tEORIA DE NUMEROS

1. Algebra
Universal
Clase 2

2. Teoría de Números:
- Es la rama de la matemática relacionada con las
propiedades de los números en general y los
números enteros en particular.
- De acuerdo a los métodos usados, la teoría de
números se divide en diversos campos de estudio.
- Cientos de personas trabajan con problemas de la
Teoría de Números en la Internet.
- Ejercicio: Aplicaciones de la Criptografía?

3. Los números mas importantes para la criptografía, son los enteros
positivos, en especial:
LOS NÚMEROS PRIMOS
Fueron estudiados hace 2500 años por los griegos.
Pierre Fermat Leonhard Euler

4. Números Primos:
Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene
únicamente dos divisores distintos, el mismo y el 1.
Se contraponen así a los compuestos, que son aquellos que tienen
algún divisor natural, a parte de sí mismos y del 1..
El número 1, por convenio, no se considera ni compuesto ni primo.
Los números primos menores que 100 son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,
83, 89 y 97.
Existen infinitos números primos.

5. Durante el siglo XX se ha desarrollado muchas técnicas para el estudio de
los números primos.
El desarrollo moderno de la Teoría de Números fue posible gracias a Carl
F. Gauss.
Desarrollo de las congruencias:

6. Dados números compuestos, un problema clave es obtener o
verificar la existencia de números primos.
Test de primalidad (Primality test)
Factorizar un entero positivo en primos es otro problema central
en la Teoría de Números.
La factorización se puede hacer usando el método División Trial
(Trial Division).
Existen otros métodos mas eficientes (que descubrieron Fermat,
Euler y otros matemáticos)
La dicotomía entre el tiempo requerido para hallar primos grandes
y el tiempo requerido para factorizar enteros grandes, son
principios fundamentales de grandes sistemas de encriptación,
como
RSA.

7. Otra parte importante de la teoría de números es la búsqueda de
soluciones enteras.
• Ecuaciones de Diofanto.
• Ecuación de Fermat.
• Ejercicio: Soluciones???
En su último teorema Fermat dijo: Si n es un entero con n>2, la ecuación
no tiene solución, para x, y, z enteros.

8. Los enteros, funciones
Números enteros:
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Funciones:
- Floor function.
- Ceil function.
- Round function.

9. Divisibilidad
Definición:
Sean a,b enteros con b ≠ 0. Decimos que b divide a a si existe un entero
c tal que a = bc. Si b divide a a, escribimos b|a.
Ejemplos: -13|182, -3|33, 6 ł 44

10. Algoritmo de la División
Un número es divisible por otro, cuando la división es exacta, es
decir, el residuo es cero.
Criterios de divisibilidad:

11. Criterios de divisibilidad:

12. Criterios de divisibilidad:

13. Existen otros criterios de divisibilidad (por 4, 6, 8, 9, 10, 25, 125).
Números Primos
Un entero p > 1, se dice primo si sus únicos divisores son 1 y p. Si
p no es primo, se dice compuesto.
Los números primos menores que 100 son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
73, 79, 83, 89 y 97.
¿Cómo saber si un número es primo?
El problema de decidir si un número es primo no es en general
fácil. Si n es un número muy grande, nos llevaría a hacer,
demasiados cálculos.

14. ¿Cómo Saber si es Primo?
• Dividir el número entre todos los menores a el, y que solo tenga 2
divisores (1 y el mismo).
• Dividir el número entre los primos inferiores a su raíz cuadrada (√𝑛).
Y cómo se cuales son los primos menores a dicha raíz?
• Ejemplos:
103 es primo? = √103 ≈ 10.1, los primos inferiores a 10 son 2, 3, 5, 7 y
ninguno de ellos divide a 103, por lo tanto 103 es primo.
2311 es primo? …
¿Cuántos primos hay?
Hay un número infinito de primos (Euclides).

15. ¿Cómo Colar números primos? (Criba de Eratóstenes)
Cómo vimos anteriormente, se requiere conocer una lista de primos
para saber si un número es primo. Este método para determinar la
primalidad se conoce como ensayo y error o trial división.
Es efectivo para números pequeños, pero no para números muy
grandes.
La manera más eficiente de colar primos pequeños es “La Criba de
Eratóstenes”.
Permite colar todos los primos menores que un número natural n,
eliminando los números compuestos de la lista {2, …, n}. Es simple y
razonablemente eficiente mientras no haya almacenamiento (este
es su punto débil).

16. ¿Cómo Colar números primos?
Primero tomamos una lista de números {2, 3, …, n} y eliminamos de la
lista los múltiplos de 2. Luego tomamos el primer entero después de 2
que no fue borrado (3) y eliminamos la lista de sus múltiplos, y así
sucesivamente.

17. ¿Cómo Colar números primos?
• Primer refinamiento: Descartar solo los pares, excepto el 2, los
pares no son primos, así que podríamos continuar tachando
solamente sobre la lista de impares.
• Segundo refinamiento; Continuar tachando de p2
k en adelante.
En el paso k-esimo hay que tachar los múltiplos del primo pk desde
p2
k en adelante. Por ejemplo cuando nos toca tachar los múltiplos
del primo 7 ya se han eliminado los múltiplos de 2, 3 y 5 es decir 2 x
7, 3 x 7, 5 x 7 y 6 x 7. Por eso iniciamos en 72.

18. ¿Cómo Colar números primos?
• Tercer refinamiento: Tachar mientras p2
k <= n. En el paso k-esimo
hay que tachar los múltiplos del primo pk solo si p2
k <= n, en otro
caso, nos detenemos ahí. Porque en el paso k-esimo tachamos los
múltiplos del primo pk desde p2
k en adelante, asi que si p2
k > n, ya
no hay nada que tachar.

19. Hay variaciones de la criba de Eratóstenes, que son muy eficientes.
También podemos hacer uso de MATLAB ya que trae muchas
funciones matemáticas que además, son muy eficientes.
Tarea: Implementar la Criba de Eratóstenes, en el lenguaje de su
preferencia.

20. Teorema Fundamental de la Aritmética
Ejemplo:
Ejercicio:

21. Máximo Común Divisor
Si a, b son enteros no nulos, entonces d es un divisor común de a y b si
d|a y d|b.
Denotamos con Da al conjunto de divisores de a y con Db al conjunto
de divisores de b.
El máximo común divisor de a y b es el más grande entero positivo
común entre los divisores de a y los divisores de b (Da ∩ Db).
*Primos entre sí.

22. Máximo Común Divisor
Revisemos algunas propiedades útiles:
Ejemplo: mcd (3, 6, 12) = mcd(3, mcd(6, 12)) = mcd(3, 6) = 3
De ejemplos aplicando las propiedades.

23. Máximo Común Divisor
El Algoritmo de Euclides:

24. Algoritmo de Euclides

25. Algoritmo de Euclides Extendido
El algoritmo de Euclides puede ser extendido, donde el mcd d es
expresado como la combinación lineal de dos enteros.
d = ax + by