Este documento define y explica los números primos fuertes en criptografía y teoría de números. En criptografía, un número primo es fuerte si es grande y tiene factores primos grandes. En teoría de números, un número primo es fuerte si es mayor que la media aritmética de los primos adyacentes. Los números primos fuertes son importantes para la generación segura de claves en sistemas criptográficos basados en la factorización o logaritmo discreto.

1. Número primo fuerte 1
Número primo fuerte
Este artículo o sección necesita ser wikificado con un formato acorde a las convenciones de estilo.
[1]
Por favor, edítalo para que las cumpla. Mientras tanto, no elimines este aviso puesto el 10 de September de
2009.
También puedes ayudar wikificando otros artículos o cambiando este cartel por uno más específico.
En matemáticas, un número primo fuerte es un número primo con ciertas propiedades. La definición de primo
fuerte es diferente en criptografía y en la teoría de números.
Definición en criptografía
En criptografía un número primo es fuerte si satisface las siguientes condiciones:[2]
1. es grande.
2. tiene factores primos grandes. Es decir, para algún entero y un primo grande .
3. tiene factores primos grandes. Es decir, para algún entero y un primo grande .
4. tiene factores primos grandes. Es decir, para algún entero y un primo grande .
En algún caso, además de las condiciones anteriores, se impone que o , etc.
Definición en la teoría de números
En la teoría de números un número primo fuerte es un número primo tal que es mayor que la media aritmética de
sus primos predecesor y sucesor. De otro modo, si para un primo dado , donde n es el índice en el conjunto
ordenado de los primos naturales:
Los primeros números primos fuertes son:
11, 17, 29, 37, 41, 59, 67, 71, 79, 97, 101, 107, 127, 137, 149, 163, 179, 191, 197, 223, 227, 239, 251, 269,
277, 281, 307, 311, 331, 347, 367, 379, 397, 419, 431, 439, 457, 461, 479, 487, 499.[3]
Por ejemplo, 17 es el séptimo primo; el sexto y el octavo, 13 y 19, sumados dan 32 cuya mitad es 16 que es menor
que 17, luego 17 es un primo fuerte.
En un par de primos gemelos (p, p + 2) con p > 5, p es siempre un primo fuerte ya que 3 divide a p − 2 con lo que no
podrá ser primo.
Un número primo puede ser fuerte en los dos sentidos considerados. Por ejemplo, el
439351292910452432574786963588089477522344331 es un primo fuerte en sentido de la teoría de números puesto
que es 62 unidades mayor que la media aritmética de sus primos vecinos. Sin la ayuda de un ordenador también lo
sería en sentido criptográfico puesto que 439351292910452432574786963588089477522344330 tiene el gran factor
primo 1747822896920092227343 (y, además, restando una unidad a este último obtenemos otro número con el gran
factor primo 1683837087591611009), 439351292910452432574786963588089477522344332 tiene el gran factor
primo 864608136454559457049 (y, además, restando una unidad a este último obtenemos otro número con el gran
factor primo 105646155480762397). Sin usar otros métodos que la división a mano no es fácil factorizar estos
números. Con un sistema algebraico computacional estos números se factorizan casi instantáneamente así que un
primo criptográficamente fuerte debería ser mucho mayor que el del ejemplo.

2. Número primo fuerte 2
Aplicación de los primos fuertes en criptografía
Criptosistemas basados en la factorización
Se ha sugerido que en la generación de claves de los criptosistemas tipo RSA el módulo debería escogerse como
el producto de dos primos fuertes. Esto haría computacionalmente no factible la factorización de usando el
algoritmo p-1 de Pollard. Por esta razón se requieren los primos fuertes en la norma ANSI X9.31 para la generación
de claves RSA de firmas digitales. Sin embargo, los primos fuertes no protegen contra la factorización modular que
usan los más recientes algoritmos tales como la factorización Lenstra con curvas elípticas y la criba del cuerpo de
números. Dado el coste adicional en la generación de primos fuertes actualmente no se recomienda en la generación
de claves. Argumentos similares (y más técnicos) han dado Rivest and Silverman.[2]
Criptosistemas basados en el logaritmo discreto
En 1978 Stephen Pohlig y Martin Hellman demostraron que si todos los factores de p-1 son menores que
entonces el problema de hallar el logaritmo discreto módulo p está en P. Por consiguiente, para sistemas basados en
el logaritmo discreto tales como el DSA se requiere que p-1 tenga al menos un gran factor primo.
Véase también
Un primo seguro computacionalmente grande es, seguramente, un primo fuerte criptográfico. Nótese que los
criterios para determinar si un pseudoprimo es un pseudoprimo fuerte son con congruencias de potencias de la base,
no por la desigualdad con la media aritmética de los primos vecinos.
Si un número primo es igual a la media de sus primos vecinos se dice primo equilibrado y si es menor primo débil.
Enlaces externos
• Guide to Cryptography and Standards [4]
• RSA Lab's explanation on strong vs weak primes [5]
Referencias
[1] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ N%C3%BAmero_primo_fuerte
[2] Ron Rivest and Robert Silverman, Are 'Strong' Primes Needed for RSA?, Cryptology ePrint Archive: Report 2001/007. http:/ / eprint. iacr.
org/ 2001/ 007
[3] sucesión A051634 en OEIS
[4] http:/ / www. isg. rhul. ac. uk/ ugcs/ Companion_v1. 21. pdf
[5] http:/ / www. rsa. com/ rsalabs/ node. asp?id=2217

3. Fuentes y contribuyentes del artículo 3
Fuentes y contribuyentes del artículo
Número primo fuerte Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=30648386 Contribuyentes: Ezarate, SPKirsch, Verdegaban, 2 ediciones anónimas
Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes
Imagen:Spanish Language Wiki.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Spanish_Language_Wiki.svg Licencia: desconocido Contribuyentes: User:James.mcd.nz
Licencia
Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/