La historia de los números primos y algunos teoremas.

1. Números primos
Un número primo es un número entero mayor que cero, que tiene
exactamente dos divisores positivos. También podemos definirlo como aquel
número entero positivo que no puede expresarse como producto de dos
números enteros positivos más pequeños que él, o bien, como producto de dos
enteros positivos de más de una forma. Conviene observar que con cualquiera
de las dos definiciones el 1 queda excluido del conjunto de los números
primos.
Ejemplos: a) El 7 es primo. Sus únicos divisores son 1 y 7. Sólo puede
expresarse como producto de 7·1.
b) El 15 no es primo. Sus divisores son 1, 3, 5 y 15. Puede
expresarse como 3·5. (y también como 15·1)
El término primo no significa que sean parientes de alguien. Deriva del
latín "primus" que significa primero (protos en griego). El teorema
fundamental de la aritmética afirma que todo número entero se expresa de
forma única como producto de números primos. Por eso se les considera los
"primeros", porque a partir de ellos obtenemos todos los demás números
enteros. (El 15 se obtiene multiplicando los primos 3 y 5)
Los 25 primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,
37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97, que son todos los primos
menores que 100.
En la siguiente tabla tenemos todos los primos menores que 1000, que
hacen un total de 168 (21×8)
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73
79 83 89 97 10
1
10
3
10
7
10
9
11
3
12
7
13
1
13
7
13
9
14
9
15
1
15
7
16
3
16
7
17
3
17
9
18
1
19
1
19
3
19
7
19
9
21
1
22
3
22
7
22
9
23
3
23
9
24
1
25
1
25
7
26
3
26
9
27
1
27
7
28
1
28
3
29
3
30
7
31
1
31
3
31
7
33
1
33
7
34
7
34
9
35
3
35
9
36
7
37
3
37
9
38
3
38
9
39
7
40
1
40
9
41
9
42
1
43
1
43
3
43
9
44
3
44
9
45
7
46
1
46
3
46
7
47
9
48
7
49
1
49
9
50
3
50
9
52
1
52
3
54
1
54
7
55
7
56
3
56
9
57
1
57
7
58
7
59
3
59
9
60
1
60
7
61
3
61
7
61
9
63
1
64
1
64
3
64
7
65
3
65
9
66
1
67
3
67
7
68
3
69
1
70
1
70
9
71
9
72
7
73
3
73
9
74
3
75
1
75
7
76
1
76
9
77
3
78
7
79
7
80
9
81
1
82
1
82
3
82
7
82
9
83
9
85
3

2. 85
7
85
9
86
3
87
7
88
1
88
3
88
7
90
7
91
1
91
9
92
9
93
7
94
1
94
7
95
3
96
7
97
1
97
7
98
3
99
1
99
7
Cómo averiguar si un número es primo.
El algoritmo más sencillo que puede utilizarse para saber si un número n es
primo es el de la división. Se trata de ir probando para ver si tiene algún
divisor propio. Para ello vamos dividiendo el número n entre 2, 3, 4, 5, ... , n-
1. Si alguna de las divisiones es exacta (da resto cero) podemos asegurar que
el número n es compuesto. Si ninguna de estas divisiones es exacta, el número
n es primo. Este método puede hacerse más eficiente observando
simplemente, que si un número es compuesto alguno de sus factores (sin
contar el 1) debe ser menor o igual que √ n. Por lo tanto, el número de
divisiones a realizar es mucho menor. Sólo hay que dividir entre 2, 3, 4, 5, ... ,
[√ n]. En realidad, bastaría hacer las divisiones entre los números primos
menores o iguales que √ n.
Ejemplo: Para probar que 227 es primo sabiendo que √227 = 15'0665...
basta con ver que no es divisible entre 2, 3, 5, 7, 11 y 13.
Este procedimiento resulta eficiente para números pequeños o que tienen
factores pequeños. Sin embargo si el número tiene por ejemplo unas 20 cifras
y es primo, habrá que realizar miles de millones de divisiones para
comprobarlo. Aunque un ordenador pueda realizar millones de divisiones en
un segundo, el tiempo necesario es bastante considerable. Y cuando el número
de dígitos aumenta el tiempo necesario ¡¡crece de forma exponencial!!
Ejemplo práctico: Supongamos que queremos saber si un número de unas 50 cifras es primo. La raíz
cuadrada de un número de este orden está en torno a 1025
. Si un ordenador hace 1000 millones de
divisiones por segundo, necesitará 1025
/109
segundos; es decir, 1016
segundos. Este tiempo equivale,
aproximadamente, a 1'6*1014
minutos, que son 2'7*1012
horas, o también 1'16*1011
días,
aproximadamente 3'17*108
años. Que para hacer esto se necesiten 317.097.920 años se me antoja una
tarea poco recomendable. Y si nos decidiésemos a llevarla a cabo, ¿sería útil esta información pasado
todo este tiempo? O más drástico todavía, ¿seguiría existiendo nuestra especie entonces?
Debemos pues, buscar una alternativa que nos permita responder a este
problema de una forma más favorable; necesitamos un algoritmo más
eficiente.
Una respuesta puede ser el teorema pequeño de Fermat. Este teorema
afirma que si n es primo y mcd(a,n) = 1, entonces an-1
≡ 1 (mod n). Hay que
tener en cuenta que la exponenciación modular puede realizarse en un tiempo
bastante favorable, si se hace de forma adecuada (hay algoritmos que nos dan
la respuesta en tiempo polinómico)

3. Ejemplo: Queremos comprobar si el número 15 es primo o no (utilizando
esta propiedad). Tomamos a = 2, n = 15, y evaluamos 214
(mod 15). La
respuesta es 214
≡ 4 (mod 15). Podemos asegurar entonces que 15 es
compuesto. Probemos con a = 2, n = 341, evaluamos 2340
(mod 341) y
obtenemos que 2340
≡ 1 (mod 341). Esto no nos permite deducir que 341 sea
compuesto, pero tampoco que sea primo. Al probar con a=3 tenemos 3340
≡ 56
(mod 341), lo cual implica que 341 es compuesto.
A los números que se comportan como el 341 en el ejemplo anterior se les
llama pseudoprimos para la base 2 (se comportan como un primo para a=2).
Este comportamiento es bastante más peculiar peculiar para algunos números.
Tomando por ejemplo a=2 y n=561, obtenemos que 2560
≡ 1 (mod 561), 3560
≡
1 (mod 561), 5560
≡ 1 (mod 561) y así con todas las bases con las que
probemos. Es decir, se comporta como un primo para cualquier base que
elijamos. Sin embargo, 561 es compuesto (561 = 3·11·17). A los números que
como éste, son pseudoprimos para todas las bases se les llama números de
Carmichael. Los números de Carmichael menores que 100.000 son 561, 1105,
1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041, 46657, 52633,
62745, 63973 y 75361.
Desde luego, no parecen muy abundantes. Los expertos se preguntaban en los
años 80 si serían un conjunto finito, con lo cual una vez identificados se
podrían "evitar" fácilmente, aunque la creencia generalizada apuntaba a que el
conjunto era infinito. Se demostró que si un número es de Carmichael debe ser
libre de cuadrados y producto de al menos tres primos distintos. En 1994,
Alford, Granville y Pomerance demostraron que existen infinitos números de
Carmichael. De hecho, su resultado indica que para n suficientemente grande
C(n) > n2/7
, donde C(n) es la cantidad de números de Carmichael menores que
n.
Para evitar este contratiempo, podemos recurrir a un teorema un poco más
fino debido a Euler. Este resultado afirma que si n es primo y mcd (a,n)=1,
entonces a(n-1)/2
≡ ±1 (mod n). Con esto evitamos que algunos números
compuestos puedan pasar por primos como ocurre utilizando el teorema
pequeño de Fermat.
Ejemplo: Para comprobar que 91 es compuesto basta ver 245
≡ 57 (mod 91).
¿Y que pasa con un número de Carmichael como el 561?. Veamos 2280
≡
1(mod 561), pero 5280
≡ 67 (mod 561). Parece que esto funciona.
Pero todavía podemos afinar un poco más. La idea es que si n es primo,
entonces Zn es un cuerpo. Y en un cuerpo las únicas raíces cuadradas de 1 son
1 y -1. En el último ejemplo estamos diciendo que Z561 no es un cuerpo
porque en él, la raíz de 1 es 67, y por tanto 561 no es primo. Si tomamos n-1 y
lo dividimos entre 2 de forma sucesiva, mientras sea posible, estamos

4. extrayendo raíces cuadradas y se trata de comprobar si los resultados dan
siempre 1 ó -1. Esto da lugar al test de Miller-Rabin.
Ejemplo: Tomando n = 561 hacemos 2280
(mod 561) ≡ 1 , 2140
(mod 561) ≡
67, que continuaría con 270
y 235
, pero ya no es necesario calcularlos porque
tenemos que la raíz cuadrada de 1 es 67 (mod 561). Por tanto, 561 es
compuesto.
Si al llegar a 235
no obtenemos un resultado distinto de +1 ó -1, tendríamos
que elegir otra base. Y ahí es donde podemos tener dificultades, porque si n es
bastante grande quizá tengamos que probar con muchas bases y la respuesta
tardará en llegar. Y podemos empezar a preguntarnos si la tardanza se debe a
que n es primo o porque es un compuesto que se comporta como un primo
para un conjunto "grande" de bases. ¿Qué debemos hacer entonces? La
solución es determinar el número de bases con las que tenemos que probar
para asegurar que un número compuesto no pase la prueba como si fuese
primo.
Definiciones: Si un entero n compuesto e impar verifica la congruencia de
Euler para la base b, entonces n es un pseudoprimo de Euler para la base b.
Asímismo, si n pasa el test de Miller-Rabin para la base b, entonces n es un
pseudoprimo fuerte para la base b. Los siguientes resultados nos dan la
respuesta a la cuestión del párrafo anterior.
Proposición: Si n es compuesto e impar, al menos la mitad de las bases b que
verifican 0<b<n, no satisfacen la congruencia de Euler.
Teorema (Rabin): Si n es un entero compuesto impar, entonces n es un
pseudoprimo fuerte para la base b, para a lo sumo un 25% de las posibles
bases que verifican 0 < b < n, mcd(b,n) = 1.
Desde luego que el teorema anterior no es para tirar cohetes. Probar con un
25% de las bases es algo descomunal si n es un número grande. Sin embargo,
también hay que decir, que experimentalmente se ha comprobado que el test
es mucho más eficiente de lo que indica la acotación del 25%. Es decir,
cuando el número es compuesto, basta probar con unas pocas bases (la
mayoría de veces con una sola) para demostrar que el número es compuesto.
Si probamos con varias bases y nuestro número pasa el test, la probabilidad de
que sea primo es muy pequeña. Y se puede elegir el número de bases que
queramos de manera que la probabilidad sea menor que una cota prefijada de
antemano.
Yendo un poco más lejos, hay un resultado de Miller basado en la hipótesis
generalizada de Riemann, que afirma lo siguiente:

5. Teorema (Miller, 1976): Si la hipótesis generalizada de Riemann es cierta y n
es un entero compuesto impar, entonces n no pasa el test de Miller-Rabin para
alguna base b < 2·log2
n (¿¿teorema de bach, aukemy, montgomery 1985??)
Este resultado implicaría un test de primalidad en tiempo polinómico del
orden de O(log5
n).
En la tabla de abajo podemos ver la cantidad de números de Carmichael y
pseudoprimos para la base 2. Por ejemplo, el primer 1 de la fila que comienza
con 103
indica que sólo hay un número de Carmichael menor que 1000, y el 3
que sigue que hay 3 pseudoprimos para la base 2 menores que 1000.
( Nota: Los pseudoprimos de Euler también son llamados a veces pseudoprimos de Euler-Jacobi )
10n Carmichael psprimos(2) pspEuler(2) pspFuerte(2)
101
0 0 0 0
102
0 0 0 0
103
1 3 1 0
104
7 22 12 5
105
16 78 36 16
106
43 245 114 46
107
105 750 375 162
108
255 2057 1071 488
109
646 5597 2939 1282
1010
1547 14884 7706 3291
1011
3605 38975 20417 8607
1012
8241 101629 53332 22407
1013
19279 264239 124882 58892
Tabla 2: Pseudoprimos y números de Carmichael
Los primeros pseudoprimos para la base 2 son 341, 561, 645, 1105, 1387,
1729, 1905, 2047, 2465, 2701, ...
Los primeros pseudoprimos para la base 3 son 91, 121, 286, 671, 703, 949,
1105, 1541, 1729, 1891, 2821,...
Los primeros pseudoprimos para la base 5 son 4, 124, 217, 561, 781, 1541,
1729, 1891, ...
Los primeros pseudoprimos de Euler para la base 2 son 561, 1105, 1729,
1905, 2047, 2465, ...

6. Los primeros pseudoprimos de Euler para la base 3 son 121, 703, 1729,
1891, 2821, 3281, 7381, ...
Los primeros pseudoprimos fuertes para la base 2 son 2047, 3277, 4033,
4681, 8321, 15841, 29341, 42799, 49141, 52633, 65281, 74665, 80581,
85489, 88357, 90751, ...
Los primeros pseudoprimos fuertes para la base 3 son 121, 703, 1891, 3281,
8401, 8911, 10585, 12403, 16531, 18721, 19345, 23521, 31621, 44287,
47197, 55969, 63139, 74593, 79003, 82513, 87913, 88573, 97567, ...
Estos ejemplos nos permiten ver que si en lugar de la base 2 utilizamos las
bases 2 y 3, los números que pueden pasar el test siendo compuestos son
muchos menos. Y si tomamos más bases todavía, los resultados mejoran
considerablemente. Por ejemplo, sólo hay un pseudoprimo fuerte para las
bases 2, 3, 5 y 7 menor que 25·109
, y este número es 3,215,031,751.
La sucesión de los números impares más pequeños que pasan el test de
Miller-Rabin usando los primeros k números primos para k = 1, 2, 3,... está
dada por 2047, 1373653, 25326001, 3215031751, 2152302898747,
3474749660383, 341550071728321, 341550071728321, ... (Sloane A014233;
Jaeschke 1993). Por lo tanto, el test es totalmente determinista si usamos los
siete primeros números primos (con 8 no da ninguna mejora) para números
menores menores de 3,4·10^14.
Lo que se hace en la práctica para números muy grandes es tomar una serie
de bases al azar y comprobar si se verifican las congruencias. Si no se verifica
en algún caso, el número es compuesto con total seguridad. Si se verifican
todas, hay una "sospecha" muy grande de que el número es primo, aunque no
puede asegurarse. La probabilidad de error puede hacerse tan pequeña como
se quiera con solo coger un número suficiente de bases.
Gracias a los trabajos de Pomerance, Selfridge y Wagstaff (1980) y Jaeschke
(1993) podemos elaborar tests de rápida ejecución y completamente
deterministas (usando Miller-Rabin) si consideramos números hasta un cierto
tamaño:
 Para números menores que 25,326,001 basta probar con las
bases 2, 3 y 5.
 Para números menores que 4,759,123,141 basta probar con las
bases 2, 7 y 61.
 Para números menores que 2,152,302,898,747 basta probar con
las bases 2, 3, 5, 7 y 11.
 Para números menores que 341,550,071,728,321 basta probar
con las bases 2, 3, 5, 7, 11, 13 y 17.

7. En 1980, Adleman publica un artículo titulado "On distinguishing prime
numbers from composite numbers". Sus resultados son mejorados por
Pomerance, Rumely, Cohen, H.W. Lenstra y A.K. Lenstra. Esta trabajo
conjunto junto con el teorema que viene a continuación dan lugar a un test de
primalidad conocido como APR (hay más de una versión de este test)
Teorema (Odlyzko-Pomerance, 1982): Existe una constante c>0
efectivamente computable tal que para todo n > ee
existe un entero positivo t
que satisface:
i) t es libre de cuadrados.
ii) 0 < t < (log n)c·log(log(log n))
y tal que s(t) > √ n , donde s(t) = Π { q ∈ Z+
/
q primo y q-1 divisor de t }
El test APR seguiría entonces los siguientes pasos:
Paso1: Introducimos un primo impar n.
Paso2: Buscamos (secuencialmente) un valor t que verifique s = s(t) > √ n.
Paso3: Factorizamos t. A sus factores pi les llamamos primos iniciales.
Paso4: Factorizamos s. A sus factores qi les llamamos primos euclídeos.
Paso5: Se comprueba que mcd (s·t, n) = 1 (si no es el caso, n no es primo)
Paso6: Para cada primo inicial p se tiene una de estas dos opciones:
a) np-1
≠ 1 (mod p2
)
b) np-1
≡ 1 (mod p2
) y para cada primo euclídeo q tal que p | q-1 existe un
carácter ξ (aplicación de un grupo en el cuerpo de los números complejos) ξ:
Zq
*
--------> Gp de orden p y conductor q, tal que G(ξ)n
∈ η(ξ)n
·G(ξn
) módulo
nZ[ξp, ξq] para algún 1 ≠ η(ξ) ∈ Gp (revisar)
Si se da el caso a) probamos con otro primo inicial y si se da b) seguimos
con el paso 7.
Paso7: Para cada i = 0, 1, 2, 3, ... , t-1 se calcula mcd( ni
(mod s) , n). Si
alguno de los resultados obtenidos es un número comprendido estrictamente
entre 1 y n entonces el número n es compuesto. Si todos los resultados dan 1 ó
n, entonces podemos estar seguros de que n es primo.
(continuará con AKS, Agrawal 2002)
Cuántos números primos hay
Una de las primeras preguntas que podemos hacernos es si la cantidad de
números primos es finita o infinita. Euclides de Alejandría demostró que hay
infinitos. Supongamos que existe solamente un número finito de primos. Sea

8. C = { p1, p2, ... pn } el conjunto formado por todos ellos. Consideremos ahora
el número M = p1×p2× ... pn+1. Como cada primo pi es mayor que 1, M es un
número mayor que cualquiera de los pi; es decir, M no está en el conjunto C y
por tanto es compuesto. Admitirá entonces una descomposición como
producto de factores primos (por el teorema fundamental de la aritmética). Por
hipótesis, estos factores sólo pueden estar entre los primos que aparecen en el
conjunto C. Por tanto, existirá un primo q del conjunto C, tal que q | M y
obviamente, q | p1×p2× ... pn. Por consiguiente, q divide a la diferencia M -
p1×p2× ... ×pn (que es 1). Pero ningún número primo divide a 1, y q es un
número primo que divide a 1 (Contradicción). Concluimos entonces que el
conjunto de los números primos no puede ser finito (q.e.d.)
Hay otras demostraciones posibles, como la de Euler, que se obtiene como
corolario de un teorema que afirma que la suma de la serie de los inversos de
los números primos es divergente. Otra demostración más reciente (y sencilla
de hacer) fue obtenida por Polya basándose en los números de Fermat. Más
adelante veremos más sobre estos números que se definen como Fn=2^(2n
)+1.
Así, F1=5, F2=17, F3=257, etc. Polyaobservó y demostró que para todo k>0 se
tiene que Fn y Fn+k son coprimos; es decir, no tienen factores comunes. Esto
implica la infinitud de los números primos, ya que cada uno de los Fn da lugar
a uno o varios números primos que no aparecen en los anteriores números de
Fermat. Curioso, ¿no? La demostración es como sigue:
Observamos en primer lugar que todos los números de Fermat son impares,
evidente. En segundo lugar hay que ver que Fn+k-2 es múltiplo de Fn para todo
k>0. Para ello sólo hay que seguir este cálculo:
Ahora, si m 1 es un divisor común de Fn y Fn+k , entonces m es divisor de
Fn+k - 2 y Fn+k , y por tanto de su diferencia; es decir, m es divisor de 2 al
mismo tiempo que de Fn que es impar. Contradicción. Podemos concluir
entonces que cualesquiera dos números de Fermat no tienen ningún factor en
común, q.e.d.
Otra demostración interesante se la debemos a Erdos: Consideremos un
número x fijo y sean p1, p2, ..., pn  x, los números primos menores o iguales
que x. .Como todo entero puede expresarse como producto de un cuadrado por
un número libre de cuadrados, podemos escribir cada entero m x de la
forma

9. donde ei ∈ {0, 1} y Q2
≤ x. Podemos elegir los ei de 2n
formas diferentes, y Q
de r(x) formas y, por tanto, podemos asegurar que todos los números m ≤ x
pueden escribirse alguna de estas 2n
·r(x) formas, o sea, x ≤ 2n
·r(x). Ahora,
despejamos n de esta expresión, x ≤ 4n
, y por tanto, n ≥ ln x / ln 4. El número
de primos es mayor que cualquier número x fijado de antemano, q.e.d.
La sucesión de los números primos
La sucesión de los números primos es poco predecible. No sabemos si
obedecerán algún tipo de regla u orden que no hemos sido capaces de
descubrir todavía. Durante siglos, las mentes más preclaras intentaron poner
fin a esta situación pero sin éxito. Leonhard Euler comentó en una ocasión:
"Los matemáticas han intentado en vano hasta la fecha descubrir algún orden
en la sucesión de los números primos, y tenemos razones para creer que es un
misterio en el que la mente no podrá penetrar nunca". En una conferencia
dada por D. Zagier en 1975, éste dijo: "Hay dos hechos en torno a la
distribución de los números primos que espero crean tan abrumadoramente,
que quedarán por siempre grabadas en sus corazones. La primera es que a
pesar de su sencilla definición y de su papel como ladrillos que construyen los
números naturales, los números primos crecen como la mala hierba alrededor
de los números naturales, simulando no obedecer otra ley que la del azar, y
nadie puede predecir donde brotará el siguiente. El segundo hecho es incluso
más asombroso, porque dice justamente lo opuesto: que los números primos
hacen gala de una pasmosa regularidad, que hay leyes que gobiernan su
comportamiento, y que obedecen esas leyes con una precisión casi militar"
(Havil 2003)
Pero el espíritu del hombre es obstinado y su inquietud por descubrir no
conoce fronteras. Así, con el paso de los años y los siglos se ha ido avanzando
a pequeños pasos, pero tantos, que al mirar atrás parecen gigantescos. En
primer lugar presentamos una tabla con las cifras del número primo que ocupa
el lugar 10n
-ésimo. Lectura: El primo que ocupa el lugar 1000 (103
) en la
sucesión de los números primos es 7919.
=
n
=
Primo 10n Número
de cifras
|
=
n
=
Primo 10n Número
de cifras
0 2 1 | 11 2760727302517 13
1 29 2 | 12 29996224275833 14

10. 2 541 3 | 13 323780508946331 15
3 7919 4 | 14 3475385758524527 16
4 104729 6 | 15 37124508045065437 17
5 1299709 7 | 16 394906913903735329 18
6 15485863 8 | 17 4185296581467695669 19
7 179424673 9 | 18 44211790234832169331 20
8 2038074743 10 | 19 465675465116607065549 21
9 22801763489 11 | 20 4892055594575155744537 22
10 252097800623 12 | 21 ? 23
Tabla 3: Dígitos del 10n
-ésimo primo
Otra posibilidad es contar cuántos primos acaban en una determinada
cifra o cuántos son de una determinada forma como 4k+1 ó 4k+3. Por
ejemplo, los números primos de la forma 4k+1 son 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53,
61, 73, 89, 97... y los de la forma 4k+3 son 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67,
71, 79, 83... Para abreviar los llamaremos primos de tipo 1 y de tipo 3
respectivamente. Observamos que de los 24 primos enumerados, 11 son del
tipo 1 y 13 del tipo 3. Contando el número de primos de cada tipo hasta
100.000 obtenemos:
x Primos 4k+1 Primos 4k+3 x Primos 4k+1 Primos 4k+3
100 11 13 10.000 609 619
200 21 24 20.000 1.125 1.136
300 29 32 50.000 2.549 2.583
400 37 40 70.000 3.491 3.443
500 44 50 100.000 4.783 4.808
600 51 57 200.000 8.995 8.988
700 59 65 300.000 13.026 12.970
800 67 71 400.000 16.967 16.892
900 74 79 500.000 20.804 20.733
1000 80 87 600.000 24.573 24.524
2000 147 155 700.000 28.306 28.236
3000 222 207 800.000 32.032 31.918
5000 329 339 900.000 35.676 35.597
7000 442 457 1.000.000 39.266 39.231

11. Tabla 4: Recuento de primos de la forma 4k+1 y 4k+3 desde 3 hasta x
Observamos que los primos de tipo 3 van ganando por un escaso margen a
los de tipo 1. Este fenómeno fue observado ya por Tchebychev, que se lo
contaba en una carta a M. Fuss el 23 de marzo de 1853. Este sesgo resulta
quizás inesperado en vista de un importante resultado en la teoría analítica de
los números conocido como “el teorema de los números primos para
progresiones aritméticas”. Este resultado nos dice que, para todo módulo a, los
primos tienden a distribuirse equitativamente entre las
diferentes progresiones an + b tales que mcd(a, b) = 1. Esto implica entre otras
cosas que cualquier progresión aritmética contiene infinitos primos, hecho que
fue conjeturado ya por Gauss y demostrado por Dirichlet en 1837. También
nos permite deducir que existe "el mismo número de primos" acabados en 1,
3, 7 ó 9, tomando como progresiones aritméticas 10n+1, 10n+3, 10n+7 y
10n+9.
x 10n + 1 10n + 3 10n + 7 10n + 9
100 5 7 6 5
200 10 12 12 10
500 22 24 24 23
1.000 40 42 46 38
2.000 73 78 77 73
5.000 163 172 169 163
10.000 306 310 308 303
20.000 563 569 569 559
50.000 1274 1290 1288 1279
100.000 2387 2402 2411 2390
200.000 4478 4517 4503 4484
500.000 10386 10382 10403 10365
1.000.000 19617 19665 19621 19593
El intento de "controlar" los números primos llevo a muchos a la búsqueda
de algún tipo de fórmula o expresión algebraica que generase la sucesión de
los números primos. Goldbach demuestra en 1752 que no existe ningún
polinomio con coeficientes enteros que dé números primos para cualquier
valor entero. Años después Legendre demuestra que no existe ninguna

12. función algebraica racional que cumpla tal requisito. Queda por decir que
todavía se puede buscar un polinomio de forma que produzca una sucesión de
números primos lo más larga posible. Euler propuso el polinomio n2
+ n + 41
que da números primos para valores 0 ≤ n < 40 (también para 40 < n < 81
excepto n = 41, 44, 49, 56, 65 y 76 [sucesión cuadrática]).
Otro resultado que hay que mencionar, a pesar de los resultados de
Goldbach y Legendre, es que se ha podido encontrar un polinomio en 10
variables con coeficientes enteros que da números primos siempre que se
sustituyan las variables por enteros no negativos. Jones, Sato, Wada y Wiens
han hallado un polinomio de grado 25 en 26 variables cuyos valores positivos
son exactamente los números primos.
Otra fórmula que produce únicamente números primos tiene que ver con
una constante = 1'3063778..., conocida como constante de Mills (el menor
número que tiene esta propiedad). Tomando f(n) = [θ^(3n
)] siempre se
obtienen números primos, donde [x] representa la parte entera de x. Los
primeros valores de f(n) son 2, 11, 1361, 2521008887, ... No se sabe todavía si
θ es racional o irracional (febrero 2012).
Hacia 1845 Joseph Bertrand propone que para cada entero positivo n, existe
al menos un primo p tal que n < p < 2n. Esta proposición conocida como
postulado de Bertrand, fue demostrada por Tchebychev en 1850. En 1919,
Ramanujan prueba que para n > 5, existen al menos dos primos entre n y 2n;
para n > 8, existen al menos tres primos entre n y 2n; para n > ?, existen al
menos cuatro primos entre n y 2n. De forma más general, demuestra que para
cada k > 0, existen k primos entre n y 2n salvo para un número finito de casos.
Erdös, en 1932, consigue una prueba bastante más simple del caso de dos
primos entre n y 2n para n>6, añadiendo además que uno de esos dos primos
debe ser de la forma 4k+1 y el otro de la forma 4k+3.
Otra cuestión similar (pero más restrictiva) había sido propuesta por
Legendre unos años antes de la demostración de Tchebychev. Legendre
conjeturó que existe al menos un primo entre n² y (n+1)² para todo entero n >
0. La conjetura sigue sin demostrarse. (febrero 2012)
El teorema del número primo
π(n) ≈ n/log n ≈ Li(x)
La función que nos dice cuántos números primos hay en el intervalo [0, n]
se representa por π(n) = # { p ≤ n , p primo}. Legendre y Gauss dedicaron
mucho tiempo y esfuerzo a calcular números primos y contar los que había en

13. grandes intervalos. Conjeturaron que el valor de π(n) podía aproximarse por
n/log(n).
Tchebychev, en su intento de demostrar esta conjetura, obtiene que existen
dos constantes c1 y c2 verificando 0 < c1 ≤ 1 ≤ c2 < ∞ tales que
c1 · n / log(n) ≤ π(n) ≤ c2 · n / log(n)
En 1881, James J. Sylvester da otro resultado similar pero mucho más fino; a
saber, que 0,96695 ≤ c1 ≤ 1 ≤ c2 ≤ 1,04423
El teorema del número primo nos da una aproximación asintótica al valor de
π(n) y se expresa de la siguiente forma:
Fue demostrado en primer lugar por Hadamard y de la Vallée Poussin en 1896
basándose en algunas propiedades de la función Zeta de Riemann.
Una mejor aproximación de π(x) es la función Li(x).
lo cual equivale a
decir que
se aproxima mejor a π(n) que
n/log(n).
En 1901, Koch demuestra que la Hipótesis de Riemann es equivalente a la
desigualdad | π(x) - Li(x) | ≤ c·√x·ln(x) para alguna constante c. Erdös en
1949 y Selberg en 1950 dieron demostraciones más sencillas en el sentido que
no se apoyan en "herramientas de gran calibre" como la función zeta o
similares.
Para valores de n no demasiado grandes se comprobó que π(n) < Li(n), lo cual
dio lugar a la conjetura de que la desigualdad se verificaba para todo valor de
n. Sin embargo, la conjetura fue refutada en 1914 por Littlewood al demostrar
que ambas funciones se cruzan infinitas veces. Skewes demostró
posteriormente que el primer encuentro de ambas funciones ocurre para un n
menor que 10^(10^(10^(34))). Este número ha sido reducido después hasta
10371
.

14. x π(x) Li(x)-π(x) θ(x) Comments
106
78,498 129 -0.209
107
664,579 336 -0.1809
108
5,761,455 753 -0.1339 Meissel 1871
109
50,847,534 1,700 -0.0994
Meissel 1886
(Corrected)
1010
455,052,511 3,103 -0.0594
Lehmer 1959
(Corrected)
1011
4,118,054,813 11,587 -0.0725
1012
37,607,912,018 38,262 -0.0781
1013
346,065,536,839 108,970 -0.0723
Bohmann 1972
(Corrected)
1014
3,204,941,750,802 314,889 -0.0678
Lagarias Miller
Odlyzko 1985
1015
29,844,570,422,669 1,052,618 -0.0735 LMO 1985
1016
279,238,341,033,925 3,214,631 -0.0726 LMO 1985
1017
2,623,557,157,654,233 7,956,588 -0.0581 Deléglise Rivat 1994
1018
24,739,954,287,740,860 21,949,554
-
0.05177
Deléglise Rivat 1994
1019
234,057,667,276,344,607 99,877,774 -0.0760 Deléglise 1996
1020
2,220,819,602,560,918,840 222,744,643 -0.0546 Deléglise 1996
2*1020
4,374,267,703,076,959,271 472,270,046 -0.0823
X. Gourdon 2000
Nov
1021
21,127,269,486,018,731,928 597,394,253 -0.0471
X. Gourdon 2000
Nov
2*1021
41,644,391,885,053,857,293 1,454,564,714 -0.0816
pi(x) project, 2000
Dec
4*1021
82,103,246,362,658,124,007 1,200,472,717 -0.0479
pi(x) project, 2000
Dec
1022
201,467,286,689,315,906,290 1,932,355,207 -0.0491
pi(x) project, 2000
Dec
1.5*1022
299,751,248,358,699,805,270 2,848,114,312 -0.0592
P. Demichel, X.
Gourdon, 2001 Feb
2*1022
397,382,840,070,993,192,736 2,732,289,619 -0.0493
pi(x) project, 2001
Feb
4*1022
783,964,159,847,056,303,858 5,101,648,384 -0.0655
pi(x) project, 2001
Mar (Current world
record)

15. (Añadir Hardy-Wright pag 10)
Números de Fermat
Un número de Fermat es un número de la forma 2^2n
+ 1. La sucesión de
números de Fermat para n = 0, 1, 2, ... sería entonces 3, 5, 17, 257, 65537,
4294967297, 18446744073709551617, ... Cada uno de ellos duplica (o casi)
al anterior en número de cifras, lo cual da una idea de la rapidez con la que
crecen. Fermat comprobó que los cinco primeros números eran primos y
conjeturó que posiblemente todos ellos lo fuesen.
El gran cíclope (Euler) fue el encargado de desmentir esta hipótesis al
demostrar que F5 = 4294967297 es divisible por 641. Además hasta la fecha
(abril 2007) no se han vuelto a encontrar más primos entre los números de
Fermat.
Factores de los números de Fermat son:
274.177 de F6, 59.649.589.127.497.217 de F7, 1.238.926.361.552.897 de F8,
2.424.833 de F9, 45.592.577 de F10, ...
Primos de Mersenne y números perfectos
A los números primos de la forma 2n
-1 se les llama primos de Mersenne. Es
fácil demostrar que si 2n
-1 es primo, entonces n debe ser primo. Si suponemos
que n es compuesto, pongamos n = a·b (a, b>1), entonces
2n
-1 = (2a
)b
-1 = (2a
-1)·(2a(b-1)
+ 2a(b-2)
+ ... + 2a
+ 1)
y por lo tanto 2n
-1 también es compuesto. Pero el hecho de que n sea primo no
asegura que 2n
-1 sea primo. Una propiedad destacable es que si p es primo y
2p
-1 es compuesto entonces sus factores son de la forma 2kp+1. Por ejemplo
pero 211
-1 = 2047 = 23·89 y 23 = 2·11+1, 89 = 8·11+1.
Todavía no se sabe si el número de primos de Mersenne es finito o infinito
(diciembre 2010)
Un número entero se llama perfecto si es igual a la suma de sus divisores
(sin contar el propio número). Los casos más sencillos son 6=1+2+3 y
28=1+2+4+7+14. Euclides demostró que si 2n
-1 es un número primo,

16. entonces 2n-1
(2n
-1) es un número perfecto. Euler demostró que todos los
números perfectos pares son de este tipo. Por tanto, no se sabe si hay una
cantidad finita o infinita de números perfectos. Tampoco se sabe si existe
algún número perfecto que sea impar.
Bibliografía: página 128 de "El enigma de Fermat"