METODOS ESTADÍSTICOS I, SEGUNDA Y TERCERA clase.pptx

Asignatura: MÉTODOS ESTADÍSTICOS I
Dr. Juan Pablo Inostroza S.
OBJETIVOS(S): AL APROBAR LA ASIGNATURA, EL ALUMNO SERÁ CAPAZ
DE:
1. REPRESENTAR, ORGANIZAR Y SINTETIZAR UN CONJUNTO DE DATOS
PARA SU ANÁLISIS MEDIANTE EL USO DE HERRAMIENTAS DE LA
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.
2. ENUNCIAR Y APLICAR LAS REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD.
3. RECONOCER Y APLICAR LAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
DISCRETAS Y CONTINUAS.

CONTENIDOS:
1. Introducción conceptos.
2. Representación gráfica de los datos.
3. Medidas de la Tendencia Central y Dispersión.
4. Principios de Probabilidad.
5. Distribuciones de Probabilidad discretas y continuas.
6. Estadística inferencial y estimaciones.

METODOLOGÍA DE TRABAJO:
Expositivas, complementada con ejercitación.
EVALUACION:
Certámenes, controladores y/o trabajos.

BIBLIOGRAFIA:
1. Leonard J. Kazmier. Estadística Aplicada a la Administración y la Economía. Ed. Mc Graw Hill.
Publicaciones Schaum. 3era. Ed. 1998.
2. Murria R. Spiegel. Probabilidad y Estadística. Ed. Mc Graw Hill.
3. Probabilidad y Estadística Aplicada a la Ingeniería. Douglas C. Montgomery y George C. Runger.
Mc Graw Hill. 1996.

Medidas de tendencia central y
dispersión

Medidas de tendencia central o posición
Corresponden a valores que generalmente se ubican en la parte central de un conjunto de
datos.
Forma como los datos pueden condensarse en un solo valor central alrededor del cual todos los
datos muestrales se distribuyen.

Medidas de tendencia central o posición
Las medidas de tendencia central más importantes son:
◦ Media: Aritmética y Aritmética ponderada.
◦ Mediana.
◦ Moda.

Medidas de tendencia central y dispersión
TENDENCIAS CENTRALES
- DATOS NO AGRUPADOS:
MEDIA, MEDIANA, MODA, MEDIA PONDERADA Y MEDIA
GEOMÉTRICA.
- DATOS AGRUPADOS:
MEDIA, MEDIANA Y MODA.

Medidas de tendencia central y dispersión
DISPERSIÓN
- DATOS NO AGRUPADOS:
RANGO, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR, CUARTILES
(DECILES Y PERCENTILES).
- DATOS AGRUPADOS:
VARIANZA Y DESVÍO ESTÁNDAR.

Media Aritmética
Es la suma de todas las observaciones dividida entre el número total
de observaciones.
Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que la media
aritmética es la cantidad total de la variable distribuida a partes
iguales entre cada observación. (wikipedia)
Por ejemplo, si en una habitación hay tres personas, la media de
dinero que tienen en sus bolsillos sería el resultado de tomar todo el
dinero de los tres y dividirlo a partes iguales entre cada uno de ellos.
Es decir, la media es una forma de resumir la información de una
distribución (dinero en el bolsillo) suponiendo que cada observación
(persona) tendría la misma cantidad de la variable. (wikipedia)

Cálculo de la media aritmética
Para datos no agrupados:
n
x
X
n
i
i


 1
n
f
m
X
k
i
i
i


 1
 Para datos agrupados:
Donde: mi: punto medio de la clase i
fi: frecuencia absoluta de la clase i
k: cantidad de clases

Mediana
Es el valor que ocupa la posición central de un conjunto de observaciones, una vez que han sido
ordenados en forma ascendente o descendente.
Divide al conjunto de datos en dos partes iguales.

Cálculo de la mediana
Para datos no agrupados:
◦ Si n es impar: posición donde se ubica la mediana es igual a (n+1)/2.
◦ Si n es par: (n+1)/2 no es entero, por lo tanto la mediana será igual al promedio de las dos posiciones
centrales.

Cálculo de la mediana
Datos agrupados: clase mediana es la que contiene
a la observación que ocupa la posición n/2.
Cm
x
f
x
F
n
Lm
Md
m
m
)
(
)
(
2
1
1





Donde: Lm: límite inferior de la clase mediana.
F(xm-1): frecuencia acumulada de la clase
anterior a la clase mediana.
f(xm): frecuencia absoluta de la clase mediana.
Cm: amplitud de la clase mediana.

Moda
Observación o clase que tiene la mayor frecuencia en un conjunto de observaciones.
Un conjunto de datos puede ser unimodal, bimodal o multimodal.
Es la única medida de tendencia central que se puede determinar para datos de tipo cualitativo.

Cálculo de la moda
Para datos no agrupados: es simplemente la
observación que más se repite.
Para datos agrupados:
Cm
Lim
Mo
2
1
1






Donde: Lim: límite inferior de la clase modal.
1: diferencia entre fi de la clase modal y la
anterior.
2: diferencia entre fi de la clase modal y la
posterior.
Cm: amplitud de la clase modal (clase de mayor
frecuencia).

Relación entre la media, la mediana y la moda
Cuando los datos son sesgados es mejor emplear la Md

Medidas de tendencia central (datos no agrupados)
EJERCICIO 1
- CALCULE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL:
A) MEDIA
B) MEDIANA
C) MODA

D) MEDIA PONDERADA
- SE UTILIZA CUANDO QUIERE DARSE MAYOR PESO A
ALGUNA DE LAS OBSERVACIONES.

D) MEDIA PONDERADA
EJEMPLO:
SI EL PROFESOR LE AMENAZA CON QUE EL EXAMEN FINAL VALDRÁ
EL DOBLE DE LOS OTROS EXÁMENES PARA DETERMINAR LA NOTA
FINAL, ENTONCES EL PUNTAJE DEL EXAMEN FINAL TENDRÁ EL DOBLE
DE PESO. SUPONIENDO QUE EN LOS PARCIALES SE SACÓ 89, 92 Y 79,
Y EN EL EXAMEN FINAL OBTUVO UN 94, ENTONCES LA MEDIA
PONDERADA SE CALCULA:

EJERCICIO 2
A) CALCULE LA MEDIA PONDERADA.

Media, mediana y moda para datos agrupados

Media, mediana y moda para datos agrupados en intervalos

Cuantiles
Los cuantiles son medidas de posición “no central” que se utilizan con mayor frecuencia
y se emplean sobre todo para resumir o describir las propiedades de conjuntos grandes
de datos numéricos.
Cuartiles
Deciles
Percentiles

Cuartiles
De la misma manera que la mediana divide un conjunto de datos en dos grupos
iguales, los cuartiles lo dividen en cuatro grupos iguales.
Cada grupo está formado por 25% de los datos de la muestra y se denotan por Q1, Q2 y
Q3 respectivamente
25% 25% 25% 25%
Q1 Q2 Q3

Cuartiles
La obtención de los cuartiles depende del número de
datos de la muestra; se utilizan los mismo conceptos del
cálculo de la mediana. Las fórmulas para cada los
cuartiles 1 y al vienen a ser:
)
4
)
1
(
3
(
)
4
)
1
(
2
(
)
4
1
(
3
2
1






n
ión
ValorPosic
Q
n
ión
ValorPosic
Q
n
ión
ValorPosic
Q

E j e m p l o
Se define en minutos el tiempo que le lleva arreglarse, desde que se levanta
hasta que sale de casa. A lo largo de 10 días hábiles consecutivos, Usted
recaba los tiempos (redondeados a minutos)
que se muestras a continuación
39 29 43 52 39
44 40 31 44 35

Cuartil 1
Tamaño de la muestra N=10
2-2008
35
)
3
(
)
75
.
2
(
)
4
1
10
(
)
4
1
(
1
1
1
1
1







Q
VP
Q
VP
Q
VP
Q
n
VP
Q
3
29
31
35
39
39
40
43
44
44
52

5
.
39
2
40
39
)
5
.
5
(
)
4
)
1
10
(
2
(
)
4
1
(
2
2
2
2
1








Q
Q
VP
Q
VP
Q
n
VP
Q
29
31
35
39
39
40
43
44
44
52
Cuartil 2
5.5

44
)
8
(
)
25
.
8
(
)
4
)
1
10
(
3
(
)
4
1
(
3
3
3
3
1







Q
VP
Q
VP
Q
VP
Q
n
VP
Q
Cuartil 3
8
29
31
35
39
39
40
43
44
44
52

2-2008 32
Deciles
10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10%
Los deciles dividen una muestra en 10 grupos
iguales y cada decil acumula el 10% de los
datos.
Se trabajan igual que los cuartiles

2-2008 33
Percentiles
1% 1% 1% 1% 1% 1% 1%
Los percentiles dividen una muestra en 100
grupos iguales y cada percentil acumula el 1%
de los datos.
Se trabajan igual que los cuartiles y deciles

Medidas de dispersión, variación o variabilidad.
Son valores numéricos que indican o describen la forma en que las
observaciones están dispersas o diseminadas, con respecto al valor central.

Son importantes debido a que dos muestras de observaciones con el mismo valor central
pueden tener una variabilidad muy distinta.

Rango.
Varianza.
Desviación Típica.
Coeficiente de variación.

Medidas de dispersión: Rango
Rango (amplitud o recorrido):
Está determinado por los dos valores extremos de los datos
muestrales, es simplemente la diferencia entre la mayor y menor
observación.
Es una medida de dispersión absoluta, ya que depende solamente de
los datos y permite conocer la máxima dispersión.

Medidas de dispersión: Rango
Casi no se emplea debido a que depende únicamente de dos valores.
No proporciona una medida de variabilidad de las observaciones con respecto al centro de la
distribución.
Notación: R

Medidas de dispersión: Varianza
Es un valor numérico que mide el grado de dispersión relativa porque depende de la posición de
los datos x1,x2,…,xn con respecto a la media.
Es el promedio al cuadrado de las desviaciones de cada observación con respecto a la media.
Notación: s2, 2, var(X)

Si la varianza de un conjunto de observaciones es
grande se dice que los datos tiene una mayor
variabilidad que un conjunto de datos que tenga un
varianza menor.
 
2
1
2
2
1
2
2
x
n
x
s
n
x
x
s
n
i
i
n
i
i








Para datos NO
agrupados:

Para datos agrupados en una distribución de frecuencias:
 
 2
1
2
2
1
2
2
x
n
f
m
s
n
f
x
m
s
k
i
i
i
k
i
i
i











Medidas de dispersión: Desviación Típica
Es la raíz cuadrada de la varianza.
Notación: s, .
2
s
s 

Medidas de dispersión: Coeficiente de Variación
Es una medida de dispersión relativa que permite
comparar el nivel de dispersión de dos muestras de
variables estadísticas diferentes.
No tiene dimensiones.
Notación: CV
%
100


x
s
CV

Medidas de dispersión (datos no agrupados)
Ejercicio 4
a) Calcular la varianza.
b) Calcular el desvío estándar de la muestra.

Medidas de dispersión (datos agrupados)
VARIANCIA Y DESVÍO ESTÁNDAR
Ejemplo:

Ejemplo (cont.):

A) CALCULAR LA VARIANZA Y EL DESVÍO ESTÁNDAR.
Ejercicio 7: Utilizando los mismos datos que en el ejercicio anterior,

Varianza, desv.estándar y coef. Variacion en datos agrupados.

Medidas de Forma: Asimetría
Permiten estudiar la forma de la curva, dependiendo de cómo se agrupan los datos.
La asimetría es la medida que indica la simetría de la distribución de una variable respecto a la media aritmética, sin
necesidad de hacer la representación gráfica. Los coeficientes de asimetría indican si hay el mismo número de
elementos a izquierda y derecha de la media.
Existen tres tipos de curva de distribución según su asimetría:
Asimetría negativa: la cola de la distribución se alarga para valores inferiores a la media.
Simétrica: hay el mismo número de elementos a izquierda y derecha de la media. En este caso, coinciden la media, la
mediana y la moda. La distribución se adapta a la forma de la campana de Gauss, o distribución normal.
Asimetría positiva: la cola de la distribución se alarga (a la derecha) para valores superiores a la media.

Coeficiente de asimetría de Fisher
CAF evalúa la proximidad de los datos a su media x. Cuanto mayor sea la suma ∑(xi–x)3,
mayor será la asimetría. Sea el conjunto X=(x1, x2,…, xN), entonces la fórmula de la
asimetría de Fisher es:
Cuando los datos están agrupados o agrupados en intervalos, la fórmula del coeficiente de asimetría
de Fisher se convierte en:
•Si CAF<0: la distribución tiene una asimetría negativa y se alarga a valores menores que la media.
•Si CAF=0: la distribución es simétrica.
•Si CAF>0: la distribución tiene una asimetría positiva y se alarga a valores mayores que la media.

Coeficiente de asimetría de Pearson
El coeficiente de asimetría de Pearson CAP mide la diferencia entre la media y la moda respecto a
la dispersión del conjunto X=(x1, x2,…, xN).
Este procedimiento, menos usado, lo emplearemos solamente en distribuciones unimodales y poco
asimétricas.
•Si CAP<0: la distribución tiene una asimetría negativa, puesto que la media es menor que
la moda.
•Si CAP=0: la distribución es simétrica.
•Si CAP>0: la distribución tiene una asimetría positiva, ya que la media es mayor que la moda.

Medidas de Forma: Kurtosis
Miden si los valores de la distribución están más o menos concentrados alrededor de
los valores medios de la muestra (zona central de la distribución).
La kurtosis (o apuntamiento) es una medida de
forma que mide cuán escarpada o achatada está
una curva o distribución.
Este coeficiente indica la cantidad de datos que
hay cercanos a la media, de manera que a mayor
grado de kurtosis más escarpada (o apuntada)
será la forma de la curva.

Medidas de Forma: Kurtosis
Se definen tres tipos de distribución según su grado de Kurtosis:
Mesocúrtica: grado de concentración medio alrededor de los valores centrales de la variable.
Leptocúrtica: grado de concentración elevado.
Platicúrtica: grado de concentración reducido.

La kurtosis se mide promediando la cuarta potencia de la diferencia entre cada
elemento del conjunto y la media, dividido entre la desviación típica elevado también a la
cuarta potencia. Sea el conjunto X=(x1, x2,…, xN), entonces el coeficiente de kurtosis será:
En la fórmula se resta 3 porque es la curtosis de una distribución Normal. Entonces la
curtosis valdrá 0 para la Normal, tomándose a ésta como referencia.
Cuando los datos están agrupados o agrupados en intervalos, la fórmula del coeficiente
de kurtosis se convierte en:

Distribuciones de Probabilidad
Una distribución o densidad de probabilidad de una variable aleatoria x es
la función de distribución de la probabilidad de dicha variable
◦ Área de curva entre 2 puntos representa la probabilidad de que ocurra un suceso entre esos dos
puntos.
Distribuciones probabilidad pueden ser discretas o continuas, de acuerdo
al tipo de.
Hay infinidad distribuciones probabilidad, pero hay ciertas distribuciones
“modelo”:
◦ Normal

La Distribución Binomial
Se utiliza en situaciones cuya solución tiene dos posibles
resultados.
• Al nacer un/a bebé puede ser varón o hembra.
• En el deporte un equipo puede ganar o perder.
• Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo.
• Vivo / muerto; enfermo / sano; verdadero / falso
• Prueba múltiple 4 alternativas: correcta o incorrecta.
• Algo puede considerarse como Éxito o Fracaso

Propiedades de un
experimento de Binomial
1. En cada prueba del experimento sólo hay dos posibles resultados: Éxitos o
Fracasos.
2. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados
obtenidos en pruebas anteriores.
3. La probabilidad de un suceso (p) es constante y no varía de una prueba a
otra.
4. La probabilidad del complemento (1- p) es q .
Si repetimos el experimento n veces podemos obtener los datos para armar
una distribución Binomial.

La función P(x=k)
Función de la distribución Binomial:
◦ k = número de aciertos.
◦ n = número de experimentos.
◦ p = probabilidad de éxito, como por ejemplo, que salga
"cara" al lanzar la moneda.
◦ 1-p = “q”

Ejemplo 1
¿Probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?
El número de aciertos k es 6. Esto es x=6
El número de experimentos n son 10
La probabilidad de éxito p = 0.50
P (k = 6) = 0.205
Es decir, que la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda es de
20.5% .

Distribución hipergeométrica
En estadística la Distribución hipergeométrica es una
distribución de probabilidad discreta con tres parámetros
discretos N, d y n cuya función de probabilidad es:

Aquí, se refiere al coeficiente binomial, o al número de combinaciones
posibles al seleccionar b elementos de un total a.
Esta distribución se refiere a un espacio muestra donde hay elementos de 2
tipos posibles. Indica la probabilidad de obtener un número de objetos x de
uno de los tipos, al sacar una muestra de tamaño n, de un total de N objetos,
de los cuales d son del tipo requerido.

Ejemplo
1. En un lote de productos se tienen 20 productos sin defectos, 3 con defectos
menores y 2 con defectos mayores, se seleccionan al azar 5 productos de este
lote, determine la probabilidad de que a) 3 de los productos seleccionados no
tengan defectos y 1 tenga defectos menores,
b) 4 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos
menores.

128741
0
53130
6840
53130
2
3
1140
5
1
3
5
25
1
2
1
3
3
20
.
)
)(
)(
(
C
C
*
C
*
C
)
n
,
y
,
x
(
p 






27357
0
53130
14535
53130
1
3
4845
5
1
4
5
25
0
2
1
3
4
20
.
)
)(
)(
(
C
C
*
C
*
C
)
n
;
y
,
x
(
p








REGRESION LINEAL SIMPLE
Una de las aplicaciones mas importantes de la estadística
implica la estimación del valor medio de una variable de
respuesta y o la predicción de algún valor futuro de y con
base el conocimiento de un conjunto de variables
independientes relacionadas, x1, x2, . . . xk.

Los modelos que se emplean para
relacionar una variable dependiente y con
las variables independientes x1, x2, . . . xk se
denominan modelos de regresión o
modelos estadísticos lineales porque
expresan el valor medio de y para valores
dados de x1, x2, . . . xk como una función
lineal de un conjunto de parámetros
desconocidos.

Los conceptos de análisis de regresión se presentan
empleando un modelo de regresión muy sencillo, uno que
relaciona y con una sola variable x. Aprenderemos a ajustar
este modelo a un conjunto de datos mediante el método de
los mínimos cuadrados

Un tipo de modelo probabilístico, el
modelo de regresión lineal simple, supone
que el valor medio de y para un valor dado
de x se grafica como una línea recta y que
los puntos se desvían de esta línea de
medias en una cantidad aleatoria (positiva
o negativa) igual a 

Modelo de regresión lineal simple
(probabilístico)
Si queremos ajustar un
modelo de regresión lineal
simple a un conjunto de datos,
debemos encontrar
estimadores para los
parámetros desconocidos, 0 y
1.

Ejercicio:
Con esta información encontrar la
ecuación de la línea recta E(y)=?
Embarque 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Distancia
(km) x
825 215 1070550 480 9201350 325 670 1215
Tiempo
(dias) y
3.5 1.0 4.0 2.0 1.0 3.0 4.5 1.5 3.0 5.0

X Y XY X2 Y2
1 825 3.5 2287.5 680625 12.25
2 215 1.0 215.0 46225 1.00
3 1070 4.0 4280.0 1144900 16.00
4 550 2.0 1100.0 302500 4.00
5 480 1.0 480.0 230400 1.00
6 920 3.0 2760.0 846400 9.00
7 1350 4.5 6075.0 1822500 20.25
8 325 1.5 487.5 105625 2.25
9 670 3.0 2010.0 448900 9.00
10 1215 5.0 6075.0 1476225 25.00
7620 28.5 26370 7104300 99.75

2
2
2
1
)
762
(
10
7104300
)
85
.
2
)(
762
(
10
26370
ˆ









x
n
X
y
x
n
XY
SS
SS
xx
xy

x
x
y 0036
.
0
11
.
0
ˆ
ˆ
ˆ 1
0 


 

2
2
2
1
)
762
(
10
7104300
)
85
.
2
)(
762
(
10
26370
ˆ









x
n
X
y
x
n
XY
SS
SS
xx
xy

0036
.
0
ˆ1 

x
y 1
0
ˆ
ˆ 
 

11
.
0
)
762
(
0036
.
0
85
.
2 



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