Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad como espacios de probabilidad, eventos y funciones de probabilidad. Define un espacio de probabilidad como una tripleta (L, E, P) donde L es un espacio muestral, E es un conjunto de subconjuntos de eventos y P es una función de probabilidad. Explica estos conceptos con un ejemplo de lanzar una moneda y posibles funciones de probabilidad. Luego cubre conceptos como probabilidad condicional y la regla de Bayes.
Este documento presenta las competencias, indicadores de aprendizaje, niveles de complejidad y ponderaciones para dos unidades. La Unidad I evalúa la comprensión de cartas, biografías, currículums vitae y su habilidad para interpretar ideas. La Unidad II evalúa la comprensión de sinonimia, antonimia, fichas bibliográficas, recetas e instructivos. En total, hay 18 reactivos para evaluar estas competencias.
Este documento presenta un libro sobre la administración avanzada de Windows 7. El libro enseña a los lectores cómo aprovechar al máximo las características y herramientas de Windows 7 para convertirse en administradores profesionales. A través de sus páginas, los lectores aprenderán sobre temas avanzados como la instalación, configuración, seguridad, rendimiento y solución de problemas de Windows 7. El libro también cubre el uso de aplicaciones, redes, hardware y herramientas administrativas.
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Este documento resume los contenidos de un libro sobre soluciones a problemas comunes en computadoras. El libro explica cómo resolver fallas en sistemas operativos como Windows Vista y XP, problemas con aplicaciones como Microsoft Office, y dificultades con hardware, imágenes, audio y correo electrónico. Además, ofrece consejos sobre sistemas mixtos, rendimiento, seguridad y almacenamiento.
Este documento proporciona una introducción y resumen del contenido de un libro sobre seguridad informática. Explica que el libro enseña a los lectores a configurar las herramientas de seguridad necesarias para proteger su computadora y red, incluyendo la instalación de antivirus, protección contra spyware y malware, configuración de firewall y red Wi-Fi, y establecimiento de políticas de seguridad y privacidad. El resumen también incluye una lista de los capítulos que cubren estos temas de seguridad paso a paso.
Este documento habla sobre la importancia de la privacidad y la seguridad de los datos en la era digital. Explica que debido al gran volumen de datos personales que se comparten en línea, es crucial que las empresas protejan esta información de manera responsable para mantener la confianza de los clientes.
Este documento presenta un libro sobre robótica que enseña a construir robots desde cero. Explica los conceptos básicos de robótica e inteligencia de robots, así como los componentes necesarios para construir robots autónomos capaces de percibir su entorno y generar movimiento. El libro guía al lector a través de cada paso teórico y práctico para el armado y programación de un robot.
Este documento proporciona una introducción a cómo convertir una PC en un estudio de grabación musical profesional utilizando herramientas gratuitas tanto en Windows como en Linux. Explica cómo diseñar el espacio de trabajo, el proceso de grabación digital, software recomendado como secuenciadores y editores de audio, y consejos sobre hardware, sistemas operativos e instalación. El objetivo final es aprender a grabar, mezclar e incluso masterizar canciones de forma casera.
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1. Probabilidad y Estad´
ıstica
Conceptos b´sicos, probabilidad condicional, regla de la cadena
a
y regla de Bayes
Dr. H´ctor Avil´s
e e
Ingenier´ en Tecnolog´ de la Informaci´n
ıa ıas o
Universidad Polit´cnica de Victoria
e
Cd. Victoria Tamaulipas
Enero-Abril 2012
2. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Contenido
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Probabilidad condicional
Probabilidad total y la regla de Bayes
H. Avil´s
e UPV
2/71
3. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Contenido
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Probabilidad condicional
Probabilidad total y la regla de Bayes
H. Avil´s
e UPV
3/71
4. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
“La probabilidad no es m´s que sentido com´n reducido a c´lculos”
a u a
Pierre Sim´n Laplace 1749 - 1827.
o
Teor´ anal´
ıa ıtica de probabilidad, 1820.
H. Avil´s
e UPV
4/71
5. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
La probabilidad tiene que ver con la posibilidad o verosimilitud
de la ocurrencia de eventos
H. Avil´s
e UPV
5/71
6. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
La probabilidad tiene que ver con la posibilidad o verosimilitud
de la ocurrencia de eventos
Frases como “Estoy casi seguro que llover´ hoy” o “Tenemos
a
un 90% de probabilidad de ganar el juego” son comunes en
nuestro lenguaje cotidiano
H. Avil´s
e UPV
5/71
7. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
La probabilidad tiene que ver con la posibilidad o verosimilitud
de la ocurrencia de eventos
Frases como “Estoy casi seguro que llover´ hoy” o “Tenemos
a
un 90% de probabilidad de ganar el juego” son comunes en
nuestro lenguaje cotidiano
Desafortunadamente, declaraciones as´ suelen no tener m´s
ı a
sustento que nuestra propia creencia
H. Avil´s
e UPV
5/71
8. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
La probabilidad tiene que ver con la posibilidad o verosimilitud
de la ocurrencia de eventos
Frases como “Estoy casi seguro que llover´ hoy” o “Tenemos
a
un 90% de probabilidad de ganar el juego” son comunes en
nuestro lenguaje cotidiano
Desafortunadamente, declaraciones as´ suelen no tener m´s
ı a
sustento que nuestra propia creencia
Con la teor´ de probabilidad podemos sistematizar tales
ıa
afirmaciones a trav´s de un conjunto de axiomas o reglas de
e
operaci´n, un espacio muestral y eventos con probabilidades
o
relacionadas a ellos
H. Avil´s
e UPV
5/71
9. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Un espacio de probabilidad es una tripleta (L, E , P) donde:
H. Avil´s
e UPV
6/71
10. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Un espacio de probabilidad es una tripleta (L, E , P) donde:
L es un espacio muestral no vac´
ıo
H. Avil´s
e UPV
6/71
11. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Un espacio de probabilidad es una tripleta (L, E , P) donde:
L es un espacio muestral no vac´
ıo
E es un conjunto de subconjuntos de L (e.g., si L es discreto,
E podr´ ser el conjunto potencia de L)
ıa
H. Avil´s
e UPV
6/71
12. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Un espacio de probabilidad es una tripleta (L, E , P) donde:
L es un espacio muestral no vac´ ıo
E es un conjunto de subconjuntos de L (e.g., si L es discreto,
E podr´ ser el conjunto potencia de L)
ıa
P es una funci´n que retorna valores de probabilidad para los
o
eventos en E en el intervalo [0, 1]. (Si la probabilidad de un
evento es 0, ´ste nunca ocurre; si es 1, ocurre con toda
e
seguridad)
H. Avil´s
e UPV
6/71
13. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Un espacio de probabilidad es una tripleta (L, E , P) donde:
L es un espacio muestral no vac´ ıo
E es un conjunto de subconjuntos de L (e.g., si L es discreto,
E podr´ ser el conjunto potencia de L)
ıa
P es una funci´n que retorna valores de probabilidad para los
o
eventos en E en el intervalo [0, 1]. (Si la probabilidad de un
evento es 0, ´ste nunca ocurre; si es 1, ocurre con toda
e
seguridad)
Sea A ∈ E , 0 ≤ P(A) ≤ 1
H. Avil´s
e UPV
6/71
14. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Un espacio de probabilidad es una tripleta (L, E , P) donde:
L es un espacio muestral no vac´ ıo
E es un conjunto de subconjuntos de L (e.g., si L es discreto,
E podr´ ser el conjunto potencia de L)
ıa
P es una funci´n que retorna valores de probabilidad para los
o
eventos en E en el intervalo [0, 1]. (Si la probabilidad de un
evento es 0, ´ste nunca ocurre; si es 1, ocurre con toda
e
seguridad)
Sea A ∈ E , 0 ≤ P(A) ≤ 1
P(L) = 1
H. Avil´s
e UPV
6/71
15. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Un espacio de probabilidad es una tripleta (L, E , P) donde:
L es un espacio muestral no vac´ ıo
E es un conjunto de subconjuntos de L (e.g., si L es discreto,
E podr´ ser el conjunto potencia de L)
ıa
P es una funci´n que retorna valores de probabilidad para los
o
eventos en E en el intervalo [0, 1]. (Si la probabilidad de un
evento es 0, ´ste nunca ocurre; si es 1, ocurre con toda
e
seguridad)
Sea A ∈ E , 0 ≤ P(A) ≤ 1
P(L) = 1
P(∅) = 0
H. Avil´s
e UPV
6/71
16. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda,
entonces
H. Avil´s
e UPV
7/71
17. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda,
entonces
L = {´guila, sol}
a
H. Avil´s
e UPV
7/71
18. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda,
entonces
L = {´guila, sol}
a
E = {∅, {´guila}, {sol}, {´guila,sol}}. Dos eventos posibles son
a a
A el evento “que resulte ´guila” (A = {´guila}) y B el evento
a a
“el resultado es sol” (B = {sol})
H. Avil´s
e UPV
7/71
19. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda,
entonces
L = {´guila, sol}
a
E = {∅, {´guila}, {sol}, {´guila,sol}}. Dos eventos posibles son
a a
A el evento “que resulte ´guila” (A = {´guila}) y B el evento
a a
“el resultado es sol” (B = {sol})
Para definir la funci´n P tenemos diferentes opciones:
o
H. Avil´s
e UPV
7/71
20. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda,
entonces
L = {´guila, sol}
a
E = {∅, {´guila}, {sol}, {´guila,sol}}. Dos eventos posibles son
a a
A el evento “que resulte ´guila” (A = {´guila}) y B el evento
a a
“el resultado es sol” (B = {sol})
Para definir la funci´n P tenemos diferentes opciones:
o
1 P1 (A) = 0.5 y P1 (B) = 0.5, P1 (∅) = 0, P1 (A ∪ B) = 1, o
´
H. Avil´s
e UPV
7/71
21. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda,
entonces
L = {´guila, sol}
a
E = {∅, {´guila}, {sol}, {´guila,sol}}. Dos eventos posibles son
a a
A el evento “que resulte ´guila” (A = {´guila}) y B el evento
a a
“el resultado es sol” (B = {sol})
Para definir la funci´n P tenemos diferentes opciones:
o
1 P1 (A) = 0.5 y P1 (B) = 0.5, P1 (∅) = 0, P1 (A ∪ B) = 1, o
´
2 P2 (A) = 0.7 y P2 (B) = 0.3, P2 (∅) = 0, P2 (A ∪ B) = 1, o
´
H. Avil´s
e UPV
7/71
22. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda,
entonces
L = {´guila, sol}
a
E = {∅, {´guila}, {sol}, {´guila,sol}}. Dos eventos posibles son
a a
A el evento “que resulte ´guila” (A = {´guila}) y B el evento
a a
“el resultado es sol” (B = {sol})
Para definir la funci´n P tenemos diferentes opciones:
o
1 P1 (A) = 0.5 y P1 (B) = 0.5, P1 (∅) = 0, P1 (A ∪ B) = 1, o
´
2 P2 (A) = 0.7 y P2 (B) = 0.3, P2 (∅) = 0, P2 (A ∪ B) = 1, o
´
3 P3 (A) = 0.4 y P3 (B) = 0.6, P3 (∅) = 0, P3 (A ∪ B) = 1, o
´
H. Avil´s
e UPV
7/71
23. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda,
entonces
L = {´guila, sol}
a
E = {∅, {´guila}, {sol}, {´guila,sol}}. Dos eventos posibles son
a a
A el evento “que resulte ´guila” (A = {´guila}) y B el evento
a a
“el resultado es sol” (B = {sol})
Para definir la funci´n P tenemos diferentes opciones:
o
1 P1 (A) = 0.5 y P1 (B) = 0.5, P1 (∅) = 0, P1 (A ∪ B) = 1, o
´
2 P2 (A) = 0.7 y P2 (B) = 0.3, P2 (∅) = 0, P2 (A ∪ B) = 1, o
´
3 P3 (A) = 0.4 y P3 (B) = 0.6, P3 (∅) = 0, P3 (A ∪ B) = 1, o
´
4 ...
H. Avil´s
e UPV
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24. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Las unicas restricciones para especificar E es que no sea vac´
´ ıo,
sea cerrado bajo complemento y uni´n (e.g., {sol} = {´guila}
o a
y ({sol} ∪ {´guila}) = {sol, ´guila})
a a
H. Avil´s
e UPV
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25. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Las unicas restricciones para especificar E es que no sea vac´
´ ıo,
sea cerrado bajo complemento y uni´n (e.g., {sol} = {´guila}
o a
y ({sol} ∪ {´guila}) = {sol, ´guila})
a a
En la pr´ctica frecuentemente podemos omitir la definici´n de
a o
E si se precisan los eventos de inter´s
e
H. Avil´s
e UPV
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26. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Las unicas restricciones para especificar E es que no sea vac´
´ ıo,
sea cerrado bajo complemento y uni´n (e.g., {sol} = {´guila}
o a
y ({sol} ∪ {´guila}) = {sol, ´guila})
a a
En la pr´ctica frecuentemente podemos omitir la definici´n de
a o
E si se precisan los eventos de inter´s
e
En algunos problemas pr´cticos s´lo conoceremos las
a o
probabilidades para eventos simples; sin embargo, el resto se
puede inferir
H. Avil´s
e UPV
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27. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Las unicas restricciones para especificar E es que no sea vac´
´ ıo,
sea cerrado bajo complemento y uni´n (e.g., {sol} = {´guila}
o a
y ({sol} ∪ {´guila}) = {sol, ´guila})
a a
En la pr´ctica frecuentemente podemos omitir la definici´n de
a o
E si se precisan los eventos de inter´s
e
En algunos problemas pr´cticos s´lo conoceremos las
a o
probabilidades para eventos simples; sin embargo, el resto se
puede inferir
En el ejemplo anterior siendo A y B exhaustivos
colectivamente (es decir, A ∪ B = L) y disjuntos entre s´
ı
(A ∩ B) = ∅, se tiene que
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0.5 + 0.5 = 1 = P(L)
H. Avil´s
e UPV
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28. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Hay tres formas b´sicas para asignar probabilidades (i.e., para
a
definir P):
H. Avil´s
e UPV
9/71
29. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Hay tres formas b´sicas para asignar probabilidades (i.e., para
a
definir P):
Por enfoque frecuentista, de estimaci´n, o experiencia, cuando
o
se ha observado que un suceso B ha ocurrido mB veces de un
total de m repeticiones (i.e., P(B) = mB )
m
H. Avil´s
e UPV
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30. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Hay tres formas b´sicas para asignar probabilidades (i.e., para
a
definir P):
Por enfoque frecuentista, de estimaci´n, o experiencia, cuando
o
se ha observado que un suceso B ha ocurrido mB veces de un
total de m repeticiones (i.e., P(B) = mB )
m
Por enfoque cl´sico o a priori cuando un suceso A puede
a
ocurrir de nA formas de un total de n maneras posibles en el
espacio muestral (i.e., P(A) = nnA )
H. Avil´s
e UPV
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31. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Hay tres formas b´sicas para asignar probabilidades (i.e., para
a
definir P):
Por enfoque frecuentista, de estimaci´n, o experiencia, cuando
o
se ha observado que un suceso B ha ocurrido mB veces de un
total de m repeticiones (i.e., P(B) = mB )
m
Por enfoque cl´sico o a priori cuando un suceso A puede
a
ocurrir de nA formas de un total de n maneras posibles en el
espacio muestral (i.e., P(A) = nnA )
De manera subjetiva (i.e., suposici´n o creencia personal)
o
H. Avil´s
e UPV
9/71
32. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Como ejemplo del enfoque frecuentista, se dice que un
matem´tico adinerado pidi´ a sus trabajadores lanzar
a o
monedas miles de veces, cayendo “sol” aproximadamente la
mitad de las veces
H. Avil´s
e UPV
10/71
33. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Como ejemplo del enfoque frecuentista, se dice que un
matem´tico adinerado pidi´ a sus trabajadores lanzar
a o
monedas miles de veces, cayendo “sol” aproximadamente la
mitad de las veces
Si elegimos el m´todo cl´sico, que caiga “cara” es uno de dos
e a
resultados posibles del espacio muestral, entonces su
probabilidad es 1 = 0.5
2
H. Avil´s
e UPV
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34. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Como ejemplo del enfoque frecuentista, se dice que un
matem´tico adinerado pidi´ a sus trabajadores lanzar
a o
monedas miles de veces, cayendo “sol” aproximadamente la
mitad de las veces
Si elegimos el m´todo cl´sico, que caiga “cara” es uno de dos
e a
resultados posibles del espacio muestral, entonces su
probabilidad es 1 = 0.5
2
En el mismo ejemplo, las opciones 2 y 3 se eligieron por
suposici´n (la moneda podr´ no ser “justa”)
o ıa
H. Avil´s
e UPV
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35. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
En general, al definir un espacio de probabilidad creamos un
modelo matem´tico cuya precisi´n y utilidad debe contrastarse con
a o
la realidad
H. Avil´s
e UPV
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36. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Hechos importantes
a
Para cualquier n´mero de sucesos A1 , A2 , ..., An donde cada
u
Ai ∈ E y ∀i=j Ai ∩ Aj = ∅,
P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + ... + P(An )
H. Avil´s
e UPV
12/71
37. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Hechos importantes
a
Para cualquier n´mero de sucesos A1 , A2 , ..., An donde cada
u
Ai ∈ E y ∀i=j Ai ∩ Aj = ∅,
P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + ... + P(An )
Si adem´s son exhaustivos colectivamente, es decir,
a
(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = L, entonces
P(A1 ∪A2 ∪...∪An ) = P(L) = P(A1 )+P(A2 )+...+P(An ) = 1
H. Avil´s
e UPV
12/71
38. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Hechos importantes
a
Para cualquier n´mero de sucesos A1 , A2 , ..., An donde cada
u
Ai ∈ E y ∀i=j Ai ∩ Aj = ∅,
P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + ... + P(An )
Si adem´s son exhaustivos colectivamente, es decir,
a
(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = L, entonces
P(A1 ∪A2 ∪...∪An ) = P(L) = P(A1 )+P(A2 )+...+P(An ) = 1
Si A1 ⊂ A2 , entonces P(A1 ) ≤ P(A2 ) y
P(A2 − A1 ) = P(A2 ) − P(A1 )
H. Avil´s
e UPV
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39. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Hechos importantes
a
Para cualquier n´mero de sucesos A1 , A2 , ..., An donde cada
u
Ai ∈ E y ∀i=j Ai ∩ Aj = ∅,
P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = P(A1 ) + P(A2 ) + ... + P(An )
Si adem´s son exhaustivos colectivamente, es decir,
a
(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = L, entonces
P(A1 ∪A2 ∪...∪An ) = P(L) = P(A1 )+P(A2 )+...+P(An ) = 1
Si A1 ⊂ A2 , entonces P(A1 ) ≤ P(A2 ) y
P(A2 − A1 ) = P(A2 ) − P(A1 )
P(A ) = 1 − P(A)
H. Avil´s
e UPV
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40. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Hechos importantes
a
Si A y B son dos sucesos cualesquiera (v´lido para cuando son
a
o no disjuntos), entonces
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
H. Avil´s
e UPV
13/71
41. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Hechos importantes
a
Si A y B son dos sucesos cualesquiera (v´lido para cuando son
a
o no disjuntos), entonces
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C ) − P(A ∩ B)
−P(B ∩ C ) − P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C )
H. Avil´s
e UPV
13/71
42. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Hechos importantes
a
Si A y B son dos sucesos cualesquiera (v´lido para cuando son
a
o no disjuntos), entonces
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C ) − P(A ∩ B)
−P(B ∩ C ) − P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C )
Para dos sucesos A y B, P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B )
H. Avil´s
e UPV
13/71
43. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Hechos importantes
a
Si A y B son dos sucesos cualesquiera (v´lido para cuando son
a
o no disjuntos), entonces
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C ) − P(A ∩ B)
−P(B ∩ C ) − P(C ∩ A) + P(A ∩ B ∩ C )
Para dos sucesos A y B, P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B )
Generalizando, si un suceso A puede resultar en uno de los
sucesos mutuamente excluyentes A1 , A2 , ..., An entonces
P(A) = P(A ∩ A1 ) + P(A ∩ A2 ) + ... + P(A ∩ An )
H. Avil´s
e UPV
13/71
44. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado:
H. Avil´s
e UPV
14/71
45. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado:
L = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
H. Avil´s
e UPV
14/71
46. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado:
L = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Podemos definir los eventos simples A1 , A2 , A3 , ... como los
eventos en que resulte 1, 2, 3..., respectivamente
H. Avil´s
e UPV
14/71
47. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado:
L = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Podemos definir los eventos simples A1 , A2 , A3 , ... como los
eventos en que resulte 1, 2, 3..., respectivamente
Siguiendo el modelo cl´sico, cada resultado es 1 de 6 posibles,
a
as´ P(A1 ) = 1 , P(A2 ) = 1 , P(A3 ) = 6 , ...
ı 6 6
1
H. Avil´s
e UPV
14/71
48. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado:
L = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Podemos definir los eventos simples A1 , A2 , A3 , ... como los
eventos en que resulte 1, 2, 3..., respectivamente
Siguiendo el modelo cl´sico, cada resultado es 1 de 6 posibles,
a
as´ P(A1 ) = 1 , P(A2 ) = 1 , P(A3 ) = 6 , ...
ı 6 6
1
Ya que s´lo un evento puede ocurrir a la vez (i.e.,
o
A1 , A2 , A3 , ... son disjuntos) y su uni´n produce L,
o
P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A6 ) = P(L) =
P(A1 ) + P(A2 ) + ... + P(A6 ) = 1 + 1 + ... + 1 = 1
6 6 6
H. Avil´s
e UPV
14/71
49. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado:
L = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Podemos definir los eventos simples A1 , A2 , A3 , ... como los
eventos en que resulte 1, 2, 3..., respectivamente
Siguiendo el modelo cl´sico, cada resultado es 1 de 6 posibles,
a
as´ P(A1 ) = 1 , P(A2 ) = 1 , P(A3 ) = 6 , ...
ı 6 6
1
Ya que s´lo un evento puede ocurrir a la vez (i.e.,
o
A1 , A2 , A3 , ... son disjuntos) y su uni´n produce L,
o
P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A6 ) = P(L) =
P(A1 ) + P(A2 ) + ... + P(A6 ) = 1 + 1 + ... + 1 = 1
6 6 6
Recordar: A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A6 implica que puede ocurrir A1 , ´ A2 , ´ A3 ...
o o
H. Avil´s
e UPV
14/71
50. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un evento B es “que resulte un n´mero impar”, el
u
subconjunto relacionado es {1, 3, 5} (i.e., 1 o 3 ´ 5) y
´ o
P(B) = P(A1 ∪ A3 ∪ A5 ) = P(A1 ) + P(A3 ) + P(A5 ) =
1 1 1 3 1
6 + 6 + 6 = 6 = 2
H. Avil´s
e UPV
15/71
51. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un evento B es “que resulte un n´mero impar”, el
u
subconjunto relacionado es {1, 3, 5} (i.e., 1 o 3 ´ 5) y
´ o
P(B) = P(A1 ∪ A3 ∪ A5 ) = P(A1 ) + P(A3 ) + P(A5 ) =
1 1 1 3 1
6 + 6 + 6 = 6 = 2
1 1
Ya que A1 ⊂ B, entonces P(A1 ) = 6 < P(B) = 2 y
1
P(B − A1 ) = P(B) − P(A1 ) = 2 − 1 = 2
6 6
H. Avil´s
e UPV
15/71
52. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Si un evento B es “que resulte un n´mero impar”, el
u
subconjunto relacionado es {1, 3, 5} (i.e., 1 o 3 ´ 5) y
´ o
P(B) = P(A1 ∪ A3 ∪ A5 ) = P(A1 ) + P(A3 ) + P(A5 ) =
1 1 1 3 1
6 + 6 + 6 = 6 = 2
1 1
Ya que A1 ⊂ B, entonces P(A1 ) = 6 < P(B) = 2 y
1
P(B − A1 ) = P(B) − P(A1 ) = 2 − 1 = 2
6 6
Si el evento es “que el resultado sea cualquier n´mero excepto
u
el 2”, A2 = {1, 3, 4, 5, 6} y su probabilidad es
5
P(A2 ) = P(L − A2 ) = P({1, 3, 4, 5, 6}) = 6
H. Avil´s
e UPV
15/71
53. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Consideremos nuevamente el evento B ´ {1, 3, 5}, y el evento
o
A1 = {1}. Ambos conjuntos son no disjuntos,
(B ∩ A1 ) = {1}. Por tanto, la probabilidad de
P(B ∪ A1 ) = P(B) + P(A1 ) − P(B ∩ A1 ) = 3 + 6 − 6 = 3
6
1 1
6
H. Avil´s
e UPV
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54. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Consideremos nuevamente el evento B ´ {1, 3, 5}, y el evento
o
A1 = {1}. Ambos conjuntos son no disjuntos,
(B ∩ A1 ) = {1}. Por tanto, la probabilidad de
P(B ∪ A1 ) = P(B) + P(A1 ) − P(B ∩ A1 ) = 3 + 6 − 6 = 3
6
1 1
6
Para P(B ∪ A1 ∪ A3 ) = P(B) + P(A1 ) + P(A3 ) − P(B ∩ A1 )
−P(A1 ∩ A3 ) − P(A3 ∩ B) + P(B ∩ A1 ∩ A3 ) =
3 1 1 1 1 3
6 + 6 + 6 − 6 −0− 6 +0= 6
H. Avil´s
e UPV
16/71
55. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejemplo
a
Consideremos nuevamente el evento B ´ {1, 3, 5}, y el evento
o
A1 = {1}. Ambos conjuntos son no disjuntos,
(B ∩ A1 ) = {1}. Por tanto, la probabilidad de
P(B ∪ A1 ) = P(B) + P(A1 ) − P(B ∩ A1 ) = 3 + 6 − 6 = 3
6
1 1
6
Para P(B ∪ A1 ∪ A3 ) = P(B) + P(A1 ) + P(A3 ) − P(B ∩ A1 )
−P(A1 ∩ A3 ) − P(A3 ∩ B) + P(B ∩ A1 ∩ A3 ) =
3 1 1 1 1 3
6 + 6 + 6 − 6 −0− 6 +0= 6
Si A = {1, 2} ´ “el resultado es 1 ´ 2” y B = {2, 4, 6},
o o
P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B ) = P({1}) + P({2}) = 2 6
H. Avil´s
e UPV
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56. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejercicios
a
Considere el experimento aleatorio “lanzar un dado dos veces”
Describa gr´ficamente su espacio muestral
a
Asigne probabilidades iguales a cada salida
Describa los conjuntos de los siguientes eventos: a) A ´ “el
o
resultado en el primer lanzamiento es 1”, B ´ “el resultado en
o
el segundo lanzamiento es 5”, C ´ “la suma de ambos
o
resultados es 6” y D ´ “ambos n´meros son iguales”, E ´
o u o
“salga 7 u 11”
Calcule P(A), P(B), P(C ) y P(D), P(C ∪ A) ,
P(A ∪ D ∪ B), P(E )
H. Avil´s
e UPV
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57. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejercicios
a
Considere el experimento aleatorio “Sacar una ficha de una
bolsa que contiene 3 fichas marcadas con una X, 1 ficha con
una carita feliz y 4 fichas de carita triste”. Calcule la
probabilidad de elegir: a) una ficha X, b) una ficha de carita
feliz y c) una ficha de carita triste, d) que no sea una X, y e)
que sea de X o carita triste
Un ni˜o est´ jugando con 5 cubos numerados del 1 al 5. Si
n a
los coloca al azar en fila: a) ¿Cu´l es la probabilidad de que el
a
n´mero resultante sea menor a 20,000?, b) ¿Cu´l es la
u a
probabilidad de que resulte mayor de 40,000?
H. Avil´s
e UPV
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58. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Ejercicios
a
Un examen consta de 10 preguntas y 10 respuestas dadas. a)
¿Cu´l es la probabilidad de contestar correctamente el examen
a
si las respuestas se eligen de manera aleatoria? b) Si la
primera pregunta se respondi´ bien ¿Cu´l es la probabilidad
o a
de sacar bien el resto del examen?
De una baraja inglesa de 52 cartas (13 valores y 4 palos) se
extraen todas las cartas marcadas con tr´boles. Si las cartas
e
restantes est´n ordenadas al azar y se toma una de ellas: a)
a
¿Cu´l es la probabilidad de que la carta sea del palo de
a
diamantes? b) ¿Cu´l es la probabilidad de que la carta sea de
a
corazones y con valor mayor o igual a 10?, c) ¿Cu´l es la
a
probabilidad si se considera tambi´n que sea un as de pica?
e
H. Avil´s
e UPV
19/71
59. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
En resumen, para definir un espacio de probabilidad se
requiere:
H. Avil´s
e UPV
20/71
60. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
En resumen, para definir un espacio de probabilidad se
requiere:
Un espacio muestral
H. Avil´s
e UPV
20/71
61. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
En resumen, para definir un espacio de probabilidad se
requiere:
Un espacio muestral
Un conjunto de eventos posibles (definidos todos en el espacio
muestral)
H. Avil´s
e UPV
20/71
62. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
En resumen, para definir un espacio de probabilidad se
requiere:
Un espacio muestral
Un conjunto de eventos posibles (definidos todos en el espacio
muestral)
La funci´n de probabilidad para los eventos de dicho conjunto
o
H. Avil´s
e UPV
20/71
63. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad
a
En resumen, para definir un espacio de probabilidad se
requiere:
Un espacio muestral
Un conjunto de eventos posibles (definidos todos en el espacio
muestral)
La funci´n de probabilidad para los eventos de dicho conjunto
o
Si las probabilidades de eventos compuestos por dos o m´s
a
eventos simples no son dadas, se pueden calcular mediante
operaciones definidas en la teor´ probabilidad
ıa
H. Avil´s
e UPV
20/71
64. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Contenido
x Conceptos b´sicos de probabilidad
a
Probabilidad condicional
Probabilidad total y la regla de Bayes
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65. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Maths in neon at Autonomy in Cambridge
http://www.flickr.com/photos/mattbuck007/3676624894/
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e UPV
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66. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Es intutivo entender que si un evento A cualquiera sucede
esto puede estar o no relacionado con la ocurrencia de un
segundo evento B
H. Avil´s
e UPV
23/71
67. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Es intutivo entender que si un evento A cualquiera sucede
esto puede estar o no relacionado con la ocurrencia de un
segundo evento B
Ejemplos de eventos sin relaci´n (al menos en apariencia):
o
H. Avil´s
e UPV
23/71
68. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Es intutivo entender que si un evento A cualquiera sucede
esto puede estar o no relacionado con la ocurrencia de un
segundo evento B
Ejemplos de eventos sin relaci´n (al menos en apariencia):
o
Que llueva si no pague mi recibo de luz
H. Avil´s
e UPV
23/71
69. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Es intutivo entender que si un evento A cualquiera sucede
esto puede estar o no relacionado con la ocurrencia de un
segundo evento B
Ejemplos de eventos sin relaci´n (al menos en apariencia):
o
Que llueva si no pague mi recibo de luz
Encontrar hoy una moneda en el camino ya que hace calor en
Tabasco
H. Avil´s
e UPV
23/71
70. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Es intutivo entender que si un evento A cualquiera sucede
esto puede estar o no relacionado con la ocurrencia de un
segundo evento B
Ejemplos de eventos sin relaci´n (al menos en apariencia):
o
Que llueva si no pague mi recibo de luz
Encontrar hoy una moneda en el camino ya que hace calor en
Tabasco
Que a una persona cualquiera le guste la pizza cuando a otra
le gusta el pollo rostizado
H. Avil´s
e UPV
23/71
71. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Es intutivo entender que si un evento A cualquiera sucede
esto puede estar o no relacionado con la ocurrencia de un
segundo evento B
Ejemplos de eventos sin relaci´n (al menos en apariencia):
o
Que llueva si no pague mi recibo de luz
Encontrar hoy una moneda en el camino ya que hace calor en
Tabasco
Que a una persona cualquiera le guste la pizza cuando a otra
le gusta el pollo rostizado
Al lanzar dos dados, el n´mero que sale en un dado no afecta
u
el resultado de otro
H. Avil´s
e UPV
23/71
72. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Es intutivo entender que si un evento A cualquiera sucede
esto puede estar o no relacionado con la ocurrencia de un
segundo evento B
Ejemplos de eventos sin relaci´n (al menos en apariencia):
o
Que llueva si no pague mi recibo de luz
Encontrar hoy una moneda en el camino ya que hace calor en
Tabasco
Que a una persona cualquiera le guste la pizza cuando a otra
le gusta el pollo rostizado
Al lanzar dos dados, el n´mero que sale en un dado no afecta
u
el resultado de otro
...
H. Avil´s
e UPV
23/71
73. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Ejemplos de eventos cuya ocurrencia se relaciona con otros
eventos (aparentemente):
H. Avil´s
e UPV
24/71
74. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Ejemplos de eventos cuya ocurrencia se relaciona con otros
eventos (aparentemente):
Que me corten la luz dado que no pagu´ mi recibo
e
H. Avil´s
e UPV
24/71
75. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Ejemplos de eventos cuya ocurrencia se relaciona con otros
eventos (aparentemente):
Que me corten la luz dado que no pagu´ mi recibo
e
Perder un partido de futbol si el equipo pierde 5-0 en el
segundo tiempo
H. Avil´s
e UPV
24/71
76. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Ejemplos de eventos cuya ocurrencia se relaciona con otros
eventos (aparentemente):
Que me corten la luz dado que no pagu´ mi recibo
e
Perder un partido de futbol si el equipo pierde 5-0 en el
segundo tiempo
Que repruebe un examen dado que no estudi´ e
H. Avil´s
e UPV
24/71
77. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Ejemplos de eventos cuya ocurrencia se relaciona con otros
eventos (aparentemente):
Que me corten la luz dado que no pagu´ mi recibo
e
Perder un partido de futbol si el equipo pierde 5-0 en el
segundo tiempo
Que repruebe un examen dado que no estudi´ e
Que se ponche una llanta de un coche si ´sta tiene 10 a˜os de
e n
uso
H. Avil´s
e UPV
24/71
78. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Ejemplos de eventos cuya ocurrencia se relaciona con otros
eventos (aparentemente):
Que me corten la luz dado que no pagu´ mi recibo
e
Perder un partido de futbol si el equipo pierde 5-0 en el
segundo tiempo
Que repruebe un examen dado que no estudi´ e
Que se ponche una llanta de un coche si ´sta tiene 10 a˜os de
e n
uso
Enfermarse del est´mago al comer fuera del metro Quevedo
o
(no recomendable)
H. Avil´s
e UPV
24/71
79. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Ejemplos de eventos cuya ocurrencia se relaciona con otros
eventos (aparentemente):
Que me corten la luz dado que no pagu´ mi recibo
e
Perder un partido de futbol si el equipo pierde 5-0 en el
segundo tiempo
Que repruebe un examen dado que no estudi´ e
Que se ponche una llanta de un coche si ´sta tiene 10 a˜os de
e n
uso
Enfermarse del est´mago al comer fuera del metro Quevedo
o
(no recomendable)
...
H. Avil´s
e UPV
24/71
80. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
En probabilidad se puede modelar el efecto que tiene la
ocurrencia de un evento A sobre posibilidad de ocurrencia de
otro evento B (i.e., las circunstancias A en las que ocurre B)
H. Avil´s
e UPV
25/71
81. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
En probabilidad se puede modelar el efecto que tiene la
ocurrencia de un evento A sobre posibilidad de ocurrencia de
otro evento B (i.e., las circunstancias A en las que ocurre B)
A esto se le conoce como probabilidad condicional (siempre
que A y B est´n definidos en el mismo espacio probabil´
e ıstico)
H. Avil´s
e UPV
25/71
82. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
En probabilidad se puede modelar el efecto que tiene la
ocurrencia de un evento A sobre posibilidad de ocurrencia de
otro evento B (i.e., las circunstancias A en las que ocurre B)
A esto se le conoce como probabilidad condicional (siempre
que A y B est´n definidos en el mismo espacio probabil´
e ıstico)
La probabilidad condicional se representa como P(B|A), i.e.,
la probabilidad de (que ocurra) B dado (que ha sucedido) A
H. Avil´s
e UPV
25/71
83. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
En probabilidad se puede modelar el efecto que tiene la
ocurrencia de un evento A sobre posibilidad de ocurrencia de
otro evento B (i.e., las circunstancias A en las que ocurre B)
A esto se le conoce como probabilidad condicional (siempre
que A y B est´n definidos en el mismo espacio probabil´
e ıstico)
La probabilidad condicional se representa como P(B|A), i.e.,
la probabilidad de (que ocurra) B dado (que ha sucedido) A
Cuando la ocurrencia de A no afecta la ocurrencia de B,
entonces se dice que B es independiente (o no depende)
estad´
ısticamente de A
H. Avil´s
e UPV
25/71
84. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Lo anterior se denota como P(B|A) = P(B) (i.e., que ocurra
A no afecta a la probabilidad de ocurrencia del evento B)
H. Avil´s
e UPV
26/71
85. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Lo anterior se denota como P(B|A) = P(B) (i.e., que ocurra
A no afecta a la probabilidad de ocurrencia del evento B)
Por el contrario, si la ocurrencia de un evento A afecta la
ocurrencia de un evento B, entonces se dice que B es
dependiente (o que depende) estad´ ısticamente de A
H. Avil´s
e UPV
26/71
86. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Lo anterior se denota como P(B|A) = P(B) (i.e., que ocurra
A no afecta a la probabilidad de ocurrencia del evento B)
Por el contrario, si la ocurrencia de un evento A afecta la
ocurrencia de un evento B, entonces se dice que B es
dependiente (o que depende) estad´ ısticamente de A
P(A∩B)
En este caso, P(B|A) = P(A) donde P(A) > 0
H. Avil´s
e UPV
26/71
87. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Lo anterior se denota como P(B|A) = P(B) (i.e., que ocurra
A no afecta a la probabilidad de ocurrencia del evento B)
Por el contrario, si la ocurrencia de un evento A afecta la
ocurrencia de un evento B, entonces se dice que B es
dependiente (o que depende) estad´ ısticamente de A
P(A∩B)
En este caso, P(B|A) = P(A) donde P(A) > 0
P(A ∩ B) ´ P(A ∧ B) ´ P(A, B), es la probabilidad conjunta
o o
de A y B, i.e., que sucedan “los dos”
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26/71
88. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Lo anterior se denota como P(B|A) = P(B) (i.e., que ocurra
A no afecta a la probabilidad de ocurrencia del evento B)
Por el contrario, si la ocurrencia de un evento A afecta la
ocurrencia de un evento B, entonces se dice que B es
dependiente (o que depende) estad´ ısticamente de A
P(A∩B)
En este caso, P(B|A) = P(A) donde P(A) > 0
P(A ∩ B) ´ P(A ∧ B) ´ P(A, B), es la probabilidad conjunta
o o
de A y B, i.e., que sucedan “los dos”
P(A) es conocida como probabilidad marginal de A
H. Avil´s
e UPV
26/71
89. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Lo anterior se denota como P(B|A) = P(B) (i.e., que ocurra
A no afecta a la probabilidad de ocurrencia del evento B)
Por el contrario, si la ocurrencia de un evento A afecta la
ocurrencia de un evento B, entonces se dice que B es
dependiente (o que depende) estad´ ısticamente de A
P(A∩B)
En este caso, P(B|A) = P(A) donde P(A) > 0
P(A ∩ B) ´ P(A ∧ B) ´ P(A, B), es la probabilidad conjunta
o o
de A y B, i.e., que sucedan “los dos”
P(A) es conocida como probabilidad marginal de A
A la P(B|A) se le llama la probabilidad posterior de B dado A
H. Avil´s
e UPV
26/71
90. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Conceptos b´sicos de probabilidad - Probabilidad
a
condicional
Un evento A cualquiera est´ implicitamente condicionado al
a
espacio muestral L, as´ P(A|L) = P(A∩L) = P(A) = P(A)
ı P(L) 1
H. Avil´s
e UPV
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91. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
P(B|A) = P(A∩B) indica que cuando un evento A sucede, la
P(A)
probabilidad del evento B es la raz´n de P(A ∩ B) con
o
respecto a P(A)
H. Avil´s
e UPV
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92. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
¿Qu´ pasa con P(B|A), si como se muestra el ´rea (A, B)
e a
aumenta?
H. Avil´s
e UPV
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93. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
¿Qu´ pasa con P(B|A), si como se muestra el ´rea (A, B)
e a
aumenta?
Entonces P(B|A) aumentar´ tambi´n!
a e
H. Avil´s
e UPV
29/71
94. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Si P(A ∩ B) = ∅, entonces P(B|A) = P(A|B) = 0
H. Avil´s
e UPV
30/71
95. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Si B ⊂ A, entonces P(A|B) = 1
H. Avil´s
e UPV
31/71
96. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Un hecho importante de la probabilidad condicional es
P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B)
H. Avil´s
e UPV
32/71
97. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Un hecho importante de la probabilidad condicional es
P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B)
Sin embargo, es com´n que P(A|B) = P(B|A)
u
H. Avil´s
e UPV
32/71
98. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Por otro lado, si B y A son independientes estad´
ısticamente
(i.e., P(B|A) = P(B)), se tiene que P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
H. Avil´s
e UPV
33/71
99. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Por otro lado, si B y A son independientes estad´
ısticamente
(i.e., P(B|A) = P(B)), se tiene que P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
N´tese que la interpretaci´n intuitiva de P(B|A) y P(A ∩ B),
o o
es similar y son proporcionales por un factor P(A)
H. Avil´s
e UPV
33/71
100. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional
Por otro lado, si B y A son independientes estad´
ısticamente
(i.e., P(B|A) = P(B)), se tiene que P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
N´tese que la interpretaci´n intuitiva de P(B|A) y P(A ∩ B),
o o
es similar y son proporcionales por un factor P(A)
De cu´l de las dos cantidades se disponga depender´ del
a a
problema
H. Avil´s
e UPV
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101. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 1
Si se tienen en una bolsa 3 bolas rojas y 4 azules, ¿Cu´l es la
a
probabilidad de sacar una bolita roja y despu´s tomar otra
e
bolita roja si hay reemplazo en el experimento?
H. Avil´s
e UPV
34/71
102. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 1
Si se tienen en una bolsa 3 bolas rojas y 4 azules, ¿Cu´l es la
a
probabilidad de sacar una bolita roja y despu´s tomar otra
e
bolita roja si hay reemplazo en el experimento?
Considere dos eventos A = “Sacar una bola roja en el primer
intento” y B = “Sacar una bola roja en el segundo intento”
H. Avil´s
e UPV
34/71
103. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 1
Si se tienen en una bolsa 3 bolas rojas y 4 azules, ¿Cu´l es la
a
probabilidad de sacar una bolita roja y despu´s tomar otra
e
bolita roja si hay reemplazo en el experimento?
Considere dos eventos A = “Sacar una bola roja en el primer
intento” y B = “Sacar una bola roja en el segundo intento”
P(A) = 3 y si hay reemplazo, P(B|A) = P(B) = 3
7 7
H. Avil´s
e UPV
34/71
104. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 1
Si se tienen en una bolsa 3 bolas rojas y 4 azules, ¿Cu´l es la
a
probabilidad de sacar una bolita roja y despu´s tomar otra
e
bolita roja si hay reemplazo en el experimento?
Considere dos eventos A = “Sacar una bola roja en el primer
intento” y B = “Sacar una bola roja en el segundo intento”
P(A) = 3 y si hay reemplazo, P(B|A) = P(B) = 3
7 7
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 3 × 3 = 49
7 7
9
H. Avil´s
e UPV
34/71
105. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 2
Si se tienen en una bolsa 3 bolas rojas y 4 azules, ¿Cu´l es la
a
probabilidad de sacar una bolita roja primero y despu´s otra
e
roja si no hay reemplazo en el experimento?
H. Avil´s
e UPV
35/71
106. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 2
Si se tienen en una bolsa 3 bolas rojas y 4 azules, ¿Cu´l es la
a
probabilidad de sacar una bolita roja primero y despu´s otra
e
roja si no hay reemplazo en el experimento?
Considere los eventos A = “Sacar una bola roja en el primer
intento” y B = “Sacar una bola roja en el segundo intento”
H. Avil´s
e UPV
35/71
107. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 2
Si se tienen en una bolsa 3 bolas rojas y 4 azules, ¿Cu´l es la
a
probabilidad de sacar una bolita roja primero y despu´s otra
e
roja si no hay reemplazo en el experimento?
Considere los eventos A = “Sacar una bola roja en el primer
intento” y B = “Sacar una bola roja en el segundo intento”
P(A) = 3 y si no hay reemplazo, P(B|A) = 6
7
2
H. Avil´s
e UPV
35/71
108. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 2
Si se tienen en una bolsa 3 bolas rojas y 4 azules, ¿Cu´l es la
a
probabilidad de sacar una bolita roja primero y despu´s otra
e
roja si no hay reemplazo en el experimento?
Considere los eventos A = “Sacar una bola roja en el primer
intento” y B = “Sacar una bola roja en el segundo intento”
P(A) = 3 y si no hay reemplazo, P(B|A) = 6
7
2
3 2 6
P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = 7 × 6 = 42
H. Avil´s
e UPV
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109. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 3
Considere el ejemplo de lanzar una moneda y el evento A =
“Cae cara” en L. La moneda no es justa; as´ P(A) = 0.7
ı
H. Avil´s
e UPV
36/71
110. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 3
Considere el ejemplo de lanzar una moneda y el evento A =
“Cae cara” en L. La moneda no es justa; as´ P(A) = 0.7
ı
Si se realizan dos lanzamientos independientes:
H. Avil´s
e UPV
36/71
111. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 3
Considere el ejemplo de lanzar una moneda y el evento A =
“Cae cara” en L. La moneda no es justa; as´ P(A) = 0.7
ı
Si se realizan dos lanzamientos independientes:
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.7 × 0.7 = 0.49
H. Avil´s
e UPV
36/71
112. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 3
Considere el ejemplo de lanzar una moneda y el evento A =
“Cae cara” en L. La moneda no es justa; as´ P(A) = 0.7
ı
Si se realizan dos lanzamientos independientes:
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.7 × 0.7 = 0.49
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.3 × 0.7 = 0.21
H. Avil´s
e UPV
36/71
113. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 3
Considere el ejemplo de lanzar una moneda y el evento A =
“Cae cara” en L. La moneda no es justa; as´ P(A) = 0.7
ı
Si se realizan dos lanzamientos independientes:
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.7 × 0.7 = 0.49
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.3 × 0.7 = 0.21
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.7 × 0.3 = 0.21
H. Avil´s
e UPV
36/71
114. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 3
Considere el ejemplo de lanzar una moneda y el evento A =
“Cae cara” en L. La moneda no es justa; as´ P(A) = 0.7
ı
Si se realizan dos lanzamientos independientes:
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.7 × 0.7 = 0.49
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.3 × 0.7 = 0.21
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.7 × 0.3 = 0.21
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.3 × 0.3 = 0.09
H. Avil´s
e UPV
36/71
115. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 3
Considere el ejemplo de lanzar una moneda y el evento A =
“Cae cara” en L. La moneda no es justa; as´ P(A) = 0.7
ı
Si se realizan dos lanzamientos independientes:
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.7 × 0.7 = 0.49
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.3 × 0.7 = 0.21
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.7 × 0.3 = 0.21
P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × P(A2 ) = 0.3 × 0.3 = 0.09
Note que la probabilidad de estas combinaciones suma a 1
H. Avil´s
e UPV
36/71
116. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 4
Si se lanza un dado justo y se consideran los eventos A =
“Cae un n´mero impar” ({1, 3, 5}) y B = “Cae 5” ({5})
u
H. Avil´s
e UPV
37/71
117. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 4
Si se lanza un dado justo y se consideran los eventos A =
“Cae un n´mero impar” ({1, 3, 5}) y B = “Cae 5” ({5})
u
3 1
P(A) = 6 y P(B) = 6
H. Avil´s
e UPV
37/71
118. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 4
Si se lanza un dado justo y se consideran los eventos A =
“Cae un n´mero impar” ({1, 3, 5}) y B = “Cae 5” ({5})
u
P(A) = 3 y P(B) = 1
6 6
1
P(A ∩ B) = P({5}) = 6
H. Avil´s
e UPV
37/71
119. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 4
Si se lanza un dado justo y se consideran los eventos A =
“Cae un n´mero impar” ({1, 3, 5}) y B = “Cae 5” ({5})
u
P(A) = 3 y P(B) = 1
6 6
P(A ∩ B) = P({5}) = 1
6
P(B|A) = P(A∩B) = 1/6 = 6/18 = 3/9 = 1/3
P(A) 3/6
H. Avil´s
e UPV
37/71
120. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 4
Si se lanza un dado justo y se consideran los eventos A =
“Cae un n´mero impar” ({1, 3, 5}) y B = “Cae 5” ({5})
u
P(A) = 3 y P(B) = 1
6 6
P(A ∩ B) = P({5}) = 1
6
P(B|A) = P(A∩B) = 1/6 = 6/18 = 3/9 = 1/3
P(A) 3/6
P(A∩B) 1/6
P(A|B) = P(B) = 1/6 = 6/6 = 1
H. Avil´s
e UPV
37/71
121. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 4
Si se lanza un dado justo y se consideran los eventos A =
“Cae un n´mero impar” ({1, 3, 5}) y B = “Cae 5” ({5})
u
P(A) = 3 y P(B) = 1
6 6
P(A ∩ B) = P({5}) = 1
6
P(B|A) = P(A∩B) = 1/6 = 6/18 = 3/9 = 1/3
P(A) 3/6
P(A∩B) 1/6
P(A|B) = P(B) = 1/6 = 6/6 = 1
N´tese que P(A|B) = P(B|A)
o
H. Avil´s
e UPV
37/71
122. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 5
Una f´brica produce partes que son o buenas (95%), o con
a
defectos menores (4%), o para la basura (1%). Las partes
pasan por una inspecci´n que siempre detecta las que son
o
basura para descartarlas. ¿Cu´l es la probabilidad de que se
a
embarque una pieza buena?
H. Avil´s
e UPV
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123. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 5
Una f´brica produce partes que son o buenas (95%), o con
a
defectos menores (4%), o para la basura (1%). Las partes
pasan por una inspecci´n que siempre detecta las que son
o
basura para descartarlas. ¿Cu´l es la probabilidad de que se
a
embarque una pieza buena?
Sea A = “La pieza es buena”, B = “La pieza tiene alg´n
u
defecto menor” y C = “La pieza es basura”. Adem´s,
a
P(A) = 0.95, P(B) = 0.04 y P(C ) = 0.01. Considere tambi´n
e
C’ = “La pieza no es basura”
H. Avil´s
e UPV
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124. Conceptos b´sicos
a Probabilidad condicional Probabilidad total y la regla de Bayes
Probabilidad condicional - Ejemplo 5
Una f´brica produce partes que son o buenas (95%), o con
a
defectos menores (4%), o para la basura (1%). Las partes
pasan por una inspecci´n que siempre detecta las que son
o
basura para descartarlas. ¿Cu´l es la probabilidad de que se
a
embarque una pieza buena?
Sea A = “La pieza es buena”, B = “La pieza tiene alg´n
u
defecto menor” y C = “La pieza es basura”. Adem´s,
a
P(A) = 0.95, P(B) = 0.04 y P(C ) = 0.01. Considere tambi´n
e
C’ = “La pieza no es basura”
P(A|C ) = P(A∩C) ) = P(1−C ) = .95 = 0.9595
P(C
P(A)
.99
H. Avil´s
e UPV
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