Refuerzo 7

MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN
PROYECTO DE REFUERZO ACADÉMICO PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN MEDIA
DOCUMENTO PARA EL DOCENTE DE MATEMÁTICA

Ministerio de Educación
Dirección Nacional de Educación
Actividades de Refuerzo para Matemática Página 2
PROYECTO DE REFUERZO ACADÉMICO PARA ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN MEDIA Presentación El proyecto de refuerzo académico como acción estratégica del Programa Social Educativo 2009-2014 “Vamos a la Escuela”, se prevé como una de las estrategias para evitar la repetición y la deserción. En ese marco, este proyecto cobra importancia ya que a partir de éste se promoverá el apoyo a los estudiantes de segundo año de bachillerato que presenten dificultades para desarrollar las competencias, conocimientos y habilidades, que se espera tengan los jóvenes y señoritas que egresan de bachillerato. Para poder hacer efectivo el refuerzo académico se hace necesario contar con información que permita tener un diagnóstico de las fortalezas y las limitaciones de los estudiantes que integran cada sección de segundo año de bachillerato; por ello, el proyecto inicia con una evaluación diagnóstica, cuyo fin no es asignar una nota a los estudiantes, tal como se describe a continuación.
1. Finalidad de la evaluación diagnóstica
La administración de las pruebas de diagnóstico tiene como finalidad poner a disposición de los docentes de educación media un instrumento de evaluación, que les permita identificar en los resultados los puntos fuertes y /o débiles de los estudiantes, con el propósito de realizar acciones pedagógicas que respondan a las necesidades individuales y de grupo, las cuales deberán estar encaminadas a la mejora y aprovechamiento de los aprendizajes. Ésta es una evaluación analítica y orientadora que pretende apoyar a los estudiantes que presentan más dificultades en el aprendizaje; por lo tanto, no se debe tomar como una evaluación para asignar calificaciones o calcular promedios en la asignatura. 2. Documentos que se proporcionan a los docentes
 Pruebas por asignatura.
Se han elaborado pruebas de diagnóstico de las 4 asignaturas básicas: Matemática, Lenguaje y Literatura, Estudios Sociales y Ciencias Naturales. Cada una de ellas se presenta en cuadernillo separado; los ítems son de opción múltiple con 4 opciones de respuesta de las cuales sólo una es la correcta. Los insumos considerados para definir qué evaluar en cada asignatura fueron: los indicadores de logro que resultaron más difíciles para los estudiantes evaluados en la PAES 2008 y 2009; así como los indicadores de logro de los programas de estudio de primer año de bachillerato que son prerrequisito para el dominio de otros indicadores de segundo año, y que a la vez se consideran difíciles para los estudiantes o difíciles de impartir por el docente.

 Actividades de Refuerzo Académico
Es un documento por asignatura dirigido a los docentes, en el que se sugieren actividades de refuerzo orientadas a reducir las dificultades mostradas por los estudiantes en el desarrollo de las tareas propuestas en los ítems. En cada asignatura se identifica el contenido que se explora en cada ítem de la prueba, así como el indicador de logro del programa de estudio .Para cada ítem se dan a conocer las causas posibles por las que los estudiantes lo respondieron incorrectamente. Se presenta la actividad sugerida, los recursos con los que se puede desarrollar, la descripción de la misma y en algunos casos se brinda información para enriquecer el desarrollo del contenido. Las actividades de refuerzo por asignatura deberán trabajarse, prioritariamente, con el grupo de estudiantes que obtuvieron menos aciertos en la prueba; aun cuando las actividades propuestas pueden ser aplicadas a todo el grupo.
 Plantilla para registrar las respuestas correctas
Después de aplicada cada prueba, el docente responsable de la asignatura y de la sección, deberá revisar las respuestas dadas por los estudiantes a cada ítem; para el registro de las respuestas correctas se propone una plantilla por asignatura, en la que se identifica el número del ítem y el literal que contiene la respuesta correcta; registrar sólo las respuestas correctas; de esta manera tendrá un diagnóstico del desempeño de cada estudiante y del grupo. En la sección podrá identificar cuáles ítems fueron respondidos correctamente en mayor o menor cantidad por los estudiantes. 3. Desarrollo de la Evaluación
 Para que los resultados de las pruebas reflejen las dificultades o las fortalezas de los estudiantes, se sugiere desarrollar una asignatura cada día, y que ésta se realice simultáneamente en todas las secciones de segundo año de bachillerato de la institución; el tiempo máximo estimado para cada prueba es de 90 minutos.
 La evaluación deberá realizarse en la segunda semana del mes de febrero.
 Se deben administrar las pruebas dando indicaciones claras y de forma imparcial en un ambiente que genere confianza; es decir, evitar acciones que causen tensión en los estudiantes, ya que ello podría influenciar negativamente sobre el trabajo de éstos en la prueba.
 Los estudiantes deberán marcar sus respuestas en cada cuadernillo; para lo cual se debe encerrar en un círculo la letra de la opción que contiene la respuesta correcta.
 El docente debe explicar a los estudiantes que la prueba no es para asignarles una nota y deberán motivarlos para que realicen su mayor esfuerzo al responder todos los ítems.

 Las indicaciones para la aplicación de la prueba deben ser respetadas, Si un estudiante pide información adicional, no se le deben dar elementos de respuesta, ni información susceptible de orientar su respuesta. Si la indicación no es comprendida, será suficiente solicitar que relea la indicación o la pregunta.
 La prueba debe ser realizada individualmente, para que el propósito de diagnóstico de ésta, realmente sea alcanzado.
4. Proceso de registro de las respuestas dadas por los estudiantes en cada prueba
 Después de la aplicación de las pruebas, los docentes proceden al registro de las respuestas correctas de los estudiantes. Esta fase es parte integral de la evaluación porque permite el análisis de las respuestas y conduce a la reflexión y valoración de decisiones pedagógicas que respondan a cada contexto.
 El docente responsable de la asignatura deberá realizar el registro de las respuestas correctas, para ello utilizará la plantilla propuesta en la que se indica el número del ítem y el literal que contiene la respuesta correcta de cada ítem de la asignatura.
 Cuando existan errores o ausencias de respuesta muy frecuentes en una misma sección, es importante verificar si los elementos referidos fueron estudiados y como se procedió. El docente podrá así establecer un diagnóstico y juzgar si es necesario o no desarrollar procedimientos de ayuda para algunos estudiantes.
 Revisar en los resultados de cada estudiante, cuáles ítems no respondió correctamente para determinar cuáles contenidos son los que requieren de refuerzo académico, de esta manera se pueden formar grupos con dificultades en común para poder atenderlos con las actividades sugeridas. Asimismo, es importante identificar los puntos fuertes de cada uno con el propósito de poder tomarlos como apoyo en procesos de tutoría con otros estudiantes que tengan dificultades. Los resultados globales no tienen un significado importante, puesto que lo que se debe destacar no es cuántos respondió, si no cuáles no fueron respondidos correctamente, para planificar y orientar las actividades de refuerzo académico.
 Estos resultados conciernen a grupos de alumnos y pueden constituir referencias, pero la dimensión diagnóstica de las evaluaciones toma toda su pertinencia cuando el docente se interesa en el alumno en toda su singularidad
 Revisar las propuestas de actividades de refuerzo académico que se sugieren para los ítems, si están de acuerdo con éstas, desarrollarlas con los estudiantes que lo requieran; si usted tiene experiencia con otro tipo de actividades que le han resultado exitosas para el dominio de ciertos contenidos, puede aplicarla en su clase y compartirla con otros docentes en círculos de estudio.

PLANTILLA PARA EL REGISTRO DE LAS RESPUESTAS CORRECTAS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
C D B B B A B D B A B D C C D C C A A A B C A C D D C C A A D C B C C C D C D B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
Total de estudiantes que
Respondieron correctamente al ítem
No. Nombre
MATEMÁTICA
ítems
Total

Actividades de refuerzo académico sugeridas para que los estudiantes superen las deficiencias mostradas en el desarrollo de los ítems de la prueba. ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 1 Y 2
Bloque de contenido: Números y operaciones
Contenido: Números enteros
Indicadores de logro: 1.6 (7º grado) Resuelve ordenadamente ejercicios de suma y/o resta de números enteros (aplicando la ley de los signos) 1.7 (8º grado) Resuelve problemas con seguridad, utilizando operaciones combinadas de números reales y signos de agrupación.
Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem:
1) Desconoce las leyes de los signos
2) Desconoce las reglas para eliminar signos de agrupación.
3) Aplica la ley de los signos para la multiplicación cuando suma.
4) Aplica incorrectamente las leyes de los signos aun cuando elimina correctamente los signos de agrupación.
5) Interpreta incorrectamente el problema.
6) Se enfoca solo en una parte del problema.
Actividad 1: Reforcemos saberes previos. Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad
1. Iniciar la actividad reflexionando sobre la importante de aplicar correctamente las operaciones matemáticas en situaciones de la vida diaria, como las medidas de la temperatura, las alturas tomando como punto de partida el nivel del mar, etc.
2. Reforzar los conocimientos previos que son necesarios en la solución de éste ítem, como los siguientes:
Ley de los signos para la suma y la resta: Se debe hacer énfasis en que dicha ley es diferente a la aplicada en la multiplicación y división, ya que los estudiantes suelen aplicarla de la misma manera. Para el caso de la suma y resta pueden darse los siguientes casos: Los números tienen el mismo signo: en este caso se suman los números y al resultado se le escribe el signo común. Ejemplos: 5 + 27 = 32 (El signo más de los números 5 y 32 no se escribe) - 8 – 35 = - 43 Los números tienen signos diferentes: en este caso se restan y el minuendo será la cantidad de mayor valor absoluto. Al resultado se le colocará el signo de esta cantidad. Ejemplo: 5 – 27 = - 22, ya que 27 es el mayor valor absoluto y posee signo menos. 18 – 11 = 7, ya que 18 es el mayor valor absoluto y posee signo más.

Ley de los signos para la multiplicación y división Hacer énfasis en identificar la operación que se desea realizar, para no confundir la ley de los signos. La ley es la misma para la multiplicación y la división y nos dice que al multiplicar o dividir cantidades con signos iguales se obtiene una cantidad con valor positivo y al multiplicar o dividir cantidades con signos contrarios se obtiene una cantidad con signo negativo. Tener en cuenta que dicha ley aplica de dos en dos. Jerarquía de las operaciones Cuando se presentan operaciones combinadas, primero se efectúan potencias, luego productos y/o divisiones, por último sumas y restas. 1. Completar la siguiente tabla:
2. Simplificar cada una de las expresiones siguientes:
a) 4 – 2- ( 8 – 12 )
b) ( -36) + ( +15) – ( -13 ) + ( +25 )
c) 3 - [ 2 – ( 4 – 5 – 8 ) – ( 2 + 3 – 9 ) 
d) (-5 + 4 – 10 + 25) – (4 – 15) + (8 – 15 -19)
e) 13 - [-8 – (- 4 +3 -8  + (15 – 20)- (13 – 40) f) -20 – [ (13 + 12) + 15 – (1 – 8 – 9 + 3) g) 19 – 3 - [6 – (5 – 3) – (2 + 1) + (5 – 3)   h) 15 - [- (3 + 4 – 7) + (2 – 20 + 18)] + (3 – 5 – 10 – 7) 3. Resolver los siguientes problemas:
a. Si la construcción de una pirámide duró 200 años y fue iniciada en el año 152 a.C. ¿en qué año finalizó su construcción?
b. A las 10 de la mañana el termómetro marcó 13 o C, a las 2 de la tarde la temperatura aumentó 10 o C y luego disminuyó continuamente hasta alcanzar una disminución total de 15 o C a las 8 de la noche. Expresar la temperatura en grados centígrados a las 8 de la noche.
c. Si se toma como origen para medir tiempo el 12 de julio de 1992 a las cero horas y se escoge como unidad de tiempo la hora, ¿cuál es la fecha y la hora que corresponden a los siguientes números enteros?
1) 25 2) -73 3) 105
a
+5
-7
+31
-52
-17
+19
-41
+13
-5
-8
b
-13
-12
-11
0
-10
-9
+20
+21
0
-23
a + b
a - b

d. Completar con números enteros el siguiente cuadrado mágico, si la suma de sus
filas, columnas y diagonales es -10.
Actividad 2: Reduzco expresiones aritméticas con números reales
Descripción:
Reforzar las operaciones básicas con fracciones, luego proporcionar una serie de
ejercicios de sumas y restas de fracciones de igual y distinto denominador.
a) Cuando multiplicamos fracciones se debe multiplicar numerador con numerador y
denominador con denominador. Hacer énfasis en que un número entero puede
expresarse como una fracción, agregándole uno en el denominador.
Ejemplos:
21
8
(3)(7)
(2)(4)
4
7
3
( 2 )( )     7
2
7
30
7
6
1
5
7
5 6  ( )( )   4
b) Cuando sumamos o restamos fracciones homogéneas se operan los numeradores
y al resultado obtenido se le coloca el mismo denominador.
Ejemplo:
Realizar la siguiente operación:
3
1
3
10
3
1 4 5
3
5
3
4
3
1        3
c) Cuando sumamos o restamos fracciones heterogéneas (de distinto denominado) se
busca que el denominador sea el mismo para operarlas como fracciones
homogéneas.
Ejemplo:
4
7
5
3
2
1   El denominador común debe ser 20 (mcm)
     
20
13
20
33
20
10 12 35
20
20 20 20
1 4
7
5
3
2
1
      
Multiplicamos cada fracción
por el mcm
5
-9
2
0
-3
-2
-4
-7
-10
3
5
3
4
3
1  

Ejercicios:
a) Identificar si cada fracción es homogénea o heterogénea y encontrar el resultado.
5. 4
5
4
1
4
1  
6. 8
5
7
4
3
1  
7. 3
5
3
4
3
1  
b) Operar considerando la prioridad de las operaciones y las leyes de los signos.
1. 2 2
5
4
3 
2. 5
2
3
5  1  3
3.    4
1
5
7
7
4
3
2  
4.    4
1
7
5
4
7
3
2  
c) Resolver los siguientes problemas:
a) José tiene $6 más que Juan, si Juan tiene $28 ¿Cuánto dinero tienen entre los dos?
b) Carmen tiene de lo que tiene Oscar. Si Oscar tiene $70. Entonces, ¿cuánto tiene
Carmen?
c) Por el costo total de las llamadas que realizo en cada mes, la empresa de telefonía me
hace un descuento de la cuarta parte de lo que consumo. Si en un mes gasté $18
¿Cuánto pagué en total?
Fuente de información:
Dimensión. Matemática 7.
Nelson Londoño, Hugo Guarín, Hernando Bedoya.
Grupo Editorial Norma Educativa.
ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 3
Bloque de
contenido: Números
y operaciones
Contenido: Regla
de tres simple
Indicador de logro:
5.12 (7º grado) Resuelve y explica con
interés ejercicios y problemas usando la
regla de tres directa o inversa.
1. Muestra dificultad para entender el problema (lectura comprensiva).
2. No asocia el problema con proporcionalidad ni con la regla de tres directa.
5. 4
1
5
5  7 
6. 4
3  1
7.    4
1
5
7
7
4
3
2  
8.   4
1
7
3 4 1
4. 4
7
7
3
2
1  
5. 4
7
5
3
2
1  

3. Escribe diferentes unidades en la misma columna al plantear la regla de tres.
4. Resuelve la regla de tres directa como si se tratara de inversa.
Actividad 1: Reforcemos saberes previos. Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad
1. Organizar a los estudiantes en equipos de trabajo
2. Solicitar que elaboren la gráfica del volumen en función del tiempo, con los valores presentados en la tabla que aparece en la guía.
3. Escribir las características de las gráficas de magnitudes que son directamente proporcionales.
Reflexionar ante la situación: Un recipiente se está llenando con un líquido, de tal manera que cada segundo aumenta 3 litros. En la situación se pueden distinguir dos magnitudes (volumen y tiempo) y se quiere conocer la relación entre ellas. Observa la tabla:
¿Cómo podemos hacer para saber si las magnitudes guardan alguna relación? Completa la razón del volumen y el tiempo ( V/T)
Cuáles son los volúmenes que corresponden 10 y 15 segundos respectivamente. En general
Si la magnitud A toma valore x1, x2, x3, …y la magnitud B toma valores y1, y2,y3,… decimos entonces que A es directamente proporcional B si se cumple que: = = = … = constante, es decir = y = k. x Magnitudes inversamente proporcionales Completa la tabla de la velocidad que necesita un vehículo para que en determinado tiempo recorra cierta distancia.
Magnitudes Puedes observar que la constante se obtiene en este caso multiplicando k = v t
Tiempo (T)
en segundos
1
2
3
4
…
10
15
Volumen (V)
en litros
3
6
9
12
…
?
?
( V/T)
3/1
6/2
…
K
3
3
…
?
?
Velocidad (V)
en km/h
100
50
25
10
Tiempo (t)
en horas (h)
1
2
4
10
Distancia (d)
d = v t
100
?
?
?
322211xyxyxy K xy

Ejercicio: Clasifica cada una de las siguientes proporcionalidades en directa o inversa.
a) El precio de un artículo y el número de artículo
b) El tiempo empleado y la distancia recorrida
c) El volumen y la presión de un gas
d) La base y la altura de un rectángulo (si el área es la misma)
Actividad 2: Cálculo en la solución de problema
Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad
Observa los siguientes ejemplos y escribe el resultado del cálculo.
Proporcionalidad directa Proporcionalidad inversa
La rueda de un automóvil recorre 15 m
cada 10 vueltas, ¿cuántas vueltas dará al
recorrer 75 m?
Solución
Se puede observar que si la distancia
aumenta el número de vuelta aumenta en
la misma proporción, entonces la las
magnitudes son directamente
proporcionales
Entonces x =
15
(75)(10)
=
R/ La rueda dará ____vueltas
En una fábrica 12 obreros hacen cierto trabajo en
15 horas. ¿Cuánto tiempo demoran 5 obreros en
efectuar ese trabajo, en las mismas condiciones?
Solución
Si al disminuir el número de obreros, el tiempo
aumenta en la misma proporción las magnitudes
son inversamente proporcionales
Entonces x = =
R/ los 5 obreros realizan la obra en ____ días
Nota: En la respuesta escribimos siempre la unidad de medida.
Resuelve los problemas siguientes:
a) Ana vio un rayo que quema un árbol a una distancia de 2,380 m y escucho el
trueno pasado 7 segundos. ¿Cuántos metros recorre el sonido en 1 segundo?
b) Para un viaje en alta mar un barco con una tripulación de 8 personas dispone de
alimentos para 15 días. ¿Para cuántos días alcanzará la ración de alimentos si
en el barco viajarán 10 personas?
c) Si un grifo vierte 1.2 litros de agua por segundo y tarda 18 horas en llenar un
estanque. ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarlo si vertiera 0.9 litros por segundo?
d) Un estanque de 2.5 m de profundidad contiene 85,000 litros de agua cuando
está lleno. Si el nivel de agua baja 1.8 m, ¿qué cantidad de agua contiene?
Fuente de información
a. http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_tres
b. http://didactica-y-matematica.idoneos.com/index.php/´Proporcionalidad
c. http://www.thatquiz.org/es/previewtest?GBOM1530
d. Matemática 6, Colección Cipotas y Cipotes. Ministerio de Educación, Primera Edición.
Editorial Altamirano Madriz, S.A. Agosto de 2008
Magnitudes
Distancia N de vueltas
15 10
75 x
Magnitudes
N de obreros Tiempo
12 15
5 x
5
(15)(12)

Bloque de
contenido:
Geometría
Contenido:
Conversión de
ángulos de grados
a radianes
Indicador de logro:
4.6 (1er. año de bachillerato) Muestra
confianza al convertir ángulos expresados
en grados a radianes y viceversa,
utilizando los factores de conversión.
1. Le falta dominio de la regla de tres simple y su respectiva interiorización, la cual
debe ser una pauta para aplicar los factores de conversión de forma significativa y
no mecánica.
2. No tiene dominio de la equivalencia entre grados y radianes.
Actividad 1: Reforcemos saberes previos
Recursos: Representaciones gráficas para visualizar las agujas del reloj.
A partir del siguiente problema se debe orientar a los estudiantes a que enumeren lo
que necesitan y con lo que cuentan para resolver este tipo de problemas (asociación
entre los 360o de una vuelta entera y las particiones que corresponde a cada hora,
equivalencias entre grados y radianes, métodos de conversión de una a otra unidad,
etc.), esto les permitirá integrar sus saberes, y no verlos de forma aislada, sin utilizar los
recursos que ya poseen.
El reloj de la torre de la iglesia, marca la 1 de la tarde, formando un ángulo con las dos
manecillas. ¿De cuántos grados es el ángulo que forman? Representa ese mismo
ángulo en radianes.
Para resolver:
a) Recuerda la equivalencia de 1 radián en grados, de la relación 360º entre 2
b) Realizar una tabla de los valores de y su equivalencia en grados; para hacer una
comparación del sistema sexagesimal y el sistema circular.
Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo
de 360o equivale a 2π radianes; un ángulo de 180o equivale a π radianes (recordemos
que el número π = 3.14159265359…). Las equivalencias entre los cinco principales
ángulos se muestran en las siguientes tres figuras:



Actividad 2: Realicemos conversiones
Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180o equivalen a π
radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.
a) Convertir 38o a radianes.
Primero planteamos la regla de tres.
Nótese que la x va arriba, en la
posición de los radianes.
180 38
  x
Despejamos x, también simplificamos.
90
19
180
x  38  
Por último obtenemos el equivalente
decimal con calculadora:
x = 0.6632 radianes
b) Convertir 2.4 radianes a grados.
Primero planteamos la regla de tres.
Nótese que la x va abajo, en la
posición de los grados.
x
24
180  
Despejamos x.
 

180 24 x 
Por último obtenemos el equivalente
decimal con calculadora:
x = 137.5099 o
Convertir de Grados a Radianes Convertir de Radianes a Grados
Mc graw Hill, México 1996
www. didactika.com
www.descartes.com
Radianes Grados
0.79483 Rad
3.54209 Rad
1.1680 Rad
4.5836 Rad
2.22106 Rad
0.8670 Rad
1.8536 Rad
3.1558 Rad
6.5438 Rad
Grados Radianes
38 o
147 o 15’
250 o 30’ 45”
72 o
201 o 50’
322 o 14’ 10”
30 o
150 o 40’
189 o 30’ 58”

Bloque de contenido: Geometría
Contenido: Sector circular
Indicador de logro: 5.10 (8’ grado): Determina, explica y usa con seguridad la fórmula para el cálculo del área de un sector circular.
1. Desconoce la fórmula del área del círculo
2. Desconoce la fórmula para encontrar el sector circular
3. Dificultad al aplicar la fórmula del sector circular
4. No hay conocimiento de los elementos necesarios para encontrar el área de un sector circular.
Actividad 1. Reforcemos saberes previos Recursos: Compás, regla, colores, tijeras, pegamento y círculos en papel bond. Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad ¿Cómo encontrar el área de un círculo deduciendo la fórmula?
1. Presentar círculos en papel bond divididos inicialmente en cuatro partes iguales, trazando diámetros, pintar la mitad de un color y la otra mitad de otro color, recortar cada sector y colocar en forma invertida (ver figura). Realizar el mismo proceso con los otros círculos dividiéndolos en ocho, dieciséis y treinta y dos partes.
2. Apoyar la actividad con preguntas pertinentes al contenido como:
¿A qué figura geométrica se parece? ¿Qué relación puedes hacer de las dimensiones del rectángulo con las del círculo?
3. Recordar como se deduce la fórmula para encontrar el área de un círculo
Construye un círculo de papel y piensa en la forma para encontrar el área. Solicitar que observen como se transforma un círculo en la medida que se dividen sectores de 8, 16, 32 y 64.

Cuanto más se sectoriza el círculo, ¿a qué figura se parece?
La figura compuesta por los sectores se aproxima a un rectángulo.
Relaciona con una línea las expresiones de la izquierda con las de la derecha y deduce
la fórmula del área del círculo.
Largo del rectángulo Radio x radio x
Ancho del rectángulo Radio x 3.1416
Mitad de la circunferencia Diámetro x 3.1416 ÷ 2
Diámetro x 3.1416 ÷ 2 Radio de la circunferencia
Área de la circunferencia Mitad de la circunferencia
El ancho del rectángulo
coincide con el radio del
círculo. El largo del rectángulo
coincide con la mitad de la
longitud de la circunferencia
A = r2
Para encontrar el área de un sector circular, tienes que conocer la
longitud del radio y el ángulo central en grados.
Con estos datos utiliza la fórmula:
Donde es el ángulo interno del sector, medido en grados.



Actividad 2: Resolvamos ejercicios y problemas aplicando la fórmula
Aplica la fórmula para encontrar el área de círculos y sectores circulares.
1- Encuentra el radio y el área de los círculos cuyas circunferencias tienen las
siguientes medidas:
a) 62.8 cm b) 12.65 cm c) 47.1
2- Observa las figuras y calcula el área de las partes sombreadas
3- Encuentra el área de los siguientes sectores.
4- Encuentra el área de un semicírculo cuyo radio mide 4cm.
5- Encuentra el área de un sector circular con ángulo central de 60º y radio de 5cm
Matemática 6, Colección Cipotas y Cipotes. Ministerio de Educación, Primera Edición.
Editorial Altamirano Madriz, S.A. Agosto de 2008
ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 6, 7 y 8
Bloque de
contenido:
Geometría
Contenido
conceptual:
Triángulos.
Clasificación y
teoremas
Indicadores de logros:
3.1 (8º grado) Construye con precisión y
aseo triángulos; los clasifica, describe y
explica según sus lados y ángulos.
3.3 (8º grado) Resuelve con precisión
problemas aplicando el teorema; “la suma
de los ángulos exteriores de un triángulo
es igual a 360 o”
1. Desconoce la clasificación de los triángulos en relación a sus ángulos.
2. No examina cuidadosamente todos los ángulos.
3. Desconoce las características claves para identificar cuando un triángulo es
acutángulo o rectángulo.
b)

4. No encuentra coherencia entre la representación del triángulo y los datos que éste contiene.
5. No tiene dominio de las características de un triángulo isósceles.
6. Desconoce los teoremas de los triángulos.
7. Confunde los distintos teoremas.
8. Tiene dificultad para plantear y resolver una ecuación lineal.
9. Muestra dificultad en la comprensión del problema (lectura comprensiva).
Actividad 1: Clasificando triángulos Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad Presentar el siguiente esquema, y que se discuta la información que contiene. En la clasificación “por sus ángulos”, que compartan las razones por las que consideran que el triángulo acutángulo es presentado de esa manera y que a partir de ello, dibujen el triángulo obtusángulo, y discutan los resultados. Discutir de forma semejante la parte izquierda del esquema. Clasificando los triángulos
Actividad 2: Apliquemos la clasificación Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad
1. En parejas o tríos, que discutan, complementen, definan o justifiquen y se pongan de acuerdo sobre los siguientes las siguientes tareas.
a) Define qué es un triángulo isósceles.
b) ¿Cuándo un triángulo es obtusángulo?
c) ¿Cuántos ángulos rectos puede tener un triángulo? Escribe las razones de tu respuesta.
d) ¿Cuántos grados suman los tres ángulos interiores de un triángulo? Ejemplifica tu respuesta.

e) Con la ayuda de un reloj de agujas, representa los diferentes ángulos que conoces;
utilizando dibujos para cada ángulo, marcando la hora del reloj que forme dicho
ángulo.
f) Si el reloj marca las 12:00 hrs, ¿cómo se llama el ángulo que forman las agujas?
g) Si las 3 manecillas del reloj, se encuentran en diferente posición. ¿Qué nombre
reciben los ángulos que forman?
h) En tu reloj marca las 3 de la tarde. ¿Qué ángulo forman las manecillas en esa hora?
¿Qué nombre recibe ese ángulo?
2. Escribir la clasificación del triángulo de acuerdo a lo que se solicita.
Actividad 3: Apliquemos teoremas
1. Resolver ecuaciones lineales, considerando los errores más comunes en los y las
estudiantes.
d) 7x + 13 – 9x = 8x – 3x – 8
e) 11x + 5x – 1 = 65x – 36
f) 2y – 99 – 5y + 9y = 128 – 5y – 7
2. Orientar la resolución de los ejercicios pero dejar que sean los estudiantes quienes
resuelvan.
a) Pedir a los y las estudiantes que investiguen los distintos teoremas con que
cumplen los triángulos y las definiciones de ángulos complementarios y
suplementarios.
b) Además se recomienda efectuar en clase lectura y planteamiento de diversos
problemas (lógicos, algebraicos, aritméticos, etc.), para mejorar en la lectura
comprensiva.
Según sus lados Según sus ángulos
d) x + 3(x-2) = 2x – 4
e) 36 –
9
4x
= 8

3. Hallar el valor de los ángulos aplicando los diferentes teoremas.
C
65o 30o A 50o 35o B y x 40o
R Z
30o 58o P 60o Q q’ X 65o y x’ Y
C T 5x t 3x 4x R r s S A B 140o 70o Actividad 4: Resolvamos problemas Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad Resolver los siguientes problemas: 1. Si uno de los ángulos de un triángulo es el doble del ángulo más pequeño y el tercer ángulo es tres veces el ángulo más pequeño. Encontrar la medida de cada ángulo interior y su correspondiente ángulo exterior. 2. Un ángulo externo a la base de un triángulo isósceles mide 155o. ¿Cuánto mide el ángulo vértice? 3. En un triángulo  ABC, <A = 5x, <B = 7x y <C = 36o. Encontrar las medidas de <A y <B. 4. Dos ángulos están en relación 3:2. Si se les presenta por 3x y 2x, hallar el valor de los ángulos si:
a) Los ángulos son adyacentes y forman un ángulo de 60o
b) Los ángulos son complementarios

c) Los ángulos son suplementarios
d) Los ángulos pertenecen a un triángulo cuyo tercer ángulo es la suma de los dos ángulos dados.
5. Encontrar la medida del tercer ángulo interior de un triángulo, si la medida de los otros dos son: a) 67 y 47 b) 22 y 135 c) a y 2a Fuente de información: Matemática 3 Geometria y Trigonometria Ortiz Campos. Publicaciones Culturales Algebra. Luis María Ormaechea UCA Editores 1989. ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 9
Bloque de contenido: Geometría
Contenido: Teorema de Pitágoras
Indicador de logro: 3.25 (8º grado) Resuelve problemas aplicando el Teorema de Pitágoras, en cooperación con sus compañeros.
Causas posible por las que el estudiante no contestó bien el ítem
1. No identifica el triángulo rectángulo.
2. No asocia el problema con el Teorema de Pitágoras.
3. Aplica incorrectamente el Teorema de Pitágoras.
4. Dificultad para encontrar el perímetro de la figura.
Actividad 1: Juguemos con Triángulos Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad En el cuadro siguiente se te presenta la clasificación de los triángulos según sus lados y sus ángulos.
Clasificación de los Triángulos
Según la medida de sus lados
Triángulo rectángulo
Uno de sus ángulos es recto
Triángulo acutángulo
Todos sus ángulos son agudos
Triángulo obtusángulo
Uno de sus ángulos es obtuso

Según la medida de sus lados
Triángulo equilátero
Todos sus lados son iguales
Triángulo isósceles
Dos de sus lados son iguales
Triángulo escaleno
No tiene lados de igual tamaño
Usando la clasificación anterior, marca con una “X” la columna de verdadero o falso de acuerdo a la proposición presentada. Justifica tu respuesta.
Proposición
V
F
Justificación
Todo triángulo equilátero es isósceles
Algunos triángulos equiláteros son obtusángulos
Algunos triángulos rectángulos son isósceles
Todo triángulo isósceles es acutángulo
Algunos triángulos rectángulos son escálenos
Todo triángulo obtusángulo es escaleno
Actividad 2: Construyamos el cuadrado de la hipotenusa Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad Formar equipos de trabajo y entregar a cada uno, la copia de una de las siguientes figuras para que los estudiantes las recorten y comprueben el Teorema de Pitágoras.

Actividad 3: Apliquemos el Teorema de Pitágoras Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad Encuentra el valor de la incógnita aplicando el Teorema de Pitágoras.
a) b)
Actividad 4: Encontremos el perímetro Esta actividad se sugiere para aquellos casos en que los estudiantes aplican el Teorema de Pitágoras pero no recuerdan como encontrar el perímetro de la figura. Ejercicio: Un topógrafo mide un terreno con forma de triángulo rectángulo. Los dos lados que forman el ángulo recto miden 21m y 28m respectivamente. ¿Cuántos metros mide el perímetro del terreno? Fuente de información www.roble.pntic.mec.es/jarran2/.../teoremapitagoras.htm
s
13
8
15
12
p

Bloque de
contenidos:
Números y
Operaciones
Contenido:
Fracciones
complejas
Indicador de logro:
3.7 (7º grado): Resuelve con seguridad
problemas aplicando las operaciones
fundamentales de los números
fraccionarios.
Causas posibles por que los estudiantes no contestaron bien el ítem.
1. Dificultad en la interpretación del problema.
2. Dificultad para establecer el orden de prioridad en el problema.
3. No recuerda el algoritmo de las operaciones con números fraccionarios.
4. Dificultad para convertir números mixtos a fracción impropia.
Actividad 1. Reforcemos saberes previos
1. Organizar a los estudiantes en equipos de trabajo
2. Entregar información sobre la clasificación de los números fraccionarios.
3. Pedir que elaboren un mapa conceptual de acuerdo a la clasificación de los
números fraccionarios
4. Solicitar que realicen una descripción de los procesos que se realizan para convertir
fracciones mixtas a fracciones impropias, sumar fracciones con igual y distinto
denominador y aplicar dichos procedimientos en la solución de la actividad 1.
Se presenta la siguiente situación
Carmen preparó jugo de naranja y midió la cantidad
¿Cuántos litros de jugo hay en el recipiente de la derecha? R ¾ l
¿Cómo podemos representar la cantidad total de jugo
R: Hay 2 l y ¾ de jugo la cantidad total se escribe
4
3
2 l y se lee “dos tres cuartos de
litro”.
Se llama fracción impropia si el numerador es mayor que el denominador.
Ejemplo:
3
7
3
1
2 
1 l 1 l 1 l

Actividad 2: Juguemos con fracciones
Completa los espacio que faltan, observa que en los extremos de la figura están
escritos los recíprocos de los números naturales. En los otros espacios se coloca la
suma de las dos fracciones sobre las que se apoya.
Ver ejemplo.
Une la figura que contiene la operación indicada con la del resultado.
3
1
4
3
8
2
 
6
1
1
4
2
1
2
1
2  









2
1
.
5
3
4
1
3
2
3
2
6
5
2
40
11
5
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
3
1 6
1 3
1
4
1
4
1
?
3
1
Para escribir el número que corresponde, buscamos la
fracción que al sumarla con
3
1 el resultado es
2
1
La fracción que hace falta en este caso es
6
1
6
1
+
3
1
=
2
1
5
1
6
1
6
1
1
1
3
1

Observa la figura y calcula el área que se te indica
Área de una pierna =________________ Área del tronco = ______________
Área de las dos piernas = Área de un brazo =
Compruebe los resultados de las operaciones siguientes
a) R/
15
8
12 b) R/
16
3
Resuelve
a) En una caja hay 90 tornillos,
15
5
del total son grandes,
3
1
del total son medianos y
18
6
del total son pequeños. ¿Cuántos tornillos hay de cada clase?
b) En una clase de 40 alumnos,
5
2
son de la zona oriental
4
1
de la zona occidental y el
resto de la zona central. ¿Cuántos alumnos hay de cada región
http://www.vitutor.net/2/3/4.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n
Matemática 5, Colección Cipotas y Cipotes; MINED, 2007, Pág. 66 - 81




 




2
1
x
8
3
4
7
5
3
4
3
3
1
2
4
1
3
1
2
1

 

Bloque de contenido: Geometría y medidas
Contenido: Semejanza de triángulos
Indicador de logro: 3.19 (8° grado) Determina, explica y aplica con seguridad la semejanza de triángulos, mostrando confianza.
1. Tiene problemas para despejar la variable en una ecuación fraccionaria (proporción).
2. Plantea la proporcionalidad sin considerar que el producto de los extremos (o de los medios) debe incluir la sombra de uno de los objetos y la altura del otro.
3. Desconocimiento de la relación entre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas.
4. No lo relaciona con semejanza de triángulos por tratarse de figuras separadas.
Actividad 1: Reforcemos saberes previos Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad Es importante asegurar que los estudiantes tengan dominio de los saberes previos, por las siguientes causas:
a) El dominio de ángulos entre paralelas es la base para establecer la semejanza.
b) Para resolver el problema deben encontrar el valor de x en una igualdad, ya sea que se encuentre como numerador o denominador y en cualquiera de los lados de la igualdad.
c) La congruencia tiene como base el planteamiento de proporciones.
El dominio de estos saberes puede observarse en ejemplos como los siguientes:
 Un geógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para ello utiliza un mapa. Se percata que la escala utilizada en el mapa es de 1:500,000; es decir, un centímetro en el mapa representa 5000 metros en la realidad. Luego de medir con una regla la distancia entre las dos ciudades, obtiene que es de 3cm, lo cual representa 15000 metros en la realidad. Note que el mapa es una representación semejante a una porción del globo terráqueo, de allí que, deba guardar una misma proporción, con el fin de que las medidas que se tomen sobre él sean lo más cercanas a su valor real.
 La construcción de modelos a escala (aviones, barcos y edificios, entre otros) requiere de una buena aplicación de los conceptos de semejanza y proporcionalidad, esto con el fin de que la maqueta sea lo más semejante posible al objeto real, además de guardar una proporcionalidad adecuada, en otras palabras, el tamaño de cada una de sus partes debe estar acorde con el tamaño que el objeto tiene en la realidad.
 Dos fotografías de la misma persona, una de tamaño 3x4 pulgadas que luego es ampliada a 6x8 pulgadas. Ambas son semejantes y tienen una misma proporción,

ya que una es la ampliación de la otra tanto a lo ancho como a lo largo y con una misma razón, o sea, las divisiones de sus lados correspondientes son de igual valor.
 Dos anillos idénticos, cuyos diámetros son exactamente iguales, guardan la misma proporción y semejanza entre cada una de sus partes (circunferencia, radio, área, diámetro).
Actividad 2: Encontremos congruencias en un triángulo trazando paralelas Recursos: Cartulina y estuche de geometría para trazar triángulos. Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad Es más fácil que los estudiantes observen la congruencia de los ángulos cuando se traza una paralela a cualquiera de los lados ya sea adentro o afuera del triángulo. Debe aprovecharse este momento para insistir en los casos de semejanza y que compruebe la congruencia de los ángulos (de ser necesario recortándolos).
Ejemplos:
Actividad 3: Encontremos congruencias comparando dos triángulos Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad Es difícil para los estudiantes ver la proporcionalidad cuando los triángulos están separados (como en el ítem) o unidos solo por un vértice. b) Hallar la longitud de x si las rectas a, b y c son paralelas.
a) Hallar las medidas de los segmentos a y b.

Estos ejercicios deben razonarse, ayuda mucho calcar los triángulos y colocarlos de la forma que ellos mejor comprenden. Ejemplos:
a) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?
b) ¿Son semejantes los siguientes triángulos?
Fuente de información: es.wikipedia.org/wiki/Triángulos_semejantes ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 12 y 13
Bloque de contenido: Estadística
Contenido: Presentación y organización de datos
Indicador de logro: 2.26 (1er. año): Resuelve problemas interpretando la información extraída y presentada, mostrando interés y respeto por las estrategias y soluciones a problemas estadísticos distintos a los propios.
Causas posibles por las que los estudiantes no contestaron bien el ítem
1. Interpretan erróneamente los datos al no tomar en cuenta que los ingresos inician en -1.
2. Interpretan incorrectamente los datos proporcionados al no relacionar el grafico y el titulo del grafico.
3. Tiene dificultad al aplicar la regla de tres.
A
A
B
B

Recordar la proporcionalidad directa e inversa y presentar ejercicios donde se
practique las proporciones y la regla de tres.
En el planteamiento de la regla de tres asegura que los datos que tienen las mismas
unidades estén en la misma columna.
¿Cómo encuentras el porcentaje de una cantidad y cómo encuentras la cantidad que
corresponde a un porcentaje?
Ejemplos:
1. Si de 100 estudiantes el 40% son niños y el 60% son niñas.
¿Cuántas son niñas y cuántos son niños?
Esto significa que habría 40 niños y 60 niñas.
2. En la votación para elegir al delegado de la clase, Carlos ha obtenido el 32% de los
votos, Carmen el 46% y Ana el 22%.
¿Cuántos votos han obtenido cada uno, si el total del alumnado es de 200?
Recuerda, que para calcular el tanto por ciento de una determinada cantidad
multiplicamos dicha cantidad por la fracción que representa el tanto por ciento.
Ejemplo:
En un partido de baloncesto el porcentaje de acierto en canastas de dos puntos de mi
equipo ha sido del 40%. Si hemos lanzado canastas de dos puntos en 30 ocasiones,
¿cuántas canastas hemos hecho? ¿Y cuántas veces hemos fallado?
Para saber las canastas de dos puntos que hemos acertado, tenemos que hallar el 40%
de 30, el cual se obtiene de la siguiente manera:
     30 12 100
120
100
30 40
100
40   
Para calcular las que hemos fallado, lo podemos hacer de dos maneras:
1) La forma más sencilla y rápida es restar del total de lanzamientos las que sí
hemos acertado:
30 – 12 = 18 fallos
Cuando la proporcionalidad es
directa se multiplica en diagonal

2) También podemos calcular el porcentaje de fallos y hallar lo que supone sobre el total de lanzamientos:
Si el 40% son aciertos → el 100% - 40% = 60% será de fallos.
El 60% de 30 es: 18 R: 18 fallos Actividad 2: Leamos e interpretemos gráficos Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad El docente encargado de la clase proporcionará una serie de gráficos de los cuales pedirá a los estudiantes dar cualquier interpretación con respecto a una barra o cualquier otro elemento de un gráfico. Se debe recalcar que todo gráfico debe contener los siguientes aspectos:
 Título
 Leyendas en los ejes
 Nombrar las clases o los datos representados en el gráfico.
Observa el siguiente gráfico y responde las preguntas
Observa el gráfico circular
a) ¿Cuánto incremento el ingreso entre el 2001 y el 2002?
b) ¿Cuánto es la diferencia entre los ingresos de 1999 y el 2003?
c) ¿Cuánto incrementaron los ingresos de 1999 y al 2002?
d) ¿Entre qué años los ingresos disminuyeron $ 40 millones?

Para los sectores del gráfico anterior, menciona dos comparaciones que consideres relevantes. Calcula:
a) El total de personas que deciden ir al parque
b) Las personas que deciden ver la televisión
c) El total de personas que se quedan a dormir y los que hacen deporte.
Observa el gráfico Contesta:
a) ¿Cuál es el ganado que se encuentra en menor cantidad, en la región?
b) ¿Qué ganado es un poco más del doble del ganado ovino?
c) Si el total de ganado de dicha región fuera de 250,600 cabezas ¿Cuántas cabezas serían del ganado porcino?
Fuentes de información: http://www.cdc-cap.org/ http://www.bves.com.sv/estados/index.php
http://www.marn.gob.sv/?fath=532&categoria=532 http://www.bcr.gob.sv

ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 14 y 17
Bloque de
contenido:
Estadística
Contenidos:
Medidas de
tendencia central
y coeficiente de
variabilidad
Indicadores de logro:
8.20 (8° grado) Resuelve cooperando con sus
compañeros problemas aplicando la media
aritmética.
5.5 (1er año) Resuelve problemas, con
perseverancia y autonomía, aplicando la
media aritmética ponderada.
8.12 (1er año) Resuelve problemas con orden,
aplicando el coeficiente de variabilidad a
situaciones reales.
Causas por las que los estudiantes no contestaron bien los ítems:
1. Comprende la media aritmética en una serie simple pero no en una ponderada.
2. No establece diferencia entre los datos y su frecuencia.
3. No interpreta el valor resumen, como aquel que sustituido por cada uno de los
datos produce una suma igual que cada uno de los datos originales
4. Desconocimiento del cálculo del coeficiente de variabilidad.
5. Interpretación errónea del coeficiente de variabilidad.
Actividad 1: Encontremos medidas de tendencia central
Debemos procurar un dominio manipulativo de la fórmula, pero además realizar un
análisis interpretativo de las variables que involucra dicha fórmula. Por ejemplo, al ver la
fórmula de la media aritmética simple
n
x
X  i  y la fórmula de la media aritmética para
distribuciones de frecuencia y su interpretación como una media ponderada
i i
i
i
i
i
i i x w
f
f
x
f
x f
X  
 


 


 


  , observamos que la segunda no es más que la
multiplicación de cada variable por su peso relativo.
Las expresiones  i nX x y   i i i x f x f dimensionalmente deben ser iguales, para
que esto se cumpla debe ocurrir que n , debe ser adimensional y X e  i x deben tener
las mismas dimensiones (años, valor de una calificación, estatura, etc.). Además indica
que el valor de la media multiplicado por la cantidad de datos
Por ejemplo: Si hay tres personas con edades de 7, 10 y 31 años, su edad promedio es
16 años. Dicho valor multiplicado por tres proporciona tantos años como la suma de las
edades de cada una de las tres personas.
Aunque el concepto de la media es relativamente sencillo debe analizarse hasta donde
sea posible en cuanto a las dimensiones o tipo de variable que involucra.

Ejemplo:
En un taller de carpintería, se producen tres tipos de sillas a diferentes precios y en
cantidades distintas. Determine el costo promedio de una silla vendida.
Ese costo promedio debe ser tal que si se multiplica por la cantidad de sillas, genera
tanto dinero como el que genera cada grupo de sillas a su respectivo precio.
 
$( ) $3150
$( ) $15 50 $20 80 $40 20
Calculemos el precio total de las sillas

     
total
total
Si se compran 150 sillas a $21 cada una, se obtienen $3150, que es la misma cantidad
de dinero que se pagó comprando tres tipos de sillas a precios distintos.
Ejercicio:
Se compran tres sillas de distinto tipo, los precios fueron $15, $20 y $40,
a) ¿Cuánto se pagó por las tres sillas?
b) ¿Cuál fue el valor promedio de las tres sillas?
c) Si se hubieran comprado tres sillas de un precio igual al del valor promedio,
¿cuánto se hubiera pagado por las tres?
d) ¿Qué conclusión obtienes?
Actividad 2: Practiquemos la obtención del coeficiente de variabilidad
Proporcionar situaciones del contexto donde aplique contenidos que ayuden a lograr el
indicador propuesto.
El coeficiente de variación, nos permite comparar la variabilidad entre dos distribuciones
distintas, con el fin de determinar cuál de ellas tiene una menor o mayor variabilidad
relativa. Representa la proporción geométrica entre la media aritmética y la desviación
típica o estándar.
Donde s es la desviación típica o estándar y la media aritmética o promedio.
Entre mayor es el coeficiente de variabilidad, mayor será la variabilidad o dispersión de
los datos.
1) Obtener el coeficiente de variabilidad en los casos siguientes
s
CV
1.15 24.8
0.45 6.15
3.15 75.15
4.48 204
Cantidad Precio ($)
50 15
80 20
20 40

2) Completar la siguiente tabla
s
CV
24.8
0.24
0.45
0.17
0.94
5.15
1.46
10.44
3) Resolver los siguientes problemas
a) En una fábrica de tela el promedio mensual de los salarios es de $225.95 con una desviación típica de $56.85. Si una fábrica de confección de ropa tiene el mismo promedio, pero su desviación típica es de $28.95. ¿En cuál fábrica es preferible trabajar?
b) A continuación se presentan los promedios de notas y desviaciones típicas de dos centros escolares.
Centro Escolar “A”: promedio 7.3 y desviación típica 1.8 Centro Escolar “B”: promedio 8.1 y desviación típica 2.8 ¿En cuál de las dos instituciones la media aritmética es más representativa? Fuente de información: Matemática primer año de bachillerato. Aguilera Liborio, Raúl ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 15 y 16
Bloque de contenido: Estadística
Contenido: Medidas de posición
Indicador de logro: 6.6 (1er. año) Resuelve con seguridad problemas que requieran de cuartiles, deciles y percentiles
1. Dificultad en la interpretación de las medidas.
2. Confusión entre las diferentes medidas.
3. Errores en procedimientos y cálculos.
Actividad 1. Reforcemos saberes previos Recursos: Texto de consulta. Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad En muchas ocasiones necesitamos conocer el valor del dato ubicado en una determinada posición en la serie ordenada de datos. En estos casos se realiza el cálculo de las medidas de posición: cuartiles, deciles y percentiles. Los cuartiles son valores que dividen la serie de datos en cuatro partes iguales. Entre cada dos de ellos estará el 25% de los datos.

Los deciles son valores que dividen la serie en diez partes iguales. El porcentaje de datos entre ellos es del 10%. Los percentiles son valores que dividen la serie en cien partes iguales. Cada uno separado del otro por un 1% de los datos. El cálculo de estos parámetros, tanto para variables discretas como para variables continuas, se hace de forma similar al cálculo de la mediana. Ejercicio: Investiga 3 situaciones del contexto en que se apliquen estas medidas. Actividad 2. Calculemos cuartiles, deciles y percentiles para datos simples y ponderados. Recursos: Texto de consulta. Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad Al resolver los ejercicios haga énfasis no solo en el cálculo, sino también en lo que cada resultado representa. 1) Las edades de veinte jóvenes son 12, 13, 14, 10, 11, 12, 11, 13, 14, 12, 10, 12, 11, 13, 12, 11, 13, 12, 10 y 15. Organiza los datos en una tabla de frecuencias y calcula: a) El cuartil 1 b) Los deciles 1 y 6 c) Los percentiles 35 y 80 2) El número de turistas que visitaron un parque de diversiones en distintas fechas es: 12, 14, 17, 16, 19, 15, 15, 21, 24, 26, 28, 24, 25, 26, 20, 21, 34, 35, 33, 32, 34, 38, 40, 43, 41, 45, 50, 53, 58. Calcular:
a) los cuartiles 2 y 3
b) los deciles 2 y 7
c) los percentiles 35, 60 y 95
3) La siguiente distribución, corresponde a las notas finales obtenidas por un curso de 30 personas en un curso de estadística:
x
1
2
3
4
5
6
7
f
3
6
7
7
5
0
4
Calcular: a) Los cuartiles 1, 2 y 3 b) ¿Qué calificación limita el 40% inferior? Actividad 3. Calculemos cuartiles, deciles y percentiles para datos agrupados. Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad Antes de iniciar con el cálculo, debe establecer la diferencia entre las series ponderadas y agrupadas.

Ejercicio: Con los datos de la siguiente tabla: Puntaje de 50 alumnos en una prueba
Puntajes
frecuencia
60 - 65
5
65 - 70
5
70 - 75
8
75 - 80
12
80 - 85
16
85 - 90
4
totales
50
Calcular: a) Q1, D4, P65 y P80 b) El puntaje mínimo del 25% que obtuvo los mejores resultados. c) El puntaje mínimo del 10% que obtuvo los mejores resultados y ganará una disminución de su cuota escolar. d) El puntaje que debe superar el 20% que obtuvo las notas más bajas, para no asistir a un taller de refuerzo. e) El puntaje que separa la serie en dos partes iguales (50% inferior y 50% superior). Fuentes de información: www.sectormatemática.cl/educmedia. Htm Matemática primer año de bachillerato. Aguilera Liborio, Raúl ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 18
Bloque de contenido: Álgebra
Contenidos: Propiedades de los exponentes.
Indicador de logro: 7.12 (7° grado) Simplifica cantidades numéricas y algebraicas que requieran de la aplicación de dos o más propiedades de los exponentes.
1. Confunde la regla de la multiplicación de potencias de la misma base y la de la potencia de una potencia.
2. Confunde la regla de la división de potencias de la misma base y la de la raíz de una potencia.

Construir cuadrados 2, 3 y 4 centímetros de lado y luego dividirlos en centímetros
cuadrados.
a) Preguntar a los estudiantes cuántos centímetros cuadrados tiene cada figura. Relaciona la cantidad de
centímetros cuadrados con el resultado que se obtiene al aplicar la fórmula del área.
b) Solicitar a los estudiantes que escriban el área de cada cuadrado como una potencia.
2 4 2  , 3 9 2  , 4 16 2 
c) Usar cubos para comprobar que en un cubo de 2 cm de arista hay ocho cubos de un 1cm3.
an = a×a×.×a.….×a (a se multiplica por sí mismo n veces)
d) Realizar ejercicios en los que se obtenga una potencia de base negativa.
Base Exponente Potencia
Negativa
Par Positiva
Impar Negativa
e) Repasar las reglas de los exponentes.
Regla 1: an · am = a n+m Ejemplo:
Regla 2: (an)m = anm   8 2 4 2 4 x  x  x 
Regla 3:   n n n ab  a b Ejemplo:   2 2 2 xy  x y
Regla 4:
m n
n
m
a
a
a   , a tiene que ser diferente de 0, Ejemplo
4 2 2
2
4
x x
x
x
  
Regla 5: a 0 = 1; si a es diferente de 0. Ejemplo 2 1 0 
Regla 6: a -n
n a
1
 , si a es diferente de 0. Ejemplo
9
1
3
1
3 2
2   
V = (2)(2)(2) = 2 8 3 
Ejemplos: (-3)4 = 81 (-5)3 = -125

Actividad 2: Apliquemos las propiedades de las potencias
Esta actividad trata sobre la aplicación de las propiedades de las potencias y para ello
se ha dividido en dos partes, la de desarrollo y la de simplificación.
1. Desarrollar cada una de las siguientes situaciones:
a)  2 3 a b)  2 3 ab c) 3 2 a  a d) 6 2 a  a
e)  3  3a f)  2 3  3b g)
2
5
 a
a
h) 0 b
2. Simplificar las siguientes expresiones utilizando las diversas propiedades de los
exponentes
a)
 
3
9 2 4
a
a  a
b)
3
2 0
2
3  2
c)
2
4
2 0
2
3
5
8

 


 

 




d)
5 3 0 1
1
4 0
3 (2 )
2
(3 ) 


 
e
e)
10
6
 x
x
f)
5 8
4 7
12
6
 x y
x y
g) (6x10) (3x4)2 h)
4
12
6 10
4 10

 
ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 19, 20, 21 y 22
Bloque de
contenido: Algebra
Contenido:
División y
factorización de
polinomios
Indicadores de logro:
4.13 (8º Grado) Resuelve problemas, con
perseverancia, aplicando la
descomposición de expresiones
algebraicas por diferencia de cuadrados.
2.29 (8º Grado) Resuelve problemas de
aplicación usando la división de
polinomios, en colaboración de sus
compañeros.
4.9: (8º Grado) Resuelve con perseverancia
problemas aplicando la descomposición
de trinomios factorizables que no son
trinomios cuadrados perfectos
4.5 (8º Grado) Explica y aplica con
seguridad las reglas a un trinomio
cualquiera, para determinar si es
trinomio cuadrado perfecto.

(3x) (2x) = (3) (2) x1+1 = 6x2
2x
2x (2x + 3y + 6) = 4x2 + 6xy + 12x
1. Confunde el algoritmo de la división con el de la multiplicación.
2. Desconoce el algoritmo de la división de polinomios.
3. Dificultad al aplicar la regla de diferencia de cuadrados.
4. Tiene problemas para identificar las dimensiones de un cuadrado o un rectángulo.
5. No identifica la diferencia de cuadrados y no puede factorarla.
6. No identifica cuando un trinomio es cuadrado perfecto.
7. Desconoce las reglas de un trinomio cuadrado perfecto.
8. Confunde las reglas de los diferentes trinomios factorizables.
Actividad 1 Reforcemos saberes previos Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad Para abordar la multiplicación de expresiones algebraicas se necesita un dominio en los aspectos siguientes:
 Ley de los signos
 Ley de los exponentes.
 Productos:
1) Monomio por monomio
2) Monomio por trinomio
3) Binomio por binomio
4) Trinomio por binomio
1) Monomio por monomio
Encontremos el área del rectángulo siguiente:
Multipliquemos los monomios:
a) a3 x a5 d) (3a3)( 4a2) g) (a2b3)(ab)
b) b4 x b2 e) (5c2)(8c7) h) (4x5y3)(2x4y5)
c) -p7 x p3 f) (2x4)(-3x3) i) (-3m2n3)(8m4n4)
2) Monomio por trinomio
Encontremos el área de los rectángulos siguientes:
2x 3y 6
2x
3x

(a + b) (a + b) = a2 + ab + ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3x + 2
3x + 2
9x2 + 6x
+ 6x + 4
9x2 + 12x + 4
Cuando multipliquemos un monomio por un polinomio usamos la propiedad distributiva. En la forma siguiente
3m ( 5m2 + 4m + 8 ) = 15m3 + 12m2 + 24m Encontremos el resultado de los productos siguientes
a) 3a3 (2a + b - 4) c) 4m3 (3m2 - mn - 8)
b) 7x5 (6x2 –xy – 3) d) xy5 (6x5 –xy – 7)
3) Binomio por binomio
Para multiplicar dos polinomios también aplicamos la propiedad distributiva, pero facilitar podemos colocar los polinomios de la manera siguiente. Multiplicar (3x + 2) (3x + 2)
Encontremos el producto de los binomios siguientes
a) (m + n ) (m + n) d) (m + n ) (m - n)
b) (5p – 3) (5p – 3) e) (2x – 3) (2x + 3)
c) (2y + 3)2 f) (5x + 6) (5x - 6)

x + 3
x + 3
x2 + 3x
3x + 9
x2 + 6x + 9
4) Trinomio por binomio
Se efectúa en forma similar al binomio por binomio. Recuerda que debes colocar los términos semejantes en una sola columna, para sumar o restar con facilidad. Como observarás, es más complicado multiplicar dos trimonomios, sin embargo, en el trascurso de la historia, los matemáticos han dedicado mucho tiempo para buscar la manera de resolver más fácilmente y con mayor rapidez un mismo problema, así después de efectuar muchos ejercicios similares llegaron a la conclusión que en algunas ocasiones no es necesario hacer la multiplicación sino solo aplicar una regla que permite encontrar el resultado rápidamente. Las multiplicaciones que se pueden efectuar mediante el uso de reglas se llaman productos notables. Actividad 2: Encontremos el cuadrado de un binomio Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad Recordemos que para calcular el área de un cuadrado multiplicamos lados por lado. Así para encontrar el área de un cuadrado cuyas medidas desconocemos, tendríamos: x
A = x. x x A = x2 Si a dicho cuadrado le aumentamos 3 unidades por lado, y deseamos calcular el área de la figura obtenida tendremos: x 3 x 3
x x 3 3
Efectuando la multiplicación para obtener el resultado tenemos:
El área del cuadrado que mide (x + 3) de lado es x2 + 6x + 9

Se puede comprobar gráficamente que la respuesta obtenida es correcta. Obtenemos el siguiente cuadrado dividido en 4 regiones, obtenemos el área de cada una de ellas y luego sumamos para encontrar el área del cuadrado. x 3
x 3 3 3 x x + x + x + 3 3 x2 + 3x + 3x + 9 6x Si analizamos nuestra respuesta observamos que al elevar al cuadrado un binomio (x + 3)2 obtuvimos un trinomio, x2 + 6x + 9, como resultado. El resultado de elevar un binomio al cuadrado es un trinomio al que llamaremos trinomio cuadrado perfecto. Veamos ahora la relación que existe entre los términos del binomio y los del trinomio
Aplica la regla para elevar al cuadrado los siguientes binomios,
a) (2x + 5)2 = c) (7m + 1)2 = e) (3p2 + 4)2 =
b) (4y + 2)2 = d) (2x + m2)2 = f) (2a3 + 4b4)2 =
El cuadrado del primero
más
el doble producto del primero por el segundo
más
el cuadrado del segundo
es igual
El primero
más
el segundo
(x + 3)2 = x2 + 6x + 9

Ya conocemos la regla para elevar al cuadrado la suma de dos cantidades, apliquémosla para elevar el cuadrado la diferencia de dos cantidades.
a) (x + y)2 = d) (x - y)2 =
b) (a + 4)2 = e) (a - 4)2
c) (5m - 2)2 = f) (4a3 - 2b5)2 =
Actividad 3: Encontremos binomios conjugados Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad El producto de la suma y diferencia de dos términos, no constituye un binomio elevado al cuadrado debido a que los factores no son iguales, puesto que aparece un término común pero el otro difiere en el signo (término opuesto). Cuando dos binomios tienen esta característica se llaman binomios conjugados. Ejemplo:
a) (x + y) (x - y)
b) (2x +8 ) (2x - 8)
c) (3 – y) (3 + y)
Observemos el resultado que obtenemos al multiplicar estos binomios conjugados
x + y 2x + 8 3 – y x - y 2x - 8 3 + y x2 + xy 4x2 + 32x 9 - 3y - xy - y2 - 32x - 64 + 3y - y2 x2 - y2 4x2 - 64 9 - y2 En todos los casos obtuvimos como respuesta un binomio con las características siguientes:
a) Es una diferencia.
b) El primero de sus términos es el cuadrado del término común de los binomios conjugados.
c) El segundo de los términos, es el cuadrado de los términos que difieren en el signo.
Para poder comprobar esta respuesta en forma geométrica. Observa los segmentos siguientes: x y
Si los sumamos: x + y
Si los restamos: x - y

Formemos un rectángulo, con la suma como base y la resta como altura.
x - y x + y Si colocamos el segundo rectángulo, sobre el primero, tendríamos x - y
y2
x - y x x2
x y A = (x + y) ( x – y) = x2 – y2 De lo anterior podemos concluir que si multiplicamos dos binomios conjugados obtenemos una diferencia de cuadrados.
(x + y) ( x – y) = x2 – y2 Binomios Diferencia
Conjugados de cuadrados
(2x +8 ) (2x - 8) = 4x2 - 64
El área de este rectángulo es el producto de la base por la altura.
A = (x + y) ( x – y)

Aplicando la regla para realizar la multiplicación de los binomios conjugado
Ejemplos: Término común
a) (a – 3) (a + 3) = ( a)2 - (3)2 = a2 - 9
Términos opuestos Término común
b) (-5 + y) (5 + y) = y2 - 25
Términos opuestos Ejercicio: Escribe cada binomio su conjugado y escribe el producto.
a) ( y + 2) d) (-p + 6) g) (-2p2 + 8)
b) (3b + 5) e) (3a2 – 4) h) (-3f4 + 2p3)
c) (2m – n) f) (4a2 + 5b3)
Actividad 4: Dividamos polinomios Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad Para dividir un polinomio entre otro polinomio se realiza lo siguiente:
a) Tanto el dividendo como el divisor se escribe en orden descendente en función de una de las variables que aparece en ambos polinomios.
b) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y se obtiene el primer término del cociente.
c) Se multiplica el divisor por el primer término del cociente y el producto obtenido se le resta del dividendo.
d) El residuo obtenido en el paso anterior se trata como un nuevo dividendo y se repite con él los pasos b y c.
e) Se continúa este proceso hasta obtener un residuo cero o menor que el divisor.
Ejemplo: Dividir (x2 + 15 –8x) ÷ (3 – x)
Cuadrado del término común
Cuadrado del término que difiere en el signo
Cuadrado del término común
Cuadrado del término que difiere en el signo

Ordenamos en forma descendente, el dividendo y el divisor de acuerdo a los
exponentes de la variable. Si el coeficiente de uno de los términos es cero, se deja el
espacio.
(x2 – 8x + 15) ÷ (–x + 3)
Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor y se obtiene
así el primer término del cociente.
x2 – 8x + 15 -x + 3
-x
Se multiplica el cociente por el divisor. El producto se resta del dividendo (cambiando
los signos de cada uno de los términos).
x2 – 8x + 15 -x + 3
-x2 + 3x -x -x(-x +3) = x2 - 3x
Luego, se reducen términos semejantes para obtener el primer residuo.
x2 – 8x + 15 -x + 3
-x2 + 3x -x
- 5x + 15
Se continúa este proceso hasta obtener un residuo cuyo mayor exponente sea menor
que el mayor exponente del divisor.
x2 – 8x+15 -x + 3
-x2 + 3x -x + 5
- 5x + 15
5x - 15 R/ –x + 5
0
Ejercicio:
Dividir los polinomios
a) (5x + x2 + 6) ÷ (2 + x) c) (w2 – 11wx – 102x2) ÷ ( w – 17x)
d) (m2 +2m + 1) entre ( m3 – 7) d) (-7x2 +12 –16x + 10x3) ÷(5x –6)
Actividad 5: Factoremos diferencias de cuadrados
Recordemos que al multiplicar binomios conjugados, obtenemos como resultado una
diferencia de cuadrados
(x + y) ( x – y) = x2 – y2
x
x
x
 

2

Ejemplo:
Factorar: 9x2 – 144
a) Calculamos la raíz cuadrada de cada término
9x2 – 144
b) Escribimos el resultado formando dos binomios, uno corresponde a la suma de las
raíces y el otro, a la resta.
(3x + 12) (3x – 12)
El resultado de la factorización es:
9x2 – 144 = (3x + 12) (3x – 12)
Ejercicio:
Factorar las expresiones siguientes:
a) 16 – x6 d) 4m8 – 121n4 g) 25x2 – (5 + x)2
b) b8 – 49 e) 25x2 – 36y2 h) (x – y)2– (x – 1)
c) 1 – a4 f) 4 – (x – 2)2 i) (a + 1)2 - 4
Actividad 6: Factoremos trinomios cuadrados perfectos
Hemos visto que el resultado de elevar un binomio al cuadrado recibe el nombre de
trinomio cuadrado perfecto.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Podemos afirmar que un trinomio cuadrado perfecto puede factorizarse en un producto
de dos binomios iguales. Antes de averiguar como encontrar dicho binomio debemos
identificar si es un trinomio cuadrado perfecto o no.
Para comprobar si el trinomio 36x2 + 100y2 - 120xy es cuadrado perfecto, se procede
de la forma siguiente:
9x 3x 2 
9x 3x 144  12 2 
144  12
Trinomio cuadrado perfecto

a) Ordenamos el trinomio en forma decreciente respecto a una de las variables
36x2 + 100y2 - 120xy 36x2 - 120xy + 100y2 b) Extraemos la raíz cuadrada al primero y al tercero de sus términos
36x2 - 120xy + 100y2 6x 10y c) Verificamos si el segundo término es el doble producto de las raíces obtenidas.
36x2 - 120xy + 100y2 2 (6x)(10y) = 120xy Concluimos que el trinomio 36x2 - 120xy + 100y2 es cuadrado perfecto Ejemplos: Factorar: a) 9 + x2 - 6x b) p2 + 4p + 16 Ordenamos los trinomios
x2 - 6x + 9 p2 + 4p + 16 2(x)(3) = 6x (son iguales) 2 (p)(4) = 8p (no son iguales) Es trinomio cuadrado perfecto No es trinomio cuadrado perfecto Cuando se comprueba que el trinomio es cuadrado perfecto, se forma un binomio con las raíces obtenidas y el signo del segundo término. El binomio se eleva al cuadrado.
x2 - 6x + 9 = ( x - 3 ) 2
x 3

Ejercicios:
Identificar los trinomios que son cuadrados perfectos y factorarlos.
a) 15 + 5y – 10y2
b) 36x2 – 96x + 64
c) 2x4 + 8x2 -42
d) 25a 2 + 50ab +25b2
e) x4 – 2x2 + 1
f) 2b2 + 12b + 16
g) 16x2 – 24x -8
h) 5x2 + 25x + 20
Factorar los siguientes trinomios cuadrados perfectos.
a) 64 + 25y2 – 80y
b) r2 + 2r +1
c) 4x2 + 12x + 9
d) m2 + 2mn + n2
e) 4x2 + 12xy + 9y2
f) 100 – 20x + x2
Actividad 7: Factoremos trinomios que no son cuadrados perfectos
En esta actividad vamos a factorar trinomios de la forma x2 + bx + c.
Ejemplo: x2 + 2x - 24
Observamos que el trinomio está ordenado y que el tercer término no tiene raíz
cuadrada exacta. Por lo tanto, no es un trinomio cuadrado perfecto.
Estos trinomios se descomponen en dos factores que tienen en común la raíz cuadrada
del primer término del trinomio.
x2 + 2x – 24 = (x )(x )
El signo del segundo término del primer factor es el signo del segundo término del
trinomio.
x2 + 2x – 24 = (x + )(x )
El signo del segundo término del segundo factor resulta de multiplicar el signo del
segundo término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio.
x2 + 2x - 24 = (x + )(x - )
por
Cuando los signos de los factores son diferentes, se buscan dos números que restados
resulten el coeficiente del segundo término del trinomio y multiplicados resulten el tercer
término del trinomio.
6 – 4 = 2 (el coeficiente del segundo término es 2)
6 (- 4) = - 24 (el tercer término del trinomio es – 24)

Entonces: x2 + 2x - 24 = (x + 6)(x - 4) Ejercicios: Factorar los siguientes trinomios.
a) x2 + 12x + 36
b) 1 + 20n + 100n2
c) 25p2 + 90p + 81
d) 4 – 16x2 + 64x2
e) -14x + 49 + x2
f) y2 – 2y – 15
g) X4 + 5x2 + 4
h) m2 – 9m + 20
i) -2 + 3x + x2
Fuente de información: Álgebra y Trigonometria, Segunda Edición Revisada, Dennis G. Zil Jacqueline M. Dewar Editorial Mc Graw Hill. Algebra, Segunda Edición, Max a. Sobe, Norbert Lerner Prentice Hall Hispanoamericana, S.A. ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA LOS ÍTEMS NÚMERO 23 y 24
Contenidos: Ecuaciones lineales
Indicador de logro: 9.6 (8ª grado) Resuelve problemas utilizando ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita, en colaboración de sus compañeros
1. Se equivoca en la reducción de términos semejantes aplicando inadecuadamente la ley de signos.
2. Efectúa mal la multiplicación de un monomio por un polinomio.
3. No interpreta adecuadamente los axiomas de la igualdad.
4. Desconoce el algoritmo de resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.
5. Dificultad para traducir el problema a un leguaje matemático.
Actividad 1: Resolvamos problemas y ejercicios que involucran el planteamiento y solución de una ecuación Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad Para resolver problemas que involucran el planteamiento y solución de ecuaciones, se recomienda: Presentar situaciones que motiven al estudiante a encontrar ciertos valores desconocidos que cumplan una condición determinada y plantear el algoritmo de solución de ecuaciones.

Ejemplos:
1) Hacer los siguientes cálculos:
a) ¿Qué número debe sumarse a 7 para que el resultado sea 20?
b) ¿Cuál es el número, si el triplo es 120?
c) ¿Cuál es el número cuyo quíntuplo disminuido en 10, es 100?
2) Expresar en leguaje matemático:
a) el número aumentado en tres (la edad dentro de tres años) x + 3
b) el número disminuido en siete ( la edad hace 7 años) x - 7
c) el triple del número (el triple de la edad) 3x
d) la mitad del número (la mitad de la edad)
2
x
ó x
2
1
e) el cuadrado del número (cuadrado de la edad) 2 x
f) la quinta parte del número disminuido en dos es 2
5

x
g) un quinto del número disminuido en dos es ( 2)
5
1
x 
3) Efectuar operaciones aplicando los axiomas de igualdad para los números reales:
Dado 3
x  8 , multiplicar ambos miembros por tres
  3
3x  3 8
3x  8, sume x a cada miembro
x  3x  x  8
4) Resolver ecuaciones aplicando los axiomas de igualdad:
1
2
2  3  
x
x
1
2
2 3  
x
x , multiplicando por 2 cada uno de los términos
2(2 3) 2  2(1) 2 x   x  ,
4x 6  x  2 , restando x a cada miembro
4x  x  6  x  x  6, reduciendo términos semejantes
3x  6  2, sumando 6 a cada miembro
3x  6  2  6, reduciendo términos semejantes
, reste 6 a cada miembro
, divida entre 2 cada término de la ecuación

3x  8, multiplicando ambos miembros por un tercio
(8),
3
1
(3 )
3
1
x 
Luego:
Al aplicar los axiomas en ambos miembros de la igualdad y despejar la variable, se
puede inducir al estudiante a que realice procesos de transposición de términos de un
miembro a otro de la igualdad.
Ejercicios:
Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 3x  7  x 1
b) 4  x  x  3x 1 2
c) 2x  3  5x 1 7x 3
d) 3 14
3
2 7
2
5 7
 



x
x x
Actividad 2: Resolvamos problemas
Analiza las condiciones de cada problema y observa la forma de resolver.
1) La edad actual de una madre es 5 veces la del hijo, dentro de 5 años será tres veces
la del hijo. Hallar la edad actual del hijo.
Solución: ¿Qué busco? La edad actual del hijo.
Identifiquemos las variables
La edad actual del hijo es: x
La edad actual de la madre (5 veces la del hijo) es: 5x
Transcurridos 5 años
La edad del hijo será: x+5
La edad de la madre será: 5x+5
Tres veces la edad del hijo: 3(x+5)
Si la edad de la madre después de 5 años es 3 veces la edad del hijo, la condición de
igualdad es: 5x + 5 = 3(x + 5)
Otra forma de plantear el problema
Edades iniciales Edades después de 5 años Condición de
igualdad
x, edad del hijo x + 5, edad del hijo
5x + 5 = 3(x + 5)
5x, edad de la madre 5x + 5, edad de la madre
3
8
x 

Resolvemos la ecuación:
5x + 5 = 3(x + 5)
5x + 5 = 3x + 15
5x - 3x = 15 – 5 Transponiendo los términos
2x = 10 Reduciendo términos semejantes
x = 5 Dividiendo entre 2
R: La edad actual del hijo es 5 años.
Los estudiantes pueden hacer otros planteamientos, partiendo de la edad de la madre o
de la edad del hijo después de 5 años. En este caso estimular a los estudiantes que los
presenten y recordarles que hay diferentes formas de resolver los problemas. Pero
siempre hay que tener claro cuál es la variable de interés, los cambios que experimenta
y la condición de igualdad que se plantea.
2) Separar 132 en dos partes tales que 5/7 de una de ellas, y los 3/5 de la otra sumen
88.
Solución: ¿Qué busco? Dos números que sumen 132. Uno de los números es “x” y el
otro “132 – x”.
Planteamiento del problema
Números Partes de los números Condición de
igualdad
Sea x uno de los
números
x 7
5
, los 7
5
del primer número
(132 ) 88
5
3
7
5
x   x  , la
suma de las dos
partes
132 - x, el otro
número (al
sumarlo con x
obtenemos 132)
132  x 5
3
, los 5
3
del segundo número
(132 )
5
3
7
5
x   x , la suma de las partes
Al resolver (132 ) 88
5
3
7
5
x   x  , resulta x = 77 que representa una de las partes y 132 - x = 55,
la otra de las partes.
R: 77 y 55 son las partes en que se divide 132
Aplicando las condiciones del problema a las dos partes de 132, verificamos los
resultados:
5/7 de 77 es    55 1
(5)(11)
(7)(1)
(5)(77)
1
77
7
5    55 + 33 = 88
3/5 de 55 es    33 1
(11)(3)
(1)(5)
(55)(3)
5
3
1
55   

3) Un grupo de excursionistas recorren en igual tiempo 160 km en una carretera
pavimentada y 120 km en una carretera de tierra. Hallar la velocidad en cada
carretera, sabiendo que la velocidad en la pavimentada es 15 km mayor que la de
tierra.
¿Qué busco? Las velocidades en carretera de tierra y en pavimentada.
Sea y, velocidad en carretera de tierra
Sea y + 15, velocidad en carretera pavimentada.
¿Condición de igualdad?
Los tiempos en ambas carreteras se encuentran a partir de la fórmula d=vt, luego t=d/v,
el tiempo en carretera de tierra es igual al tiempo en carretera pavimentada.
Si t1 = y t2 = son iguales, tenemos:
y y
120
15
160


Resolviendo:
y y
120
15
160


160y = 120(y + 15)
160y = 120y+1800
40y = 1800
y = 45
y+15 = 45+15 = 60
R: La velocidad en carretera de tierra es 45 km/h y en pavimentada, 60 km/h
Ejercicios:
Resolver los problemas
a) Las entradas a un cine valen $2 para niños y $5 para adultos. Sabiendo que
asistieron 280 personas y que se recaudaron $800, ¿cuántos niños asistieron a la
función?
b) Hallar tres números enteros consecutivos que sumados dan 60.
Fuente de Información:
Álgebra y Trigonometria, Segunda Edición Revisada, Dennis G. Zil Jacqueline M.
Dewar Editorial Mc Graw Hill.
Álgebra, Segunda Edición, Max a. Sobe, Norbert Lerner
Prentice Hall Hispanoamericana, S.A.
Álgebra. Aurelio Baldor.
15
160
y
y
120

Bloque de contenido: Algebra
Contenido: Sistema de ecuaciones lineales.
Indicador de logro: 2.18 (9º grado): Resuelve con seguridad un sistema de ecuaciones lineales aplicando cualquiera de los métodos (sustitución, igualación, reducción).
1. Dificultad al aplicar los métodos de resolución de un sistema de ecuaciones.
2. Errores en los procedimientos al aplicar el método y despejar la incógnita.
3. Dificultad para plantear las ecuaciones por falta de comprensión del enunciado.
Actividad 1. Reforcemos saberes previos Recursos: Texto para consulta. Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad Practiquemos la lectura e interpretemos problemas, realizando cuestionamientos, discusión y planteamientos de ecuaciones. Antes de resolver las actividades, se sugiere recordar los métodos de resolución de un sistema de ecuaciones: reducción, igualación, sustitución, determinantes, método gráfico. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Determina dos líneas rectas en el plano xy. Hay tres casos posibles para las gráficas de las ecuaciones en el sistema:
a)
b)
c)
x
Las rectas se intersecan en un solo punto por ser ecuaciones independientes. La solución del sistema es el par ordenado de números reales correspondiente al punto de intersección de las rectas.
y
Las ecuaciones describen la misma recta por ser dependiente. Tienen infinitas soluciones porque todos los puntos son comunes.
x
y
No hay solución para el sistema porque no tienen un punto en común. Las dos rectas son paralelas.
x
y

Ejercicios:
1) Encontrar el valor de las incógnitas que satisfacen el sistema de ecuaciones.
Utiliza el método que prefieras.
a) 7x – 4y = 0
4x – 2y = 16
b) 2x + 7y = 57
6x + 5y = 24
c) 7x + 2y = -1
x – y = 14
d) x = -5y + 14
x + y = -2
e) 4
5
2
x  y 
x = 5y
f) x + 2y = 5
x = -3y - 24
2) Encontrar las soluciones del sistema y clasificar las ecuaciones como dependientes o
independientes.
a) 2x – 3y = 12 b) 3x – 4y = 8
x + 4y = -5 2x + 9y = 3
c) 2x + y – 13 = 0 d) 3x – y = 2
x – 11y = 0 x + y = 6
Actividad 2: Resolvamos los problemas
Recursos: Texto para consulta.
Resolvamos los problemas planteando un sistema de ecuaciones.
1) Carlos vendió dos automóviles recibiendo un total de $13,000. Si recibió $1400 por uno más
que por el otro, ¿cuál fue el precio de venta de cada uno?
2) La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 12 y cuando se invierten las cifras, el
valor del número crece en 54. Encontrar el número.
3) La fortuna de María se estima en $5,000 más que el triple de la fortuna de su marido. El valor
combinado de sus bienes asciende a $185,000. Encontrar el valor de cada fortuna.
4) La asistencia a un juego de fútbol profesional fue de 45,000 personas y el dinero recaudado
en la entrada fue $495,000. Si cada persona compró un boleto de $10 o un boleto de $15,
¿cuántos boletos de cada tipo se vendieron?
Algebra y Trigonometría
Segunda Edición revisada
Dennis g. Zill, Jacqueline m. Dewar
Editorial MC Graw Hill

Contenido conceptual: Ecuaciones cuadrática
Indicadores de logro: 5.8 (9°grado) Calcula las soluciones para ecuaciones cuadráticas, aplicando la fórmula general con orden y seguridad.
1. No recuerda que debe igualar a cero la ecuación.
2. No ordena correctamente los términos de la ecuación.
3. Considera siempre positivo el signo de los coeficientes al sustituirlos en la fórmula.
4. No tienen dominio de la ley de los signos para el producto.
5. No tienen dominio de la ley de los signos al reducir términos.
Actividad 1: Reforcemos saberes previos Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad
1) Cuando los estudiantes presentan problemas en el desarrollo de un contenido con mucha frecuencia se debe a que no tienen dominio de los saberes previos. Este ítem, se espera que lo resuelvan utilizando la fórmula general pero muchos recurrirán a la factorización o a sustituir los valores de la variable en la igualdad; por eso, es importante saber como llegaron a la respuesta y orientarlos a partir de sus errores.
2) Uno de los errores frecuentes al momento de utilizar la fórmula general es la asignación de valores a las variables a, b y c por las siguientes causas:
a) Olvidan ordenar el trinomio.
Ejemplo: Si el trinomio es 3x – 2x2 + 9 = 0 utilizan a= 3, b= -2 y c= 9
b) Al ordenarlo le cambian el signo al término sin que este cambie de lado de la igualdad.
Ejemplo: Al ordenar el trinomio anterior, escriben 2x2 - 3x + 9 = 0 cambiando el signo a los dos primeros términos.
c) Consideran siempre positivo el coeficiente.
Ejemplo: Si el trinomio ya ordenado es – 2x2 + 3x + 9 = 0 utilizan a=2, b=3 y c=9 Se debe hacer igual énfasis en todas las causas. Ejercicio:
Ordena los trinomios en función de la variable x (si lo considera necesario agregue el signo = en algún lugar del trinomio): a) 5x - 8 + 3x2 b) 10 – 2x2 - 5x
c) 4xy + 3y2 - 2x2
d) 15a2 + 3x2 -18ax3) Aunque el ítem no incluye productos indicados, es posible que presenten problemas al hacer los productos sobre todo si los antecede un signo negativo.

Ejercicio: Simplifica e iguala a cero, las expresiones: a) 3(3x -2) = (x + 4)(4 – x) b) (x – 5)2 – (x – 6)2 = (2x – 3)2 – 118 Actividad 2: Resolvamos ecuaciones Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad Esta actividad tiene como objetivo diferenciar la forma en que se resuelven las ecuaciones cuadráticas incompletas (binomios) y las completas (trinomios). Indicando que en todos los casos pueden utilizar la fórmula general, aunque para los binomios existe una manera más fácil de resolver. Resolver las ecuaciones:
1) 5x2 – 9 =16 2) (x + 5)(x – 5) = -7 3) x2 – 3x = 3x2 – 4x
4) 5x2 +4 = 2(x + 2) 5) x2 = -15x - 56 6) (x + 4)2 = 2x (5x - 1) – 7(x – 2)
Actividad 3: Utilicemos la fórmula general Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad La actividad tiene como finalidad que los estudiantes valoren la importancia del discriminante (b2 – 4ac) en la resolución de ecuaciones cuadráticas y lo encuentren antes de resolver. A continuación, se presenta un ejercicio de cada caso indicando en paréntesis el valor del discriminante. Resolver 1) 9x2 – 12x = - 4 (El discrimínate es cero, esto indica que se trata de un trinomio cuadrado perfecto) 2) 2x2 + 35 = 17x (El discrimínate es mayor que cero, esto indica que el trinomio tiene dos raíces) 3) 3x2 = 5x - 6 (El discrimínate es negativo, esto indica que no hay solución en el conjunto de números reales) Actividad 4: Resolvamos problemas Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad Considerando que el enfoque de matemática es la resolución de problemas y que el currículo nacional es por competencias, debemos hacer énfasis en la aplicación de los contenidos en el contexto.

Resolver las siguientes situaciones, planteando ecuaciones cuadráticas: 1) Jorge tiene 2 hermanitos, la suma de sus edades es 9 y la suma de los cuadrados de sus edades es 53. Hallar las edades de los hermanitos de Jorge. 2) Un hombre compró cierto número de naranjas por $1.50. Se comió 5 naranjas y vendiendo las restantes a 1 centavo más de lo que le costó cada una, recuperó lo que había gastado. ¿Cuántas naranjas compró y a que precio? 3) Los gastos de una excursión son $90. Si desisten de ir 3 personas, cada una de las restantes tendría que pagar $1 más. ¿Cuántas personas van en la excursión y cuánto paga cada una? 4) Encontrar los valores de x y escribir las dimensiones en metros de las siguientes figuras:
a) b)
http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/ecua2g.htm
http://www.ematematicas.net/ecsegundogrado ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 27
Bloque de contenido: Algebra
Contenido conceptual: Desigualdades lineales y cuadráticas
Indicador de logro: 7.11 (primer año) Resuelve con seguridad, ejercicios y/ o problemas utilizando desigualdades cuadráticas con una variable.
1. Dificultad al factorar el polinomio.
2. Dificultad al igualar a cero los factores y despejar la variable.
3. No establece la diferencia entre los corchetes abiertos y los cerrados.
4. Dificultad al elaborar el cuadro de variación para los signos.
Actividad 1: Reforcemos conocimientos previos
Recursos: Hoja impresa con ejercicios.

1. Proponer diferentes casos de expresiones cuadráticas que se puedan factorar.
Veamos algunos ejemplos
a) aplicando factor común
b) aplicando diferencia de cuadrados
c) aplicando trinomio cuadrado perfecto
d) aplicando trinomios de la forma
e) aplicando trinomios de la forma
2. Factorar los siguientes polinomios.
a) b) c) d) e) f) g) h)
3. Proporcionar a los estudiantes una hoja de ejercicios en los que se apliquen los casos de factoreo a las expresiones cuadráticas.
Actividad 2: Construyamos cuadros de variación Recursos: Cuadros de variación impresos. Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad
1) Proponer las reglas para construir un cuadro de variación de signos.
a) Escribir un factor por fila en el cuadro de variación.
b) Escribir en la parte superior del cuadro, en orden ascendente, los valores que hacen cero cada factor.
c) Trazar un círculo hueco o relleno en el valor donde cada factor se hace cero.
d) Colocar en cada fila, signos positivos a la derecha del círculo y negativos a su izquierda.
e) Multiplicar en forma vertical los signos obtenidos y escribir el resultado en la tercera fila.
f) Determinar el o los intervalos que contienen a los valores que cumplen la desigualdad, positivo si el signo de la desigualdad es “>” o negativo, si es “<”.
g) Determinar si los corchetes del conjunto solución son abiertos (signos < y >) o cerrados (signos ).
Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de x2 + 2x > 15 Realizamos la transposición de términos al miembro de la izquierda x2 + 2x – 15 > 0 Factoramos el trinomio x2 + 2x – 15 = (x + 5)(x – 3)

Completamos el cuadro de variación ubicando en la parte superior los valores que hacen cero a cada uno de los factores.
Como (x + 5)(x – 3) > 0 el conjunto solución es que son los intervalos donde el producto es positivo. Si cambiamos el signo de la desigualdad (x + 5)(x – 3) < 0 el conjunto solución seria que es el intervalo donde el producto es negativo.
2) Proporcionar a los estudiantes una hoja impresa con ejercicios.
Ejemplo Factorar, completar el cuadro de variación y encontrar el conjunto solución de la desigualdad. 2x2 + 6x – 20 < 0 Fuente de información Aguilera Liborio Raúl, Matemática primer año de bachillerato, Talleres gráficos UCA Galo de Navarro Gloria, Matemática primer año de bachillerato, UCA editorial ACTIVIDADES SUGERIDAS PARA EL ÍTEM NÚMERO 28
Bloque de contenido: Números y Operaciones
Contenido: Operaciones con intervalos
Indicador de logro: 7.3 (1º año) Aplica la unión, intersección y diferencia de intervalos, con interés, en la solución de ejercicios.
1. Realiza las operaciones entre los conjuntos en el orden incorrecto.
2. No relaciona los símbolos (U e ∩) con la operación que representan.

Actividad 1. Reforcemos saberes previos Descripción de los pasos para el desarrollo de la actividad
1. Representar intervalos claramente delimitados utilizando colores u otros elementos que permitan la discriminación visual con facilidad, para que reorganice los esquemas mentales sobre el gráfico de un intervalo. Esto le permita comprender las operaciones de unión e intersección.
2. Representar la unión e intersección de intervalos
Encontrar A U B Encontrar A ∩ B Otra forma de representar la intersección de los intervalos
3. Solicitar a los estudiantes que representen gráficamente los intervalos. Recordarles que esos son el resultado de operar dos intervalos. Y que en algunos casos pueden existir muchos pares de intervalos que llevan a la misma respuesta, pero que solo deben determinar un par que cumplan la condición dada.
Escribe para cada ejercicio, dos intervalos que verifiquen las siguientes afirmaciones:
a) De su unión resulta
b) De su intersección resulta

Refuerzo 7

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