Este documento trata sobre la relatividad especial, incluyendo efectos como la dilatación del tiempo, la contracción de la longitud, la transformación de energía y momento, y las consecuencias de las transformaciones de Lorentz. El objetivo es estudiar estas consecuencias y comprender conceptos como la masa y el momento relativista.

1. RELATIVIDAD II

2. OBJETIVO: Estudiar las consecuencias de las transformaciones de Lorentz Estudiar el trabajo y momentum relativista Comprender la masa y momentum relativista Entender las transformaciones de energía y momentum

3. Dilatación del Tiempo (o Time Stretching) Tiempo Propio  t’ =  es el intervalo de tiempo entre dos eventos medidos por un observador quien ve que los eventos occurren en el mismo punto en el espacio . Dilatación del Tiempo causa que los intervalos de tiempo  t medidos en otro sistema de referencia sean mas largos que el tiempo “propio” intervalo de tiempo  t’. “ Un reloj en movimiento corre mas lento que un reloj en reposo . ” Todos los procesos físicos, incluyendo reacciones químicas y procesos biológicos, se retrasan relativo a un reloj estacionario cuando ello ocurre en un sistema en movimiento .

4. Dilatación del Tiempo : Derivación Corta En el Sistema S , la luz viaja arriba/abajo . En el Sistema S ’ , la luz viaja un camino mas largo a través de la hipotenusa. Resolver para  t, cuando  t’ = 2D/c (ti e m po propio ). Analizar el laser “haz de rebote” en dos sistemas de referencia. Dt en el sistema Dt’ en el sistema S’ Teorema de Pitagoras D D

6. TAREA: Dilatación temporal En el clásico “El planeta de los Simios” (1968), una nave después de un viaje de 6 meses (en tiempo de la nave) registra fecha 14-07-1972, mientras que en la Tierra es el 23-03-2673. ¿Cuál era la velocidad media aproximada de la nave? v/c = 1 - 2,5 x 10 -7

7. La paradoja del matricidio/parricidio Terminator, procede de un futuro en el que las máquinas gobiernan el mundo y aspiran a exterminar totalmente al ser humano. El androide viaja a nuestro presente para asesinar a Sarah antes de que pueda concebir a su hijo, John Connors , que será el líder de la resistencia humana contra el poder absoluto de las máquinas en el futuro. John Connors envía a su padre al pasado para que lo engendre.

8. Contracción de la Longitud La Contracción de la Longitud causa que la longitud L medida en otro sistema de referencia sea mas corto que la longitud “ propia ” L ’ . Sistema S Sistema S’ La Contracción de la Longitud distociona las formas en 3D

9. Contracción de la Longitud : Derivación Corta Escribimos las transformada de Lorentz para puntos extremos del objeto en el Sistema “propio” S’. Resolvemos para longitud propia  x’ de un objeto en el sistema S’. (medidos a la vez, p.e. t 1 = t 2 ).

11. Contracción de la Longitud Necesaria consecuencia de los postulados y para consistencia de los efectos Puede tambien derivarse en cuatro dimensiones (ct, x, y, z) con rotación en un plano espacio-tiempo preservando la longitud 4-D, queremos rotar el plano espacio-espacio preservando la longitud 3-D 4-D Teorema de Pitagoras

13. Dilatación del Tiempo/Contracción de la Longitud : Decaimiento del Muon Por qué hemos observado muones creados en lo mas alto de la atmósfera sobre la Tierra? Tienen estos un tiempo de vida ~2  s , deben viajar solamente ~ 600 m en 0.998 c. Se n ecesita la relativ idad para explicar lo ! En el Sistema S’ del muon, el ve una longitud corta . (Contracción de la longitud) En nuestro Sistema S, vemos un tiempo de vida mas largo de  ~ 30  s. (Dilatación de Tiempo) Tiempo de vida propia Longitud Contraida Sistema S’ del Muon Sistema S de la Tierra Tiempo de vida mas largo Longitud Propia ~30  s ~2  s

15. Dilatación del Tiempo/Contracción de la Longitud : Problema Domiciliario Una nave espacial parte desde la Tierra (v = 0.995c) hacia una estrella la cual esta a 100 años-luz .Encontrar cuanto le toma llegar respecto a alguien en la Tierra ( t 1 ) y a alguien en la nave espacial ( t 2 ) . Para t 2 , recordar que la nave espacial ve una distancia “contraria”  x’. Notar que alguien sobre la nave piensa que le toma solamente el 10% del tiempo en llegar a la estrellar como alquien en la Tierra cree tomarlo. Esto es porque vemos que el reloj en la nave “ corre mas lento ” comparado al reloj en la Tierra.

16. Efecto Doppler

18. Desplazamiento Doppler El Desplazamiento Doppler causa cambio en la medida de la frecuencia. Cuando una fuente de luz se mueve junto al observador, la frecuencia de la luz es desplazada muy alto (p.e. deplazamiento azul ). Cuando una fuente de luz se mueve desde lejos de un observador, la frecuencia de la luz es desplazado muy bajo (p.e. desplazamiento rojo ). Solamente la diferencia con el desplazamiento Doopler “clasico” para el sonido es la incorporación de la dilatación del tiempo (causa factor raiz cuadrada). Acercandose – desplazamiento azul Nota : Para una fuente retrocediendo, se cambia los signos .

19. Desplazamiento Doppler : Problema Domiciliario La luz desde una estrella cercana es observada para ser desplazada junto al rojo por 5% (f = 0.95 f o ). Esta la estrella acercandose o alejandose desde la Tierra? Cual es la rapidez de este movimiento? La estrella esta alejandose de la Tierra porque la frecuencia es desplazada a un valor muy bajo .

22. Warp 0.92 (0.75c) Relativity

25. Relatividad Especial II Momentum y energia Relativistica p =  mu and E =  mc 2 E = mc 2 + K (simple) y E 2 = (mc 2 ) 2 + (pc) 2 (cuadrado) Cantidades Conservativas La Energia total E y el momentum total p son conservativas en cualquier sistema de referencia. La energía de la masa en reposo total mc 2 no es conservativa (No puede ser obtenida de sumar individualmente las masa s en reposo). Nota: Excepción cuando todas las particulas estan en reposo c/respecto a cada uno . Cantidades Invariantes Energía total de la Masa en reposo mc 2 e intervalos e s pacio-tiempo Ds son invariantes entre diferentes sistemas de referencia Transformación de Lorentz para E, p

27. Relativistic Momentum Momentum Relativistico debera: Ser consistente con la conservación del momentum. Se Reduce a la expression clasica para u << c.

29. Relativistic Energy : Definición & Ecuación“Simple” Energia TotalE = Energia cinetica K + Energia en reposo mc 2

30. Ecuaciones “Cuadrado” Invariantes Invariante cantidades que son iguales en todos los sistemas de referencia inerciales Todos los observadores mediran el mismo valor para la masa en reposo mc 2 y para los intervalos e spacio-tiempo  s . Las cantidades Invariantes son llamadas “ 4-vector e s ” Masa en reposo mc 2 es dado por cuatro cantidades: E, p x , p y , p z Intervalos Espacio-tiempo  s es dado por cuatro cantidades: t, x, y, z Mass en reposo E o : Intervalo Espacio-Tiempo:

31. Ecuación Invariante : Clasica vs. Relativistica Limite Clasico Limite muy Relativistico pc mc 2 E =  mc 2 E >> pc da E  mc 2 (   1)  K  ½ mu 2 or p 2 /2m E >> mc 2 da E  pc pc mc 2 E =  mc 2 Preciso hasta 1% o mejor si E > 8mc 2 Si K/mc 2  1%, entonces K aproximación con precisión hasta  1.5%.

32. 6 Variables dados por 5 Ecuac. (3 def., simple, cuadrado) Requiere mc 2 Requiere mc 2 Requiere mc 2 

33. Problema : Encontrar E, p, and K (dados u, mc 2 ) Encontrar la energ ia total E , momentum p (MeV/c), y energ ia cinetica K para un electron con masa en reposo 0.511 MeV y rapidez u = 0.5c . u da 

34. Problema : Encontrar pc y u (dados E, mc 2 ) Encontrar el momentum pc (MeV) y rapidez u de un electrón con masa en reposo 0.511 MeV y energía total E = 10 MeV . Use Ec.de cuadrados

35. Problema : Encontrar mc 2 y u (dados p, E) Encontrar la masa en reposo y rapidez u de una particula con momentum pc = 300 MeV y energía total E = 3500 MeV . Use Ec. de cuadrados

36. Problema : Encontrar E, pc y u (dados K, mc 2 ) Un proton de 2-GeV choca con otro proton de 2-GeV en una colision frontal. Encontrar la energia total E, momentum pc , y velocidad u de cada proton. Use Ecs. Simple y cuadrada

37. Problema : Encontrar mc 2 y K EG , Baski Una particula S decae en un neutron (pc = 4702 MeV) y un pion (pc = 169 MeV). Encontrar la energia de la masa en reposo total y la energia cinetica de la particula S.

38. Masa en reposo : Basico Energia Interna de un sistema aparece como un incremento en la masa en reposo del sistema. La masa de un sistema ligado es menos que de las particulas separadas por E b /c 2 , donde E b es la energia de de enlace. Ejemplo de valores de Masa en Reposo Foton = 0 MeV, Electron = 0.511 MeV, Proton = 938.28 MeV La energía de la Masa en Reposo Total E o de un sistema NO es CONSERVATIVO , p.e. No es igual a la suma individual de las energias de las masas en reposo! La masa en reposo Total es INVARIANTE , p.e. tiene el mismo valor en diferentes sistemas de referencia.

39. Incremento Relativistico en la Masa E =  m 0 c 2 =  m 0 c 2 m =  m 0 v E v = c E = m c 2

40. Masa en Reposo : Problema Ejemplo Por lo tanto, el Sol pierde 4.3x10 9 kg de masa cada segundo! A esta razón, el Sol debería agotarse de combustible después de ~ 10 11 años. Calcule la razón en el cual el Sol pierde masa, dado que el radio promedio R de la orbita terrestre es = 1.50×10 8 km, y la intensidad de radiación solar en la Tierra (constante solar) is 1.36×10 3 W/m 2 Asumimos que el Sol radia uniformemente sobre una esfera de radio R, la Potencia Total P radiada por el Sol es dado por: /s per second

41. Masa en Reposo : Problema Domiciliario Dos particulas identicas con masa en reposo de 12 kg se aproximan cada uno al otro con igual pero velocidades opuestas u 1 = –u 2 = 0.6c . Encontrar la masa total en reposo de este sistema.

42. Masa en reposo : Problema Domiciliario Un electron esta moviendose hacia la izquierda con velocidad 0.995c y un positron esta moviendose hacia la derecha con velocidad 0.9798c . Dibujar un diagrama y encontrar la Energía de la masa total en reposo de este sistema.

43. Transformación de Lorentz de E,p Derivación de:

44. Energia & Momentum 3-D Case 4-D Momentum Energia y Momentum estan separados en 3-D y Tienen separadas leyes de conservación. En 4-D son parte del mismo vector y las rotaciones preservan la longitud (norm).

46. Transformaciones de Lorentz : Problema Domiciliario Dos electrones cada uno con energia total E = 30 GeV se aproximan uno al otro con igual pero opuesta velocidad. Encontrar el momentum p de cada electron antes de la colisión en el sistema lab . Tambien, encontra r la energia E’ y momentum p’ del el e ctron de la izquierda en el sistema de referencia del electron de la derecha . Note : Porque u~c, use la aproxima c ion E ~ pc.