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Resistencia de materiales
1
1. CAPITULO 1
CONCEPTOS BÁSICOS
La resistencia de materiales, conocida también como mecánica de materiales,
mecánica de sólidos, mecánica del medio continuo o mecánica de cuerpos
deformables, es una ciencia básica de la ingeniería, cuyo propósito es establecer los
fundamentos o bases de cálculo para el diseño de toda clase de estructuras, equipos,
máquinas y sistemas mecánicos.

2
Introducción
El objeto primordial de un curso de mecánica de materiales es el desarrollo de las
relaciones entre las cargas aplicadas a un cuerpo no rígido y las fuerzas internas
resultantes y las deformaciones causadas al cuerpo. Desde tiempos de Galileo Galilei
(1564-1642), los hombres de ciencia han venido estudiando constantemente el
problema de la capacidad para soportar cargas de las estructuras y elementos de las
máquinas, así como el análisis matemático de las fuerzas internas y de las
deformaciones resultantes de la aplicación de cargas. Las experiencias y las
observaciones de estos científicos e ingenieros en los tres últimos siglos son la herencia
para los ingenieros de hoy, que les ha proporcionado los conocimientos fundamentales
con los que se puede avanzar en el desarrollo de teorías y técnicas que les permitan
diseñar con competencia y seguridad, estructuras y máquinas de tamaños y complejidad
sin precedentes.
La materia objeto de este libro constituye la base para la solución de los tres tipos de
problemas que siguen:
1. Dada una cierta función a efectuar (tráfico de transporte sobre un río por medio de
un puente, el transporte de instrumentos científicos a Marte en un vehículo espacial,
la conversión de la potencia hidráulica en potencia eléctrica); ¿de qué materiales
deberá ser construida una máquina o estructura y cuáles deberán ser los tamaños y
proporciones de los diversos elementos? Esta es la tarea del diseñador y
evidentemente no hay solución única para cualquier problema dado.
2. Dado el diseño completo, ¿es el adecuado? Esto es, ¿cumple la función
económicamente y sin apartarse excesivamente de su objeto? Este es el problema
del revisor.
3. Dada una estructura o máquina terminada, ¿Cuál es su verdadera capacidad de
carga? La estructura puede haber sido proyectada para algún otro fin distinto del
que ahora puede ser usado. ¿Es adecuada para el uso que se propone? Por ejemplo,
un edificio puede haber sido proyectado para oficinas, pero después se desea
utilizarlo como almacén. En tal caso, ¿qué carga máxima podrán soportar los pisos
con seguridad? Este es el problema de la valoración de la capacidad de resistencia.
Puesto que el completo desarrollo de los problemas mencionados es evidentemente
demasiado extenso para ser dominado en un solo curso, este libro se limita al estudio de
miembros individuales y al de estructuras o máquinas sencillas. Los cursos para diseño,
que seguirán, considerarán las estructuras o máquinas complejas, y con el presente se
proporcionarán los fundamentos esenciales para el completo análisis de los tres
problemas señalados.
Los principios y métodos usados para conseguir el objetivo establecido al inicio de este
capítulo se fundamentan en gran parte en cursos previos de matemáticas y mecánica,
complementados por los conceptos adicionales de la teoría de elasticidad y de las
propiedades de los materiales empleados en ingeniería. Las ecuaciones de equilibrio de
la estática se utilizan extensamente, con un cambio importante en los diagramas de
cuerpo libre; a saber, que la mayor parte de los cuerpos libres se aíslan cortándoles un
miembro en lugar de quitar un pasador o alguna otra conexión. Las fuerzas transmitidas
por las secciones de corte son fuerzas internas denominadas esfuerzos.

3
Se encontrará con frecuencia que las ecuaciones de equilibrio (o de movimiento) no son
suficientes para determinar todas las cargas desconocidas o reacciones que actúan sobre
un cuerpo. En tales casos, es necesario considerar la geometría (el cambio de tamaño o
forma) del cuerpo después de que las cargas hayan sido aplicadas.
La variación en cualquier dirección o dimensión se llama deformación. En algunos
casos, la máxima deformación especificada y no el máximo esfuerzo especificado
determinan la carga máxima que un miembro puede soportar.
Se requieren algunos conocimientos de las propiedades físicas y mecánicas de los
materiales a fin de poder crear un diseño, evaluar propiamente un proyecto dado y hasta
para establecer la relación correcta entre una carga aplicada y la deformación resultante
en un miembro cargado. La información esencial será presentada cuando sea requerida
y una información más completa puede ser obtenida de los libros de texto y manuales
sobre la propiedades de los materiales.
ÁREAS DE APLICACIÓN
Las áreas de aplicación de la resistencia de materiales son ilimitadas: sus métodos son
utilizados por los ingenieros civiles que construyen puentes y edificios; los ingenieros
mecánicos para diseñar y construir maquinaria y equipos; los ingenieros electricistas
para el diseño y construcción de equipos eléctricos, torres de transmisión y conducción;
los ingenieros metalúrgicos para mejorar las propiedades mecánicas de los materiales
Cualquier sistema que deba funcionar en presencia de fuerzas, cambios de temperatura,
presión, etc., se diseña para ser suficientemente resistente y suficientemente rígido. En
términos generales para satisfacer requisitos de resistencia y rigidez de acuerdo a los
principios de la resistencia de materiales.
Se usará el termino estructura para indicar cualquier sistema cuyo diseño este
influenciado por la aplicación de los principios de la resistencia de materiales y que por
su naturaleza ninguno de sus componentes está sometido a movimiento; por ejemplo,
una torre de conducción eléctrica. Cualquier parte, pieza o elemento constitutivo de la
estructura recibe el nombre de elemento estructural.
Por otra parte, cualquier sistema cuyo diseño esté influenciado por los principios de la
resistencia de materiales y que sus componentes o algunos de ellos estén sometidos a
movimiento, recibe el nombre de máquina o sistema mecánico. Por ejemplo, una
prensa, un torno, etc. Cualquier parte, pieza o elemento constitutivo de un sistema
mecánico recibe el nombre de elemento mecánico.
La Fig. 1.1 (a) ilustra el concepto de estructura. Hay que tener en cuenta que al
desmembrar una estructura los elementos estructurales vienen a ser: barras, platinas,
tubos o perfiles.
Fig. 1-1 (a) Estructura
metálica, Puente tipo Warren.

4
La Fig. 1.1 (b) ilustra el concepto de sistema mecánico. Se trata de una suspensión de
trapecio articulado para las ruedas delanteras de un automóvil. Cada uno de sus
componentes: brazo superior, brazo inferior, mangueta, brazo de la mangueta, tirante,
amortiguador, muelle helicoidal, etc, es un elemento mecánico.
DESCRIPCIÓN DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES
La resistencia de materiales estudia los efectos internos que se producen en un sólido
deformable sometido a la acción de cargas externas. Básicamente estos efectos internos
son dos: esfuerzo y deformación; de modo que la resistencia de materiales se orienta de
manera general hacia dos aspectos principales: análisis de esfuerzos y análisis de
deformaciones.
Análisis de esfuerzos.
Las cargas externas que actúan sobre un cuerpo producen en cualquier sección cargas
internas que mantienen en equilibrio cualquier porción de él. En otras palabras, las
cargas externas son equilibradas por las cargas internas. Es interés de la resistencia de
materiales, conocer para cualquier punto de una determinada sección, la intensidad de
las cargas internas por unidad de área. A dicha intensidad de fuerza por unidad de área
se le llama esfuerzo. Una vez determinados los esfuerzos, el siguiente paso es definir si
la resistencia del material con que está construido el elemento, es adecuada para
soportarlos. Así se establece si el elemento es suficientemente resistente.
Análisis de deformaciones.
Este es el otro aspecto importante hacia el cual se orienta la resistencia de materiales. En
general se entiende por deformación, cualquier cambio de forma que le ocurra a un
elemento, la cual puede ser de tres tipos:
Cambio en las dimensiones, (lineal, superficial o volumétrica)
Cambio en la curvatura (flexión)
Las diferentes secciones transversales del elemento sufren rotaciones relativas, una
respecto de otra alrededor del eje centroidal longitudinal (torsión).
Se entiende por rigidez la oposición de un elemento a la deformación. Si un elemento
bajo la acción de cargas muy grandes presenta deformaciones muy pequeñas se dice que
Fig. 1.1 (b) Sistema mecánico,
suspensión de trapecio articulado.

5
es muy rígido y viceversa. El análisis de deformaciones se hace para establecer si el
elemento es suficientemente rígido.
Debido a que la determinación de las fuerzas internas en un elemento se hace mediante
equilibrio estático, es importante destacar el papel que juega la estática tanto en el
desarrollo como en la aplicación de la resistencia de materiales. Es necesario tener muy
buen conocimiento de sus principios fundamentales y tenerlos presentes en todo el
desarrollo de la asignatura.

1
1. CLASIFICACIÓN DE LAS CARGAS EXTERNAS
Como la resistencia de materiales estudia los efectos internos producidos en un
cuerpo por las cargas externas aplicadas, y tanto estos efectos como la forma en
que puede producirse una eventual falla dependen del tipo de carga aplicada, es
necesario conocer los distintos tipos de cargas externas a las cuales pueden
estar sometidos los cuerpos, estas cargas pueden clasificarse así:
1.1 Con respecto al tiempo de aplicación:
a) Carga sostenida: Es aquella que es constante durante un periodo
de tiempo largo, tal como el peso de una estructura (que se llama
carga muerta).
b) Carga estática: Es aquella que se aplica gradualmente; después
permanece un tiempo relativamente corto (en comparación con la
carga sostenida) y luego desaparece también gradualmente. Por
ejemplo, la carga que ejerce el grupo de estudiantes en el salón de
clase sobre la placa y la estructura del edificio.
c) Carga repetida: Es aquella que se aplica y se suspende muchas
veces en un tiempo relativamente corto. Por ejemplo, los resortes
helicoidales que cierran las válvulas de los motores de los
automóviles, se encuentran sometidas a cargas repetidas. Este tipo
de carga puede producir la falla por fatiga.
d) Carga instantánea o de impacto: Es aquella que se aplica y se
suspende en un tiempo extremadamente corto (en un instante). Esta
carga de impacto normalmente produce vibraciones, y el equilibrio
no se establece hasta que las vibraciones se eliminan. Un ejemplo
es la carga ejercida en el choque de dos cuerpos.
1.2 Con respecto a la zona de aplicación:
En general puede decirse que fuerza es la acción de un cuerpo sobre otro.
Cuando esta acción se hace con contacto directo se producen fuerzas de
superficie; y si no hay contacto entre los dos cuerpos se producen fuerzas de
cuerpo.
a) Cargas de superficie: En todos los casos estas fuerzas actúan
sobre el área de contacto entre los cuerpos (Fig. 1.2) y pueden
idealmente considerarse así:
b) Carga concentrada: Sí el área de contacto es muy pequeña en
comparación con el área total del cuerpo, la fuerza superficial se
idealiza como una fuerza aplicada en un punto sobre el cuerpo, y se
denomina carga concentrada. Por ejemplo, las fuerzas que ejercen
las llantas de un automóvil sobre la placa de un puente.
c) Carga linealmente distribuida: La carga se cuantifica como
intensidad de fuerza por unidad de longitud. Se utiliza esta
idealización cuando la longitud de la zona de contacto es muy
Fig. 1.2 Cargas de superficie
sobre un elemento estructural.

2
grande comparada con su ancho, por ejemplo, la carga a lo largo de
una viga.
d) Carga superficialmente distribuida: Se presenta cuando el área
de contacto es grande en comparación con el área total del
elemento estructural, por ejemplo, la presión que ejerce el agua
sobre la superficie de la base de un tanque.
e) Cargas de cuerpo: Se generan cuando un cuerpo ejerce una fuerza
sobre otro sin contacto físico directo. El ejemplo más significativo
es el efecto de la gravitación de la tierra, cuya carga se llama peso y
actúa en el centro de gravedad de los cuerpos y va dirigido siempre
hacia abajo.
1.3 Con respecto a la forma de aplicación:
a) Carga centrada: Es aquella en que la dirección de la carga externa
pasa por el centroide de una sección transversal de interés del
elemento. En la Fig. 1.3.(a), la línea de acción de la carga P pasa
por el centroide de la sección a-a´ del elemento, por tanto la carga P
es centrada en la sección a-a´. ¿Qué ocurre en la sección b-b´ del
gancho?. En la Fig. 1.3.(b), la carga P actúa en la dirección del eje
centroidal de las dos platinas, si el espesor t no es demasiado
grande (que es el caso común en las juntas remachadas) la fuerza P
puede suponerse colineal con la fuerza V que actúa en el remache
en la sección b-b´, satisfaciéndose así, la definición de carga
centrada. En la Fig. 1.3.(c) la carga P actúa en la dirección del eje
centroidal longitudinal del elemento, entonces se dice que la carga
es axial.
Fig. 1.3. Ejemplos de
cargas c entradas.

3
b) Carga torsional: Es aquella que somete a un eje mecánico o a
cualquier otro elemento a un par de fuerzas que tiende a torcerlo. Si
el par actúa en un plano perpendicular al eje centroidal longitudinal
del elemento, Fig. 1.4., se dice que este se encuentra sometido a
torsión pura.
c) Carga deflectora o flexionante: Es aquella en que las cargas se
encuentran aplicadas transversal o perpendicularmente al eje
centroidal longitudinal del elemento. Las cargas pueden incluir
pares que actúan en planos paralelos al eje centroidal longitudinal.
En un elemento sometido a cargas de flexión, su eje longitudinal
sufre una curvatura. La Fig. 1.5. muestra una viga sometida a
cargas de flexión consistentes en una carga concentrada, una carga
linealmente distribuida y un par.
d) Carga combinada: Cuando sobre un mismo elemento actúan a la
vez dos o más de los tipos de cargas mencionadas anteriormente,
dicho elemento está sometido a carga combinada (Fig. 1.6.).
1.4 Cargas en apoyos y conexiones:
Un elemento estará sometido a una o varias ligaduras que lo unen al resto de la
estructura (conexiones) o al suelo (apoyos). Las cargas generadas por los
apoyos o conexiones se pueden observar en la tabla 1.
Fig. 1.4. Carga
torsional sobre un eje.
Fig. 1.5. Viga sometida a
cargas de flexión
Fig. 1.6 En el elemento ABC
de la rueda frontal de un
avión se presentan cargas
combinadas.

4
Tabla 1. Cargas en apoyos y reacciones
El sentido de las reacciones ( fuerzas o momentos ) puede ser el indicado en la tabla o en sentido contrario
según lo exijan las condiciones de equilibrio, excepto en el primer caso donde el sentido es sólo el indicado.

1
1.5 CONCEPTO DE SÓLIDO DEFORMABLE
Para aplicar los principios de la Resistencia de Materiales se recurre a
idealizaciones que se basan en suposiciones simplificadoras, las idealizaciones
se hacen teniendo en cuenta la carga sobre el cuerpo, la forma y el material del
cual está construido. Para definir el concepto de sólido deformable es necesario
establecer suposiciones simplificadas acerca de los materiales.
La mecánica teórica considera indeformables los cuerpos, ya se encuentren en
estado de movimiento o de reposo. En otras palabras, se considera que el cuerpo
se comporta como un sólido rígido, es decir que ante cualquier sistema de cargas
externas, la distancia entre dos moléculas cualquiera permanece invariable.
En la Fig. 1.7 se muestra una pluma de grúa BC, rígidamente unida a la columna
vertical AB. La columna AB está fijada al piso y la pluma soporta un peso W en
el punto C. Mediante equilibrio estático se puede calcular el sistema de cargas
externas que actúa sobre la estructura ABC (Fig.1.8).












0
0
0
0
0
0
Z
Y
X
Z
Y
X
M
M
M
F
F
F
Ecuación 1-1
Naturalmente, si existieran los sólidos rígidos no existirían peligros de rotura, ni
de deformaciones de ningún tipo, y la resistencia de materiales carecería de
objeto, ya que por pequeña que fuese la sección de la estructura y por grande que
fuese el sistema de cargas externas, la estabilidad de la estructura estaría
asegurada si se cumplen las condiciones generales de equilibrio estático:
Por experiencia se sabe que existe un determinado valor de W que hará fallar la
estructura, surgiendo entonces la necesidad de definir los límites de carga que se
pueden aplicar o el dimensionamiento adecuado para que pueda soportarse el
sistema de cargas externas sin peligro de falla. Se entiende por falla el hecho de
que se supere la capacidad de soportar carga de la estructura. Sin embargo la
estructura puede fallar, ya sea porque algún elemento se rompe o porque deja de
ser funcional por ser poco rígida o sea demasiado flexible (Fig.1.9).
Esto requiere pasar del concepto de sólido rígido al concepto de sólido
deformable, ya que como se dijo anteriormente el propósito de la resistencia de
materiales es definir si el elemento estructural es suficientemente resistente y
suficientemente rígido.
Fig. 1-7 Esquema de la
estructura ABC
Fig. 1-8 Sistema de cargas
externas sobre la estructura
ABC.
Fig. 1-9 La estructura falla
porque sus elementos
estructurales son poco
rígidos o muy flexible

2
En el sólido deformable se acepta una hipótesis, simplificadora fundamental, y es
la de que los materiales pueden idealizarse, olvidando su estructura molecular o
cristalina, como si estuvieran constituidos por una masa continua, sin huecos o
separaciones en su interior. Esto le da al sólido deformable una serie de
cualidades como son: homogeneidad, isotropía y continuidad.
En los sólidos deformables los átomos o moléculas están tan próximos unos a
otros que el material puede considerarse macroscópicamente, como una masa
homogénea, cuyas deformaciones pueden definirse globalmente sin necesidad de
considerar el movimiento de cada una de las partículas que lo componen.
La isotropía supone que la micro estructura del material consiste de elementos
orientados al azar y por consiguiente las propiedades mecánicas son iguales en
todas las direcciones.
La propiedad de continuidad supone que no existen huecos entre las partículas,
ni por consiguiente, distancias intersticiales.
El sólido deformable requiere la condición de elasticidad. Un elemento
estructural o mecánico sometido a un sistema de cargas externas, se deforma,
Pero, si una vez suspendido el sistema de cargas externas, el elemento recobra su
forma original, asume la condición de sólido deformable elástico.
1.5.1 EQUILIBRIO DELSÓLIDO DEFORMABLE.
Para que un sólido rígido este en equilibrio es necesario y suficiente que se
cumplan las ecuaciones (1-1) que son las condiciones generales de equilibrio
estático.
En un sólido deformable estas condiciones son necesarias pero no suficientes, ya
que el interés fundamental se centra en los estados de cargas internas de un
elemento sometido a la influencia de un sistema de cargas externas.
Elemento estructural o elemento mecánico.
Se puede definir como cualquier sólido configurado, teniendo en cuenta un
criterio meramente geométrico, que posee las propiedades físicas de
homogeneidad, isotropía y continuidad. El elemento estructural o mecánico es el
modelo teórico sobre el cual se aplican los principios de la resistencia de
materiales.

3
1.5.2 Determinación de las cargas internas.
Las cargas internas son cargas invisibles que actúan en el interior de un elemento
estructural y que son necesarias para mantenerlo unido cuando esté sometido a la
acción de un sistema de cargas externas. Para obtener las cargas internas que
actúan en una sección específica dentro de un elemento, se requiere hacer una
sección imaginaria o corte en dicho elemento, separar las dos partes y mediante
equilibrio estático establecer la distribución de las fuerzas internas que actúan
sobre el área expuesta de la sección.
La Fig. 1.10 muestra un cuerpo que se mantiene en equilibrio mediante dos
fuerzas y dos apoyos. El sistema de cargas externas sobre el cuerpo se aprecia en
la Fig. 1.11.
Haciendo pasar un plano imaginario a través del cuerpo se puede determinar la
distribución de las fuerzas internas en la sección expuesta de cada una de las dos
partes. (Fig. 1.12).
La distribución de las fuerzas internas en una sección expuesta de un cuerpo
mostrada en la Fig. 1.12, realmente puede ser desconocida, pero mediante las
ecuaciones de equilibrio estático, ésta distribución de fuerzas internas puede ser
convertida en una fuerza resultante Fi y un momento resultante Mi, en cualquier
punto específico de la sección expuesta. Fig. 1.13.
La magnitud de Fi no depende de la posición del punto O, mientras que la
magnitud de Mi si varía con dicha posición, ya que los brazos del momento van
desde O hasta la línea de acción de cada carga externa sobre el diagrama de
cuerpo libre. Para la posición del punto O, generalmente se escoge el centroide
Fig. 1-10 Elemento
estructural en equilibrio
estático.
Fig. 1-11 Sistema de cargas
externas sobre el elemento
estructural.
Fig. 1-12 Distribución de
fuerzas internas en una
sección expuesta.
Fig. 1-13 Fuerza y momento
resultante.

4
de la sección expuesta.
Al fijar un sistema de coordenadas [X, Y, Z] con origen en el punto O, las cargas
Fi y Mi se pueden resolver en sus tres componentes (Fig. 1.14)
Fx se llama fuerza normal, ya que actúa perpendicular al área de la sección
expuesta.
V se llama fuerza cortante, ya que está contenida en el plano del área de la
sección expuesta. Se puede descomponer en Vy y Vz.
Tx se llama momento o par torsional o torsor.
M se llama momento flector. Se puede descomponer en My y Mz.
Si un elemento es largo y delgado como el caso de una barra o una viga, la
sección expuesta se toma generalmente perpendicular a su eje longitudinal. Esta
sección expuesta recibe el nombre de sección transversal.
Fig. 1-14 Componentes de las
fuerzas internas Fi y Mi según el
sistema de coordenadas X, Y y Z.

1
EJEMPLO 1
En la Fig. 1.15 se muestra una barra ABCD, doblada en ángulos de 90° en B y C.
La barra se encuentra empotrada en A y sometida a la acción de cargas en D.
Calcular las fuerzas internas para una sección transversal en M y N.
Solución:
En la estructura ABCD, solo se tiene un elemento estructural, cuyo diagrama de
cuerpo libre se muestra en la Fig. 1.16 las reacciones en el empotramiento A se
obtienen aplicando las ecuaciones de equilibrio
0
R
kN
5
0
F Ay
y 




0
R
kN
5
0
F Az
z 



cm
kN
125
MAx 

kN
5
RAy 
kN
5
RAz 
0
M
cm
25
kNg
5
0
M Ax
A 




Fig. 1- 15
Estructura ABCD.
Fig. 1-16
Diagrama de cuerpo libre de
ABCD del elemento estructural.

2
Al hacer un corte imaginario por M, la sección expuesta presenta las fuerzas
internas mostradas en la Fig. 1.17, que se obtienen por equilibrio estático para la
parte AM del elemento estructural.
kN
5
V
0
V
kN
5
0
F My
My
y 




kN
5
V
0
V
kN
5
0
F Mz
Mz
z 





cm
kN
125
T
0
T
cm
kN
125
0
M Mx
Mx
x 







cm
kN
200
M
0
M
cm
40
kN
5
0
M My
My
y 







cm
kN
200
M
0
M
cm
25
kN
5
0
M Mz
Mz
z 







Al hacer un corte imaginario por N, la sección expuesta presenta las fuerzas
internas mostradas en la Fig. 1.18, que se obtienen por equilibrio estático para la
parte A - N del elemento estructural.
Fig. 1-17
Diagrama de cuerpo libre de la parte
AM del elemento estructural.
Fig. 1-18
la parte AN.

3
0
V
kN
5
0
F Ny
y 


 kN
5
VNy 
0
F
kN
5
0
F Nz
z 



 kN
5
FNz 
0
M
cm
20
kN
5
cm
kN
125
0
M Nx
x 






 cm
kN
250
MNx 

0
cm
50
kN
5
M
0
M Ny
y 



 cm
kN
250
MNy 

0
T
cm
50
kN
5
0
M Nz
z 




 cm
kN
250
TNz 

EJEMPLO 2
Para la estructura ABCD mostrada en la Fig.1.19, calcular las fuerzas internas
para una sección transversal en G.
Fig. 1.19
Estructura ABCD.

4
Solución:
El diagrama de cuerpo libre del elemento estructural ABC se encuentra en las
Fig.s 1.20. El sistema de cargas externas queda definido aplicando las ecuaciones
de equilibrio.





 56
.
26
5
.
0
120
60
tan
  0
MA 0
cm
90
kN
20
cm
15
cos
F
cm
180
sen
F CD
CD 









kN
FCD 169
,
19

kN
R
kN
R
F Ax
Ax
x 146
,
17
0
cos
169
,
19
0 




 
0
20
169
,
19
0 




 KN
sen
kN
R
F Ay
y  kN
RAy 429
,
11

Al hacer un corte imaginario por G, la sección expuesta presenta las fuerzas
internas mostradas en la Fig. 1.21; que se obtiene por equilibrio estático para la
parte A-G del elemento estructural ABC.
Fig. 1.20
Diagrama de cuerpo libre del
elemento estructural AB.

5
kN
N
N
kN
F G
G
x 146
,
17
0
146
,
17
0 




kN
V
V
kN
kN
F G
G
y 571
,
8
0
429
,
11
20
0 






0
120
571
,
8
90
20
0 






 G
A M
cm
kN
cm
kN
M
cm
kN
48
,
771
MG 

Fig. 1.21
la parte AG del elemento
estructural ABC.

6
EJEMPLO 3
El eje sólido AB (Fig. 1.22) gira a 450 R.P.M. y transmite 25 H.P. del motor M a
herramientas conectadas a los engranajes H, que toma 10 H.P. y G que toma 15
H.P. Calcular las fuerzas internas para las secciones transversales en P y Q,
situadas a 5 pulgadas de C y D respectivamente. El ángulo de presión normal
para los dientes de todos los engranajes es de = 20°.
Solución:
En el sistema de transmisión mostrado en la Fig. 1.22 existen varios elementos
mecánicos, pero en este caso sólo es necesario analizar el eje AB.
El engranaje motriz ejerce sobre el engranaje D una fuerza F perpendicular al
plano de presión inclinado de 20° con respecto al eje y, (Fig. 1.23); el sentido de
giro del motor establece el sentido de la carga, lo cual permite establecer la
dirección y el sentido de las cargas sobre el engranaje D. (Fig. 1.24).
En la Fig. 1.25, se muestra el diagrama de cuerpo libre para el engranaje D.
Por las ecuaciones de equilibrio estático se tiene:
Fig. 1.22 Sistema
de transmisión.
Fig. 1.23
Fuerzas de contacto sobre el
diente de un engranaje.

7
 




 D
TD
D
D
TD
D
x r
F
T
0
r
F
T
0
M
Las magnitudes de FTD, FRD y TD se determinan a partir de la potencia, que para
este engranaje es la misma potencia motriz: 25 H.P.
angular
velocidad
w
torque
T
w
T
P
:
:


La potencia se puede expresar como:
seg
pie
Lb
550
.
P
.
H
1


En maquinaria, generalmente se conoce la velocidad de giro N en R.P.M.
(revoluciones por minuto). Puesto que:
60
N
2
w
60
1
rad
2
revolución
1







 seg
min
pudiéndose expresar la potencia como:
pulg
Lb
3500
pie
Lb
78
,
291
pie
Lb
450
2
60
550
25
T
T
seg
60
1
1
450
2
seg
pie
Lb
550
25
P
.
H
25
60
T
N
2
P
D
D
























min
min
Con el par se definen FT y FR.
Dy
RD
TD
RD
Dz
TD
TD
D
TD
D
R
Lb
318
20
tan
Lb
875
F
F
F
tan
R
Lb
850
F
4
F
Lb
500
.
3
r
F
T















 
pulg
pulg
El mismo tipo de análisis de cálculo se puede realizar para los engranajes C y
E. Fig. 1.26 y Fig. 1.27
Fig. 1.24
Dirección y sentido de las
cargas sobre el engranaje D.
Fig. 1.25
Diagrama de cuerpo libre del
engranaje D.

8
Cy
RC
TC
RC
Cz
TC
TC
C
TC
C
C
R
Lb
204
20
tan
Lb
560
F
F
F
tan
R
Lb
560
F
pulg
5
,
2
F
pulg
Lb
400
.
1
r
F
T
pulg
Lb
400
.
1
pie
Lb
71
,
116
pie
Lb
450
2
60
550
10
T



























Ey
TC
TE
E
TE
E
E
R
Lb
840
F
pulg
5
.
2
F
pulg
Lb
100
.
2
r
F
T
pulg
Lb
100
.
2
pie
Lb
175
pie
Lb
450
2
60
550
15
T



















Ez
RE
TE
RE
R
Lb
Lb
F
F
F






 306
20
tan
840
tan
(b)
(a)
Fig. 1.26
Cargas sobre el engranaje C.
Fig. 1.27
Cargas sobre el engranaje E.
(a)
(b)

9
El sistema de cargas externas sobre el eje AB se muestra en la Fig. 1.28. Las
reacciones en A y B se calculan por las ecuaciones de equilibrio estático.
Al hacer un corte imaginario por P, la sección expuesta presenta las cargas
internas mostradas en la Fig. 1.29, que se obtienen por equilibrio estático para
la parte AP del elemento mecánico AB.
0
V
Lb
204
Lb
2
,
172
0
F Py
y




 Lb
8
,
31
VPy 
0
V
Lb
560
Lb
3
,
824
0
F Pz
z





 Lb
3
,
264
VPz 
0
T
pulg
Lb
1400
0
M Px
x




 pulg
lb
1400
TPx 

0
M
pulg
5
Lb
560
pulg
11
Lb
3
,
824
0
M Py
y








pulg
Lb
3
,
267
.
6
MPy 

0
M
pulg
5
Lb
204
pulg
11
Lb
2
,
172
0
M Pz
z








pulg
Lb
2
,
874
MPz 

Fig. 1.28
Sistema de cargas externas sobre el
eje AB.
Fig. 1.29
Diagrama de cuerpo libre de la
parte AP del elemento mecánico
AB.

10
Al hacer un corte imaginario por Q, la sección expuesta presenta las cargas internas
mostradas en la Fig. 1.30, que se obtienen por equilibrio estático para la parte AQ del
elemento mecánico AB.
0
V
Lb
875
Lb
560
Lb
3
,
824
0
F Qz
z






 Lb
7
,
610
VQz 
0
V
Lb
318
Lb
204
Lb
2
,
172
0
F Qy
y





 Lb
2
,
286
VQy 
0
T
pulg
Lb
500
.
3
pulg
Lb
400
.
1
0
M Qx
x







pulg
Lb
100
.
2
TQx 

0
M
pulg
5
Lb
875
pulg
14
Lb
560
g
pul
20
Lb
3
,
824
0
M Qy
y










pulg
Lb
271
.
4
MQy 

0
pulg
5
348
pulg
14
204
pulg
20
2
,
172
0 








 Qz
z
M
Lb
Lb
Lb
M
pulg
Lb
178
.
2
MQz 

Fig. 1.30
Diagrama de cuerpo libre de la parte AQ del
elemento mecánico AB.

1
EJERCICIOS PROPUESTOS DE CARGAS INTERNAS (Bloque 1)
1. Para las estructuras mostradas en las Fig. 1.1 a 1.10, calcular las fuerzas internas para un
corte imaginario a-a´.
1.1 1.2
1.1 o
1.3 1.4
1.5 1.6
1.7 1.8

2
1.9 1.10
1.11 El berbiquí y la broca que se
muestra en el plano XZ se utilizan
para hacer un agujero en O. El
berbiquí está sometido a las
fuerzas PAx = 50 Lb, PAz = 8 Lb y
PBy = 30 Lb, como se indican.
Hallar las fuerzas internas para la
sección transversal a-a´.
1.12 Un tubo de acero de 30 cm de diámetro
exterior y que pesa 800 N/m, se sostiene
mediante yugos fijados rígidamente. En la
posición que se indica en la figura, calcular las
fuerzas internas para la sección transversal a-
a´.
Un cigüeñal para un motor de
un cilindro va montado
sobre rodamientos en sus
extremos. Está en
equilibrio bajo la acción
de una fuerza sobre la
biela y par torsor To.
Calcular las fuerzas
internas para la sección
a-a´.

1
EJERCICIOS PROPUESTOS DE CARGAS INTERNAS (Bloque 2)
1.14 Un muelle en espiral de radio R puede tener los
extremos según las posiciones indicadas. Calcular las
fuerzas internas para la sección a-a´ en una espira.
1.15 En la figura se muestra
una prensa de mordazas,
cuya base es un perfil en
U. La fuerza de apriete
actúa en el punto
indicado en la mordaza.
Calcular las fuerzas
internas para una sección
transversal a-a´ del perfil
en U, cuando P = 500 Lb.
1.16Un poste tubular de
sección transversal
cuadrada de 6 pulgadas de lado soporta una plataforma
horizontal. La plataforma soporta una carga superficialmente
distribuida de 20 psi Las dimensiones de la plataforma son de 6
pulg. x 24 pulg. Una segunda carga P de 800 Lb actúa a una
altura h = 52 pulg de la base. Calcular las fuerzas internas para
una sección a-a´ un dy por encima de la base.
1.17 Para el sistema de
freno mostrado en la figura
calcular las fuerzas internas para la sección a-a´.

1
EJERCICIOS PROPUESTOS DE CARGAS INTERNAS (Bloque 3.)
PROBLEMAS
1.18 Para el análisis de equilibrio estático un
segmento de cigüeñal se representa como se
muestra en la figura. Determinar las fuerzas internas
para una sección transversal un dx después de A.
1.19 Para la
prensa mostrada en la figura, calcular las fuerzas
internas en la sección a-a´ de la columna AB de
la prensa cuando la carga P es de 20000 N.
1.20 Dos sistemas idénticos articulados con
cilindros hidráulicos, de los cuales solo uno se
ve en la figura, controlan la posición de las
orquillas de un elevador de un camión. Cada
sistema soporta una carga de 15 kN Determinar
las cargas internas para el corte a - a’.

2
1.21 En el marco mostrado en la figura,
los elementos EBF y ABCD, están
conectados por un pasador en B y
por el cable EC. Una carga de 150
Lb. Se sostiene por un segundo
cable que pasa sobre una polea en
F y que está unido al elemento
vertical en G. Determinarlas
cargas internas para el corte a - a’.
1.22 La barra liviana AD se acopla
a dos collares B y C, los cuales se
pueden mover libremente sobre las
varillas verticales. La superficie en A
es lisa. Calcular las fuerzas internas
para el corte a - a’.
= 60°.
1.23 Determinar las cargas internas para el
corte a - a’. Cada polea tiene un
diámetro de 1.2 m.

3
1.24 El gancho mostrado en la figura esta
sometido a una carga de 200 Lb, a
través de una cuerda según la dirección
y el sentido mostrado. Determinar las
cargas internas para el corte a-a’.
1.25 La rueda mostrada en la figura esta
sometida a una carga de diseño de 12
kN. Determine las cargas internas para
el corte a-a’.

1
1.6 ESFUERZO
En la sección anterior se mostró cómo aparece la distribución de fuerzas internas
en un cuerpo al cual se le hace un corte imaginario. Cualquiera de las dos partes
que se tome del cuerpo tiene que estar en equilibrio estático; sin embargo, no es
posible considerar las innumerables fuerzas individuales sobre las partículas que
aparecen en la sección expuesta.
No obstante, las fuerzas internas que actúan en diferentes puntos de la sección
expuesta se pueden describir en función de una cierta cantidad denominada
esfuerzo.
1.6.1 Definición de esfuerzo
El esfuerzo se define para un punto sobre la superficie expuesta del cuerpo al
hacer el corte imaginario, por ejemplo, para el punto Q de la Fig. 1.31.
En la Fig. 1.32, A es el pequeño elemento de área, sobre el cual actúa una
fuerza pequeña F con una dirección única, establecida en un sistema de
coordenadas X, Y, Z. Esta fuerza se puede resolver en sus componentesFn y
Ft.
Cuando A tiende a cero, igualmente F tiende a cero, pero el cociente de la
fuerza y el área tiende a un límite finito, este cociente se llama esfuerzo y
describe la intensidad de la fuerza interna sobre un área específica.
Esfuerzo Normal: La intensidad de la fuerza, o fuerza por unidad de área, que
actúa normal a A, se define como esfuerzo normal ().
Matemáticamente se puede expresar:
A
Fn
Lim
0
A 





Ecuación 1-2
Fig. 1-31
Diagrama de cuerpo libre
de una parte de un elemento
estructural o mecánico.
Fig. 1-32
Elemento de área de la sección
expuesta.
(b)
(a)

2
Si la fuerza o esfuerzo sale de la superficie se tiene un esfuerzo normal a
tracción. Si la fuerza o esfuerzo entra a la superficie, se tiene un esfuerzo
normal de compresión. La dirección de Fn siempre será normal al área.
a) Esfuerzo Cortante: La intensidad de la fuerza, o fuerza por unidad de área
que actúa tangente a A, se define como esfuerzo cortante. ()
Matemáticamente se puede expresar como:
A
Ft
Lim
0
A 




 Ecuación 1-3
La dirección de Ft tiene infinito número de posibilidades, la única
condición es que siempre actúa paralelamente a A
.
Para especificar la dirección de los esfuerzos, F se resuelve en las
componentes rectangulares según el sistema de coordenadas X, Y, Z
referenciado, Fig. 1.33, donde el eje X se toma perpendicular a A.
El esfuerzo normal se expresa como:
A
Fx
Lim
A
x




 0
 Ecuación
1-4
y se inducen dos componentes de esfuerzo cortante como son:
A
F
Lim
A
Fy
Lim
A
xz
A
xy









 0
0

 Ecuación 1-5
Las tres componente de esfuerzo sobre el diferencial de área A, se
muestran en la Fig. 1.34, y de acuerdo con la ecuación 1-3 se expresan en
unidades de fuerza dividido por unidades de longitud al cuadrado (área)






2
L
F
Fig. 1-13
Componentes rectangulares de F
según el sistema coordenado X, Y
y Z.
Fig. 1-32
Componentes del esfuerzo obre
el área A.

3
Unidades de Esfuerzos:
La aplicación de los principios de la Resistencia de Materiales en los cálculos de
Ingeniería requiere la manipulación de varios sistemas de unidades y es de gran
importancia asegurar que se utilicen unidades consistentes en los modelos
matemáticos utilizados para el cálculo.
Aunque la norma ICONTEC establece el Sistema Internacional como sistema
básico de unidades en Colombia, es importante aclarar que las empresas
suministradoras de materiales para ingeniería continúan utilizando el sistema
métrico técnico y el anglosajón, lo que implica la necesidad de conocer y utilizar
estos sistemas de unidades.
Las tablas 1.2, 1.3 y 1.4 muestran las unidades en los tres sistemas.
Tabla 1-2 Dimensiones básicas en el Sistema Internacional de unidades (S.I.)
Magnitud Unidad Otras unidades derivadas
Longitud
Tiempo
Fuerza
Temperatura
Angulo
Esfuerzo
Metro (m)
Segundo (s)
Newton (N)
Kelvin (K)
Radian
Pascal (Pa) 2
m
N
Milímetro (mm) 1mm = 10m-3
Minuto (min); hora (h)
2
s
m
Kg 
Grados Celsius (°C)
Grado
Mpa = 106
Pa
Tabla 1-3 Dimensiones básicas en el Sistema de unidades Anglosajonas
Magnitud Unidad
Anglosajona
Otras unidades Anglosajonas
Longitud
Tiempo
Fuerza
Temperatura
Angulo
Esfuerzo
Pie (ft)
Segundo (s)
Libra (Lb)
Fahrenheit (°F)
Grados
2
pul
Lb
(psi)
Pulgada (pulg); 1 pie = 12 pulg
Kip: 1 Kip =103
Lb
Radián
Ksi: 1 Ksi = 103
Lb/pulg2
o (psi)

4
Tabla 1-4 Dimensiones básicas en el Sistema Métrico Técnico
Magnitud Unidad Otras unidades derivadas
Longitud
Tiempo
Fuerza
Temperatura
Angulo
Esfuerzo
Metro (m), cm.
Segundo (s)
Kilogramo (Kg)
Kelvin (K)
Radian
2
cm
Kg
Milímetro (mm) 1mm = 10m-3
gr.
Grados Celsius (°C)
Grado
Kg/cm²
La tabla 1.5 muestra los distintos factores de conversión entre las unidades de
esfuerzos de estos tres sistemas.
Tabla 1-5 Factores de conversión entre las unidades de esfuerzo
Unidad Pa Kg/cm2
P.S.I
Pa
Kg/cm2
P.S.I
1
9 810
6 912
1,019 x 10-5
1
0,0705
1,45 x 10-5
14,2
1
Tabla 1.6 Prefijos de unidades en el Sistema Internacional
Prefijos de unidades en
el Sistema
Internacional
Símbolo Cantidades
Giga
Mega
Kilo
Centi
Mili
Micro
G
M
K
cm
m

109
= 1 000 000 000
106
= 1 000 000
103
= 1 000
10-²
= 0,01
10-3
= 0,001
10-6
= 0,000001

5
Relación entre las componentes del esfuerzo y las cargas internas.
En una sección expuesta de un cuerpo las componentes de los esfuerzos están
relacionados con las cargas internas que actúan sobre la sección. Las relaciones
entre las componentes de esfuerzo y las cargas internas se establecen utilizando el
cálculo integral.
Anteriormente se establecieron las componentes de los esfuerzos que actúan en
un área A. (Fig. 1.35).
Toda la sección expuesta se puede dividir en áreas A sobre las cuales actúan
fuerzas internas F, que varían en magnitud y dirección. Las componentes de F
(Fig.1.36) se pueden expresar según las expresiones matemáticas siguientes:
A
Fz
A
Fy
A
Fx xz
xy
x 














Si A tiende a cero se tiene un diferencial de área dA y las fuerzas internas que
actúan en la sección expuesta del elemento estructural se pueden expresar como
sigue:
Fig. 1-33 Componentes de
esfuerzo en un área A para una
sección expuesta de un elemento
estructural.
Fig. 1-36 Componentes de la
fuerza F que actúa en un área
A.

6































A
x
0
A
xz
A
x
0
A
xy
A
0
xy
0
xz
A
x
dA
y
Mz
dA
Vy
dA
z
My
dA
Vy
dA
)
z
y
(
Tx
dA
Nx
1.6.2 Estado general de esfuerzos.
Las componentes de los esfuerzos presentados en la sección anterior se
establecieron para un plano imaginario que corta el elemento estructural. Este
plano es paralelo al plano yz del sistema de coordenada x,y,z, referenciado.
Sin embargo, a través de un punto cualquiera de un cuerpo puede pasar un
infinito número de planos imaginarios, con diferentes orientaciones. Si se
establece un corte imaginario por medio de un plano paralelo al plano xy del
sistema de coordenadas referenciado, un área A queda sometida a las
componentes de esfuerzo mostrados en la Fig. 1.37.
Al pasar un plano imaginario por el cuerpo paralelo al plano xz del sistema de
coordenadas referenciado, un área A queda sometida a las componentes de
esfuerzos mostrados en la Fig. 1.38
Para facilitar la observación del estado general de esfuerzos en un punto
cualquiera de un cuerpo se considera un pequeño cubo de lado a , Fig. 1.39,
donde se muestran las componentes de los esfuerzos en cada una de las tres caras;
frontal, superior y lateral derecha.
Obviamente por razones de equilibrio, las caras opuestas a las anteriores llevarán
los mismos esfuerzos correspondientes pero en dirección contraria; los cuales no
están representados en la Fig. 1.39, por razones de claridad en el dibujo.
Para establecer una convención de signos, y una nomenclatura coherente se
procede de la siguiente manera:
Cualquier plano recibe el nombre del semieje al cual es perpendicular. De este
modo se tienen las caras positivas: X,Y,Z y caras negativas: -X, -Y, -Z. Fig. 1.40
(a) y (b).
Los esfuerzos se designan por una letra griega y dos subíndices; el primer
subíndice corresponde al nombre de la cara sobre la cual actúa el esfuerzo y el
segundo corresponde a la dirección en que va dirigido dicho esfuerzo. Se utilizará
la letra griega para los esfuerzos normales y  para los esfuerzos cortantes. Así
por ejemplo se tendrá que xy es un esfuerzo cortante que actúa en la cara X
(primer subíndice) y lleva la dirección Y (segundo subíndice) Fig. 1.39; zz es un
esfuerzo normal que actúa en la cara Z y lleva la dirección Z. Como para los
esfuerzo en un área A para
una sección expuesta al plano
XY.
esfuerzo en un área A para
una sección expuesta al plano
XZ.
Fig. 1-35 Estado de esfuerzos
en un plano cualquiera del
elemento estructural.

7
esfuerzos normales, siempre van a coincidir, los dos subíndices, bastará con
colocarlo una sola vez, así se tendrá siempre x, y y z Fig. 1.39.
El signo de los esfuerzos normales se considera positivo si actúan a tracción y
negativo si actúan a compresión.
Respecto a los esfuerzos cortantes, se consideran positivos, si actuando en una
cara positiva, el sentido del esfuerzo va en el mismo sentido de los semiejes X, Y,
Z, o si actuando en una cara negativa, el sentido del esfuerzo va en el sentido de
los semiejes -X, -Y, -Z. Se consideran negativos, si actuando en una cara
positiva, el sentido del esfuerzo va en el mismo sentido de los semiejes negativos
-X, -Y, -Z y viceversa. Es decir, se asume algo similar al producto de signos
algebraicos (+) x (+) = (+) ; (+) x (-) = (-) ; (-) x (-) = (+); Fig. 1.41.
Fig. 1.41 ejemplo de los signos en los esfuerzos cortantes
En resumen, el estado más general de esfuerzos que pueda existir en un punto de
un elemento sometido a un estado general de cargas, será similar al mostrado en
la Fig. 1.39, y comprenderá tres esfuerzos normales x, y y z, y seis esfuerzos
cortantes: xy, yx, yz, zy, xz, zx.
Es interesante resaltar la diferencia notable que existe entre el estado de fuerzas
en un punto y el estado de esfuerzos. Mientras que la fuerza en un punto queda
completamente definida por las tres componentes rectangulares y puede
representarse como un vector columna:










Fz
Fy
Fx
El estado general de esfuerzos queda definido por sus nueve componentes y se
(a)
(b)
Fig. 1-40
denominación de
planos

8
representa matricialmente como sigue:










z
zy
zx
yz
y
yx
xz
xy
x
σ
τ
τ
τ
σ
τ
τ
τ
σ
La cual se conoce como la representación matricial del tensor esfuerzo. Tal tensor
es de segundo orden.
Es importante establecer las relaciones que se presentan dentro de las
componentes de los esfuerzos cortantes, para lo cual se mira el diagrama de
cuerpo libre del cubo mostrado en la Fig. 1.39, utilizando una proyección en el
plano xy, Fig. 1.42.
Las fuerzas normales y cortantes que actúan en las diferentes caras de cubo, se
obtienen multiplicando las correspondientes componentes de esfuerzos por el
área (a)2
de cada cara.
Las únicas fuerzas con momentos con respecto al eje z diferentes de cero, son las
fuerzas cortantes.
Estas fuerzas forman dos pares, uno en sentido contrario al movimiento de las
agujas del reloj (positivo) xy(a)2
a, el otro en el mismo sentido del movimiento
de las agujas del reloj (negativo), -yx(a)2
a.
Expresándolo matemáticamente se tiene:
    0
a
x
a
x
a
x
a
x
0
M 2
yx
2
xy
z 









de donde se concluye que:
yx
xy 


Ecuación 1-6
Análogamente, haciendo diagramas de cuerpo libre proyectados a los planos xz,
yz, se deducen las relaciones siguientes:
zx
xz
zy
yz 


 
 Ecuación 1-7
También se puede observar que un esfuerzo cortante, en un punto cualquiera, no
puede actuar en un solo plano; un esfuerzo cortante igual debe actuar en un plano
ortogonal (perpendicular al primero). Es decir si existe xy entonces
necesariamente existirá yx, etc.
Fig. 1-42 Diagrama de
cuerpo libre del estado
de esfuerzos proyectado
en el plano XY.

9
1.7 DEFORMACIONES
Toda carga externa que actúa en un cuerpo, produce cambios en la posición de los infinitos
puntos de éste. Los cambios de posición de los puntos se llaman desplazamientos. Si los
desplazamientos son tales que la distancia entre dos puntos específicos del cuerpo no
cambia, éste ha sido sometido a un desplazamiento de cuerpo rígido. Esta clase de
desplazamiento implica la traslación y la rotación del elemento como un todo, sin ningún
cambio de forma. Por otra parte, si los desplazamientos generan variación en la distancia
entre dos puntos específicos del cuerpo, entonces la forma de este cambia y se dice que el
elemento estructural está sometido a deformación. La deformación puede ser visible o
prácticamente inadvertida si no se cuenta con equipo adecuado para hacer mediciones
precisas. Pero, por lo general, las deformaciones pueden implicar desarreglos muy
complicados y para someterlos a medición, es necesario hacer una simplificación, que
consiste en descomponer las deformaciones en deformaciones longitudinales y
deformaciones angulares.
En la Fig.. 1.43, X, Y y O representan respectivamente las longitudes de los segmentos
de recta, OA y OB, y la localización del punto O en el elemento no deformado. Asimismo
X', Y' y O' representan, respectivamente, las longitudes de los segmentos y la
localización del punto en el cuerpo que ha cambiado de posición y se ha deformado.
Cuando el cuerpo cambia de posición, el punto O sufre un desplazamiento (O) hasta O' y
si se deforma los segmentos se alargan o se contraen hasta las nuevas longitudes X' y Y',
y rotan los ángulos  y , tal como se indica en la Fig.1.43. Los segmentos X' y Y'
realmente pueden ser curvos pero si sus longitudes son suficientemente pequeñas, se
pueden representar como segmentos de recta.
La deformación longitudinal se define como el cambio de longitud de un segmento de recta
que determina la distancia entre dos puntos específicos de un cuerpo; para los segmentos de
recta OA y OB, la deformación longitudinal se define como:
Fig. 1-43
Elementos lineales en un punto en
estado no deformado y deformado.

10
y
y
y
x
x y
x 






 '
' 
 Ecuación 1-8
1.7.1 Deformación unitaria Lineal.
La deformación unitaria se define como el cambio de longitud por unidad de longitud de
un segmento de recta que define la distancia entre dos puntos específicos de un cuerpo;
para el segmento de recta OA, la deformación unitaria se define como:
dx
dx
'
dx
x
x
'
x
Lim
dx
x
x
x
x
x
x














 Ecuación 1-9
Análogamente la deformación unitaria para el segmento OB se define como:
dy
dy
'
dy
y
y
'
y
Lim
dy
y
y
y
y
y
y















Ecuación
1-10
Las cantidades x y y se denominan deformaciones unitarias, llamadas también
deformaciones unitarias lineales, en el punto O, en las direcciones X y Y respectivamente.
Representa el cambio de longitud por unidad de longitud de un segmento infinitesimal de
recta. Es una cantidad adimensional, pero basados en los sistemas de unidades se le asignan
unidades de pulg/pulg, m/m, etc.
1.7.2 Deformación Unitaria cortante.
La deformación unitaria cortante se relaciona con el cambio de ángulo que ocurre entre los
dos segmentos de recta OA y OB, perpendiculares entre sí en el cuerpo no deformado.
En la Fig. 1-43 la deformación unitaria cortante entre los segmentos OA y OB se designa
por xy y se define como el cambio en el ángulo recto entre dichos segmentos cuando el
elemento se deforma y se expresa como:




xy
Ecuación 1-1
La deformación unitaria cortante se mide en radianes y es una cantidad adimensional. Se le
puede considerar positiva si el ángulo recto original disminuye, y negativa si el ángulo recto
original aumenta.

1
Capitulo 2
CARGA AXIAL
Con frecuencia en estructuras y sistemas mecánicos, los elementos estructurales o mecánicos
se construyen largos y esbeltos, y están sujetos a cargas que actúan en la dirección del eje
centroidal longitudinal. Es decir, el elemento estructural o mecánico es una barra prismática
cuyo eje centroidal longitudinal es completamente recto y cuya sección transversal es constante
en toda su longitud. Hay que tener en cuenta que los elementos pueden tener diversas formas
de sección transversal (Fig. 2.1).

2
Para establecer el concepto de carga axial, se puede tomar como ejemplo la
estructura ABC conectada por pasadores en A, B y C, sometida a la acción de la
carga P. (Fig. 2.2). Las cargas externas sobre los elementos estructurales AB y
BC se pueden calcular aplicando las ecuaciones de equilibrio estático en el
pasador B.
.
Los elementos AB y BC están sometidos a cargas de igual magnitud y sentido
contrario en sus extremos, cuya línea de acción va en la dirección del eje
centroidal longitudinal. Este tipo de carga recibe el nombre de carga axial (Fig.
2.3).
Al hacer un corte arbitrario perpendicular al eje centroidal longitudinal del
elemento AB; en la sección transversal expuesta actúa una fuerza interna normal
a la sección, ubicada en el centroide de la misma. Esta situación es idéntica para
cualquier otra sección transversal (Fig. 2.4).
Fig-2- 1
Algunos tipos de secciones transversales
en elementos estructurales o mecánicos.
Fig-2- 2
Estructura ABC
Fig-2- 3
Cargas externas sobre los
elementos AB y BC.
Fig-2- 4
Fuerzas internas en
diversas secciones
transversales de la barra
AB.

3
En consecuencia, las fuerzas internas en elementos estructurales o mecánicos
sometidos a cargas axiales, también actúan en la dirección del eje centroidal
longitudinal.
2.1 ESFUERZO AXIAL
Como la fuerza interna es normal a la sección transversal, entonces el esfuerzo
inducido también es normal. Para establecer su distribución en la sección
transversal se acoge la hipótesis de Bernoulli o de conservación de las secciones
planas: "Las secciones transversales del elemento estructural o mecánico, que
eran planas antes de la deformación (antes de aplicar cargas), permanecen
planas y perpendiculares al eje longitudinal después de producirse la
deformación (después de aplicar cargas)". Esto implica que los desplazamientos
de todos los puntos de una misma sección transversal son iguales.
Tomando como ejemplo el eslabón AB mostrado en la Fig. 2.5, la sección
transversal a-b del mismo, toma la posición a'-b' después de aplicar la carga P. La
magnitud X se convierte en ’X, y se presenta una deformación longitudinal
 = ’X - X, siendo  el mismo valor para todos los puntos de la sección
transversal a-b.
La deformación unitaria se calcula como:
Como  es igual para todos los puntos de la sección transversal se concluye que 
es igual para todos los puntos de la sección transversal. Al ser constante la
deformación unitaria en todos los puntos de la sección transversal, también será
constante el esfuerzo, es decir el esfuerzo es uniformemente distribuido.
Entonces cada elemento diferencial de área soportará una fuerza diferencial.
Fig-2- 5
Deformaciones en un eslabón bajo carga
axial.
X
X
X
X 






'



4
dA
dF 
 
La cual hace parte de la reacción (fuerza) interna que se opone a la fuerza externa
P para mantener en equilibrio la porción del elemento mostrado en la Fig. 2.6(a).
Por tanto:
Así, el esfuerzo normal o esfuerzo axial en un elemento sometido a carga axial se
define por la siguiente ecuación:
Donde:

: es el esfuerzo axial promedio en cualquier punto de la sección transversal.
F: es la fuerza interna que actúa en la sección transversal que se está analizando y
se determina por la ecuación de equilibrio estático, Fx = 0.
A: es el área de la sección transversal que se está analizando.
La ecuación de equilibrio estático Fx = 0 establece que P = F (F = Fuerza
interna) Generada en la porción del elemento que se analiza. Fig. 2.6 (b).
Las condiciones de equilibrio exigen que P = F y que además, esta resultante F
de las fuerzas internas sea colineal con P, por tanto la línea de acción de F
coincidirá con el eje centroidal longitudinal Fig. 2.6 (b). Esto implica que para
mantener uniforme la deformación de la barra, el momento resultante interno,
producido en la sección expuesta, por todos los dF con respecto a los ejes
centroidales debe ser cero (0).
Para demostrar lo anterior, la suma de los momentos con respecto a los ejes
centroidales Y y Z debe ser igual a cero, puesto que F crea un momento cero con
respecto a estos ejes.
Las anteriores ecuaciones se satisfacen teniendo en cuenta la definición de centroide:
(a)
Ecuación 2- 1
(b)
Fig-2- 6
Fuerzas internas y carga
externa en una porción de
un elemento cargado
axialmente.

 



A
A
0
dA
y
y
0
dA
z
 
  dA
y
dA
y
dF
y
M
M
dA
z
dA
z
dF
z
M
M
A
A
A
z
z
R
A
A
A
y
y
R




















 


 




0
0
   




 A
dA
dA
dF
F 


A
F



5
Esto satisface plenamente las condiciones de equilibrio, ratificándose así la validez de la
ecuación (2-1) para determinar el esfuerzo generado por la carga axial. Este esfuerzo
puede ser de tracción como en el caso de la barra AB, o de compresión como en la barra
BC, las distribuciones de esfuerzos en las secciones transversales de ambas barras se
muestra en la Fig. 2.7.
En donde FAB y FBC son las fuerzas internas de las barras AB y BC respectivamente y
AAB y ABC son las áreas de las secciones analizadas en cada barra.
En resumen: una carga axial actúa coincidente con el eje el centroidal longitudinal de
una barra prismática recta homogénea, e inducirá una distribución de esfuerzos
normales uniformemente distribuidos sobre el área de la sección transversal.
En la Fig. 2.8 se muestra un segmento de la barra AB, en la cual se ubica un cubo
diferencial, cuya cara lateral coincide con la sección expuesta, con el propósito de
establecer el estado de esfuerzos en un elemento sometido a carga axial.
Como puede observarse el estado de esfuerzos presenta un esfuerzo normal en dirección
X que es el mismo esfuerzo axial. Los demás esfuerzos (en las direcciones Y y Z) tienen
un valor cero. Este estado de esfuerzos recibe el nombre de estado uniaxial de
esfuerzos (Fig. 2.9).
Fig-2- 8
Segmento de la barra AB.
Fig-2- 7
Distribución de esfuerzos normales en las
barras AB y BC.
Fig-2- 9
Estado de esfuerzo uniaxial en un punto
del elemento estructural AB.
)
(tracción
A
F
AB
AB



)
(compresión
A
F
BC
BC




1
2.2 PRINCIPIO DE SAINT-VENANT
Los esfuerzos uniformemente distribuidos en las secciones transversales de
elementos sometidos a carga axial, se consideran validos excepto en la cercanía
de los puntos de aplicación de cargas concentradas.
El principio de Saint-Venant establece que: "aunque varios sistemas de cargas
estáticamente equivalentes que actúen en un cuerpo pueden tener efectos
localizados considerablemente diferentes todos producen esencialmente los
mismos esfuerzos en secciones del cuerpo que estén suficientemente alejadas de
la zona de aplicación. Suficientemente alejada puede considerarse una distancia
por lo menos igual a la mayor dimensión de la sección sobre la cual se aplica la
carga".1
En la Fig. 2.10, la carga aplicada P es equivalente en los dos casos, sin embargo
en el caso (a) la carga P se aplica a través de una placa rígida, lo que implica una
carga superficialmente distribuida sobre la sección transversal del elemento. En el
caso (b), se aplica la carga en forma concentrada.
Sin embargo, desde el punto de vista de la deformación del elemento, el
comportamiento es totalmente diferente. En el caso (a), se puede afirmar que las
secciones transversales planas, continúan siendo planas a lo largo de todo el
elemento después de aplicar la carga. Fig. 2.11. Y la distribución de esfuerzos es
uniforme a lo largo de toda la barra. Fig. 2.12.
1. Willems, Nicholas. Oasley, John. Rolfe, Stanleg. Resistencia de materiales. 1a Ed. Mc Graw Hill. Mexico. 1.984. Pág
101.
(a) (b)
Fig-2- 10 Cargas externas
equivalentes sobre un elemento
estructural.
(a) (b)
Fig-2- 11
Comportamiento de un elemento
sometido a carga superficial
distribuida.
Fig-2- 12
Esfuerzos uniformemente distribuidos a lo largo de un elemento estructural.

2
En el caso (b) de la Fig. 2.10, al aplicar la carga P en forma concentrada ocurren
mayores deformaciones en la vecindad de la aplicación de la carga, mientras que
son casi nulas en la periferia, (Fig. 2.13).
Al considerar secciones transversales cada vez más alejadas de la zona de
aplicación de las cargas externas, las deformaciones tienden a ser uniformes,
presentándose por consiguiente una distribución uniforme de esfuerzos.
En la Fig. 2.14 se muestra la distribución de esfuerzos para varias secciones
transversales de un elemento con sección rectangular, cuya mayor dimensión en
la sección es (w).
A partir de una distancia w del punto de aplicación de la carga, la distribución de
esfuerzos en la sección transversal es uniforme. A medida que se acerca al punto
de aplicación de la carga, los esfuerzos presentan las distribuciones mostradas en
la Fig. 2.14.2
El principio de Saint-Venant también se aplica para cambios bruscos de sección
transversal, como se muestra en la Fig. 2.15. La distribución de esfuerzos es
uniforme a una cierta distancia del cambio brusco de sección.
2
. S. Timoshenko, J.N Goodicr. Theory of elasticity, 2ªEd. Mc Graw Hill, Nueva York,1951,pag 52.
Fig-2- 13
Deformación de un elemento
estructural sometido a carga axial
concentrada.
Fig-2- 14
Distribución de esfuerzos en secciones transversales de un elemento sometido a carga
externa concentrada.
Fig-2- 15
Esfuerzos altamente localizados
debidos a cambios bruscos de
sección.

1
2.2.1 CONCENTRACION DE ESFUERZOS.
Como se vio en la sección precedente, los esfuerzos cerca de los puntos de
aplicación de cargas concentradas pueden alcanzar valores mucho más grandes
que el valor promedio del esfuerzo en el elemento. Cuando un elemento
estructural contiene una discontinuidad, como un agujero o un cambio
repentino en su sección transversal, también pueden ocurrir grandes esfuerzos
localizados en la discontinuidad. Las figuras 2.16 y 2.17 muestran la distribución
de esfuerzos en las secciones críticas correspondientes a situaciones como las
mencionadas.
La figura 2.16 ilustra una barra plana con un agujero circular y muestra la
distribución de esfuerzos en un corte que pasa a través del centro del agujero.
La figura 2.17 ilustra una barra plana con dos porciones de diferentes anchos
conectadas por filetes; muestra la distribución de esfuerzos en la parte más
angosta de la conexión, donde ocurren los esfuerzos más altos.
Estos resultados se obtuvieron en forma experimental por el método fotoelástico.
Afortunadamente para el ingeniero que tiene que diseñar un elemento dado y no
puede permitirse llevar a cabo dicho análisis, los resultados
obtenidos son independientes del tamaño del elemento y del material utilizado;
sólo dependen de las razones de los parámetros geométricos involucrados, es
decir, de la razón r/d en el caso de un agujero circular, y de las razones r/d y D/d
en el caso de los filetes. Además, el diseñador está más
interesado en el valor máximo del esfuerzo en una sección dada, que en la
distribución real de los esfuerzos en dicha sección, ya que su preocupación
principal es determinar si el esfuerzo permisible será excedido bajo una carga

2
dada, y no dónde se excederá este valor. Por este motivo, se define la
razón del esfuerzo máximo sobre el esfuerzo promedio calculado en la sección crí
tica (la más angosta) de la discontinuidad.
max
k



Esta razón se conoce como el factor de concentración de esfuerzos de la
discontinuidad dada. Los factores concentración de esfuerzo pueden calcularse
de una vez por todas en términos de las razones de los parámetros geométricos
involucrados, y los resultados obtenidos pueden ser expresados en forma de tablas o
gráficas, como se muestra en la figura 2.18. Para determinar el máximo esfuerzo que
ocurre cerca de una discontinuidad en un elemento dado sometido a una carga axial P
dada, el diseñador sólo necesita calcular el esfuerzo promedio
en la sección crítica, y multiplicar el resultado obtenido por el
valor apropiado del factor de concentración de esfuerzos K. Deberá observarse, sin
embargo, que este procedimiento es válido sólo mientras no
exceda el límite de proporcionalidad del material, ya que los valores de K
graficados en la figura 2.18 se obtuvieron suponiendo una relación lineal entre el
esfuerzo y la deformación unitaria.
Factores de concentración de esfuerzos para barras planas bajo carga axial
Fig. 2.18
Fig. 2.19
Ej. En la placa dela figura 2.18 La altura D = 2" y espesor t=1/2", se le perforó
un agujero de radio 3/8" y está sometida a una fuerza P=5000 Lb. Determinar
el esfuerzo crítico.
La placa de la figura 2.19 sus alturas son D=2" y d=1" y tiene de espesor 3/8"
y de radio de entalladura r=1/8" y se somete a una fuerza P=4000 lb. determinar
el esfuerzo crítico.

1
EJEMPLOS DE CALCULO DE ESFUERZOS POR CARGA AXIAL
EEJEMPLO 2- 1
La Fig. 2.16, ilustra un gato mecánico, usado como herramienta de emergencia
para automóviles. El tornillo AB es de una sola entrada y tiene un diámetro
promedio de ½ pulgada. Los elementos AD, BC, AE, BF tienen las secciones
mostradas en la Figura (medidas en mm). Calcular los esfuerzos normales
promedio en el tornillo y en los elementos, si P vale 10 kN.
Solución:
Aplicando las ecuaciones de equilibrio estático sobre el eslabón DC, se definen
las cargas que actúan sobre los elementos AD y BC. Carga tipo axial.
Aplicando la ecuación de equilibrio estático sobre la tuerca en A, se define la
carga que actúa sobre el tornillo y sobre el elemento AE.
Fig-2-16
Gato mecánico.
Fig-2- 17 (a)
.
2
27
,
1
2
54
,
2
4
cm
AT 








)
(
10
10
)
5
.
0
(
2
10
30
30
0
0
30
30
0
compresión
kN
F
F
kN
F
kN
sen
F
sen
F
F
F
F
cos
F
cos
F
F
BC
AD
AD
BC
AD
y
BC
AD
BC
AD
x


























2
Por consiguiente los esfuerzos en los elementos AD, BC, AE, BF y en el tornillo
son:
(Ejercicio: Convertir el resultado del valor de los esfuerzos a Mpa.)
EJEMPLO 2- 2
El eslabón mostrado en la Fig. 2.18 tiene una sección constante de 2 pulg2
.
Calcular el esfuerzo normal promedio máximo en la barra para las cargas
mostradas.
Es necesario determinar, la carga interna que actúa en cada tramo del eslabón.
Para esto existen dos métodos.
Método de las secciones:
Consiste en hacer, para cada tramo, un corte imaginario por cualquier sección
transversal; separar las dos porciones y luego para cualquiera de ellas aplicar la
ecuación de equilibrio estático Fx = 0, con el fin de determinar la fuerza interna
necesaria para mantener el equilibrio de la porción analizada. La Fig. 2.19
muestra este procedimiento haciendo los cortes a-a', b-b' y c-c' correspondientes a
los tramos AB, BC, CD respectivamente.
Fig-2- 17 (b)
.
Fig-2- 18
Eslabón ABC.
)
(
638
,
13
27
,
1
32
,
17
)
(
25
,
6
6
,
1
10
)
(
692
,
7
3
,
1
10
2
2
2
2
2
2
tracción
cm
kN
cm
kN
compresión
cm
kN
cm
kN
compresión
cm
kN
cm
kN
T
BF
AE
BC
AD













)
(
32
,
17
30
10
2
0
30
2
0
)
(
10
0
30
30
0
tracción
kN
F
cos
kN
F
cos
F
F
F
compresión
kN
F
F
F
F
F
sen
F
sen
F
F
T
T
BC
T
x
BF
AE
AD
AE
AD
AE
AD
y





























3
Método del diagrama de carga:
Consiste en dibujar sobre un sistema de referencia F, X (Fuerza vs. Longitud del
eslabón) la variación de la carga externa a lo largo del elemento. La parte interna
del diagrama corresponderá a la fuerza interna para cada tramo. Los valores que
quedan por encima de la línea de referencia (parte positiva) significan fuerzas
internas de tracción y como es obvio, las que quedan por debajo, significan
fuerzas internas de compresión.
El diagrama parte de cero y debe regresar a cero, es decir, es un diagrama
cerrado; de lo contrario significa que el elemento no está en equilibrio.
El diagrama se inicia de izquierda a derecha con la primera carga que se
encuentre (en este caso la carga en el punto A, 15000 Lb). Si dicha carga sale del
punto, significa que es una carga de tracción y se colocará subiendo en el
diagrama y viceversa.
Luego desplazándose hacia la derecha se mantendrá este valor hasta el punto
donde se encuentre otra carga externa aplicada (en este problema en el punto B,
40000 lb). Si esta carga y la primera (la de A) tienen el mismo sentido, entonces
en el diagrama también tendrán el mismo sentido, o lo contrario para cuando los
sentidos no corresponden.
Se procederá de la misma manera hasta llegar a la ultima carga (en este problema
en D, 5000 lb). Este procedimiento se puede apreciar en la Fig.. 2.20
Fig-2- 19
Fuerzas internas axiales en cada
tramo del eslabón.

4
Como puede verse en cualquiera de los dos métodos; la mayor carga axial se
presenta en el segmento BC: FBC = 25000 lb (compresión). Esto significa que el
tramo más cargado es el BC. Pero para la resistencia de materiales es de mayor
interés la sección más esforzada; es decir donde se presente el mayor esfuerzo
normal. Para esto es necesario determinar el esfuerzo en cada tramo utilizando la
ecuación (2-1) σ = F/A, y por comparación establecer cuál es el mayor de ellos.
A dicho esfuerzo se le llamara el esfuerzo crítico, y la zona o la sección donde se
presenta, se llamará la sección critica.
En el caso particular del presente problema todo el eslabón desde A hasta D, tiene
la misma área, por lo tanto la variación del esfuerzo a lo largo del elemento,
tendrá la misma forma que la variación de la carga, y a causa de esto la zona más
esforzada coincidirá con la zona más cargada. De acuerdo con esto la zona más
esforzada es el tramo entre B y C. La sección transversal crítica será pues,
cualquier sección entre B y C, y el esfuerzo crítico será:
Fig-2-20
Diagrama de fuerza normal del eslabón.
(c)
)
(
500
.
12
2
000
.
25
2
compresión
psi
pulg
Lb
A
FBC
CRIT 




5
EJEMPLO 2- 3
La estructura de concreto mostrada en la Fig. 2.21, está cargada, de tal manera que las
fuerzas mostradas producen un efecto de carga axial pura. Las áreas de los distintos
segmentos son:
Para CD 250 mm2
, para BC 40 mm2
, y para AB 160 mm2
, determinar el esfuerzo axial
en la sección critica.
Solución:
La Fig. 2.22 muestra el diagrama de cuerpo libre de la estructura con su
correspondiente diagrama de fuerza interna N. La reacción RA se obtiene por la
ecuación de equilibrio estático:
Como el área de la sección transversal es diferente para cada tramo, entonces no es
posible determinar por simple inspección, cual es la sección crítica. Es necesario
Fig-2- 21
Ejemplo 2-3.
Fig-2- 22
D.C.L. del bloque y Diagrama
de carga.

6
calcular el esfuerzo para cada tramo y por comparación determinar el máximo.
Aplicando la ecuación (2-1) :
La sección critica está entre las juntas B y C. cr = 250 MPa.
Nótese que a pesar de que el tramo BC es el menos cargado, sin embargo, resultó ser el
tramo crítico debido a que tiene un área pequeña comparada con la de los otros tramos,
lo cual hace que el esfuerzo allí sea el mayor.
)
(
200
10
200
10
250
50
)
(
250
10
250
10
40
10
)
(
8
.
218
10
8
,
218
10
160
35
2
6
2
6
2
6
2
6
2
6
2
6
compresión
MPa
m
N
m
kN
compresión
MPa
m
N
m
kN
compresión
MPa
m
N
m
kN
A
F
AB
BC
AB
























1
2.3 ESFUERZOS EN SECCIONES INCLINADAS
En la sección 2-1 se hizo el análisis de esfuerzos producidos por carga axial en la
sección transversal, pero ahora interesa realizar dicho análisis para cualquier
sección diferente a la transversal. La sección S de la Fig. 2.23, está inclinada un
ángulo  respecto de la sección transversal.
Tomando el segmento a la izquierda del corte imaginario se determina la fuerza
interna F sobre la sección expuesta (inclinada) Fig. 2.24(a). Esta fuerza se puede
resolver en sus componentes normal y tangencial a la sección expuesta
(inclinada) Fig. 2.24(b).
Aplicando las ecuaciones de equilibrio estático al diagrama de cuerpo libre de la
Fig. 2.24(b) se obtiene:
Teniendo en cuenta que el área de la sección expuesta es A/Cos (A es el área de
la sección transversal) y considerando esfuerzos uniformemente distribuidos
(esfuerzos promedio), en la sección expuesta, Fig. 2.25(a); se tiene:
Por consiguiente:
Fig-2- 23
Elemento estructural sometido a carga axial.
Fig-2- 14
Fuerzas internas sobre la
sección expuesta.




cos
A
V
cos
A
F
nt
n
N















sen2
A
F
cos
sen
A
F
cos
A
sen
F
A
V
cos2
A
F
cos
A
F
cos
A
cos
F
A
F
EXP
nt
2
EXP
N
n
2
)
1
(
2


















sen
F
V
V
sen
F
F
cos
F
F
cos
F
F
F
t
N
N
n


















0
0
)
(
0
0
)
(

2




sen2
A
F
cos2
A
F
nt
n
2
)
1
(
2



En resumen: La carga axial genera en secciones inclinadas tanto esfuerzo normal
como esfuerzo cortante, y su valor depende de la inclinación  que tenga dicha
sección con respecto a la sección transversal, según las ecuaciones:
Donde:
n = Esfuerzo normal en la sección inclinada.
nt = Esfuerzo cortante en la sección inclinada
F = Fuerza interna en la dirección del eje centroidal longitudinal en la sección
inclinada en la cual se están calculando los esfuerzos.
A = Área de la sección transversal.
= Inclinación de la sección respecto a la sección transversal.
Graficando estas expresiones se puede apreciar cómo varían estos esfuerzos, con
la inclinación , y se puede determinar cuáles son los máximos valores y en que
plano ocurren (Fig. 2.26).
Fig-2- 25
Esfuerzos en planos oblicuos.
Ecuación 2-2
Ecuación 2- 3

3
)
45
(
2
)
(
max
max
l
transversa
sección
la
de
a
A
F
l
transversa
sección
la
en
A
F





En la Fig. 2.26 se puede ver que el máximo esfuerzo normal ocurre para valores
de  = 0º y 180º es decir en la sección transversal y su valor es max = F/A, que
es el valor del esfuerzo determinado en la ecuación 2-1, el cual se llamó, esfuerzo
axial.
Igualmente se puede apreciar que el máximo esfuerzo cortante ocurre para
valores de  = 45º y 135º, o sea en planos que están a 45º a lado y lado de la
sección transversal y su valor es:
se tiene pues que:
Deberá notarse que estas ecuaciones son válidas solo para cargas uniaxiales de
tensión o de compresión.
Las experiencias de laboratorio indican que ambos, tanto el esfuerzo cortante
como el normal bajo cargas axiales, son importantes, ya que por ejemplo: existen
unos materiales llamados frágiles, los cuales cuando se cargan a tensión, fallan en
la sección transversal, debido al esfuerzo normal, mientras que existen otros
materiales, llamados dúctiles, los cuales sometidos a este mismo tipo de carga
fallan en el plano de máximo esfuerzo cortante, esto es a 45°, debido al esfuerzo
de corte. Mas adelante cuando se estudien las propiedades de los materiales, se
verán las características que tienen cada uno de estos materiales.
En la Fig. 2-26 se observa que cuando  es mayor de 90° el signo del esfuerzo
Fig-2- 26
Variación de los esfuerzos or carga axial
en secciones inclinadas.
Ecuación 2- 4
Ecuación 2- 5
A
F
2



4
cortante cambia, pero la magnitud para un ángulo cualquiera  es la misma que
para  +90; como se muestra en la Fig. 2-27. Esto significa que, los esfuerzos
cortantes en planos ortogonales son iguales, concepto que ya se había demostrado
en la capítulo 1, donde se determinó que XY = YX, etc.
EJEMPLO 2-4
Un bloque de madera de sección rectangular de 3 cm por 2 cm, soporta las cargas
como se muestra en la Fig. 2.28, si el esfuerzo normal en el plano a-a' es de 2
kN/cm2
a compresión, determinar: a) La fuerza P, aplicada en B, b)El esfuerzo
cortante en el plano a-a', c) El esfuerzo normal en la sección critica, d) El máximo
esfuerzo cortante.
Fig-2- 27
Esfuerzos en los planos ortogonales. nt = tn
Fig-2-28
Ejemplo 2-4.

5
Solución:
La Fig. 2-29 (a) y (b) muestra el diagrama de cuerpo libre del elemento
estructural
La fuerza P debe ser lo suficientemente grande (P > 10), para que el diagrama de
carga pase a la zona de compresión en el punto B, ya que el enunciado del
problema dice que en el plano a-a', el esfuerzo normal es de compresión.
a) De la ecuación (2.2) se tiene:
para este caso: n = -2 kN/cm2
, F = - (P - 10), A = 6 cm2
,  = 70° (respecto a la
sección transversal).
Reemplazando valores se tiene:
En la Fig. 2.29 (c), se muestra el diagrama de carga con los valores reales
reemplazando el valor hallado de P.
y su correspondiente diagrama de cargas
Fig-2- 29
Carga externa y diagrama de carga
interna para el elemento ABCD.
 






 15
0
5
10
0 P
R
P
R
Fy
  
kN
P
cos
P
58
,
112
140
1
6
2
10
2









)
1
(
2

 cos2
A
F
n 


6
b) De la ecuación 2-3 se tiene:
Donde F es la fuerza interna en el tramo BC, la cual es de 102,58 kN (compresión) según la
figura 2.29(c) por tanto:
c) Esfuerzo crítico:
Puesto que la sección transversal es uniforme en toda la longitud (A = 6 cm2
),
entonces la sección critica estará en la zona más cargada. De acuerdo con la
figura 2.29(c), será cualquier sección entre B y C.
Por tanto:
d) Esfuerzo cortante:
El máximo esfuerzo cortante estará en la misma zona donde actúa cr, pero en un plano a 45°
de la sección transversal, y su valor de acuerdo con la ecuación 2.5 es:
(Ejercicio: Convertir el resultado de los esfuerzos a Mpa)
2
max
2
max
55
,
8
6
2
58
,
102
2
cm
kN
cm
kN
A
F







2
2
49
,
5
140
6
2
58
,
102
cm
kN
sen
cm
kN
nt
nt 



 

 
compresión
cm
kN
cm
kN
A
F
cr
cr
2
2
10
,
17
6
58
,
102







 2
2
sen
A
F
nt 

1
t
A
V


2.4 ESFUERZO CORTANTE PURO
Existen elementos estructurales en los cuales la única fuerza interna, en una sección
expuesta, es una fuerza cortante. Este es el caso que se presenta con elementos de unión
tales como pernos, remaches, pasadores o cordones de soldadura. En tales elementos se
suele admitir únicamente la presencia de una fuerza cortante y la nulidad de momentos en
las secciones transversales.
La Fig. 2.30 (a) y (b) muestra un eslabón conectado por medio de un perno a un soporte o
base. En la Fig. de 2.29 (c) se muestran las cargas externas sobre el perno y en la figura de
2.29 (d) se observa la fuerza cortante sobre la sección transversal (plano cortante) del
perno.
(b) (c) (d)
El área sobre la cual actúa la fuerza cortante, área de corte, se muestra en la Fig. 2.30 (e).
El esfuerzo inducido es por consiguiente un esfuerzo cortante, el cual se considera
uniformemente distribuido en todo el área de corte y por consiguiente su valor es:
Donde:
At: Área del plano cortante o área de corte.
V: fuerza cortante que actúa tangente al área de corte.
Para el caso particular del perno mostrado en la Fig. de 2.30:
(a)
(e)
Fig-2- .30
Conexión mediante perno que muestra el esfuerzo cortante puro.
Ecuación 2- 6
Fig-2- 31
Distribución de esfuerzos
cortantes en el plano de corte
de un perno.
2
4
d
P
A
V
t

 


2
Este tipo de esfuerzo recibe el nombre de esfuerzo cortante puro o de cizalladura pura (Fig.
2.31).
Cambiando el diseño de la base, el perno puede presentar dos planos de recorte como se
muestran la figura 2.32 (a), (b), (c), (d) y (e).
(a) (b) (c )
(d)
La fuerza cortante se reduce la mitad, V = P/2, por tanto el esfuerzo cortante también se
reduce la mitad, ya que el plano de cortante tiene la misma área.
Los dos casos analizados anteriormente, se conocen como cortante simple, cortante
directo o cortante puro, ya que el esfuerzo cortante es inducido por la acción directa de la
carga aplicada P, y ocurre como se dijo anteriormente en conexiones simples que usan
pernos, pasadores, remaches, soldadura, etc. Sin embargo es necesario hacer aclaraciones:
Para la junta traslapada mostrada en la Fig. 2.33, se supone que la tuerca del perno no está,
demasiado apretada de modo que la fricción entre las platinas puede despreciarse.
También, se supone que las platinas son elementos delgados y por consiguiente se puede
despreciar el momento generado por la fuerza P.
(e)
Fig-2- 32
Conexión mediante perno que muestra dos planos de cortante en el elemento.
Fig-2- 33
Junta traslapada con un perno como
elemento de conexión.
2
4
2
d
P

 
(a)
(b)

3
t
r
P


2

Cortante hace referencia a la acción de cortar, y luego la acción se traduce en cortar el
material, o sea fractura o separación del elemento en dos o más partes en la figura 2.34 (a)
se muestra un punzón cilíndrico o troquel para hacer agujeros de radio r en una placa de
espesor t llamando el esfuerzo cortante que se presenta en la placa en el momento de la
fractura, entonces en la operación de realizar el agujero se puede presentar el equilibrio de
fuerzas mostrado en la figura 2.34 (b).
(a) (b)
Como puede observarse el área de corte es:
por consiguiente por equilibrio estático se tiene:
y el esfuerzo cortante se calcula por la expresión matemática:
EJEMPLO 2- 5
La Fig. 2.35 muestra una cuña o chaveta montada entre un eje y un volante. Si se transmite
un momento torsional de 1.500 lb.pul, calcular el esfuerzo cortante en la cuña.
Fig-2- 34
Esfuerzo cortante en el troquelado de un
agujero.
Fig-2-35
Montaje volante-eje por medio de una
cuña.
)
2
( t
r
P 


t
r
At 
2


4
Solución:
El estado de esfuerzos sobre la cuña se evalúa haciendo equilibrio estático para el volante
primeramente; Fig. 2.36.
Por ecuaciones de equilibrio estático:
El estado de cargas externas para la cuña se muestra en la Fig. 2.37, junto con el área de
corte. Entonces el esfuerzo cortante será:
Fig-2- 36
Equilibrio estático para el volante.
Fig-2- 37
Estado de cargas y plano cortante sobre la cuña.
2
2 D
T
F
D
F
T 




5
EJEMPLO 2- 6
Un tanque cilíndrico de 180 cm. de diámetro, es sostenido en posición horizontal, mediante
colgadores dispuestos en sus extremos como se indica la Fig. 2.38. El peso total que
soporta cada uno de los colgadores es de 75 kN. Se desprecia el peso propio de los
colgadores y se supone que el contacto entre ellos y el tanque es sin fricción. Calcule el
esfuerzo cortante en cada pasador si el diámetro de cada uno de ellos es de 2,5 cm.
Solución:
La simetría del problema exige que el equilibrio en el pasador B se obtenga con dos
fuerzas opuestas de igual magnitud y en dirección horizontal. Fig. 2.39.
Para calcular la magnitud de la carga F, se empieza aplicando ecuaciones de equilibrio
estático para el tanque en uno de los apoyos. Fig. 2.40.
Fig-2- 38
Vista frontal de un colgante.
Fig-2- 39
Equilibrio estático del pasador B.
Fig-2- 40
Equilibrio estático para el tanque en un
apoyo.

6
La fuerza de F y la fuerza en el pasador A o C se calculan aplicando ecuaciones de
equilibrio estático para la barra AB o BC. Fig. 2.41.
Cada barra tiene una longitud:
Bx = F
ΣMA = 0 62.5kN*1.8m-F*2.4m= 0 ═►F=46,875 kN
ΣFx = 0 Ax+62.5sen53.13º - 46.875kN = 0 ═► Ax= 3.125kN
Σy= 0 Ay – 62.5cos53.13º = 0 ═► Ay = 37.5kN.
═► A = 37.63 kN.
Las fuerzas internas en el pasador A o C se muestran en la Fig. 2.42.
Fig-2- 41
Equilibrio estático de la barra AB.
kN
R
kN
R
Fy 5
,
62
75
13
,
53
cos
2
0 





m
s
s
Tan
2
,
1
tan
9
,
0
13
,
53
8
,
1
4
,
2









m
sen
L 3
13
,
53
4
,
2




7
Por consiguiente el pasador A o C está sometido a un esfuerzo cortante cuyo valor es:
τ = ( 18.815kN)/(¼π(2.5cm)² = 3.83 kN/cm²
Similarmente para el pasador B está sometido a un esfuerzo cortante cuyo valor es:
τ = V/A = ½F/A τ = ( ½*46,875kN)/(¼π(2.5cm)² = 4.77 kN/cm²
(Ejercicio: exprese el valor de los esfuerzos en Mpa.)
EJEMPLO 2- 7
Dos tablas de madera de 1/2 pul. de espesor y 9 pul. de ancho son unidas por junta de
muesca seca tal como se observa en la Fig. 2.43. Si la carga externa P tiene un valor de
3000 Lb, calcular el esfuerzo cortante en la muesca.
Solución:
Todas las secciones de corte tienen la misma área. La Fig. 2.45 muestra al elemento
abcd bajo condiciones de equilibrio estático establecido por la carga interna V.
Por consiguiente el esfuerzo cortante que se presenta en la muestra tendrá un valor de:
Fig-2- 42
Carga interna en el pasador A.
Fig-2- 43
Junta de madera de muesca
seca. Fig-2- 44
Muestra el equilibrio estático
para una de las juntas.
2
600
.
1
2
1
8
5
500
pulg
Lb
pulg
pulg
Lb




Fig-2- 45
Carga interna sobre el área
de corte

1
3.1 ENSAYO ESTANDAR DE TRACCION
Para determinar si un elemento mecánico o elemento estructural es
suficientemente resistente o suficientemente rígido es necesario entender el
comportamiento mecánico de los materiales utilizados. La única manera de
establecer el comportamiento mecánico de los materiales sometidos a cargas, es
mediante pruebas de laboratorio.
La prueba más usual es la del ensayo de una probeta sometida a cargas de
tracción. Para que esta prueba tenga validez, debe ser un ensayo normalizado, es
decir el ensayo debe realizarse según normas técnicas. La American Society For
Testing and Materials (ASTM) ha publicado pautas y lineamientos para llevar a
cabo tales pruebas, por ejemplo la norma ASTM A370. Con base en esta norma,
el Instituto Colombiano de Normas Técnicas (ICONTEC), estableció la norma
ICONTEC NTC 2, "Ensayo de tensión para productos metálicos".
Para llevar a cabo esta prueba se hace un espécimen o probeta según forma y
tamaño indicados en la norma, ver figura 3.1, en la cual la carga axial a tracción P
es suministrada por una máquina de ensayos como la mostrada en la figura 3.2.
La forma de la probeta y de las mordazas de la máquina, aseguran que la carga
aplicada sea axial pura. De la probeta y de la máquina se obtienen los datos
fundamentales para construir el diagrama Esfuerzo-Deformación unitaria.
Fig-3.1
Probeta para ensayo a tracción.
Fig-3.2
Máquina para ensayo a tracción de
productos metálicos.

2
3.1.1 Realización de la prueba.
a) Procedimiento:
i) Se determina con exactitud el área de la sección transversal de la parte
cilíndrica central de la probeta, área inicial de ensayo Ao. En esa misma
porción de la probeta se imprimen dos marcas que definen la longitud inicial
de ensayo, Lo. Fig. 3.3.
ii) Se aplica una carga P de tracción gradualmente creciente, hasta romper la
probeta. Durante la prueba y a intervalos regulares, se registran los valores
de la carga aplicada P leyéndolos directamente de la máquina y se mide el
alargamiento del tramo entre las marcas: L = L - Lo, donde L es la
longitud entre marcas para cualquier carga P. Esta medida se toma mediante
dispositivos especialmente diseñados para esta prueba, llamados
extensómetros o calibradores de deformación.
Usando los datos registrados, se determina para cada valor de P, el esfuerzo
nominal, convencional o ingenieríl, dividiendo la carga aplicada P entre el área
inicial de ensayo Ao.
De igual manera la deformación unitaria nominal, convencional o ingenieríl, se
halla dividiendo el alargamiento de la longitud entre marcas, L, (lectura tomada
del calibrador de deformación), entre la longitud inicial entre marcas Lo.
b) Diagrama esfuerzo deformación-unitaria ):
Los valores correspondientes de y de  se representan en forma gráfica, en un
sistema de coordenadas cartesianas, donde la ordenada es el esfuerzo y la abscisa
es la deformación unitaria. La curva resultante se denomina diagrama de
esfuerzo-deformación unitaria nominal, convencional o ingenieril. Este diagrama
es un muy importante en ingeniería porque permite determinar las propiedades
mecánicas de los materiales, sin importar el tamaño o la forma física de los
mismos.
Un acero al carbono, con bajo contenido de carbono, presenta un diagrama
esfuerzo-deformación unitaria típico, como el mostrado en la figura 3.4.
Fig-3.3
Datos iniciales de la probeta
de ensayo.
o
L
L



o
A
P



3
El diagrama comienza con una línea recta que va desde el origen, punto O, hasta
el límite proporcional, pl, esto implica que la relación entre el esfuerzo y la
deformación unitaria en esta zona inicial, es lineal. La pendiente de esta línea
recta se llama módulo de elasticidad. En esta zona, al suspender el efecto de las
cargas, cualquier elemento recobra sus dimensiones originales. Al incrementar el
esfuerzo a partir del límite proporcional, la deformación unitaria crece con mayor
rapidez con respecto al incremento del esfuerzo, por consiguiente la pendiente de
la curva esfuerzo-deformación unitaria disminuye hasta un punto en que se
vuelve horizontal. Este punto se denomina límite elástico o esfuerzo de fluencia
y,. Hasta este punto el material tiene comportamiento elástico, a partir de este
punto ocurre un considerable alargamiento de la probeta sin un incremento
apreciable del esfuerzo. Este fenómeno se conoce como fluencia del material.
Como el material se deforma sin incremento de la carga aplicada, se dice
entonces que en esta zona el material tiene un comportamiento perfectamente
plástico.
Después del comportamiento plástico, el acero empieza a endurecerse por
deformación, debido a que experimenta cambios en su estructura cristalina, lo
que implica mayor resistencia a deformaciones adicionales, exigiendo un
incremento en la carga de tracción. La pendiente de la curva es positiva hasta que
el esfuerzo alcance su valor máximo, m. Un alargamiento adicional de la
probeta implica una reducción de la carga de tracción hasta que finalmente ocurre
la fractura.
El esfuerzo de fluencia, y, y el máximo esfuerzo a la tracción, m, de un
material, reciben también el nombre de resistencia de fluencia (Sy) y resistencia
Fig-3.4
Diagrama esfuerzo-deformación unitaria para un acero al carbono de bajo contenido en carbono.

4
a la tracción (St). Resistencia en términos generales se refiere a la capacidad de
un elemento estructural o mecánico de soportar cargas externas. Desde el punto
de vista de los cálculos, aplicando los principios de la resistencia materiales, un
elemento estructural o mecánico falla cuando los esfuerzos en la sección crítica
del elemento superan la resistencia de fluencia del material Sy. En una estructura
o sistema mecánico, no habrá falla cuando ninguno de los elementos estructurales
o mecánicos falle. En este caso se dice que la estructura o el sistema mecánico es
suficientemente resistente.
Cuando una probeta es sometida a la prueba de tracción sufre una contracción
lateral, estricción. Hasta la zona plástica, la reducción de área es poco
significativa y por consiguiente no tiene ningún efecto sobre el cálculo de los
esfuerzos. A partir de la zona de endurecimiento por deformación, la reducción
de área puede modificar la curva del diagrama esfuerzo-deformación unitaria. La
máxima reducción de área (máxima estricción) ocurre cuando el material alcanza
el esfuerzo máximo a la tracción (m).
Si se utiliza el área de la parte más estrecha debido a la estricción para calcular
los esfuerzos, se obtiene la curva verdadera esfuerzo-deformación unitaria
(línea azul en la Fig. 3.4). La fuerza de tracción aplicada sobre la probeta puede
disminuir después de alcanzar m, pero la disminución se debe a la reducción del
área de la probeta y no a la pérdida resistencia del material. El material realmente
experimenta un incremento de esfuerzo verdadero hasta la fractura. Pero como
los elementos estructurales o mecánicos deben estar sometidos a esfuerzos
inferiores ala resistencia de fluencia Sy, el diagrama esfuerzo-deformación
unitaria nominal o ingenieril, proporciona información satisfactoria para el
cálculo ingenieril.
La Fig. 3.5 (a) y (b) muestra la región de estricción y la región de fractura de una
probeta elaborada con acero AISI 1020 laminado en caliente, y el cual presenta
un mecanismo de falla dúctil.
Fig-3.5
Probeta AISI 1020 después
del ensayo.
(a) (b)
Zona de
estrición
Zona de
fractura

5

 
 E
3.1.2 Propiedades mecánicas de los materiales provenientes de un ensayo de
tracción
Las propiedades mecánicas de metales y aleaciones que son de importancia en
ingeniería para el diseño de estructuras o sistemas mecánicos y que se pueden
obtener del ensayo de tensión son:
Módulo de elasticidad.
Límite elástico.
Resistencia máxima a la tracción.
Porcentaje de elongación a la fractura.
Porcentaje de reducción en el área de fractura.
c) Modulo de elasticidad
Cuando los materiales muestran en el diagrama esfuerzo-deformación unitaria un
comportamiento elástico y lineal en la primera etapa del mismo, el diagrama
comienza con una línea recta desde el origen. Tal es el caso, por ejemplo, del
acero 1010 laminado en caliente cuyo diagrama de esfuerzo-deformación unitaria
se muestra en la Fig. 3.6. Donde la porción de la curva que va del origen O al
límite elástico A es tanto lineal como elástica.
Este comportamiento se define cómo linealmente elástico y matemáticamente se
puede expresar mediante la ley del Hooke.
Fig-3.6
Diagrama esfuerzo deformación unitaria
para un acero 1010, laminado en caliente.
Ecuación 3.1

6
 
 




















 2
2
2
,
,
lg m
Nw
cm
Kg
pu
Lb
unitaria
n
deformació
esfuerzo
E


Donde  es el esfuerzo normal,  es la deformación unitaria axial y E es una
constante de proporcionalidad llama módulo de elasticidad o módulo de Young.
El módulo de elasticidad viene a representar la pendiente del diagrama esfuerzo-
deformación unitaria en la zona elástica lineal. Puesto que la deformación
unitaria es adimensional; las unidades de E son las mismas que la del esfuerzo.
El módulo de elasticidad está relacionado con la fuerza de enlace entre los
átomos. Los metales con módulo elástico alto son relativamente rígidos y no se
deforman fácilmente. Puede decirse en general que para los metales la máxima
deformación elástica es inferior al 0.5%, es decir la máxima de formación
unitaria  es inferior a 0.005. La tabla 3.1 muestra los valores de los módulos de
elasticidad de los metales más comunes.
METAL MODULO DE ELASTICIDAD
(lb/pulg2
) 106
GPa. (kg/cm²)106
Aceros
Aleaciones de aluminio
Latón
Bronce
Aleaciones de magnesio
Níquel
Aleaciones de titanio
Tungsteno
Cobre y aleaciones de cobre
28-30
10-11.4
14-16
14-17
6-6.5
30
15-17
50-55
16-18
190-210
70-79
96-110
96-120
41-45
210
100-120
340-380
110-120
2.0-2.1
0.7-0.8
1.0-1.1
1.0-1.2
0.4-0.46
2.1
1.05-1.2
3.5-3.9
1.1-1.3
d) Límite elástico o resistencia de fluencia (Sy)
La resistencia de un material en el límite elástico o resistencia de fluencia es una
propiedad importante para el diseño de estructuras o sistemas mecánicos puesto
que es el esfuerzo al cual un metal o aleación empieza a presentar deformación
Ecuación 3. 2
Tabla 3- 1 Módulos de elasticidad de metales comunes.

7
plástica significativa. El límite elástico llamado también resistencia a la fluencia
o esfuerzo de fluencia, (punto A Fig. 3.6) es el dato de referencia para el cálculo
ingenieril de estructuras o sistemas mecánicos, ya que un aumento del esfuerzo
más allá del límite elástico provocará un colapso del material que trae como
consecuencia deformación permanente en los elementos estructurales o
mecánicos.
Como la mayor parte del diseño en ingeniería se lleva a cabo dentro de la zona
elástica y la deformación unitaria hasta el límite elástico permanece muy
pequeño, menor que un 0.2% o sea <0.002, entonces el error entre el uso de  y
 nominales con respecto a los reales es muy pequeño, alrededor de 0.1%, razón
por la cual en el cálculo ingenieril se usan el diagrama esfuerzo-deformación
unitaria convencionales o nominales.
Determinados aceros aleados, así como también aleaciones de aluminio, de cobre,
magnesio, plomo, molibdeno, níquel, titanio, etc. no tienen un punto de fluencia
bien definido, por consiguiente en la práctica se determina la resistencia a la
fluencia usando un procedimiento gráfico llamado método del corrimiento o
método de la desviación. Se elige una deformación unitaria de 0.2% ( = 0.002)
y desde este punto situado en la coordenada , del diagrama esfuerzo-
deformación unitaria, se traza una línea paralela a la porción recta inicial de la
curva. El punto de intersección entre esta línea y la curva del diagrama define la
resistencia a la fluencia. En la Fig. 3.7 se muestra su aplicación para una aleación
de aluminio.
Fig-3.7
Resistencia a la fluencia determinada
mediante el método de desviación o
corrimiento de una aleación.

8
%
100



inicial
Area
final
Area
inicial
Area
área
de
reducción
de
Porcentaje
%
100
% 



o
f
o
A
A
A
A
%
100



inicial
Longitud
inicial
Longitud
final
Longitud
to
alargamien
de
Porcentaje
%
100
% 


o
o
f
L
L
L

e) Resistencia máxima a la tracción (m o St)
Es el máximo esfuerzo alcanzado en la curva esfuerzo-deformación
unitaria (punto B Fig. 3.6). Se obtiene dibujando una línea horizontal
desde el punto máximo de la curva esfuerzo-deformación unitaria hasta la
coordenada de los esfuerzos.
f) Porcentaje de alargamiento (porcentaje de elongación)
Puede calcularse mediante la ecuación:
La longitud final (Lf), se mide después de la fractura, juntando la muestra
fracturada, dándole continuidad para luego medir la longitud entre marcas. El
punto C de la Fig. 3.6 muestra la deformación unitaria después de la fractura.
g) Porcentaje de reducción de área
Puede calcularse mediante la ecuación:
Ecuación 3- 3
Ecuación 3.4
o
o
f
L
L
L 



9
El área final se calcula midiendo el diámetro mínimo en la zona de estricción después
de la fractura. En la Fig. 3.8 se pueden apreciar los datos utilizados para calcular el
porcentaje de alargamiento y el porcentaje de reducción de área en una probeta de
ensayo antes y después de la fractura.
Fig-3.8
Probeta de ensayo antes y después de la fractura.

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