Este documento describe varios problemas de optimización de redes y sus algoritmos de resolución. Explica el problema del flujo de costo mínimo, el problema del flujo máximo, el problema de la ruta más corta, y el problema del árbol de expansión mínima. Aplica cada problema a un ejercicio práctico usando una empresa de entregas como ejemplo. El objetivo general es comprender y resolver diferentes problemas de optimización en redes de manera efectiva.

1. Optimizacion de redes
Optimización de
redes
Gestión Logística
UNIVERSIDAD SAN SEBASTIÁN

2. Gestión Logística
Contenido
Introducción ............................................................................................................................. 2
Resumen ejecutivo .................................................................................................................... 3
Problema del flujo de costo mínimo ........................................................................................... 4
Problema del flujo máximo ........................................................................................................ 6
Problema de la ruta más corta ................................................................................................... 7
Problema del árbol de expansión mínima ................................................................................... 8
Aplicación de problemas con herramientas prácticas................................................................... 9
Conclusión ...............................................................................................................................13
Bibliografía...............................................................................................................................21
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3. Introducción
El objetivo de este trabajo es explicar los problemas de redes y sus respectivas
soluciones. Dentro de todos los puntos que se han evaluado durante el semestre
este sin duda es el que macara mayor relevancia, ya que, nos entregará las
herramientas necesarias para poder generar nuevas propuestas, nos ayudará a
enfrentar los problemas que se presenten de la manera más óptima posible ya que
como también hemos aprendido en la otras unidades, todo depende del rubro de la
empresa y la posición en la que esta se encuentre. Sin embargo lo que se planteara
en las siguientes páginas solo es lo esencial que debe saber todo ingeniero
comercial para enfrentar las dificultades que le deparen su trabajo.
En este informe se logrará entender y ver a profundidad lo que es la optimización
de redes y los problemas a tratar sobre este. Cada problema equivale a un modelo
distinto de redes, donde tenemos, el modelo de árbol de mínima expansión, modelo
de ruta más corta, modelo del flujo máximo y modelo del flujo del costo mínimo, hay
que tener en consideración que este informe será desarrollado de una manera más
practica por lo que cada modelo será desarrollado con un ejercicio para así poder
tener una mayor recopilación de información sobre el tema a tratar.

4. Gestión Logística
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Resumen ejecutivo
Este trabajo se desarrollara poniendo énfasis al desarrollo practico por lo que será
de suma importancia el buen desarrollo de los ejercicios que se plantearan para
cada modelo en específico.
Para una mayor optimización y mejor explicación de los modelos de problemas de
redes presentaremos en trabajo en cinco etapas que nos ayudará a cubrir en
extenso cada punto que se nos solicita para esta unidad.
1. Problema del flujo del costo mínimo: intenta localizar una buena solución de
inicio usando las rutas “baratas” en el modelo de transporte.
2. Problema del flujo máximo: transportar la mayor cantidad de producto posible
a través de una red de distribución.
3. Problema de la ruta más corta: encontrar la ruta más corta de la planta al
centro de distribución pasando por ciudades intermedias.
4. Problema de árbol de expansión mínima: redes de comunicaciones.
Conectar todos los nodos con el mínimo costo.
5. Aplicación de problemas con herramientas prácticas
Los ejercicios que se plantearan en para cada punto estarán basados en una
empresa que se elegirá conforme a los puntos que debemos tratar para la unidad
6, además consideraremos que cada uno de ellos sea representado por una gráfica
para su mejor comprensión.

5. Problema del flujo de costo mínimo
El problema de flujo de costo mínimo tiene una posición medular entre los
problemas de optimización de redes; primero, abarca una clase amplia de
aplicaciones y segundo, su solución es muy eficiente. Igual que el problema del flujo
máximo, toma en cuenta un flujo en una red con capacidades limitadas en sus arcos.
Igual que el problema de la ruta más corta, considera un costo (o distancia) para el
flujo a través de un arco. Igual que el problema de transporte o el de asignación,
puede manejar varios orígenes (nodos fuente) y varios destinos (nodos demandas)
para el flujo, de nuevo con costos asociados. De hecho, estos cuatro problemas son
casos especiales del problema de flujo de costo mínimo.
A continuación se describe el problema del flujo de costo mínimo:
1. La red es una red dirigida conexa.
2. Al menos uno de los nodos es nodo fuente.
3. Al menos uno de los nodos es nodo demanda.
4. El resto de los nodos son nodos de trasbordo.
5. Se permite el flujo a través de un arco solo en la dirección indicada por la
flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dada por la capacidad del
arco. (Si el flujo puede ocurrir en ambas direcciones, debe representarse por
un par de arcos con direcciones opuestas).
6. La red tiene suficientes arcos como suficiente capacidad para permitir que
todos los flujos generados por los nodos fuente lleguen a los nodos demanda.
7. El costo del flujo a través del arco es proporcional a la cantidad de este flujo,
donde se conoce el costo por unidad.
8. El objetivo es minimizar el costo total de enviar el suministro disponible a
través de la red para satisfacer la demanda dada. (Un objetivo alternativo es
maximizar la ganancia total del envió).
ALGORITMO DE RESOLUCIÓN DEL COSTO MÍNIMO
PASO 1:
De la matriz se elige la ruta (celda) menos costosa (en caso de un empate, este se
rompe arbitrariamente) y se le asigna la mayor cantidad de unidades posible,
cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o de demanda.
En este mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna
afectada, restándole la cantidad asignada a la celda.

6. Gestión Logística
PASO 2:
En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea 0
después del "Paso 1", si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se elige cual
eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero (0) según sea el caso.
PASO 3:
Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solo
renglón o columna, si este es el caso se ha llegado al final el método, "detenerse".
La segunda es que quede más de un renglón o columna, si este es el caso iniciar
nuevamente el "Paso 1".
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7. Problema del flujo máximo
Se trata de enlazar un nodo fuente y un nodo destino a través de una red de arcos
dirigidos. Cada arco tiene una capacidad máxima de flujo admisible. El objetivo es
el de obtener la máxima capacidad de flujo entre la fuente y el destino.
Características:
1. Todo flujo a través de una red conexa dirigida se origina en un nodo, llamado
fuente, y termina en otro nodo llamado destino.
2. Los nodos restantes son nodos de transbordo.
3. Se permite el flujo a través de un arco solo en la dirección indicada por la
flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dada por la capacidad del
arco. En la fuente, todos los arcos señalan hacia fuera. En el destino, todos
señalan hacia el nodo.
4. El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino, Esta
cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalentes, esto es, la
cantidad que sale de la fuente o la cantidad que entra el destino.
El problema de flujo máximo se puede formular como un problema de programación
lineal, se puede resolver con el método simplex y usar cualquier software. Sin
embargo, se dispone de un algoritmo de trayectorias aumentadas mucho más
eficientes. El algoritmo se basa en dos conceptos intuitivos, el de red residual y el
de trayectoria aumentada.
Algoritmo de la trayectoria de aumento para el problema de flujo máximo:
PASO 1:
Se identifica una trayectoria de aumento encontrando alguna trayectoria dirigida del
origen al destino en la red residual, tal que cada arco sobre esta trayectoria tiene
capacidad residual estrictamente positiva. (Si no existe una, los flujos netos
asignados constituyen un patrón del flujo óptimo).
PASO 2:
Se identifica la capacidad residual c* de esta trayectoria de aumento encontrando
el mínimo de las capacidades residuales de los arcos sobre esta trayectoria. Se
aumenta en c* el flujo de esta trayectoria.
PASO 3:
Se disminuye en c* la capacidad residual de cada arco en esta trayectoria de
aumento. Se aumenta en c* la capacidad residual de cada arco en la dirección
opuesta en esta trayectoria. Se regresa al paso 1.

8. Gestión Logística
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Problema de la ruta más corta
Considere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen
y destino. A cada ligadura (arco no dirigido) se asocia una distancia no negativa. El
objetivo es encontrar la ruta más corta (la trayectoria con la mínima distancia total)
del origen al destino.
Se dispone de un algoritmo bastante sencillo para este problema. La esencia del
procedimiento es que analiza toda la red a partir del origen; identifica de manera
sucesiva la ruta más corta a cada uno de los nodos en orden ascendente de sus
distancias (más cortas), desde el origen; el problema queda resuelto en el momento
de llegar al nodo destino.
Algoritmo de la ruta más corta
PASO 1:
Objetivo de la n-esima iteración: encontrar el n-esimo nodo más cercano al origen
(este paso se repetirá para n=1,2…n, hasta que el n-esimo nodo más cercano sea
el nodo destino).
PASO 2:
Datos para la n-esima iteración: n-1 nodos más cercanos al origen (encontrados en
las iteraciones previas), incluida su ruta más corta y la distancia desde el origen.
(Estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos, el resto son nodos no resueltos).
PASO 3:
Candidatos para el n-esimo nodo más cercano. Cada nodo resuelto que tiene
conexión directa por una ligadura con uno o más nodos no resueltos proporciona un
candidato, y este es el nodo no resuelto que tiene la ligadura más corta. (Los
empates proporcionan candidatos adicionales).
PASO 4:
Calculo del n-esimo nodo más cercano; para cada nodo resuelto y sus candidatos,
se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta más corta desde el origen a
este nodo resuelto. El candidato con la distancia total más pequeña es el n-esimo
nodo más cercano (los empates proporcionan nodos resueltos adicionales), y su
ruta más corta es la que genera esta distancia.

9. Problema del árbol de expansión mínima
El modelo tiene que ver con la determinación de los ramales que pueden unir todos
los nodos de una red, tal que, minimice la suma de las longitudes de los ramales
escogidos. No se deben incluir ciclos en la solución del problema.
Para crear el árbol de expansión mínima tiene las siguientes características:
1. Se tienen los nodos de una red pero no las ligaduras. En su lugar se
proporcionan las ligaduras potenciales y la longitud positiva para cada una si
se inserta en la red. (Las medidas alternativas para la longitud de una
ligadura incluyen distancia, costo y tiempo)
2. Se desea diseñar la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisito
de que haya un camino entre cada par de nodos.
3. El objetivo es satisfacer este requisito de manera que se minimice la longitud
total de las ligaduras insertadas en la red.
Una red con n nodos requiere solo (n-1) ligaduras para proporcionar una trayectoria
entre cada par de nodos. Las (n-1) ligaduras deben elegirse de tal manera que la
red resultante formen un árbol de expansión. Por tanto, el problema es hallar el árbol
de expansión con la longitud total mínima de sus ligaduras.
Algoritmo para construir el árbol de expansión mínima
PASO 1: Se selecciona, de manera arbitraria, cualquier nodo y se conecta (es decir,
se agrega una ligadura) al nodo distinto más cercano.
PASO 2: Se identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y se
conectan estos dos nodos (es decir, se agrega una ligadura entre ellos). Este paso
se repite hasta que todos los nodos están conectados.
PASO 3: Empates: los empates para el nodo más cercano distinto (PASO 1) o para
el nodo no conectado más cercano (PASO 2), se pueden romper en forma arbitraria
y el algoritmo debe llegar a una solución óptima. No obstante, estos empates son
señal de que pueden existir (pero no necesariamente) soluciones optimas múltiples.
Todas esas soluciones se pueden identificar si se trabaja con las demás formas de
romper los empates hasta el final.

10. Gestión Logística
Aplicación de problemas con herramientas prácticas
Problema de la ruta más corta
La empresa hace entregas a 5 partes (nodos) con
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 un nodo inicial A (Tribunales de justicia, Concepción)
 Nodo B: intersección de calle O’Higgins con Colo Colo
 Nodo C: intersección de calle Barros Aranas con Colo Colo
 Nodo D: intersección de calle Aníbal Pinto con Freire
 Nodo F: intersección de calle Maipú con Colo Colo
 Nodo E: intersección de calle Aníbal Pinto con Maipú
La cantidad de cuadras entre cada punto de entrega (nodos) están denotadas en la
línea que une a los nodos.
Luego como A esta conectado a B, C y D calculamos las etiquetas de cada nodo,
sumando la distancia acumulada para ir de A a cada nodo.
Teniendo las 3 etiquetas calculadas de las 3 posibles rutas, seleccionamos la
distancia acumulada menor, siendo C y B las distancias menores marcamos
cualquiera de estas como “definitiva” en este caso marcaremos C.

11. Luego calculamos las etiquetas de los nodos que puede llegar C, en este caso sería
B, F y D. Para B serian 2 y para D serian 3 (no mejoran las etiquetas por ende no
las ponemos).
Localizamos el nodo con la distancia menor, en este caso es B, lo marcamos como
“definitivo”. De B solo podemos mejorar el nodo D, pero al ser igual que el
proveniente de A no mejora y por ende no lo anotamos.
Como no mejora la etiqueta, nuevamente seleccionamos la menor entre D y F,
siendo iguales las distancias acumuladas marcamos como “definitiva” F. Luego
calculamos las etiquetas de los nodos que puede llegar F, en este caso es D y E, al
sumar la distancia acumulada no mejora la etiqueta de D (dando como resultado 5)
descartando la etiqueta anterior de F.
Para calcular la distancia más corta desde A a cualquier nodo solo tenemos que ver
la etiqueta y seguir las letras de la etiqueta, por ejemplo, si queremos saber la
distancia y la ruta más corta para llegar a E desde la empresa (A) tenemos que la
distancia son 4 cuadras y la ruta más corta es A → C → F → E.

12. Gestión Logística
ARBOL DE EXPANSION MINIMA
Es aquel que conecta todos los nodos dentro de una red, que están en una distancia
mínima y que no contiene un ciclo.
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Conceptos:
Flujo: corresponde a la cantidad que debe transportarse de un nodo a otro.
Arco No dirigido: Si el flujo puede transportarse en varias dimensiones (sin
flechas).
Nodo adyacente: este ocurre cuando existe un arco que une a dos nodos.
La potabilizadora de agua de Pacora requiere suministrar agua a varios
corregimientos del este de la ciudad de Panamá. En el siguiente grafico se
presentan los siguientes puntos donde debe dar abastecimiento.
Como determinar la forma más económica de suministrar agua a todos los
corregimientos a través de un árbol de expansión mínima.

13. Cuadro:
Ck Ck Distancia
A B, C, D, E, F, G, H -
A, D B, C, E, F, G, H 4
A, D, C B, E, F, G, H 3
A, D, C, B E, F, G, H 1
A, D, C, B, E F, G, H 5
A, D, C, B, E, G F, H 7
A, D, C, B, E, G, H F 2
A, D, C, B, E, G, H, F - 3
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METODO DEL COSTO MINIMO
Paso 1: Identificar casillas con menor costo de envío (0=gratis)
A esa casilla se le dará el máximo que demande (de ahí se parte el flujo).
Paso 2: Lo que nos queda por distribuir (destino 3 y 4 con el origen 2).
Se cancelan las demandas y ofertas.
Y esta es la solución:

14. Gestión Logística
Se le distribuyen 5 artículos al cliente 1 desde el origen 3.
Se le distribuyen 15 artículos al cliente 2 desde el origen 1.
Se le distribuyen 15 artículos al cliente 3 desde el origen 2.
Se le distribuyen 10 artículos al cliente 4 desde el origen 2.
13 | P á g i n a
PROBLEMA DEL FLUJO MÁXIMO (ejercicio teórico)
Resolución de problema
Para resolver un problema de flujo máximo se debe seguir los siguientes pasos:
1. Se identifica el nodo origen y destino.
2. Se parte desde el nodo de origen y se escoge el arco que posea mayor flujo
3. Se identifica los nodos de transbordo.
4. Repetir como si el nodo intermediario fuera el nodo origen.
5. Se calcula "k" y las capacidades nuevas.
6. Dado el resultado se cambian las capacidades y se repite el mismo
procedimiento desde el inicio.

15. Formulario
Cij,ji =(Ci-K, Cj+K), donde:
C: capacidad
I,j: índices de los nodos
K: es el mínimo flujo que pasa por el nodo, se calcula como k= min(capacidades de la
ruta).
Hallar el flujo máximo del siguiente problema:
Método Ford Fulkerson
El nodo de origen como se puede observar es el número 1 de color amarillo, y el nodo
de destino es el número 5 de color azul.
Se escoge desde el nodo de origen aquel flujo que sea el mayor, en este caso es 30, y
va dirigido al nodo número 3.

16. Gestión Logística
Se identifica el nodo de transbordo como [30,1], 30 es la capacidad, y 1 es el nodo del
cual proviene la capacidad y luego repetimos todo el proceso, como si el nodo
intermediario fuese el nodo de origen. Se tiene como flujo mayor 20 del nodo numero 3
al nodo número 5, con el nodo de transbordo como [20,5].
Ahora que hemos llegado al nodo de destino, procedemos a calcular "k" y las
capacidades nuevas.
15 | P á g i n a

17. K=min(∞,30,20)
K=20
C13,31 =(30-20, 0+20)
C13,31 =(10, 20)
C35,53 =(20-20, 0+20)
C35,53 =(0, 20)
Luego de haber calculado las nuevas capacidades, es necesario reemplazarlas.
Se realiza el proceso otra vez, haciendo la ruta con los mayores flujos.
K=min(∞,20,40,10,20)
K=10
C12,21 =(20-10, 0+10)
C12,21 =(10, 10)
C23,32 =(40-10, 0+10)
C23,32 =(30, 10)

18. Gestión Logística
17 | P á g i n a
C34,43 =(10-10, 5+10)
C34,43 =(0, 15)
C45,54 =(20-10, 0+10)
C45,54 =(10, 10)
Volvemos a hacer el proceso y escogemos el camino 1,2. Como se puede observar si
se tomara rumbo del nodo 2 al nodo 3 terminaría trancado, obligándose a volver al
nodo origen, por lo que se toma el camino 2,5.
K=min(∞,10,20)
K=10
C12,21 =(10-10, 10+10)
C12,21 =(0, 20)
C25,52 =(20-10, 0+10)
C25,52 =(10, 10)
Se actualizan las capacidades y procedemos a resolver de nuevo. Esta vez
agarraremos el camino de 1,3.

19. K=min(∞,10,10,10)
K=10
C13,31 =(10-10, 20+10)
C13,31 =(0, 30)
C32,23 =(10-10, 30+10)
C32,23 =(0, 40)
C25,52 =(10-10, 10+10)
C25,52 =(0, 20)
Y por último escogemos el camino 1,4.
K=min(∞,10,10)
K=10
C14,41 =(10-10, 0+10)
C14,41 =(0, 10)

20. Gestión Logística
19 | P á g i n a
C45,54 =(10-10, 10+10)
C45,54 =(0, 20)
Reemplazando las nuevas capacidades, nos queda de la siguiente forma, las
capacidades del nodo de origen quedan como 0, por lo cual seguimos a sumar a todas
las K y ahí conseguimos el flujo máximo.
1
0
1
0
1
0
Flujo Máximo = Σ K
Flujo Máximo = 20+10+10+10+10
Flujo Máximo = 60
El flujo máximo que puede pasar del nodo origen 1 hasta el nodo destino es de 60.

21. Conclusión
Los modelos de optimización de redes constituyen una herramienta muy sencilla
para la encontrar la solución óptima a los problemas de flujo de redes, porque
proporcionan algoritmos fáciles de comprender y aplicar que comparados con el
método simplex disminuyen el número de iteraciones que resuelven el problema. Si
se aplicara el método simplex en un problema de distribución o de redes, tendríamos
muchas variables y restricciones en el modelo y se tendría que utilizar herramientas
computacionales para encontrar la solución óptima de una forma rápida, ahora con
los modelos de redes solo habría que aplicar las iteraciones al grafo que origina la
representación de la red del problema y luego aplicar el algoritmo que corresponde,
que puede ser el algoritmo de la ruta más corta, algoritmo para encontrar el árbol
de expansión mínima, algoritmo de la trayectoria de aumento o el algori tmo de flujo
máximo.

22. Gestión Logística
21 | P á g i n a
Bibliografía
Ballou: Administración de la cadena de suministros.
Chase: Administración de operaciones, producción y cadena de suministros.
Chopra: Administración de la cadena de suministros
http://www.monografias.com/trabajos16/flujo-redes/flujo-redes.shtml