Este documento resume seis criterios para determinar si una serie infinita converge o diverge: 1) calcular el límite de sus términos, 2) identificar si corresponde a una serie geométrica, p o alternante, 3) aplicar el criterio de razón, 4) aplicar el criterio de la raíz, 5) aplicar el criterio de la integral, 6) aplicar el criterio de comparación. Estos criterios deben aplicarse en el orden indicado para concluir sobre la convergencia o divergencia de la serie.

1. RESUMEN DE CRITERIOS SOBRE CONVERGENCIA
Y DIVERGENCIA DE SERIES INFINITAS
A fin de adquirir destreza en el reconocimiento y aplicación del criterio apropiado, se requiere de práctica considerable, la cual
se obtendrá realizando los ejercicios de la guía respectiva. Como ayuda, se listan a continuación los criterios y se aconseja que sean
aplicados en el orden indicado. Si un paso en particular no es aplicable o no puede inferirse ninguna conclusión, continúe con el
siguiente. En ocasiones pueden aplicarse más de un criterio, sin embargo, es importante que elija el más eficaz.
1 . − C a lc u le lim ( u n ). S i lim ( u n ) ≠ 0 , e n to n c e s la s e rie d ive rg e . S i lim ( u n ) = 0, n o p u e d e in fe rirse n in g u n a c o n c lu s ió n .
n → +∞ n→ +∞ n → +∞
2 .- E x a m in e la se rie a fin d e d e term in a r si c o rre sp o n d e a u n o d e lo s sig u ie n te s tip o s e sp e c ia le s:
+∞
a
( i ) U n a se rie g e o m é tric a : ∑ a .r
n =1
n −1
. C o n ve rg e a la su m a
1− r
si r < 1; d iv e rg e si r ≥ 1 .
+∞
1
( ii ) U n a se rie p : ∑
n =1 np
(d o n d e p e s u n a c o n s ta n te ). C o n v e rg e s i p > 1 ; d ive rg e si p ≤ 1 .
+∞ +∞
∑ (− 1) ∑ (− 1)
n +1
S i an > 0, y a n +1 < a n
n
( iii ) U n a s e rie a lte rn a n te : .a n ó .a n
n =1 n =1
p a ra to d o s lo s n ú m e ro s e n te ro s p o sitivo s n , y si lim a n = 0 , e n to n c e s la s e rie a lte rn a n te e s c o n v e rg e n te .
n → +∞
+∞
3 . − A p liq u e e l c rite rio d e la ra z ó n , S e a ∑u
n =1
n u n a se rie in fin ita p a ra la c u a l u n e s d ife re n te d e c e ro :
u n +1
( i ) s i lim = L < 1, la se rie e s a b s o lu ta m e n te c o n ve rg e n te ;
n → +∞ un
u n +1 u
( ii ) si lim = L > 1, o si lim n + 1 = + ∞ , la se rie e s d iv erg e n te ;
n → +∞ un n → +∞ un
u n +1
( iii ) si lim = 1, n a d a se p u e d e in fe rir a c e rc a d e la c o n ve rg en c ia a p artir d e e ste c rite rio .
n → +∞ un
+∞
4 .- A p liq u e e l c rite rio d e la ra íz : S e a ∑u
n =1
n u n a se rie in fin ita p a ra la c u a l ca d a U n e s d ife re n te d e c e ro :
( i ) s i lim n u n = L < 1, la se rie e s a b s o lu ta m e n te c o n ve rg e n te ;
n → +∞
( ii ) si lim n u n = L > 1, o si lim n u n = + ∞ la s e rie e s d iv e rg e n te ;
n → +∞ n→ +∞
( iii ) si lim n u n = 1, n a d a se p u e d e in ferir a ce rc a d e la c o n ve rg e n c ia a p a rtir d e e ste c rite rio .
n → +∞
5 .- A p liq u e e l crite rio d e la in teg ra l: S e a f u n a fu n c ió n q u e e s c o n tin u a , d e c re c ie n te y d e va lo re s p o sitiv o s p a ra to d a
+∞
x ≥ 1 . E n to n c e s la s e rie in fin ita ∑n =1
f ( n ) = f (1) + f ( 2 ) + f (3) + ... + f ( n ) + ... e s c o n v e rg e n te si la in te g ra l
+∞ b
im p ro p ia ∫
1
f ( x ). d x e x iste , y e s d iv e rg e n te si lim
b → +∞ ∫1
f ( x ).d x = + ∞ .
+∞
6 .- A p liq u e e l c rite rio d e c o m p a ra c ió n : S e a la se rie ∑u
n =1
n u n a s e rie d e té rm in o s p o sitiv o s.
+∞
(i ) S i ∑v
n =1
n e s u n a se rie d e té rm in o s p o s itiv o s d e la c u a l se sa b e q u e c o n v e rg e , y si U n ≤ V n p a ra
+∞
to d o n ú m e ro e n te ro p o s itiv o n , e n to n c e s ∑u
n =1
n e s c o n v erg e n te .
+∞
( ii ) S i ∑w
n =1
n e s u n a s e rie d e té rm in o s p o sitivo s d e la c u a l se s a b e q u e d iv e rg e , y s i U n ≥ W n p ara
+∞
to d o n ú m e ro e n te ro p o s itiv o n , e n to n c e s ∑u
n =1
n e s d iv e rg e n te .
+∞ +∞
o a p liq u e el c riterio d e c o m p ra c ió n p o r p a s o a l lím ite : S e a n ∑u
n =1
n y ∑v
n =1
n d o s se rie s d e té rm in o s p o s itiv o s.
un
( i ) S i lim = c > 0, e n to n c e s la s d o s se rie s so n c o n ve rg e n te s o a m b a s se rie s so n d iv e rg e n te s .
n → +∞ vn
+∞ +∞
un
( ii ) S i lim
n → +∞ vn
= 0 y si ∑v
n =1
n c o n ve rg e, e n to n c e s ∑u
n =1
n co n v e rg e .
+∞ +∞
un
( iii ) S i lim
n → +∞ vn
= + ∞ y si ∑v
n =1
n d iv e rg e , en to n c e s ∑un =1
n d iv e rg e .
Adaptado por: Prof. José Gregorio Páez Veracierta Fuente: Luois Leithold, Cálculo con Geometría Analítica, 7ma. Edición.