1) El documento presenta conceptos básicos de probabilidad y estadística como experimento estadístico, espacio muestral, evento, operaciones entre eventos, probabilidad de un evento y reglas aditivas. 2) Se definen eventos mutuamente excluyentes y se explica cómo calcular la probabilidad de la unión de eventos. 3) Se proveen ejemplos numéricos para ilustrar conceptos como cálculo de probabilidades, reglas aditivas y operaciones entre eventos.

1. PROBABILIDAD
ESTADISTICA
PROF. Ing. Maryorys polanco

2. CONTENIDO
• Experimento estadístico.
• Espacio muestral.
• Evento.
• Operaciones entre eventos.
• Probabilidad de un evento.
• Reglas aditivas.

3. Experimento estadístico:
Es cualquier proceso que genere un conjunto de datos. Un
ejemplo de ello sería lanzar una moneda al aire, el cual genera
dos posibles resultados, cara o sello.
Ahora, el conjunto de todos los resultados posibles de un
experimento estadístico, se denomina espacio muestral, y se
representa con el símbolo S.
A cada resultado en un espacio muestral se le llama punto
muestral. Un espacio muestral puede escribirse de la siguiente
forma:
,
Donde c y s corresponden a cara y sello respectivamente del
experimento lanzar una moneda al aire.

4. En algunos experimentos listar los elementos del espacio
muestral de forma sistemática utilizando un diagrama de árbol.
Veamos el siguiente ejemplo:
Un experimento consiste en lanzar un amoneda y después lanzar
una segunda vez si sale cara. Si sale sello en el primer
lanzamiento, entonces se lanza un dado una vez.
c
s
1
2
3
4
5
6
cc
cs
s1
s4
s5
s6
s3
s2
Si sale
cara
Si sale
sello
c
s
1er
evento
2do
evento
Puntos
muestrales
Las diversas trayectorias de las ramas
del árbol son los distintos puntos
muestrales que conforman el espacio
muestral, por lo tanto,
, , 1, 2, 3, 4, 5, 6

5. evento
Es un subconjunto del espacio muestral, es decir, cada evento
tendrá asignados una colección de puntos muestrales que
constituyen un subconjunto de s, ese subconjunto representa la
totalidad de elementos para los que el evento es cierto.
Por ejemplo, si para el espacio muestral anterior, estamos
interesados en el evento A, en el cual ocurra al menos una cara
como resultado del experimento. Esto ocurrirá si el resultado es
un elemento del subconjunto , del espacio muestral s.

6. Operaciones entre eventos
• Complemento: el complemento de un evento A respecto de S
es el subconjunto de todos los elementos de S que no están en
A. Denotamos el complemento de A mediante el símbolo A´.
Por ejemplo, considere en espacio muestral 1,2,3,4,5,6 .
Sea A el evento de que ocurra un numero menor a 4, es decir,
1,2,3 entonces, el complemento de A es A´ 4,5,6 .
• Intersección: la intersección de dos eventos A y B, que se
denota con el símbolo A ∩B, es el evento que contiene todos
los elementos que sean comunes a A y a B.
Por ejemplo, considere en espacio muestral 1,2,3,4,5,6 .
Sea A el evento de que ocurra un numero par y B el evento de
que ocurraun numero mayor a 3.
Entonces 2,4,6 4,5,6 , así A ∩B 4,6 .
• Complemento: el complemento de un evento A respecto de S
es el subconjunto de todos los elementos de S que no están en
A. Denotamos el complemento de A mediante el símbolo A´.
Por ejemplo, considere en espacio muestral 1,2,3,4,5,6 .
Sea A el evento de que ocurra un numero menor a 4, es decir,
1,2,3 entonces, el complemento de A es A´ 4,5,6 .
• Intersección: la intersección de dos eventos A y B, que se
denota con el símbolo A ∩B, es el evento que contiene todos
los elementos que sean comunes a A y a B.
Por ejemplo, considere en espacio muestral 1,2,3,4,5,6 .
Sea A el evento de que ocurra un numero par y B el evento de
que ocurraun numero mayor a 3.
Entonces 2,4,6 4,5,6 , así A ∩B 4,6 .

7. Operaciones entre eventos
• Mutuamente excluyentes o disjuntos: dos eventos A y B son
disjuntos si A ∩B {∅}; es decir, si A y B no tienen elementos
en común y se dice que es igual al conjunto vacío (∅).
Por ejemplo, considere en espacio muestral 1,2,3,4,5,6 .
Sea A el evento de que ocurra un numero par y B el evento de
que ocurra un numero impar.
Entonces 2,4,6 1,3,5 , así A ∩B ∅ .
• Unión: la unión de dos eventos A y B, que se denota con el
símbolo A ∪B, es el evento que contiene todos los elementos
que pertenecen a A o a B o a ambos.
Por ejemplo, considere en espacio muestral 1,2,3,4,5,6 .
Sea 2,4,6 4,5,6 , entonces A ∪B 2,4,5,6 .

8. La relación entre eventos y el correspondiente espacio muestral
se puede ilustrar de forma grafica utilizando diagramas de Venn.
En un diagrama de Venn representamos el espacio muestral como
un rectángulo y los eventos con círculos trazados dentro del
rectángulo. De esta forma, vemos en la siguiente figura que
A B
C
2
1
7
4 3
5
6
S
∩ 1 2
∩ ! 1 3
´ ∩ 4 7
∩ ∩ ! ó 1
∩ ∩ !´ 2, 6 7
∪ ! 1, 2, 3, 4, 5 y 7

9. Probabilidad de un evento
La probabilidad de un evento A es la suma de todos los puntos
muestrales en A. Por lo tanto,
0 ' ( ' 1, ( ∅ 0 ( ) 1
Ademas, si *, +, ,,…es una serie de eventos mutuamente
excluyentes, entonces
(* *, +, , … P * / P + / P , /…
Si un experimento puede tener como resultado cualquiere de N
diferentes resultados igualmente probables, y si exactamente n
de estos resultados corresponden al evento A, entonces la
probabilidad del evento A es
(
0
)
Numero de puntos muestrales en S
que pertenecen al evento A
Espacio muestral

10. Ejemplo: Una clase de estadística para ingenieros consta de 25
estudiantes de ing. Industrial, 10 de mecánica, 10 de electrica y 8
de civil. Si el profesor elige una persona al azar para que conteste
una pregunta, encuentre la probabilidad de que el estudiante
elegido sea:
a) Un estudiante de ing. Industrial.
Denotamos el evento 1 25 2345 2 4 . 43257 . El espacio
muestral esta comprendido por todos los estudiantes de la clase
) 25 2345 2 4 . 43257, 10 8á 5, 10 4 7é25, 8 4 7 Por lo
tanto,
( 1
1
)
25
53
0,47 ∗ 100% 47% 4 ?@5@7454
b) Uno de ing. Civil o eléctrica. (eventos mutuamente excluyentes)
! 8 2345 2 4 . 7 , A 10 2345 2 4 . 7é25
( ! ∪ A ( ! / ( A
!
)
/
A
)
8
53
/
10
53
18
53
0,34 ∗ 100% 34% 4 ?@5@7454

11. Reglas aditivas
(se aplica uniones de eventos)
• Si A y B son dos eventos, entonces
( ∪ ( / ( B (C ∩ D
Para tres eventos A, B y C esta ecuación se extiende de forma análoga
( ∪ ∪ ! ( / ( / (C!D B (C ∩ D B (C ∩ !D B (C ∩ !D /(C ∩ ∩ !D
Ejemplo: un graduando luego de tener entrevistas en dos compañías, evalúa la
probabilidad que tiene de lograr una oferta de empleo en la compañía A como 0.8 y
la probabilidad de obtenerla de la compañía B con 0.6. Si por otro lado, considera
que la probabilidad de obtenerla de ambas es de 0.5 ¿Cuál es la probabilidad de
que obtenga la menos una oferta?
Aquí las probabilidades de los eventos ya están calculadas y como no son evento mutuamente
excluyentes sino que ambas posibilidades pueden ocurrir tanto simultáneamente como por separadas, es
decir, puede que tenga oferta de la compañía A o la compañía B o de ambas al mismo tiempo, aplicamos
la regla
( ∪ ( / ( B ( ∩
( 0.8
P B 0.6 ( ∪ 0.8 / 0.6 B0.5=0.9
( ∩ = 0.5

12. Ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 al
lanzar una vez un par de dados
7 u 11 son eventos mutuamente excluyentes, es decir, que al lanzar una vez un par de dados la suma de
sus lados no puede generar la cantidad de 7 u 11 al mismo tiempo, por lo tanto aplicamos
( ∪ = ( / (
Determinamos el espacio muestral, es decir todos los posibles resultados del experimento lanzar una vez
un par de dados, aquí S=36 puntos muetrales de los cuales, el evento A de obtener un 7 es A=6 puntos
muestrales (1+6,2+5,3+4,4+3,5+2,6+1)y el evento B de obtener una suma de 11 es B= 2 puntos
muestrales (5+6,6+5). Cabe destacar que todos los puntos muestrales son equiprobables. Así,
P A =6/36
P B = 2/36
( ∪ =
H
,H
/
+
,H
=
I
,H
=
+
J
= 0.22 ∗ 100% = 22% 4 ?@5@7454
O P = /0 = 8/36 = 0.22 = 22%
• Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces
( ∪ = ( / (

13. • Si A y A´ son eventos complementarios, entonces
( / ( A´ = 1
Ejemplo: si las probabilidades de que un estudiante obtenga una calificación de
3,4,5,6,7,8 o más puntos en un examen dado son: 0.12,0.19,0.28,0.24,0.10 y 0.07
respectivamente. ¿ Cuál es la probabilidad de que obtenga la menos 5 en el
siguiente examen?
Denotamos a A como el evento de obtener al menos 5, es decir, de 5 en adelante, asi A=(5,6,7,8 o más).
Entonces lo que esta en S pero no en A es A´= (3,4)
( / ( ´ = 1
( ´ = 0.12 / 0.19 0.31 ( / 0.31 1
( 1 B 0.31
( 0.69

14. Ejercicios

15. 1. ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar dos dados la suma de puntos obtenidos sea 5?
2. Se extrae una bola de una bolsa que contiene 4 bolas blancas, 5 rojas y 2 negras. ¿Cuál es la probabilidad de que no
sea negra?
3. La probabilidad de que una industria norteamericana se ubique en Munich es 0.7, la probabilidad de que se ubique en
Bruselas es 0.4 y la probabilidad que de que se ubique en ambas es 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de que se ubique al
menos en una de estas ciudades?
4. Se lanza un par de dados. Encuentre la probabilidad de obtener, a) un total de 8 y b) a lo más un total de 5.
5. De acuerdo al Consumer Digest, la ubicación probable de las PC en una casa son: recamara de adultos 0.03, recamara
de niños 0.15, otra recamara 0.14, oficina o estudio 0.40, otros cuartos 0.28. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) una PC
esté en una recama?, b) de que no esté en una recamara?
6. Determinar o estimar la probabilidad p de cada uno de los siguientes eventos:
Al lanzar una vez un dado obtener un número impar
Al lanzar una vez un par de dados su suma sea 7.
Si en 100 lanzamientos de una moneda se obtuvieron 56 caras, en el siguiente lanzamiento obtener una cruz.
7. De una caja que contiene 6 pelotas rojas, 4 pelotas blancas y 5 pelotas azules se extrae, de manera aleatoria, una
pelota. Determinar la probabilidad de que la pelota extraída sea: a) roja, b) blanca, c) azul, c) no sea roja, d) sea roja o
blanca.
8. Si las probabilidades de que una persona elija un automóvil de color verde, blanco, rojo o azul son, respectivamente,
0.09, 0.15, 0.21, y 0.23, ¿cuál es la probabilidad de que un comprador dado adquiera un automóvil que tenga uno de
esos colores?
9. Una caja contiene 500 sobres de los cuales 75 contienen Bs. 100 en efectivo, 150 contienen Bs. 25 y 275 contienen Bs.
10. Se puede comprar un sobre en Bs. 25. ¿cuál es el espacio muestral para las diferentes cantidades de dinero?. Asigne
probabilidades a los puntos muestrales y después encuentre la probabilidad de que el primer sobre que se compre
contenga menos de Bs. 100.

16. 10. Si se elige al azar una letra del alfabeto, encuentre la probabilidad de que la letra a) sea una vocal excluyendo y. b)
esté listada en algún lugar antes de la j. c) esté listada en algún lugar después de la letra g.
11. Un fabricante de automóviles está preocupado por el retiro de su sedan de mayor ventas. Si hay un retiro, hay una
probabilidad de 0.25 de que haya un defecto en el sistema de frenos, de 0.18 en la transmisión, de 0.17 en el sistema de
combustible y .0.40 en otra área. a) ¿cuál es la probabilidad de que el defecto este en los frenos o en el sistema de
combustible si la probabilidad de defectos en ambos sistemas es 0.2?, b) cual es la probabilidad de que no haya defectos
en los frenos o en el sistema de combustible?
12. Se toma 1 libro al azar de un librero que contiene cinco novelas, tres libros de poemas y un diccionario, ¿cuál es la
probabilidad de que a) se selecciones el diccionario, b) se selecciones dos novelas y un libro de poemas?
13. En una clase de 100 estudiantes graduados de preparatoria, 54 estudiaron matemáticas, 69 historia y 35 cursaron
matemática e historia. Si se selecciona la azar uno de estos estudiantes, encuentre la probabilidad de que a) el
estudiante cursó matemáticas o historia, b) es estudiantes no llevó alguna de estas materias.
14. Refiérase al diagrama de Venn siguiente donde M: es el evento de sufrir problemas mecánicos, T: es el evento de
recibir una infracción por cometer una falta de tránsito y V: es el evento de llegar a un lugar para acampar que esté lleno.
Liste los números de las regiones que representan los siguientes eventos:
a. La familia no experimentará problemas mecánicos y no cometerá infracciones de tránsito, pero encontrará que el
lugar para acampar este lleno.
b. La familia experimentará problemas mecánicos y problemas para encontrará un lugar para acampar vacío.
c. La familia tendrá problemas mecánicos o encontrará un lugar para acampar que esté lleno pero no cometerá
infracciones de tránsito.
d. La familia no llegará a un lugar para acampar que esté lleno.
5
S
2
1
8
3
4
6
7
V
T
M