Medidas estadisticas.pdf................

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN
Facultad de Agronomía
Asignatura: Estadística General
Medidas estadísticas
Omar Zeballos Cáceres, Ph.D.

1. Medidas estadísticas
• Las medidas estadísticas pueden son calculadas con los datos
provenientes de una población (N: Tamaño de la población) o muestra
(n: Tamaño de la muestra) para evaluar diferentes variables
(cuantitativas y cualitativas), cuya finalidad es resumir y representar el
conjunto de datos.
• Observaciones
– Las medidas estadísticas asumen las mismas unidades de medida de
la variable en estudio
– Para las variables cuantitativas, se pueden calcular todas las medidas
estadísticas.
– En el caso de las variables cualitativas, sólo es posible calcular las
medidas como la moda y la proporción

2. Medidas de tendencia central
• Son medidas estadísticas que se localizarían en la parte central de la
distribución de los datos. Permiten resumir y representar en un sólo
valor el conjunto de datos. Las principales medidas de tendencia
central son:
• Media o promedio
• Media ponderada
• Media geométrica
• Media armónica
• Mediana
• Moda
• Percentil

2.1 Media o promedio
• La media aritmética simple o promedio de un conjunto de datos provenientes
de una población (N) o muestra (n), es igual al cociente entre la suma total de
sus valores y el número de observaciones.
• Ejemplo
❖ Suponga que se tiene los datos de las ventas semanales (en dólares) de una
muestra de 8 vendedores. Calcule la venta promedio semanal.
❖ Solución
❖ La venta promedio semanal por vendedor fue de $ 236.3
150 120 300 280 350 250 160 280

2.1 Media o promedio
• Propiedades:
1. La media está afectada por valores extremos (altos o pequeños). Es una
desventaja de la media.
2. La media aritmética localiza la parte central de un conjunto de
observaciones.
3. Para un conjunto de observaciones la media es única.
4. Si la media sustituye a cada observación, la suma total no cambia.
5. La suma de las desviaciones de las observaciones con respecto al
promedio es igual a cero
6. La suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones con
respecto a la media es mínima:

2.2 Media ponderada
• La media ponderada se usa en aquellos casos donde las observaciones
tienen diferente importancia dentro de una población o muestra.
• Casos particulares:

2.2 Media ponderada
Ejemplo caso 1.
• En la siguiente tabla se presenta el número de cursos matriculados en el
presente semestre para una muestra de 300 alumnos. Hallar el número
promedio de cursos matriculados por alumno.
• Interpretación: El número promedio de cursos matriculados por alumno en
este semestre es de 4.4.
.

2.2 Media ponderada
Ejemplo caso 2.
• Si en una clase, al examen final se le da el triple de valor que a los
exámenes parciales y un estudiante obtiene 85 en el examen final,
y 70 y 90 en los dos exámenes parciales, su puntuación media es:
• Interpretación. La nota promedio de los tres exámenes fue de 83

2.3 Media geométrica
• Corresponde al valor representativo central de observaciones secuenciales
y estrechamente relacionadas entre sí. La media geométrica de un
conjunto de n observaciones positivas x1, x2, …, xn se define como:
• Este promedio se usa en la elaboración de números índices y tasas
promedios de variación.
• Propiedades
1. Esta basada en todas las observaciones, por lo que se ve afectada por
los valores extremos. Sin embargo da menos peso a los valores
extremadamente grandes que el que le da la media aritmética.
2. Cuando alguno de los datos es negativo puede resultar un numero
complejo.
3. Toma el valor de cero cuando alguno de los datos es igual a cero.

• Ejemplo:
Suponga que la población de una ciudad aumento de 22000 a 30800 habitantes,
en el periodo de 1996 a 2000, como se indica a continuación. Hallar la tasa media
de crecimiento.
• Solución
1. Se determina las tasa de variación o de cambio:
Año Población
1996 22000
1997 23500
1998 25200
1999 28000
2000 30800
Año Poblacion Tasa de cambio (año base 1996)
1996 22000 …....
1997 23500 1.068
1998 25200 1.072
1999 28000 1.111
2000 30800 1.100

• Solución
2. Se determina la media geométrica
ഥ
𝑥𝑔 =
4
1.068 ∗ 1.072 ∗ 1.111 ∗ 1.100
ഥ
𝑥𝑔 = 1.088
3. Interpretación:
❖La tasa promedio de crecimiento poblacional es de 108.8% -
100%=8.8% por año.

2.4 Media armónica
• La media armónica de un conjunto de n observaciones no nulas (diferentes de
cero) x1, x2, …, xn se define como el reciproco de la media aritmética de los
recíprocos de las observaciones.
• La media armónica es útil para promediar razones que tienen dimensiones
físicas tales como Km/gal, costo/km, km/h o razones con unidades como costo
por paciente o miles de soles por kilo.
• Propiedades
1. Los valores extremos afectan al promedio armónico con menor intensidad
que al promedio geométrico y al promedio aritmético.
2. Si solo uno de los datos es cero, la media armónica tiende a cero. Si dos o
mas datos son ceros, no se puede calcular la media armónica.

2.4 Media armónica
• Ejemplo
Supongamos que una persona decide salir a correr 10km. Los primeros 2 km corre
a 15 km/h, los siguiente 2km, a 17 km/h, los siguientes 2km, a 14 km/h, y los otros
dos tramos de 2km, a 13 km/h y 12 km/h, respectivamente. Calcular la velocidad
media con la que se recorrieron los 10 km.
Solución:
1. Se ordena los datos:
❖ (n=5)
2. Se calcula la media armónica:
ҧ
𝑥𝐴 =
5
1
15
+
1
17
+
1
14
+
1
13
+
1
12
ҧ
𝑥𝐴 =13.9987
❖ La velocidad promedio en recorrer 10 km es de 13.9987 km/h
Distancia Velocidad (km/h)
2 15
2 17
2 14
2 13
2 12

RELACIÓN ENTRE LAS MEDIAS ARITMÉTICA, GEOMÉTRICA Y ARMÓNICA
La media geométrica de un conjunto de números positivos X1, X2, . . . , XN
es menor o igual que su media aritmética, pero mayor o igual que su
media armónica.
En símbolos,
ҧ
𝑥𝐴 ≤ ഥ
𝑥𝑔 ≤ ҧ
𝑥
❖ La igualdad es válida sólo cuando todos los números X1, X2, . . . , XN son
idénticos.

2.5 Mediana
• La mediana es el valor que ocupa la posición central de un conjunto de
datos, previamente ordenados. La mediana poblacional se representa
por ´Me´ y la mediana muestral por ´me´. La mediana se calcula:
• Ejemplo:
Los siguientes datos corresponden a los pesos (en Kg.) de 10 personas: 50, 77,
53, 76, 63, 64, 75, 54, 52, 80. Calcule la mediana.
✓ Datos ordenados: 50, 52, 53, 54, 63, 64, 75, 76, 77, 80
✓ Interpretación. La mediana de los pesos es 63.5. Un 50% de personas
pesan menos de 63.5 Kg. y el otro 50% pesa más de 63.5 Kg. 14

2.5 Mediana
• Ejemplo:
En un seminario de formación, se pregunta a once participantes por su edad,
y las respuestas son las siguientes: 28, 34, 51, 19, 62, 43, 29, 38, 45, 26, 49
Datos ordenados: 19, 26, 28, 29, 34, 38, 43, 45, 49, 51, 62
✓ n=11
✓ Interpretación. La mediana de las edades recopiladas en el seminario es
38. Un 50% de personas tienen una edad menor o igual a 38 años y el otro
50% tiene una edad mayor o igual a 38 años.

2.5 Propiedades de la Mediana
1. La mediana divide a las n observaciones previamente ordenadas, en
dos partes iguales. El 50% con valores menores a la mediana y el otro
50% con valores mayores a la mediana.
2. La suma de las desviaciones absolutas de las observaciones con
respecto a la mediana es un valor mínima.
3. La mediana no está afectada por valores extremos.

2.6 Moda
• La moda de un conjunto de datos es el valor o atributo que ocurre con
mayor frecuencia. La moda poblaciones se representa por ´Mo´ y la
moda muestral por ´mo´
• Propiedades:
1. Puede no existir o puede haber más de una moda en un conjunto
de datos.
2. No es afectada por valores extremos.
3. Se aplica tanto para información cualitativa como cuantitativa.
• Ejemplo
Se tiene longitudes (en cm.) de una raza de peces de rio para muestras en
tres zonas (A, B y C). Calcule e interprete la moda para cada muestra
4.0 4.3 4.6 4.0 4.1 4.4 4.0 4.1 4.3
4.1 4.4 4.7 4.1 4.2 4.5 4.1 4.2 4.3
4.2 4.5 4.8 4.1 4.3 4.6 4.1 4.3 4.5
Muestra de la zona A Muestra de la zona B Muestra de la zona C

2.6 Moda
Muestra de la zona A Muestra de la zona B Muestra de la zona C
4.0 4.3 4.6 4.0 4.1 4.4 4.0 4.1 4.3
4.1 4.4 4.7 4.1 4.2 4.5 4.1 4.2 4.3
4.2 4.5 4.8 4.1 4.3 4.6 4.1 4.3 4.5
No hay moda mo=4.1 mo1=4.1 y mo2=4.3
Interpretación.
Zona A. No hay moda
Zona B. La longitud más frecuente de las truchas es 4.1 cm.
Zona C. Existen dos modas: 4.1 y 4.3

2.7 Cuartiles, deciles y percentiles
• En un conjunto de datos en el que éstos se hallan ordenados de acuerdo con su
magnitud, el valor de en medio (o la media aritmética de los dos valores de en medio),
que divide al conjunto en dos partes iguales, es la mediana.
• Continuando con esta idea se puede pensar en aquellos valores que dividen al conjunto
de datos en cuatro partes iguales. Estos valores, denotados Q1, Q2 y Q3 son el primero,
segundo y tercer cuartiles, respectivamente; el valor Q2 coincide con la mediana.
• De igual manera, los valores que dividen al conjunto en diez partes iguales son los
deciles y se denotan D1, D2, . . . , D9, y los valores que dividen al conjunto en 100
partes iguales son los percentiles y se les denota P1, P2, . . . , P99. El quinto decil y el
percentil 50 coinciden con la mediana. Los percentiles 25 y 75 coinciden con el primero
y tercer cuartiles, respectivamente.
• A los cuartiles, deciles, percentiles y otros valores obtenidos dividiendo al conjunto de
datos en partes iguales se les llama en conjunto cuantiles.

2.7 Cuartiles, deciles y percentiles
• Cuartiles: Son 3 y dividen a la distribución en 4 partes iguales.
– Q1 = Primer cuartil, por debajo de este valor se encuentra el 25% de las
observaciones.
– Q2=me
– Q3= Tercer cuartil, por debajo de este valor se encuentra el 75% de las
observaciones.
• Deciles: Los Deciles son nueve y dividen a la distribución en 10 partes
igualesD3.
D3=P30; D5=P50=Q2=me; D9=P9

2.7 Calculo del percentil
• El percentil Pq divide a un conjunto ordenado de observaciones en un q% menores que
Pq y un (100 – q)% mayores que Pq. El percentil Pq es un valor expresado en las mismas
unidades que la variable en estudio.
• Para calcular el percentil Pq, se determina en primer lugar la posición .

2.7 Calculo del percentil
• Ejemplo:
Se cuenta con los datos de los tiempos (en minutos) de tardanza de los
trabajadores de una compañía de seguro. Halle e interprete el percentil 45.
1. Se orden los datos:
2. Se determina la posición
3. Interpretación: El 45% de los trabajadores tienen un tiempo de tardanza
menor 13.85 minutos y el otro 55% más de 13.85 minutos.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Datos 15 12 18 22 24 10 9 13 25 18 6 14
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Datos 6 9 10 12 13 14 15 18 18 22 24 25

Bibliografia
• Coronado, J. (2007). Escalas de medición. Paradigmas, Vol 2, (2). Bogotá, D. C.
• Miranda Villagomez, F y Salinas Flores, J. (2012). Estadística General. Fondo
editorial de la UNALM.
• Rustom, A. (2012). ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA, PROBABILIDAD E INFERENCIA.
Una visión conceptual y aplicada. Departamento de Economía Agraria.
Facultad de Ciencias Agronómicas Universidad de Chile
• Lipschutz, S y Schiller J. (2001). Introducción a la probabilidad y estadística.
Mac Grawill. Madrid-España.

Gracias Totales……..

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