1) Las inecuaciones son desigualdades algebraicas donde los dos miembros se relacionan por signos como <, ≤, > o ≥. 2) La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifican, expresada mediante una representación gráfica o un intervalo. 3) Se resuelven inecuaciones de primer grado, segundo grado, racionales y equivalentes aplicando pasos como agrupar términos, despejar la incógnita y expresar la solución como intervalo.

1. Inecuaciones
L as inec ua c io nes so n desigua l da des a lgebr a ic a s e n la que sus
do s mie mbr o s se r e lacio nan po r u no de e sto s sign o s:
< menor que 2x − 1 < 7
≤ menor o igual que 2x − 1 ≤ 7
> mayor que 2x − 1 > 7
≥ mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7
L a so luc ió n de una inec ua c ió n e s e l co n jun t o de valo r e s de la
var iable q ue la v e r ifica.
L a so lució n de la ine cuació n se e xpr e sa me diante :
1. Una r epr ese nt a c ió n gr á fic a.
2. Un int er va lo .
2x − 1 < 7
2x < 8 x < 4
(- ∞ , 4)
2x − 1 ≤ 7
2x ≤ 8 x ≤ 4
(- ∞ , 4]
2x − 1 > 7

2. 2x > 8 x > 4
(4, ∞ )
2x − 1 ≥ 7
2x ≥ 8 x ≥ 4
[4, ∞ )
Inecuaciones equivalentes
Si a lo s do s m iem br o s de una inec ua c ió n se l es sum a o se l e s
r est a un m ism o núm er o , la in e cuació n r e sulta nte e s e quivale n te a la
dada.
3x + 4 < 5 3x + 4 − 4 < 5 − 4 3x < 1
Si a lo s do s m iem br o s de una inec ua c ió n se les m ult iplic a o
d ivid e p o r un m ism o núm er o po sit ivo , la ine cuació n r e sulta nte e s
e quivale n te a la dada.
2x < 6 2x : 2 < 6 : 2 x < 3
Si a lo s do s m i em br o s de una inec ua c ió n se les m ult iplic a o
d ivid e p o r un m ism o núm er o nega t ivo , la ine cuació n r e sultan te
c a m b ia d e sent ido y e s e quival e nte a la da da.
−x < 5 ( − x) · (− 1 ) > 5 · (− 1 ) x > −5

3. Inecuaciones de primer grado
Inecuaciones de primer grado con una incógnita
1º Q uitar co r ch e te s y par é nte si s.
2º Q uitar de no minado r e s.
3º Agr upar lo s té r mino s e n x a un lado de la de sigua ldad y lo s
té r mino s in de pe ndie nte s e n e l o t r o .
4º Efe ctuar la s o pe r acio ne s
5º Si e l co e fic ie nte de la x e s n e gativo mu lt ipl ic amo s po r − 1 , po r
lo que camb iar á e l se ntido de la de sigua ldad .
6º De spe jamo s l a incó gn ita .
7º Expr e sar la s o lució n de fo r ma gr áfica y co n un inte r valo .

4. [3, + ∞ )

5. Inecuaciones de segundo grado
C o nside r e mo s la ine cuació n :
x2 − 6x + 8 > 0
L a r e so lve re mo s aplica ndo lo s s ig uie nte s paso s :
1º Iguala mo s e l po lino m io de l pr i me r mie mbr o a ce r o y o bte ne mo s
las r aíce s de la e cuació n de se gu ndo gr ado .
x2 − 6x + 8 = 0
2º R e pr e se ntamo s e sto s valo r e s e n la r e cta r e al. T o mamo s un
punto de ca da i n te r valo y e valua mo s e l sig no e n cada in te r valo :
P(0 ) = 0 2 − 6 · 0 + 8 > 0
P(3 ) = 3 2 − 6 · 3 + 8 = 1 7 − 18 < 0
P(5 ) = 5 2 − 6 · 5 + 8 = 3 3 − 30 > 0
3º L a so lució n e stá co mpue sta po r lo s inte r valo s (o e l inte r valo )
que te ngan e l mi smo signo que e l po lino m io .

6. S = ( - ∞ , 2) (4, ∞)
x2 + 2x +1 ≥ 0
x2 + 2x +1 = 0
(x + 1 ) 2 ≥ 0
C o mo un nú me r o e le vado al c u adr ado e s sie m pr e po siti vo la
so lució n e s
So luc ió n
x 2 + 2x + 1 ≥ 0 (x + 1) 2 ≥ 0
x 2 + 2x + 1 > 0 (x + 1) 2 > 0
x 2 + 2x + 1 ≤ 0 (x + 1) 2 ≤ 0 x = − 1
x 2 + 2x + 1 < 0 (x + 1) 2 < 0
x2 + x +1 > 0
x2 + x +1 = 0
C uando no t ie n e r aíce s r e ale s, le damo s a l p o lino mio c ualq ui e r
valo r si:

7. El sig no o bte nid o co incide co n el de la de sigua ld ad, la so luc ió n e s
.
El s igno o b te nid o no co inci de c o n e l de la de si gualda d, no t ie n e
so lució n.
so luc ió n
x2 + x +1 ≥ 0
x2 + x +1 > 0
x2 + x +1 ≤ 0
x2 + x +1 < 0

8. Inecuaciones racionales
L as inec ua c io n es r a c io na les s e r e sue lve n de un mo do si mil ar a las
de seg und o gr a do , pe r o hay que te ne r pr e se nte que el deno m i na d o r
no p ued e ser c er o .
1º H a lla m o s la s r a íc es de l nu m er a do r y del deno m ina do r .
x − 2 = 0 x = 2
x − 4 = 0 x = 4
2º Rep r esent a m o s est o s va lor es en la r ec t a r ea l, t eniend o en
c uent a q ue la s r a íc es del deno m ina do r , independient em ent e d el
sig no d e la d es igua lda d, t iene n que ser a bier t a s.
3º T o mamo s un punt o de c a da int er va lo y evalua m o s el sig no
e n c ada in te r val o :

9. 4º L a so luc ió n est á c o m puest a po r lo s int er va lo s (o e l
inte r valo ) qu e t enga n el m ism o signo que la f r a c c ió n po linóm ic a .
S = ( - ∞ , 2] (4, ∞)
Pasamo s e l 2 al pr ime r mie mbr o y po ne mo s a co mún de no m inado r .
Hallamo s las r aíc e s de l nume r ado r y de l de no mi na do r .
−x + 7 = 0 x = 7
x − 2 = 0 x = 2
Evalua mo s e l si g no :

10. S = ( - ∞ , 2) (7, ∞)