Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad, incluyendo el espacio muestral, eventos, probabilidad, propiedades de la probabilidad, enfoques de probabilidad, probabilidad entre conjuntos, eventos complementarios e independientes, y ejemplos numéricos.

1. PROBABILIDAD
El espacio muestral de un experimento
El espacio muestral de un experimento, denotado por S, es el conjunto de
todos los posibles resultados de ese experimento.
Eventos (sucesos)
Un evento E es cualquier conjunto (subconjunto) de resultados contenido en el
espacio muestral S. Se dice que un evento es simple si está formado
exactamente por un resultado y compuesto si consta de más de un resultado.
Probabilidad.
Es la verosimilitud numérica, medida entre 0 y 1, de que ocurra un suceso
incierto.
Dado un experimento y un espacio muestral S, el objetivo de la probabilidad es
asignar a cada evento E un número P(E), que recibe el nombre de probabilidad
del evento E, que dará una medida precisa de la probabilidad de que E ocurra.
Propiedades de la probabilidad
1. 0 ≤ P(Ei) ≤ 1
2. ΣP(Ei) = 1 (Eventos Simples)
Enfoque de la frecuencia relativa
Se utilizan datos pasados obtenidos en observaciones empíricas. Se tiene en
cuenta la frecuencia con que ha ocurrido un evento en el pasado y se estima la
probabilidad de que vuelva a ocurrir a partir de estos datos históricos.
nesobservaciodetotalNúmero
pasadoelenocurridohaeventoelquevecesdeNúmero
)( =EP
Enfoque subjetivo
En muchas ocasiones no se dispone de datos históricos. La única alternativa
es la de estimar la probabilidad según nuestro mejor criterio. Este enfoque
subjetivo exige que asignemos la probabilidad de cualquier evento basándose
en las mejores pruebas disponibles.
Enfoque clásico
La probabilidad clásica de un evento E viene determinada por:
)(
)(
posiblescasosdetotalNúmero
ocurrirpuedeeventoelqueenformasdeNúmero
)(
Sn
En
EP ==

2. Probabilidad entre conjuntos
Para dos eventos A y B cualesquiera,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Para 3 eventos A, B y C, el resultado es
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C – P(B ∩ C) +
P(A ∩ B ∩ C)
Usualmente se utilizan los Diagramas de Venn para una mejor interpretación
de las probabilidades:
Eventos mutuamente excluyentes
Los eventos que no pueden ocurrir al mismo tiempo son eventos mutuamente
excluyentes. Si E1 y E2 son eventos mutuamente excluyentes, entonces:
φ=∩ 21 EE
0)( 21 =∩ EEP
También:
)()()( 2121 EPEPEEP +=∪
Eventos exhaustivos colectivamente
El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento constituye el de
los eventos exhaustivos colectivamente. Si E1, E2, …. , En son eventos
exhaustivos colectivamente, entonces:
SEEE n =∪∪∪ ...21
1)()...( 21 ==∪∪∪ SPEEEP n
Eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos colectivamente
Forman una partición del espacio muestral. No tienen elementos en común.
Si E1, E2, …. , En son eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos
colectivamente, entonces:
1)(...)()()( 321 =++++ nEPEPEPEP
Eventos complementarios

3. Dos eventos son complementarios si la no aparición de uno de ellos obliga a
que ocurra el otro. Los eventos complementarios son mutuamente excluyentes
y exhaustivos colectivamente. Si E y EC
son eventos complementarios,
entonces:
0)( =∩ C
EEP
1)( =∪ C
EEP
1)()( =+ C
EPEP
Probabilidad conjunta y marginal
Probabilidad conjunta: Es la probabilidad de que dos o más eventos ocurran a
la vez.
Probabilidad marginal: Es la probabilidad de ocurrencia de un solo evento.
Probabilidad condicional
Para dos eventos A y B cualesquiera con P(B) > 0, la probabilidad
condicional de A dado que B ha ocurrido está definida por:
( ) ( )
)(BP
BAP
BAP
∩
=
Asimismo:
( ) ( )
)(AP
BAP
ABP
∩
=
La regla de la multiplicación
( ) ( ) ( )BPBAPBAP ⋅=∩
( ) ( ) ( )APABPBAP ⋅=∩
Eventos independientes
Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no tiene
ninguna influencia en que ocurra el otro.
Si A y B son independientes
( ) ( ) ( )BPAPBAP ⋅=∩ (puesto que ( ) ( )APBAP = )
Regla general de la multiplicación
Si son dependientes
( ) ( ) ( ) ( ) ( )...... 1122131321321 APAAPAAAPAAAAAPAAAAP kkk ∩⋅⋅⋅∩∩∩∩=∩∩∩∩ −
Si son independientes
( ) ( ) ( ) ( ) ( )... 123321 APAPAPAPAAAAP kk ⋅⋅⋅=∩∩∩∩
La ley de probabilidad total y Teorema de Bayes
La ley de probabilidad total
Sean A1,...,An eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos colectivamente.
Luego, para cualquier otro evento B,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )∑=
=
+⋅⋅⋅+=
n
i
ii
nn
APABP
APABPAPABPBP
1
11

4. Teorema de Bayes
Sea A1, A2,. . . ,An un conjunto de n eventos mutuamente excluyentes y
exhaustivos con P(Ai) > 0 para i = 1,. . . ,n. Entonces para cualquier otro
evento B para el que P(B) > 0
Ejercicios
1. Un agente de bienes raíces muestra casas a un potencial comprador. Hay
diez casas del precio deseado de una lista de la zona. El comprador tiene
tiempo para visitar sólo tres de ellas.
a) ¿En cuántas formas podrían escogerse las tres casas si se considera el
orden de visita?
b) ¿En cuántas formas podrían escogerse las tres casas si el orden no es
importante?
c) Si cuatro de las casas son nuevas y seis han sido ocupadas previamente, y
si las tres casas a visitar se escogen al azar, ¿cuál es la probabilidad de
que las tres sean nuevas?
2. Al poco tiempo de ser puestos en servicio, algunos autobuses fabricados
por cierta compañía presentan grietas en la parte inferior del bastidor
principal. Supongamos que una ciudad en particular tiene 20 de estos, y
que han aparecido grietas en 8 de ellos.
a) ¿Cuántas formas hay para seleccionar una muestra de 5 autobuses de los
20 para una inspección completa?
b) ¿En cuántas formas puede una muestra de 5 autobuses contener
exactamente 4 con grietas visibles?
c) Si se escoge al azar una muestra de 5 autobuses, ¿cuál es la probabilidad
de que exactamente 4 de los 5 tengan grietas visibles?
d) Si se selecciona los autobuses como en la parte (c), ¿cuál es la
probabilidad de que al menos 4 de los seleccionados tengan grietas
visibles?
3. Se tiene una tabla de probabilidades para la venta de 3 tipos de jugo en 3
tamaños. Sean los siguientes eventos:
E1: La próxima venta es de jugo de naranja
E2: La próxima venta es de jugo de tamaño mediano
Sabor
Tamaño
Naranja Piña Limón Total
Pequeño 0.10 0.08 0.12 0.30
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
nk
APABP
APABP
BP
APABP
BP
BAP
BAP n
i
ii
kkkkk
k ,...1,
1
=
⋅
==
∩
=
∑=

5. Mediano 0.15 0.06 0.20 0.41
Grande 0.10 0.04 0.15 0.29
Total 0.35 0.18 0.47 1.00
Calcule e indique el tipo de probabilidad (conjunta o marginal):
a. P(E1)
b. P(E2)
c. P(E1 ∩ E2)
4. La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo
es P(E1) = 0.83; la probabilidad de que llegue a tiempo es P(E2) = 0.82; y la
probabilidad de que salga y llegue a tiempo es P(E1∩E2) = 0.78. Encuentre
la probabilidad de que un avión a) llegue a tiempo, dado que salió a tiempo
y b) haya salido a tiempo, dado que llegó a tiempo. c) Encuentre la
probabilidad de que el avión llegue a tiempo dado que no salió a tiempo.
5. Se tiene una caja con 20 fusibles, de los cuales 5 de ellos están
defectuosos. Se extraen de la caja dos fusibles, sin reemplazo, uno tras
otro. Se definen los siguientes eventos:
E1: El primer fusible está defectuoso
E2: El segundo fusible está defectuoso
¿Cuál es la probabilidad de que los dos fusibles estén defectuosos?
6. Se sabe que el 30% de las lavadoras de cierta compañía requiere servicio
cuando todavía están en garantía, en tanto que sólo el 10% de las
secadoras necesitan ese servicio. Si alguien compra una lavadora y una
secadora hechas por esta compañía, a) ¿cuál es la probabilidad de que
ambas máquinas necesiten servicio dentro de garantía? b) ¿Cuál es la
probabilidad de que ninguna de las dos máquinas necesite servicio?
7. Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 3 negras, y una segunda bolsa
contiene 3 blancas y 5 negras. Se saca una bola de la primera bolsa y se
coloca sin verla en la segunda. ¿Cuál es la probabilidad de que ahora se
saque una bola negra de la segunda bolsa?
8. Se sacan 3 cartas una tras otra, sin reemplazo, de una baraja ordinaria.
Encuentre la probabilidad de que ocurra el evento A1∩A2∩A3, donde A1 es el
evento de que la primera carta sea un as rojo, A2 el evento de que la
segunda carta sea un 10 o una jota y A3 el evento de que la tercera carta
sea mayor que 3 pero menor que 7.
9. En cierta planta de montaje, tres máquinas (1, 2 y 3) montan 30%, 45% y
25% de los productos, respectivamente. Se sabe de la experiencia pasada
que 2%, 3% y 2% de los productos ensamblados por cada máquina,
respectivamente tienen defectos. a) Suponga que se selecciona de forma
aleatoria un producto terminado. ¿Cuál es la probabilidad de que esté
defectuoso? b) Si se elige al azar un producto y se encuentra que es
defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que esté ensamblado por la
máquina 3?