Este documento trata sobre aspectos claves de la enseñanza de las matemáticas en la educación obligatoria según los nuevos currículos. Explora la evolución histórica de la enseñanza de las matemáticas, la importancia de la resolución de problemas, y las capacidades que deben desarrollarse en los estudiantes como pensamiento matemático, comunicación y razonamiento. También discute los retos de adaptar la enseñanza de las matemáticas a una nueva era y las competencias matemáticas evaluadas por PISA.

1. 1
Aspectos claves de la enseñanza de las
matemáticas en la educación obligatoria:
enfoque de los nuevos currículos
CAP PAMPLONA
6-Mayo-2008
Santiago Fernández
Asesor de matemáticas-Berritzegune de Bilbao

2. 2
Es evidente que:
Los ciudadanos se enfrentan regularmente a
situaciones matemáticas cuando compran, viajan, se
alimentan, pagan sus impuestos, gestionan sus
finanzas personales, organizan su tiempo y sus
entornos vitales, juzgan cuestiones políticas, y
muchas otras, en las que usan determinados
razonamientos: cuantitativo, relacional, espacial....
Por tanto las matemáticas, parece que son muy
importantes en nuestras vidas.
Pero…. Las matemáticas a veces se ven de así….

3. 3

4. 4

5. 5

6. 6
ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
a) Matemáticas Tradicionales
Aritmética
Álgebra
Geometría
b) Matemáticas Modernas(1957)
Coloquio de Royaumont(59)
Seminario de Dubrownik(60)
Ley del 70
c) Matemáticas Básicas

7. 7
d) Resolución de Problemas
Informes americanos(80)
NCTM(80)
Informe Cockroft(82)
Estandares Curriculares NCTM (90),(2000)
Ley LOGSE (90)
Problema propuesto en California(1980)
La limonada cuesta 95 centavos por botella.
La botella es de 56 cm3. En la feria de la escuela,
Roberto vendió vasos de 8 cm3 a 20 centavos la
unidad.
¿ Cuánto dinero ganó la escuela por botella?
Muestra: 80.000 alumnos
11% bien ( alumnado de 13 años)
29% bien (alumnado de 17 años)

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“Resolver un problema es encontrar un
camino allí donde no se conocía previamente
camino alguno, encontrar la forma de salir de
una dificultad, de sortear un obstáculo,
conseguir el fin deseado, que no se consigue
de forma inmediata, utilizando los medios
adecuados”.
George Polya. "Matematical Discovery".

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Problema
Una situación que representa una
dificultad, no hay un camino automático
para resolverla y se requiere deliberación e
investigación de tipo conceptual o empírica
para poder resolverla
Mario Bunge

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Primos gemelos
Observemos que hay primos que son
casi seguidos, como por ejemplo.
5 y 7, 11 y 13, 17 y 19
¿ Será cierto que el número comprendido
entre ellos siempre es un múltiplo de 6 ?

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RESOLVER PROBLEMAS, no consiste en saber
muchos resultados y conocer muchas fórmulas, sino,
más bien, en obtener provecho de nuestros
conocimientos y saber organizamos.
Es una actitud mental positiva, abierta y creativa

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“Lo que se puede enseñar es la actitud
correcta ante los problemas, y enseñar a
resolver problemas es el camino para
resolverlos (...). El mejor método no es
contarles cosas a los alumnos, sino
preguntárselas y, mejor todavía, instarles
a que se pregunten ellos mismos".
P. Halmos (1991)

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ALGORITMO
Es un procedimiento encaminado a
resolver una situación, siguiendo un
orden, de acuerdo a unas reglas y en
número finito de pasos
El algoritmo está ligado a los Ejercicios

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APRENDIZAJE
CAPACIDADES
ACTIVIDAD

15. 15
CAPACIDAD
ACTIVIDAD

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Objetivos
1. Ser capaz de resolver problemas
2. Aprender a comunicarse matemáticamente
3. Aprender a razonar matemáticamente
4. Adquirir seguridad en la propia capacidad
5. Aprender a valorar las matemáticas

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CAPACIDADES A DESARROLLAR
1.- COGNITIVAS:
Observar, analizar, clasificar, identificar, reconocer, ejemplificar,
relacionar, distinguir, definir, planificar, razonar, utilizar, aplicar,
resolver problemas, elegir, calcular...
2.- PSICOMOTORAS:
Construir, Dibujar, Medir,...
3.- COMUNICATIVAS:
Recoger datos, utilizar el vocabulario adecuado, codificar y
decodificar, expresar, interpretar..
4. -AFECTIVAS:
Valorar las propias capacidades, respetar, disfrutar,
adquirir seguridad, ...
5.- INSERCIÓN SOCIAL:
Participar, colaborar, utilizarlas matemáticas,....

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Analizar Identificar Reconocer
Relacionar Resolver Aplicar
Problemas
Distinguir Razonar Calcular
Planificar Seleccionar

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Adaptar las clases de matemáticas a una nueva
era plantea grandes retos:
¿Qué matemática es aún relevante?
¿Cómo explicarla?
¿Qué medios utilizar?
¿Qué formación necesitamos?
¿Cuáles son los grandes objetivos a perseguir?
……
Los retos son formidables pero no hay
soluciones mágicas ¿ qué se está haciendo
para mejorar?

20. 20
Del rigor en la ciencia
En aquel Imperio, el Arte de la Cartografía logró tal perfección
que el mapa de una sola provincia ocupaba toda una ciudad, y
el mapa del imperio, toda una provincia. Con el tiempo, esos
mapas desmesurados no satisficieron y los Colegios de
Cartógrafos levantaron un mapa del Imperio, que tenía el
tamaño del Imperio y coincidía puntualmente con él. Menos
adictas al estudio de la Cartografía, las generaciones siguientes
entendieron que ese dilatado mapa era inútil y no sin impiedad
lo entregaron a las inclemencias del sol y de los inviernos. En
los desiertos del Oeste perduran despedazadas ruinas del mapa,
habitadas por animales y por mendigos; en todo el país no hay
otra reliquia de las disciplinas geográficas.
Suárez Miranda, 1658
J. L. BORGES, El Hacedor, 1960
http://www.palabravirtual.com/index.php?ir=ver_poema1.php&pid=10936

21. 21
¿El que enseña tiene que hablar bien, ser
ameno, ordenado y elegir buenos ejemplos
para que el escuchante construya un modelo
exactamente igual al enseñado?
La sabiduría no se traspasa, se aprende. (Proverbio árabe)

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Nuevas matemáticas?
Formular y resolver problemas
Ser capaces de cuantificar situaciones
Razonar acerca de los números
Entender el razonamiento proporcional
Comprender y usar símbolos para comunicarse
Procesar información
Leer e interpretar tablas y gráficas
Tratar lo incierto
Tomar decisiones a partir de datos
Utilizar las nuevas tecnologías
........ Gail Burrill(2.000)

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En un concierto de rock se reservó para el público un
campo rectangular con unas dimensiones de 100 m
por 50 m. Se vendieron todas las entradas y el terreno se
llenó de fans, todos de pie.
¿Cuál de las siguientes cifras constituye la mejor
estimación del número total de asistentes al concierto?
A.- 2.000
B.- 5.000
C.- 20.000
D.- 50.000
E.- 100.000
Ser capaces de cuantificar situaciones

24. 24
Leer e interpretar tablas y gráficas

25. 25
Un presentador de TV mostró este gráfico y
dijo:
"El gráfico muestra que hay un enorme
aumento del número de robos comparando
1998 con 1999".
PISA-2003

26. 26
PISA: ELECCIÓN/COMPLEJA

27. 27
INFORME PISA: ABIERTA

28. 28
¿ Son éstas las tareas adecuadas?
¿ Hay otras?
¿ Cuáles?

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1) Un bote de tomate Orlando tiene
400 g neto de salsa de tomate y
cuesta 0,56 euros.
De 100 gramos de salsa de tomate, más
del 75% es agua. En el análisis, la
humedad varió desde el 77% de Helios
hasta el 88% de Orlando
2) Un tetrabrik de tomate Orlando tiene
390 g neto de salsa de tomate y cuesta
0,52 euros.
3) Un bote de cristal de tomate Helios tiene
420 g neto de tomate y cuesta 0,65 euros.
Investigar

30. 30
Algunas reflexiones
1. El énfasis de la enseñanza de las matemáticas debe estar en
capacitar a los estudiantes para aprender, no para cubrir el
programa.
2. El aprendizaje con los estudiantes ha de ser activo, y no recibir
pasivamente la información.
3. Las matemáticas que se enseñan en las aulas han de ser diferentes.
4. No podemos mantener intacto el viejo currículo y además ampliarlo
para hacer sitio a nuevos temas.
5. Las matemáticas han de ser un vehículo para la oportunidad y no un
filtro.

31. 31
El interés creciente por las competencias
educativas en Europa es fruto, sin duda, de la
influencia de su utilización en el mundo laboral,
pero de forma más específica de las evaluaciones
realizadas por la IEA (Internacional Association for
Educational Achievement) de Estados Unidos y de
las evaluaciones PISA de la OCDE.
¿ Qué son las competencias?

32. 32
En el documento elaborado por Eurydice(2002), se
revisan los currículos de los Estados miembros de la
Unión Europea correspondientes a la educación
general obligatoria.
En las conclusiones del estudio se recomienda que
todos los países incluyan referencias implícitas o
explícitas al desarrollo de competencias

33. 33
La Comisión Europea (2002 y 2005) propone ocho
dominios de competencias clave para el aprendizaje
permanente a lo largo de la vida.
La OCDE en su proyecto de Definición y Selección de
Competencias (DeSeCo) (2002) estudió la sociedad del
conocimiento en doce países e identificó tres grupos
de competencias clave que son interdependientes y
que, de forma progresiva, se irán integrando en el
proyecto OCDE/PISA.

34. 34
Son muchas las ocasiones en las que se ha de
emplear una determinada competencia
matemática para clarificar, formular y resolver
problemas.
( aspecto social)
Además, la competencia en matemáticas se
considera un elemento sustancial de la
preparación educativa, puesto que ideas y
conceptos matemáticos son herramientas claves
para entender y actuar sobre la realidad.
(aspecto educativo)
Competencia matemática

35. 35
Esto conlleva la idea de “competencia matemática”,
noción que se vincula a una componente práctica
relacionada con la capacidad que tiene una persona
para hacer algo en particular, y también a saber
cuándo, cómo y por qué utilizar determinados
instrumentos y conceptos matemáticos.

36. 36
¿ Es un concepto nuevo?
La competencia matemática:
Es una manifestación práctica de hacer matemáticas
de forma constructiva.
( Freudenthal, 1991)
Deberíamos prestar especial atención al desarrollo de
grandes competencias como son el pensar
matemáticamente, saber argumentar saber representar
y comunicar, saber resolver, saber usar técnicas
matemáticas e instrumentos y saber modelar.
Jan de Lange )

37. 37
PISA define la alfabetización o competencia
matemática como :
“la capacidad individual para identificar y comprender el papel que
desempeñan las matemáticas en el mundo, emitir juicios bien
fundados, utilizar las matemáticas y comprometerse con ellas, y
satisfacer las necesidades de la vida personal como ciudadano
constructivo, comprometido y reflexivo”
(2004)

38. 38
Las competencias o procesos generales elegidos por
el proyecto PISA (2004) son:
1.- pensar y razonar
2.-argumentar
3.- comunicar
4.- modelar
5.-plantear y resolver problemas
6.- representar
7.-utilizar el lenguaje simbólico, formal y técnico y
las operaciones
8.-usar herramientas y recursos.
Niss(1999)

39. 39
Comunicación, Esto comporta saber expresarse de
diferentes maneras, tanto oralmente como por escrito,
sobre temas de contenido matemático y entender las
afirmaciones orales y escritas de terceras personas sobre
dichos temas.
Representación, Descodificar y codificar, traducir,
interpretar y diferenciar entre las diversas formas de
representación de las situaciones y objetos matemáticos y
las interrelaciones entre las varias representaciones;
seleccionar y cambiar entre diferentes formas de
representación dependiendo de la situación y el propósito.

40. 40

41. 41
La competencia matemática es la habilidad para
utilizar sumas, restas, multiplicaciones,divisiones y
fracciones en el cálculo mental o escrito con el fin de
resolver diversos problemas en situaciones
cotidianas.
(Parlamento Europeo, 2004)

42. 42
La competencia matemática es la habilidad para
utilizar sumas, restas, multiplicaciones,divisiones y
fracciones en el cálculo mental o escrito con el fin de
resolver diversos problemas en situaciones
cotidianas.
(Parlamento Europeo, 2004)

43. 43
Por tanto en su nivel básico, comprende el uso
de la suma, resta, multiplicación y división,
porcentajes y ratios en cálculo mental y escrito
para la resolución de problemas.
Es una destreza elemental para todo el
aprendizaje posterior en otros ámbitos de las
competencias clave.
Marco Europeo
La competencia matemática

44. 44
Según evoluciona, implica, dependiendo del contexto, la
habilidad y disposición para usar diversos tipos de
pensamiento matemático (pensamiento lógico y
espacial) y de presentación (fórmulas, modelos,
gráficos) que tienen aplicación universal a la hora de
explicar y describir la realidad.
Marco Europeo
La competencia matemática

45. 45
Otra concepción interesante de la competencia
matemática es la que se muestra en los Estándares
del NCTM ( National Council of Teachers of Mathematics)
(2003).
Esta propuesta acude a unos descriptores que los
estudiantes deberían conocer y hacer:
conocimientos
procesos.
Respecto a los procesos:
resolver problemas, razonamiento y prueba,
conexiones matemáticas, comunicación y
representación.

46. 46
Las matemáticas, aunque están relacionadas con la
alfabetización numérica, son de mayor complejidad.
La definición de competencia matemática debe
reseñar la importancia de la “actividad matemática” y
reconocer los “vínculos con la realidad” como parte
del énfasis actual de la educación matemática.

47. 47
La competencia matemática consiste en la
habilidad para utilizar y relacionar los números, sus
operaciones básicas, los símbolos y las formas de
expresión y razonamiento matemático, tanto para
producir e interpretar distintos tipos de información,
como para ampliar el conocimiento sobre aspectos
cuantitativos y espaciales de la realidad, y para
resolver problemas relacionados con la vida cotidiana
y con el mundo laboral.

48. 48
El desarrollo del concepto de competencia está unido a una
demanda social clara de la comunidad europea, ligada al
mundo laboral, a la sociedad del conocimiento y al
aprendizaje permanente. E inevitablemente está relacionada
directamente con una serie de reflexiones en torno al
currículo:
 Necesidad de preparar a los jóvenes para vivir en un
mundo en continuos cambios y con exigencia de nuevos
aprendizajes (sociedad de la información y del conocimiento).
 La crisis permanente de los contenidos formativos, que
pronto quedan obsoletos ante el rápido avance del progreso
científico-técnico.
En definiva.....

49. 49
Esta competencia matemática cobra realidad y
sentido en la medida que los elementos y
razonamientos matemáticos son utilizados para
enfrentarse a aquellas situaciones cotidianas que los
precisan.
Por tanto, la identificación de tales situaciones, la
aplicación de estrategias de resolución de problemas,
y la selección de las técnicas adecuadas para calcular,
representar e interpretar la realidad a partir de la
información disponible están incluidas en ella .

50. 50
En definitiva, la posibilidad real de utilizar la actividad
matemática en contextos tan variados como sea posible.
Por ello, su desarrollo en la educación obligatoria se
alcanzará en la medida en que los conocimientos
matemáticos se apliquen de manera espontánea a una
amplia variedad de situaciones, provenientes de otros
campos de conocimiento y de la vida cotidiana.

51. 51
COMPONENTES BASICOS QUE
INVOLUCRAN UNA COMPETENCIA
• Saber-qué : representaciones internas.
• Saber-cómo: El hacer: Son observables a través
de las actuaciones o los desempeños.
• El contexto: espacio físico donde el individuo
ejecuta sus acciones

52. 52
Elementos del Currículo en la
ESO-Matemáticas
• Introducción
• Objetivos
• Contenidos
• Criterios de Evaluación

53. 53
1. La Matemática es la ciencia que se ocupa de describir
y analizar las cantidades, el espacio y las formas, los
cambios y relaciones, así como la incertidumbre.
( partes de las matemáticas)
..................................................................................
2. Es difícil encontrar alguna actividad que no necesite
de un determinado grado de aplicación o uso de las
matemáticas (importancia y utilidad)
............................................................................
3. Las matemáticas las podemos considerar como un
lenguaje que describe realidades sociales, naturales o
abstractas, mediante números, gráficos, expresiones
algebraicas, relaciones estadísticas, fenómenos
aleatorios, etc.

54. 54
4. Presentan unas características que se deben destacar para
comprenderlas y saber cómo aplicarlas:
 Las matemáticas son universales
 La matemática es una ciencia viva
 Las matemáticas son útiles
 Las matemáticas son una ciencia de patrones y
relaciones
 Importancia de la resolución de problemas
 La relación entre las matemáticas y las TIC
..................................................................................
5. Las matemáticas poseen un papel no sólo instrumental o
aplicativo, sino también formativo.
• Aspectos funcionales

55. 55
Aspectos instrumentales
• Procedimientos
• Técnicas
• Destrezas
• Términos
• Símbolos
• Lenguajes
• Definiciones
• Propiedades
• Algoritmos
• Fórmulas
• Métodos. . .
• Conceptos
. . .

56. 56
Aspectos formativos
• Razonamiento
• Capacidad de acción
simbólica
• Espíritu crítico
• Curiosidad
• Persistencia
• Resolver problemas.
• Autonomía
• Rigor
• Imaginación
• Creatividad
• Expresión, elaboración y
apreciación de patrones
y regularidades
• Combinación de
patrones para obtener
eficacia o belleza etc

57. 57
Las matemáticas son útiles para dar respuesta a:
• Necesidades socioculturales
El problema del tráfico en las ciudades; La planificación del Sistema
Educativo; Los procesos electorales, etc.
• Necesidades científicas
El estudio de problemas importantes actuales, como el problema del
agua, de la energía , de la alimentación, etc., necesitan de las
matemáticas
• Necesidades individuales
¿Puedo comprar ese coche?¿ cuánto tendré que pagar si lo compro a
plazos?¿ Interpretar gráficos y tablas ?.
Aspectos funcionales

58. 58
A. Es momento de iniciar procesos de abstracción y formalización,
sin llegar a niveles del rigor matemático
B. Hay que utilizar distintos ámbitos de experiencias como fuente
de actividades matemáticas.
C. Uso racional de la calculadora científica y software específico
(asistentes matemáticos)
D. Continuación del trabajo en grupo .
E. Intensificación de la Resolución de Problemas.
F. Potenciar la necesidad de un lenguaje claro y
adecuado para comunicar sus ideas, razonamientos,
argumentos, etc.
G. Desarrollar todos los bloques de contenido desde el primer
curso.
Concretando las matemáticas a la etapa Secundaria
Obligatoria conviene señalar algunas características
interesantes para su desarrollo:

59. 59
Los Bloques de Contenidos No son compartimentos
estancos: en todos los bloques se utilizan técnicas
numéricas y algebraicas, y en cualquiera de ellos puede
ser útil confeccionar una tabla, generar una gráfica o
suscitar una situación de incertidumbre probabilística.
Geometría y medida
Números y álgebra
Funciones
y gráficas
Estadística y
Probabilidad

60. 60
Las matemáticas contribuyen a la adquisición y
desarrollo de las siguientes competencias:
 La competencia matemática en general
La competencia en la resolución de problemas.
La competencia en el uso de los distintos tipos de razonamientos
La competencia en la comunicación y expresión matemática
La competencia en tecnologías de la información y la comunicación
en comunicación lingüistica
 en cultura científica, tecnológica y de la salud
 en cultura humanística y artística
 en el tratamiento de la información y competencia digital
 aprender a aprender
 social y ciudadana
 autonomía e iniciativa personal

61. 61
EJEMPLO de Objetivo redactado como competencia
1.- Plantear y resolver, de manera individual o en
grupo, problemas extraídos de la vida cotidiana,
de otras ciencias o de las propias matemáticas,
eligiendo y utilizando diferentes estrategias,
razonando el proceso de resolución,
interpretando los resultados y aplicándolos a
nuevas situaciones para poder actuar de manera
más eficiente en el medio social.
Qué + Cómo+ Para qué

62. 62
EJEMPLO de Objetivo redactado como competencia
3. Utilizar, de manera autónoma y creativa, las
herramientas propias del lenguaje y la expresión
matemática (números, tablas, gráficos, figuras,
nomenclaturas usuales, etc.) para explicitar el
propio pensamiento de manera clara y
coherente, utilizando los recursos tecnológicos
más apropiados.
Qué +Cómo+para qué

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Hacer más
•Trabajo en grupo
•Uso de diversos lenguajes
•Trabajos de investigación
•Trabajos en un contexto
•Utilización de las tecnologías de
la información y comunicación
•Resolver problemas

64. 64
Hacer menos
•Trabajo individual
•Realizar ejercicios
•Trabajos sin contexto
•Cálculos con lápiz y papel
• Lecciones magistrales
•Situaciones abstractas
• Exámenes

65. 65
EDUCAR…
Educar es lo mismo
que poner motor a una barca…
hay que medir, pesar, equilibrar…
… y poner todo en marcha.
Para eso,
uno tiene que llevar en el alma
un poco de marino…
un poco de pirata…
un poco de poeta…
y un kilo y medio de paciencia
concentrada.
Pero es consolador soñar
mientras uno trabaja,
que ese barco, ese niño
irá muy lejos por el agua.
Soñar que ese navío
llevará nuestra carga de palabras
hacia puertos distantes,
hacia islas lejanas.
Soñar que cuando un día
esté durmiendo nuestra propia
barca,
en barcos nuevos seguirá
nuestra bandera
enarbolada.
(Gabriel Celaya)

66. 66
LA MEJOR ESCUELA
Desconfía de aquellos que te enseñan
listas de nombres, números y fechas
y que siempre repiten modelos de cultura
que son la triste herencia que aborreces.
No aprendas sólo cosas, piensa en ellas,
y construye a tu antojo situaciones e imágenes
que rompan la barrera que aseguran existe
entre la realidad y la utopía:
.............,
tiñe de rojo el mar,
sigue unas paralelas hasta que te devuelvan
el punto de partida,
haz aullar a un desierto,
familiarízate con la locura
Después sal a la calle y observa,
es la mejor escuela de tu vida.
José Agustín Goytisolo