1. Puedes estudiar la historia de dos formas, bien cronológicamente, bien a través de
sus distintas ramas.
Cronológicamente, esta historia podría dividirse en cuatro grandes bloques según la
periodicidad establecida por A.N. Kolmogorov:
a) Nacimiento de las matemáticas: Este periodo se prolonga hasta los siglos VI-V a.C. cuando las
matemáticas se conviertesn en una ciencia independiente con objeto y metodología propios. También
podría denominarse matemáticas antiguas o prehelénicas y en ella se suelen englobar las matemáticas de
las antiguas civilizaciones de Egipto, Mesopotamia, China e India. Grecia estaría situada a caballo entre
este periodo y el siguiente.
b) Periodo de las matemáticas elementales: A continuación del anterior, se prolonga desde los siglos
VI-V a.C. hasta finales del siglo XVI. Durante este periodo se obtuvieron grandes logros en el estudio de
las matemáticas constantes, comenzando a desarrollarse la geometría analítica y el análisis infinitesimal.
c) Periodo de formación de las matemáticas de magnitudes variables: El comienzo de es periodo está
representado por la introducción de las magnitudes variables en la geometría analítica de Descartes y la
creación del cálculo diferencial e integral en los trabajos de I. Newton y G.V. Leibniz. En el transcurso de
este periodo se formaron casi todas las disciplinas conocidas actualmente, así como los fundamentos
clásicos de las matemáticas contemporáneas. Este periodo se extendería aproximadamente hasta
mediados del siglo XIX.
d) Periodo de las matemáticas contemporáneas: En proceso de creación desde mediados del siglo XIX.
En este periodo el volumen de las formas espaciales y relaciones cuantitativas abarcadas por los métodos
de las matemáticas han aumentado espectacularmente, e incluso podríamos decir exponencialmente desde
la llegada del ordenador.
Las distintas ramas que analizaremos son:
a) Álgebra y Aritmética.
b) Análisis Matemático.
c) Geom
NACIMIENTO: HASTA VI-V a.C.
El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar
objetos. Inicialmente se contaban con ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras...
(basta recordar por ejemplo, que la palabra cálculo deriva de la palabra latina calculus
que significa contar con piedras). La serie de números naturales era, obviamente,
limitada, pero la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de números
representa ya una importante etapa en el camino hacia la matemática moderna.
Paralelamente a la ampliación de los números se desarrolló su simbología y los sistemas
de numeración, diferentes para cada civilización.
Estudiaremos cuatro culturas o civilizaciones, localizadas en esta misma página:
• Antigua Civilización Egipcia
• Mesopotamia o Antigua Babilonia
• China Antigua
• India Antigua
• Grecia Clásica

2. ANTIGUA CIVILIZACIÓN EGIPCIA. La información disponible sobre la
civilización desarrollada a lo largo del Nilo es, lo suficientemente fiable, como para ser
considerada la primera civilización que alcanzó un cierto desarrollo matemático.
Nuestros conocimientos sobre las matemáticas del Antiguo Egipto se basan
principalmente en dos grandes papiros de carácter matemático y algunos pequeños
fragmentos, así como en las inscripciones en piedra encontradas en tumbas y templos.
Desarrollaron el llamado "sistema de numeración jeroglífico", que consistía en
denominar cada uno de los "números clave" (1, 10, 100, 1000...) por un símbolo (palos,
lazos, figuras humanas en distintas posiciones...). Los demás números se formaban
añadiendo a un número u otro del número central uno o varios de estos números clave.
Un sistema de numeración posterior a éste, pero de similares características sería el
sistema de numeración romano. También crearon fracciones, pero sólo como divisores
de la unidad, esto es, de la forma 1/n; el resto de fracciones se expresaban siempre como
combinaciones de estas fracciones. Aparecen también los primeros métodos de
operaciones matemáticas, todos ellos con carácter aditivo, para números enteros y
fracciones.
Algebraicamente se resuelven determinadas ecuaciones de la forma x+ax=b donde la
incógnita x se denominaba "montón". En geometría los avances en el cálculo de áreas y
volúmenes, encontraron, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado del
número pi de 3'1605. Sin embargo el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas
y demostraciones formales. También encontramos rudimentos de trigonometría y
nociones básicas de semejanza de triángulos.
MESOPOTAMIA O ANTIGUA BABILONIA. Bajo esta denominación se engloban
los Estados situados entre el Tigris y el Eufrates y que existieron desde el año 2000 a.C.
hasta el año 200 a.C. Actualmente la información sobre esta civilización (en cuanto a
matemáticas se refiere) es mucho mayor que la existente sobre la civilización egipcia,
debido a que en lugar de papiros, utilizaban escritura cuneiforme sobre tablillas de
arcilla, mucho más resistentes al paso del tiempo. De las más de 100.000 tablillas
conservadas, sólo 250 tienen contenidos matemáticos y de ellas apenas 50 tienen texto.
Al igual que sucede con los papiros, las tablillas contienen únicamente problemas
concretos y casos especiales, sin ningún tipo de formulación general, lo que no quiere
decir que no existiera, pues es evidente, que tales colecciones de problemas no pudieron
deberse al azar.
Utilizaron el sistema de numeración posicional sexagesimal, carente de cero y en el que
un mismo símbolo podía representar indistintamente varios números que se
diferenciaban por el enunciado del problema. Desarrollaron un eficaz sistema de
notación fraccionario, que permitió establecer aproximaciones decimales
verdaderamente sorprendentes. Esta evolución y simplificación del método fraccionario
permitió el desarrollo de nuevos algoritmos que se atribuyeron a matemáticos de épocas
posteriores, baste como ejemplo el algoritmo de Newton para la aproximación de raíces
cuadradas.
Desarrollaron el concepto de número inverso, lo que simplificó notablemente la
operación de la división.
Encontramos también en esta época los primeros sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas; pero sin duda la gran aportación algebraica babilónica se centra en el campo

3. de la potenciación y en la resolución de ecuaciones cuadráticas, tanto es así que llegaron
a la solución para ecuaciones de la forma x2+px=q, p>0, q>0 y también ax2+bx=c
mediante el cambia de variable t=ax. Efectuaron un sin fin de tabulaciones que
utilizaron para facilitar el cálculo, por ejemplo de algunas ecuaciones cúbicas. El
dominio en esta materia era tal, que incluso desarrollaron algorítmos para el cálculo de
sumas de progresiones, tanto aritméticas como geométricas. Su capacidad de
abstracción fue tal que desarrollaron muchas de las que hoy se conocen como
ecuaciones diofánticas, algunas de las cuales están íntimamente unidas con conceptos
geométricos, terreno éste, en el que también superaron a la civilización egipcia,
constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: área del
cuadrado, del círculo (con una no muy buena aproximación de pi igual a 3), volúmenes
de determinados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que
esta civilización conocía el teorema de Pitágoras aplicado a problemas particulares,
aunque no, obviamente, como principio general.
CHINA ANTIGUA. Aunque la civilización china es cronológicamente comparable a
las civilizaciones egipcia y mesopotámica, los registros existentes son bastante menos
fiables. La primera obra matemática es "probablemente" el Chou Pei (horas solares)
¿1200 a.C.? y junto a ella la más importante es "La matemática de los nueve libros" o de
los nueve capítulos. Esta obra, de carácter totalmente heterogéneo, tiene la forma de
pergaminos independientes y están dedicados a diferentes temas de carácter
eminentemente práctico formulados en 246 problemas concretos, a semejanza de los
egipcios y babilónicos y a diferencia de los griegos cuyos tratados eran expositivos,
sistemáticos y ordenados de manera lógica. Los problemas resumen un compendio de
cuestiones sobre agricultura, ingeniería, impuestos, cálculo, resolución de ecuaciones y
propiedades de triángulos rectángulos.
El sistema de numeración es el decimal jeroglífico. Las reglas de las operaciones son las
habituales, aunque destaca como singularidad, que en la división de fracciones se exige
la previa reducción de éstas a común denominador. Dieron por sentado la existencia de
números negativos, aunque nunca los aceptaron como solución a una ecuación. La
contribución algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en
la regla de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas se
establece un método genérico de resolución muy similar al que hoy conocemos como
método de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial,
tranformándolos en ceros de manera escalonada. Inventaron el "tablero de cálculo",
artilugio consistente en una colección de palillos de bambú de dos colores (un color para
expresar los números positivos y otro para los negativos) y que podría ser considerado
como una especie de ábaco primitivo.
Esta orientación algorítmica de las matemáticas en la China Antigua, se mantiene hasta
mediados del siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio-económicas
de esta sociedad. Con el desarrollo del "método del elemento celeste" se culminó el
desarrollo del álgebra en China en la edad media. Este método, desarrollado por Chou
Shi Hié, permitía encontrar raíces no sólo enteras, sino también racionales, e incluso
aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao .
El método del elemento celeste es equivalente al que en Occidente denominamos
"método de Horner", matemático que vivió medio siglo más tarde. Otro gran logro de la
época medieval fue la suma de progresiones desarrollado por Chon Huo (s. XI) y Yang

4. Hui (s.XIII). Unido a estas sumas de progresiones se establecieron elementos sólidos en
la rama de la combinatoria, construyendo el llamado "espejo precioso" de manera
similar al que hoy conocemos como triángulo de Tartaglia o Pascal.
No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de la cultura china, limitándose
principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos.
Aproximadamente a mediados del siglo XIV comenzó en China un largo periodo de
estancamiento.
INDIA ANTIGUA. Son muy escasos los documentos de tipo matemático que han
llegado a nuestras manos, pese a tener constancia del alto nivel cultural de esta
civilización. Aun más que en el caso de China, existe una tremenda falta de continuidad
en la tradición matemática hindú y al igual que ocurría con las tres civilizaciones
anteriores, no existe ningún tipo de formalismo teórico. Los primeros indicios
matemáticos se calculan hacia los siglos VIII-VII a.C, centrándose en aplicaciones
geométricas para la construcción de edificios religiosos y también parece evidente que
desde tiempos remotos utilizaron un sistema de numeración posicional y decimal. Fue,
sin embargo, entre los siglos V-XII d.C cuando la contribución a la evolución de las
matemáticas se hizo especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios:
Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII). La
característica principal del desarrollo matemático en esta cultura, es el predominio de
las reglas aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los números
negativos y la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como números validos
las números irracionales. Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de
ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas
como deudas. Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos,
métodos de resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver
(s.XII) la ecuación x2=1+ay2, denominada ecuación de Pelt. Como resumen acabaremos
diciendo que en la historia de la India se encuentran suficientes hechos que ponen en
evidencia la existencia de relaciones políticas y económicas con los estados griegos,
egipcios, árabes y con China. Matemáticamente se considera indiscutible la procedencia
hindú del sistema de numeración decimal y las reglas de cálculo.
GRECIA La actividad intelectual de las civilizaciones desarrolladas en Egipto y
Mesopotamia, ya había perdido casi todo su impulso mucho antes que comenzara la Era
Cristiana, pero a la vez que se acentuaba este declive, surgían con una fuerza
indescriptible nuevas culturas a lo largo de todo el Mediterráneo; y de entre ella, la
cultura helénica fue la principal abanderada en el terreno cultural. Tanto es así, que las
civilizaciones anteriores a la Antigua Grecia se conocen como culturas prehelénicas.
El helenismo nunca logró la unidad, ni en su época de máximo apogeo ni cuando fue
amenazado con la destrucción. Ahora bien, en menos de cuatro siglos, de Tales de
Mileto a Euclides de Alejandría, y lo hayan querido o no los pensadores griegos, rivales
de ciudades o de escuelas, construyeron un imperio invisible y único cuya grandeza
perdura hasta nuestros días. Este logro insólito se llama MATEMÁTICAS.

5. Salvo excepciones, los productores se agrupaban en escuelas. En los matemáticos de
esta época los problemas prácticos relacionados con las necesidades de cálculos
aritméticos, mediciones y construcciones geométricas continuaron jugando un gran
papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se desprendieron
en una rama independiente de las matemáticas que obtuvo la denominación de
"logística". A la logística fueron atribuidas: las operaciones con números enteros, la
extracción numérica de raíces, el cálculo con la ayuda de dispositivos auxiliares, cálculo
con fracciones, resolución numérica de problemas que conducen a ecuaciones de 1er y 2º
grado, problemas prácticos de cálculo y constructivos de la arquitectura, geometría,
agrimensura, etc...
Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación
de hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Así por
ejemplo, de la aritmética fue separada en una rama independiente la teoría de números,
es decir, el conjunto de conocimientos matemáticos que se relacionan con las
propiedades generales de las operaciones con números naturales. En esta época ya
resultaban conocidos los métodos de sumación de progresiones aritméticas simples. Se
estudiaban cuestiones sobre la divisibilidad de los números; fueron introducidas las
proporciones aritméticas, geométricas y armónicas y diferentes medias: la aritmética, la
geométrica y la armónica. Junto a la demostración geométrica del teorema de Pitágoras
fue encontrado el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números
"pitagóricos", esto es, ternas de números que satisfacen la ecuación a2+b2=c2.
En este tiempo transcurrieron la abstracción y sistematización de las informaciones
geométricas. En los trabajos geométricos se introdujeron y perfeccionaron los métodos
de demostración geométrica. Se consideraron, en particular: el teorema de Pitágoras, los
problemas sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del
cubo y la cuadratura de una serie de áreas (en particular las acotadas por líneas curvas).
Se descubrió de manera tajante la irracionalidad, demostrando, por ejemplo, la
irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 por la vía de reducción al absurdo. Este
descubrimiento de la irracionalidad condujo inevitablemente a la elaboración de la
teoría de la divisibilidad.
La etapa siguiente se caracteriza por la necesidad de crear una teoría matemática general
tanto para los números racionales como para los irracionales. Paralelamente, al
ampliarse el número de magnitudes medibles, debido a los números irracionales, se
originó una reformulación de la geometría, dando lugar al álgebra geométrica. Esta
nueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión de áreas, el conjunto de
proposiciones geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas, división áurea,
expresión de la arista de un poliedro regular a través del diámetro de la circunferencia
circunscrita. Sin embargo, el álgebra geométrica estaba limitada a objetos de dimensión
no mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que conducían a ecuaciones de
tercer grado o superiores, es decir, se hacían imposibles los problemas que no
admitieran solución mediante regla y compás. La historia sobre la resolución de los tres
problemas geométricos clásicos (sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un
ángulo, la duplicación del cubo) está llena de anécdotas, pero lo cierto es que como
consecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cónicas, cálculo aproximado
del número pi, el método de exhaución como predecesor del cálculo de límites o la
introducción de curvas trascendentes. Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad

6. condicionó la necesidad de creación de una teoría general de las relaciones, teoría cuyo
fundamento inicial lo constituyó el algoritmo de Euclides.
Construcción axiomática de las Matemáticas. Las primeras teorías matemáticas que
se abstrajeron de los problemas concretos o de un conjunto de problemas de un mismo
tipo, crearon las condiciones necesarias y suficientes para el reconocimiento de la
autonomía y especificidad de las matemáticas.
El carácter abstracto del objeto de las matemáticas y los métodos de demostración
matemática establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se
comenzara a exponer como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas,
presenta una sucesión lógica de teoremas. Las obras en las cuales, en aquella época se
exponían los primeros sistemas matemáticos de denominaban "Elementos". Se
encuentran elementos pertenecientes a muchos autores, sin embargo todos ellos han
quedado relegados a un segundo plano tras una de las obras matemáticas más
impresionante de la historia: Los Elementos de Euclides. "Los Elementos", como
denominaremos a esta obra a partir de ahora, están constituidos por trece libros, cada
uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas. A veces se añaden otros dos, los
libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores pero por su contenido, están próximos al
último libro de Euclides.
Métodos infinitesimales. En la construcción de las teorías matemáticas en la Grecia
Antigua, muy temprano se específico una clase específica de problemas para la solución
de los cuales, era necesario investigar los pasos al límite, los procesos infinitos, la
continuidad ...
Algunos grupos de científicos antiguos buscan la salida de estas dificultades en la
aplicación a la matematica de las ideas filosóficas atomicistas. El ejemplo más notable
lo constituye Demócrito. Igualmente florecieron teorías totalmente contrarias a esta
concepción. Tengamos en cuenta, por ejemplo, las paradojas de Zenón. Otro de los
métodos más antiguos de este género es el método de exhaución, atribuido a Euxodo y
aplicable al cálculo de áreas de figuras, volúmenes de cuerpos, longitud de curvas,
búsqueda de subtangentes... Con el método se demuestra la unicidad del límite, pero no
se soluciona el problema sobre la existencia de límite; aun así se considera la primera
forma del método de límites.
Los métodos infinitesimales en la Antigua Grecia, sirvieron de punto de partida para
muchas investigaciones de los matemáticos de los siglos XVI y XVII. particularmente
se estudiaban los métodos de Arquímedes, en especial aquellos referidos al cálculo de
volúmenes. El propio Leibniz escribió que "estudiando los trabajos de Arquímedes
cesas de admirar los éxitos de los matemáticos actuales".
Durante la época de Euclides y Arquímedes, las matemáticas cambiaron fuertemente,
tanto en su forma como en su contenido, haciendo el proceso de formación de nuevas
teorías más pausado, hasta llegar a interrumpirse. Entre las nuevas teorías desarrolladas
ocupa el primer lugar la teoría de las secciones cónicas, que surgió de las limitaciones
del álgebra geométrica. El interés hacia las secciones cónicas creció a medida que
aumentaban la cantidad de problemas resueltos con su ayuda. Sin duda, la obra más
completa, general y sistemática de las secciones cónicas se debe a Apolonio de Perga.
Estos tres últimos matemáticos citados, Euclides, Arquímedes y Apolonio,

7. sobresalieron por encima de todos los de su tiempo y sus obras son las que han hecho
que se denomine como "Edad de Oro" de la matemática al periodo comprendido entre
los años 300 y 200 a.C. Tras ellos se entró en un lento declive de forma que los
resultados perdieron generalidad, haciéndose cada vez más particulares y especiales.
En la época del dominio romano destaca la evolución en problemas de cálculo, siendo
necesario señalar la "Métrica" de Herón de Alejandría, formulada en forma de recetario
de reglas: regla de extracción de raíces cuadradas y cúbicas; cálculo de áreas y
volúmenes; y en especial la conocida fórmula de Herón para calcular el área del
triángulo conocidos los tres lados. Igualmente son destacables los métodos de Diofanto
que encontró soluciones a más de 50 clases diferentes de ecuaciones, generalmente de
segundo grado, denominadas ecuaciones diofánticas. La fase final se caracteriza por la
aparición de "comentaristas" que comentaban las obras clásicas, signo evidente del
descenso de creatividad. Entre ellos citaremos a Gémines de Rodas (100 a.C), Teon de
Alejandría (s. IV), Pappo de Alejandría (s. IV), Proclo (s.V) y Eutoquio (s. VI).
Resumiremos afirmando que las matemáticas de la Antigua Grecia, representan uno de
los primeros ejemplos del establecimiento de las matemáticas como ciencia,
desarrollándose en su seno, dentro de ciertos límites, los elementos de las ciencias
matemáticas ulteriores: álgebra, análisis infinitesimal, geometría analítica, mecánica
teórica y el método axiomático.
MATEMÁTICAS ELEMENTALES
Recordemos que este periodo abarca un enorme periodo de tiempo, alrededor de 2000
años, desde los siglos VI-V a.C. hasta el siglo XVI.
En el año 529 el emperador Justiniano cerró las escuelas griegas, pese a lo cual la
ciencia griega siguió presentando una cierta unidad. En el siglo VII el pensamiento
científico griego, ampliamente difundido, si bien no produce ya obras originales, se
encuentra ampliamente confrontado a otras tradiciones. En estas condiciones surgen los
árabes, creando un imperio tan extenso como sorprendente. Las condiciones de vida
económicas y políticas que se formaron, favorecieron el desarrollo de las matemáticas,
exigido por las necesidades del Estado, la irrigación, las construcciones, el comercio y
la artesanía, desarrollándose en el arsenal de los matemáticos árabes, muchos
procedimientos de cálculo y algorítmos especiales.
En el continente europeo, las matemáticas no tienen tan antiguo origen como en
muchos países del Medio y Lejano Oriente, alcanzando sólo éxitos notorios en la época
del Medievo desarrollado y especialmente en el Renacimiento.
• Imperio Musulmán
• Europa Medieval y Renacimiento
MATEMÁTICAS DE LAS VARIABLES:
SIGLOS XVI, XVII Y XVIII

8. Estudiaremos independientemente cada uno de estos siglos:
• Siglo XVI
• Siglo XVII
• Siglo XVIII
SIGLO XVI
A finales del siglo XVI, Europa Occidental había recuperado ya, la mayor parte de las
obras matemáticas más importantes de la antigüedad que se han conservado hasta
nuestros días. Por otra parte, el álgebra árabe, había sido asimilada y superada,
introduciendo un cierto simbolismo y la trigonometría, se había convertido en una
disciplina independiente. La época estaba ya casi madura, para llevar a cabo ciertos
avances que superaran las contribuciones tanto antiguas, como medievales y
renacentistas. Pero la transición del Renacimiento al mundo moderno, se hizo también a
través de un considerable número de figuras intermedias: Galileo, Cavalieri, Briggs,
Neper, Kepler y Viète entre otros.
SIGLO XVII
Durante el siglo XVII cambió la forma de existencia de las matemáticas. En sustitución
de los solitarios entusiastas, aparecieron las organizaciones científicas como las
Academias de Londres y París, comenzando la organización de las instituciones y
sociedades científicas, que se convirtieron en una forma fructífera de trabajo en equipo
de los científicos. También comenzaron durante este siglo las publicaciones periódicas.
Sin embargo se produjo un cambio muy importante en la concepción de las
matemáticas, complementando el estudio de los números y demás magnitudes
constantes, con el estudio de los movimientos y transformaciones. En este siglo es
cuando tienen comienzo todas o casi todas las disciplinas matemáticas:
• Geometría Analítica.
• Métodos Integrales.
• Métodos Diferenciales.
• Análisis Infinitesimal.
• Cálculo de Probabilidades.

9. SIGLO XVIII
Durante el siglo XVIII la elaboración científica y matemática se centró casi
exclusivamente en Europa. Gradualmente fue creciendo el papel de los centros
superiores de enseñanza, haciéndose particularmente notable hacia finales de siglo con
la revolución francesa.
Se podría decir que el siglo XVIII fue un tramite entre los siglos XVII, cuando se
inventaron la geometría analítica y el cálculo infinitesimal y el siglo XIX, origen del
rigor matemático y espectador de lujo del brillante florecimiento de la geometría.
Los matemáticos más importantes de la época fueron casi todos franceses: Monge,
Lagrange, D'Alembert, Laplace, legendre, Carnot y Condorcet. las dos grandísimas
excepciones a esta lista fueron Euler y Gauss.
. Se completó igualmente, el conjunto de las disciplinas geométricas y, además de la ya
desarrollada geometría analítica, se formaba a finales de siglo la geometría descriptiva y
se profundizaba en el estudio de la perspectiva. Estudiemos por separado el desarrollo
de estas disciplinas:
• Análisis Infinitesimal
• Análisis Matemático.
o Cálculo Diferencial.
o Cálculo Integral.
o Ecuaciones Diferenciales
• Cálculo de Variaciones.
• Desarrollo de la Geometría.
o Geometría Analítica.
o Geometría Diferencial.
o Geometría Descriptiva y Proyectiva.
• Análisis Numérico.
• Teoría de Probabilidades.
MATEMÁTICAS CONTEMPORÁNEAS
SIGLO XIX

10. El siglo XIX merece ser llamado más que ningún otro periodo anterior la edad de Oro
de la Matemática. Los progresos realizados durante este siglo superan con mucho, tanto
en calidad como en cantidad, la producción reunida de todas las épocas anteriores. este
siglo fue también, con la excepción de la época Heroica de la Antigua Grecia, el más
revolucionario de la historia de la Matemática.
Las particularidades del nuevo periodo se manifiestan ya nada más comenzar el siglo.
En álgebra hay que tener en cuenta los trabajos de Abel y Galois sobre la resolución de
ecuaciones algebraicas en radicales. Ellos promovieron a un primer lugar en el álgebra
una serie de conceptos generales muy abstractos, entre los cuales merece el primer lugar
el concepto de grupo.
El descubrimiento en los años 20-30 por Lobachevski y también por J. Bolyai y Gauss
de los hechos fundamentales de la geometría hiperbólica no euclideana y en los años 60-
70 la búsqueda de sus interpretaciones, provocaron en el sistema de ciencias
geométricas transformaciones de carácter revolucionario. El sistema de disciplinas que
forman parte del análisis matemático, sufrió en sus fundamentos una muy profunda
reconstrucción sobre la base de la creada teoría de límites y la teoría del número real. A
finales de siglo, los recursos del análisis se complementaban con lo que ya se ha venido
a llamar aparato epsilon, delta. Junto a este desarrollo del análisis matemático clásico, se
separaron de él disciplinas matemáticas independientes: la teoría de ecuaciones
diferenciales, la teoría de funciones de variable real y la teoría de funciones de variable
compleja. Antes de estudiar estos aspectos más detalladamente citemos tres rasgos que
tienen un carácter general para la mayoría de las ciencias matemáticas:
1. En primer lugar debe tenerse en cuenta la ampliación del contenido del objeto de
las matemáticas, debido fundamentalmente a las exigencias crecientes de las
ciencias afines.
2. En segundo lugar la necesidad de fundamentar las matemáticas en su conjunto,
produciéndose una revisión crítica de los conceptos primarios y afirmaciones.
3. La tercera particularidad es la ampliación considerable del campo de
aplicaciones, condicionado por el aumento de posibilidades del aparato del
análisis matemático.
• Álgebra Moderna.
o Teoría General de Ecuaciones Algebraicas.
o Teoría de Grupos.
o Álgebra Lineal.
• Análisis Matemático.
o Teoría de Límites.
o Teoría de Funciones.
o Teoría de Número Real y Teoría de Conjuntos.
• Teoría de las funciones de variable compleja.

11. • Transformación de la geometría.
LA ARITMETICA
La aritmética será la ciencia que se ocupa de los objetos concretos, esto es, de los números. En
cambio el Álgebra es, en esencia, la doctrina de las operaciones matemáticas analizadas desde
un punto de vista abstracto y genérico, independientemente de los números o objetos
concretos.
El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar
objetos. Inicialmente se contaban con ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras...
(basta recordar por ejemplo, que la palabra cálculo deriva de la palabra latina calculus
que significa contar con piedras). La serie de números naturales era, obviamente,
limitada, pero la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de números
representa ya una importante etapa en el camino hacia la matemática moderna.
Paralelamente a la ampliación de los números se desarrolló su simbología y los sistemas
de numeración, diferentes para cada civilización.
Los egipcios desarrollaron el llamado "sistema de numeración jeroglífico", que consistía en
denominar cada uno de los "números clave" (1, 10, 100, 1000...) por un símbolo (palos, lazos,
figuras humanas en distintas posiciones...). Los demás números se formaban añadiendo a un
número u otro del número central uno o varios de estos números clave. Un sistema de
numeración posterior a éste, pero de similares características sería el sistema de numeración
romano.
También crearon fracciones, pero sólo como divisores de la unidad, esto es, de la forma
1/n; el resto de fracciones se expresaban siempre como combinaciones de estas
fracciones.
Aparecen también durante la expansión de esta civilización los primeros métodos de
operaciones matemáticas, todos ellos con carácter aditivo, para números enteros y
fracciones.
Algebraicamente se resuelven determinadas ecuaciones de la forma x+ax=b donde la
incógnita x se denominaba "montón".
En la civilización mesopotámica utilizaron el sistema de numeración posicional
sexagesimal, carente de cero y en el que un mismo símbolo podía representar
indistintamente varios números que se diferenciaban por el enunciado del problema.
Desarrollaron un eficaz sistema de notación fraccionario, que permitió establecer
aproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes. Esta evolución y
simplificación del método fraccionario permitió el desarrollo de nuevos algoritmos que
se atribuyeron a matemáticos de épocas posteriores, baste como ejemplo el algoritmo de
Newton para la aproximación de raíces cuadradas.

12. Desarrollaron el concepto de número inverso, lo que simplificó notablemente la
operación de la división.
Encontramos también en esta época los primeros sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas; pero sin duda la gran aportación algebraica babilónica se centra en el campo
de la potenciación y en la resolución de ecuaciones cuadráticas, tanto es así que llegaron
a la solución para ecuaciones de la forma y también mediante el cambio de variable
t=ax. Efectuaron un sin fin de tabulaciones que utilizaron para facilitar el cálculo, por
ejemplo de algunas ecuaciones cúbicas. El dominio en esta materia era tal, que incluso
desarrollaron algorítmos para el cálculo de sumas de progresiones, tanto aritméticas
como geométricas.
Su capacidad de abstracción fue tal que desarrollaron muchas de las que hoy se conocen
como ecuaciones Diofánticas, algunas de las cuales están íntimamente unidas con
conceptos geométricos.
En la Antigua Civilización China el sistema de numeración es el decimal jeroglífico.
Las reglas de las operaciones son las habituales, aunque destaca como singularidad, que
en la división de fracciones se exige la previa reducción de éstas a común denominador.
Dieron por sentado la existencia de números negativos, aunque nunca los aceptaron
como solución a una ecuación.
La contribución algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado
en la regla de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas se
establece un método genérico de resolución muy similar al que hoy conocemos como
método de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial,
tranformándolos en ceros de manera escalonada.
Inventaron el "tablero de cálculo", artilugio consistente en una colección de palillos de
bambú de dos colores (un color para expresar los números positivos y otro para los
negativos) y que podría ser considerado como una especie de ábaco primitivo.
Esta orientación algorítmica de las matemáticas en la China Antigua, se mantiene hasta
mediados del siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio-económicas
de esta sociedad. Con el desarrollo del "método del elemento celeste" se culminó el
desarrollo del álgebra en China en la edad media. Este método, desarrollado por Chou
Shi Hié, permitía encontrar raíces no sólo enteras, sino también racionales, e incluso
aproximaciones decimales para ecuaciones de la forma . El método del elemento celeste
es equivalente al que en Occidente denominamos "método de Horner", matemático que
vivió medio siglo más tarde.
Otro gran logro de la época medieval fue la suma de progresiones desarrollado por
Chon Huo (s. XI) y Yang Hui (s.XIII). Unido a estas sumas de progresiones se
establecieron elementos sólidos en la rama de la combinatoria, construyendo el llamado
"espejo precioso" de manera similar a lo que hoy conocemos como triángulo de
Tartaglia o Pascal.

13. Los primeros indicios matemáticos de la civilización india se calculan hacia los
siglos VIII-VII a.C. y parece evidente que desde tiempos remotos utilizaron un sistema
de numeración posicional y decimal.
Fue, sin embargo, entre los siglos V-XII d.C. cuando la contribución a la evolución de
las matemáticas se hizo especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios:
Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII).
La característica principal del desarrollo matemático en esta cultura, es el predominio de
las reglas aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los números
negativos y la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como números validos
los números irracionales. Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de
ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas
como deudas. Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos,
métodos de resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver
(s.XII) la ecuación , denominada ecuación de Pelt.
Matemáticamente se considera indiscutible la procedencia hindú del sistema de
numeración decimal y las reglas de cálculo.
El helenismo nunca logró la unidad, ni en su época de máximo apogeo ni cuando fue
amenazado con la destrucción. Ahora bien, en menos de cuatro siglos, de Tales de
Mileto a Euclides de Alejandría, y lo hayan querido o no los pensadores griegos, rivales
de ciudades o de escuelas, construyeron un imperio invisible y único cuya grandeza
perdura hasta nuestros días. Este logro insólito se llama MATEMÁTICAS.
En los matemáticos de la época helénica los problemas prácticos relacionados con las
necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas
continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas
poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemáticas que obtuvo
la denominación de "logística". A la logística fueron atribuidas: las operaciones con
números enteros, la extracción numérica de raíces, el cálculo con la ayuda de
dispositivos auxiliares, cálculo con fracciones, resolución numérica de problemas que
conducen a ecuaciones de 1er y 2º grado, problemas prácticos de cálculo y constructivos
de la arquitectura, geometría, agrimensura, etc...
Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación
de hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Así por
ejemplo, de la aritmética fue separada en una rama independiente la teoría de números,
es decir, el conjunto de conocimientos matemáticos que se relacionan con las
propiedades generales de las operaciones con números naturales. En esta época ya
resultaban conocidos los métodos de sumación de progresiones aritméticas simples. Se
estudiaban cuestiones sobre la divisibilidad de los números; fueron introducidas las
proporciones aritméticas, geométricas y armónicas y diferentes medias: la aritmética, la
geométrica y la armónica. Fue encontrado el método de hallazgo de la serie ilimitada de
las ternas de números "pitagóricos", esto es, ternas de números que satisfacen la
ecuación a2+b2=c2.

14. Se descubrió de manera tajante la irracionalidad, demostrando, por ejemplo, la
irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 por la vía de reducción al absurdo. Este
descubrimiento de la irracionalidad condujo inevitablemente a la elaboración de la
teoría de la divisibilidad.
La etapa siguiente se caracteriza por la necesidad de crear una teoría matemática general
tanto para los números racionales como para los irracionales. Paralelamente, al
ampliarse el número de magnitudes medibles, debido a los números irracionales, se
originó una reformulación de la geometría, dando lugar al álgebra geométrica. Esta
nueva rama incluía entre otros conceptos el método de anexión de áreas, el conjunto de
proposiciones geométricas que interpretaban las cantidades algebraicas, división áurea,
expresión de la arista de un poliedro regular a través del diámetro de la circunferencia
circunscrita. Sin embargo, el álgebra geométrica estaba limitada a objetos de dimensión
no mayor que dos, siendo inaccesibles los problemas que conducían a ecuaciones de
tercer grado o superiores, es decir, se hacían imposibles los problemas que no
admitieran solución mediante regla y compás. La historia sobre la resolución de los tres
problemas geométricos clásicos (sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un
ángulo, la duplicación del cubo) está llena de anécdotas, pero lo cierto es que como
consecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las secciones cónicas, cálculo aproximado
del número pi, el método de exhaución como predecesor del cálculo de límites o la
introducción de curvas trascendentes.
Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicionó la necesidad de creación de
una teoría general de las relaciones, teoría cuyo fundamento inicial lo constituyó el
algoritmo de Euclides.
En la época del dominio romano destaca la evolución en problemas de cálculo, siendo
necesario señalar la "Métrica" de Herón de Alejandría, formulada en forma de recetario
de reglas: regla de extracción de raíces cuadradas y cúbicas; cálculo de áreas y
volúmenes; y en especial la conocida fórmula de Herón para calcular el área del
triángulo conocidos los tres lados. Igualmente son destacables los métodos de Diofanto
que encontró soluciones a más de 50 clases diferentes de ecuaciones, generalmente de
segundo grado, denominadas ecuaciones diofánticas.
Resumiremos afirmando que las matemáticas de la Antigua Grecia, representan uno de
los primeros ejemplos del establecimiento de las matemáticas como ciencia,
desarrollándose en su seno, dentro de ciertos límites, los elementos de las ciencias
matemáticas ulteriores: álgebra, análisis infinitesimal, geometría analítica, mecánica
teórica y el método axiomático.
Durante el primer siglo del Imperio Musulmán no se produjo ningún desarrollo
científico, ya que los árabes, no habían conseguido el impulso intelectual necesario,
mientras que el interés por el saber en el resto del mundo, había desaparecido casi
completamente. Fue a partir de la segunda mitad del siglo VIII, cuando comenzó el
desenfrenado proceso de traducir al árabe todas las obras griegas conocidas.
Se fundaron escuelas por todo el Imperio, entre las que destaca Bait Al-Hikma (Casa de
la Sabiduría). Entre los miembros de esta escuela destaca un nombre propio Mohammed
ibn-Musa Al-Khowarizmi que escribió más de media docena de obras matemáticas y

15. astronómicas, dos de las cuales han tenido especial importancia en la historia. La
primera de ellas está basada en una traducción árabe de Brahmagupta y en la que se da
una reproducción exacta del sistema de numeración hindú, lo que ha originado la
creencia popular de que nuestro sistema de numeración procede del árabe. El "nuevo"
sistema de numeración vino a ser conocido como "el de Al-Khowarizmi" y a través de
deformaciones lingüísticas derivó en "algorismi" y después en algoritmo, término que,
actualmente, posee un significado mucho más amplio. Igualmente, a través del titulo de
su obra más importante, el Hisab al-jabr wa-al-muqabala, nos ha transmitido otro
nombre mucho más popular, la palabra "álgebra". En esta obra se estudian seis tipos de
ecuaciones cuadráticas, así como un sin fin de elementos griegos.
Con posterioridad a Al-Khuwarizmi se desarrollaron infinidad de procedimientos de
cálculo y algoritmos especiales, entre ellos:
• obtención del número pi con 17 cifras exactas mediante polígonos inscritos y
circunscritos en la circinferencia realizada por Kashi (s. XV). Después de más de
150 años, en 1593, en Europa, Viète encontró sólo nueve cifras exactas. Hubo
que esperar a fines del siglo XVI y comienzos del XVII para repetir el cálculo de
Kashi.
• cálculo de raíces por el método conocido actualmente como de Ruffini-Horner,
posiblemente como resultado de la estrecha colaboración con los matemñaticos
chinos. Además fue advertida y expresada la serie del desarrollo binomial y fue
también enunciada la tabla de coeficientes binomiales.
• extracción aproximada de raíces, utilizando la interpolación lineal.
• sumación de progresiones aritméticas y geométricas.
Asimismo, en virtud de la frecuente aplicación en los cálculos de las irracionalidades, el
límite entre los números racionales y los irracionales comenzó a difuminarse,
ampliándose la concepción de número real positivo. La idea de una concepción única
del número real obtuvo pues, en el oriente Medio cierto perfeccionamiento.
Los trabajos algebraicos árabes entre los siglos IX-XV además de la resolución de
ecuaciones de primer y segundo grado, incluían también las ecuaciones cúbicas. A estas
últimas conducían diferentes tipos de problemas como la división de la esfera por un
plano, la trisección del ángulo, la búsqueda del lado de un polígono regular de 9 lados...
Otra dirección en la resolución de ecuaciones cúbicas, se basaba en la obtención de la
imagen geométrica de la raíz positiva, por medio de la intersección de secciones
cónicas, convenientemente elegidas. Sin embargo el gran defecto del álgebra de esta
época era la ausencia de una simbología, lo que contuvo el desarrollo del álgebra.
En el continente europeo, las matemáticas no tienen un origen tan antiguo como en
muchos países del Lejano y Medio Oriente, alcanzando sólo éxitos notorios en la época
del medievo desarrollado y especialmente en el Renacimiento.

16. El punto de arranque de las matemáticas en Europa fue la creación de los centros de
enseñanza. Con anterioridad, tan solo algunos monjes se dedicaron a estudiar las obras de
ciencias naturales y matemáticas de los antiguos. Uno de los primeros centros de enseñanza
fue organizado en Reims (Francia) por Gerberto (Silvestre II) (940-1003). Fue posiblemente el
primero en Europa que enseñó el uso de los numerales indo-arábigos. Sin embargo hubo que
esperar a que los musulmanes rompieran la barrera lingüística, hacia el siglo XII, para que
surgiera una oleada de traducciones que pusieran en marcha la maquinaria matemática. El
trabajo de los traductores fue sensacional. Así Gerardo de Cremona (1114-1187) tradujo del
árabe más de 80 obras.
Durante el siglo XIII surgió la figura de Leonardo de Pisa (1180-1250) más conocido como
Fibonacci. Alrededor del año 1202 escribió su célebre obra "Liber Abaci" (el libro del ábaco), en
el que se encuentran expuestos: el cálculo de números según el sistema de numeración
posicional; operaciones con fracciones comunes, aplicaciones y cálculos comerciales como la
regla de tres simple y compuesta, la división proporcional, problemas sobre la determinación
de calidad de las monedas; problemas de progresiones y ecuaciones; raíces cuadradas y
cúbicas... Fibonacci quedó inmortalizado por la famosa "sucesión de Fibonacci" y el famoso
problema de los conejos.
El profesor parisino Nicole Oresmes (1328-1382) generalizó el concepto de potencia,
introduciendo los exponentes fraccionarios, las reglas de realización de las operaciones
con ellos y una simbología especial, anticipándose de hecho a la idea de logaritmo.
Ya en el siglo XV, Regiomontano enriqueció el concepto de número, introduciendo los
radicales y las operaciones con ellos, ampliando así las posibilidades de resolución de
ecuaciones. Nicolo Tartaglia (1500-1557), Fiore y Scipión del Ferro (1456-1474) desarrollaron
fórmulas para la búsqueda de ecuaciones de tercer grado. Pero fue Jerónimo Cardano (1501-
1576) quien introdujo un método regular de resolución de ecuaciones de tercer y cuarto grado
en su obra "Ars Magna". En esta obra se expresan diversos teoremas que relacionan raíces y
coeficientes, así como la divisibilidad de un polinomio por factores (x-x1), donde x1 es raíz del
polinomio. Asimismo en esta obra se establece un notable cambio desde el álgebra literal al
álgebra simbólica.
Fue François Viète (1540-1603) quien dio un sistema único de símbolos algebraicos
consecuentemente organizado, gracias al cual resultó por primera vez posible, la
expresión de ecuaciones y sus propiedades mediante fórmulas generales. Viète
estableció en todo momento, una fuerte conexión entre los trabajos trigonométricos y
algebraicos, de forma que de igual manera que se le considera el creador del álgebra
lineal, se le podría considerar como uno de los padres del enfoque analítico de la
trigonometría, esto es, la goniometría.
En 1614 fue publicada por John Neper (1550-1617) la obra "Canonis mirifici
logarithmorum descriptio" y en ella las primeras tablas de logaritmos de funciones

17. trigonométricas. Años más tarde, en estrecha colaboración con Henry Briggs (1561-
1630) desarrollaron el sistema logarítmico decimal. La teoría de las funciones
logarítmicas fue seguidamente desarrollada, alcanzando su culminación en los trabajos
de Leonard Euler. Junto a estos avances científico-matemáticos comenzaron a
desarrollarse las primeras máquinas de cálculo.
Ya en pleno siglo XVII, la última parte de la famosa obra de Descartes(1596-1650) "Discurso
del Método" denominada "Géometrie", detalla en su comienzo, instrucciones geométricas
para resolver ecuaciones cuadráticas, centrándose seguidamente en la aplicación del álgebra a
ciertos problemas geométricos. Analiza también curvas de distintos órdenes, para terminar en
el tercer y último libro que compone la obra, con la construcción de la teoría general de
ecuaciones, llegando a la conclusión de que el número de raíces de una ecuación es igual al
grado de la misma, aunque no pudo demostrarlo. Prácticamente la totalidad de la Géometrie
está dedicada a la interrelación entre el álgebra y la geometría.
El desarrollo posterior de la geometría analítica, mostró que las ideas de Descartes sobre
la unificación del álgebra y geometría no pudo realizarse sino que siguieron un camino
separado aunque relacionado, de hecho durante la segunda mitad de siglo el álgebra
siguió rompiendo su hermandad con la geometría, fortaleciéndose el aparato simbólico
literal, alcanzando gran desarrollo la teoría de ecuaciones.
La teoría de números se enriqueció con las famosas investigaciones de Fermat. En
particular a él pertenece el conocido "Gran teorema de Fermat". En el año 1665 B.
Pascal formuló el principio de inducción matemática.
Ya en el siglo XVIII los métodos del cálculo aritmético se enriquecieron con la aparición de los
logaritmos.
La independencia de álgebra y geometría (en contra de las ideas de Descartes) continuó
determinándose ya a comienzos de siglo, cuando en 1707 vio la luz la "Aritmética
Universal" de Newton. En ella el álgebra se exponía en estrecha relación con el
desarrollo de los métodos de cálculo, relegando las cuestiones geométricas al dominio
de las aplicaciones. La esencia de la obra consiste en reducir cualquier problema a la
formación de una ecuación algebraica, cuya raíz es la solución del problema. Culmina el
libro con los resultados de la teoría general de ecuaciones y además la resolución gráfica
de éstas, mediante la construcción geométrica de las raíces. Este famoso tratado
contiene las fórmulas, para las sumas de las potencias de las raíces de una ecuación
algebraica, fórmulas conocidas habitualmente como "identidades de Newton". Aparece
también un teorema que permite determinar el número de raíces reales de un polinomio,
así como una regla para determinar una cota superior de las raíces positivas.
Después de la Aritmética Universal de Newton, surgieron una serie de monografías,
especialmente centradas en los procedimientos de resolución numérica de ecuaciones,
elaboradas por Halley, Lagrange, Fourier y Maclaurin entre otros.

18. En 1768 apareció la "Aritmética Universal" de Euler, dictada por éste cuando ya estaba
ciego. En ella se analizan un sin fin de resultados: se generalizan las reglas de
resolución de problemas aritméticos; se desarrolla el aparato simbólico-literal del
álgebra; se aclaran las operaciones con números, monomios, radicales y complejos; se
introducen los logaritmos; se dan las reglas de extracción de las raíces de números y de
expresiones algebraicas polinomiales; se introducen las serie como medio de expresión
de las funciones racionales fraccionarias y binomiales con exponentes fraccionarios y
negativos de una potencia; se introducen los números poligonales, las proporciones y
progresiones, las fracciones decimales periódicas y se estudian los métodos de
resolución de ecuaciones algebraicas.
Así, en esencia, el álgebra se convirtió en la ciencia sobre las ecuaciones algebraicas. En
ella se incluía además, la elaboración del aparato simbólico-literal necesario para la
resolución de tales ecuaciones.
También se profundizó en el concepto de número, produciéndose de una manera
definitiva la admisión de los números irracionales. Igualmente se profundizó en las
reglas de operaciones con números imaginarios y complejos, pero siempre bajo la
premisa de la obtención de raíces de ecuaciones.
Fue también Euler quien se ocupó de una manera definitiva de lo que hoy en día
conocemos como teoría de números. Comenzó estudiando los teoremas de Fermat, para
desarrollar a continuación todos los aspectos de esta teoría, preferentemente utilizando
métodos aritméticos y algebraicos, rehuyendo en la medida de lo posible del análisis
infinitesimal. A él debemos la actual teoría de congruencias, a la que llegó tras extensos
trabajos sobre la divisibilidad y tras introducir el concepto de raíz primitiva según el
módulo m.
No de menor importancia que la teoría de congruencias fueron sus trabajos sobre
problemas de análisis diofántico, para cuyas necesidades elaboró y fundamentó la teoría
de las fracciones continuas. Asimismo elaboró los métodos analíticos para la resolución
de problema de la distribución de números primos, en la serie de los números naturales
y también para una serie de problemas aditivos. El primero de estos problemas fue
tratado también por Legendre y Chebyshev. Para el segundo de los problemas, donde se
estudia el desarrollo de los números grandes en sumandos menores, cabe destacar junto
a Euler los nombres de Waring y Lagrange.
La teoría de números en el siglo XVIII, se convirtió pues, en una rama independiente,
sintetizada en los trabajos de Euler, Lagrange, Legendre y Lambert entre otros,
definiéndose prácticamente los principales problemas y direcciones.
El siglo XIX merece ser llamado más que ningún otro periodo anterior la edad de Oro de la
Matemática.
Las particularidades del nuevo periodo se manifiestan ya nada más comenzar el siglo.
En álgebra hay que tener en cuenta los trabajos de Abel y Galois sobre la resolución de
ecuaciones algebraicas en radicales. Ellos promovieron a un primer lugar en el álgebra

19. una serie de conceptos generales muy abstractos, entre los cuales merece el primer lugar
el concepto de grupo, dando lugar al nacimiento del Álgebra moderna.
El álgebra moderna es un campo extraordinariamente amplio y ramificado en el que se
recogen un gran número de disciplinas científicas e independientes cuyo objeto común
son las operaciones algebraicas, las cuales representan abstracciones lejanas de las
operaciones del álgebra elemental. Estudiemos de una manera más detallada estas
disciplinas.
Teoría General de las Ecuaciones algebraicas:
Este fue el problema fundamental del álgebra durante el siglo XIX, entendiéndose como la
búsqueda de las raíces de la ecuación con ayuda de operaciones racionales y la operación de la
extracción de la raíz.
En este época se introdujeron una serie de conceptos, entre ellos el concepto de grupo,
que yacen en la base del álgebra moderna. Tengamos en cuenta los trabajos de K.F.
Gauss, N.H. Abel y E. Galois, relativos a la demostración de la no resolubilidad en
radicales de las ecuaciones de grado mayor que cinco y la creación de la teoría de
Galois.
Karl Friedrich Gauss hizo sus primeros descubrimientos en álgebra siendo muy joven,
advirtiendo ya en 1796 la relación entre la búsqueda de raíces de la ecuación xn-1=0 y la
división de la circunferencia en partes iguales. Tres años más tarde demostraba el
teorema fundamental del álgebra, dando en 1815, 1816 y 1849 tres nuevas
demostraciones. Recordemos que la primera formulación de este teorema, sin
demostrar, fue la dada por Descartes. para la demostración de este teorema necesitó
construir los campos de desarrollo de los polinomios.
Álgebra Lineal:
La historia del álgebra del siglo XIX quedaría incompleta si no atendiésemos a la formación del
álgebra lineal, surgida de la teoría de los sistemas de ecuaciones lineales y relacionada con la
teoría de determinantes y matrices. Durante la segunda mitad de siglo se realizaron
investigaciones muy importantes de la teoría de los invariantes de las ecuaciones. En este
camino del desarrollo, creció la teoría de las formas que encontró aplicación además de en el
álgebra, en la teoría de números, la geometría diferencial, la geometría algebraica y la
mecánica.
Teorías de Número Real y Teoría de Conjuntos:
En el año 1872 surgieron una serie de trabajos, escritos por G. Cantor, R. Dedekind, K.
Weierstrass, E. Heine y Ch. Meray cuyo único objetivo era el de dotar de una teoría rigurosa al
número real, problema éste considerado vital para una correcta fundamentación del análisis.
Así Dedekind definió el número real como una cortadura en el conjunto de los números
racionales, dando al conjunto de los números reales una interpretación geométrica en
forma de línea recta.

20. Cantor, por su parte, identificó al número real con una sucesión convergente de números
racionales.
La creación de la teoría de conjuntos infinitos y los números transfinitos pertenece
también a G. Cantor. Él demostró la no equivalencia de los conjuntos de números
racionales y reales. Durante los años 1879 a 1884 elaboró de forma sistemática la teoría
de conjuntos, introduciendo el concepto de potencia de un conjunto, el concepto de
punto límite, de conjunto derivado... La teoría general de las potencias de conjuntos, las
transformaciones y operaciones sobre conjuntos y las propiedades de los conjuntos
ordenados constituyeron fundamentalmente la teoría abstracta de conjuntos.
Las cuestiones de fundamentación de la teoría de conjuntos, junto con la investigación
de los límites de su aplicación se convirtieron durante el siglo XX en una ciencia
especial, la "lógica matemática", la cual forma una parte importante de los fundamentos
de las matemáticas modernas.
ANÁLISIS
MATEMÁTICO
En la construcción de las teorías matemáticas en la Grecia Antigua, muy temprano se
específico una clase específica de problemas para la solución de los cuales, era
necesario investigar los pasos al límite, los procesos infinitos, la continuidad...
Algunos grupos de científicos antiguos buscan la salida de estas dificultades en la
aplicación a la matematica de las ideas filosóficas atomicistas. El ejemplo más notable
lo constituye Demócrito. Igualmente florecieron teorías totalmente contrarias a esta
concepción. Tengamos en cuenta, por ejemplo, las paradojas de Zenón. Otro de los
métodos más antiguos de este género es el método de exhaución, atribuido a Euxodo y
aplicable al cálculo de áreas de figuras, volúmenes de cuerpos, longitud de curvas,
búsqueda de subtangentes... Con el método se demuestra la unicidad del límite, pero no
se soluciona el problema sobre la existencia de límite; aun así se considera la primera
forma del método de límites.
Los métodos infinitesimales en la Antigua Grecia, sirvieron de punto de partida para
muchas investigaciones de los matemáticos de los siglos XVI y XVII. Particularmente
se estudiaban los métodos de Arquímedes, en especial aquellos referidos al cálculo de
volúmenes. El propio Leibniz escribió que "estudiando los trabajos de Arquímedes
cesas de admirar los éxitos de los matemáticos actuales".
El concepto de límite fue el primer paso, pero hubo que esperar hasta el siglo XVII, para
que los métodos integrales y diferenciales y, en esencia, el análisis infinitesimal se
diferenciaran como disciplinas estructuradas dentro de las matemáticas.
LA GEOMETRIA

21. La historia del origen de la Geometría es muy similar a la de la Aritmética, siendo sus
conceptos más antiguos consecuencia de las actividades prácticas. Los primeros
hombres llegaron a formas geométricas a partir de la observación de la naturaleza.
El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuyó a los egipcios el descubrimiento de la
geometría, ya que, según él, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que
las inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras. Recordemos que,
precisamente, la palabra geometría significa medida de tierras.
Los egipcios se centraron principalmente en el cálculo de áreas y volúmenes,
encontrando, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado de ( de 3'1605.
Sin embargo el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas y demostraciones
formales. También encontramos rudimentos de trigonometría y nociones básicas de
semejanza de triángulos.
También se tienen nociones geométricas en la civilización mesopotámica,
constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: área del
cuadrado, del círculo (con una no muy buena aproximación de (=3), volúmenes de
determinados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta
civilización conocía el teorema de Pitágoras aplicado a problemas particulares, aunque
no, obviamente, como principio general.
No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de las culturas china e india,
limitándose principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas
de cuerpos. También hay quien afirma que estas dos civilizaciones llegaron a
enunciados de algunos casos particulares del teorema de Pitágoras, e incluso que
desarrollaron algunas ideas sobre la demostración de este teorema.
En los matemáticos de la cultura helénica los problemas prácticos relacionados con las
necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y construcciones geométricas
continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estos problemas
poco a poco se desprendieron en una rama independiente de las matemáticas que obtuvo
la denominación de "logística". A la logística fueron atribuidas: las operaciones con
números enteros, la extracción numérica de raíces, el cálculo con la ayuda de
dispositivos auxiliares, cálculo con fracciones, resolución numérica de problemas que
conducen a ecuaciones de 1er y 2º grado, problemas prácticos de cálculo y constructivos
de la arquitectura, geometría, agrimensura, etc...
Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación
de hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Junto a la
demostración geométrica del teorema de Pitágoras fue encontrado el método de
hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números "pitagóricos", esto es, ternas de
números que satisfacen la ecuación a2+b2=c2.
En este tiempo transcurrieron la abstracción y sistematización de las informaciones
geométricas. En los trabajos geométricos se introdujeron y perfeccionaron los métodos

22. de demostración geométrica. Se consideraron, en particular: el teorema de Pitágoras, los
problemas sobre la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del
cubo, la cuadratura de una serie de áreas (en particular las acotadas por líneas curvas).
.Paralelamente, al ampliarse el número de magnitudes medibles, debido a la aparición
de los números irracionales, se originó una reformulación de la geometría, dando lugar
al álgebra geométrica. Esta nueva rama incluía entre otros conceptos el método de
anexión de áreas, el conjunto de proposiciones geométricas que interpretaban las
cantidades algebraicas, división áurea, expresión de la arista de un poliedro regular a
través del diámetro de la circunferencia circunscrita. Sin embargo, el álgebra geométrica
estaba limitada a objetos de dimensión no mayor que dos, siendo inaccesibles los
problemas que conducían a ecuaciones de tercer grado o superiores, es decir, se hacían
imposibles los problemas que no admitieran solución mediante regla y compás. La
historia sobre la resolución de los tres problemas geométricos clásicos (sobre la
cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo) está llena de
anécdotas, pero lo cierto es que como consecuencia de ellos surgieron, por ejemplo, las
secciones cónicas, cálculo aproximado del número pi, el método de exhaución como
predecesor del cálculo de límites o la introducción de curvas trascendentes.
Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicionó la necesidad de creación de
una teoría general de las relaciones, teoría cuyo fundamento inicial lo constituyó el
algoritmo de Euclides.
Las primeras teorías matemáticas que se abstrajeron de los problemas concretos o de un
conjunto de problemas de un mismo tipo, crearon las condiciones necesarias y suficientes para
el reconocimiento de la autonomía y especificidad de las matemáticas.
El carácter abstracto del objeto de las matemáticas y los métodos de demostración
matemática establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se
comenzara a exponer como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas,
presenta una sucesión lógica de teoremas. Las obras en las cuales, en aquella época se
exponían los primeros sistemas matemáticos de denominaban "Elementos".
Se encuentran elementos pertenecientes a muchos autores, sin embargo todos ellos han
quedado relegados a un segundo plano tras la obra matematica más impresionante de la
historia: Los Elementos de Euclides. "Los Elementos", como denominaremos a esta
obra a partir de ahora, están constituidos por trece libros, cada uno de los cuales consta
de una sucesión de teoremas. A veces se añaden otros dos, los libros 14 y 15 que
pertenecen a otros autores pero por su contenido, están próximos al último libro de
Euclides.
En "Los Elementos" de Euclides se recogen una serie de axiomas o postulados que
sirvieron de base para el posterior desarrollo de la geometría. Es de especial interés, por
la controversia que originó en épocas posteriores el quinto axioma, denominado "el de
las paralelas", según el cual dos rectas paralelas no se cortan nunca. Durante siglos se
asumió este axioma como irrebatible, hasta que en el siglo XIX surgieron las llamadas
geometrías no euclídeas, que rebatieron este postulado.

23. Con posterioridad a Euclides y Arquímedes, las matemáticas cambiaron fuertemente, tanto en
su forma como en su contenido, haciendo el proceso de formación de nuevas teorías más
pausado, hasta llegar a interrumpirse.
Entre las nuevas teorías desarrolladas ocupa el primer lugar la teoría de las secciones
cónicas, que surgió de las limitaciones del álgebra geométrica. El interés hacia las
secciones cónicas creció a medida que aumentaban la cantidad de problemas resueltos
con su ayuda. Sin duda, la obra más completa, general y sistemática de las secciones
cónicas se debe a Apolonio de Perga.
En la época del dominio romano destacan algunos recetarios en forma de reglas que permitían
el cálculo de algunas áreas y volúmenes; y en especial la conocida fórmula de Herón para
calcular el área del triángulo conocidos los tres lados.