Poligonos

1. Maria Trinidad Barrera

2. Polígonos

3. Es la figura que está formada por segmentos de recta. POLI
significa MUCHOS Y GONOS significa Ángulos.
La interseción de dos segmentos de recta o lados de un
Polígono determina el ángulo.
Segmentos de recta
Ángulos

4. :
Vértice
Lado
Superficie o área
Para hallar el Perímetro se suman todos sus lados
(1)
(1)
(2)
(2)
(3)
(3)
(4)
(4)
(5)
(5)
Apotema
(Distancia del centro del
polígono al centro de un
lado)

6. Polígonos Regulares
Es aquella figura que tiene todos sus lados de igual
longitud(congruentes: iguales) y los ángulos
internos de la misma amplitud
Ejemplos

7. Polígonos Irregulares
Si los lados de un polígono tienen diferentes medidas y
sus ángulos interiores no son congruentes(iguales) se
llaman polígonos irregulares. Ejemplos

8. Clases de Polígonos
Podemos clasificar los polígonos por:
El número de lados que tiene.
Dibujar cada figura según el número de sus lados: dejar
3 o 4 renglones para cada dibujo.
•3 lados – TRIÁNGULO
•4 lados – CUADRILÁTERO
•5 lados – PENTÁGONO
•6 lados – HEXÁGONO
•7 lados – HEPTÁGONO
•8..lados OCTÁGONO
•9 lados NONÁGONO
•10 Lados DECÁGONO

9. Clasificación de los polígonos
por el número de lados
• Triángulo
• Tiene 3 lados y 3 ángulos

10. CUADRILATERO
4 LADOS y 4 ÁNGULOS
90º

11. PENTÁGONO
5 LADOS y 5 ÁNGULOS
6cm cada
lado
Polígono
Regular

12. HEXÁGONO
6 LADOS Y 6 ÁNGULOS

13. HEPTÁGONO
7 LADOS Y 7 ÁNGULOS

14. OCTÁGONO
8 LADOS Y 8 ÁNGULOS

15. NONÁGONO
9 LADOS Y 9 ÁNGULOS

16. DECÁGONO
10 LADOS Y 10 ÁNGULOS

17. ENDECÁGONO
11 LADOS Y 11 ÁNGULOS

18. DODECÁGONO
12 LADOS Y 12 ÁNGULOS

19. Triángulo : 3 lados
Cuadrilátero: 4 lados
Pentágono: 5 lados
Hexágono: 6 lados
Heptágono: 7 lados
Octágono: 8 lados
Nonágono: 9 lados
Decágono: 10 lados
Endecágono: 11 lados
Dodecágono: 12 lados
Pentadecágono: 15 lados
Icoságono: 20 lados
05.-Polígono regular.-Todos
sus lados y ángulos son
iguales(congruentes) es
equilátero y a su vez
equiángulo.
06.-Polígono irregular.-
Sus lados tienen
longitudes diferentes.

20. El cuadrilátero.
Polígonos regulares
Luis Gonzalo Pulgarín R

21. Definiciones:
• Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.
• Dos lados son opuestos si no son consecutivos.
• Dos vértices son opuestos si no son consecutivos.
a
b
d
c
A
B
C
D

22. Un cuadrilátero es un polígono que
tiene cuatro lados y cuatro ángulos.
Los lados de un cuadrilátero pueden
ser: consecutivos u opuestos. De acuerdo
a la igualdad o al paralelismo de sus
lados, podemos clasificarlos en:

23. DENTRO DE LOS CUADRILÁTEROS
TENEMOS:
PARALELOGRAMOS NO
PARALELOGRAMOS

24. DENTRO DE LOS PARALELOGRAMOS
HAY CUATRO TIPOS:
ROMBOIDE CUADRADO
RECTÁNGULO
ROMBO

25. Clasificación De Los Cuadriláteros
PARALELOGRAMOS
TRAPECIOS
TRAPEZOIDES
(Tienen sus lados
Opuestos paralelos)
(Únicamente tiene
Paralelas sus bases)
(No tiene lados
Paralelos)
RECTÁNGULOS
ROMBO
ROMBOIDE
RECTANGULAR
ISÓSCELES
ESCALENO
SIMÉTRICO
ASIMÉTRICO
CUADRADO
CUADRILONGO
(4 ángulos rectos)
(4 lados iguales)
(lados opuestos iguale
(4 lados iguales, 2 ángulos agud
2 ángulos obtusos)
(lados opuestos iguales, 2
Ángulos agudos 2 obtusos)
(2 ángulos rectos)
(2 lados iguales)
(lados diferentes, no tine
Ángulos rectos)
(tiene sus lados iguales 2
A 2 y una de sus diagonales es eje de simetri
(no tiene lados iguales, ni ejes de simetría)

26. Perímetro De Un Polígono Regular
El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes
de sus lados. Si representamos el Perímetro con la letra P ,
el número de sus lados con la letra L y la longitud con la
letra L. La fórmula es:
P L x L
P=L x L

27. Para conocer el perímetro de un polígono cualquiera
debemos medir y sumar las longitudes de sus lados.
Algunas figuras, debido a que tienen lados iguales, tienen
fórmulas fáciles y rápidas con las que podemos calcular
su perímetro.

28. Hagamos un concurso por grupos.
1. Tiene los cuatro lados iguales:
a) Sólo el cuadrado b) Algunos rectángulos c) El cuadrado y el rombo
2. Sólo tiene sus lados iguales dos a dos:
a) El cuadrado c) El rombo
b) El rectángulo y el romboide
3 Sus cuatro ángulos son iguales :
a) El cuadrado b) El cuadrado, el
rombo y el rectángulo
c) El cuadrado y el rectángulo

30. ÁREA DE UN PARALELOGRAMO = BASE ∙ ALTURA
A VECES NO ES FÁCIL CALCULAR LA BASE Y LA
ALTURA DE UN PARALELOGRAMO.
ASÍ QUE TRATAREMOS DE VER FÓRMULAS QUE NOS
AYUDARÁN PARA CADA CASO.
¿BASE?
¿ALTURA?

31. PARA FACILITARNOS EL TRABAJO MEMORIZAREMOS LA FÓRMULA DEL ÁREA
DE CADA PARALELOGRAMO.
PERO ADEMÁS COMPRENDEREMOS DE DÓNDE SALE CADA FÓRMULA
COMPRENDEREMOS
Paralelogramo Nombre Área
cuadrado lado X lado
rectángulo
rombo
romboide
base X altura
Diagonal X diagonal
2
base X altura

32. Sabiendo que el área de un triángulo es:
AT =
Base · altura
2
AC = 2 · AT = 2 ·
lado X lado
2
= lado X lado
= base X altura
AR = 2 · AT = 2 ·
base · altura
2

33. Área De Un Polígono Regular
A=NoT x AT
AT=L x a
2
a
NoT=NoL
A= NoL x L x a
2
A= P x a
2

34. Área De Un Círculo
Apr=P x a
2
Pc=2 x pi x R R=a
Ac=2 x pi x R x R
2
Ac= pi x R2

35. Los polígonos son equivalentes cuando tienen la misma
superficie, aunque tengan distinta forma. Esta propiedad es de
suma utilidad para calcular la superficie de diferentes polígonos.

36. Los cuerpos geométricos se clasifican de acuerdo
a la forma de sus caras:
- Cuerpos poliedros: son aquellos que tienen
todas sus caras planas. Estos, a su vez, pueden
dividirse en poliedros regulares y
poliedros irregulares.
- Cuerpos rodantes: son aquellos que tienen
por lo menos una cara curva.

37. PRIMERA PROPIEDAD
Numéricamente: Lados, vértices, ángulos interiores,
ángulos exteriores y ángulos centrales son iguales.
• Lados
• Vértices
• Ángulos interiores
• Ángulos exteriores
• Ángulos centrales

38. SEGUNDA PROPIEDAD
A partir de un vértice de un polígono, se pueden
trazar (n-3 ) diagonales.
Ejemplo:
ND = (n-3) = (5-3) = 2 diagonales

39. TERCERA PROPIEDAD
El número total de diagonales que se puede trazar en
un polígono:
2
)
3
n
(
n
ND


Ejemplo:
diagonales
5
2
)
3
5
(
5
ND 



40. CUARTA PROPIEDAD
Al trazar diagonales desde un mismo vértice se
obtiene (n-2) triángulos
Ejemplo:
3
2
1
Ns. = ( n – 2 ) = 5 - 2 = 3 triángulos

41. QUINTA PROPIEDAD
Suma de las medidas de los ángulos interiores de
un polígono:
Si =180°(n-2)
Ejemplo:
180º
180º
180º
Si = 180º x número de triángulos = 180º(5-2) = 540º
Donde (n-2) es número de triángulos
Suma de las medidas de los
ángulos interiores del triangulo

42. SEXTA PROPIEDAD
Suma de las medidas de los ángulos exteriores de un
polígono es 360º
Se = 360°





 +  +  +  +  = 360º
Ejemplo:

43. SEPTIMA PROPIEDAD
Al unir un punto de un lado con los vértices opuestos se
obtiene (n-1) triángulos
Ejemplo:
3
2
1
4
Ns. = ( n – 1 ) = 5 - 1 = 4 triángulos
Punto cualquiera de
un lado

44. OCTAVA PROPIEDAD
Al unir un punto interior cualquiera con los vértices se
obtiene “n” triángulos
3
2
1
4
5
Ns. = n = 5 = 6 triángulos
Ejemplo:

45. NOVENA PROPIEDAD
Número de diagonales trazadas desde “V” vértices consecutivos,
se obtiene con la siguiente fómula.
2
)
2
V
)(
1
V
(
nV
ND




Ejemplo:
2
1
y así sucesivamente

46. 1ra. Propiedad 2da. Propiedad
3ra. Propiedad 4ta. Propiedad
Suma de las medidas de los
ángulos centrales.
Sc = 360°
Medida de un ángulo interior de
un polígono regular o polígono
equiángulo.
n
)
2
n
(
180
m
i




Medida de un ángulo exterior de
un polígono regular o polígono
equiángulo.
n
360
e
m



Medida de un ángulo central de
un polígono regular.
n
360
c
m




48. En un polígono, la suma de las medidas de los
ángulos exteriores e interiores es 1980°. Calcule el
total de diagonales de dicho polígono.
360° + 180°( n - 2 ) = 1980°
Se + Si = 1980°
Resolviendo: n = 11 lados
Número de diagonales:
2
)
3
n
(
n
ND


2
)
3
11
(
11
ND

 ND = 44
Del enunciado:
Luego, reemplazando por las propiedades:
Problema Nº 01
RESOLUCIÓN

49. ¿Cómo se denomina aquel polígono regular, en el
cual la medida de cada uno de su ángulo interno es
igual a 8 veces la medida de un ángulo externo
mi = 8(me )
Resolviendo: n = 18 lados
Polígono de 18 lados
Polígono es regular:
)
n
360
(
8
n
)
2
n
(
180 



Problema Nº 02
Del enunciado:
Reemplazando por las propiedades:
Luego polígono es regular se denomina:
RESOLUCIÓN

50. Calcule el número de diagonales de un polígono
convexo, sabiendo que el total de las diagonales es
mayor que su número de lados en 75.
Resolviendo: n = 15 lados
Luego, el número total de diagonales:
2
)
3
n
(
n
ND


2
)
3
15
(
15
ND

 ND = 90
2
)
3
n
(
n 
ND = n + 75
= n + 75
n2 - 5n - 150 = 0
Problema Nº 03
Del enunciado:
Reemplazando la propiedad:
RESOLUCIÓN

51. En un polígono regular, se le aumenta un lado, la
medida de su ángulo interno aumenta en 12°;
entonces el número de vértices del polígono es:
Resolviendo: n = 5 lados
NV= 5 vértices
Polígono es regular:
Polígono original: n lados
Polígono modificado: (n+1) lados
1
n
)
2
1
n
(
180
12
n
)
2
n
(
180








Número de lados = Número de vértices
Problema Nº 04
Del enunciado:
Reemplazando por la propiedad:
RESOLUCIÓN

52. El número total de diagonales de un polígono
regular es igual al triple del número de vértices.
Calcule la medida de un ángulo central de dicho
polígono.
Resolviendo: n = 9 lados
mc = 40°
Polígono es regular:
2
)
3
n
(
n 
= 3n
Luego, la medida de un ángulo central:
n
360
m c



9
360
m c



Problema Nº 05
Del enunciado:
RESOLUCIÓN
ND = 3n
Reemplazando por la propiedad:

53. LUIS GONZALO PULGARÍN R