1. [Escribir texto]
PROBABILIDAD
La palabra probabilidad se utiliza para cuantificar nuestra creencia de que ocurra un
acontecimiento determinado. La probabilidad se encarga de evaluar todas aquellas
actividades en donde se tiene incertidumbre acerca de los resultados que se pueden
esperar, esto quiere decir que la probabilidad está presente en casi en todas las
actividades que se pretenda realizar, ejemplos:
-Cualquier proyecto de Ingeniería o de otras áreas
-Competencias deportivas
-Juegos de azar, etc., etc.
Definición:
La probabilidad de un evento A es la suma de los pesos de todos los puntos
muestrales de A. Por lo tanto,
0 ≤  AP ≤ 1;   0P y   1SP
La probabilidad de un evento varía entre 0 y 1; a cada uno de los elementos del espacio
muestral se le asigna una probabilidad de manera que la suma de todas las
probabilidades sea 1.
Ejemplos:
1. Una Moneda se lanza dos veces al aire. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga cuando
menos una cara?
Solución: el espacio muestral para este experimento es:
S =  SSSCCSCC ,,,
Si la moneda está equilibrada, cada uno de estos resultados tendría la misma
probabilidad de ocurrir. Por ello se le asigna una probabilidad de w a cada uno de los
puntos muestrales. Entonces 4w = 1 o w=
4
1
. Si A represente el evento de que ocurra
cuando menos una cara entonces:
A =  SCCSCC ,,
P(A) =
4
3
4
1
4
1
4
1

2. Un dado está cargado de manera que es doblemente probable que ocurra un número
par que un número impar. Si E es el evento de que ocurra un número inferior a 4 en un
solo lanzamiento del dado, encuentre P(E).

2. [Escribir texto]
Solución: El espacio muestral es: S =  6,5,4,3,2,1 , se asigna una probabilidad de w a
cada número impar y una probabilidad de 2w a cada número par. Dado que la suma de
las probabilidades debe ser 1, se tiene 9w=1 ó w =
9
1
. De aquí que las probabilidades de
9
1
y
9
2
se le asignan a cada número impar y par, respectivamente. Por lo tanto,
E =  3,2,1
P(E)=
9
1
+
9
2
+
9
1
=
9
4
Teorema: Si un experimento puede tener cualquiera de N resultados diferentes
igualmente probables y si exactamente n de estos resultados corresponde al evento A,
entonces la probabilidad del evento A es:
 
N
n
AP 
Ejemplo:
1. Si una urna contiene 10 esferas blancas, 15 azules y 5 rojas, la probabilidad de extraer
al azar una esfera blanca, es:
Solución: P(E)= 30
10
= 3
1
Esta probabilidad se basa en razonamientos abstractos y no depende de la experiencia, lo
cual permite estimar probabilidades sin realizar una gran cantidad de experimentos.
Reglas aditivas:
Frecuentemente es más fácil calcular la probabilidad de algún evento a partir de las
probabilidades de otros. Esto puede ser cierto si el evento en cuestión puede
representarse como la unión de otros dos eventos o como el complemento de alguno.
Enseguida se presentan varias leyes importantes que a menudo simplifican el cálculo de
las probabilidades. La primera, llamada la regla de adición, se aplica a las uniones de los
eventos.
Teorema: Si A y B son dos eventos cualquiera, entonces
       BAPBPAPBAP 

3. [Escribir texto]
Demostración:
Figura 1
Considérese el diagrama de Venn de la figura anterior. La  BAP  es la suma de las
probabilidades de los puntos muestrales en BA .    BPAP  es la suma de todas las
probabilidades en A más la suma de todas las probabilidades en B. Por lo tanto, se han
sumado dos veces las probabilidades en  BAP  , se debe restar esta probabilidad una
vez, para obtener la suma de las probabilidades en BA , es decir  BAP  .
Si A y B son mutuamente excluyentes (no hay intersección), entonces:
     BPAPBAP 
Ya que si A y B son mutuamente excluyentes, BA =  entonces,  BAP  = 0
Si A1, A2 , A3, … An son mutuamente excluyentes, entonces:
       nn APAPAPAAAAP   21321
Ejemplos:
1. La probabilidad de que Paula apruebe matemáticas es de 2/3 y la probabilidad de que
apruebe inglés es de 4/9. Si la probabilidad de aprobar ambos cursos es de 1/4 ¿Cuál es
la probabilidad de que Paula apruebe al menos uno de ellos?
Solución: Si M es el evento de aprobar matemáticas y E el evento de aprobar inglés,
entonces por la regla aditiva se tiene:
       EMPEPMPEMP  =
3
2
+
9
4
-
4
1
=
36
31
2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 cuando se lanza un par de
dados?
Solución: Sea A el evento de que ocurra un 7, y B el evento de que ocurra un 11. El 7
resulta en 6 de los 36 puntos muestrales y el 11, en solo 2 de ellos. Dado que todos los
puntos muestrales son igualmente posibles, se tiene que: P(A) =
36
6
y P(B) =
36
2
Los
eventos son mutuamente excluyentes, dado que 7 y 11 no pueden presentarse en el
mismo lanzamiento. Por lo tanto,

4. [Escribir texto]
     BPAPBAP  =
36
6
+
36
2
=
36
8
=
9
2
3. Si las probabilidades de que una persona que adquiere un automóvil nuevo elija el color
verde, blanco, rojo o azul, son respectivamente de: 0.09, 0.15, 0.21, y 0.23 ¿Cuál es la
probabilidad de que un comprador adquiera un automóvil nuevo en alguno de estos
colores?
Solución: Sean G, W, R y B los eventos de que un comprador elija respectivamente un
automóvil verde, blanco, rojo o azul. Dado que estos eventos son mutuamente
excluyentes la probabilidad es:
         BRPWPGPBRWGP  = 0.09 + 0.15 + 0.21 + 0.23 = 0.68
Con frecuencia es más fácil calcular la probabilidad de que ocurra un evento que calcular
la probabilidad de que el evento no ocurra. Si este fuera el caso para algún evento A, se
podría simplemente encontrar P( A´ ) en primer lugar y después encontrar P(A) mediante
diferencia.
Si A es un evento cualquiera de un experimento aleatorio y 'A es el complemento de
A, entonces:
P(A) + P( 'A ) = 1 o P( 'A ) = 1 - P(A)
Ejemplo: Si las probabilidades de que un mecánico automotriz atienda a 3, 4, 5, 6, 7, 8 ó
más automóviles en un día de trabajo, son respectivamente de: 0.12, 0.19, 0.28, 0.24,
0.10 y 0.07 ¿Cuál es la probabilidad de que atienda cuando menos 5 automóviles en el
siguiente día de trabajo?
Solución: Sea E el evento de que el mecánico atienda cuando menos 5 automóviles,
entonces, la P(E) = 1- P( 'E ), donde 'E es el evento de que se reparen menos de 5 autos.
Dado que P( 'E ) = 0.12 + 0.19 = 0.31
“Probabilidad Condicional:
La probabilidad condicional se simboliza P(B/A), que se lee probabilidad de B, dado A, o
la probabilidad de que ocurra B, condicionado a que haya ocurrido A.
Se dice que dos o más eventos son independientes entre sí cuando la probabilidad de
que ocurra uno no es influida por la ocurrencia de otro. Si A y B representan dos eventos
y si la ocurrencia de A no afecta a la ocurrencia de B, y la ocurrencia de B no afecta a la
ocurrencia de A, entonces se dice que A y B son Independientes.
En este caso, la probabilidad de que ocurran A y B es igual al producto de sus respectivas
probabilidades, y se expresa así:
Reglas Multiplicativas:
P(A  B) = P(A) * P(B)

5. [Escribir texto]
Ejemplo: En una caja hay 5 esferas blancas, 4 rojas y 3 negras. Se extrae una esfera, se
observa su color y se regresa a la caja. Bajo estas condiciones, ¿cuál es la probabilidad
de que al extraer 3 esferas, éstas sean de color rojo?
P(R1  R2  R3) =
12
4
*
12
4
*
12
4
=
1728
64
=
27
1
Si dos eventos A y B no son independientes, es decir, si A y B son dependientes, la
probabilidad compuesta de A y B no es igual al producto de sus probabilidades
respectivas. Por lo cual, podemos decir, que para eventos dependientes:
P(A  B) = P(A) * P(B)
Es decir:
P(A  B) = P(A) P(B / A)
o
P(A  B) = P(B) P(A / B)
En una caja hay 5 esferas blancas, 4 rojas y 3 negras. Si se extraen al azar 3 esferas en
forma consecutiva, sin reemplazo, ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 sean de color
rojo? Sea R1 el evento extraer una esfera roja.
P(R1 R2 R3) = P(R1) P(R2 / R1) P(R3 / R1  R2)=
12
4
*
11
3
*
10
2
=
1320
24
=
51
1
De la expresión P(A B) = P(A)P(B/A) despejamos P(B/A) y se obtiene la probabilidad
condicional de "B dado A".
   
 AP
BAP
A
BP


En forma análoga, la probabilidad condicional de "A dado B", es:
   
 BP
ABP
B
AP


Una caja contiene 200 focos, 50 azules y 50 rojos; de los cuales, 10 son defectuosos: 6
azules y 4 rojos. ¿Cuál es la probabilidad de que un foco elegido al azar, sea defectuoso
(evento D)?
P(D) =
200
10
=
100
5
Si seleccionamos un foco al azar y se observa que éste es azul (evento A), ¿Cuál es la
probabilidad de que el foco sea defectuoso, dado que es azul?
Escribiremos P(D/A), para representar la probabilidad del evento D, dado A. Entonces,

6. [Escribir texto]
puesto que hay 50 focos azules y de éstos, 6 son defectuosos
P(D / A) =
50
6
=
25
3
“Regla de Bayes:
El procedimiento que se utiliza para encontrar probabilidades posteriores, a partir de
probabilidades previas, se llama regla Bayesiana. Las probabilidades a priori o previas se
conocen antes de obtener información alguna del experimento en cuestión. Las
probabilidades a posteriori se determinan después de conocer los resultados del
experimento.
El teorema de Bayes consiste en un método para encontrar la probabilidad de una causa
específica cuando se observa un efecto particular.
Esto es, si el evento B ha ocurrido, ¿cuál es la probabilidad de que fue generado por el
evento A1 (que es una causa posible) o por el A2 (otra causa posible)?
Si suponemos que los eventos A1, A2, A3,...., An, forman una partición de un espacio
muestral S; esto es, que los eventos A1 son mutuamente excluyentes y su unión es S.
Ahora, sea B otro evento
B = S  B = (A1  A2 A3...  An)  B
Donde Ai  B son eventos mutuamente excluyentes. En consecuencia:
P(B) = P(A1  B) + P(A2  B)+ P(A3  B) + … + P(An  B)
Luego por la regla de multiplicación:
P(B) = P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) + P(A3) P(B/A3) ... P(An) P(B/An)
Si A1, A2, A3, ..., An es una partición de S, y B es cualquier evento. Entonces para
cualquier i,






B
A
P i =
       An
BPAP
A
BPAP
A
BPAP
A
BPAP
n
i
i


















2
2
1
1
)(
Es decir:






B
A
P i =
 











i
i
i
i
A
BPAP
A
BPAP
)(
)(
La expresión anterior puede interpretarse de la manera siguiente: Si un evento puede
ocurrir en más de una forma, entonces la probabilidad de que ocurra en una forma
particular será igual a la razón de la probabilidad de que se presente la forma respecto a

7. [Escribir texto]
la probabilidad de que ocurra.
Se tienen dos cajas. La caja I contiene 3 esferas rojas y 2 azules, en tanto que la caja II
contiene 2 esferas rojas y 8 azules. Se arroja una moneda. Si se obtiene águila se saca
una esfera de la caja I; si se obtiene sol se saca una esfera de la caja II. R indica el
evento “sacar una esfera roja” mientras que I y II indican los eventos escoger caja I y caja
II, respectivamente. Una esfera roja puede resultar al escoger cualquiera de las cajas.
a) Hallar la probabilidad de sacar una esfera roja.
P(R) = P(I)P(R / I) + P(II)P(R / II)
P(R) =
5
2
10
2
2
1
5
3
2
1
























b) Hallar la probabilidad de que se escogiera la caja I, dado que la esfera es R, (es decir
que el resultado de arrojar la moneda sea águila).
La persona que arrojó la moneda no da a conocer si resultó águila o sol (de tal manera
que la caja de la cual se sacó la esfera se desconoce) pero indica que se extrajo una
esfera roja.
Buscamos la probabilidad de que se escoja la caja I y se sabe que se sacó una esfera
roja. Empleando el teorema de Bayes, esta probabilidad está dada por:
     
       II
RPIIP
I
RPIP
I
RPIP
R
IP


  











































4
3
10
2
2
1
5
3
2
1
5
3
2
1
R
IP
En un Instituto Superior, el 25 por ciento de los hombres y el 10 por ciento de las mujeres
estudian Biología. Las mujeres constituyen el 60 por ciento del estudiantado. Si se
selecciona en forma aleatoria un estudiante y resulta que está cursando Biología,
determinar la probabilidad de que sea mujer.
P(H) = 0.40; P(M) = 0.60; P(B/H) = 0.25; P(B/M) = 0.10
    
     
375.0
1.06.025.04.0
1.06.0



B
MP 1
1
M. en C. José Luis Hernández González. Probabilidad. Instituto Tecnológico de Atapizaco. Documento tomado en su
totalidad del sitio web http://es.scribd.com/doc/112818937/Trabajo-1-Estadistica