Observa que la argumentación descrita no depende del tipo de triángulo que forma la base, es decir, no se supone que este trián- gulo sea, por ejemplo, equilátero o isósceles. Para todo prisma de base triangular, esta conclusión es igualmente válida. Tampoco de- pende de si el prisma es recto u oblicuo. Analicemos... • Dibuja en tu cuaderno cada una de las pirámides y observa las pirámides P1 y P2 ; considera que C es su cúspide. ¿Sus bases son congruentes?, ¿por qué?, ¿P1 y P2 tienen el mismo volu- men? Explica. • En la segunda figura, observa las pirámides P2 y P3 ; considera que D es la cúspide ahora. ¿Sus bases tienen igual medida?, ¿por qué?, ¿P2 y P3 tienen igual volumen? • ¿Cómo se puede calcular el volumen de una pirámide? Explica. • Comenta con tus compañeros y compañeras si esta relación depende o no de las características del triángulo de la base. • Una pirámide es un cuerpo que tiene por base un polígono cual- quiera y cuyas caras, tantas en número como los lados del polí- gono, son triángulos que concu- rren en un solo punto, llamado cúspide o vértice de la pirámide. • La diagonal de un paralelo- gramo lo divide en dos triángu- los congruentes. Recuerda que... D A B C F E D A B C F E D A B C F E UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:52 Página 170
- 172. Áreas y volúmenes| 171 Además, ya que todo polígono se puede dividir en dos o más trián- gulos, una pirámide de base poligonal también se puede descom- poner en dos o más pirámides de base triangular. Como hemos visto, el volumen de cada una de estas pirámides es un tercio del volumen del correspondiente prisma triangular; por lo tanto, el vo- lumen de la pirámide de base poligonal es un tercio del volumen del prisma de igual base y altura, sin importar cuál sea el polígono de la base. Unidad 4 En resumen • El volumen de una pirámide equivale a un tercio del volumen de un prisma de igual área basal e igual altura, es decir, Vpirámide = · Vprisma = · B · h (B: área de la base; h: altura). 1 3 1 3 1. Calcula, en cada caso, el volumen del prisma y de la pirámide. a. b. 2. Calcula el área y el volumen de cada una de las siguientes pirámides, si sus bases son polígonos regulares. a. b. c. Actividades 3 cm 4 cm 7 cm 4 cm 3 cm h = 24 cm 5 cm 4,13 cm 7 cm 1,15 cm 12 cm 6 cm 8 cm 12 cm 8 cm 6 cm 7 cm 14 cm 6 cm 4 cm UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:52 Página 171
- 173. 172 | Unidad4 • En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores. • Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. Dos prismas de igual base e igual altura, ¿tienen igual volumen?, ¿por qué? 3. ¿Cuál es la diferencia entre una pirámide y un prisma? 4. ¿Cómo se calcula el volumen de una pirámide? 5. ¿Qué características tiene un cuerpo generado por traslación? Explica. 6. ¿Qué condiciones deben cumplir dos o más cuerpos de igual altura para concluir que tienen igual volumen? Justifica. 7. Si se conocen dos proyecciones de un sólido, ¿se puede determinar su forma?, ¿por qué? 8. Dos pirámides de igual altura e igual área basal, ¿tienen igual volumen? 9. Si se duplica la altura de un prisma, ¿cuánto aumenta su volumen? 10. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto. Organizando lo aprendido CUERPOS GEOMÉTRICOS PROYECCIONES EN EL PLANO llamadas ÁREA se pueden representar por ALZADO PERFIL PIRÁMIDES PLANTA CILINDROS se calcula VOLUMEN PRINCIPIO DE CAVALIERI se calcula de de de PRISMAS corresponden a CUERPOS GENERADOS POR TRASLACIÓN aplicando UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:52 Página 172
- 174. Mi progreso Unidad 4 1. Calculael volumen y el área total de una pirámide hexagonal regular, sabiendo que el lado de la base mide 8 cm y su altura es cinco veces la longitud del apotema de la base de la pirámide. 2. Calcula el volumen de una pirámide cuadrada recta si su altura mide 12 cm y la altura de una de sus caras laterales mide 13 cm. 3. Calcula la altura de una pirámide de volumen 10 000 cm3 , cuya base es un triángulo equilátero de 100 cm de lado. 4. Obtén el alzado, perfil y planta de las figuras. 5. El área total de un prisma recto, cuya base es un hexágono regular de 53 cm de apotema y 12 cm de altura, es aproximadamente: A. 18 412 cm2 B. 45 023 cm2 C. 35 096,2 cm2 D. 23 895,83 cm2 E. No se puede determinar. • Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas. ¿Cómo voy? Áreas y volúmenes | 173 CRITERIO ÍTEMS PÁGINAS DONDE SE TRABAJA Calcular el volumen de un prisma. 1 168 y 169 Calcular el área de un prisma y de una pirámide. 1 y 5 164 y 165 Calcular el volumen de una pirámide, dada su altura y viceversa. 2 y 3 170 y 171 Determinar las proyecciones de un cuerpo geométrico. 4 162 y 163 a. b. UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:52 Página 173
- 175. 174 | Unidad4 Cuerpos generados por rotación Observa qué sucede al girar una circunferencia de papel inserta en un lápiz, es decir, una circunferencia que gira en torno a su diámetro, en este caso. Tal como se puede apreciar en las imágenes, al girar una circunfe- rencia en torno a su diámetro, se observa una esfera. De manera similar, si se gira un rectángulo en torno a uno de sus lados, se puede observar un cilindro, mientras que si se gira un triángulo rectángulo en torno a uno de sus catetos, se puede observar un cono. En general, se denominan cuerpos de revolución aquellos que pueden obtenerse mediante la rotación de una curva o una figura plana (la generatriz) alrededor de un eje. Otro ejemplo de cuerpo de revolución es el tronco de un cono o cono truncado. Este se genera mediante la rotación del trapecio rectángulo ABCD cuyo eje corresponde al lado BC, como muestra la figura. Analicemos... • ¿Qué cuerpo geométrico puedes observar que se forma? • Si en lugar de una circunferencia, se girara un semicírculo en torno a su diámetro, ¿qué se observaría?, ¿por qué?, ¿y en el caso de que fuese un rectángulo? • ¿Qué otros cuerpos geométricos que conoces se podrían obser- var de esta forma?, ¿qué figuras se necesitan, en cada caso? • ¿Qué objetos corresponden a cuerpos de este tipo? A B C D UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:52 Página 174
- 176. Áreas y volúmenes| 175 Unidad 4 En resumen • Se dice que un cuerpo es generado por rotación o que es un cuerpo de revolución si se puede obtener mediante la rotación de una curva o una figura plana en torno a un eje. • Cilindro: generado por la rotación de un rectángulo alrededor de uno de sus lados. • Cono: generado por la rotación de un triángulo rectángulo respecto de uno de sus catetos. • Esfera: generado por la rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro. Cilindro Cono Esfera A B B D C A M M A A B C C B B N N C D 1. Dibuja el cuerpo que se genera al rotar las siguientes figuras alrededor del eje indicado. a. b. 2. Dibuja las generatrices de los siguientes cuerpos por rotación, incluyendo los ejes correspondientes. a. b. 3. De los cuerpos geométricos estudiados a lo largo de esta Unidad, ¿cuáles se pueden generar mediante rotaciones?, ¿qué tipo de rotaciones? Actividades UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:52 Página 175
- 177. 176 | Unidad4 Área de cilindros y conos Observa el siguiente cilindro y cono. En la siguiente imagen, que representa la red de un cilindro, se puede observar que la superficie lateral del cilindro está formada por un rectángulo, mientras que sus bases corresponden a círculos. Observa que el ancho del rectángulo corresponde a la altura del cilindro, y su largo, al perímetro de la base. Luego, el área del cilindro está determinada por: Acilindro = 2 · Acírculo + Arectángulo = 2 · πr2 + 2πr · g = 2πr · (r + g) Donde g: generatriz o altura del cilindro; r: radio del círculo de la base. En cambio, un cono está formado por un círculo (base) y por un sector circular. El arco del sector circular tiene longitud 2 · π · r (porque corresponde a la longitud de la circunferencia de la base). Por consiguiente, el área lateral de un cono es igual al área del sector circular. Asc = = = π · r · g 2 · π · r · g 2 S · r 2 Analicemos... • ¿Qué figuras conforman la red de un cilindro?, ¿y las de un cono? Justifica. • Si se conoce solo la longitud de la generatriz y del radio de la base, ¿se puede calcular el área del cilindro? Explica. • ¿Qué medidas necesitas conocer para calcular el área de un cono?, ¿por qué? • Si se trata de un cilindro oblicuo, ¿qué figuras conforman su red?, ¿su área depende de su inclinación?, ¿por qué? El área de un círculo se puede cal- cular mediante la expresión π · r2 . (r: radio). Recuerda que... La base del rectángulo coincide con el perímetro del círculo. Pon atención r α Sector circular g r g g g r r r UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:52 Página 176
- 178. Áreas y volúmenes| 177 El área de la base corresponde al área de un círculo, es decir, π · r 2 , entonces, el área total de un cono se puede calcular mediante la siguiente expresión: Acono = π · r · g + π · r 2 = π · r (g + r) El área de un cono truncado corresponde a la suma de las áreas de las bases del tronco del cono y el área lateral. El área lateral se puede calcular como la diferencia entre el área lateral del cono, si estuviera completo, y la del cono menor que lo complementa, es decir: ALTronco de cono = π · R · (g + h) – π · r · g Utilizando el teorema de Thales, se puede demostrar que el área lateral del tronco de cono está dado por la expresión: ALTronco de cono = π · (R + r) · g Luego, junto con el área de cada una de las bases, el área del tronco de cono se puede calcular como: ATronco de cono = π · [(R + r) · g + R2 + r2 ] Unidad 4 En resumen • El área de un cilindro se determina de la siguiente forma: Acilindro = 2 · π · r (r + g) • El área de un cono está dada por la expresión: Acono = π · r(r + g) • El área de un tronco de cono está dada por la fórmula: ATronco de cono = π [(R + r) · g + R2 + r2 ] (r: radio, R: radio de la otra base, g: generatriz). El área de un sector circular está dada por la expresión Asc = , donde S es la longitud del arco de circunferencia y r es el radio del sector circular. S · r 2 Recuerda que... g g g 2 π r 2 π R 1. Un tarro tiene un diámetro de 10 cm y altura 30 cm. Calcula la cantidad de aluminio necesario para fabricarlo. 2. ¿En qué razón están las áreas de dos cilindros rectos de igual altura, si sus radios son uno el doble del otro? 3. El radio de la base de un cilindro y de un cono mide 6 cm. La altura del cono mide 8 cm. Determina cuál debe ser la altura del cilindro para que ambos tengan: a. la misma área lateral. b. la misma área total. Actividades R UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:52 Página 177
- 179. 178 | Unidad4 Volumen de cilindros Observa la siguiente ilustración: h r Como se puede observar en la imagen, los cuerpos tienen igual al- tura, y si sus secciones planas tienen igual área, se puede aplicar el principio de Cavalieri; por lo tanto, el volumen del cilindro depende de la altura y del área de la base, al igual que en el caso del volu- men del prisma, luego se tiene que: Vcilindro = h · B (B: área de la base) Vcilindro = h · π · r 2 Analicemos... • Si las bases del prisma y del cilindro tienen igual área, ¿estos cuerpos tienen igual volumen?, ¿por qué? • Si se conoce el área de la base del cilindro, ¿cómo se calcula su volumen? Explica. • ¿El volumen de un cilindro depende de si es recto u oblicuo?, ¿por qué?, ¿y de su altura? Justifica. El área de un círculo está dada por la expresión π · r 2 (r: radio). Recuerda que... En resumen • El volumen de un cilindro se puede calcular mediante la siguiente expresión: V = h · π · r 2 , donde r es el radio del círculo de la base y h es la altura del cilindro. 1. Un cilindro tiene 112π cm2 de área. Su altura es de 10 cm. a. Determina el diámetro de la base. b. Calcula el volumen del cilindro. 2. ¿Qué sucede con el volumen de un cilindro si solo su altura se duplica? 3. ¿Qué sucede con el volumen de un cilindro si solo su radio se duplica? Actividades UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:52 Página 178
- 180. Áreas y volúmenes| 179 Unidad 4 Herramientas tecnológicas Para observar otros ejemplos de cuerpos generados por rotación, puedes abrir el applet que está disponible en la página web www.educacionmedia.cl/links/11M4179.html En la pestaña Sup. de revolución podrás observar cómo se generan una esfera, un cono y un cilindro, a partir de sus correspondientes generatrices. En la pestaña Torno podrás modificar un cilindro y así crear variados cuerpos generados por rotación: • En el recuadro Edición mueve los puntos rojos para modificar la generatriz, lo que inmediata- mente transforma el correspondiente cuerpo y las demás vistas que se presentan. • Puedes cerrar la superficie completamente moviendo hacia el lado derecho el punto rojo que está bajo la palabra ABRIR. Obtendrás algo como lo que se muestra en la siguiente imagen: Utilizando este applet, desarrolla las siguientes actividades: 1. Modifica los puntos rojos de modo que el cuerpo generado corresponda a un cilindro. Después, mueve los puntos de modo que el radio del cilindro sea aproximadamente el doble del anterior. ¿Qué puedes concluir respecto de sus volúmenes? 2. Luego, modifica los puntos para generar un cuerpo cuya generatriz sea un polígono, como el que se observa en la imagen. ¿Cómo se podría calcular el volumen de este cuerpo? Comenta con tus compañeros y compañeras. UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:52 Página 179
- 181. 180 | Unidad4 Volumen de conos Así como se puede relacionar el volumen de un prisma con el de un cilindro de igual altura, también podemos relacionar el volumen de una pirámide con el de un cono de igual altura. Observa. La pirámide y el cono de la imagen anterior tienen la misma al- tura y sus bases tienen igual área. Según el principio de Cavalieri, si sus secciones planas a la misma altura son iguales, los volúmenes también lo son; por tanto, se puede calcular el volumen a partir del volumen de la pirámide. Vpirámide = Vcono = h · B (B: área de la base) Del mismo modo que en otros cuerpos, la expresión para calcular el volumen del cono no cambia si se trata de un cono recto u oblicuo; de hecho, no depende de su inclinación, sino de su altura. Esto también se explica por el principio de Cavalieri. En el caso de un tronco de cono, el volumen se puede calcular como la diferencia entre el volumen del cono, si estuviera completo, y el cono menor que lo complementa, es decir: VTronco de cono = πHR2 – πar2 1 3 1 3 1 3 Analicemos... • Si la base de la pirámide y la del cono tienen igual área, ¿se puede afirmar que estos cuerpos tienen igual volumen?, ¿por qué? • ¿En este caso también se aplica el principio de Cavalieri? Justifica. • Si se conoce el radio de la base y la altura del cono, ¿qué expresión se puede utilizar para calcular su volumen? Explica. Los conos son cuerpos generados por rotación de un triángulo rec- tángulo con respecto a uno de sus catetos. Recuerda que... h C C r B B A Generatriz (g) Luego, Vcono = h · π · r 2 1 3 H h r R R a UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:52 Página 180
- 182. Utilizando el teoremade Thales, se puede demostrar que el volu- men del tronco del cono está dado por la expresión: VTronco de cono = πh(r2 + R2 + r · R), donde R y r son los radios de las bases y h es la altura del tronco de cono. Observa que esta expresión depende solo de la altura y del radio de cada base. Ejemplo Calcula el volumen de un tronco de cono cuyos radios basales miden 10 y 6 cm, y cuya generatriz mide 8 cm. Se puede aplicar el teorema de Pitágoras para obtener la altura del tronco. Observa. h = Luego, se remplazan los valores correspondientes en la expresión del volumen. V = π (102 + 62 + 10 · 6) = · 196 1422 cm3 . 48 3 π 48 1 3 1 3 8 4 48 2 2 − = Unidad 4 Áreas y volúmenes | 181 utilizamos las medidas del triángulo formado por la generatriz, la altura y la diferencia entre los radios 10 cm 8 cm 6 cm En resumen 1. Calcula el área de un cono recto cuya generatriz mide 20 cm y cuyo radio basal es de 15 cm. 2. En una planta de salitre almacenan el mineral formando cerros con forma similar a un cono de dimen- siones 40 m de radio y 10 m de altura. Si el salitre acumulado debe ser transportado en un camión con capacidad de carga de 300 m3 , ¿cuántos viajes debería realizar el camión?, ¿cómo lo supiste? 3. Considera el tronco de cono generado por la rotación de un trapecio recto cuyas bases miden 11 y 6 cm y cuya generatriz mide 13 cm. Calcula y explica, paso a paso, cómo lo calculaste: a. la altura del tronco de cono. b. el volumen del tronco de cono que se genera. Actividades • El volumen de un cono está dado por la expresión V = π · r2 · h donde r es el radio de la base del cono y h es su altura. • El volumen de un tronco de cono está dado por la expresión: VTronco de cono = πh(r2 + R2 + r · R), donde R y r son los radios de las bases y h es su altura. 1 3 1 3 UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:52 Página 181
- 183. 182 | Unidad4 Volumen y área de la esfera Uno de los hallazgos más apreciados del matemático griego Arquímedes fue determinar cómo calcular el volumen de la esfera. El procedimiento que utilizó consistió en relacionar las secciones planas de una semiesfera, un cilindro y un cono, todos de altura R y radio R, generadas al intersecar estos cuerpos por un plano para- lelo a las bases a una distancia h del punto O. Observa. Arquímedes observó que cuando se corta la semiesfera, el cilindro y el cono por un plano paralelo a las bases, las áreas de las sec- ciones producidas en la semiesfera (A1 ), en el cilindro (A2 ) y en el cono (A3 ) verifican la siguiente relación: A1 = A2 – A3 En la imagen de la situación inicial se puede observar que: A1 = πr1 2 = π · (R2 – h2 ) = πR2 – πh2 = A2 – A3 Entonces, se puede aplicar el principio de Cavalieri para calcular el volumen de la semiesfera, si se considera el cilindro y el cono. Como estos cuerpos tienen la misma área basal y la misma altura, se tiene que Vsemiesfera = Vcilindro – Vcono Vsemiesfera = π · R2 · R – · πR2 · R, = πR3 – · πR3 = · πR3 Finalmente, el volumen de la esfera es claramente el doble del de la semiesfera, esto es: Vesfera = · πR3 . 4 3 2 3 1 3 1 3 Analicemos... • ¿Cuál es el área de la sección del cilindro?, ¿por qué? • ¿Cuál es el área de la sección del cono?, ¿se puede representar en términos de la distancia h? Justifica. • ¿Cuál es el área de la sección de la semiesfera?, ¿cómo se puede representar en términos de R y h? Explica. • Aplicando el principio de Cavalieri, ¿se puede calcular el volumen de la esfera?, ¿por qué? Sección de la semiesfera (A1 ) Sección del cilindro (A2 ) Sección del cono (A3 ) O h r1 R R R h O h P R Q r2 O aplicando el teorema de Pitágoras por distributividad ya que, en este cono, h = r2 R es la altura del cilindro y del cono. Pon atención UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:52 Página 182
- 184. Áreas y volúmenes| 183 A diferencia de los poliedros, del cono y del cilindro, en el caso de la esfera no es posible dibujar su red, por lo que para calcular el área de la esfera nos apoyaremos en el cálculo de su volumen. El volumen de la esfera se puede aproximar sumando los volú- menes de muchas pirámides triangulares iguales, cuyas bases están inscritas en la esfera y cuyos vértices están en el centro de la esfera, como se muestra en la siguiente imagen: El volumen de la esfera equivale a la suma de los volúmenes de todas las pirámides (supongamos n pirámides). Se obtiene: Vesfera = B1 · h + B2 · h + ... + Bn · h = (B1 + B2 + ... + Bn ) · h Observa que la suma de las bases de las pirámides B1 + B2 + ... + Bn equivale al área total de la esfera, y h, en este caso, es igual a r, el radio de la esfera; entonces: Vesfera = Aesfera · r = πr3 , luego, despejando, Aesfera = 4πr2 . 4 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 Unidad 4 • B1 ,B2 ,...,Bn correspondenalárea de la base de cada pirámide. • La forma de aproximar por “infinitos infinitesimales” mos- trada aquí es habitual en Mate- mática, en niveles superiores, aunque requiere mucho cuidado y rigurosidad. Pon atención En resumen • El volumen de la esfera de radio r es V = · πr3 4 3 • El área de la esfera de radio r es Aesfera = 4πr2 1. Calcula el volumen y el área de una esfera de 6 cm de radio. 2. Una esfera, un cilindro y un cono tienen igual radio. La suma de los volúmenes del cilindro y del cono, ¿puede ser equivalente al volumen de la esfera? Justifica. 3. Una esfera está inscrita en un cubo de 6 cm de arista, es decir, las caras son tangentes a la esfera. Calcula el volumen y el área de la esfera. Actividades UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:52 Página 183
- 185. 184 | Unidad4 • En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores. • Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Cuándo se dice que un cuerpo es generado por rotación? Justifica. 3. ¿Cuál es la diferencia entre cono y cilindro? 4. ¿Cómo se relaciona el volumen de un cilindro con el de un cono?, ¿y con el de una semiesfera? Explica. 5. ¿Qué características tiene un tronco de cono? 6. ¿Cómo se relaciona el volumen de un cono truncado con el volumen del cono en general? Explica. 7. ¿Qué relación hay entre el volumen del cono y el volumen del cilindro, si tienen iguales bases y alturas? Justifica. 8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto. Organizando lo aprendido CUERPOS REDONDOS ESFERA VOLUMEN ÁREA RED PRINCIPIO DE CAVALIERI son generados por pueden ser se calcula su mediante mediante su APROXIMACIONES PIRAMIDALES ROTACIÓN DE UNA SUPERFICIE GENERATRIZ CILINDRO CONO UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:52 Página 184
- 186. Áreas y volúmenes| 185 Mi progreso 1. Dibuja los cuerpos generados por rotación que se obtienen al girar las siguientes figuras alrededor del eje, en cada caso. 2. Determina el radio de la base de un cilindro sabiendo que su área lateral es 1507,2 cm2 y la generatriz mide 40 cm. ¿Cuál es su volumen?, ¿cómo lo calculaste? 3. Un cubo y una esfera tienen la misma área: 216 cm2 . ¿Cuál tiene mayor volumen?, ¿por qué? 4. El radio de la base de un cilindro y de un cono mide 8 cm. La altura del cilindro es de 10 cm. Averigua cuál debe ser la generatriz del cono para que ambos tengan: a. la misma área lateral. b. la misma área total. c. igual volumen. 5. Un cono generado por rotación de 6 cm de radio y 8 cm de altura es cortado por un plano paralelo a la base en el punto medio de su altura. Determina el área del tronco de cono resultante. 6. La superficie de una esfera es 100π cm2 . Entonces, su volumen mide: A. 72π cm3 B. 144π cm3 C. 188π cm3 D. 288π cm3 E. Ninguna de las anteriores. • Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas. ¿Cómo voy? CRITERIO ÍTEMS PÁGINAS DONDE SE TRABAJA Determinar cuerpos generados por rotación a partir de su generatriz. 1 174 y 175 Determinar el área y volumen de un cilindro. 2 y 4 176, 177 y 180 Determinar el área y volumen de un cono. 4 y 5 177, 180 y 181 Determinar el volumen de una esfera. 3 y 6 182 y 183 Unidad 4 UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:52 Página 185
- 187. Cómo resolverlo 186 |Unidad 4 Observa, paso a paso, las estrategias utilizadas en la resolución del siguiente problema. Una empresa que fabrica bolas de cristal las envasa dentro de una caja cúbica de cartón, como se muestra en la figura. a. Determina el volumen comprendido entre el cubo y la bola, si está inscrita en él. b. Si ahora el envase es un cilindro de radio 13 cm y altura 25 cm, ¿qué volumen hay entre el envase y la bola? c. ¿Cuál de las dos opciones es mejor para la empresa si quisiera ahorrar en el material que utiliza como relleno entre el envase y la bola? Solución a. Para calcular el volumen, se calcula la diferencia entre el volumen del cubo y el de la esfera correspondiente a la bola de cristal. Vcubo = 253 = 15 625 cm3 Vesfera = π · (12,5)3 = π 8181 cm3 Vespacio = 15 625 – 8181 = 7444 cm3 b. Ahora, se calcula el volumen del cilindro. Vcilindro = π · 132 · 25 = 4225π 13273 cm3 Vespacio = 13 273 – 8181 = 5092 cm3 c. En el caso del cubo, el espacio restante mide 7444 cm3 ; en cambio, utilizando un cilindro, el espacio es de 5092 cm3 . Luego, el envase cilíndrico es mejor para la empresa. 15 625 6 4 3 Se dice que un cuerpo está inscrito en otro si se ha tra- zado dentro de él, de manera que tienen puntos comunes, sin cortarse. Recuerda que... 25 cm 12,5 cm UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:52 Página 186
- 188. Áreas y volúmenes| 187 Unidad 4 Actividades 1. Aplica el procedimiento aprendido para resolver las siguientes situaciones: a. Un cubo está inscrito en un cilindro cuya base tiene 8 cm de radio. Calcular el volumen que hay entre el cilindro y el cubo. 2. Busca un procedimiento distinto para resolver los problemas anteriores. Respecto del procedi- miento anterior, ¿cuál es más simple?, ¿por qué? 3. Resuelve los siguientes problemas utilizando el procedimiento aprendido u otro. Compara el procedimiento que utilizaste en cada caso con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a. Una pirámide de base hexagonal, cuya arista basal mide 9 cm y su altura 12 cm, está inscrita en un cilindro. Determina el volumen que hay entre el cilindro y la pirámide. b. En una esfera con radio de 15 cm se inscribe un cilindro circular recto con un diámetro igual al radio de la esfera. Calcula el área lateral de este cilindro. c. Un cilindro de 8 cm de altura está inscrito en un cono cuya generatriz mide 15 cm y su altura 12 cm. Calcula el área y el volumen del cilindro. d. Observa la siguiente figura: representa una pieza industrial, un paralelepípedo recto en que se ha taladrado un cilindro de 3 cm de radio. • Calcula su volumen y, luego, exprésalo en metros cúbicos. • Calcula su área total. e. Calcula el volumen de una pirámide, su altura es la diagonal de un cubo de 1 m de lado, y su área basal es igual al área total de un cilindro inscrito en otro cubo de 2 m de arista. 20 cm 9 cm 9 cm UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:52 Página 187
- 189. 188 | Unidad4 En terreno En terreno Diseño de envases Los envases son recipientes que sirven para contener, proteger, manipular, dis- tribuir y presentar productos, en cualquier etapa de su proceso productivo, de distribución o venta. El envase puede ser de vidrio, de plástico o de cartón, entre otros materiales. El vidrio se utiliza generalmente para productos líquidos, como por ejemplo aceite, bebidas, licores, medicamentos, etcétera. Puede estar inserto en otro envase o es- tuche de cartón que cumple la función de protegerlo y también presentar el pro- ducto de manera atractiva para los potenciales clientes. Por este motivo, los estuches de cartón se diseñan con creatividad e ingenio para que sirvan de enganche para la compra del producto, ya que cada producto que se ofrece en el mercado cuenta con una amplia competencia. Por otra parte, se debe considerar la cantidad de material utilizado en el envase para que no encarezca excesivamente el precio final. Botellas con aceite. UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:52 Página 188
- 190. Actividades 1. Observa lasbotellas de la fotografía de la página anterior. Supón que te han encargado diseñar un en- vase de cartón para cada una de ellas, ¿qué forma podría tener el envase, en cada caso?, ¿por qué? 2. ¿Cuáles son las dimensiones relevantes en cada caso?, ¿qué otras características son importantes de considerar? Explica. 3. Planifica un estudio comparativo que permita decidir cuál es la forma más adecuada para el diseño de envases de cartón para estas botellas. ¿Con cuál de ellas se utilizaría menor cantidad de cartón en su fabricación? Justifica. Investiguemos... 1. Forma un equipo con dos compañeros o compañeras más. Analicen las propuestas de envases ideadas por cada uno, compárenlas, y determinen cuál de ellas cumple con las condiciones de proteger ade- cuadamente el envase de vidrio, con la menor cantidad de cartón utilizado. 2. Busquen en sus hogares un frasco o botella de forma irregular, como por ejemplo una alcuza, un frasco de colonia o una botella decorativa. Midan sus dimensiones y detallen si tienen otras caracterís- ticas relevantes para el diseño. 3. Diseñen tres envases de cartón para la botella que escogieron. Utilicen distintos cuerpos geométricos para cada uno. a. Dibujen cada uno de los envases detalladamente, registrando todas las medidas. b. Dibujen la correspondiente red del envase y calculen su área. c. Según las características de la botella, diseñen una marca para su producto y la decoración que podría tener el envase. d. Construyan con cartón o cartulina un ejemplo de cada envase. 4. Realicen una encuesta a veinte personas o más, para determinar cuál de los envases que crearon tiene más aceptación entre los potenciales clientes. Luego, elaboren un resumen de la encuesta, que incluya sus gráficos, y presenten sus conclusiones. Evaluemos nuestro trabajo • ¿El estudio comparativo realizado les permitió determinar cuál de los envases utilizaba más cartón en su construcción? • ¿Lograron determinar las dimensiones necesarias y las características específicas que deben tener los envases? • Comparen sus resultados con los de sus compañeros y compañeras. ¿Presentaron algo distinto, que tu grupo no consideró?, ¿qué pueden concluir? Áreas y volúmenes | 189 Unidad 4 UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:52 Página 189
- 191. 190 | Unidad4 Síntesis de la Unidad A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Construye con ellos un mapa conceptual, en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos. A partir de lo trabajado en la Unidad, responde: 1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Qué medidas es necesario conocer para calcular el volumen de un tronco de cono?, ¿por qué? 3. ¿En qué consisten las proyecciones en el plano? Explica. 4. ¿El volumen de un cuerpo geométrico depende de su inclinación?, ¿por qué?, ¿y de su área? Justifica. 5. ¿Dos cuerpos podrían tener igual altura, pero distinta base y aun así tener igual volumen? Explica mediante dos ejemplos distintos. 6. ¿Cuál es la diferencia entre los cuerpos generados por rotación y por traslación? Explica. 7. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto. ÁREAS Y VOLÚMENES ÁREA VOLUMEN PRISMAS CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN CUERPOS GENERADOS POR TRASLACIÓN PROYECCIONES EN EL PLANO PRINCIPIO DE CAVALIERI PIRÁMIDES CONOS ESFERAS CILINDROS UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:52 Página 190
- 192. Áreas y volúmenes| 191 Evaluación I. Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta. 1. Se conoce como alzado a la proyección del plano vista desde uno de los lados. 2. El volumen de un cilindro es el doble del volumen de un cono de igual base e igual altura. 3. Las proyecciones del plano se conocen como planta, alzado y perfil. 4. El principio de Cavalieri se puede aplicar a dos cuerpos geométricos cualesquiera. 5. El volumen de un prisma es el triple del volumen de una pirámide de igual base e igual altura. 6. El área de un cuerpo geométrico no incluye el área de la o las bases. II. Aplica lo que aprendiste en la Unidad para desarrollar las siguientes actividades. 1. Imagina que un rectángulo de lados 4 cm y 6 cm gira en torno a su lado menor. a. Dibuja el sólido que se genera. b. Calcula el volumen del sólido. c. Compara el volumen del sólido anterior con el que se generaría si la rotación fuera respecto al lado mayor. d. ¿Qué condiciones debe satisfacer el rectángulo para que el volumen del sólido generado por la rotación en torno a uno de sus lados sea igual al doble del volumen del sólido generado por una rotación en torno al otro lado? Justifica. 2. La siguiente lata de conservas tiene un diámetro de 8 cm y una altura de 13 cm. a. ¿Cuál es el área total de sus bases? b. Calcula el área de la etiqueta de papel que cubre la lata. c. Calcula el volumen de la lata. 3. El radio de la Tierra es de 6370 km y el de la Luna 1738 km. ¿Cuántas veces mayor es el volumen de la Tierra? 4. Una empresa que vende jugo de fruta en envases con forma de paralelepípedo recto, de medidas 11, 6 y 15 cm, decide cambiar dichos envases por otros en los que disminuye un 10% el área de la base y aumenta un 10% la altura. a. El volumen del nuevo envase, ¿es mayor o menor que el del antiguo? b. Si mantienen el mismo precio, ¿es positivo para los consumidores? 5. En una habitación de 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de altura se requiere almacenar cajas de 1 m de largo, 60 cm de ancho y 40 cm de altura. ¿Cuántas cajas se pueden almacenar en esta habitación? Unidad 4 UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:52 Página 191
- 193. 192 | Unidad4 1. Si la medida de cada una de las aristas de un cubo aumenta en un 20%, entonces su volumen aumenta en: A. 10% B. 21% C. 30% D. 60% E. 72,8% 2. Una pirámide cuya base es un cuadrado de lado 2a unidades tiene el mismo volumen que un prisma cuya base es un cuadrado de lado a. ¿En qué razón están las alturas de la pirámide y del prisma? A. 1 : 4 B. 3 : 4 C. 4 : 3 D. a : 3 E. 3 : 2 3. La medida de la altura de un cono recto es igual al triple del radio basal. Su volumen es: A. π r3 B. πr3 C. 3π r3 D. 9π r3 E. Ninguna de las anteriores. 4. Un cubo de arista a está inscrito en una esfera de radio R. Entonces se cumple: A. a = 2R B. 2R = a C. 2R = a 3 2 1 3 III. Resuelve los siguientes ejercicios y selecciona la alternativa correcta en cada caso. D. R = a E. R = a 5. En la figura se representa la mitad de un anillo circular. El volumen generado al girar este anillo en torno al eje indicado es: A. π cm3 B. 128π cm3 C. 32π cm3 D. π cm3 E. 208π cm3 6. En la imagen está representado un cuerpo gene- rado por una revolución de alguna figura plana. Indica la o las posibles figuras generadoras. A. Solo I B. Solo III C. Solo II D. I y II E. I y III 3 224 3 16 3 2 I II III 2a 2a 2 2 a UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 11/11/10 15:44 Página 192
- 194. Áreas y volúmenes| 193 7. (Ensayo PSU,2004) En la figura,se tiene un cuarto de círculo de centro O. Se hace rotar la figura indefinidamente en torno al eje. Si OT = 3 cm, entonces el volumen del cuerpo geométrico que se genera es: A. 9π cm3 B. π cm3 C. 36π cm3 D. 27π cm3 E. 18π cm3 8. El volumen de la pirámide de base cuadrada es 96 cm3 . ¿Cuál es el volumen de la pirámide superior si su altura es la mitad de la pirámide mayor? A. 96 cm3 B. 64 cm3 C. 48 cm3 D. 36 cm3 E. 12 cm3 9. El volumen de un tronco de cono cuyas medidas son r = 6 cm; R = 10 cm; h = 4,8 cm, es: A. 900 cm3 B. 908,5 cm3 C. 985,2 cm3 D. 890 cm3 E. Ninguna de las anteriores. 10. ¿Cuál es el volumen comprendido entre el cubo y el cono de la figura? A. 738 cm3 B. 821 cm3 C. 785 cm3 D. 684 cm3 E. Ninguna de las anteriores. 11. La altura de un cono mide 12 cm. Para que su volumen sea 100π cm3 , su radio basal debe medir: A. cm C. 3 cm D. 5 cm E. Ninguna de las anteriores. 12. El volumen de un prisma hexagonal de base 5 cm2 y altura 10 cm es: A. 15 cm3 B. 50 cm3 C. 10 cm3 D. 150 cm3 E. 210 cm3 13. Se construye un molde para elaborar barras de metal. Para ello, a un prisma recto de base triangular se le quita la parte que se indica en la figura. ¿Cuánto es el volumen del molde? A. 100,62 m3 B. 1000 m3 C. 1050,2 m3 D. 1062,75 m3 E. No se puede determinar. 3 5 Unidad 4 Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. 10 cm 10 cm 10 cm 6 cm O T B. cm 5 3 10 cm 10 cm 26 cm UNIDAD 4 (156-193)C :Maquetación 1 4/11/10 16:52 Página 193
- 195. Estadística I 5 194 |Unidad5 Antecedentes históricos Datos Población Muestra Medidas de tendencia central Tablas Gráficos Conocer algunos hitos en el desarrollo de la Estadística. Ordenar y organizar la información. Identificar una muestra representativa. Determinar valores representativos. Analizar gráficos. Usar el computador para representar la información. TRABAJANDO CON: APRENDERÁS A: UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:53 Página 194
- 196. Estadística I| 195 Conversemosde... Investigadores de diversas áreas enfrentan, en algún momento, el problema de analizar y com- prender un conjunto de datos relevantes para su estudio. Si la información se refiere a una muestra o población, será necesario organizar e interpretar los datos para obtener de ellos la información que se requiere. Por ejemplo, hoy en día no se entendería una campaña publicitaria para lanzar un nuevo producto al mercado sin los estudios previos basados en la información que aporta la Estadística. En general, la mayoría de las empresas tienen su departamento de estudios estadísticos que se encarga de recopilar, organizar y analizar los datos referentes a un determinado producto. 1. ¿Cómo se pueden ordenar estos datos? 2. ¿Cuál es la utilidad de una tabla de datos?, ¿y de un gráfico? 3. ¿Qué tipos de gráficos puedes observar en la imagen?, ¿por qué se utilizan distintos tipos de gráficos?, ¿cuál es la ventaja de cada uno? 4. En el caso de un estudio de mercado para diseñar una nueva mochila, si se realizara una encuesta, ¿qué información se podría preguntar?, ¿qué conclusiones se pueden obtener al analizar sus respuestas? Explica. Latinstock UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:54 Página 195
- 197. 196 | Unidad5 ¿Cuánto sabes? 1. En la siguiente tabla se muestra el número de alumnos y alumnas que hay en 4º Medio en un colegio, agrupados por curso y por sexo. Escribe la razón entre: a. el número de niñas y el número de niños del 4º A. b. el número de mujeres y el número de hombres. c. los estudiantes del 4º A y del 4º B. 2. Completa la siguiente tabla: 3. Indica qué números enteros están contenidos en los siguientes intervalos: a. [2, 9] b. ]–3, 3[ c. ]0, 1[ d. [–1, 10] 4. Encuentra un intervalo de números reales que cumpla con lo pedido. a. Un intervalo abierto que contenga a , 0 y – . b. Un intervalo que contenga todos los números mayores que 5. c. Un intervalo que no contenga números positivos. d. Un intervalo semiabierto que no contenga ni al 8,3 ni al . 7 10 1 3 1 2 Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno. Niñas Niños 4º A 20 25 4º B 22 23 Porcentaje Fracción Fracción irreductible Expresión decimal 75% 75 100 3 4 0,75 62 100 1 50 0,3333... 90% UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:54 Página 196
- 198. 5. En lasiguiente tabla se muestra la población por grupos de edad del censo de 2002. Completa los recuadros de la tabla con la frecuencia acumulada. 6 . Redondea los siguientes números decimales a la centésima: a. 4,5656 c. 63,3532 e. 234,1222 b. 8,77779 d. 0,9876 f. 1,00494 Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. Estadística I | 197 Unidad 5 ¿Qué debes recordar? Ejemplo: 34% se representa por . Su fracción irreductible es y la expresión decimal equivalente es 0,34. • [a, b] es la representación del intervalo cerrado que contiene a a y a b y a todos los números comprendidos entre ellos. • ]a, b[ es la representación del intervalo abierto que solo contiene a aquellos números que están comprendidos entre a y b. • [a, b[ o ]a, b] son representaciones de un intervalo semiabierto que contiene a a o b, según sea el caso y a los valores comprendidos entre a y b. • Frecuencia: es la cantidad de veces que ocurre un suceso. • Frecuencia acumulada: es la suma de las frecuencias observadas hasta un cierto valor. 17 50 34 100 Grupos de edad Habitantes Frecuencia acumulada 0-14 3 890 126 15-24 2 481 515 25-39 3 627 915 40-49 2 036 424 50-64 1 862 879 65 y más 1 217 576 • El a% de un número se puede representar con la fracción . a 100 UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:54 Página 197
- 199. 198 | Unidad5 Orígenes de la Estadística Analicemos... En 1662 John Graunt (1620-1674), un mercader inglés, publicó un estudio titulado “Observations made upon the bills of mortality” (Comentarios sobre las partidas de defunción). Graunt anotó las siguientes conclusiones: de 100 bebés que nacían el mismo día, el número esperado de supervivientes, según pasaban los años, se refleja así: Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de recopilar datos, pues se utilizaban representaciones gráficas en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas, para contar el número de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 a. C. los babilonios usaban pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos sobre la producción agrícola, en tanto los egipcios realizaban un censo de población y riqueza mucho antes de construir las pirámides. En China existían registros numéricos similares con ante- rioridad al año 2000 a. C. Los griegos, hacia el año 594 a. C., realiza- ban censos cuya información se utilizaba para cobrar impuestos. • ¿Qué tipo de datos tuvo que observar Graunt para elaborar esta tabla? • ¿Sería suficiente con analizar los datos correspondientes a un día específico?, ¿por qué? Justifica. • Observando la tabla anterior, ¿qué puedes concluir? Comenta tus conclusiones con tus compañeros y compañeras. • Antes del estudio de Graunt, ¿qué situaciones conocidas de la His- toria corresponden a estudios estadísticos? Averigua y comenta. Edad en años Muertos Supervivientes 6 36 64 16 24 40 26 15 25 36 9 16 46 6 10 56 4 6 66 3 3 76 2 1 86 1 0 UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:54 Página 198
- 200. Estadística I |199 Unidad 5 El Imperio Romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Cada cinco años realizaban un censo de la población, cuyos datos de nacimientos, defunciones y matri- monios eran esenciales para estudiar los avances del Imperio. En América, los incas disponían de un medio de información basado en los quipus. Se podía conocer cuántos hombres vivían en deter- minada región, sexo, cronología, estado civil, jerarquía, número de animales, alimentos, etc. El registro de nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en 1662 John Graunt, como se mencionó anteriormente, publicó el primer estudio estadístico de población. El estudio contenía, por primera vez, conclusiones acerca de al- gunos aspectos relacionados con estos datos. Esta obra es consid- erada como el punto de partida de la Estadística moderna. En el siglo XIX, con la generalización del método científico para estu- diar todos los fenómenos de las ciencias naturales y sociales, los inves- tigadores aceptaron la necesidad de reducir la información a valores numéricos, para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales. En nuestros días, la Estadística tiene importancia para presentar, relacionar y analizar información relacionada con datos de diver- sas áreas. El trabajo de un estadístico ya no consiste solo en reunir y tabular los datos, sino en analizar e interpretar correctamente esa información, para inferir y predecir lo que podría ocurrir según ciertas tendencias y así orientar mejor la toma de decisiones. 1. Averigua en qué parte del libro “Números”, del Antiguo Testamento, se hace referencia a censos o recuentos estadísticos. ¿Qué semejanzas hay con los censos actuales? 2. Junto con un compañero o compañera, averigua sobre cuatro áreas distintas en las cuales se utilice la Estadística como herramienta de investigación. Justifica. 3. En tu vida diaria, ¿qué información de la que recibes involucra la Estadística?, ¿en qué situaciones la Estadística te puede servir para tomar decisiones? 4. ¿Por qué crees tú que la Estadística demoró tanto tiempo en desarrollarse? Actividades Glosario quipu: cuerdas o varas de las que pendían conjuntos de cuerdas de diferentes largos y colores que se ataban con nudos de formas diver- sas. Se empleaban también como apoyo para contar historias. UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:54 Página 199
- 201. 200 | Unidad5 Población y muestra Analicemos... Gabriel y Valentina preparaban una disertación sobre la tenencia responsable de mascotas y decidieron realizar una encuesta a todos los alumnos y alumnas del colegio, preguntando: ¿tienes una mascota en tu casa? y, después, ¿qué mascota tienes?, ¿qué cuidados le brindas? Pero, luego, supieron que en el colegio había casi 2000 estudiantes, y reconocieron que se enfrentaban a una tarea lenta y compleja. Entonces, Gabriel propuso encues- tar solo a 200 estudiantes. En muchas ocasiones, para llevar a cabo un estudio se hacen en- cuestas, las cuales son dirigidas a una muestra representativa de la población. Una vez realizado el estudio, se asume que se obtendrían los mismos resultados si se hubiese encuestado a todos los individuos de la población total. Es por ello que es muy importante que esta muestra debe ser de tal forma que represente a la población. Al hablar de representatividad de una muestra, lo que se quiere decir es que se espera que este subgrupo sea una especie de copia pe- queña de la población total. En la situación de Gabriel, la población corresponde a todos los alumnos y las alumnas del colegio. Luego, ¿qué ocurriría si Gabriel considera alguna de las siguientes muestras?: • solo los alumnos de Quinto y Sexto Año Básico. • solo las alumnas de Tercero y Cuarto Año Medio. • solo los alumnos y las alumnas de Primer Año Básico. • Si se demoraran, en promedio, dos minutos en realizar la en- cuesta, ¿a cuántos estudiantes podrían encuestar en una hora? • Si cada uno destinara dos horas diarias a realizar la encuesta, ¿alcanzarían a encuestar a todos los alumnos y alumnas del colegio en una semana?, ¿por qué? • La propuesta de Gabriel, ¿les permitirá obtener resultados si- milares que si los encuestaran efectivamente a todos? Justifica. • ¿Cómo deberían escoger a los y las estudiantes para asegurarse que el grupo escogido va a representar fielmente a los alumnos y alumnas del colegio? Explica. Glosario muestra: subconjunto o subgrupo de la población. población: totalidad de los indivi- duos, objetos u observaciones que poseen al menos una característica en común. Veterinario atendiendo a una mascota. UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:54 Página 200
- 202. En resumen • Poblacióncorresponde a la totalidad de personas, eventos o cosas de las cuales se desea hacer un estudio, y tienen una característica en común que se quiere medir. • Una muestra es un subconjunto o subgrupo de la población. La representatividad de la muestra no tiene que ver necesariamente con su tamaño, sino con la capacidad de reproducir a pequeña escala las características de la población. Estadística I | 201 Unidad 5 Como puedes ver, en todos los casos anteriores, Gabriel estaría ex- cluyendo a una parte de la población, por lo que ninguna de estas muestras es representativa. En cambio, si Gabriel encuesta solo a ocho o nueve alumnos y alumnas al azar por cada curso, esta mues- tra sí representa a la población del estudio, ya que de esta manera obtiene información de alumnos de distintas edades. Ahora, si la población correspondiera a 2000 estudiantes, pero todos fueran alumnos de Cuarto Año Medio, quizás sería suficiente con en- cuestar a 100 estudiantes, ya que tienen características similares. Si los individuos que componen la población son muy distintos entre ellos, es necesario tomar una muestra de tamaño más grande que en el caso de que los individuos que componen la población sean similares. 1. Clasifica lo que representa cada proposición según los conceptos de Estadística, dado un estudio referido a los hábitos de comida en Chile. a. Todos los chilenos. c. La edad de las personas encuestadas. b. Las personas encuestadas. d. El sexo de las personas encuestadas. 2. Determina cuáles de las siguientes muestras son representativas. Justifica. a. Se aplicó una encuesta durante la campaña para la elección de senadores de una región. El muestreo se realizó seleccionando 2000 personas al azar, a las cuales se las llamó por teléfono. Para la selección se usó la guía de la región. b. En un hospital se hace una encuesta acerca de los hábitos alimenticios de los pacientes; para ello, cada médico debe encuestar a tres pacientes en una semana; la selección debe ser al azar. c. En un club social y deportivo quieren saber qué deportes nuevos les interesan a sus asociados; para ello encuestaron a los asistentes a un bingo un día sábado. Actividades UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:54 Página 201
- 203. 202 | Unidad5 Ordenando la información Analicemos... Consideremos los siguientes datos, expresados en metros, corres- pondientes a las estaturas de ochenta estudiantes de Cuarto Año de Educación Media. Para organizar datos muy numerosos, es usual agruparlos en clases o categorías. Al determinar cuántos datos pertenecen a cada clase, se puede establecer la frecuencia. Así, se construye una tabla de datos llamada tabla de frecuencias. En ocasiones, el agrupar los datos en intervalos para construir una tabla de frecuencias, nos puede ayudar para realizar un mejor análisis de ellos. Observa. Estatura mayor: 1,88 m; estatura menor: 1,62 m; rango: 1,88 – 1,62 = 0,26. Luego, el rango es de 26 cm. Se forman seis intervalos. Para calcular el tamaño de cada uno, podemos calcular 26 : 6 = 4,3333… , lo que nos indica que el tamaño de cada intervalo puede ser 5 cm, o bien 0,05 m. • ¿Cuántos alumnos y alumnas miden más de 1,60 m?, ¿cuántos de ellos miden más de 1,80 m? • ¿Cómo organizarías estos datos para analizar mejor las estaturas de los y las estudiantes? Explica. El rango está dado por la diferencia entre el máximo y el mínimo valor de una variable. Recuerda que... 1,62 1,72 1,81 1,72 1,70 1,83 1,80 1,88 1,68 1,75 1,80 1,86 1,70 1,84 1,82 1,83 1,81 1,77 1,73 1,75 1,73 1,77 1,62 1,83 1,80 1,72 1,71 1,85 1,80 1,69 1,82 1,69 1,75 1,81 1,64 1,76 1,70 1,80 1,75 1,84 1,81 1,80 1,72 1,80 1,72 1,88 1,75 1,79 1,82 1,79 1,72 1,67 1,70 1,75 1,72 1,77 1,72 1,73 1,83 1,76 1,83 1,77 1,72 1,77 1,75 1,84 1,83 1,79 1,82 1,76 1,71 1,76 1,74 1,88 1,64 1,80 1,72 1,75 1,79 1,77 Estudiantes de Cuarto Año Medio. UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:54 Página 202
- 204. Estadística I |203 Unidad 5 En resumen • La frecuencia absoluta de una clase es el número de datos que forma dicha clase, mientras que la frecuencia relativa corresponde a la razón entre la frecuencia absoluta y el total de datos, la cual también se puede expresar mediante el uso de porcentajes. • Para construir una tabla de frecuencias para datos agrupados, se determina el tamaño de cada intervalo, dividiendo el valor del rango por la cantidad de intervalos que se desea obtener. Se recomienda tomar como longitud de los intervalos un valor entero que sea mayor o igual al cociente obtenido. Se obtiene la siguiente tabla: 1. Los siguientes datos corresponden a la duración en horas, de uso continuo, de cuarenta dispositivos electrónicos iguales, sometidos a un control de calidad. Construye una tabla de distribución de frecuencias agrupadas que considere las columnas: intervalo, frecuencia absoluta, frecuencia relativa. Actividades A veces, por efecto de las aproxima- ciones, es posible que la suma de las frecuencias relativas porcentuales no sea exactamente 100%. Pon atención Intervalo Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Frecuencia relativa porcentual [1,60, 1,65[ 4 4 80 5% [1,65, 1,70[ 4 4 80 5% [1,70, 1,75[ 20 20 80 25% [1,75, 1,80[ 22 22 80 27,5% [1,80, 1,85[ 24 24 80 30% [1,85, 1,90[ 6 6 80 7,5% 480 496 724 780 801 570 802 795 775 712 683 830 560 826 560 794 890 590 750 489 725 666 746 668 830 452 810 720 680 680 660 490 886 714 676 760 880 570 895 660 Variable estadística: característica o atributo que se observa en cada uno de los individuos u objetos. Son cuantitativas, si se relacionan con características numéricas, o cualita- tivas, si se relacionan con caracterís- ticas que representan una cualidad. Recuerda que... UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:54 Página 203
- 205. 204 | Unidad5 Análisis de gráficos Observa los siguientes gráficos, que representan la frecuencia de accidentes de tránsito, según la hora del día en que ocurren. • ¿Qué puedes concluir de la información presentada, en cada caso? • ¿Cómo se llaman los gráficos anteriores?, ¿cuáles son sus carac- terísticas, en cada caso? • ¿Cuál de los gráficos anteriores te parece que representa mejor la información?, ¿por qué? • ¿Existe alguna información o dato que se aprecie claramente en uno de los gráficos, pero que sea imposible de deducir en el otro? Justifica. Analicemos... Los gráficos se utilizan para ilustrar y presentar un conjunto de datos relacionados entre sí, de manera que se facilite su comprensión, com- paración y análisis. Según sus características y la cantidad de datos, conviene utilizar uno u otro gráfico. Por ejemplo, los gráficos circu- lares no se recomiendan cuando las variables tienen muchos valores posibles, mientras que los histogramas no se recomiendan cuando la variable es cualitativa, ya que se utiliza agrupando los datos en in- tervalos de valores. En el caso de los gráficos presentados sobre la frecuencia de accidentes de tránsito, el histograma permite dimensionar la cantidad de acci- dentes según la hora en que ocurren y es más fácil interpretar el paso de las horas y reconocer, por ejemplo, que el atardecer es la hora en que se producen más accidentes. El gráfico circular, en cambio, es muy útil para analizar los datos cuando están asociados a porcentajes, pero no permite cuantificar la frecuencia, a menos que se indique el total de la población o de la muestra representada en el gráfico. Fuente: Carabineros de Chile, Anuario estadístico de tránsito. Santiago, 2006, www.carabinerosdechile.cl 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 0 0 : 0 0 a 0 1 : 5 9 0 4 : 0 0 a 0 5 : 5 9 0 6 : 0 0 a 0 7 : 5 9 0 8 : 0 0 a 0 9 : 5 9 1 0 : 0 0 a 1 1 : 5 9 1 2 : 0 0 a 1 3 : 5 9 1 4 : 0 0 a 1 5 : 5 9 1 6 : 0 0 a 1 7 : 5 9 1 8 : 0 0 a 1 9 : 5 9 2 0 : 0 0 a 2 1 : 5 9 2 2 : 0 0 a 2 3 : 5 9 0 2 : 0 0 a 0 3 : 5 9 00:00 a 01:59 02:00 a 03:59 04:00 a 05:59 06:00 a 07:59 08:00 a 09:59 10:00 a 11:59 12:00 a 13:59 14:00 a 15:59 16:00 a 17:59 18:00 a 19:59 20:00 a 21:59 22:00 a 23:59 UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:54 Página 204
- 206. Estadística I |205 Unidad 5 Gráfico de barras y pictogramas Un gráfico de barras (gráfico 1) está compuesto por barras sepa- radas, donde la altura de cada barra es proporcional a la frecuencia. Es útil para comparar las frecuencias de los valores. En un pictograma (gráfico 2), en lugar de las barras, se dibuja una figura proporcional (por su tamaño, o bien por su cantidad) a la frecuencia. Se puede analizar de manera similar a un gráfico de barras y permite asociar rápidamente los datos presentados en el pictograma con la o las variables, cuando se presentan dos o más variables simultáneamente. Por ejemplo, el informe anual de estadísticas agropecuarias, realizado por el Instituto Nacional de Estadísticas (INE), arrojó información relacionada con la producción de trigo, por región, en el período 2007-2008, que se muestra en el gráfico de barras (gráfico 1) y en el pictograma (gráfico 2). Gráfico de dispersión En la gráfica se observan datos de masa y estatura obtenidos de 40 alumnos y 40 alumnas de Cuarto Año Medio. Se puede obser- var que, en general, las mujeres son más bajas que sus com- pañeros y que la relación masa- estatura es más homogénea en el caso de los varones. En resumen Utilidad de diversos tipos de gráficos. • Gráfico de barras: facilita la comparación entre las frecuencias de las variables. • Pictograma: mediante figuras o diagramas representa los valores de una variable estadística. • Gráfico circular: es útil cuando se necesita representar porcentajes. • Histograma: sirve para expresar información sobre datos que están agrupados. • Gráfico de dispersión: sirve para estudiar la homogeneidad o heterogeneidad de los datos. 1 000 000 2 000 000 3 000 000 4 000 000 5 000 000 6 000 000 0 VI VII VIII IX X XIV Resto del país 1 000 000 2 000 000 3 000 000 4 000 000 5 000 000 6 000 000 0 VI VII VIII IX X XIV Resto del país 1,9 Estatura (m) Masa (kg) 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 Mujeres Hombres 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE), “Informe anual de estadísticas agropecuarias”, Santiago, 2007. www.ine.cl Gráfico 1 Gráfico 2 UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:54 Página 205
- 207. 206 | Unidad5 1. El gráfico muestra los resultados obtenidos en el censo de 2002 sobre el número de familias chilenas según el tipo de hogar que constituyen. a. Comenta con tus compañeros y compañeras los tipos de familias descritos en el gráfico. ¿Cuál de ellos corresponde a tu familia?, ¿por qué? b. ¿Cuál es la diferencia entre una familia extensa y una compuesta? Explica. c. En general, ¿hay más familias con hijos o sin hijos? d. Estima la proporción de familias chilenas monoparentales. e. ¿Qué conclusiones puedes obtener a partir del gráfico? Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE), XVII Censo Nacional de Población y VI de Vivienda, Santiago, 2002. www.ine.cl 2. El siguiente gráfico nos presenta la información obtenida de 300 encuestados por la Fundación Futuro (2008), acerca de la pregunta: ¿qué nota colocas a lo bueno en el deporte chileno? a. ¿Cuál fue la categoría mejor evaluada?, ¿tú también la hubieras evaluado con esa nota?, ¿por qué? b. ¿Qué área del deporte tiene el mejor promedio: el tenis o el fútbol? c. ¿Qué puedes concluir? Fuente: Fundación Futuro. Encuesta “Lo bueno, lo malo y lo feo del 2008”. Santiago, diciembre 2008. www.fundacionfuturo.cl. Actividades Nuclear monoparental sin hijos Nuclear monoparental con hijos Nuclear biparental con hijos Nuclear biparental sin hijos Extensa biparental Extensa monoparental Compuesta Sin núcleo familiar 7 6,6 6,5 6,4 6,3 5,9 4,5 6 5 4 3 2 1 Medalla de plata de Fernando González en Beijing Natalia Ducó campeona del mundo en bala a nivel juvenil Triunfo de la Selección Chilena de Fútbol frente a Argentina David Dubo campeón mundial de kárate Chile sede del Mundial Femenino de Fútbol Retiro de Marcelo Salas del fútbol Número de familias chilenas según el tipo de hogar que constituyen ¿Qué nota colocas a lo bueno en el deporte chileno? UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:54 Página 206
- 208. Estadística I |207 Unidad 5 3. Los siguientes gráficos piramidales muestran la distribución poblacional de Chile en tres años diferentes. Observa y, luego, responde las siguientes preguntas. a. ¿Cuántos hombres aproximadamente comprende el intervalo [10, 24[ en cada uno de los años mostrados en los gráficos? b. ¿En qué año la población masculina comprendida en el intervalo [10, 24[ presentó una mayor diferencia por tramos de edad? c. ¿Qué consecuencias geográficas podrían derivarse de la pirámide poblacional proyectada para el año 2025? 4. El gráfico siguiente representa el consumo promedio de agua, en metros cúbicos, durante un mes, en una familia de cinco integrantes, según un estudio de Aguas Andinas: a. ¿A qué crees que se deba el incremento del consumo de agua en verano? b. Divide cada uno de los valores dados en el gráfico por 5; luego, construye un gráfico circular que muestre estos valores, en cada caso. ¿Qué resultados nos entrega este gráfico? c. Discute con tus compañeros y compañeras acerca de la escasez del agua y su mal uso. d. ¿Qué medidas podrías tomar para cuidar este recurso? Si todos siguieran estas medidas, ¿cuánto estimas que se ahorraría una familia de cinco integrantes cada mes? Comenta con tus compañeros y compañeras. Fuente: Grupo Aguas, www.aguasandinas.cl. Consultado en febrero de 2010. Invierno Edad (años) Hombres Mujeres Miles de personas Miles de personas Miles de personas 80 y más 0–4 500 400 300200 100 0 100200 300400 500 0 100 100 200300 400 500 600700 800 800 700 600 500400 300 200100 0 100 200300 400500 600 700 800 200 300 400 500 600 700 800 5–9 10–14 15–19 20–24 25–29 30–34 35–39 40–44 45–49 50–54 55–59 60–64 65–69 70–74 75–79 1950 2000 2025 Fuente: Proyecciones de población INE-CELADE Chile: Población estimada al 30 de junio 400 350 300 250 200 150 100 50 0 Duchas Metros cúbicos Verano Aseo en lavatorios Descarga en WC Comida y lavado de vajilla Lavado general Riego Consumo promedio de agua en un mes UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:54 Página 207
- 209. 208 | Unidad5 Medidas de tendencia central Susana se encuentra trabajando como voluntaria en el Campeonato Nacional de Natación. Su responsabilidad es llevar el registro de los tiempos realizados por las nadadoras en las distintas pruebas. Luego de la primera prueba, 50 m libres damas, registró los siguien- tes resultados: Susana está analizando los datos y los ordena de menor a mayor: 31, 35, 35, 35, 36, 39, 41, 44 y 46 Primero observa que el valor que más se repite es 35. Este valor es conocido como moda. La moda se denota por Mo. Luego, observa que el dato que se encuentra justo en la mitad es 36 s. Esto quiere decir que el 50% de las nadadoras se demoraron a lo más 36 s en la prueba de 50 m libres; o, también, que el 50% de las nadadoras se demoraron al menos 36 s en la prueba de 50 m libres. Este valor es conocido como la mediana, pues corresponde al valor que divide en dos partes iguales a un conjunto de datos. A veces no existe un valor tal que, por debajo de él, se encuentre exacta- mente el 50% de las observaciones; en este caso se debe tomar el primer valor bajo el cual se encuentre, al menos, el 50% de las ob- servaciones. La mediana se denota por Md. Glosario moda: elemento que tiene la mayor frecuencia en un conjunto de datos. mediana: elementodeunaserieorde- nada de valores crecientes de forma que la divide en dos partes iguales, superiores e inferiores a él. Analicemos... • ¿Qué nadadora ganó?, ¿cuál llegó última?, ¿qué nadadora llegó en la mitad, entre la primera y la última?, ¿cómo se puede interpretar esta información? • En general, ¿cuánto demoran en recorrer los 50 m de la prueba? • ¿Hay algún tiempo de llegada que se repita? • ¿Cómo se pueden describir los resultados de esta prueba?, ¿qué puedes concluir? • En general, ¿qué información es importante cuando se analiza un conjunto de datos? Camila 31 s Javiera 39 s Marisol 44 s Florencia 35 s Isabel 41 s Viviana 46 s Antonia 36 s Andrea 35 s María Paz 35 s Nadadoras de 50 m libres. UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:54 Página 208
- 210. Estadística I |209 Media aritmética La media aritmética de n datos numéricos que expresan cantidades es el cociente entre la suma de todos los datos y la frecuencia total de ellos. Es decir, x = En el caso de las nadadoras, x = = 38. O sea, en promedio, ellas demoraron 38 segundos en llegar a la meta. Observa que en este caso el promedio no coincide con nin- guno de los valores dados en la tabla. Si los datos se encuentran ordenados por intervalos, también se puede calcular su media aritmética, utilizando la marca de clase como representante del intervalo. Observa. La siguiente tabla muestra la distribución de frecuencias de los puntajes obtenidos por cincuenta estudiantes en una prueba de Matemática. 31 + 35 + 35 + 35 + 36 + 39 + 41 + 44 + 46 9 x1 + x2 + x3 + x4 + … + xn n Unidad 5 Glosario marca de clase: valor representativo de cada intervalo, que corresponde a su punto medio y se calcula suman- do cada extremo del intervalo y di- vidiéndolo en dos. • Al realizar cálculos que involucren valores con unidades de medición asociadas, el resultado también debe tener la unidad de medición asociada correspondiente. • Siempre es importante dar una respuesta completa cuando estés haciendo algún cálculo. Pon atención Intervalo Frecuencia absoluta ( fi ) Marca de clase (xi ) fi · xi 60-64 5 62 310 65-69 5 67 335 70-74 8 72 576 75-79 12 77 924 80-84 16 82 1312 85-89 4 87 348 Total 50 3805 La media aritmética de los valores está dada por el cociente entre la suma de los valores fi · xi y el número total de observaciones, esto es: x = = 76,1. 3805 50 UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:54 Página 209
- 211. 210 | Unidad5 1. Pablo obtuvo las siguientes notas parciales en Matemática: 4,8; 2,5; 6,0; 3,9 y una quinta nota que no recuerda. Si su promedio fue 4,6, calcula la nota que falta. 2. Carlos y Alejandra obtuvieron el mismo promedio semestral de notas. ¿Significa que tuvieron las mismas notas? Justifica numéricamente tu respuesta. 3. En una muestra de control se midieron 10 clavos de una bolsa, con los siguientes resultados: 5 de 2,00”; 3 de 1,99” y 2 de 2,05”. Calcula la longitud media de la muestra. 4. La siguiente tabla muestra los resultados de la prueba SIMCE (Sistema de Medición de la Calidad de la Educación), año 2008, de 4º Año Básico. a. ¿Cuál es el valor de la media aritmética, la moda y la mediana, en cada área? b. ¿En qué área se obtuvieron mejores resultados? Justifica. c. ¿Qué región obtuvo el puntaje más bajo en cada área?, ¿coinciden estos puntajes con la misma región? d. ¿Qué región obtuvo el mejor promedio al considerar las tres áreas?, ¿a qué crees que se deba esto? Fuente: Ministerio de Educación (Mineduc). Prueba SIMCE, 4º Año Educación Básica (2008), www.mineduc.cl, julio 2009. Actividades Región Lenguaje y Comunicación Educación Matemática Comprensión del Medio Social y Cultural Arica y Parinacota 260 246 244 Tarapacá 253 240 241 Antofagasta 255 240 240 Atacama 250 236 239 Coquimbo 260 245 248 Valparaíso 258 245 248 Lib. Gral. Bernardo O´Higgins 258 243 248 Maule 260 246 249 Biobío 261 247 249 La Araucanía 257 238 243 Los Ríos 264 244 248 Los Lagos 263 245 247 Aysén del Gral. Carlos Ibáñez del Campo 265 249 253 Magallanes y Antártica Chilena 266 252 252 Región Metropolitana 263 252 255 UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:54 Página 210
- 212. Estadística I |211 Unidad 5 En resumen • Las medidas de tendencia central nos dan una idea acerca del comportamiento de los datos a los que se refieren. Se puede decir que expresan el grado de centralización de los datos que representan. • La mediana de un conjunto de datos numéricos, ordenados en forma creciente o decreciente, es el dato que se encuentra al centro de dicha ordenación, o la media aritmética de los datos centrales (en caso de que la muestra tenga un número de datos pares). • La moda de un conjunto de datos es aquel que tiene la mayor frecuencia. • La media aritmética de un conjunto de datos es el cociente entre la suma de todos los datos y la frecuencia total de ellos. 5. Los datos de la tabla muestran las estaturas de 40 alumnos y alumnas. Calcula la media aritmética, la moda y la mediana de estos datos. 6. La siguiente tabla de frecuencias muestra la cantidad de colesterol total de un grupo de pacientes cuya edad es de 50 a 60 años. a. Calcula la media aritmética, la mediana y la moda. ¿Qué puedes concluir? b. Se considera un nivel deseable de colesterol bajo 200 mg/dl. ¿Cuántos de los pacientes se encuentran dentro de los niveles deseables? c. Construye un histograma para comparar la frecuencia de cada intervalo. ¿Qué puedes concluir? Colesterol total (mg/dl) Frecuencia 170-179 4 180-189 7 190-199 12 200-209 16 210-219 35 220-229 37 230-239 11 240-249 8 Estatura fi 1,50-1,54 3 1,55-1,59 6 1,60-1,64 9 1,65-1,69 10 1,70-1,74 7 1,75-1,79 5 UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:54 Página 211
- 213. 212 | Unidad5 Herramientas tecnológicas Las planillas de cálculo como Excel permiten ahorrar gran cantidad de tiempo, tanto para realizar estudios estadísticos como para graficar un conjunto de datos. La siguiente tabla muestra las hectáreas afectadas en el período 2005-2006 por incendios forestales. Observa cómo se grafica utilizando una planilla de cálculo. • Construye una tabla de valores, selecciónala y, luego, pulsa Asistente de gráficos. • Selecciona, presionando con el mouse, desde la celda A2 hasta la celda B14. • En la barra de menú selecciona Insertar y, luego, Gráfico (en el submenú). • Elige Tipo de gráfico, en este caso gráfico de barras. • Finaliza el gráfico en Terminar. • Para personalizar el gráfico, haz clic sobre él; por ejemplo, para cambiar los colores. También, para poner nombre a los ejes y al gráfico, selecciona Título. Utilizando los datos anteriores, desarrolla las siguientes actividades: 1. Ingresa la tabla anterior en una planilla de cálculo. a. Realiza un pictograma y otro circular. ¿Qué ventaja tiene la utilización de cada tipo de gráfico? b. ¿En qué regiones se observa mayor cantidad de hectáreas afectadas por incendios forestales?, ¿a qué crees que se debe? c. Está comprobado que la mayor cantidad de incendios forestales es causada, directa o indirec- tamente, por el ser humano. ¿Qué medidas tomarías para proteger nuestros bosques? UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:54 Página 212
- 214. Estadística I |213 Unidad 5 2. La siguiente tabla muestra la disponibilidad de agua (en miles de metros cúbicos) por persona en 1950 y en 2000. a. Construye un gráfico de barras que permita comparar la disponibilidad de agua durante ambos períodos. b. Calcula el porcentaje de descenso para cada lugar. Construye un gráfico circular que muestre la diferencia de disponibilidad de agua en el año 2000. ¿Qué puedes concluir?, ¿a qué se debe la diferencia? c. ¿Qué crees que sucederá con la disponi- bilidad de agua en cincuenta años más? 3. Uno de los problemas más complejos que debe abordar nuestra sociedad es la pobreza;un país que quiere surgir debe eliminar este problema. En la tabla se ven las quince comunas más pobres del país; en la mayoría de ellas vive población mayoritariamente mapuche, que no ha podido salir del círculo de la pobreza. a. ¿Qué gráfico representaría mejor la información dada en la tabla?, ¿por qué? b. Construye un gráfico que muestre esta información. c. ¿Qué factores culturales crees tú que afectan al pueblo mapuche y le impiden salir de la pobreza?, ¿qué factores de nuestra sociedad impiden a los mapuches vivir como ellos desean? d. Comenta con tus compañeros y compañeras qué soluciones ven al problema. 1950 2000 África 17,8 4,8 Asia 7,6 2,9 Europa 5,9 4,5 América del Norte 32,4 17,6 América Latina 72,1 22,8 Ex URSS 24,1 14,8 Oceanía 159,5 65,6 Comunas Más pobres (%) Colchane 50,9 El Carmen 38,2 Los Alamos 37,9 Lebu 37,5 Tirúa 36,1 Alto Biobío 35,8 Galvarino 35,7 San Ignacio 35,6 Saavedra 35,1 Los Sauces 34,9 San Fabián 34,4 Ercilla 34,0 Curacautín 33,6 Ninhue 33,5 Collipulli 33,2 Fuente: Food and Agriculture, Organization of the United Nations (FAO), www.fao.org, consultado en febrero de 2010. Fuente: Ministerio de Planificación (Mideplan). Encuesta de Caracterización Socioeconómica (CASEN), Santiago, 2006, www.mideplan.cl, consultado en febrero de 2010. UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:54 Página 213
- 215. 214 | Unidad5 • En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores. • Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Qué es una variable?, ¿cuándo se dice que es cualitativa? 3. ¿Cuál es la diferencia entre un gráfico de barras y un pictograma? 4. ¿Cómo se organiza un conjunto de datos? Explica. 5. ¿Qué características tiene un gráfico circular? 6. ¿Cuál es la relación entre población y muestra? Justifica. 7. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto. Organizando lo aprendido ESTADÍSTICA interpreta MUESTRA POBLACIÓN se pueden mediante se pueden aplicar DATOS VARIABLES MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MEDIA ARITMÉTICA MEDIANA MODA que se clasifican en que proviene de una se pueden se distinguen en y y calcular su representa a la CUANTITATIVA FRECUENCIA ABSOLUTA CUALITATIVA tales como DE BARRAS CIRCULAR HISTOGRAMA DE DISPERSIÓN PICTOGRAMA tales como ORGANIZAR REPRESENTAR TABLAS FRECUENCIA RELATIVA GRÁFICOS UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:54 Página 214
- 216. Mi progreso Unidad 5 1. Señalaen cada caso si es más conveniente estudiar la población o una muestra. a. La longitud de los tornillos que fabrica una máquina de manera ininterrumpida. b. La estatura de todos los visitantes extranjeros en un año en Chile. c. La masa de un grupo de cinco amigos. d. Los efectos de un nuevo medicamento en el ser humano. 2. En un jamboree, un grupo de scouts realizó una encuesta a jóvenes de otros grupos, obteniendo las respuestas que se detallan a continuación. • ¿Qué edad tienes? 9, 15, 11, 16, 13, 14, 15, 16, 10, 14, 14, 9, 13, 15, 16, 17, 11, 12, 13, 15, 12, 13, 16, 14, 15 • ¿Cuántos días al año sales de campamento? 15, 25, 36, 32, 44, 35, 22, 31, 40, 29, 33, 31, 30, 28, 36, 24, 18, 31, 19, 24, 26, 23, 24, 30, 29 a. Organiza los datos en un tabla, en cada caso. b. Calcula la media, la mediana y la moda en cada una de las preguntas anteriores. 3. En un colegio se ha encuestado a sus 1200 alumnos. Se les preguntó si estaban a favor o no de colocar casilleros en las salas de clases. Según los resultados que se observan en el siguiente gráfico circular, ¿cuántas personas no están de acuerdo? A. 40 B. 120 C. 480 D. 600 E. 720 • Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas. ¿Cómo voy? Estadística I | 215 CRITERIO ÍTEM PÁGINAS DONDE SE TRABAJA Determinar si corresponde estudiar la población o una muestra. 1 200 y 201 Ordenar y organizar la información. 2a 202 y 203 Calcular las medidas de tendencia central de un conjunto de datos. 2b 208 a 211 Analizar gráficos. 3 204 a 207 50% sí 10% no contesta 40% no Uso de casilleros en las salas de clases UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:54 Página 215
- 217. Cómo resolverlo 216 |Unidad 5 Observa, paso a paso, las estrategias utilizadas en la resolución del siguiente problema. El siguiente gráfico muestra la distribución de personas de 60 años o más, según estado civil en Chile. Determina el porcentaje correspon- diente a cada categoría y el ángulo central aproximado asociado. Luego, construye su gráfico circular. Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE). www.ine.cl, julio 2005. Solución A partir de los datos del gráfico, se puede calcular la frecuencia relativa de cada categoría y, luego, para obtener el correspondiente por- centaje, se puede multiplicar por 100. Luego de calcular los porcentajes de cada categoría, se puede deter- minar el ángulo central correspondiente en cada caso. Sabemos que los 360º del círculo representan la frecuencia relativa porcentual acumulada, es decir, 100%; por lo tanto, cada 1% correspon- derá a 3,6º. Para obtener el ángulo correspondiente, basta con multiplicar cada porcentaje por 3,6. Categoría Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Porcentaje (%) Ángulo (grados) Casado 684 590 0,524 52,4 188,64 Conviviente 40 872 0,031 3,1 11,16 Soltero 150 833 0,115 11,5 41,40 Viudo 364 120 0,28 28,0 100,80 Anulado o separado 65 142 0,05 5,0 18,00 Total 1 305 557 1,00 100,0 360,00 800 000 684 590 Distribución de personas de 60 años o más, según estado civil en Chile 40 872 150 833 364 120 65 142 700 000 600 000 500 000 400 000 300 000 200 000 100 000 0 Casado Casado Conviviente Conviviente Soltero Soltero Viudo Viudo Anulado o separado Anulado o separado La frecuencia relativa es el co- ciente, en cada caso, entre la frecuencia absoluta de la cate- goría y el total de datos. Es un número entre 0 y 1. Recuerda que... Distribución de personas de 60 años o más, según estado civil en Chile. UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:54 Página 216
- 218. Estadística I |217 Unidad 5 Actividades 1. Aplica el procedimiento aprendido para resolver las siguientes situaciones: a. El gráfico presentado a continuación, representa la distribución porcentual de defunciones en Chile, por grupos de edad, en dos períodos: 1974-1975 y 2003-2004 • Compara la distribución por- centual de las defunciones en los dos períodos señalados. ¿Qué puedes concluir? • ¿A qué crees que se deban las diferencias que se aprecian entre los períodos? Justifica. • Construye un gráfico circu- lar, para cada uno de los períodos, que represente esta información. 2. Busca un procedimiento distinto para resolver los problemas anteriores. Respecto del procedimiento anterior, ¿cuál es más simple?, ¿por qué? 3. Resuelve los siguientes problemas utilizando el procedimiento aprendido u otro. Compara el procedi- miento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a. Los histogramas siguientes representan el porcentaje de hogares monoparentales y biparentales, según la edad de los niños y niñas que viven en las familias, en cada caso. • En el tramo de edad de 14 a 17 años, ¿la mayoría de los niños y niñas viven en hogares monoparentales o biparentales? Justifica. • ¿A qué crees que se deban las diferencias que se aprecian entre los hogares monoparentales y biparentales? Justifica. • ¿Qué otro gráfico podrías construir que represente esta información? 0 Menores de 1 año 10 20 30 40 50 Porcentajes de defunciones Distribución porcentual de defunciones por grupos de edad Hogares monoparentales, según edad de los niños y niñas. Censo 2002 Hogares biparentales, según edad de los niños y niñas. Censo 2002 Grupo de edad 1-4 5-14 15-24 25-44 45-59 60-74 75 años o más 1974-1975 2003-2004 Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE), Adulto Mayor. Vulnerabilidad al Riesgo de Muerte. 2002-2010. Febrero 2007. Fuente: Censo 2002, www.ine.cl, consultado en febrero de 2007. 10,0 0 a 2 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 3 a 5 6 a 13 14 a 17 Tramos de edad Porcentaje 14,0 14,3 16,1 19,2 70,0 0 a 2 72,0 74,0 76,0 78,0 80,0 3 a 5 6 a 13 14 a 17 Tramos de edad Porcentaje UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:55 Página 217
- 219. 218 | Unidad5 En terreno En terreno Nueva canasta IPC El Índice de Precios al Consumidor (IPC) es un indicador social y económico de coyun- tura, construido para medir los cambios experimentados a lo largo del tiempo del nivel general de precios de bienes y servicios de consumo que los hogares adquieren. Habitualmente, se utiliza para determinar la inflación (deflación) de un país. Históricamente, cada 10 años se actualiza la canasta de bienes y servicios, los mode- los metodológicos, conceptuales y operativos. En este sentido, se migra de una canasta de 8 grupos y 482 productos a una de 12 divisiones y 368 productos. Entre los principales productos que ingresan se encuentran el ron, equipos de audio y video portátil, impresión digital, unidades de respaldos magnéticos (como el pen- drive), máquinas de ejercicios, mantas eléctricas, motocicletas, transporte urbano multimodal, preservativos, educación preescolar (kínder), entre otros. También hay productos que dejan de pertenecer a la canasta, debido a los cambios en las pautas de consumo, o bien obsolescencia tecnológica. Algunos ejemplos son el martini, casetes, rollos de foto, mantención de ascensor, máquinas de coser, arriendo de video, hechura de vestón. El dividendo, la patente de automóvil y las contribu- ciones se consideran inversiones y transferencias, respectivamente; por lo tanto, no corresponden a gastos en consumo. Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE). “Enfoque estadístico: Nuevo IPC”. Santiago, enero de 2009. www.ine.cl Ponderaciones de la canasta base diciembre de 2008 División Ponderación (%) Alimentos y bebidas no alcohólicas 17,87253 Bebidas alcohólicas y tabaco 2,10142 Prendas de vestir y calzado 5,07003 Alojamiento, agua, electricidad, gas y otros combustibles 12,73319 Muebles, artículos para el hogar y para la conservación ordinaria del hogar 7,21683 Salud 5,52446 Transporte 18,73769 Comunicaciones 4,00767 Recreación y cultura 9,22545 Educación 6,19300 Restaurantes y hoteles 5,92649 Bienes y servicios diversos 5,39064 TOTAL 100,00000 UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:55 Página 218
- 220. Actividades 1. Determina, paracada división, al menos cinco ejemplos. 2. ¿Qué opinas respecto de los productos que ingresan a la canasta del IPC?, ¿cómo afectan el presupuesto familiar, en general? 3. ¿Qué opinas respecto de los productos que dejan de pertenecer a la canasta del IPC?, ¿por qué crees que sucede esto? 4. Considera los bienes y servicios que se consumen en tu casa. ¿Cuáles son los cuatro ítems que más afectan al presupuesto de tu familia?, ¿cuáles son los tres que menos lo afectan? Explica. 5. Diseña tu propia canasta de bienes y servicios, basado en el consumo de tu familia. Considera los 30 ítems más importantes. Investiguemos... Trabajen en un grupo de tres o cuatro personas y respondan: 1. Comparen la canasta de bienes y servicios que cada uno diseñó, según el consumo de su familia. ¿Cuáles son sus semejanzas y diferencias? Expliquen. 2. Analicen las ponderaciones de la canasta de bienes y servicios. ¿Les parece que es adecuada? Justifiquen su respuesta. 3. Averigüen los valores del IPC de los últimos tres meses. ¿A qué productos corresponden las mayores alzas y las mayores bajas?, ¿estos valores reflejan una tendencia? Expliquen. 4. Averigüen los valores del IPC de los mismos meses, pero del año pasado. ¿Son similares o distintos?, ¿con qué hechos o situaciones se puede relacionar esto?, ¿qué pueden concluir? 5. Comenten con sus compañeros y compañeras qué efectos tiene un alza importante del IPC en el presupuesto familiar, ¿y en la economía nacional? Evaluemos nuestro trabajo • ¿Qué aprendieron acerca del IPC? Expliquen. • ¿Cuál de los resultados de la comparación entre las canastas que cada uno diseñó les llamó más la atención?, ¿por qué? • Comparen sus conclusiones con las de sus demás compañeros y compañeras. ¿Obtuvieron ellos algo distinto a lo que ustedes concluyeron?, ¿por qué? Estadística I | 219 Unidad 5 UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:55 Página 219
- 221. 220 | Unidad5 Síntesis de la Unidad A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Construye con ellos un mapa conceptual, en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos. A partir de lo trabajado en la Unidad, responde: 1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Cuáles son las características que definen una muestra? 3. ¿Cuál es la diferencia entre frecuencia absoluta y frecuencia relativa? Explica. 4. Dados dos conjuntos de datos distintos que tienen la misma media aritmética, ¿se podría afirmar que son iguales? Justifica. 5. Para una población en estudio, ¿cuántas posibles muestras se pueden escoger? Explica. 6. ¿Cuál es la ventaja de utilizar un gráfico circular en lugar de un histograma? Justifica. ¿Cuándo se usa uno u otro? 7. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto. ESTADÍSTICA MUESTRA POBLACIÓN CLASE GRÁFICO DE BARRAS PICTOGRAMA MEDIA ARITMÉTICA MEDIANA VARIABLES FRECUENCIA ABSOLUTA FRECUENCIA RELATIVA INTERVALOS UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:55 Página 220
- 222. Estadística I |221 Evaluación I. Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta. 1. Dada una población que se necesita estudiar, existe una única muestra representativa de ella. 2. Las variables pueden ser cuantitativas y cualitativas, simultáneamente. 3. En América no se desarrollaron conocimientos relacionados con la Estadística antes de la llegada de los españoles. 4. Para representar porcentajes, es útil el gráfico de dispersión. 5. El histograma se utiliza para graficar datos que están agrupados. 6. La media aritmética y la mediana son siempre iguales. 7. Se puede calcular la media aritmética de un conjunto de datos, aunque los datos estén agrupados. II. Aplica lo que aprendiste en la Unidad para desarrollar las siguientes actividades. 1. En el año 2003, y también el 2008, el INE realizó un estudio, que arrojó los siguientes resulta- dos respecto a la pregunta: ¿Qué tan seguro se siente caminando solo en su barrio cuando ya está oscuro? a. Observa el gráfico de barras que muestra las diferencias entre los dos estudios. ¿A qué crees que se deba esta diferencia? b. ¿Cómo interpretas el cambio de opinión de las personas que contestaron la encuesta?, ¿crees que fue un cambio radical en todos los casos? c. La encuesta fue realizada cara a cara. ¿Cómo influye este hecho en los resultados de la encuesta? Discútelo con tus compañeros y compañeras. d. ¿Qué medidas implementarías para mejorar los problemas relacionados con la seguridad? Unidad 5 2003 2008 40 ¿Qué tan seguro se siente caminando solo en su barrio cuando ya está oscuro? 35 30 25 20 15 10 5 0 Muy seguro Medianamente seguro Un poco inseguro Muy inseguro Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE). “Quinta Encuesta Nacional de Seguridad Ciudadana”. Santiago, mayo 2009. Porcentaje UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:55 Página 221
- 223. 222 | Unidad5 1. De las siguientes afirmaciones,son correctas: I. los chinos hacían censos desde hace miles de años. II. los incas utilizaban quipus para organi- zar la información. III. La obra de Graunt es considerada el origen de la Estadística. A. Solo I B. I y III C. I y II D. II y III E. I, II y III. 2. En un análisis estadístico, el conjunto de todos los elementos que conforman el objeto de estudio se llama: A. rango. B. marca de clase. C. muestra. D. población. E. datos. 3. La estatura de un grupo de personas, empleada para un estudio estadístico, es una variable: I. cuantitativa. II. continua. III. discreta. A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. I y II E. I y III 4. El tipo de muestra que es adecuado escoger para un estudio estadístico, es: A. una muy pequeña. B. una proporcional a la población. C. una representativa de la población. D. una igual a la población. E. según sea el caso. 5. La siguiente tabla de frecuencias muestra las calificaciones de un examen de Matemática. ¿Cuál es la proposición falsa? A. Hay 6 estudiantes que tienen una calificación entre 6,0 y 6,9. B. Hay 14 estudiantes que tienen una calificación mayor a 4,9. C. El total de la muestra es de 40 estudiantes. D. Hay 13 estudiantes que obtuvieron nota insuficiente. E. Hay 11 estudiantes que calificaron con nota inferior a 7,0 y superior a 6,0. III. Resuelve los siguientes ejercicios y selecciona la alternativa correcta en cada caso. Calificaciones Cantidad de estudiantes 7,0 3 6,0-6,9 6 5,0-5,9 5 4,0-4,9 13 3,0-3,9 10 2,0-2,9 3 UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:55 Página 222
- 224. Estadística I |223 6. ¿En qué conjunto de datos coinciden la media, mediana y moda? A. 3, 4, 5, 9, 10, 11 B. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 C. 6, 3, 4, 6, 8, 9, 6 D. 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5 E. 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 7. El parámetro que coincide siempre con un dato es: A. la media. B. la moda. C. la mediana. D. la desviación típica. E. Ninguna de las anteriores. 8. La tabla muestra las edades de los jóvenes de un grupo de una parroquia. Con respecto a la información de la tabla, es falso que: A. el 25% tiene 15 años. B. la moda es 16 años. C. la media es alrededor de 15 años. D. el 35,7% tiene más de 16 años. E. la mediana es 16 años. Dado el siguiente gráfico, contesta las preguntas 9 y 10. 9. El gráfico corresponde a un: A. gráfico circular. B. histograma. C. gráfico de barras. D. pictograma. E. gráfico de dispersión. 10. El gráfico anterior nos sirve para: A. expresar información de datos agrupados. B. comparar frecuencias de los valores. C. representar porcentajes. D. estudiar la homogeneidad o heterogeneidad de datos. E. representar variables cualitativas. 11. (Ensayo PSU, 2004). La distribución del número de horas que duraron encendidas 200 ampo- lletas está dada en el gráfico siguiente. La du- ración promedio de una ampolleta en horas, aproximadamente, es: A. 1 B. 380 C. 400 D. 480 E. 580 Unidad 5 Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. Edad fi 14 6 15 8 16 12 17 6 Total 32 5 30 0 50 100 Nº de ampolletas 40 50 60 70 10 15 20 fi 200 400 600 800 horas UNIDAD 5 (194-223)C :Maquetación 1 4/11/10 16:55 Página 223
- 225. Estadística II 6 224 |Unidad6 Rango Desviación media Desviación estándar Cuartiles, deciles y percentiles Niveles de confianza Muestras Distribución normal Calcular e interpretar medidas de dispersión. Calcular e interpretar medidas de posición. Conocer y trabajar con muestras, identificando niveles de confianza y margen de errores. Evaluar críticamente información estadística extraída de medios de comunicación. Estimar intervalos de confianza para la media de una población, a partir de una muestra dada. TRABAJANDO CON: APRENDERÁS A: UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:56 Página 224
- 226. Estadística II |225 Conversemos de... Las medidas de tendencia central no siempre son suficientes para describir las características de una población o de una muestra, porque no entregan información sobre la variedad de valores posibles al interior de la muestra. Por este motivo, se calculan algunos valores que permiten compren- der la dispersión de los datos. Por otra parte, se hace necesario reconocer si un dato particular se iden- tifica con la media de la población, o corresponde a valores menores o mayores que la media. 1. Considerando que estos jóvenes tienen entre 17 y 18 años y que la que viste polera blanca mide 1,80 m, ¿son altos para su edad?, ¿están dentro del promedio? Explica. 2. Asígnale un nombre a cada uno y, luego, ordénalos del más bajo al más alto. ¿Quiénes están en el tercio inferior, considerando su estatura? 3. Si ahora tomamos en cuenta toda la población de jóvenes chilenos de 17 y 18 años, ¿ellos siguen perteneciendo a este tercio inferior? Justifica. Latinstock UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:56 Página 225
- 227. 226 | Unidad6 ¿Cuánto sabes? 1. Calcula los siguientes porcentajes. a. 10% de 457 c. 99% de 1246 e. 18% de 310 000 b. 25% de 398 d. 5,7% de 45 980 f. 60% de 94 327 2. Completa. a. 281,49 representa el ____% de 853. b. 38 000 representa el ____% de 95 000. c. 13 891,5 representa el ____% de 18 522. d. 2809,8 representa el ____% de 46 830. e. 652 representa el ____% de 65 200. 3. En una empresa se ha entregado la planilla de sueldos correspondiente al mes de julio. Complétala para poder saber cuánto dinero recibe cada persona al cobrar su sueldo. 4. Los siguientes datos corresponden al contenido de nicotina, en miligramos, de doce cigarrillos: 1,09 1,74 1,58 2,1 1,64 1,79 1,37 1,75 1,92 2,03 1,47 1,72 a. Calcula la media del contenido de nicotina. b. Calcula la mediana del contenido de nicotina. Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno. Nombre Sueldo (imponible) Descuentos legales Sueldo líquido Fonasa o Isapre (7% del imponible) AFP (13% del imponible) Daniel $ 165 249 Carolina $ 237 860 Andrea $ 251 925 Sebastián $ 318 004 UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:56 Página 226
- 228. 5. La siguientetabla de frecuencias nos muestra la cantidad de estu- diantes por curso en una escuela. Determina si cada proposición es verdadera o falsa. Justifica tu decisión en cada caso. a. La mediana es 42,5 alumnos, correspondiente al valor inter- medio entre 42 y 43. b. La moda es 4, porque es el mayor valor que se repite. c. La media aritmética es aproximadamente 43; por lo tanto, en promedio los cursos tienen 43 alumnos. Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. Estadística II | 227 Unidad 6 ¿Qué debes recordar? • Para calcular el a% de un número b cualquiera, se puede aplicar el siguiente procedimiento: · b. O calcular x · b, donde x es la expresión decimal que representa el a%. • Sean a, b dos números reales cualesquiera, para calcular a qué porcentaje corresponde a de b, se puede aplicar el siguiente procedimiento: Si x es el porcentaje, entonces x = . • Población: es un conjunto de personas, situaciones o cosas de las que se desea hacer un estudio y las cuales tienen una característica en común. • Muestra: es un subconjunto cualquiera de la población. • Media aritmética: cociente entre la suma de todos los valores de un conjunto de datos y la frecuencia total de estos. • Mediana: dato que ocupa el valor central de un conjunto de datos ordenados según su magnitud (decreciente o creciente). • Moda: es el valor que presenta una mayor frecuencia en un conjunto de datos. a · 100 b a 100 Cantidad de estudiantes 40 41 42 43 44 45 Frecuencia 4 2 2 5 4 10 UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:56 Página 227
- 229. 228 | Unidad6 Medidas de dispersión Analicemos... Cecilia, la directora de un colegio, debe inscribir a dos alumnas en la prueba de 400 metros planos de un campeonato de atletismo. Para decidir a quién enviar, mide y compara los tiempos, en segun- dos, obtenidos por las alumnas de la selección del colegio. Observa. En la situación anterior, si Cecilia calcula la media aritmética de los tiempos de cada una, no puede tomar una decisión, ya que todas tienen el mismo tiempo promedio. Anteriormente, utilizamos el rango para indicar el tamaño de cada intervalo en una tabla de frecuencias. En general, se calcula como la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable. Aunque no es muy significativo, el rango nos indica cuán dispersos se encuentran los datos entre los valores de los extremos. Observa. Como el valor del rango de los tiempos de Andrea es menor que el de Isabel, se puede decir que sus tiempos son menos dispersos. Por lo tanto, sería más apta para participar en el campeonato. Pero el rango no es suficiente para que Cecilia tome una decisión. La media aritmética de los tiempos de las alumnas es de 79,9. Al calcular la diferencia de cada tiempo con respecto a la media arit- mética, se obtiene la desviación del tiempo con respecto a x. Ob- serva las desviaciones medias de cada uno de los tiempos en la tabla siguiente. • Basándose en estos datos, ¿cómo podría Cecilia tomar su decisión? • Calcula el promedio de los tiempos, para cada una. ¿A quién escogerías tú?, ¿por qué? • Además del promedio, ¿qué otros elementos podrías considerar de los datos anteriores que permitan tomar una decisión? Explica. Glosario desviación: diferencia entre la me- dida de una magnitud y el valor de referencia. Carolina 83 79 81 79 80 81 80 79 80 77 Javiera 83 77 75 82 83 81 80 79 82 77 Isabel 79 78 81 81 85 79 86 79 77 74 Andrea 80 79 80 79 80 81 80 79 80 81 Carolina Javiera Isabel Andrea Rango 4 8 12 2 Campeonato de atletismo. UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:56 Página 228
- 230. Estadística II |229 Unidad 6 Como puedes ver, la suma de las desviaciones medias en cada caso resulta 0, por lo que no es útil para resumir estos datos. En cambio, se pueden sumar los valores absolutos de la desviación, en cada caso, lo que nos indica cuán cercano o lejano está de la media aritmética. La desviación absoluta de cada una corresponde a la suma de los valores absolutos de todas las desviaciones medias. Como el valor de la desviación absoluta de Carolina y Andrea es menor, entonces su rendimiento es más estable que el de Isabel y Javiera. Con esto, Cecilia ya podría tomar una decisión. Continuando con el análisis de quién representará al colegio en el campeonato, observa los valores siguientes, que son los cuadrados de cada desviación, en cada caso. La raíz cuadrada de la suma de estos valores, para cada una, es la desviación estándar. Observa que los valores de la desviación estándar de los tiempos de Carolina y Andrea son los menores; entonces, podemos decir que sus tiempos están más cercanos a la media, y son menos dispersos. Por lo tanto, se confirma que son las más indicadas para represen- tar al colegio. • La idea de desviación representa el mayor o menor alejamiento de un dato con respecto a x. • La desviación se puede calcular con respecto a cualquier valor, no solo a la media aritmética. Esta puede ser positiva, cero o negativa. Pon atención • Ladesviaciónestándaresmuysen- sible a pequeñas variaciones que se producen respecto a la media. • La desviación estándar s es un valor de la misma naturaleza que los datos con que se calcula. Si el valor de s en un conjunto de tiem- pos es s = 1,8, el número 1,8 se refiere al tiempo,en segundos, en este caso. Pon atención Carolina 3,1 –0,9 1,1 –0,9 0,1 1,1 0,1 –0,9 0,1 –2,9 Javiera 3,1 –2,9 –4,9 2,1 3,1 1,1 0,1 –0,9 2,1 –2,9 Isabel –0,9 –1,9 1,1 1,1 5,1 –0,9 6,1 –0,9 –2,9 –5,9 Andrea 0,1 –0,9 0,1 –0,9 0,1 1,1 0,1 0,1 –0,9 1,1 Carolina Javiera Isabel Andrea Desviación absoluta 11,2 23,2 26,8 5,4 Carolina 9,61 0,81 1,21 0,81 0,01 1,21 0,01 0,81 0,01 8,41 Javiera 9,61 8,41 24,01 4,41 9,61 1,21 0,01 0,81 4,41 8,41 Isabel 0,81 3,61 1,21 1,21 26,01 0,81 37,21 0,81 8,41 34,81 Andrea 0,01 0,81 0,01 0,81 0,01 1,21 0,01 0,01 0,81 1,21 Glosario desviación estándar:medida usada para cuantificar la desviación de las distintas observaciones de un con- junto de datos respecto de su media. Carolina Javiera Isabel Andrea Desviación estándar 2,3927 4,2101 5,3596 1,1068 UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:56 Página 229
- 231. 230 | Unidad6 Desviación estándar para datos agrupados Considera la siguiente tabla, que indica el tiempo de espera de los pacientes en un consultorio. Observa cómo se puede calcular la media aritmética si los datos están agrupados. x = = = 30,87 Es decir, el tiempo de espera es, en promedio, de casi 31 minutos. Para calcular la desviación estándar, se siguen los pasos siguientes: 1º Calcular la desviación entre la media aritmética y la marca de clase, en cada caso. 2º Elevar este resultado al cuadrado. 3º Multiplicar cada valor por la frecuencia correspondiente. 4º Sumar todos estos valores, y dividir este resultado por el total de datos. 5º Calcular la raíz cuadrada de este cociente. Paso 4: = 193,9627 Es decir, la desviación estándar de los tiempos de espera es de aproximadamente 14 minutos. Las medidas de dispersión como el rango, la desviación con res- pecto a la media y la desviación estándar, determinan cuán cer- canos o lejanos están los datos en relación a la media aritmética y también indican el grado de variabilidad de los datos, lo que nos permite realizar un análisis más completo. 10 086,0588 52 1605 52 6 · 7,5 + 21 · 22,5 + 15 · 37,5 + 10 · 52,5 6 + 21 + 15 + 10 La marca de clase representa los datos pertenecientes a una clase. Se calcula como la media entre el valor inferior y el valor superior del inter- valo o clase. Recuerda que... Tiempo (minutos) Frecuencia Marca de clase [0, 15[ 6 7,5 [15, 30[ 21 22,5 [30, 45[ 15 37,5 [45, 60] 10 52,5 Tiempo (minutos) Paso 1 Paso 2 Paso 3 [0, 15[ 30,87 – 7,5 = 23,37 546,1569 3276,9414 [15, 30[ 30,87 – 22,5 = 8,37 70,0569 1471,1949 [30, 45[ 30,87 – 37,5 = –6,63 43,9569 659,3535 [45, 60] 30,87 – 52,5 = –21,63 467,8569 4678,5690 Paso 5: = 13,9270 193 96 , UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:56 Página 230
- 232. Estadística II |231 Unidad 6 1. El análisis de las notas de un curso señala que en ambos semestres el promedio en Matemática es 5,1. Además, la nota máxima es 7,0 y la mínima es 3,2. Sin embargo, los estudiantes tienen la sensación de que obtuvieron mejores resultados en un semestre que en otro. Responde las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es el valor del rango en cada semestre?, ¿qué semestre presenta calificaciones más dispersas, en relación al promedio? b. ¿Cuánto es el valor de la desviación media en cada semestre? c. Según la situación, ¿cómo interpretarías el valor de la desviación media? ¿Corrobora la “sensación” de los estudiantes? 2. Agrupa las notas de la actividad anterior en intervalos, para cada semestre. a. Calcula la desviación estándar de la distribución. b. Compara los valores obtenidos a partir de los datos concretos con los obtenidos a partir de los datos agrupados. ¿Qué puedes concluir? Actividades En resumen • La desviación de una variable x con respecto a la media aritmética x está dada por: d = x – x. • La suma de las desviaciones de todos los datos con respecto a su media aritmética es cero. • La desviación media es la media aritmética de las desviaciones absolutas respecto a la media. • La desviación estándar expresa el grado de dispersión de los datos con respecto a la media aritmética. Se puede calcular de las siguientes formas: • , para datos no agrupados. s x x x x x x x x n n = − ( ) + − ( ) + − ( ) + + − ( ) 1 2 2 2 3 2 2 ... Primer semestre 7,0 6,9 6,5 5,8 5,6 5,6 5,7 5,6 5,4 5,2 5,4 5,2 4,8 4,8 4,3 4,3 4,5 4,3 4,1 4,1 4,1 4,1 3,2 7,0 6,8 6,3 5,2 4,8 3,2 3,2 Segundo semestre 7,0 6,1 5,7 5,4 5,3 5,3 5,3 5,3 5,2 5,2 5,2 5,1 5,0 5,0 5,0 4,7 5,0 4,9 4,1 4,6 4,7 4,5 3,2 6,4 6,0 5,5 5,0 5,0 4,5 3,2 • , para datos agrupados. En este caso, xk corresponde a la respectiva marca de clase. s f x x f x x f x x f x n = − ( ) + − ( ) + − ( ) + + 1 1 2 2 2 2 3 3 2 · · · ... · n n x n − ( )2 UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:56 Página 231
- 233. 232 | Unidad6 El gráfico de dispersión se realiza trazando puntos en un plano coor- denado de acuerdo con los pares de valores observados para mostrar la relación entre dos variables. Recuerda que... Correlación Analicemos... Al analizar algunos gráficos de dispersión se puede advertir, por ejemplo, si existe o no alguna asociación entre las variables. Observa. Muchas veces se necesita analizar los valores de dos variables es- tadísticas distintas sobre una misma población, con el fin de de- terminar si existe alguna relación entre ellas; esto es, si los cambios en una de ellas influyen en los valores de la otra. Si es así, se dice que hay correlación entre las variables. En general, al observar un gráfico de dispersión, se puede apreciar si los puntos se agrupan cerca de alguna curva. Si esta curva es creciente, se dice que la correlación es positiva: al aumentar una variable, la otra tiene también tendencia a aumentar. Si la curva es decreciente, la co- rrelación es negativa: al aumentar una variable, la otra tiene tenden- cia a disminuir. Si no existe relación, se dice que su correlación es nula. Además de observarla en el gráfico, se puede medir la correlación usando el coeficiente de correlación lineal de Pearson r, que se puede calcular mediante la expresión donde sx es la desviación estándar de la variable x y sy es la desviación estándar de la variable y. • ¿En cuál o cuáles de los gráficos anteriores existe una asociación entre las variables?, ¿por qué? • ¿Qué puedes concluir acerca de los datos representados en el gráfico III? Explica. • ¿Cuál de los gráficos anteriores podría representar los datos de masa y estatura de un grupo de estudiantes?, ¿por qué? • ¿Cuál de ellos podría representar la relación entre la edad de una persona y los años que le quedan para jubilar? Justifica. Gráfico I Gráfico II Gráfico III Glosario correlación:relación estadística entre dos variables. r x y x y x y n x y s s n n x y = ⋅ + ⋅ + + ⋅ − ⋅ ⋅ 1 1 2 2 ... UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:56 Página 232
- 234. Estadística II |233 Unidad 6 El valor de r varía entre –1 y 1, de modo que: • r cercano a 1, indica correlación positiva. • r cercano a –1, indica correlación negativa. • r cercano a cero, indica correlación nula. Por ejemplo, en el siguiente gráfico se observan datos de masa y estatura obtenidos de nueve alumnas de Cuarto Año Medio. Se observa una correlación positiva entre las variables. De hecho, en este caso, la correlación para estos datos es 0,671. 1. En las siguientes situaciones, señala si la correlación debiera ser positiva, negativa o nula. a. Cantidad de hijos de una familia y dinero gastado por esa familia en alimentación. b. Longitud de la mano y longitud del pie. c. Nivel de endeudamiento y la renta de una persona. d. Edad de una persona y cantidad de libros que ha leído. e. Número de trabajadores y tiempo de demora en realizar un trabajo. 2. Si el coeficiente de correlación de Pearson de dos variables es cero, ¿es correcto afirmar que las variables no están relacionadas? Explica. 3. Al estudiar la relación entre la masa y la edad de los niños y niñas de un jardín infantil, se obtuvo que el coeficiente de correlación de Pearson era de 0,85. Por otra parte, en una casa de reposo para ancianos se hizo el mismo estudio, y se obtuvo como coeficiente de correlación 0,345. ¿Existe un grado de asociación entre la edad y la masa de una persona?, ¿por qué?, ¿qué puedes concluir? Justifica. Actividades En resumen • La correlación de dos variables corresponde al grado de asociación que existe entre ellas. La correlación puede ser: • positiva: si están directamente relacionadas. • negativa: si se relacionan de manera inversa. • nula: si no existe relación entre ellas. • La correlación se puede medir usando el coeficiente de correlación lineal de Pearson. Este coeficiente varía entre –1 y 1. 0 1,6 1,65 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Masa (kg) Estatura (m) 1,7 1,75 1,8 1,85 UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:56 Página 233
- 235. 234 | Unidad6 Diagrama de tallo y hojas Se registró la presión sistólica (en mmHg) de 40 pacientes y se ob- tuvieron los siguientes datos: 121, 143, 156, 162, 134, 122, 119, 136, 148, 160, 146, 154, 132, 116, 153, 121, 143, 154, 127, 118, 128, 120, 163, 156, 117, 128, 149, 135, 143, 167, 115, 163, 157, 138, 129, 143, 143, 129, 139, 122 Si observas los datos anteriores, podrás apreciar que los datos se encuentran entre 110 y 170, así como que varios de ellos están entre 110 y 119, otros están entre 120 y 129, y así sucesivamente. Basados en esta idea, se puede construir un diagrama de tallo y hojas, que nos permite organizar los datos. Observa. Se divide cada número en dos partes: un tallo, por ejemplo, en este caso, 12 ó 14, y una hoja, tal como 2 ó 3. Por ejemplo, el primer valor, 121, se separa en 12 y 1. Luego, se escribe la hoja, 1, en la fila correspondiente al tallo, 12. 11 5 6 7 8 9 12 0 1 1 2 2 7 8 8 9 9 13 2 4 5 6 8 9 14 3 3 3 3 3 6 8 9 15 3 4 4 6 6 7 16 0 2 3 3 7 Con el diagrama anterior podemos visualizar que, en este grupo, la mayoría de los pacientes registra una presión sanguínea que bordea los 130 mmHg. Además, es muy fácil determinar el menor valor observado, 115, y el mayor, 167. En resumen • Otra forma de organizar la información es utilizando el diagrama de tallo y hojas, que nos sirve para analizar la variabilidad de los datos, o bien para comparar dos grupos diferentes. Analicemos... • ¿En qué intervalo de valores se concentran los datos presenta- dos?, ¿para qué valores se presentan menos casos? Explica. • ¿Crees que este conjunto de datos es poco variable o muy varia- ble?, ¿por qué?, ¿qué puedes concluir? Glosario diagrama de tallo y hojas:diagrama que permite resumir u ordenar un conjunto de datos, de modo de conocer intuitivamente la forma de su distribución. Se utiliza para estu- diar la dispersión de los valores de una muestra. En este caso, el tallo representa la cifra de las decenas, y las hojas, las unidades. Pon atención Médico tomando la presión sistólica. UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:56 Página 234
- 236. Estadística II |235 Unidad 6 1. Dibuja un diagrama de tallo y hojas para el siguiente conjunto de datos. Luego, responde. a. ¿Cuál es la mediana de los datos? b. ¿Cuál es el rango de los datos? c. ¿Cómo es la dispersión de los datos? 2. A continuación se presentan los resultados de dos cursos en una prueba. 4ºA 4ºB a. Construye un diagrama de tallo y hojas para cada curso. b. ¿Cuál de los dos cursos tuvo un rendimiento más homogéneo?, ¿por qué? 3. Los siguientes datos corresponden a la tasa bruta de natalidad y mortalidad infantil de algunos países de Latinoamérica. a. Construye un diagrama de tallo y hojas para los datos anteriores. b. Se afirma que la tasa de mortalidad infantil correspondiente a países africanos es de aproximadamente 180. ¿A qué crees que se debe la diferencia entre países latinoamericanos y africanos? c. ¿A qué problemas puede conllevar la diferencia entre tasas de natalidad y mortalidad? Actividades 50 28 25 68 62 57 58 37 35 33 22 27 51 55 43 40 37 39 34 43 27 32 49 70 43 48 40 42 57 40 46 53 45 50 60 41 53 45 48 53 3,2 3,5 4,9 5,0 3,1 4,1 2,9 2,8 3,8 4,5 5,8 3,9 3,6 4,2 4,6 1,9 2,8 2,9 3,3 3,9 4,6 4,4 3,8 3,6 4,5 4,1 4,1 4,3 4,3 4,2 3,5 2,9 1,3 1,7 3,6 5,6 2,8 5,2 5,3 4,1 5,1 4,3 5,3 3,2 2,8 2,6 5,5 5,4 4,8 4,9 5,4 4,2 4,4 4,3 1,6 2,9 4,1 3,9 Natalidad (niños nacidos vivos en un año, por cada 1000 habitantes): 27 20 20 21 21 16 19 15 24 15 18 17 Mortalidad (número de muertes al año por cada 1000 habitantes, niños menores de cinco años): 21 57 20 22 20 19 28 14 29 9 16 22 Fuente: Organización Panamericana de la Salud. 2009. http://new.paho.org UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:56 Página 235
- 237. 236 | Unidad6 Muestras al azar Eduardo y Antonia llegaron al Parque Nacional Pan de Azúcar a estudiar la fauna del lugar. Para calcular la población total de una colonia de pingüinos Humboldt que habita en el parque, si- guieron el siguiente procedimiento: durante cuatro días capturaron 120 pingüinos, a los cuales marcaron con una cinta. Una semana des- pués, en diversos sitios del parque, capturaron 160 pingüinos, de los cuales 30 estaban marcados. • A partir de esta información, ¿cuál es la población total de pingüinos? Explica. • Si capturaran nuevamente 160 pingüinos, ¿obtendrían el mismo resultado?, ¿por qué? • ¿Esta muestra es representativa? Justifica. Analicemos... En ocasiones, se necesita obtener el número de elementos que tiene una población. Para este fin, se toma una muestra, se marca y se devuelve a la población originaria. Luego, se toma una se- gunda muestra, y con los elementos marcados de esta muestra, se forma una razón con su total, entregando así un valor aproximado del tamaño de la población. En el caso presentado, el tamaño de la población de pingüinos se calcula: = N = = 640 Es decir, 640 pingüinos habitan en el Parque Nacional Pan de Azúcar. El cálculo anterior no es más que una estimación de la cantidad de población, ya que dependerá de lo representativa que sea la mues- tra escogida. La estimación en la práctica es muy difícil, por esta razón se toman varias muestras para mejorarla. Para que la muestra sea representativa se deben considerar varios aspectos; uno de ellos es el tamaño de la muestra: mientras mayor sea su tamaño, mayor será su confiabilidad, pero a su vez más cos- toso será el estudio. Otro aspecto que se relaciona con el muestreo, es que todos los integrantes de la población tengan la misma proba- bilidad de ser seleccionados para conformar la muestra; por este motivo, la selección debe ser al azar. En este caso se dice que la muestra es una muestra aleatoria. 160 ·120 30 120 N 30 160 Glosario muestreo:forma de seleccionar a un individuo de la población para una muestra.Algunos tipos de muestreo son: aleatorio, sistemático, estratifi- cado, entre otros. Una muestra representativa es un subconjunto o subgrupo de la población que tiene la capacidad de reproducir a pequeña escala las ca- racterísticas de la población. Recuerda que... Pingüinos de Humboldt. UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:56 Página 236
- 238. Estadística II |237 Unidad 6 Si se desea conocer la media aritmética de una población, a partir de los datos de la muestra, se puede obtener un intervalo de confianza, de modo que se pueda asegurar que la media se encuentra den- tro del intervalo, con un nivel de confianza dado. La media poblacional se encuentra en el siguiente intervalo de confianza: ,donde x –: media muestral. k: coeficiente asociado al nivel de confianza. s: desviación estándar de la muestra. n: número de elementos de la muestra. El margen de error depende del nivel de confianza y del tamaño de la muestra, ya que el error corresponde a . Ejemplo Los siguientes datos son los puntajes obtenidos para 45 personas de una escala de depresión (mayor puntaje significa mayor depresión). Para determinar un intervalo de confianza para el puntaje prome- dio de la población, se puede remplazar en la expresión la media muestral, x – = 14,5, la desviación estándar muestral, s = 4,3, y el valor de k = 1,96, que corresponde a un nivel de confianza de 95%. Luego, un intervalo de confianza aproximado es: Es decir, el puntaje promedio de la población se encuentra entre 13,2 y 15,8, con un nivel de confianza de un 95%. E k s n = ⋅ Glosario intervalo de confianza: intervalo en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro que se está estimando, con una probabilidad determinada. nivel de confianza:es la probabilidad dequeelintervalocalculadocontenga al verdadero valor del parámetro. 2 5 6 8 8 9 9 10 11 11 11 13 13 14 14 14 14 14 14 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 18 18 18 19 19 19 19 19 19 19 19 20 20 Un parámetro es una característica numérica de una población. Corres- ponde a una constante fija para cada estudio particular;por ejemplo, la media aritmética de la población. Recuerda que... El coeficiente k se obtiene de la siguiente tabla: Pon atención Nivel de confianza (%) Coeficiente k 68 0,99 75 1,15 80 1,28 90 1,64 95 1,96 96 2,05 97 2,17 98 2,32 99 2,58 x k s n x k s n − ⋅ + ⋅ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ , 14 5 1 96 4 3 45 14 5 1 96 4 3 45 13 2 , , , , , , , , , − ⋅ + ⋅ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ = 1 15 8 , [ ] UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:56 Página 237
- 239. 238 | Unidad6 En ocasiones, cuando se está planificando un estudio, los investi- gadores necesitan estimar el tamaño de la muestra que les entre- garía un nivel de confianza adecuado a sus requerimientos. En estos casos, la expresión para el intervalo de confianza se puede utilizar para estimar cuál sería el tamaño de la muestra necesario para obtener un nivel de confianza dado. Observa. El tamaño de la muestra se puede calcular de la siguiente forma: donde k: nivel de confianza σ: desviación estándar de la población E: margen de error Ejemplo En un colegio de 1600 alumnos y alumnas se está estudiando la relación entre la estatura de los niños y niñas al nacer y otras varia- bles. Se sabe que la desviación estándar de la población es de 1,5 cm y se desea estimar la media con un 99% de confianza y con un error máximo de 0,5 cm. Entonces, se debe tomar una muestra de al menos 60 estudiantes. 1. Una marca de artículos deportivos está interesada en conocer el promedio de edad de sus clientes. Una muestra aleatoria de 25 clientes arrojó una edad promedio de 19 años, con una desviación estándar de 3 años. Determinar el intervalo de confianza para la edad promedio de los clientes y su amplitud, con un nivel de confianza de 95%. 2. Una muestra aleatoria de 81 televisores reportó que el intervalo de confianza para el tiempo promedio de presentación de fallas técnicas (en años) fue de [2,113, 2,287]. Considerando que la desviación estándar es de 0,4 años, ¿cuál es el nivel de confianza de este intervalo? Actividades Glosario tamaño de la muestra:corresponde al número mínimo de datos o sujetos que se necesitan para conformar una muestra n que asegure un error estándar menor que un valor deter- minado, fijado por el investigador, dada la población N. x: media muestral. s: desviación estándar muestral. μ: media poblacional. σ: desviación estándar poblacional. Pon atención n k E = ⋅ ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ σ 2 n = ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = ≈ 2 58 1 5 0 5 59 9076 60 2 , , , , UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 238
- 240. Estadística II |239 Unidad 6 En resumen • La media poblacional se encuentra en el siguiente intervalo de confianza: , donde x: media muestral. k: coeficiente asociado al nivel de confianza. s: desviación estándar de la muestra. n: número de elementos de la muestra. • El margen de error corresponde a . , donde k: nivel de confianza. σ: desviación estándar de la población. E: margen de error. • Se puede estimar el tamaño de la población realizando dos muestras sucesivas y, luego, despejando N de la ecuación: = , donde n1 : tamaño de la primera muestra. n2 : tamaño de la segunda muestra. m: número de individuos marcados en la segunda muestra. N: tamaño de la población. n1 N m n2 n k E = ⋅ ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ σ 2 E k s n = ⋅ x k s n x k s n − ⋅ + ⋅ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ , 3. Uno de los objetivos de un estudio acerca de los hábitos deportivos es conocer la proporción de jóvenes que corren diariamente durante dos o más horas. a. Para realizar la estimación al 95% de confianza con un margen de error máximo de 0,01 y un desviación estándar de 0,5, ¿cuál es el tamaño necesario para la muestra? b. ¿Qué ocurre con el tamaño muestral si se aumenta el nivel de confianza a un 99%, manteniendo el margen de error? Justifica tu respuesta. c. ¿Qué sucede con la amplitud del intervalo en el caso anterior?, ¿por qué piensas que ocurre esto? 4. Para estimar la cantidad de salmones en un lago se realizaron las siguientes acciones: I. Se capturó una muestra al azar, se les marcó y fueron devueltos al agua. II. Poco tiempo después, se obtuvo una nueva muestra, se registró la proporción de salmones marcados versus el total de especies de la muestra. Si en el primer proceso se capturaron y marcaron 100 salmones, y posteriormente se capturaron 80, de los cuales 20 están marcados, ¿cuántos salmones hay aproximadamente en el lago? • El tamaño de la muestra se puede calcular de la siguiente forma: UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 239
- 241. 240 | Unidad6 Distribución normal Matilda y Emiliano conjeturan acerca de cuáles son los resultados posibles de la suma de los puntos obtenidos al lanzar tres dados. Matilda cree que es más probable que sumen 10 puntos o menos, mientras Emiliano piensa que es más probable que sumen 11 pun- tos o más. Para comprobar sus conjeturas, decidieron lanzar 220 veces tres dados y, luego, anotar las sumas de sus puntos, en cada caso. Des- pués, organizaron los valores obtenidos en la siguiente tabla: Como se puede observar en la tabla de la situación anterior, los valores centrales, del 8 al 13 en este caso, presentan las mayores frecuencias, mientras que los valores extremos, 3, 4, 17 y 18, en este caso, son los menos frecuentes. En general, si se repite una experiencia un gran número de veces, los resultados tienden a agruparse simétricamente en torno a un valor medio. Cuantas más veces se repita la experiencia, más se acercan los resultados a una curva ideal correspondiente a una distribución normal. Al observar las características de la curva, llamada campana de Gauss, se puede ver que es simétrica con respecto a la media, tiene un vértice, y que sus dos extremos se extienden indefinidamente, acercándose a 0. Analicemos... • ¿Cuáles son los valores menos frecuentes?, ¿cuáles son los más frecuentes?, ¿por qué crees que ocurre esto? • Si decidieran lanzar los dados 100 veces más, ¿se mantendría esta tendencia? Justifica. • Según los datos, ¿se comprueba la conjetura de Matilda o la de Emiliano?, ¿por qué? Suma 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Frecuencia 2 3 6 10 15 21 25 28 27 25 20 16 11 7 3 1 Glosario distribución normal: una de las dis- tribuciones de probabilidad de varia- ble continua, cuyos parámetros son μ, la media aritmética, y σ, la des- viación estándar. Se le llama normal porque es la que con más frecuen- cia aparece en fenómenos reales. campana de Gauss: μ UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 240
- 242. Estadística II |241 La distribución de probabilidad normal ocupa un lugar importante en la Estadística, porque en general se ajusta a las distribuciones de frecuencia reales observadas en muchos fenómenos, incluyendo características humanas (peso, estatura, CI, etc.) y resultados de procesos físicos (dimensiones y rendimientos). Cuando se conocen los valores de μ y σ de un conjunto de datos, mediante la distribución normal se puede estimar el porcentaje de individuos asociados a un intervalo de valores. En el caso de los datos obtenidos por Matilda y Emiliano, μ = 10,5 y σ = 3,0, se puede decir que el 68,3% de los datos obtenidos se encuentran en el intervalo [μ – σ, μ + σ]; esto es, en [7,5, 13,5]. Del mismo modo, se puede decir que el 95,5% de los datos obtenidos se encuentran en el intervalo [μ – 2σ, μ + 2σ]; esto es, en [4,5, 16,5]. Y que el 99,7% de los datos obtenidos se encuentran en el inter- valo [μ – 3σ, μ + 3σ]; esto es, en [1,5, 19,5]. Si X es una variable que se distribuye N(μ, σ), utilizando un cambio de variable, se define Z = ; se puede demostrar que ahora Z distribuye N(0, 1). La ventaja de la variable Z es que existen valores tabulados para ella (ver tabla de la página siguiente), de modo que se pueden hacer cálculos de probabilidades y tamaños de grupos de población usando correctamente la tabla, y luego realizando los cálculos correspondientes. X – μ σ Unidad 6 Si una población tiene distribución normal con media μ y desviación estándar σ, anotamos que ella dis- tribuye N(μ, σ). Pon atención μ – 2σ μ + 2σ μ μ 95,5% μ – σ μ + σ μ 68,3% μ – 3σ μ + 3σ 99,7% z P(Z z) UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 241
- 243. 242 | Unidad6 Ejemplo El resultado de una prueba de Cuarto Año Medio, tiene una dis- tribución N(5,3; 0,6). El total de estudiantes que rindió la prueba es de 150. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un estudiante al azar este haya obtenido al menos un 6,0? Se necesita obtener P(X 6,0), entonces se puede calcular P(X 6,0), y luego restar a 1 el resultado para obtener la probabilidad pe- dida. La siguiente tabla contiene los valores de probabilidad aso- ciados a una distribución normal estándar; es decir, con μ = 1 y σ = 0. Para utilizar la tabla se requiere aplicar el correspondiente cambio de variable; en este caso, z = = = 1,16 艐 1,2. En la tabla, 1,2 corresponde a 0,8849. Es decir, P(X 6,0) = 0,8849, luego la probabilidad buscada es su complemento; esto es, P(X 6,0) = 1 – 0,8849 = 0,1151. Por lo tanto, la probabilidad de obtener un alumno con nota igual o superior a 6,0 es 0,1151, o bien se puede decir que el 11,51% de los alumnos obtuvo una nota perteneciente a ese intervalo. 0,7 0,6 6,0 – 5,3 0,6 z P(Z z) z P(Z z) z P(Z z) z P(Z z) z P(Z z) z P(Z z) –3,0 0,0013 –2,0 0,0228 –1,0 0,1587 0,0 0,5000 1,0 0,8413 2,0 0,9772 –2,9 0,0019 –1,9 0,0287 –0,9 0,1841 0,1 0,5398 1,1 0,8643 2,1 0,9821 –2,8 0,0026 –1,8 0,0359 –0,8 0,2119 0,2 0,5793 1,2 0,8849 2,2 0,9861 –2,7 0,0035 –1,7 0,0446 –0,7 0,2420 0,3 0,6179 1,3 0,9032 2,3 0,9893 –2,6 0,0047 –1,6 0,0548 –0,6 0,2743 0,4 0,6554 1,4 0,9192 2,4 0,9918 –2,5 0,0062 –1,5 0,0668 –0,5 0,3085 0,5 0,6915 1,5 0,9332 2,5 0,9938 –2,4 0,0082 –1,4 0,0808 –0,4 0,3446 0,6 0,7257 1,6 0,9452 2,6 0,9953 –2,3 0,0107 –1,3 0,0968 –0,3 0,3821 0,7 0,7580 1,7 0,9554 2,7 0,9965 –2,2 0,0139 –1,2 0,1151 –0,2 0,4207 0,8 0,7881 1,8 0,9641 2,8 0,9974 –2,1 0,0179 –1,1 0,1357 –0,1 0,4602 0,9 0,8159 1,9 0,9713 2,9 0,9981 Cuando se requieren valores ma- yores que un valor dado, para fa- cilitar el uso de la tabla, se busca su complemento. Pon atención UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 242
- 244. Estadística II |243 Unidad 6 En resumen • Una de las distribuciones probabilísticas de variables continuas es la distribución normal, cuya representación gráfica es conocida como la campana de Gauss. • Si X es una variable que se distribuye N(μ, σ), se puede definir Z = , de modo que ahora Z distribuye N(0, 1). • La variable Z se puede utilizar para calcular probabilidades y tamaños de grupos de población a partir de los valores de la tabla. X – μ σ 1. Determina en cuál o cuáles de los siguientes casos se podría tratar de una población con distribu- ción normal. a. Sueldos que se pagan en una empresa. b. Edad a la que una persona muere. 2. Las estaturas de los recién nacidos en un hospital se distribuyen N(46, 2) en cm. Calcula la probabi- lidad de que: a. un recién nacido mida menos de 44 cm. b. un recién nacido mida más de 50 cm. 3. De un colegio mixto egresaron 210 varones y 225 damas. Las edades de los varones se distribuyen N(18,8; 0,4), y las de las damas, N(18,2; 0,6). a. ¿Cuántos varones tenían más de 18 años? b. ¿Cuántas damas tenían más de 17 años? c. Si se selecciona un alumno varón al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga a lo menos 18,8 años? 4. Los tiempos, en segundos, realizados en las prácticas de atletismo del Colegio Cordillera se dis- tribuyen N(12,8, 0,8) y los tiempos del Colegio Entrelagos se distribuyen N(12,2, 1). Determina qué porcentaje de atletas: a. del Colegio Cordillera demoraron más de 12,8 segundos. b. del Colegio Cordillera demoraron menos de 13,6 segundos. c. del Colegio Entrelagos demoraron más de 10,2 segundos. d. del Colegio Entrelagos demoraron menos de 13,2 segundos. Actividades UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 243
- 245. 244 | Unidad6 • En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores. • Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Qué es el intervalo de confianza? Explica. 3. ¿Cuál es la diferencia entre una desviación y la desviación estándar? 4. ¿Cómo se calcula el tamaño de la población utilizando dos muestras sucesivas? Explica. 5. ¿Qué características tiene una correlación si r es cercano a 1? 6. ¿Qué ventajas tiene el diagrama de tallo y hojas? 7. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto. Organizando lo aprendido DATOS ESTADÍSTICOS se analizan mediante DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS MUESTRA ALEATORIA MEDIDAS DE DISPERSIÓN tales como constituyen una se puede calcular el y el se organizan en si poseen dos o más se puede estudiar su VARIABLES RANGO DESVIACIÓN MEDIA DESVIACIÓN ESTÁNDAR CORRELACIÓN se estima mediante el bajo un cuando tienen su representación es PARÁMETRO TAMAÑO DE LA POBLACIÓN TAMAÑO DE LA MUESTRA INTERVALO DE CONFIANZA NIVEL DE CONFIANZA DISTRIBUCIÓN NORMAL CAMPANA DE GAUSS UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 244
- 246. Estadística II |245 Mi progreso Unidad 6 1. En un ensayo de PSU los y las estudiantes omitieron la siguiente cantidad de preguntas: 6 - 0 - 7 - 15 - 2 - 5 - 36 - 18 - 9 - 3 - 2 - 0 - 1 - 4 - 4 - 6 - 7 - 5 - 8 - 10 - 9 - 0 - 3 - 0 - 2 - 0 - 8 - 9 - 22 - 16 - 0 - 4 - 7 - 0 - 12 - 11 - 0 - 6 - 8 - 0 - 0 - 9 a. Calcula la media y la desviación estándar. ¿Qué valores distorsionan la media?, ¿por qué? b. Construye un diagrama de tallo y hojas. ¿En torno a qué valores se concentran los datos?, ¿qué puedes concluir? 2. En una empresa trabajan cuatro obreros. La antigüedad y el número de productos defectuosos elaborados por ellos durante el último año viene dado por: a. Representa gráficamente los datos. Razona si los datos expresan correlación positiva o negativa. b. Calcula el coeficiente de correlación. 3. Se ha calculado que el tiempo de espera en la fila de un banco tiene una distribución N(18, 6), en minutos. Calcula la probabilidad que tiene una persona de esperar entre 10 y 20 minutos en la fila. 4. Para estimar la cantidad de años de escolaridad de la población mayor de 30 años de una comuna, se decide tomar una muestra de 500 personas. Se sabe que la desviación estándar de la población es 3 años y la media de la muestra es 8 años. ¿Cuál es el error porcentual con un 95% de confianza? A. 0,26% B. 0,03% C. 3,25% D. 26% E. Ninguna de las anteriores. • Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas. ¿Cómo voy? CRITERIO ÍTEM PÁGINAS DONDE SE TRABAJA Calcular medidas de dispersión. 1 a 228 a 231 Calcular la correlación entre dos variables. 2 232 y 233 Construir e interpretar un diagrama de tallo y hojas. 1 b 234 y 235 Estimar el error dado el intervalo de confianza. 4 236 a 239 Calcular la probabilidad, dada la distribución normal. 3 240 a 243 Antigüedad 3 2 4 1 Productos defectuosos 4 3 3 4 UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 245
- 247. 246 | Unidad6 Medidas de posición Los siguientes datos corresponden a las estaturas, en metros, de los alumnos y alumnas de Cuarto Año Medio de un colegio. 1,56 - 1,74 - 1,68 - 1,52 - 1,48 - 1,54 - 1,60 - 1,55 - 1,49 - 1,5 - 1,56 - 1,53 - 1,72 - 1,66 - 1,53 - 1,62 - 1,59 - 1,63 - 1,68 - 1,73 - 1,72 - 1,75 - 1,86 - 1,69 -1,63 - 1,79 - 1,81 - 1,83 - 1,69 - 1,75 - 1,68 - 1,83 - 1,73 - 1,77 - 1,78 - 1,77 • Ordena todos los valores de menor a mayor. ¿Cuál es la mediana? • ¿Qué porcentaje de jóvenes de este curso mide menos de 1,72?, ¿cómo lo calculaste? • Con los datos ordenados, si se separa el grupo en cuatro partes iguales, ¿hasta qué estatura corresponde cada grupo? Justifica. Analicemos... Anteriormente aprendiste que la mediana de un conjunto de datos ordenados, de acuerdo a su magnitud, los separa en dos mitades. Ahora estudiaremos otras medidas de posición, que dividen a un conjunto de datos numéricos en cierta cantidad de partes iguales. En el ejemplo de la estatura de los y las estudiantes, luego de or- denarlos de menor a mayor, se observa que la mediana corres- ponde a 1,68. Es decir, al menos la mitad de los estudiantes miden 1,68 m o menos. Al revisar los datos, ordenados de menor a mayor, el valor 1,71 tiene el lugar 22 de un total de 36, que corresponde aproximada- mente al 60% de los estudiantes de este curso, por lo que repre- senta al 60º percentil. Los percentiles hacen referencia al lugar que ocupa un dato cuando estos están ordenados de menor a mayor. Se define como el k-ésimo percentil de un conjunto de datos al valor tal que al menos k% (con k entre 0 y 100) de los datos observados están en o por debajo de ese valor y cuando al menos (100 – k)% está en o sobre ese valor. Se denota por Pk . Además de los percentiles, otras medidas de posición son los cuartiles, que separan todos los datos ordenados en cuatro grupos iguales, y la misma mediana, que, ya que se ubica en la posición central de un conjunto de datos ordenados, puede interpretarse como el se- gundo cuartil y el 50º percentil. De la misma forma, también se utilizan como medida de posición los quintiles, que separan los datos en cinco grupos iguales, los deciles, que los separan en diez grupos iguales, etcétera. Glosario percentil: valor que divide un con- junto ordenado de datos numéricos, de forma que un porcentaje de tales datos sea inferior a dicho valor. Así, un individuo en el percentil 80 está por encima del 80% del grupo al que pertenece. cuartil: cualquiera de los percentiles 25, 50 ó 75, que corresponden al primer, segundo y tercer cuartil, respectivamente. UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 246
- 248. Estadística II |247 Unidad 6 Ahora, ¿qué pasa cuando los datos están agrupados? Tal como se calcula la mediana para datos agrupados, con un pro- cedimiento similar se puede calcular el percentil Pk para datos agrupados. Observa. Lk : menor valor de la clase donde se encuentra el k-ésimo percentil. n: número de observaciones. Nk : frecuencia acumulada de la clase que precede a la clase del k-ésimo percentil. nk : frecuencia absoluta de la clase del k-ésimo percentil. C: amplitud de la clase del k-ésimo percentil. Ejemplo Dada la siguiente distribución de frecuencias de 212 puntajes obtenidos en la PSU, determina el percentil 45. El 45% de los 212 datos agrupados en esta tabla es 95,4; es decir, si contáramos con todos los datos ordenados uno a uno, el percentil 45 correspondería a 95º dato de la lista. Se revisa la tabla, en la columna de la frecuencia acumulada, para determinar en qué clase se encuentra este dato. En este caso, está en la clase [600, 650[. Con esta información se pueden completar los datos de la expre- sión algebraica. Observa. El resultado nos indica que el 45% de los estudiantes obtuvo pun- tajes menores o iguales a 615,9. Cuando hay pocas observaciones puede ocurrir que un valor repre- senta a más de un percentil por la definición de percentil. Pon atención El k-ésimo percentil de un conjunto de datos es un valor tal que al menos k% de las observaciones están en o por debajo de ese valor. Recuerda que... Puntaje Frecuencia absoluta Frecuencia acumulada [400, 450[ 10 10 [450, 500[ 9 19 [500, 550[ 20 39 [550, 600[ 31 70 [600, 650[ 80 150 [650, 700[ 42 192 [700, 750[ 10 202 [750, 800[ 10 212 P L k n N n C k k k k = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ · – · 100 P45 600 45 212 100 70 80 50 = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = · – · , 615 9 La fórmula para encontrar un deter- minado percentil para datos agru- pados se puede generalizar para encontrar cuartiles y deciles, solo varía el cálculo de Nk . Pon atención UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 247
- 249. 248 | Unidad6 Ejemplo Los siguientes datos corresponden a la masa (en kg) de 24 mujeres de 17 años. 44 48 48 48 48 50 50 51 52 52 54 54 54 55 55 55 55 57 57 57 57 58 60 61 Al analizar estos datos podemos obtener lo siguiente: Visualizaremos todos los elementos anteriores mediante el siguiente diagrama de cajas. Observa que en el gráfico, los extremos del rectángulo indi- can los cuartiles Q1 y Q3 , mien- tras que la línea que divide a este horizontalmente indica la mediana (Q2 ). Las líneas que sobresalen del rectángulo indican el valor mínimo y máximo de la dis- tribución, y el signo + indica la media aritmética. Observa que Q1 = 50 indica que el 25% pesó menos o igual que 50 kilogramos; Q2 , que el 50% pesó menos o igual que 54 kilogramos, y Q3 , que el 75% pesó menos de 57 kilogramos o igual. En un gráfico de cajas se pueden expresar los datos de manera verti- cal u horizontal. Pon atención Tamaño muestra Mediana Cuartiles Valor mínimo Valor máximo Rango 24 54 Q1 = 50 Q2 = 54 Q3 = 57 44 61 17 Glosario diagrama de cajas: representación gráfica de los datos que permite analizar conjuntamente una serie de medidas numéricas, tales como el mínimo, el máximo, la mediana y los cuartiles. 40 40 Masa (kg) 44 50 54 57 61 60 Q3 Q2 Q1 70 1. A partir de los datos dados en el ejemplo de la página anterior: a. Calcula P30 . b. Calcula Q3 . c. ¿Qué información nos entregan los valores de P30 y Q3 ? d. ¿Qué porcentaje de los 212 alumnos obtuvo resultados entre 620 y 680 puntos? Actividades UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 248
- 250. Estadística II |249 Unidad 6 2. Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias, que muestra los puntajes obtenidos por 50 alumnos en un test (se consideran valores enteros), calcula: a. P3 b. P90 c. Q1 d. Q3 e. Interpreta los resultados obtenidos. 3. La siguiente tabla de frecuencias resume la información del precio, en pesos, de la gasolina automotriz cada mes entre julio de 2003 y julio de 2008: a. Calcula la media, la moda y la mediana. b. Calcula Q1 y Q3 . c. ¿Sobre qué precio estuvo la gasolina el 60% de los meses entre julio de 2003 y julio de 2008? d. ¿Qué porcentaje de los meses estuvo la gasolina bajo los 530 pesos? En resumen • Los percentiles se conocen como medidas de posición y hacen referencia al lugar que ocupa un dato cuando todos estos están ordenados de menor a mayor. • Puede ocurrir que un mismo valor represente más de un percentil, esto ocurre generalmente para un número pequeño de observaciones. • Los cuartiles son un caso particular de los percentiles y reciben este nombre porque dividen un conjunto de datos en cuatro partes iguales. Otros casos particulares son los quintiles y los deciles. • La fórmula de cálculo para percentiles, cuando se tienen datos agrupados, es: • El diagrama de cajas consiste en un gráfico que muestra simultáneamente diferentes carac- terísticas de un conjunto de datos, tales como: mediana, rango, cuartiles, valores extremos, etc. Este diagrama presenta los tres cuartiles (y los valores mínimos y máximos) alineados sobre una caja horizontal o verticalmente. P L k n N n C k k k k = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ · – · 100 Intervalo [60, 64] [65, 69] [70, 74] [75, 79] [80, 84] [85, 89] Frecuencia absoluta 5 5 8 12 16 4 Frecuencia acumulada 5 10 18 30 46 50 Precio [400, 450[ [450, 500[ [500, 550[ [550, 600[ [600, 650[ [650, 700[ fi 5 7 10 12 7 9 Fuente: Comisión Nacional de Energía (http://www.cne.cl/cnewww/opencms/06_Estadisticas/energia/Hidrocarburos.html) UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 249
- 251. 250 | Unidad6 Herramientas tecnológicas Utilizando una planilla de cálculo como Excel y las funciones: mediana, cuartil y percentil, puedes usar esta herramienta para calcular estas medidas. Como ejemplo, utilizaremos los datos de las estaturas (en metros) de los y las estudiantes de Cuarto Año Medio de un colegio (página 246). • Copia estos datos en la columna A de la planilla. • Para calcular la mediana, en C1 escribe =MEDIANA(A1:A30), y después presiona enter y obten- drás el resultado. En B1 puedes escribir Mediana, para identificar cada resultado. • Para calcular Q1 , en B2 escribe Cuartil 1 y en C2 escribe =CUARTIL(A1:A30;1), donde el 1 final indica que estás calculando el primer cuartil. Luego, presiona enter y obtendrás el resultado. • Para calcular Q3 , en B3 escribe Cuartil 3 y en C3 escribe =CUARTIL(A1:A30;3), y el 3 indica que estás calculando el tercer cuartil. Luego, presiona enter y obtendrás el resultado. • Para calcular (por ejemplo) el percentil 70; P70 , en B4 escribe Percentil 70 y en C4 escribe =PERCENTIL(A1:A30;0,7). Debes notar que el programa toma como parámetro un número entre 0 y 1, que corresponde al percentil a calcular dividido por 100. Luego, presiona enter y obtendrás el resultado. La siguiente imagen muestra todos los datos calculados. 1. Calcula, de la misma manera, los percentiles 30, 60 y 90. 2. Repite este ejercicio con los datos de la presión sanguínea sistólica (página 237). Es decir, calcula la mediana, primer y tercer cuartiles, y algunos percentiles. 3. Inventa datos que cumplan con las condiciones descritas y observa por ti mismo lo que ocurre. UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 250
- 252. Estadística II |251 Unidad 6 Aplicaciones de la Estadística El siguiente gráfico entrega información acerca del estado de salud de adultos mayores, respecto a la variable peso. Fuente: Estado Nutricional del Adulto Mayor en control. DEIS. Ministerio de Salud, (diciembre 2006), deis.minsal.cl/salidas06/pobl_dic/adulto_mayor1206.asp. Los estudios estadísticos, realizados por el Ministerio de Salud, rela- cionados con el estado nutricional de las personas, tienen como uno de sus objetivos el “supervisar la situación alimentario-nutri- cional de la población chilena, detectando grupos en riesgo de sufrir alguna forma de malnutrición, y normar la implementación de acciones y programas orientados a prevenir el daño en dichos grupos y en la población general” (Fuente: www.minsal.cl). De la población estudiada, observamos que en toda la Región Metro- politana, la cantidad de población con sobrepeso y obesidad supera en demasía a la población con peso normal, siendo el rango de bajo peso el que considera la menor porción de población adulto mayor. Analicemos... • ¿En qué sector el estado nutricional del adulto mayor es mejor?, ¿por qué? • Observando el gráfico, ¿la población que tiene sobrepeso u obesidad, juntos, es mayor o menor que la de peso normal? • ¿Qué problema afecta a mayor cantidad de personas: el bajo peso o la obesidad? Justifica. ¿Qué puedes concluir? Estado nutricional del adulto mayor en control, diciembre 2006 5000 0 10 000 15 000 20 000 25 000 M e t r o p o l i t a n o n o r t e M e t r o p o l i t a n o o c c i d e n t e M e t r o p o l i t a n o c e n t r a l M e t r o p o l i t a n o o r i e n t e M e t r o p o l i t a n o s u r M e t r o p o l i t a n o s u r - o r i e n t e Bajo peso Peso normal Cantidad de personas Servicios de salud Sobrepeso Obesidad Enfermera registrando el peso de un adulto mayor. UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 251
- 253. Así como enel ámbito de la Salud, la Estadística también se aplica en otros campos de estudio, tales como la Economía, Biología, Cien- cias Sociales, etcétera. 252 | Unidad 6 1. El IPC se calcula sobre la base de un promedio ponderado, de modo que cada rubro tiene distinta importancia de acuerdo con los consumos de la población. a. Observa la tabla y determina cuál es el rubro que tiene mayor importancia. b. ¿Por qué crees tú que el rubro educación es el que más subió? c. ¿Por qué piensas que el rubro vestuario bajó más? Fuente: IPC por División (niveles, variaciones e incidencias) www.ine.cl, octubre 2009. Actividades IPC octubre 2009. Variaciones e incidencias Divisiones Variación 12 meses (%) Incidencia a 12 meses Alimentos y bebidas no alcohólicas 0,2 0,029 Bebidas alcohólicas y tabaco 3,7 0,076 Prendas de vestir y calzado –15,6 –0,782 Alojamiento, agua, electricidad, gas y otros combustibles –3,5 –0,455 Muebles, artículos para el hogar y para la conservación corriente del hogar 1,5 0,107 Salud 2,7 0,154 Transporte –7,5 –1,552 Comunicaciones 0,5 0,018 Recreación y cultura –3,7 –0,338 Educación 9,4 0,574 Restaurantes y hoteles 3,5 0,204 Bienes y servicios diversos –7,0 –0,360 En resumen • La Estadística permite analizar tendencias a partir de un conjunto de datos y, luego, tomar mejores decisiones en variados ámbitos, porque permite presentar, relacionar y analizar la información mediante la utilización de tablas y gráficos, y de descriptores como las medidas de tendencia central y de posición, entre otros. UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 252
- 254. Estadística II |253 Unidad 6 2. Observa el siguiente gráfico respecto del número de matrimonios, según la edad de los contrayentes. Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE), Estadísticas vitales, Informe anual 2006. a. Qué conclusiones se obtienen con respecto a las edades en que se casan las personas? b. ¿Cómo es la distribución de las edades en que se casa la gente?, ¿por qué? 3. La siguiente tabla muestra el número de desocupados, correspondiente a los meses de julio, agosto y septiembre de 2009, según el Boletín Informativo del Instituto Nacional de Estadísticas. a. Construye el gráfico que represente mejor estos datos. b. ¿A qué crees que se debe la diferencia entre la canti- dad de desocupados de cada actividad? c. ¿Crees que estos valores son similares al número de desocupados en los mismos meses, pero de este año?, ¿por qué? Comenta con tus compañeros y compañeras cuáles creen que fueron las diferencias y qué situaciones las explican. Actividad Desocupados (miles de personas) Agricultura, caza, pesca 65,08 Minas y canteras 6,13 Industria manufacturera 87,55 Electricidad, gas y agua 3,35 Construcción 109,17 Transporte, almacenaje y comunicaciones 128,45 Comercio 66,60 Servicios financieros 71,32 Servicios comunales, sociales, personales 105,31 M e n o r d e 1 5 a ñ o s 1 5 - 1 9 2 0 - 2 4 2 5 - 2 9 3 0 - 3 4 3 5 - 3 9 4 0 - 4 4 4 5 - 4 9 5 0 - 5 4 5 5 - 5 9 6 0 - 6 4 6 5 - 6 9 7 0 - 7 4 7 5 a ñ o s y m á s 5000 10 000 15 000 20 000 Matrimonios Matrimonios por grupo de edad de los contrayentes Grupo de edad del contrayente Hombres Mujeres UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 253
- 255. 254 | Unidad6 • En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores. • Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno. 1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿Qué representa un percentil? 3. ¿Qué tipos de preguntas se pueden responder con los percentiles? 4. ¿Por qué los cuartiles reciben este nombre? 5. ¿En qué casos puede ocurrir que Q1 = Q2 = Q3 ? Ejemplifica con datos. 6. ¿Qué valores se ilustran en el diagrama de cajas? Explica. 7. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto. Organizando lo aprendido MEDIDAS DE POSICIÓN como los cuya es un REPRESENTACIÓN GRÁFICA DIAGRAMA DE CAJAS PERCENTILES CUARTILES QUINTILES DECILES sus casos particulares son UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 254
- 256. Estadística II |255 Mi progreso Unidad 6 1. Los datos que se muestran a continuación corresponden al tiempo, en minutos, que demoran los estudiantes de un Cuarto Año Medio en contestar un ensayo de PSU de Matemática. 125 - 138 - 150 - 98 - 111 - 125 - 131 - 143 - 104 - 103 - 116 - 125 - 146 - 143 - 103 - 88 - 71 - 127 - 134 - 109 - 96 - 140 - 137 - 136 - 146 - 150 - 103 - 106 - 112 - 116 - 109 - 106 - 136 - 96 - 98 - 79 - 134 - 116 - 106 - 96 - 126 - 116 - 120 - 124 - 87 - 106 - 145 - 116 - 127 - 79 - 74 - 133 - 129 - 134 a. Calcula la mediana y los cuartiles Q1 y Q3 . 2. Las edades de 40 personas de una familia son: 10 - 13 - 14 - 17 - 17 - 23 - 23 - 23 - 24 - 26 - 27 - 27 - 29 - 30 - 31 - 31 - 35 - 36 - 36 - 37 - 37 - 39 - 41 - 42 - 44 - 46 - 48 - 54 - 54 - 60 - 61 - 61 - 61 - 70 - 70 - 71 - 73 - 77 - 81 - 83 a. Representa las edades en un diagrama de cajas. Interpreta los resultados obtenidos. b. Si los datos situados en posición impar pertenecen a mujeres y los situados en posición par a hombres, obtén sus respectivos diagramas de cajas contrastando los resultados. 3. El siguiente diagrama presenta las edades de un club de adultos mayores. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? A. La media aritmética de estos datos es 75. B. El rango de los datos es 26. C. La mayoría de los integrantes de este grupo es menor de 77 años. D. En este grupo no hay personas mayores de 90 años. E. Ninguna de las anteriores. • Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas. ¿Cómo voy? CRITERIO ÍTEMS PÁGINAS DONDE SE TRABAJA Calcular medidas de posición para datos no agrupados. 1 246 a 249 Construir e interpretar un diagrama de cajas. 2 y 3 246 a 249 60 Edad Años 63 68 70 75 77 81 89 80 90 UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 255
- 257. Cómo resolverlo 256 |Unidad 6 Observa, paso a paso, las estrategias utilizadas en la resolución del siguiente problema. En un estudio, en un tramo específico de la carretera, se registró la velocidad de los automóviles un día entre las 11 y las 12 de la mañana. Las velocidades (en km/h) se ordenaron en la siguiente tabla: a. Calcula la mediana. b. Calcula Q1 . Interpreta, en cada caso, los valores obtenidos en el contexto de los datos. Solución a. Para calcular la mediana, se observa en la tabla que la clase [60, 75[ implica que la frecuencia acumulada es de, al menos, la mitad de los datos. Por tanto, se tiene: es decir, la mitad de los automóviles pasa, a lo más, a 68,75 km/h. b. Para determinar el primer cuartil, se debe determinar, según la tabla, cuál es la clase que implica frecuencia acumulada de, al menos, 12 datos. Esta clase es [60, 75[. Por lo tanto, se toma como valor de p = 0,25 y se tiene: Es decir, la cuarta parte de los automóviles circulan, a lo más, a 61,25 km/h. Mi fi Fi [30, 45[ 37,5 3 3 [45, 60[ 52,5 7 10 [60, 75[ 67,5 24 34 [75, 90[ 82,5 11 45 [90, 105[ 97,5 3 48 Md L N n c Md Md Md = + − ⋅ = + − ⋅ = 24 60 24 10 24 15 68 75 , Q L p N n c p p p 1 48 60 12 10 24 15 61 25 = + ⋅ − ⋅ = + − ⋅ = , Carretera en la Región de Valparaíso. UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 256
- 258. Estadística II |257 Unidad 6 Actividades 1. Aplica el procedimiento aprendido para resolver las siguientes situaciones: a. Los datos de la tabla corresponden a la cantidad de té, en kilogramos, importada por un dis- tribuidor de este producto durante el año 2009. • Calcula la media, la mediana y el primer cuartil. • ¿Bajo qué valor se encuentra el 40% de las importaciones? • ¿Sobre qué valor se encuentra el 90% de las importaciones? • ¿Qué puedes concluir? 2. Busca un procedimiento distinto para resolver los problemas anteriores. Respecto del procedimiento anterior, ¿cuál es más simple?, ¿por qué? 3. Resuelve los siguientes problemas utilizando el procedimiento aprendido u otro. Compara el procedi- miento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué? a. La siguiente tabla de distribución de frecuencias agrupa las marcas, expresadas en metros, obtenidas por un grupo de estudiantes en el lanzamiento del disco. • ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvo marcas en el intervalo [39, 40[? • ¿Qué porcentaje de ellos obtuvo una marca igual o superior a los 40 m? • ¿Qué puedes concluir? Cantidad (kg) [200, 280[ [280, 360[ [360, 440[ [440, 520[ [520, 600[ fi 20 10 15 20 13 Intervalo (m) fi [34, 35[ 12 [35, 36[ 15 [36, 37[ 18 [37, 38[ 30 [38, 39[ 28 [39, 40[ 20 [40, 41[ 17 [41, 42[ 6 [42, 43[ 4 UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 257
- 259. 258 | Unidad6 En terreno En terreno Estudio de mercado Cuando se realiza una expedición o se pasan las vacaciones en un campamento, el saco de dormir es un elemento fundamental, ya que la calidad del sueño influye de manera importante en el rendimiento y las energías que se tienen durante el día; por lo tanto, en este tipo de actividades, desde el humor hasta el éxito en una salida pueden verse afectados por una o muchas malas noches. Entre los aspectos que se deben considerar en el momento de elegir un saco de dormir, se encuentran sus dimensiones. Es importante tener un poco de libertad en los movimientos dentro del saco, ya que resultados de investigaciones recientes demuestran que alrededor del 70% de la capacidad térmica es producida por la capa aislante, y cerca del 30% por el espacio interior del saco, que contiene nuestro aire caliente. En este sentido, es importante que el saco no sea ni muy ancho ni muy estrecho, o perderá una gran parte de sus propiedades. La forma de la capucha, por otro lado, es algo esencial; los sacos de verano pueden tener una capucha muy amplia, pero si se duerme por debajo de 0 ºC es conveniente escoger un saco con capucha totalmente preformada. En una fábrica de sacos de dormir, los vendedores le comentan al gerente que fre- cuentemente sus clientes les solicitan sacos con medidas especiales. Él mismo es una persona muy alta. Su estatura está por sobre el percentil 90 de la estatura de la población, y por eso requiere de un saco de dormir especial, a su medida. Ha pen- sado que si él tiene este inconveniente, a otras personas también les puede suceder. UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 258
- 260. Actividades 1. Planifica unestudio de mercado que permita determinar si fabricar sacos de dormir a la medida sería rentable para esta fábrica. ¿Qué información necesitas obtener? 2. Diseña una encuesta para recabar información. ¿Cuáles serían las preguntas contenidas en esta encuesta? 3. Averigua si ya existen empresas que fabriquen sacos de dormir a la medida. Investiguemos... 1. Forma un equipo con dos compañeros o compañeras más. Analicen las planificaciones ideadas por cada uno y, a partir de esto, diseñen un estudio de mercado acerca de sacos de dormir de medidas especiales. Consideren que un estudio de mercado consiste en una investigación para, en este caso: a. investigar si para los posibles consumidores la idea de un saco de dormir a la medida tendría aceptación o no. b. Investigar si ya existe alguna empresa que fabrique sacos de dormir a la medida. c. El gerente está pensando fabricar 80 sacos de dormir, inicialmente, pero necesita determinar los tamaños y las cantidades necesarias de cada uno. 2. Realicen una encuesta a, al menos, 100 personas, para desarrollar el estudio de mercado. Decidan pre- viamente qué datos necesitan saber y qué preguntas van a incluir en la encuesta. a. Averigüen cuánto margen debe tener un saco de dormir en relación con la altura de la persona que lo usará. b. Averigüen cuántos sacos de dormir se venden en un año en Chile. Con este dato, estimen cuán- tos sacos de dormir especiales se podrían vender. c. Elaboren un resumen, que incluya los datos obtenidos y sus correspondientes gráficos, en el que presenten sus conclusiones. Evaluemos nuestro trabajo • ¿El estudio realizado les permitió determinar si los sacos de dormir a la medida tienen aceptación entre los consumidores? • ¿Lograron determinar los tamaños necesarios y la cantidad de sacos de dormir que se deben hacer de cada tamaño? • Comparen sus resultados con los de sus compañeros y compañeras. ¿Presentaron algo distinto, que tu grupo no consideró?, ¿qué pueden concluir? Estadística II | 259 Unidad 6 UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 259
- 261. 260 | Unidad6 Síntesis de la Unidad A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Construye con ellos un mapa conceptual, en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican las relaciones que hay entre los conceptos. A partir de lo trabajado en la Unidad, responde: 1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo. 2. ¿A qué se refieren las medidas de posición? 3. ¿Cuál es la diferencia entre desviación media y desviación estándar? Explica. 4. Dadas dos muestras distintas, ¿es posible que se obtengan valores distintos, aunque se trate de la misma población? Justifica. 5. La asociación entre dos variables, ¿cómo se puede describir? Explica. 6. ¿Existe alguna ventaja de utilizar cuartiles en lugar de percentiles?, ¿por qué? 7. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto. DATOS DESVIACIÓN MEDIA RANGO INTERVALO DE CONFIANZA DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS DIAGRAMA DE CAJAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN MUESTRA MEDIDAS DE POSICIÓN DESVIACIÓN ESTÁNDAR ERROR PORCENTUAL CORRELACIÓN UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 260
- 262. Estadística II |261 Evaluación I. Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas. 1. Se conoce como marca de clase al punto medio de cada clase. 2. El número de cesáreas comparado con número de partos normales no tiene correlación. 3. La mediana representa un valor tal que, al menos, el 60% de las observaciones se encuentren bajo él. 4. Encontrar el valor tal que, al menos, el 70% de las observaciones que estén bajo él sea equiva- lente a encontrar P70 . 5. La correlación entre la edad de una persona y la cantidad de veces que ha salido de vacaciones en su vida es positiva. II. Aplica lo que aprendiste en la Unidad para desarrollar las siguientes actividades. 1. La avícola El Pollo Volador, preocupada por los recientes reclamos respecto del peso de los pollos, decidió estudiar la distribución de los pesos de 1000 de ellos, obteniendo los siguientes resultados: A la avícola le interesa dividir los pollos en cuatro categorías, asignando la categoría D al percentil 20, la categoría C al percentil 50, la categoría B al percentil 80, y el grupo restante en la categoría A. ¿Cuáles son los límites de peso para cada categoría? 2. Un fabricante asegura que el contenido promedio de nicotina de sus cigarrillos es de 2 mg. Para verificar esto se realizó un estudio con una muestra aleatoria de 45 cigarrillos, obteniéndose un promedio de 3 mg de nicotina. Se sabe que el contenido de nicotina de un cigarrillo sigue una distribución normal con desviación estándar de 0,5 mg. a. Obtén e interpreta un intervalo con un 95% de confianza para el verdadero promedio. b. Obtén el intervalo con un 80% de confianza para la media. c. ¿Qué puedes concluir en relación con lo que dice el fabricante? Unidad 6 Peso (g) fi [960, 980[ 60 [980, 1000[ 160 [1000, 1020[ 280 [1020, 1040[ 260 [1040, 1060[ 160 [1060, 1080[ 80 UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 261
- 263. 262 | Unidad6 1. Las edades de los jóvenes de un grupo musical son 15, 14, 13, 15, 14 y 13 años. Entonces, es falso que: I. la media es 14 años. II. la mediana es 15 años. III. la desviación estándar es un año. A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. I y II E. II y III 2. Las notas de Claudia en Física son: 3,5; 4,2; 5,3; 2,8; 5,6 y 5,6. Con respecto a esta situación, es verdadero que: I. su media es 4,5. II. la moda es un 5,6. III. si Claudia obtiene en un trabajo un 6,5 y lo remplaza por su peor nota, su media ahora es un 5,1. A. Solo I B. Solo II C. II y III D. I y II E. I, II y III. 3. En un zoológico desean saber cuántos loros hay. Escogen una muestra de 50 y los marcan; al día siguiente, toman una mues- tra de 40 y observan que 5 de ellos están marcados. El total aproximado de loros del zoológico es: A. 100 B. 400 C. 350 D. 250 E. 200 4. En la selección de vóleibol de un colegioA, la me- dia de las estaturas es 183 cm y la desviación estándar 3,5 cm. En otro colegio B, la media es 174 cm y la desviación estándar es 5 cm.Entonces: I. los seleccionados de B tienen una estatura más pareja que en A. II. los seleccionados más altos están en A. III. los seleccionados más bajos están en B. A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. I y II E. II y III 5. Con respecto al coeficiente de correlación de Pearson, es verdadero que: I. cuando su valor es cercano a 1, hay correlación positiva. II. cuando su valor es cercano a 0,5, la correlación es nula. III. cuando su valor es 0, la correlación es negativa. A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. II y III E. I, II y III. 6. En un colegio de 4000 alumnos y alumnas, las notas en Matemática se distribuyen N(5,2; 0,6). ¿Alrededor de cuántos estudiantes tienen promedio sobre 6,0? A. 0,9032 B. 10% C. 500 D. 0,0968 E. 390 III. Resuelve los siguientes ejercicios y selecciona la alternativa correcta en cada caso. UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 11/11/10 15:46 Página 262
- 264. Estadística II |263 7. Cecilia, en su preparación para la PSU de Len- guaje, realizó 10 ensayos y su tiempo prome- dio fue de una hora y media. Ella sabe que su desviación típica es de 20 minutos. Si se asume un nivel de confianza del 95%, el error máximo en tiempo, el día que rinda la prueba, será aproximadamente: A. 0,14 minutos. B. 12 minutos. C. 13 minutos. D. 3,92 minutos. E. Ninguna de las anteriores. 8. Un consultorio realizó un estudio para deter- minar la masa de la población femenina de su comuna, obteniendo una distribución N(62, 5). ¿Alrededor de qué porcentaje de la cantidad de mujeres de la comuna tienen una masa entre 57 y 62 kilogramos? A. 99% B. 68% C. 24% D. 95% E. 34% 9. En la selección de personal para un museo de historia, se realizará una prueba de conocimien- tos básicos de Historia de Chile. Se sabe que los puntajes distribuyen N(132, 18) y tan solo el 10% de los puntajes más altos será seleccionado. Aproximadamente, ¿desde qué puntaje se acep- tará a los candidatos? A. 109 B. 155 C. 190 D. No se puede determinar. E. Ninguna de las anteriores. 10. Se desea saber las preferencias musicales de la juventud chilena, y para ello se decide hacer una encuesta. ¿Cuál de los siguientes procedi- mientos asegura una muestra representativa? A. Se encuesta a 100 jóvenes en el centro de las principales ciudades. B. Se encuesta a 2000 jóvenes a la salida de los liceos, de acuerdo a la cantidad de alumnos de cada liceo. C. Se consigue en el registro civil una lista de todos los jóvenes del país y se seleccionan 2500 al azar. D. Se pide a los jóvenes que den su opinión en una radio de alcance nacional. E. Se invita a los jóvenes a participar en sus co- munas habilitando formularios y buzones. 11. La vida media de una pila (en horas) tiene una distribución N(150, 50). ¿Cuál es la probabilidad (en porcentaje) de que dure menos de 50 horas? A. 2% B. 16% C. 68% D. 4% E. 32% 12. Si el P70 = 86, eso significa que: A. al menos el 40% de las observaciones están bajo ese valor. B. al menos el 70% de las observaciones están bajo ese valor. C. al menos el 30% de las observaciones están sobre ese valor. D. A y B E. B y C Unidad 6 Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio. UNIDAD 6 (224-263)C :Maquetación 1 4/11/10 16:57 Página 263
- 265. Página 14 1. a.f. b. g. c. h. d. i. e. 2. a. Para x = –1 o x = 1 b. La función está definida para todo x. c. Para x 1 d. La función está definida para todo x. e. La función está definida para todo x. f. Para x = –1 g. Para x = –1 h. Para x = –5 i. Para x a j. Para x b2 3. a. Creciente en: ]–, –5[, decreciente en: ]–5, [. b. Decreciente en: [–4, [. c. Decreciente en: ]–, 10[, creciente en: ]10, [. d. Decreciente en: ]–, 3[, creciente en: ]3, [. 4. a. f(x) = 21x – x2 b. Después de 11 unidades. c. El ingreso máximo es 110 y ocurre cuando se producen diez u once productos. Página 15 5. Página 17 1. a. No es función. b. Es función. c. Es función. 2. a. f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 2, f (4) = 3, f (5) = 5, f (6) = 8 b. Dom( f ) = IN 3. a. Dom( f ) = IR – {1}, rec( f ) = IR – {1} b. Dom( f ) = IR, rec(f ) = ]0, 1] c. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+ 0 d. Dom( f ) = IR – ]–1, 1], rec( f ) = IR+ 0 – {1} Página 19 1. Solamente la función a tiene inversa. 2. a. f –1 (x) = x + d. p–1 (x) = c. h–1 (x) = x – f. g–1 (x) = 25x2 + 5 1 2 1 – x2 x2 5 3 10 3 264 | Matemática 4º Medio Solucionario f (x) 0 f (x) 0 f (x) = 0 ]–, 0[ ]3, [ ]0, 3[ Nunca ] , [ 10 10 ]–,– [] ,[ 10 10 – y 10 10 Nunca ]–, 5[ ]5, [ 5 ]–, –0,5[ ]0,5, [ ]–0,5, 0,5[ –0,5 y 0,5 Nunca ]–7, [ –7 Nunca ]–, 11[ 11 Función potencia y logarítmica 1 b. g–1 (x) = (x – 3)2 + 4 e. q–1 (x) = – 4 7 x 7 SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 16:59 Página 264
- 266. a. Dom( f–1 ) = IR – {1} b. Rec( f –1 ) = IR – {3} Página 22 1. a. Ambas son parábolas que se abren hacia arriba y tienen el vértice en el origen. Se diferencian en que f(x) se abre más que g(x). b. Ambas son parábolas que se abren hacia arriba y tienen la misma abertura. Se diferencian en que una está trasladada con respecto a la otra. c. Pregunta abierta. 2. a. La forma de la gráfica es similar, pero una es creciente y la otra es decreciente. b. Ambas son decrecientes pero una está trasladada con respecto a la otra. c. Pregunta abierta. Página 25 1. a. d. b. e. c. f. 2. a. c. b. d. 3. Pregunta abierta. 4. Pregunta abierta. Página 27 1. a. Dom( f ) = IR, rec( f ) = [2, [ b. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR c. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+ 0 2. a. p–1 (x) = c. r–1 (x) = 3. a. Falso, solo sucede si a 0. b. Falso, solo si n es impar. c. Falso, solo si n es par y a 0. d. Verdadero. 4. D 3 – 4x x + 1 7x + 5 5 Solucionario Solucionario | 265 Solucionario 3. f –1 (x) = 3x – 1 x – 1 b. q–1 (x) = x2 – 16 x2 SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 16:59 Página 265
- 267. 266 | Matemática4º Medio Solucionario Página 31 1. a. f. 0 k. b. 7 g. 4 l. –1 c. 4 h. –2 m. e. 9 j. 2 o. 2. a. x = 64 c. x = 0,027 b. x = d. x = 15 625 000 Página 33 1. a. 6 e. 1 i. 3 c. 2 g. k. –7 d. 0 h. 0 l. –2 2. a. log2 5 2,32 c. log7 9 1,13 b. log6 7 1,09 d. log6 11 1,34 3. a. 9 c. 14 e. –1 b. 3 d. 1,5 f. 22 Página 35 1. a. 3A + 3B + 2C c. (A + B) b. A + 2B + C d. –A – B – C 2. a. logm e. logb 72 c. logp g. logb 3. a. logb (x – 11) + logb (x + 2) b. (logb 4 + 6 logb x + 2 logb (5x – 2)) c. 2 logb (x + y) + 2 logb (x2 – xy + y2 ) d. 2 logp a + 4 logp b + 5 logp c – 2 logp d Página 37 1. a. Indicación: aplica logb a ambos lados de la igualdad. b. Indicación: primero aplica la propiedad del logaritmo de un cociente. 2. a. Verdadero c. Verdadero b. Falso d. Falso 3. Indicación: aplica la propiedad de cambio de base para cada uno de los logaritmos de la igualdad. Página 39 1. a. 7 b. 9 c. 5 d. 2. a. 3 b. 10 c. 1 d. 0 3. a. 2 logb p + 3 logb q + logb r – 4 logb s 4. a. loga c. logb b. logb (x + 3)(x – 3)3 d. logb 34 510 5. a. Falso. b. Verdadero. 6. C, pues el 1 no puede ser base de un logaritmo. Página 43 1. a. 2 c. –3 e. 20 b. 4 d. –6 f. 22 2. a. Se traslada 4 unidades hacia arriba. b. Se traslada 5 unidades hacia la derecha. c. Se traslada 1 unidad hacia la izquierda y se refleja respecto del eje X. 3. a. Dom( f ) = IR+ , dom( f 1 ) = IR+ , ambas funciones intersecan al eje X en el punto (1, 0) y uno de los gráficos es la reflexión respecto al eje X del otro gráfico. 8 3 x + 2y – z (x – y + 4z)3 5d b3 c3 1 2 11 3 ae cd ac b2 d3 x + y + z (x – y – z)4 3 2 7 4 16 9 4 3 2 3 3 4 5 2 d. 3 i. 5 n. 2 5 b. f. 7 j. 2 5 3 b. logb (x4 – 1) f. logb c a6 d. logp h. logb x + 3 (x – 2)4 ac b b. (logb (p + q) + logb (p – q)) 1 3 SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 16:59 Página 266
- 268. Solucionario | 267 b. Dom(m)= ]4, [, dom(m1 ) = ]4, [, ambas funciones intersecan al eje X en el punto (5,0), uno de los gráficos es la reflexión respecto al eje X del otro gráfico. Página 48 1. a. 7 c. 5 e. 10 000 g. 2 b. d. 6 f. 10 h. Página 49 2. a. No tiene solución. d. x = b. x = 1 e. x = 4 c. x = f. x = 3 3. a. Ninguna se cumple. b. Se cumple solo para x = 5. c. Ninguna se cumple. d. Ninguna se cumple. e. Se cumple solo para x = 100. 4. a. x = 2000 g. x = d. x = –10 j. x = 4 e. x = 11 k. x = 10 f. x = 5 l. x = 100, x = Página 50 1. a. 3,16 · 10–3 d. 3,16 · 10–7 b. 1,26 · 10–3 e. 1 · 10–10 c. 1 · 10–3 2. a. 3,98 · 10 –3 Página 51 3. Desde 1,58 · 10–4 a 1,58 · 10–3 aproximadamente. 4. a. 1,12 · 1026 ergios. b. 355 veces más fuerte. c. Pregunta abierta. 5. a. Aumenta en 3 dB. b. Pregunta abierta. c. 150 dB d. No, corresponde a 153 dB. 6. Página 53 1. a. 7 unidades hacia abajo. b. 2 unidades hacia la izquierda. c. Una unidad hacia la derecha y reflexión con respecto al eje X. d. No hay traslación, solamente hay cambio en la forma de la gráfica. 2. a. x = 42 c. x = – b. x = 9 d. x = 6 3. 6,31 · 10–3 W/m2 aproximadamente. 4. E Página 55 1. a. 199 m c. 1002 m b. 20 m d. 7,92 m 1 6 197 10 10 11 265 12 + 11 3 1 5 2 + 19 5 1 6 Solucionario Fuente Intensidad Decibeles 10–10 20 10–5 70 10–3,5 85 100 120 10 130 104 160 10–1,9 101 c. x = i. x = 6 16 5 b. x = h. x = 3, x = 1,5 4 7 SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 11/11/10 15:48 Página 267
- 269. 268 | Matemática4º Medio Solucionario 3. a. 0,5 km aproximadamente. 0,005 km aproximadamente. 14,68 aproximadamente. b. 41,86 % Dentro de 7,7 meses aproximadamente Dentro de 28,8 meses aproximadamente. Página 59 I. 1. Falso 7. Falso 2. Verdadero 8. Falso 3. Falso 9. Falso 4. Verdadero 10. Falso 5. Falso 11. Falso 6. Verdadero II. 1. a. log d. logb (a3 + 1) c. log f. logb 2. a. Dom( f ) = ]1, [ c. Dom( f ) = b. Dom( f ) = ]–, 102 [ ] 103 , [ d. Dom( f ) = ]–10, 10[ 3. x1 · x2 = 9 4. x = 2 Página 60 III. 1. C 3. A 5. C 7. A 2. B 4. A 6. B Página 61 8. A 10. E 12. B 14. E 9. C 11. E 13. C Página 64 1. a. Dom f = IR – {–1, 1}, rec f = IR –]–2, 0[ b. Dom g = IR – {–2, 2}, rec g = IR c. Dom h = IR– , rec h = IR– d. Dom i = ]–, –4] [4, [, rec i = [4, [ b. f(x) = x2 –1, dom f = IR; rec f = ]–, –1] c. f(x) = | x |, dom f = IR; rec f = [0, [ d. f(x) = + , dom f = ]–3, [; rec f = [ , [ 3. a. c. b. d. Página 65 4. a. x = d. x = 12 o x = –7 b. x = –1 e. x = –3 c. x = 3 f. x = –4 Página 68 1. a. Creciente d. Creciente b. Decreciente e. Creciente c. Decreciente f. Creciente 2. a. f(x) = 6x d. f(x) = 7x g. f(x) = c. f(x) = 8x f. f(x) = 5x i. f(x) = 2x 1 2 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ x 10 3 2 1 2 x + 3 a + 2 a2 ab ab 10 13 13 1013 b. 1 e. logb a2 – ab + b2 a + b Función exponencial 2 2. a. f(x) = x + 1, dom f = IR; rec f = IR 1 2 b. f(x) = e. f(x) = 2x h. f(x) = (0,4)x 1 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ x SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 16:59 Página 268
- 270. Solucionario | 269 3. a.f(x1 ) 1,7, g(x1 ) = 0,5 b. f(x2 ) 2,4, g(x2 ) 0,3 c. f(x3 ) 0,1, g(x3 ) 32 4. a. Correcta b. Correcta 5. a. Dom f = IR, rec f = IR+ , creciente, (0, 1). b. Dom f = IR, rec f = IR+ , decreciente, (0, 1). c. Dom f = IR, rec f = [1, [, decreciente en: ]–, 0[, creciente en: ]0, [, (0, 1). d. Dom f = IR, rec f = IR+ , creciente, (0, 2). e. Dom f = IR, rec f = [–9, [, creciente, (0, 0). f. Dom f = IR, rec f = IR, creciente, (0, 0). 6. a. Esta función también tiene la incógnita en el exponente pero su gráfica es diferente a la de las demás funciones exponenciales. No es una función creciente ni decreciente. b. Es una función constante. Página 69 7. a. Para ambas funciones: Dom = IR, rec = IR+ b. f es creciente y g es decreciente. c. Ambas gráficas son simétricas entre sí. Solucionario SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 16:59 Página 269
- 271. 270 | Matemática4º Medio Solucionario Página 73 1. a. y–1 = log2 x e. y–1 = 6x b. y–1 = log3 x f. y–1 = 9x c. y–1 = log x g. y–1 = 2. y–1 = log4 x 3. a. b. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+ , intersección eje Y: (0, 1), no interseca con eje X, creciente. Dom( g ) = IR+ , rec( g ) = IR, no interseca con eje Y, intersección eje X: (1, 0), creciente. c. Las gráficas son simétricas respecto a la recta y = x. Luego, las funciones son inversas. Página 75 1. a. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+ , eje Y: (0, e), no interseca al eje X, creciente. b. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR– , eje Y: (0, –e), no interseca al eje X, decreciente. c. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+ , eje Y: (0, 1), no interseca al eje X, creciente. d. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+ , eje Y: (0, 1), no interseca al eje X, decreciente. 2. a. ex ln a = eln(ax ) , y como eln y = y, se cumple que ex ln a = ax . b. Aplicando la propiedad de cambio de base, con base e, y porque loge x = ln x. 3. a. Para f (x): eje X: (1, 0), no interseca al eje Y. Para g(x): eje Y: (0, 1), no interseca al eje X. b. Para f(x): dom f = IR+ , rec f = IR. Para g(x): dom f = IR, rec f = IR+ . c. Las funciones son simétricas con respecto a la recta y = x. Página 77 1. a. Dom f = IR, rec f = IR+ , eje Y: (0, 1). b. Dom f = IR, rec f = IR+ , eje Y: (0, 1). c. Dom f = IR, rec f = IR+ , eje Y: (0, 1). 2. a. y–1 = log5 x c. y–1 = ex b. y–1 = 8x 4. a. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+ , creciente. b. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+ , decreciente. c. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+ , decreciente. 5. E Página 79 1. a. x = – c. x = – b. No tiene solución en los reales. 3 10 1 4 3 4 1 2 2 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ x 5 4 d. y–1 = log x h. y–1 = 3 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ x 15 7 3. a. f(x) = 9x b. f(x) = e3x c. f(x) = e – x 3 2. a. x = 16,68 f. x = b. x = 2,15 g. x = 0,70 c. x = 12,09 h. x = 0,79 d. x = 0,28 i. x = o x = – e. x = 2,22 1 2 5 2 3 log b + 4 log a 2 log b – 3 log a SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 16:59 Página 270
- 272. Solucionario | 271 Página81 1. a. x = ln (0,5) d. x = 0 o x = b. x = ln (5) e. x = 0 c. x = 0 o x = –3 f. x = ln (2) 2. a. Aproximadamente 16 horas. b. Cada 8 horas aproximadamente. Página 83 1. a. 1,5% anual. c. 73,24 años. b. 16 912 453 peces. 2. 2709 mosquitos; 223 524 mosquitos; 499 972 mosquitos. 3. a. 750 alumnos. c. A 1500 alumnos. b. 1343 alumnos. Página 85 1. a. x(P) = ln b. Dom P: IR+ 0 . No se consideran los reales nega- tivos en el dominio de la función pues no tiene sentido hablar de años negativos. Rec P: ]0, 500] c. Aproximadamente 445,683 mg. d. En 54 040 años aproximadamente. e. En 6027 años. 2. a. P(t) = 300e–0,004951t , con t medido en días y P(t) medido en mg. b. Aproximadamente 8,081 mg. c. 140 días. 3. a. 10 mg. c. 25 días. b. Después de 58 días. Página 87 1. 9,54 % aproximadamente. 2. a. $ 83 855 b. Después de 10 años. 3. a. 17 716 848 personas. c. En el 2032. b. En 44 años. 5. a. 600 bacterias. b. 73% aproximadamente. c. 3124 bacterias. d. Después de 5,85 horas aproximadamente. 6. Después de 34 749 años aproximadamente. 7. a. 100 personas. c. 18 días. b. 1777 personas. Página 89 1. a. x = 8,42 aproximadamente. b. x = –0,13 aproximadamente. c. x = e. x = –2,26 aproximadamente. f. x = – 1 o x = 1,67 aproximadamente. 2. 6,84 años aproximadamente. 3. a. 6962 metros. b. 396 milibares. 4. B Página 91 1. a. 57 ºC b. 4,4 minutos. c. 26,5 minutos. 3. a. 58 infectados. 6 infectados. 3 días. b. $ 3 025 714. Después de 9,76 años. 5,776 %. Página 95 I. 1. Falso 4. Falso 7. Verdadero 2. Falso 5. Falso 3. Falso 6. Falso log c – log a 3 log a – log c 4 3 P 500 –1 0,000115 Solucionario 4. P(t) = 55 000 000 · , con t medido en años. En 40 años más la población será de 136 177 974 personas. 1 12 100 5 + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ t 1 3 1 3 d. x = 0,25 log p + log q 0,75 log q – 2 log p SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 16:59 Página 271
- 273. 272 | Matemática4º Medio Solucionario II. 1. a. f (t ) = 75 · 1,16t b. 101 y 158 individuos, respectivamente. c. 15,9 años aproximadamente. 2. k = 3. a. 1,678 g aproximadamente. b. Después de 3 minutos. 4. a. $ 6358 dólares b. 6 años. Página 96 III. 1. C 3. A 5. B 7. B 2. D 4. D 6. A 8. B Página 97 9. C 12. D 15. B 10. C 13. B 11. E 14. B Página 100 1. a. I o III b. IV c. (–4,3) 2. Se verifica comprobando que AB = CD y BC = AD, y además que las pendientes de los lados opuestos coinciden. 3. Por ejemplo, A = (1, 1), B = (1, –1), C = (–1, –1), D = (–1, 1). 4. a. c. b. d. 5. a. Contraejemplo: 2 es impar, 3 es impar, su producto es 6, y 6 es par. b. Contraejemplo: 3 es un numero natural, su cuadrado es 9, y 9 es impar. c. Contraejemplo: y ambas son fracciones, Página 101 6. a. (14, –14) c. Infinitas soluciones. b. No tiene solución. Página 103 1. a. Iguales. c. Distintos. b. Dos son opuestos y uno distinto. 2. a. Por ejemplo, AC → y FD → . b. Por ejemplo, AE → y EC → . c. Por ejemplo, FC → y ED → . 3. a. AB → y AE → , AC → y AD → . b. AB → y AF → . Página 105 1. a. y 0, respectivamente. b. Pregunta abierta. Página 107 1. a. 5 c. 15 e. 1 b. d. f. 4 2. v → = 4, 4, | v → | = 4 3. a. 8, –1 c. 0, –13 e. 6, 9 b. –5, –1 d. –2, –3 f. 7, 4 4. a. 17,69 b. –13, 12 Página 109 1. a. (4, –2); (3, 0); (0, –2); (3, –3) 313 2 193 5 2 3 2 1 128 Vectores 3 su producto es , y 1. 15 4 15 4 SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 16:59 Página 272
- 274. Solucionario | 273 2.T → = 1, –2, T →–1 = –1, 2 3. a. T → –2, –3 c. T → 6, 7 b. T → 3, –4 d. T → 0, 4 Página 111 1. a. d. b. e. c. 2. a. 0, –12 c. 14, –3 b. –14, 31 d. 17, –16 3. a. Es un vector ponderado, aumentando su magnitud. b. Es el mismo vector. c. Es un vector ponderado, disminuyendo su magnitud. d. Es el vector 0. e. Cambia el sentido del vector. f. Es un vector ponderado, aumentando su magnitud, pero con sentido opuesto. Página 114 1. a. A’(–3, 3); B’(–6, 6); C’(–10, –1); D’(–4, –3) b. A’(4,5, –4,5); B’(9, –9); C’(15, 1,5); D’(6, 4,5) 2. a. b Página 117 1. a. FC → b. FB → c. AC → d. AF → 2. a. 11, –16 b. –2, –3 c. 13, 0 d. 13 3. a. A’(1, 3); B’(4, 3); C’(4, 6) b. A’’(–8, –4); B’’(–14, –4); C’’(–14, –10) 4. B Página 119 1. a. 30,3 b. 0 c. 0,42 d. –30 2. a. || a || = 3,6, || b || = 5,09, | a · b | = 17. b. || a || = 8,06, || b || = 3,16, | a · b | = 21. c. || a || = 2, || b || = 8,2, | a · b | = 16. d. || a || = 0,83, || b || = 3,6, | a · b | = 1. e. Los vectores deben ser paralelos. 3. a. a · b aumenta proporcional al aumento de a. b. a · b aumenta proporcional al aumento de a y b. c. El producto punto es siempre 0. d. a · b es igual al producto entre || a || y || b ||. Página 122 1. x, y = 4 + 8λ, –2 – 8λ 2. x, y = 1 + 3λ, 1 + 3λ 3. Punto medio = (–1, 1). 4. Por ejemplo, (5, 10), (9, 18), (13, 26). 5. E 6. Por ejemplo, x, y = 3, 4 + λ1, –4. Página 125 1. 2x – y = 0 2. 3x + 2y – 11 = 0 3. Por ejemplo, x, y = –3, 2 + λ1, 3. 4. Solo el punto (0, 11) pertenece a la recta. 5. a. Por ejemplo, x, y = 1, 3 + λ3, 4. b. Por ejemplo, x, y = 2, 1 + λ5, 2. 6. Son paralelas, ya que tienen la misma pendiente. Solucionario A´ B´ B´ C´ D´ A B C D C´ D´ A C D E B SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 16:59 Página 273
- 275. 274 | Matemática4º Medio Solucionario 7. a. Por ejemplo, x, y = 2, 1 + λ1, 2. b. Por ejemplo, x, y = 2, 1 + λ2, –1. 8. a. Por ejemplo, x, y = 2, –1 + λ1, 1. b. Por ejemplo, x, y = 2, –1 + λ3, 2. Página 129 1. a. 6i ^ + 3j ^ , b = 2i ^ – 2j ^ , c = –2i ^ – 3j ^ , d = –i ^ + 4j ^ 2. a. – i ^ + 2j ^ + 3k ^ c. –4i ^ + 2k ^ b. –3i – j ^ d. 5j ^ – 6k ^ 3. a. EA → b. GC → c. EH → d. AB → 4. a. 10, 5, –5 d. 0, 0, 0 b. 2, 2, –10 e. –6, –39, 48 c. –20, 2, –6 f. 48, 0, 48 5. Pregunta abierta. Página 131 1. a. 8 b. –2 c. –19 2. a. 6 b. – 3. a. Por ejemplo, x, y = 2, 1 + λ–2, 6 y (–2, 13); (–4, 19); (–6, 25). b. Por ejemplo, x, y = –1, 4 + λ3, 8 y (5, 20); (8, 28); (11, 36). c. Por ejemplo, x, y = 0, 5 + λ4, –7 y (8, –9); (12, –16); (16, –23). 4. a. Por ejemplo, x, y = 1, –2 + λ2, 4. b. Por ejemplo, x, y = –1, 1 + λ4, 3. 5. C Página 133 1. x, y, z = 12, –5, 7 + λ–12, 11, –10 2. a. No son colineales. b. No son colineales. c. Son colineales x, y, z = λ0, 1, 2. d. No son colineales. Página 135 1. Pregunta abierta. 2. a. F c. V e. V b. F d. F f. V 3. Pregunta abierta. Página 139 1. Π: x, y, z = 2, –2, 1 + λ1, 0, –1 + μ–2, 3, –2 2. Vectores directores (2, 2, 0) y (0, 0, 1), el punto (0, 0, 0) pertenece al plano. 3. Π1 : x = 0, Π2 : y = 0, Π3 : z = 0, Π4 : x = 5, Π5 : y = 5, Π6 : z = 5. Π1 : x, y, z = 0, 0, 0 + λ0, 1, 0 + μ0, 0, 1 Π2 : x, y, z = 0, 0, 0 + λ1, 0, 0 + μ0, 0, 1 Π3 : x, y, z = 0, 0, 0 + λ1, 0, 0 + μ0, 1, 0 Π4 : x, y, z = 5, 0, 0 + λ0, 1, 0 + μ0, 0, 1 Π5 : x, y, z = 0, 5, 0 + λ1, 0, 0 + μ0, 0, 1 Π3 : x, y, z = 0, 0, 5 + λ1, 0, 0 + μ0, 1, 0 l1 : x, y, z = 0, 0, 0 + λ1, 0, 0 l2 : x, y, z = 0, 0, 0 + λ0, 1, 0 l3 : x, y, z = 0, 0, 0 + λ0, 0, 1 l4 : x, y, z = 5, 0, 0 + λ0, 1, 0 l5 : x, y, z= 5, 0, 0 + λ0, 0, 1 l6 : x, y, z = 0, 5, 0 + λ1, 0, 0 l7 : x, y, z = 0, 5, 0 + λ0, 0, 1 l8 : x, y, z = 0, 0, 5 + λ1, 0, 0 l9 : x, y, z = 0, 0, 5 + λ0, 1, 0 l10 : x, y, z = 5, 5, 5 + λ1, 0, 0 l11 : x, y, z = 5, 5, 5 + λ0, 1, 0 l12 : x, y, z = 5, 5, 5 + λ0, 0, 1 4. No. 5. 6. y – 3z = 0. 7. Pregunta abierta. Página 141 1. Pregunta abierta. 2. Pregunta abierta. 2 3 1 3 Z Z Y Y X X SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 11/11/10 15:50 Página 274
- 276. Solucionario | 275 Página147 1. a. No son colineales. b. Son colineales. Por ejemplo, x, y, z = –1, –1, –1 + λ0, 1, 2. c. No son colineales. d. Son colineales. Por ejemplo, x, y, z = 1, 2, 1 + λ3, 3, 3. 2. Es paralelo al eje Y. 3. 9x + y – 23z = –34 4. a. Planos secantes: Por ejemplo, L1 : x, y, z = 0, 4, 8 + λ2, –3, –5. b. Planos secantes: Por ejemplo, L2 : x, y, z = 0, – , + λ–30, 15, –15. c. Planos secantes: Por ejemplo, L3 : x, y, z = 0, – , – + λ1, –1, –1. d. Planos secantes: Por ejemplo, L4 : x, y, z = 0, 1, 0 + λ–1, 0, 1. 5. C Página 149 1. a. C = (9, 8) Por ejemplo, L1 : x, y = 2, 1 + λ7, 7, L2 : x, y = 6, 4 + λ–1, 1. El punto de intersección es , Son perpendiculares, ya que 7, 7 · –1, 1 = 0. Calculando las distancias, d(A, B) = d(B, C) = d(C, D) = d(D, A) = 5. Por lo tanto, es un rombo. 3. a. No son colineales. No son colineales. Sí son colineales. Por ejemplo, L: x, y, z = 0, 2, 1 + λ0, –4, –2. Sí son colineales. Por ejemplo, L: x, y, z = 1, 2, 3 + λ1, 1, 1. b. AB = 9, 6 es paralelo a CD = –3, –2: En cambio, BC = –3, 1 y DA = –3, –5 no son paralelos. Luego, es un trapecio. c. AB = 5, 3 CD = 2, –2. Como AB · CD = 4 ⫽ 0, las rectas no son perpendiculares. d. Por ejemplo, L: x, y, z = 3, 0, –4 + λ1, 3, –2. e. Distancia: , desplazamiento: –7, –5, –3. Página 153 Evaluación I. 1. Falso 5. Falso 2. Falso 6. Falso 3. Verdadero 7. Verdadero 4. Verdadero 8. Verdadero II. 1. Son secantes. 2. 3. a. AB → = –5, 2, | AB → | = c. AB → = –3, 1, | AB → | = 4. a. Perpendicular al plano del pizarrón. b. Hacia fuera. c. 60 d. 60 unidades cuadradas. 5. a. x = 6 c. No tiene solución. b. x = 0 Página 154 1. D 3. C 5. A 2. A 4. D 6. E Página 155 7. E 10. C 13. D 8. C 11. B 9. C 12. E 10 29 85 9 2 11 2 12 10 1 10 19 14 15 14 Solucionario b. AB → = –5, –5, | AB → | = 5 2 d. AB → = –3, 1, | AB → | = 10 C D B´ A´ C´ D´ A B B´ D´ C D A ´ A B D´ C´ SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 11/11/10 15:51 Página 275
- 277. 276 | Matemática4º Medio Solucionario Página 158 1. a. 451 cm e. 0,00000079 m2 b. 360 000 m f. 50 m2 c. 93,5 dm2 g. 0,000005606 m3 d. 840 000 cm2 h. 4 000 900 m3 2. a. Perímetro: 5 cm, área: 1,725 cm2 . b. Perímetro: 12 cm, área: 10,38 cm2 . c. Perímetro: 16 cm, área: 19,28 cm2 . d. Perímetro: 40 cm, área: 123,2 cm2 . e. Perímetro: 72 cm, área: 403,2 cm2 . 3. a. 52 987,5 dm2 c. 102 600 cm2 b. 2,17 m2 4. 16 cm2 5. 36π m2 6. L = r 7. 128 cm2 Página 159 8. 39,19 cm2 9. 1 : 2 Página 161 1. El volumen aumenta ocho veces, su área aumenta cuatro veces. 2. V1 : V2 = 1 : 4 3. Indicación: El plano divide la base del prisma en dos triángulos congruentes, y se conserva la altura del paralelepípedo. 4. k3 . Página 163 1. a. b. 2. a. c. b. d. Página 165 1. 646,3 cm2 2. 812,14 cm2 3. 8,426 cm. 4. 13,76 m2 5. Arista de la base: 5 cm, altura 10 cm. 6. a. 141,5 cm2 c. 547,06 cm2 . b. 192 cm2 d. 157,85 cm2 . 7. 240 m2 8. 40,87 cm2 9. 0,8 litros. Página 166 1. a. Un cubo. c. 96 unidades cuadradas. b. 64 unidades cúbicas. Página 169 1. 1728 cm3 2. 259,8 cm3 3. 93,53 cm3 , 36 cm3 4. 1536 m3 5. 4 m 2 4Áreas y volúmenes SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 16:59 Página 276
- 278. Solucionario | 277 Solucionario 6.467,14 cm2 7. 28,3 cm2 8. Mayor área: Poniendo todos los cubitos ordenados uno al lado del otro (1 x 1 x 64), menor área: formando el cubo de arista 4 cm. 9. 117 unidades cúbicas. 10. No, se debe conocer la altura. Página 171 1. a. 42 cm3 , 14 cm3 b. 288 cm3 , 96 cm3 2. a. V: 1568 cm3 , A: 896 cm2 b. V: 103,25 cm3 , A: 159,2 cm2 c. V: 32,2 cm3 , A: 98,9 cm2 Página 173 1. V: 1920 cm3 , A: 1014,12 cm2 2. 400 cm3 3. 6,928 cm 4. a. b. 5. D Página 175 1. a. b. 2. a. b. 3. Cilindros, esferas, conos. Página 177 1. 350π cm2 de aluminio. 2. (r + g) : (4r + 2g) 3. a. 4 cm. b. 2 cm. Página 178 1. a. 8 cm b. 160π cm3 2. Se duplica el volumen. 3. Se cuadriplica el volumen. Página 181 1. 525π cm2 2. 56 viajes. 3. a. 12 cm b. 892π cm3 Página 183 1. V: 288π cm3 , A: 144π cm2 2. Sí, solo cuando el radio sea igual a la altura del cilindro y del cono. 3. V: 36π cm3 , A: 36π cm2 Página 185 1. 2. Radio: 6 cm, Volumen: 4523,9 cm3 3. La esfera tiene mayor volumen. 4. a. 20 cm b. 28 cm c. 31,04 cm 5. 282,7 cm2 6. E SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 16:59 Página 277
- 279. 278 | Matemática4º Medio Solucionario Página 187 1. 826,6 cm3 3. a. 2211,85 cm3 b. 1224,31 cm2 c. A: 66π cm2 , V: 72π cm3 d. 1054,5 cm3 , 0,0015045 m3 , 1202,4 m2 e. 10,9 m3 Página 191 I. 1. F, es la proyección de frente. 2. F, es el triple. 3. V 4. F, deben tener la misma altura y además tener igual área en sus secciones planas realizadas a una misma altura. 5. V 6. F, considera todas las caras de la figura geométrica. II. 1. a. b. 144π cm3 . c. Sería mayor el sólido anterior, ya que el volumen del otro es 96π cm3 . d. Un lado debe ser el doble del otro. 2. a. 32π cm2 b. 104π cm2 c. 208π cm3 3. 49,23 veces. 4. a. El volumen es menor que el anterior. b. No, ya que el envase final contiene menos jugo. 5. 125 cajas. Página 192 1. E 3. B 5. D 2. B 4. C 6. E Pagina 193 7. E 10. A 13.E 8. E 11. D 9. C 12. B Página 196 1. a. b. c. 1 2. 3. a. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 b. –2, –1, 0, 1, 2 c. Conjunto vacío. d. –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 4. a. Por ejemplo, ]–1, 1[. c. Por ejemplo, ]–25, –1]. b. Por ejemplo, [5, [. d. Por ejemplo, ]–4, 0]. Página 197 5. 7 8 4 5 6 4 Estadística I 5 Porcentaje (%) Fracción Fracción irreducible Expresión decimal 75 75 100 3 4 0,75 62 62 100 31 50 0,62 2 2 100 1 50 0,02 33,3 33,3 100 1 3 0,3333… 90 90 100 9 10 0,9 Frecuencia acumulada 3 890 126 6 371 641 9 999 556 12 035 980 13 898 859 15 116 435 SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 16:59 Página 278
- 280. Solucionario | 279 Solucionario 6.a. 4,57 c. 63,35 e. 234,12 b. 8,78 d. 0,99 f. 1,00 Página 199 1. Pregunta abierta. 2. Pregunta abierta. 3. Pregunta abierta. 4. Pregunta abierta. Página 201 1. a. Población. c. Variable cuantitativa. b. Muestra. d. Variable cualitativa. 2. a. Representativa. b. Representativa. c. No es representativa. Página 203 1. Si se consideran cinco intervalos, la tabla es: Página 206 1. a. Pregunta abierta. b. Familia extensa: Está integrada por una pareja con o sin hijos, y por otros miembros como sus parientes consanguíneos, ascendentes, descendentes, y/o colaterales, recoge varias generaciones. Familia compuesta: Cuando la familia nuclear o extensa se integran a otros parientes que no pertenecen al mismo tronco de descendencia generacional. Se pueden considerar otros casos aunque no existan vínculos consanguíneos y parentesco entre ellos. c. Hay más familias con hijos. d. Aproximadamente, la cuarta parte de las familias chilenas son monoparentales. e. Pregunta abierta. 2. a. Medalla de plata Fernando González. b. Tenis. c. Pregunta abierta. Página 207 3. a. Año 1950: 900 000, año 2000: 2 000 000, año 2025: 2 100 000. b. En el año 2000. c. Pregunta abierta. 4. a. Al riego, principalmente, y también a más duchas por efectos del calor. b. Pregunta abierta. c. Pregunta abierta. d. Pregunta abierta. Página 210 1. 5,8 2. No necesariamente tuvieron las mismas notas. 3. 2,007 pulgadas. 4. a. b. En Lenguaje y Comunicación, ya que todas las medidas de tendencia central son más altas que los demás sectores. c. En los tres sectores, Región de Atacama. d. Región Metropolitana y Región de Magallanes y Antártica Chilena. Intervalo F. absoluta F. relativa [452, 542[ 5 5 40 [542, 632[ 5 5 40 [632, 722[ 11 11 40 [722, 812[ 12 12 40 [812, 902[ 7 7 40 Lenguaje y Comunicación Educación Matemática Comprensión del Medio Social y Cultural Media aritmética 259,5 244,5 246,9 Moda 260 245 248 Mediana 260 245 248 SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 16:59 Página 279
- 281. 280 | Matemática4º Medio Solucionario Página 211 5. Media aritmética: 1,65 cm; moda: 1,67 cm; mediana: 1,67 cm. 6. a. Media aritmética: 214,96 mg/dl, moda: 225 mg/dl; mediana: 217,5 mg/dl b. 23 pacientes. c. La mayoría de los pacientes está en el intervalo 220-229. Página 215 1. a. Muestra. c. Población. b. Muestra. d. Muestra. 2. a. b. 3. C Página 217 1. • En 2003-2004 existe una mayor mortandad de adultos de 75 años o más que en el período del 1974-1975, mientras que en este último inter- valo hay un mayor porcentaje de muertes de niños menores de 1 año. • Pregunta abierta. • 3. a. Monoparentales Pregunta abierta. Pregunta abierta. Página 221 I. 1. F, existe más de una muestra representativa. 2. F, nunca. 3. F, los incas sí desarrollaron elementos relacionados con la Estadística. 4. F, es útil el gráfico circular. 5. V 6. F, no necesariamente. 7. V II. 1. Pregunta abierta. Página 222 III. 1. D 4. C 2. E 5. E 3. D Edad 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Frecuencia 2 1 2 2 4 4 5 4 1 Días [15, 20[ [20, 25[ [25, 30[ [30, 35[ [35, 40[ [40, 45[ Frecuencia 3 5 5 7 3 2 Edades Días Media aritmética 13,5 28,6 Moda 15 24 y 31 Mediana 14 29 1974-1975 Menores de 1 año 1-4 5-14 15-24 25-44 45-59 60-74 75 años o más Menores de 1 año 1-4 5-14 15-24 25-44 45-59 60-74 75 años o más 2003-2004 SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 16:59 Página 280
- 282. Solucionario | 281 Página223 III. 6. C 9. B 7. B 10. A 8. D 11. D Página 226 1. a. 45,7 d. 2620,86 b. 99,5 e. 55 800 c. 1233,54 f. 56 596,2 2. a. 33% c. 75% e. 1% b. 40% d. 6% 3. 4. a. 1,68. b. 1,73. 5. a. F, la mediana es 43,5. c. V b. F, la moda es 45. Página 231 1. a. Primer semestre: 3,8; segundo semestre: 3,8. El primer semestre. b. Primer semestre: 1,10; segundo semestre: 0,764. c. Pregunta abierta. 2. a. Primer semestre: 0,91; segundo semestre: 0,761. b. Pregunta abierta. Página 233 1. a. Positiva d. Positiva b. Positiva e. Negativa c. Negativa 2. Verdadero 3. Depende del rango de edad que se considere. En los niños y niñas, la correlación entre edad y masa es más alta que en la población de adultos mayores. Página 235 1. 2 2 5 7 7 8 3 2 3 4 5 7 7 9 4 0 0 0 1 2 3 3 3 5 5 6 8 8 9 5 0 0 1 3 3 3 5 7 7 8 6 0 2 8 7 0 a. 44 b. 48 c. Muy dispersa. 2. a. 4º A 1 9 2 8 8 9 9 3 1 2 3 5 6 6 8 8 9 9 4 1 1 1 2 2 3 3 4 5 5 6 6 9 5 0 8 4º B 1 3 6 7 2 6 8 8 9 9 3 2 5 6 9 4 1 1 2 3 3 4 8 9 5 1 2 3 3 4 4 5 6 b. El 4º Año Medio A. 3. a. Natalidad 1 5 5 6 7 8 9 2 0 0 1 1 4 7 Mortalidad 0 9 1 4 6 9 2 0 0 1 2 2 8 9 5 7 b. Pregunta abierta. c. A problemas relacionados con la sobrepoblación, o bien, con el envejecimiento de la población. Página 238 1. [17,82, 20,18], su amplitud es 2,36. Solucionario Estadística II 6 Fonasa o Isapre AFP Sueldo líquido Daniel 11 567 21 482 132 200 Carolina 16 650 30 922 190 288 Andrea 17 635 32 750 201 540 Sebastián 22 260 41 341 254 403 SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 17:00 Página 281
- 283. 282 | Matemática4º Medio Solucionario 2. 95% Página 239 3. a. n = 9604 personas. b. El tamaño muestral aumenta, pues para lograr una mayor confianza se debe tomar una mues- tra de mayor tamaño. c. La amplitud es mayor. 4. 400 salmones. Página 243 1. a. No es distribución normal. b. Sí es distribución normal. 2. a. 0,1587 b. 0,0228 3. a. 205 b. 220 c. 0,5 4. a. 50% c. 97,75% b. 84,15% d. 84,15% Página 245 1. a. Media aritmética: 6,5; desviación estándar: 7. Los valores que distorsionan la media son 15, 16, 18, 22, 36. b. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 9 1 0 1 2 5 6 8 2 2 3 6 Se concentran entre los valores menores que 10. 2. a. b. –0,45 3. 54% 4. E Página 248 1. a. P30 = 590 b. Q3 = 661 c. Nos indica que el 30% y el 75% de los estudiantes obtuvo puntajes menores o iguales a 589,67 y 660,71, respectivamente. d. 35% Página 249 2. a. 61,2 d. 81,875 b. 83,75 e. Pregunta abierta. c. 71,25 3. a. Media: 561; moda: 575; mediana: 562,5. b. Q1 = 502,5, Q3 = 625 c. Sobre $ 583. d. 36% Página 252 1. a. Educación c. Pregunta abierta. b. Pregunta abierta. Página 253 2. a. La mayor cantidad de personas contraen matrimonio entre los 20 y los 30 años. b. Es parecida a una distribución normal. 3. a. 1 0 1 2 3 4 5 2 3 4 5 20 40 60 80 100 120 140 Cantidad de desocupados por actividad. Julio, agosto y septiembre de 2009. 0 Agricultura, caza, pesca Mineras y canteras Industria manufacturera Electricidad, gas y agua Construcción Transporte, almacenaje y comunicaciones Comercio Servicios financieros Servicios comu- nales sociales Productos defectuosos Antigüedad (años) Desocupados (miles de personas) Actividad SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 17:00 Página 282
- 284. Solucionario | 283 b.Pregunta abierta. c. Pregunta abierta. Página 255 1. a. Mediana: 116, Q1 = 103,25, Q3 = 134. 2. a. El dato mínimo es alrededor de 10 años, el máximo 83. La mediana es en torno a 37 años y podemos ver que la distancia entre el mínimo y el primer cuartil es similar a la distancia entre el tercer cuartil y el máximo. b. Se puede ver que el promedio de edad es más alto en los hombres, además de que hay hombres más viejos que mujeres. 3. C Página 257 1. a. I. Media: 395,89; mediana: 408, Q1 = 278 II. 366,4 III. 552 3. a. I. 13,3% II. 18% Página 261 I. 1. V 2. F 3. F, el 50% de las observaciones se encuentran bajo él. 4. V 5. V II. 1. Categoría D: entre 960 y 997,5; categoría C: entre 997,5 y 1020; categoría B: entre 1020 y 1045; categoría A: mayores que 1045. 2. a. [2,85; 3,15] b. [2,9; 3,09] c. El fabricante esta equivocado ya que, según el estudio, el verdadero promedio es de 3 mg. Página 262 III. 1. E 4. E 2. E 5. A 3. B 6. E Página 263 7. B 10. C 8. E 11. A 9. B 12. E Solucionario 20 40 60 80 83 37 26,75 10 60,25 20 Mujeres Hombres 40 60 80 83 60,25 55,75 36,5 26,75 26,25 10 13 38 SOLUCIONARIO(264-283):Maquetación 1 4/11/10 17:00 Página 283
- 285. A Abscisas, 101 Alturas, - deun cilindro, 176, 182 - de un cono, 182 - de un prisma, 168 - de una pirámide, 170 Alzado, 163 Ángulo diedro, 140 Apotema, 159 Área, 160, 167 - basal de un poliedro, 164 - de un cilindro, 176 - de un círculo, 159, 176 - de un cono, 177 - de una esfera, 182 - de una pirámide, 164 - de un prisma, 164 - de un sector circular, 177 - de un tronco de cono, 177 Arco de circunferencia, - longitud de, 177 Argumento de un logaritmo, 30, 46 Asintótica, curva, 67 Asociatividad, 105, 110 B Base, - de un cilindro, 176, 182 - de una pirámide, 170 - de un prisma, 168 - de un cono, 182 - de un logaritmo, 30 C Cambio de base, (ver Logaritmo) Campana de Gauss, 240 Capacidad, 160 Caras - de un poliedro, 164 - basal de una pirámide, 170 - basales de un prisma, 164 - lateral de una pirámide, 170 - laterales de un prisma, 164 Cavalieri, Principio de, 167, 170, 180, 182 Centro de homotecia, 113 Cilindro, 166, 175 - área de un, 176 - volumen de un, 178 Círculo, 166 Coeficiente - de correlación de Pearson, 232 - de nivel de confianza k, 237 Colinealidad, de puntos, 120 Confianza, - nivel de, 237 - intervalos de, 237 Conmutatividad, 105 Cono, 175 - área de un, 176 Coordenadas cartesianas de un vector, 107 Coplanarios, 135 Correlación, 232 Crecimiento exponencial, 82 Cuadrante, 21, 101 Cuartil, 246, 248 Cuerpos de revolución, 174 Cuerpos generados - por traslación, 166 - por rotación, 174, 180 Cuerpo geométrico, 162, 166, 174 - inscrito, 186 Cúspide de una pirámide, 170 D Decil, 246 Decrecimiento exponencial, 84 Desplazamiento, 104, 118 Desviación, 228 - absoluta, 229 - estándar, 229, 241 - estándar muestral, 238 - estándar para datos agrupados, 230 - estándar poblacional, 238 - media, 228, 231 Diagrama - de tallo y hojas, 234 - de cajas, 248 Dirección de un vector, 102 Dispersión, gráfico de, 232 Distribución normal, 240 - tabla de, 242 Distributividad, 110, 128 Dominio, 17 - de la función exponencial, 66, 72 - de la función exponencial natural, 75 - de la función logarítmica, 40, 72 - de la función potencia, 22 E e, 74, Ecuación, - exponencial,78, 86 - logarítmica, 46, 50 - vectorial del plano en el espacio, 136 - cartesiana del plano en el espacio, 136 - vectorial de la recta en el espacio, 132 - vectorial de la recta en el plano, 120, 123 - cartesiana de la recta en el plano, 123 Ejes coordenados, 127 Elemento neutro, 105, 110 Elemento inverso, 105 Error, margen de, 238 Escalar, 110 Esfera, 175 - volumen de una, 182 - área de una, 182 Estadística, 198, 241, 252 Exponencial - crecimiento, 82 - decrecimiento, 84 284 | Matemática 4º Medio Índice temático I?NDICE TEM(284-288):Maquetación 1 4/11/10 17:00 Página 284
- 286. - ecuación, 78,80 - función, 66 Exponente, 30, 78 F Frecuencia, 197, 202 - absoluta, 203 - acumulada, 197 - relativa, 203, 216 - tabla de, 202, 227 Fuerza, 118 Función, 15, 16, - creciente, 15, 21, 41, 65, 67 - decreciente, 15, 21, 41, 65, 67 - dominio, 17, 41, 65 - exponencial, 66, 72 - inversa, 18, 72 - logarítmica, 40, 72 - logarítmica natural, 75 - polinomial, 24 - potencia, 20 - recorrido, 17, 41, 65 - potencia de exponente impar, 20 - potencia de exponente par, 20 - gráfica de, 20, 24 G Generatriz, 166 - de un cilindro, 176 - de un cono, 176 Gráfica - de una función, 24, 25, 65 - de la función exponencial, 66, 83, 85 - de la función exponencial natural, 75 - de la función logarítmica, 41, 42, 43 - de la función potencia, 22 Gráfico - circular, 205 - de barras, 205 - de dispersión, 205 H Histograma, 205 Homotecia, 112 - centro, 113 - composición, 113 - razón, 113 Homotético(a), 113 I Imagen, bajo una transformación, 108, 112 Interés, compuesto, 74, 86 Intervalo, 197, 203, 209 - abierto, 197 - cerrado, 197 - de confianza, 237 - semiabierto, 197 L Litro, 160 Logaritmo, 28, 78, 86 - cambio de base de, 33 - de la base, 32 - de un cociente, 34 - de un producto, 34 - de una potencia, 34 - de una raíz, 34 - de la unidad, 32 - natural, 80, 82 M Magnitud de un vector (módulo de un vector), 102 Marca de clase, 209, 230 Margen de error, 238 Media - aritmética, 209, 211, 227, 248 - poblacional, 237, 241 - muestral, 237 Mediana, 208, 211, 227, 246, 248 Medidas de dispersión, 228 Medidas de posición, 246 Medidas de tendencia central, 208, 211 Metro cúbico, 161 Moda, 208, 211, 227 Módulo de un vector, 102, 106 Muestra, 200, 227 - aleatoria, 236 - representativa, 200, 236 - tamaño de la, 238 Muestreo, 236 N Newton, Ley de enfriamiento de, 80 Nivel de confianza, 237 Número e, 74 O Origen de coordenadas, 101 P Paralelepípedo, 166, 168 Paralelogramos, 166 Parámetro, 122, 237 Pendiente de una recta, 124 Percentil, 246 - para datos agrupados, 247 Perfil, 163 Perímetro de un círculo, 159 Pictograma, 205 Pirámides, volumen de, 170 Plano(s), 134 - cartesiano, 101, 106 - coincidentes, 140, 144 - intersección de, 142 - paralelos, 140, 144 - secantes, 140, 144 Planta, 163 Población, 200, 227 - tamaño de, 236, 239 Poliedro, 164 Polígonos, 159, 166 - circunscritos a una circunferencia, 159 - inscritos en una circunferencia, 159 Índice temático Índice temático | 285 Índice temático I?NDICE TEM(284-288):Maquetación 1 4/11/10 17:00 Página 285
- 287. 286 | Matemática4º Medio Índice temático Porcentaje, 226 Principio de Cavalieri, 167, 170, 180, 182 Prisma, 166 - oblicuo, 168 Producto - cruz, 126, 128 - punto, 118 - de un vector por un escalar, 110 Propiedad absorbente del cero, 110 - asociativa (ver Asociatividad) - conmutativa (ver Conmutativi- dad) - distributiva (ver Distributividad), Proyecciones en el plano, 162 Punto medio de un segmento, 121, 148 Puntos - colineales, 132, 134 - coplanarios, 135 Q Quintil, 246 R Radián, 159 Rango, 202, 248 Razón - de homotecia, 113 Recorrido de una función, 17 Recorrido, 17, 41, 65 - de la función exponencial, 66 - de la función logarítmica, 40 - de la función potencia, 22 Rectas, - alabeadas, 135 - contenida en un plano, 134, 142 - paralelas, 124 - paralela al plano, 142 - perpendiculares, 124 - secantes, 135 Red - de un cilindro, 176 - de un poliedro, 164 - de un cono, 176 - de un tronco de cono, 176 Reflexión, 101 Regla de la mano derecha, 127 Representación geométrica - del producto cruz de dos vec- tores, 126 - de vectores, 102 Rotación, 101 - cuerpos generados por, 174 S Secantes, rectas, 135 Sección plana, 167 Sector circular, 176 Semiplano, 140 Sentido de un vector, 102 Sistemas de ecuaciones, - representación gráfica de, 143 - con infinitas soluciones, 143 - lineales, 101 Superficie, 160 T Teorema - de Euclides, 37 - de Pitágoras, 106, 182 Torque, 126 Trabajo mecánico, 118 Transformaciones en el plano - isométricas, 101 - composición de, 109 Traslación, 101 - composición de, 109 - cuerpos generados por, 166 - de figuras planas, 108 - de la gráfica de una función, 24, 25 - inversa, 109 Trayectoria, 104 Tronco - de cono, 174 U Unidades de medida, 159 - de volumen, 161 V Variable(s) - aleatoria - continua, 243 - cualitativa, 203 - cuantitativa, 203 - estadística, 203 Vector(es), 102 - adición de, 104 - dirección de un, 102 - director, 120, 125, 136 - distintos, 103 - forma analítica de, 107, 119 - igualdad de, 103 - módulo, 102, 106 - opuestos, 103 - paralelos, 132 - perpendiculares, 126, 132 - ponderado, 111, 120 - posición, 107, 120, 137 - sentido, 102 - sustracción de, 105 - unitarios, 127 Vértice - de una curva, 21 - de un poliedro, 164 - de una pirámide, 170 Vida media, 84 Volumen, 160, 167 - de un cilindro, 178 - de un cono, 180 - de un prisma, 168 - de un tronco de cono, 180 - de una esfera, 182 - de una pirámide, 170 I?NDICE TEM(284-288):Maquetación 1 4/11/10 17:00 Página 286
- 288. Bibliografía | 287 Textos •Mineduc. Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios de la Educación Media. Ministerio de Educación de Chile, 2001. • Ministerio de Educación. Matemática. Programa de Estudio. Cuarto Año Medio. Formación General Educación Media. Ministerio de Educación de Chile, Unidad de Currículum y Evaluación. Libros • Arenas Fernando y equipo. Geometría Elemental. Ediciones Universidad Católica de Chile, Santiago,1993. • Corbalán, Fernando. La matemática aplicada a la vida cotidiana. Graó, Barcelona, 1995. • Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. Geometry Revisited. The Mathematical Association of America, EE UU, 1967. • Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. Horsori, Barcelona, 1997. • Douglas F. Riddle. Geometría Analítica. Thomson Editores, México, 1996. • Enzensberger, Hans Magnus. El diablo de los números. Ediciones Siruela, España, 1998. • E.T. Bell. Los grandes matemáticos. Editorial Losada S.A., Buenos Aires, 1948. • Eves, H. Estudio de las Geometrías. Vol I, II. Unión Tipográfica Editorial Hispano Americana, México, 1969. • Gardner, Martin. ¡Ajá! Paradojas. Paradojas que hacen pensar. Labor S.A., Barcelona, 1989. • Guedj, Denis. El imperio de las cifras y los números. Ediciones B S.A., Barcelona, 1998. • Guillen, Michael. Cinco ecuaciones que cambiaron el mundo. Temas de debate. España, 1995. • Guzmán, Miguel de. Tendencias innovadoras en Educación Matemática, Red Olímpica, Buenos Aires, 1992. • Guzmán R., Ismenia. Didáctica de la matemática como disciplina experimental. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile, 2002. • Iglesias, P.; Saavedra, E. eds. Probabilidad y Estadística Elementales. Ediciones Universidad Católica de Chile, Santiago, 1997. • Jouette André. El secreto de los números. Ediciones Robinbook, Barcelona, 2000. • Moise, E. Geometría Elemental desde un punto de vista Avanzado. Compañía Editorial Continental, S.A., México, 1980. • Murray R. Spiegel. Álgebra Superior. Mc Graw Hill, Colombia, 1978. • Novak, J. Aprendiendo a aprender. Ediciones Martínez Roca S.A., Barcelona, 1988. • Ontoria A. Mapas conceptuales. Editorial Nancea, 2a edición, España, 1993. • Paulos, John Allen. Más allá de los números. Libros para pensar la ciencia. España, 1998. • Perelman, Yakov. Matemáticas recreativas. Ediciones Martínez Roca S.A., Barcelona, 1987. • Perero, Mariano. Historia e historias de matemáticas. Grupo Editorial Iberoamericano, México, 1994. • Pozo, J. L. Teorías cognitivas del aprendizaje. Morata, Madrid, 1990. • Rencoret, María del Carmen. Iniciación matemática - Un modelo de jerarquía de enseñanza. Editorial Andrés Bello, Santiago, 2002. • Smullyan Raymond, Satan, Cantor y el infinito. Editorial Gedisa, España, 1995. • Sternberg, R., Apear-Swerling L. Enseñar a pensar. Aula XXI, Santillana, España, 1996. • Stewart, Ian. De aquí al infinito. Las matemáticas de hoy, Crítica, Barcelona, 1998. • Tahan, Malba. El hombre que calculaba, Editorial Limusa, México, 1998. • Vygotski, L. El desarrollo de los procesos psicológicos superiores. Libergraf, S.A., Barcelona, 1995. • Walpole, R., Myers, R., Myers, S., Keying, Y, eds. Probabilidad Estadística para Ingeniería y Ciencia. Ciudad de México, Pearson Educación, 2007. • Webster, A, Irwin, eds. Estadística aplicada a la Empresa y a la Economía. Madrid, 1996. Sitios webs • Centro Comenius. http://www.comenius.usach.cl • El Paraíso de las Matemáticas http://www.matematicas.net • Sociedad de Matemática de Chile http://www.somachi.cl • Recursos matemáticos Redemat http://www.recursosmatematicos.com/redemat.html Bibliografía Bibliografía I?NDICE TEM(284-288):Maquetación 1 4/11/10 17:00 Página 287
- 289. 288 | Matemática4º Medio I?NDICE TEM(284-288):Maquetación 1 4/11/10 17:00 Página 288