Este documento presenta una introducción a la optimización de redes. Define la terminología básica de redes como nodos, arcos, trayectorias y ciclos. Explica problemas comunes de optimización de redes como encontrar la ruta más corta, el árbol de expansión mínimo, el flujo máximo y el flujo de costo mínimo. Describe algoritmos para resolver cada uno de estos problemas de optimización de redes.

1. NOMBRE DEL ALUMNO:
JAIME VALDIVIA CASTELLANOS
MATERIA:
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
NUMERO DE CONTROL:
119T0101
NOMBRE DEL DOCENTE:
ING. ROBERTO CRUZ ANDRADE
NÚMERO Y NOMBRE DE LA UNIDAD:
V OPTIMIZACIÓN DE REDES

2. INTRODUCCIÓN
Muchos problemas comerciales pueden ser resueltos a través de modelos de
redes, en la cual no se necesitan restricciones adicionales para obtener la solución
el cual se resuelve por pequeños algoritmos, no importa el tamaño del problema.

3. 5.1 TERMINOLOGÍA
Una red consiste de puntos llamados nodos o vértices y las líneas que llaman
arcos. Dos nodos pueden estar conectados por un conjunto de arcos. Una
trayectoria es una secuencia de arcos distintos (con nodos no repetidos)
conectando a los nodos. Los arcos pueden tener una dirección asociada, que se
denominan arcos dirigidos, si un arco no tiene dirección se le denomina rama. Si
todos los arcos en la red son dirigidos, la red se denomina una red dirigida. Si
todos los arcos son no-dirigidos, la red es una red no-dirigida.
Una trayectoria no dirigida puede incluir arcos dirigidos apuntando en cualquiera
de dirección. Una trayectoria que comienza y que termina en el mismo nodo se
denomina ciclo y puede ser ya sea dirigida o no-dirigida.
Terminología de Redes
 Red: conjunto de puntos y líneas que unen ciertos pares de puntos.
 Nodos: Puntos (o vértices).
 Arcos: Líneas, ligaduras, aristas o ramas. Se etiquetan para dar nombre a
los nodos en sus puntos terminales.
 Arco dirigido: Si el flujo a través de un arco se permite sólo en una
dirección. La dirección se indica agregando una cabeza de flecha al final de
la línea que representa el arco.
 Arco no dirigido: Si el flujo a través de un arco se permite en ambas
direcciones.
 Red dirigida: Red que tiene sólo arcos dirigidos.
 Red no dirigida: Todos sus arcos son no dirigidos.
 Trayectoria: Sucesión de arcos distintos que conectan nodos.
 Ciclo: Trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo.
 Red conexa: Red en la que cada par de nodos está conectado.

4.  Árbol: Red conexa (para algún subconjunto de n nodos) que no contiene
ciclos no dirigidos.
 Árbol de expansión: Red conexa para los n nodos que contiene ciclos no
dirigidos.
 Capacidad del arco: Cantidad máxima de flujo (quizá infinito) que puede
circular en un arco dirigido.
 Nodo fuente: Nodo origen, tiene la propiedad de que el flujo que sale del
nodo excede el flujo que entra a él.
 Nodo de demanda: Nodo de destino, donde el flujo que llega excede al que
sale de él.
 Nodo de trasbordo: Intermedio, satisface la conservación del flujo, es decir,
el flujo que entra es igual al que sale.

5. 5.2 PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTA
Considere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen
y destino. A cada ligadura (arco no dirigido) se asocia una distancia no negativa.
El objetivo es encontrar la ruta más corta (la trayectoria con la mínima distancia
total) del origen al destino.
Se dispone de un algoritmo bastante sencillo para este problema. La esencia del
procedimiento es que analiza toda la red a partir del origen; identifica de manera
sucesiva la ruta más corta a cada uno de los nodos en orden ascendente de sus
distancias (más cortas), desde el origen; el problema queda resuelto en el
momento de llegar al nodo destino.
Algoritmo de la ruta más corta:
1. Objetivo de la n-ésima iteración: encontrar el n-ésimo nodo más cercano al
origen. (Este paso se repetirá para n=1,2,… hasta que el n-ésimo nodo más
cercano sea el nodo destino.)
2. Datos para la n-ésima iteración: n-1 nodos más cercanos al origen (encontrados
en las iteraciones previas), incluida su ruta más corta y la distancia desde el
origen. (Estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos, el resto son nodos no
resueltos.)
3. Candidatos para el n-ésimo nodo más cercano: Cada nodo resuelto que tiene
conexión directa por una ligadura con uno o más nodos no resueltos proporciona
un candidato, y éste es el nodo no resuelto que tiene la ligadura más corta. (Los
empates proporcionan candidatos adicionales.)
4. Cálculo del n-ésimo nodo más cercano: para cada nodo resuelto y sus
candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta más corta
desde el origen a este nodo resuelto.

6. 5.3 PROBLEMA DEL ÁRBOL DE MÍNIMA EXPANSIÓN
Este problema se refiere a utilizarlas ramas o arcos de la red para llegar a todos
los nodos de la red, de manera tal que minimiza la longitud total. Se considera una
red no dirigida y conexa. En ella se debe encontrar un árbol de expansión con la
longitud mínima de sus arcos.
Es un modelo de optimización de redes que consiste en enlazar todos los nodos
de la red de forma directa y/o indirecta con el objetivo de que la longitud total de
los arcos o ramales sea mínima.
Algoritmo para el problema del árbol de expansión mínima.
 Selecciona, de manera arbitraria, cualquier nodo y se al nodo distinto más
cercano.
 Identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y se
conectan estos dos nodos, este paso se repite hasta que todos los nodos
están conectados.
 Empates: Los empates para el nodo más cercano distinto (paso 1) o para el
nodo conectado más cercano (paso 2)

7. 5.4 PROBLEMA DE FLUJO MÁXIMO
En una red con flujo de capacidades en los arcos, el problema es determinar el
flujo máximo posible proveniente de los orígenes de forma tal de ahogar las
capacidades de flujos de los arcos. Considere una red con m nodos y n arcos con
un flujo simple de bienes. Denote el arco de flujo (i a j) como Xij. Asociamos cada
arco a una capacidad de flujo, kij. En esta red, deseamos encontrar el flujo total
máximo en la red, F, del nodo 1 al nodo m.
En la formulación de la programación lineal, el objetivo es maximizar F. El monto
que parte del origen por varias rutas. Para cada nodo intermedio, lo que entra
debe ser igual a lo sale. En algunas rutas los flujos pueden tomar ambas
direcciones. La capacidad no debe ser necesariamente la misma para cada
dirección del arco.

8. .5.5 PROBLEMA DE FLUJO DE COSTO MÍNIMO
El problema del flujo de costo mínimo tiene una posición medular entre los
modelos de optimización de redes; primero, abarca una clase amplia de
aplicaciones y segundo, su solución es muy eficiente. Toma en cuenta un flujo en
una red con capacidades limitadas en sus arcos. Considera un costo (o distancia)
para el flujo a través de un arco. Puede manejar varios orígenes (nodo fuente) y
varios destinos (nodos demanda) para el flujo, de nuevo con costos asociados.
La razón por la que el problema de flujo de costo mínimo se puede resolver de
modo tan eficiente es que se puede formular como un problema de programación
línea y es posible resolverlo con una versión simplificada del método simplex
llamada método simplex de redes.
A continuación se describe el problema del flujo de costo mínimo.
 La red es una red dirigida y conexa.
 Al menos uno de los nodos es un nodo fuente.
 Al menos uno de los nodos es un nodo de demanda.
 El resto de los nodos son nodos de trasbordo.
 Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la
flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dada por la capacidad del
arco.
 La red tiene suficientes arcos con suficiente capacidad para permitir que
todos los flujos generados por los nodos fuente lleguen a los nodos de
demanda.
 El costo del flujo a través del arco es proporcional a la cantidad de ese flujo,
donde se conoce el costo por unidad.
 El objetivo es minimizar el costo total de enviar el suministro disponible a
través de la red para satisfacer la demanda dada

9. CONCLUSIÓN
Modelos de optimización de redes nos sirve como una herramienta para la
solución óptima a los problemas de flujo de redes, por lo que proporcionan
algoritmos fáciles de comprender y aplicar.

10. BIBLIOGRAFÍA
Investigación de operaciones, 5ª edición, Editorial taha, pp. 856-863
Schrage, L. (2002). Optimization Modeling with LINGOâ. Fifth edition, Lindo
System Inc. USA.
Moskowitz, Herbert., Wright, Gordon. Investigación de Operaciones, Editorial
Prentice
Hall.