Clasificación de los numeros naturales.pptx

MATEMÁTICAS DISCRETAS
M.C JOSÉ SAMUEL PONCIANO REYES

SISTEMAS NUMÉRICOS
• 1.1 SISTEMAS NUMÉRICOS
(BINARIO, OCTAL, DECIMAL,
HEXADECIMAL)
• 1.2 CONVERSIONES ENTRE
SISTEMAS NUMÉRICOS
• 1.3 OPERACIONES BÁSICAS
(SUMA, RESTA,
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN)
• 1.4 APLICACIÓN DE LOS
SISTEMAS NUMÉRICOS EN LA
COMPUTACIÓN
TEMARIO Y MATRIZ DE EVALUACIÓN DE LA UNIDAD 1
Actividad Ponderación Fecha de
entrega
Examen escrito. 40 %
El alumno
realizara trabajos
en clase y de tarea
50 %
Asistencia 10 % 26 de
Febrero
2024

OBJETIVO DE LA ASIGNATURA
ESTA ASIGNATURA APORTA AL PERFIL DEL EGRESADO LOS CONOCIMIENTOS
LÓGICO-MATEMÁTICOS PARA ENTENDER, INFERIR, APLICAR Y DESARROLLAR
MODELOS MATEMÁTICOS TENDIENTES A RESOLVER PROBLEMAS EN EL ÁREA DE
LAS CIENCIAS COMPUTACIONALES.

LOS NÚMEROS REALES
COMPETENCIA: COMPRENDER LAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES PARA
RESOLVER DESIGUALDADES DE PRIMER Y DE SEGUNDO GRADO CON UNA
INCÓGNITA Y DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO, REPRESENTANDO LAS
SOLUCIONES EN LA RECTA NUMÉRICA REAL.
EL CALCULO SUSTENTA SU ESTUDIO EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES.
1.- CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES.
2.- CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS.
3.- CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES.
4.- CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES.

SUBCONJUNTOS
Números
Naturales
•1,2,3,4,5…
Números enteros
positivos
•0, 1, 2, 3 , 4,
5…
Números enteros
•-1, -2, 0 , 1, 2,
3, 4…

NÚMEROS NATURALES
LOS NÚMEROS NATURALES SON LOS NÚMEROS QUE EN LA HISTORIA DEL HOMBRE SIRVIERON PRIMERO PARA CONTAR
LOS OBJETOS Y TAMBIÉN PARA ORDENARLOS. ESTOS NÚMEROS SE INICIAN A PARTIR DEL NÚMERO 1. NO HAY UNA
CANTIDAD TOTAL O FINAL DE NÚMEROS NATURALES, SON INFINITOS. [1]
PROPIEDADES:
 1< N PARA TODO N PERTENECE A LOS NÚMEROS NATURALES.
 SI K PERTENECE A LOS NÚMEROS NATURALES SE DEFINE SU ASESOR COMO K+1 Y ADEMÁS K+1 PERTENECE A N.
 SI K PERTENECE A LOS NÚMEROS NATURALES SE DEFINE SU ANTECESOR COMO K-1 Y ADEMÁS K-1 PERTENECE A
LOS NÚMEROS NATURALES.

NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS
LOS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS SON AQUELLOS NÚMEROS NATURALES,
INCLUYENDO EL CERO.
EJEMPLO:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…

NÚMEROS ENTEROS
LOS NÚMEROS ENTEROS ABARCAN A LOS NÚMEROS NATURALES,
INCLUYENDO AL CERO Y A LOS NÚMEROS NEGATIVOS (QUE SON EL
RESULTADO DE RESTAR A UN NÚMERO NATURAL OTRO MAYOR).

NÚMEROS RACIONALES
LOS NÚMEROS RACIONALES SE DEFINEN COMO EL COCIENTE DE NÚMEROS
ENTEROS, LA CONDICIÓN ES QUE EL DENOMINADOR SEA DIFERENTE DE CERO.
TODO NUMERO RACIONAL PUEDE EXPRESARSE COMO UNA EXPANSIÓN DECIMAL
FINITA O COMO UNA EXPANSIÓN DECIMAL INFINITA PERIÓDICA.

NÚMEROS IRRACIONALES
SE DEFINEN NÚMEROS IRRACIONALES COMO AL CONJUNTO DE TODOS LOS NÚMEROS
QUE NO SON RACIONALES.
NO SE PUEDEN REPRESENTAR EN FRACCIÓN.

• NÚMEROS NATURALES: SU SÍMBOLO ES ℕ , Y SON LOS NÚMEROS QUE
NOS SIRVEN PARA CONTAR 0,1,2,3,…, .
• NÚMEROS ENTEROS: SU SÍMBOLO ES ℤ Y ESTÁ FORMADO POR LOS
NÚMEROS NATURALES Y POR SUS NEGATIVOS, QUE SON SUS
INVERSOS ADITIVOS.
ℤ = {… , −2, −1,0,1,2, … }
• NÚMEROS RACIONALES: SU SÍMBOLO ES ℚ, Y ES EL CONJUNTO DE
TODOS LOS NÚMEROS QUE SE PUEDEN ESCRIBIR COMO EL COCIENTE
ENTRE DOS NÚMEROS ENTEROS.
ℚ = {
𝑝
𝑞
: 𝑝, 𝑞𝜖ℤ, 𝑞 ≠ 0}
• NÚMEROS IRRACIONALES: SU SÍMBOLO ES Ι, Y ES EL CONJUNTO DE
TODOS LOS NÚMEROS QUE NO SE PUEDEN ESCRIBIR COMO LA RAZÓN
ENTRE DOS ENTEROS.
• NÚMERO REALES: SU SÍMBOLO ES ℝ Y ES EL CONJUNTO QUE RESULTA

SISTEMAS NUMÉRICOS QUE CONFORMAN
LOS NÚMEROS REALES (NATURALES, ENTEROS,
RACIONALES IRRACIONALES)
Números
Naturales:
Su símbolo es
ℕ , y son los
números que nos
sirven para
contar 0,1,2,3,…,
.
Números
Enteros:
Su símbolo es ℤ y
está formado por
los números
naturales y por sus
negativos
ℤ =
{… , −2, −1,0,1,2, … }
Números
Racionales:
su símbolo es ℚ, y es el
conjunto de todos los
números que se pueden
escribir como el cociente
entre dos números
enteros.
Esto es ℚ =
{
𝑝
𝑞
: 𝑝, 𝑞𝜖ℤ, 𝑞 ≠ 0}
Números
Irracionales:
su símbolo es Ι, y es el
conjunto de todos los
números que no se
pueden escribir como
la razón entre dos
enteros.
Número
Reales:
su símbolo es ℝ y es el
conjunto que resulta de
la unión de los números
Racionales con los
números irracionales.
Note que: ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ
𝕀 ⊆ ℝ
⊆ ⊆ ⊆
⊆

• ACTIVIDAD INTERACTIVA
CLASIFIQUE LOS SIGUIENTES NÚMEROS SEGÚN EL
CONJUNTO AL CUAL PERTENECEN.
2, −3, 3,
4
2
, 𝑒,
−𝜋
10
, 3,1416,
9
4
ℕ
ℤ
ℚ
𝕀
ℝ

• RETROALIMENTACIÓN
CLASIFIQUE LOS SIGUIENTES NÚMEROS SEGÚN EL
CONJUNTO AL CUAL PERTENECEN.
2, −3, 3,
4
2
, 𝑒,
−𝜋
10
, 3,1416,
9
4
−𝜋
10
9
4
9
4
−3
2
4
2
ℕ
ℤ
ℚ
𝕀
ℝ
−3
3
𝑒
3,1416
9
4

SOBRE EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES SE
DEFINEN DOS OPERACIONES: UNA SUMA Y UNA
MULTIPLICACIÓN, AMBAS OPERACIONES BINARIAS.
EJEMPLO
Operaciones de Suma y Multiplicación.
×: ℝ × ℝ → ℝ
(𝑎, 𝑏) → 𝑎 × 𝑏
+: ℝ × ℝ → ℝ
𝑎, 𝑏 → 𝑎 + 𝑏
2, −3 → 2 + −3 = −1 2, −3 → 2 × −3 = −6

• PROPIEDADES DE LA SUMA Y LA MULTIPLICACIÓN.
PROPIEDAD SUMA MULTIPLICACIÓN
Clausurativ
a
𝑎 + 𝑏𝜖ℝ 𝑎 × 𝑏𝜖 ℝ
Conmutativ
a
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎
Asociativa 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) 𝑎 × 𝑏 × 𝑐 = 𝑎 × (𝑏 × 𝑐)
Modulativa 0 es el módulo para la
suma
𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎
1 es el módulo para la
multiplicación
𝑎 × 1 = 1 × 𝑎 = 𝑎
Invertiva El inverso aditivo de 𝑎 es
− 𝑎
𝑎 + −𝑎 = 0
El inverso
multiplicativo de 𝑎 es
1
𝑎
𝑎 ×
1
𝑎
= 1 𝑠𝑖 𝑎 ≠ 0
EL 0 no tiene
inverso.
Propiedad El producto distribuye con respecto a la suma.
Si 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, entonces:

• LAS ANTERIORES PROPIEDADES SON LAS LEYES, LAS REGLAS, LAS
NORMAS QUE GOBIERNAN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS
REALES.
• TENER UNA BUENA CONCEPTUALIZACIÓN DE ELLAS AYUDARÁ A
NO COMETER ERRORES DE TIPO ALGEBRAICO.
𝑥+5
𝑥
= 5 𝑜 (𝑎 + 𝑏)2= 𝑎2 + 𝑏2
• A PARTIR DE ELLAS SE PUEDEN DEMOSTRAR MÁS PROPIEDADES
DE LOS NÚMEROS REALES. POR EJEMPLO A PARTIR DE ELLAS SE
PUEDE MOSTRAR QUE TODO NÚMERO MULTIPLICADO POR 0 ES
IGUAL A 0.
NOO!!!

A PARTIR DE ELLAS SE PUEDEN DEMOSTRAR MÁS PROPIEDADES DE LOS
NÚMEROS REALES. POR EJEMPLO A PARTIR DE ELLAS SE PUEDE MOSTRAR
QUE TODO NÚMERO MULTIPLICADO POR 0 ES IGUAL A 0.
VEAMOS:
TEOREMA: 𝑆𝑖 𝑎 𝜖 ℝ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 ∙ 0 = 0
DEMOSTRACIÓN:
𝑎 ∙ 0 = 𝑎 ⋅ 0 + 0 PROPIEDAD
MODULATIVA
𝑎 ∙ 0 = 𝑎 ⋅ 0 + 0 = 𝑎 ∙ 0 + 𝑎 ∙ 0 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣A
𝑎 ∙ 0 + −𝑎 ∙ 0 = 𝑎 ∙ 0 + 𝑎 ∙ 0 + −𝑎 ∙ 0 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑣𝑎
0 = 𝑎 ∙ 0 + (𝑎 ∙ 0 + −𝑎 ∙ 0 ) 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
0 = 𝑎 ∙ 0 + 0 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑣𝑎
0 = 𝑎 ∙0 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

• ACTIVIDAD INTERACTIVA
PARA CADA UNA DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES
MENCIONE LA PROPIEDAD DE LOS NÚMERO REALES QUE
SE USA:
EXPRESIÓN PROPIEDAD
𝑥 + 8 = 8 + 𝑥
2 𝑦 − 3 = 𝑦 − 3 2
7 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 7 𝑎 + 𝑏 + 7𝑐
𝜋
5
∙
1
𝜋
5
= 1
𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑥 + 𝑎 𝑏

• RETROALIMENTACIÓN
EXPRESIÓN PROPIEDAD
𝑥 + 8 = 8 + 𝑥 Conmutativa para la suma
2 𝑦 − 3 = 𝑦 − 3 2 Conmutativa para la
multiplicación
7 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 7 𝑎 + 𝑏 + 7𝑐 Distributiva
𝜋
5
∙
1
𝜋
5
= 1
Invertiva para la multiplicación
𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑥 + 𝑎 𝑏 Distributiva

• LA SUSTRACCIÓN O RESTA ES UNA SUMA Y LA DIVISIÓN ES UNA
MULTIPLICACIÓN.
DADOS 𝑎 𝑦 𝑏 NÚMEROS REALES:
• LA RESTA SE DEFINE COMO: 𝑎 − 𝑏 ≔ 𝑎 + (−𝑏)
ES DECIR 𝑎 − 𝑏 SE DEFINE COMO 𝑎 MÁS EL INVERSO ADITIVO DE 𝑏
• Y LA DIVISIÓN SE DEFINE COMO: 𝑎 ÷ 𝑏 ≔ 𝑎 ×
1
𝑏
ES DECIR 𝑎 ÷ 𝑏 SE DEFINE COMO 𝑎 MULTIPLICADO POR EL INVERSO
MULTIPLICATIVO DE 𝑏
¡AHORA ES CLARO NO SE PUEDE DIVIDIR ENTRE 0 PORQUE 0 NO TIENE
INVERSO MULTIPLICATIVO.!
Sustracción y división

1. −1 𝑎 = −𝑎
2. − −𝑎 = 𝑎
3. −𝑎 𝑏 = 𝑎 −𝑏 = − 𝑎𝑏
4. −𝑎 −𝑏 = 𝑎𝑏
5. − 𝑎 + 𝑏 = −𝑎 − 𝑏
6. − 𝑎 − 𝑏 − 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 − 𝑎
Propiedades de los números negativos

RECTA REAL Y RELACIÓN DE ORDEN
• EL CONJUNTO DE TODOS LOS NÚMEROS REALES SE
PUEDE REPRESENTAR GEOMÉTRICAMENTE SOBRE UNA
RECTA QUE SE CONOCE COMO LA RECTA REAL.
• A CADA NÚMERO REAL LE CORRESPONDE UN ÚNICO
PUNTO SOBRE LA RECTA Y VICEVERSA A CADA PUNTO
SOBRE LA RECTA LE CORRESPONDE UN ÚNICO
NÚMERO REAL.
• PARA CONSTRUIR LA RECTA REAL SE PROCEDE DE LA
SIGUIENTE MANERA:
1. SE TOMA UNA RECTA HORIZONTAL Y SE ELIGE UN
PUNTO SOBRE ESA RECTA EN EL CUAL SE UBICARÁ
0

2. LUEGO SE TOMA UNA LONGITUD Y SE MIDE ESTA
LONGITUD DESDE EL 0 HACIA LA DERECHA PARA UBICAR
EL NÚMERO 1.
3. SE SIGUE MIDIENDO ESTA LONGITUD HACIA LA
DERECHA DEL 1 Y SE UBICA EL 2, SUCESIVAMENTE EL
3,4,5,…, Y HACIA LA IZQUIERDA DEL 0 LOS NÚMEROS
NEGATIVOS.
4. PARA UBICAR UN NÚMERO RACIONAL
𝑝
𝑞
, SE DIVIDE LA
UNIDAD EN 𝑞 PARTES Y SE TOMAN 𝑝 UNIDADES A LA
DERECHA SI 𝑝 ES POSITIVO Y A LA IZQUIERDA SI 𝑝 ES
NEGATIVO. POR EJEMPLO: ½ Y − 3/4
0 1
0 1 2
-
1
-
2
0 1 2
-
- 1
−3
4

5. PARA UBICAR NÚMEROS IRRACIONALES EL
PROCESO SERIA MÁS COMPLEJO, SE TENDRÍA QUE
UTILIZAR SU EXPANSIÓN DECIMAL, UBICAR EL
ENTERO, LUEGO LAS DÉCIMAS, LAS CENTÉSIMAS,
LAS MILÉSIMAS, ETC, ES UN PROCESO QUE NO
TERMINARÍA.
• CON LA AYUDA DE LA GEOMETRÍA
(CONCRETAMENTE TEOREMA DE PITÁGORAS) SE
PUEDEN UBICAR EXACTAMENTE ALGUNOS
IRRACIONALES. EN EL SIGUIENTE VIDEO PUEDEN
ENCONTRAR MÁS INFORMACIÓN.
HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=YEGWVJZC
RXK
0
1 2
-1
-2 1
2
−3
4 2
2

Actividad Interactiva
Ubique los siguientes números en la
recta real:
2, −3,
−3
2
,
8
6
, 3
0 1 2
-1
-2

Retroalimentación.
Ubique los siguientes números en la
recta real:
2, −3,
−3
2
,
8
6
, 3
0 1 2
-1
-2
-3 -
3/2
8/
6
3

RELACIÓN DE ORDEN EN EL
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS
REALES
Dados 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ se define la siguiente relación de orden:
𝑎 ≤ 𝑏 ↔ 𝑏 − 𝑎 es no negativo
Geométricamente 𝑎 ≤ 𝑏 significa que 𝑎 está a la
Izquierda de 𝑏 en la recta numérica o que 𝑎 = 𝑏

RELACIÓN DE ORDEN EN EL CONJUNTO DE
LOS NÚMEROS REALES
• LEY DE TRICOTOMIA:
• 𝐷𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑎 𝑦 𝑏 𝑛Ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑒𝑠
𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎 𝑦 𝑏:
i) 𝑎 < 𝑏 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑏
ii) 𝑏 < 𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑏 𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑎
iii) 𝑎 = 𝑏 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑏

POR EJEMPLO:
0 1 2
-
1
-
2
-
3
-
3/
2
8/
6
3
 −3 < −2 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 − 2 − −3 = −2 + 3 = 1 𝑑𝑎 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜.
 1,2 < 1,3 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 1,3 − 1,2 = 0,1 𝑑𝑎 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜.
 −
3
2
< −1 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 − 1 − −
3
2
=
1
2
𝑑𝑎 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜.
 5 > −1 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 5 − −1 = 6 𝑑𝑎 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜.
 3 >
8
6
𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 3 = 1,73205080 … 𝑦
8
6
= 1,33333 … = 1, 3 .
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 3 −
8
6
= 0,398717 … 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜

EJERCICIOS INTERACTIVOS
Coloque el símbolo <, > 𝑜 =, según corresponda
10
3
3,3 π 3,1415
2 1,4143
2
3
0, 6
10
11
12
13
−
22
7
− 3

RETROALIMENTACIÓN EJERCICIOS
INTERACTIVOS
Coloque el símbolo <, > 𝑜 =, según corresponda
1
3
> 3,3 π > 3,1415
2 < 1,413
2
3
= 0, 6
10
11
>
12
13
−
22
7
< −3

INTERVALOS
¿QUÉ ES UN INTERVALO?
UN INTERVALO ES LA REPRESENTACIÓN DE UN SUBCONJUNTO DE NÚMEROS
REALES DE LA RECTA NUMÉRICA.

CLASIFICACIÓ
N, NOTACIÓN
Y
NOMENCLAT
URA DE LOS
TIPOS DE
INTERVALOS.

EJEMPLOS
Dibuje en la recta numérica los siguientes intervalos, escríbalos en notación de
desigualdad y mencione de que tipo de intervalo se trata.
(2,5)
[-2,5]
(-1,4]
[3,8)

EJERCICIOS:
Dibuje en la recta numérica los siguientes intervalos, escríbalos en
notación de desigualdad y mencione de que tipo de intervalo se trata.
• [5/4 , 6)
• (-2 , 1/2]
• [-1 , 4]
• (0 , 4)
• [5 , +∞)
• (-∞ , 5]

Ejercicios: Escriba cada enunciado en
términos de desigualdades
 x es positiva
t es menor que 4
a es menor que 0 o igual que pi
x es menor que 6 y es mayor igual que -5
la distancia después de p hasta 3 es cuando mucho 5

OPERACIONES CON INTERVALOS
𝑨 ∪ 𝑩 Unión de A con B. Contiene todos los
elementos de A más todos los elementos de B.
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 𝜖 𝐴 ó 𝑥 𝜖 𝐵}
-4 -3 2 3
Ejemplo:
A=[-4;2) y B=[-3;3). Calcular 𝐴 ∪ 𝐵
𝐴 ∪ 𝐵 = [−4; 3)
𝐴 ∪ 𝐵
UNIÓN DE INTERVALOS

𝑨 ∩ 𝑩 Intersección de A con B. Contiene todos
los elementos que son comunes a A y a B.
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 𝜖 𝐴 𝑦 𝑥 𝜖 𝐵}
-4 -3 2 3
Ejemplo:
A=[-4;2) y B=[-3;3). Calcular 𝐴 ∩ 𝐵
𝐴 ∩ 𝐵 = [−3; 2)
𝐴 ∩ 𝐵
INTERSECCIÓN DE INTERVALOS

𝑨 − 𝑩 Diferencia A menos B. Contiene todos
los elementos que están en A, pero que no se
encuentran en B.
𝐴 − 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 𝜖 𝐴 𝑦 𝑥 ∉ 𝐵}
-4 -3 2 3
Ejemplo:
A=[-4;2) y B=[-3;3). Calcular 𝐴 − 𝐵
𝐴 − 𝐵 = [−4; −3)
𝐴 − 𝐵
DIFERENCIA DE INTERVALOS
Nota: 𝐀 − 𝐁 ≠ 𝑩 − 𝑨

𝑨´ Complemento de A. Contiene todos los
elementos que no se encuentran en A. También
puede definirse como ℝ-A.
𝐴′ = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ∉ 𝐴}
-4 2
Ejemplo:
A=[-4;2) Calcular 𝐴′
𝐴 ∩ 𝐵 = (−∞; −4] ∪ [2; +∞)
𝐴′ 𝐴′
COMPLEMENTO DE INTERVALOS

𝑨𝑩 A diferencia simétrica de B. Contiene
todos los elementos que pertenecen a A-B o B-
A.
𝐴∆𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ∈ 𝐴 − 𝐵 ˅ 𝑥 ∈ 𝐴 − 𝐵}
Ejemplo:
DIFERENCIA SIMÉTRICA
A=[-4;2) y B=[-3;3). Calcular 𝐴∆𝐵
-4 -3 2 3
𝐴∆𝐵 = [−4; −3) ∪ [2; 3)
𝐴∆𝐵 A∆𝐵

OPERACIONES CON LOS EXTREMOS DE LOS
INTERVALOS
Fuente: http://guillermoquinonesdiaz.blogspot.pe/2014/05/operaciones-con-
intervalos-reunion.html

RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:
𝐴 = −4,4 𝐵 = 0,8
 𝐀𝐔𝐁
 A-B
 B-A
 AnB

1. Considere los siguientes intervalos:
A = [-3, 3] ; B = (-3, 3) ; C = [-1, 4] ; D = (-4, 5].
Dibujar sobre la recta real y escribir con
notación de intervalo el resultado de las
siguientes operaciones:
a) 𝐴′
∩ 𝐵 − 𝐶 ′
b) 𝐷𝑈(𝐶 ∩ 𝐴′
)′
c) C-D

EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1) Expresar el siguiente conjunto en forma de intervalo, y
represéntalo gráficamente. F = [-8;6[ – {0; 5}

EJERCICIOS EXPLICATIVOS
4) Dados los conjuntos
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≤ 0 ∨ 𝑥 > 2}
𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 > 3 ∨ 𝑥 < 1}
Hallar:
𝐴 ∪ 𝐵
𝐴′ − 𝐵′
𝐴 ∪ 𝐵 ′
− (𝐵′
− 𝐴′)

DEFINICIONES
FUNDAMENTALES Y
EJEMPLOS

DEFINICIÓN DE INECUACIÓN
UNA INECUACIÓN ES UNA
DESIGUALDAD QUE CONTIENE
VARIABLES.

REFLEXIÓN…
• UNA DESIGUALDAD EXPRESA CANTIDADES QUE NO SON IGUALES.
• SI DOS CANTIDADES NO SON IGUALES ENTONCES UNA ES MAYOR O MENOR QUE
LA OTRA.
• LOS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS QUE SE USAN PARA INDICAR CANTIDADES QUE
NO SON IGUALES SON:
> SIGNIFICA “MAYOR QUE”
< SIGNIFICA “MENOR QUE”
 SIGNIFICA “MENOR O IGUAL”
 SIGNIFICA “MAYOR O IGUAL”

GRÁFICA DE LA SOLUCIÓN DE UNA
INECUACIÓN
X > 3
X < 3
X  3
X  3
-3 < X < 3
-3  X  3
-3 < X  3
-3  X < 3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4
Cuando temenos  ó  se ennegrece el punto ya que se incluye ese valor. Si dice
> ó < no incluye el valor, por tanto no se ennegrece.

INECUACIÓN
X > 3
X < 3
X  3
X  3
-3 < X < 3
-3  X  3
-3 < X  3
-3  X < 3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
4
Compara la forma que tiene la gráfica de la solución de una doble inecuación y la
forma de una inecuación sencilla.

INECUACIÓN
X > 3
X < 3
X  3
X  3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
Observa que para poder trazar la gráfica de una inecuación
sencilla necesitamos tener la variable en el lado izquierdo, de
manera que se pueda leer el valor de la variable.

INECUACIÓN
-3 < X < 3
-3  X  3
-3 < X  3
-3  X < 3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
Observa que para poder trazar la gráfica de una inecuación doble
necesitamos tener la variable en el centro, de manera que se pueda leer el
valor de la variable. Se lee “x está entre -3 y 3”, “sin incluir a”, si solo es
“menor que” o “incluyendo a ” si es “menor o igual”.

PROPIEDADES DE LAS
DESIGUALDADES

• ADITIVA DE LA DESIGUALDAD:
SI A < B Y C ES CUALQUIER NÚMERO REAL,
ENTONCES:
A + C < B + C
• MULTIPLICATIVA DE LA DESIGUALDAD:
SI A < B Y C ES POSITIVO, ENTONCES: A . C
< B . C
SI A < B Y C ES NEGATIVO, ENTONCES: A . C
> B . C
Observa que cuando se multiplica o divide por un negativo el signo de la desigualdad
cambia de dirección.
Si es > cambia a < . Si es < cambia a >.

CÓMO SE RESUELVEN LAS
INECUACIONES

EJEMPLO 1: RESUELVE Y TRAZA LA GRÁFICA
4X – 4  8
4X  8 + 4
4X  12
4X  12
4 4
X  3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-2X + 8  6
-2X  6 – 8
-2X  -2
-2X  -2
-2 -2
X  1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

1 < X - 8 < 4
1 + 8 < X < 4 + 8
9 < X < 12
6 7 8 9 10 11 12 13 14

25 > -5X > 10
25 > -5X > 10
-5 -5 -5
-5 < X < -2
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

2  2X + 6  4
2 – 6  2X  4 – 6
-4  2X  - 2
-4  2X  - 2
2 2 2
-2  X  -1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

EJERCICIOS: RESUELVE LAS SIGUIENTES
INECUACIONES Y TRAZA LA GRÁFICA.
1. X + 3 >-1 *
2. 3 (X – 2) > 5X + 8 *
3. ½ (4X + 14) < 3X – 6
4. 4 – 2Y > 2Y -3
3 3
5. 1 < X + 5 < 7
6. -3 2X – 7 < 7 *

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