Trabajo de modelos de flujo maximo unidad 4

1. MODELO DE FLUJO
MAXIMO
Integrantes :
Julio César Peraza brindis
Henry Gustavo Gómez Vidal
Angel Eduardo Rodríguez Luna
Docente : Leovardo Ezcanga Ortiz
Equipo: 9

2. INTRODUCCIÓN
• El modelo de flujo máximo es una técnica de
optimización utilizada en teoría de redes para
encontrar la cantidad máxima de flujo que puede
pasar a través de una red desde un origen hasta
un destino.

3. COMPONENTES PRINCIPALES
1
2
3
• Nodos: Representan puntos en la red.
• Arcos: Conexiones entre nodos
que indican la dirección del flujo.
• Capacidades: Cantidad máxima de flujo que
puede pasar por cada arco.

4. OBJETIVO
• Objetivo Principal: Maximizar el
flujo total desde el origen hasta el
destino, respetando las capacidades
de los arcos.

5. RESTRICCIONES
• Conservación de Flujo: La
cantidad de flujo que entra en
un nodo debe ser igual a la
cantidad que sale, excepto en
los nodos de origen y destino.

6. ALGORITMO DE FORD-
FULKERSON
• Método Común: El algoritmo de Ford-Fulkerson se
utiliza para encontrar el flujo máximo ajustando
iterativamente el flujo en los arcos.

7. 1. Inicialización:
• Se inicia con un flujo igual a cero en todos los arcos.
• La capacidad residual de cada arco es igual a su capacidad original.
2. Caminos Aumentantes:
• Encuentra un camino desde el nodo de origen al nodo de destino donde la capacidad residual de cada arco es
mayor que cero.
• El flujo se aumenta en la capacidad mínima de esos arcos.
3. Actualización de Capacidades Residuales:
• Se ajustan las capacidades residuales de los arcos a lo largo del camino aumentante.
• Se reduce la capacidad residual en los arcos utilizados y se incrementa en los arcos opuestos (si existen).
4. Iteración:
• Se repiten los pasos 2 y 3 hasta que no es posible encontrar más caminos aumentantes.
5. Flujo Máximo:
• El flujo máximo es la suma de los flujos en los arcos que salen del nodo de origen.
Es crucial destacar que el algoritmo de Ford-Fulkerson no siempre converge a la solución óptima debido a la
posibilidad de ciclos en la red. Para garantizar la convergencia, se puede utilizar una estrategia llamada “Método
de Edmonds-Karp”, que utiliza caminos más cortos primero.
Este proceso iterativo se repite hasta que no hay más caminos aumentantes, momento en el cual se alcanza el
flujo máximo. Es importante gestionar las capacidades residuales adecuadamente para evitar ciclos infinitos y
garantizar la convergencia del algoritmo.

8. Ejercicio por
pasos

9. Existe un flujo que viaja desde un único lugar de
origen hacia un único lugar de destino a través
de arcos que conectan nodos intermediarios.
Los arcos tienen una capacidad máxima de flujo
y se trata de enviar desde la fuente al destina la
mayor cantidad posible de flujo.
Hay problemas donde lo importante
es la cantidad de flujo que pasa a
través de la red como por ejemplo:
en las líneas de oleoductos, redes
eléctricas o de transmisión de datos.
Por esta razón en dichos problemas
se determina el flujo máximo que
pasa a través de una red.
Definiciones básicas
Flujo: Circulación de unidades homogéneas de un
lugar a otro.
Capacidad de flujo: es la capacidad de unidades
que pueden entrar por el nodo fuente y salir por
el nodo destino.
Origen o fuente de flujo: nodo por el cual el flujo
ingresa.
Destino o Sumidero de flujo: nodo por el cual el
flujo sale.
Capacidades residuales: capacidades restantes
unas vez que el flujo pasa el arco.
Ford Fulkerson
Para la resolución de problemas de flujo máximo
se requiere el uso del método Ford Fulkerson.
Este método propone buscar caminos en los que
se pueda aumentar el flujo hasta que se alcance
el flujo máximo, la idea es encontrar una ruta de
penetración con un flujo positivo neto que una
los nodos de origen y destino.
• El flujo es siempre positivo y con unidades
enteras.
• El flujo a través de un arco es menor o igual
que la capacidad.
• El flujo que entra en un nodo es igual al que
sale de él.
Resolución de problema
Para resolver un problema de flujo máximo
se debe seguir los siguientes pasos:
• Se identifica el nodo origen y destino.
• Se parte desde el nodo de origen y se
escoge el arco que posea mayor flujo
• Se identifica los nodos de transbordo.
• Repetir como si el nodo intermediario
fuera el nodo origen.
• Se calcula "k" y las capacidades nuevas.
• Dado el resultado se cambian las
capacidades y se repite el mismo
procedimiento desde el inicio.
Formulario Cij,ji =(Ci-K,
Cj+K), donde:
C: capacidad
Ij: índices de los nodos
K: es el minimo flujo que
pasa por el nodo, se
calcula como k=
min(capacidades de la
ruta).

10. Hallar el flujo máximo
del siguiente problema:
Método Ford Fulkerson
El nodo de origen como se
puede observar es el
numero 1 de color amarillo,
y el nodo de destino es el
numero 5 de color azul.
Se escoge desde el nodo de
origen aquel flujo que sea
el mayor, en este caso es
30, y va dirigido al nodo
numero 3

11. Se identifica el nodo de transbordo
como [30,1], 30 es la capacidad, y 1
es el nodo del cual proviene la
capacidad y luego repetimos todo
el proceso, como si el nodo
intermediario fuese el nodo de
origen. Se tiene como flujo mayor
20 del nodo numero 3 al nodo
numero 5, con el nodo de
transbordo como [20,5].
Ahora que hemos
llegado al nodo de
destino, procedemos
a calcular "k" y las
capacidades nuevas.
K=min(∞,30,20)
K=20
C13,31 =(30-20, 0+20)
C13,31 =(10, 20)
C35,53 =(20-20, 0+20)
C35,53 =(0, 20)
Luego de haber calculado
las nuevas capacidades, es
necesario reemplazarlas.

12. Se realiza el proceso otra
vez, haciendo la ruta con
los mayores flujos.
K=min(∞,20,40,10,20)
K=10
C12,21 =(20-10, 0+10)
C12,21 =(10, 10)
C23,32 =(40-10, 0+10)
C23,32 =(30, 10)
C34,43 =(10-10, 5+10)
C34,43 =(0, 15)
C45,54 =(20-10, 0+10)
C45,54 =(10, 10)
Volvemos a hacer el proceso y
escogemos el camino 1,2. Como
se puede observar si se tomara
rumbo del nodo 2 al nodo 3
terminaría trancado,
obligándose a volver al nodo
origen, por lo que se toma el
camino 2,5.
K=min(∞,10,20)
K=10
C12,21 =(10-10, 10+10)
C12,21 =(0, 20)
C25,52 =(20-10, 0+10)
C25,52 =(10, 10)

13. Se actualizan las
capacidades y
procedemos a resolver
de nuevo. Esta vez
agarraremos el camino
de 1,3.
K=min(∞,10,10,10)
K=10
C13,31 =(10-10, 20+10)
C13,31 =(0, 30)
C32,23 =(10-10, 30+10)
C32,23 =(0, 40)
C25,52 =(10-10, 10+10)
C25,52 =(0, 20)
Y por ultimo
escogemos el camino
1,4.
K=min(∞,10,10)
K=10
C14,41 =(10-10, 0+10)
C14,41 =(0, 10)
C45,54 =(10-10, 10+10)
C45,54 =(0, 40)

14. Reemplazando las nuevas
capacidades, nos queda de la
siguiente forma, las
capacidades del nodo de
origen quedan como 0, por lo
cual seguimos a sumar a
todas las K y ahi conseguimos
el flujo máximo.
Flujo Máximo = Σ K
Flujo Máximo = 20+10+10+10+10
Flujo Máximo = 60
El flujo máximo que puede pasar del nodo origen 1
hasta el nodo destino es de 60.
Método WINQSB
Los problemas de flujo máximo también se pueden
resolver mediante el programa WINQSB, este contiene
un conjunto de herramientas útiles para la
investigación de operaciones, dentro de WINQSB esta
un modulo llamado Network Modeling, que nos
permite resolver problemas de flujo máximo con
facilidad.

15. En conclusión, el modelo de flujo máximo es una herramienta versátil que
se puede aplicar en diversas situaciones donde es necesario optimizar el
flujo de recursos a través de una red. Desde la planificación de rutas en
sistemas de transporte hasta la asignación eficiente de recursos en
proyectos, este modelo proporciona soluciones para mejorar la eficiencia
en una variedad de contextos. Su aplicación abarca campos como logística,
telecomunicaciones, distribución de energía y más, lo que demuestra su
utilidad en la optimización de procesos y la toma de decisiones
estratégicas.
CONCLUSIÓN