Aritmética

ARITMÉTICA
a ciencia de los números, es la parte de la matemática que se ocupa del estudio de
los números naturales y de las operaciones de suma, resta, multiplicación y
división, potenciación y extracción de raíces. Al número, los griegos lo llaman
arithmos. Algunos escritores han defendido que, de las disciplinas matemáticas, la
aritmética ocupa la primacia, porque no tiene necesidad de ninguna otra.
Etimológicamente deriva del griego arithmetike, que combina dos palabras: arithmos, que
significa “número” , y techn , que se refiere a un arte o habilidad, esto quiere decir arte de
contar, de calcular.
I. HISTORIA:
La Aritmética ha nacido en todas las civilizaciones para enumerar conjuntos de personas,
objetos y para facilitar intercambios comerciales, y en el origen más remoto el primer
hombre que contó: es obvio creer que el primer hombre que contó fue aquel que queriendo
saber si su vecino o él tenía más frutos recogidos, comenzó a poner
marcas, alternativamente, en cada uno de los frutos de cada montón,
hasta que se agotase en una de las colecciones. Con este hecho la
Aritmética ya había nacido sin concepto, primitiva, rudimentaria, tan
elemental y simple como sus propias necesidades.
Así para los pueblos primitivos medir y contar fueron las primeras actividades matemáticas.
El trueque la forma de comercio rudimentario fue la que utilizaron. Haciendo marcas en los
troncos de los árboles lograban la medición del tiempo y el conteo de animales que poseían.
Y entonces aparece el concepto de número, origen de la Aritmética.
Y con el nacimiento de la agricultura y la ganadería también hicieron necesarios dichos
conocimientos para saber cuándo se debía sembrar, realizar el recuento de las cosechas o
aparear al ganado. Así también con la navegación, en la que era indispensable conocer
cuándo y dónde se producían las mareas y corrientes marinas que podían imposibilitar o
L

facilitar la navegación de las pequeñas embarcaciones de que disponían. De aquí su atenta
observación y conocimiento de las fases lunares, del curso solar y de los demás astros
visibles. Podemos imaginarnos que empezaron sirviéndose de simples series de trazos a los
que añadirían una representación de lo que se contaba.
En la antigüedad, se usaban otros símbolos diferentes a los de ahora para expresar los números. Se
comenzó representándolos con los dedos de la mano o bien usando signos repetidos, pero estos no eran
útiles para representar grandes cantidades, razón por la cual se introdujeron nuevos símbolos hasta llegar a
los actualmente vigentes, de origen árabe.
A.- ARITMÉTICA A TRAVÉS DE LAS CIVILIZACIONES:
1. EGIPTO:
Encontramos los primeros vestigios del desarrollo de una ciencia matemática. Sus exigencias
vitales, sujetas a las periódicas inundaciones del Nilo, los llevaron a perfeccionar
la Aritmética y la Geometría.
Los egipcios desarrollaron el llamado "sistema de numeración
jeroglífico", que consistía en denominar cada uno de los "números
clave" (1, 10, 100, 1000...) por un símbolo (palos, lazos, figuras humanas en distintas
posiciones...). Los demás números se formaban añadiendo a un número u otro del número
central uno o varios de estos números clave. Un sistema de numeración posterior a éste,
pero de similares características sería el sistema de numeración romano.
También crearon fracciones, pero sólo como divisores de la unidad, esto es, de la forma
1/n; el resto de fracciones se expresaban siempre como combinaciones de estas fracciones.
La numeración egipcia (escrita) permitía la representación de números
mayores que un millón. Utilizaban un sistema aditivo de base decimal con
jeroglíficos específicos para la unidad y cada una de las seis primeras
potencias de 10.

En la figura podemos ver los símbolos usados para 1, 10, 100 y 1.000. El
10.000 se representaba con un dedo doblado, el 100.000 con un pez y
1.000.000 mediante una figura humana de rodillas y con los brazos alzados.
En un principio escribían los nueve primeros números colocando símbolos
de la unidad, uno a continuación de otro; más tarde utilizaron la
representación por desdoblamiento mientras los arameos de Egipto usaban
un principio ternario (ver tabla).
1 2 3 4 5 6 7 8 9
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Estos jeroglificos numéricos estaban reservados a las inscripciones sobre
monumentos de piedra. Los escribas para realizar los documentos de tipo
administrativo, astronómico, etc., fueron simplificando el trazo hasta
obtener los llamados signos hieráticos. Por ejemplo el 20 en notación
jeroglífica se escribía , mientras en hierática se denotaba mediante .
El escriba o calculador egipcio realizaba operaciones aritméticas
elementales, con números enteros y el uso casi exclusivo de fracciones
unitarias, es decir, de numerador la unidad. El papiro de Rhind contiene al
principio una tabla en la que se expresan las fracciones de numerador 2 y de
denominador impar entre 5 y 101, como suma de fracciones unitarias; con
ellas efectuaban las cuatro operaciones aritméticas con fracciones.

La naturaleza de los números irracionales no llegó a reconocerse en la
aritmética egipcia. Las raíces cuadradas sencillas que aparecían en los
problemas se expresaban mediante números enteros y fracciones.
Aparecen también durante la expansión de esta civilización los primeros métodos de
operaciones matemáticas, todos ellos con carácter aditivo, para números enteros y
fracciones.
En 1650 A.C. El escriba Ahmes (hijo de la luna) copia de una obra anterior un valioso
documento matemático, uno de los más antiguos que se conocen con el nombre de papiro
de Rhind, por ser este su descubridor; el documento se encuentra en el Museo Británico. En
él se detallan unos 80 problemas con sus soluciones, entre las cuales están las ecuaciones de
segundo grado.
El problema numérico egipcio constituyó un avance de gran importancia con respecto del
hombre primitivo, por las siguientes razones:
Tiene un claro concepto de cantidad, totalmente despejada de la cualidad.
Inicia el afán por la generalización, la que sería después la base del edificio
geométrico racional de los griegos.
Un solo símbolo podía representar a un conjunto de objetos.
Utiliza una o más veces un mismo símbolo para representar a un número.
Era un sistema decimal, porque diez símbolos iguales tenían el valor de otro
símbolo que valía diez veces más.
2. BABILONIA:
Encontramos también en esta época los primeros sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas; pero sin duda la gran aportación algebraica babilónica se centra en el campo de
la potenciación y en la resolución de ecuaciones cuadráticas, tanto es así que llegaron a la
solución para ecuaciones de la forma y también mediante el cambio de variable t=ax.
Efectuaron un sin fin de tabulaciones que utilizaron para facilitar el cálculo, por ejemplo de

algunas ecuaciones cúbicas. El dominio en esta materia era tal, que incluso desarrollaron
algorítmos para el cálculo de sumas de progresiones, tanto aritméticas como geométricas.
Su capacidad de abstracción fue tal que desarrollaron muchas de las que hoy se conocen
como ecuaciones Diofánticas, algunas de las cuales están íntimamente unidas con
conceptos geométricos.
El sistema numérico de los banilonios queda expresado:
Los babilonios introdujeron el importante sistema de posición.
Esto les permitió usar los mismos símbolos para representar los valores más
grandes.
La base de su sistema fue 60.
Las órdenes de sus unidades se iban haciendo 60, 602
,603
,604
,veces mayores.
En una fase avanzada de su evolución introdujeron el símbolo cero, para
representar el espacio vacío.
3 . GRECIA:
El helenismo nunca logró la unidad, ni en su época de máximo apogeo ni cuando
fue amenazado con la destrucción. Ahora bien, en menos de cuatro siglos, de
Tales de Mileto a Euclides de Alejandría, y lo hayan querido o no los pensadores griegos,
rivales de ciudades o de escuelas, construyeron un imperio invisible y único cuya grandeza
perdura hasta nuestros días. Este logro insólito se llama MATEMÁTICAS.
En los matemáticos de la época helénica los problemas prácticos
relacionados con las necesidades de cálculos aritméticos, mediciones y
construcciones geométricas continuaron jugando un gran papel. Sin
embargo, lo novedoso era, que estos problemas poco a poco se
desprendieron en una rama independiente de las matemáticas que obtuvo
la denominación de "logística". A la logística fueron atribuidas: las
operaciones con números enteros, la extracción numérica de raíces, el
cálculo con la ayuda de dispositivos auxiliares, cálculo con fracciones, resolución numérica

de problemas que conducen a ecuaciones de 1er y 2º grado, problemas prácticos de cálculo
y constructivos de la arquitectura, geometría, agrimensura, etc...
Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitágoras se advierte un proceso de recopilación de
hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos en sistemas teóricos. Así por ejemplo, de
la aritmética fue separada en una rama independiente la teoría de números, es decir, el
conjunto de conocimientos matemáticos que se relacionan con las propiedades generales de
las operaciones con números naturales. En esta época ya resultaban conocidos los métodos
de sumación de progresiones aritméticas simples. Se estudiaban cuestiones sobre la
divisibilidad de los números; fueron introducidas las proporciones aritméticas, geométricas
y armónicas y diferentes medias: la aritmética, la geométrica y la armónica. Fue encontrado
el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas de números "pitagóricos", esto es,
ternas de números que satisfacen la ecuación a2+b2=c2.
Se descubrió de manera tajante la irracionalidad, demostrando, por ejemplo, la
irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 por la vía de reducción al absurdo. Este
descubrimiento de la irracionalidad condujo inevitablemente a la elaboración de la teoría de
la divisibilidad.
4. MESOPOTAMIA:
En la civilización mesopotámica utilizaron el sistema de numeración posicional
sexagesimal, carente de cero y en el que un mismo símbolo podía representar
indistintamente varios números que se diferenciaban por el enunciado del problema.
representaban los números con marcas en forma de cuña de acuerdo con su tipo de escritura. Tablillas
cuneiformes descifradas hace poco tiempo, documentan la contribución de estos pueblos a la ciencia
matemática. Representaban los números con marcas: una marca para el 1; dos marcas para el 2 y así hasta
el 9.
Desarrollaron un eficaz sistema de notación fraccionario, que permitió establecer
aproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes. Esta evolución y simplificación

del método fraccionario permitió el desarrollo de nuevos algoritmos que se atribuyeron a
matemáticos de épocas posteriores, baste como ejemplo el algoritmo de Newton para la
aproximación de raíces cuadradas.
Desarrollaron el concepto de número inverso, lo que simplificó notablemente la operación
de la división.
5. CHINA:
En la Antigua Civilización China el sistema de numeración es el decimal jeroglífico. Las
reglas de las operaciones son las habituales, aunque destaca como singularidad, que en la
división de fracciones se exige la previa reducción de éstas a común denominador. Dieron
por sentado la existencia de números negativos, aunque nunca los aceptaron como solución
a una ecuación.
La contribución algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en
la regla de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para todos los sistemas se
establece un método genérico de resolución muy similar al que hoy conocemos como
método de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial, tranformándolos
en ceros de manera escalonada.
Inventaron el "tablero de cálculo", artilugio consistente en una colección de palillos de
bambú de dos colores (un color para expresar los números positivos y otro para los
negativos) y que podría ser considerado como una especie de ábaco primitivo.
Esta orientación algorítmica de las matemáticas en la China Antigua, se mantiene hasta
mediados del siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio-económicas de
esta sociedad. Con el desarrollo del "método del elemento celeste" se culminó el desarrollo
del álgebra en China en la edad media. Este método, desarrollado por Chou Shi Hié,
permitía encontrar raíces no sólo enteras, sino también racionales, e incluso aproximaciones

decimales para ecuaciones de la forma . El método del elemento celeste es equivalente al
que en Occidente denominamos "método de Horner", matemático que vivió medio siglo
más tarde.
Otro gran logro de la época medieval fue la suma de progresiones desarrollado por Chon
Huo (s. XI) y Yang Hui (s.XIII). Unido a estas sumas de progresiones se establecieron
elementos sólidos en la rama de la combinatoria, construyendo el llamado "espejo
precioso" de manera similar a lo que hoy conocemos como triángulo de Tartaglia o
Pascal.
6. INDIA:
Los primeros indicios matemáticos de la civilización india se calculan hacia los siglos
VIII-VII a.C. y parece evidente que desde tiempos remotos utilizaron un sistema de
numeración posicional y decimal.
Fue, sin embargo, entre los siglos V-XII d.C. cuando la contribución a la evolución de las
matemáticas se hizo especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios:
Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII).
La característica principal del desarrollo matemático en esta cultura, es el predominio de las
reglas aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los números negativos y
la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como números validos los números
irracionales. Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de ecuaciones lineales y
cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas como deudas.
Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos, métodos de
resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver (s.XII) la
ecuación , denominada ecuación de Pelt.

Matemáticamente se considera indiscutible la procedencia hindú del sistema de numeración
decimal y las reglas de cálculo.
 EDAD MEDIA:
Tras la caída del Imperio Romano de Occidente siguió un periodo, del siglo VI al XIV,
oscuro para la matemática; únicamente brillaron los matemáticos del Islam y, en menor
medida, algunas otras figuras, Boecio, Fibonacci, Bradwardine, Nemorario, aunque de
calidad muy inferior a los griegos. Boecio era un romano de familia noble. Estudió en
Atenas filosofía y matemáticas. A su regreso a Roma fue nombrado senador y sin causa
aparente fue encarcelado y ejecutado en el 524 d.C. En la soledad de la cárcel escribió su
obra De consolatione philosophiae que lo haría imortal. Antes, sin embargo, había escrido
distintas obras menores sobre aritmética, geometría, música y astronomía. Eran obras
elementales fáciles de entender qu fueron bastante populares en la Edad Media. Incluimos
aquí un incunable de la Opera de Boecio del año 1492 donde podemos apreciar los
números poligonales como n(n+1)/2 -números triangulares- y los 3n(n-1)/2 -números
pentagonales.
 EDAD MODERNA:
Lo más importante de este periodo fue la difusión y consolidación de nuestro actual sistema
de numeración hindúárabe, especialmente útil para las actividades comerciales. Por esto,
fue en las activas repúblicas alemanas e italianas donde, ya en el Renacimiento, se produjo
la mayor profusión de aritméticas: la de Francesco Pellos, Luca Pacioli, Stiefel, entre otros.
Este último fue un personaje singular. Se ordenó monje en Esslingen, su ciudad natal en
1511, luego durante los años de la Reforma se convirtión en segudir de Lutero y estudiando
la Biblia comenzó a interesarse por una combinatórica númerica. Una de las anécdotas más
curiosas ocurrió cuando, basado en su misticismo númerico, comenzó a predicar el fin del
mundo para el 18 de octubre de 1511 estando a punto de ser linchado por sus seguidores al
no ocurrir nada ese día.

En 1544 después de 9 años de estudio sistemático de la Matemática publica su Arithmetica
integra donde mejora la representación de las potencias de la incógnita en una ecuación y
utiliza por primera coeficientes negativos sin embargo, incomprensiblemente, segirá
ignorando las soluciones negativas de una ecuación. Podemos apreciar aquí (izquierda) una
primera edición de la Arithmetica integra de Stifel donde se ve claramente el uso de los
simbolos +, - y el símbolo para la raíces que ya eran usados con regularidad por aquella
época, al menos en las ciudades asociadas de la Hansa, por una pléyade de maestros
aritméticos en cuyas obras se desarrolló gran parte de la notación hoy habitual: el + y - para
la suma y la resta, o el signo para las raíces.
Pero sin duda alguna, el mayor logro matemático del siglo XVI fue la resolución por
radicales de las ecuaciones de tercer y cuarto grado. En cuatro mil años, desde que los
babilonios descubrieran como resolver la de segundo grado, casi nada nuevo se había
logrado en este campo. La historia de la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto
grado tiene, además, todo el colorido de la época: intrigas, desafíos públicos, acusaciones
de plagio. Sus protagonistas, Tartaglia y, sobre todo, Cardano, médico, matemático,
filósofo, escritor y astrólogo, representan fielmente las miserias y virtudes del hombre
renacentista.
Aparece en esta época el matemático Tartaglia o el tartamudo como el mismo se
autodenominaba- nació en 1499 o 1500. Fue autodidacta desde los 14 años, edad en la que
aprendió a escribir. Luego enseño matemáticas en Verona hasta que en 1534 se traslada a
Venecia donde murió en 1557 en la misma pobreza que le acompañó toda su vida. El
primero en encontrar una fórmula para resolver ciertos tipos de ecuaciones cúbicas fue
Scipione del Ferro aunque no los publicó. Un discípulo suyo, Antonio Fiore se hizo con
ellos años más tarde. Al mismo tiempo Tartaglia que estaba estudiando el mismo tipo de
ecuaciones descubrió más casos que los que podía resolver Fiore. Todo esto concluyó en un
desafío público donde ambos contrincantes, Tartaglia y Fiore, proponían una serie de
problemas y el que mayor cantidad resolvía resultaba vencedor. Es fácil adivinar que
Tartaglia salió airoso de semejante duelo matemático. Es ahí donde entra nuestro tercer
personaje: Girolano Cardano. Cardano fue un médico de éxito y un reputado astrólogo -
predijo incluso el día de su muerte: 21 de septiembre de 1576. !Y acertó!-. Su primera obra

matemática fue Practica Arithmeticae (derecha) publicada en 1539 y de la que incluimos
un ejempar de la primera edición publicada en Milán. Al enterarse del gran éxito de
Tartaglia contactó con el y luego de rogarle largamente para que le enseñara la fórmula este
último accedió a dársela no sin antes hacerle jurar que no la haría pública pues pensaba
publicarla el mismo y ganar fama y dinero. Aunque hay quien asegura que Cardano no
tardó ni un minuto en romper su promesa, lo cierto es que tardó 6 años en revelar la famosa
fórmula, probablemente debido, en parte, a que Tartaglia no acababa de publicarla y por
tanto decide incluirla en su Ars Magna (izquierda) cuya primera edición de 1570 podemos
admirar en la fotografía de la derecha, abierta además por la página donde Cardano
introduce los números compejos a partir de un sencillo problema geométrico que dicho en
el lenguaje habitual sería el siguiente: Dado un segmento de longitud 10 unidades, dividirlo
en dos partes de forma que forme un rectángulo de area igual a 40 unidades cuadradas - es
fácil ver que el problema se reduce a la ecuación x2
-10x+40=0, cuyas las soluciones son
complejas-. Tartaglia encajó muy mal el golpe de Cardano culminando ésto con un desafío
en Milán en 1548 entre Ferrari, yerno de Cardano, y Tartaglia que casi termina en tragedia
para Tartaglia según sostienen ciertos historiadores de la época y que termin&oacure; en un
``Empate tácito''.
A raíz de la polémica entre Cardano y Tartaglia, Rafael Bombelli, el último de los
algebristas italianos del Renacimiento quien había leido el Ars Magna de Cardano a los 19
años, decidió escribir un tratado de álgebra que permitiese a cualquiera dominar el tema sin
recurrir a ningún otro libro debemos destacar que el Ars Magna de Cardano estaba escrito
de manera muy poco clara. Su obra L'Algebra, de la que presentamos un ejemplar de la
segunda edición de 1579 (izquierda), contiene un tratado completo de toda el álgebra
conocida en su época. En particular en su L'Algebra utiliza por primera vez los números
complejos en una aplicación esencial: la resolución de la ecuación cúbica irreducible, o sea,
la que tiene sus tres raíces reales; usando, como el mismo cuenta, una «idea loca» que
consistía en considerar que las raíces de lo que hoy denominamos complejos conjugados
tendrían que ser a su vez complejos conjugados y por tanto se podía operar con ellos
formalmente aunque no existieran. !Cómo le hubise gusrado a Bombelli saber que esa
ecuación es imposible de resolver por radicales sin pasar antes por el campo complejo

como se demostraría dos siglos y medio después a partir de los resultados de Galois!
Durante el siglo XIII surgió la figura de Leonardo de Pisa (1180-1250) más conocido como
Fibonacci. Alrededor del año 1202 escribió su célebre obra "Liber Abaci" (el libro del
ábaco), en el que se encuentran expuestos: el cálculo de números según el sistema de
numeración posicional; operaciones con fracciones comunes, aplicaciones y cálculos
comerciales como la regla de tres simple y compuesta, la división proporcional, problemas
sobre la determinación de calidad de las monedas; problemas de progresiones y ecuaciones;
raíces cuadradas y cúbicas... Fibonacci quedó inmortalizado por la famosa "sucesión de
Fibonacci" y el famoso problema de los conejos.
El profesor parisino Nicole Oresmes (1328-1382) generalizó el concepto de potencia,
introduciendo los exponentes fraccionarios, las reglas de realización de las operaciones con
ellos y una simbología especial, anticipándose de hecho a la idea de logaritmo.
 EDAD CONTEMPORÁNEA:
Ya en el siglo XVIII los métodos del cálculo aritmético se enriquecieron con la aparición
de los logaritmos.
La independencia de álgebra y geometría (en contra de las ideas de Descartes) continuó
determinándose ya a comienzos de siglo, cuando en 1707 vio la luz la "Aritmética
Universal" de Newton. En ella el álgebra se exponía en estrecha relación con el desarrollo
de los métodos de cálculo, relegando las cuestiones geométricas al dominio de las
aplicaciones. La esencia de la obra consiste en reducir cualquier problema a la formación
de una ecuación algebraica, cuya raíz es la solución del problema. Culmina el libro con los
resultados de la teoría general de ecuaciones y además la resolución gráfica de éstas,
mediante la construcción geométrica de las raíces. Este famoso tratado contiene las
fórmulas, para las sumas de las potencias de las raíces de una ecuación algebraica, fórmulas
conocidas habitualmente como "identidades de Newton". Aparece también un teorema que
permite determinar el número de raíces reales de un polinomio, así como una regla para
determinar una cota superior de las raíces positivas.

Después de la Aritmética Universal de Newton, surgieron una serie de monografías,
especialmente centradas en los procedimientos de resolución numérica de ecuaciones,
elaboradas por Halley, Lagrange, Fourier y Maclaurin entre otros.
En 1768 apareció la "Aritmética Universal" de Euler, dictada por éste cuando ya
estaba ciego. En ella se analizan un sin fin de resultados: se generalizan las reglas de
resolución de problemas aritméticos; se desarrolla el aparato simbólico-literal del álgebra;
se aclaran las operaciones con números, monomios, radicales y complejos; se introducen
los logaritmos; se dan las reglas de extracción de las raíces de números y de expresiones
algebraicas polinomiales; se introducen las serie como medio de expresión de las funciones
racionales fraccionarias y binomiales con exponentes fraccionarios y negativos de una
potencia; se introducen los números poligonales, las proporciones y progresiones, las
fracciones decimales periódicas y se estudian los métodos de resolución de ecuaciones
algebraicas.
Fue también Euler quien se ocupó de una manera definitiva de lo que hoy en día
conocemos como teoría de números. Comenzó estudiando los teoremas de Fermat, para
desarrollar a continuación todos los aspectos de esta teoría, preferentemente utilizando
métodos aritméticos y algebraicos, rehuyendo en la medida de lo posible del análisis
infinitesimal. A él debemos la actual teoría de congruencias, a la que llegó tras extensos
trabajos sobre la divisibilidad y tras introducir el concepto de raíz primitiva según el
módulo m.
No de menor importancia que la teoría de congruencias fueron sus trabajos sobre problemas
de análisis diofántico, para cuyas necesidades elaboró y fundamentó la teoría de las
fracciones continuas. Asimismo elaboró los métodos analíticos para la resolución de
problema de la distribución de números primos, en la serie de los números naturales y
también para una serie de problemas aditivos. El primero de estos problemas fue tratado
también por Legendre y Chebyshev. Para el segundo de los problemas, donde se estudia el

desarrollo de los números grandes en sumandos menores, cabe destacar junto a Euler los
nombres de Waring y Lagrange.
 EDAD CONTEMPORÁNEA:
La teoría de números en el siglo XVIII, se convirtió pues, en una rama
independiente, sintetizada en los trabajos de Euler, Lagrange, Legendre y Lambert entre
otros, definiéndose prácticamente los principales problemas y direcciones.
Teorías de Número Real y Teoría de Conjuntos:
En el año 1872 surgieron una serie de trabajos, escritos por G. Cantor, R. Dedekind, K.
Weierstrass, E. Heine y Ch. Meray cuyo único objetivo era el de dotar de una teoría
rigurosa al número real, problema éste considerado vital para una correcta fundamentación
del análisis.
Así Dedekind definió el número real como una cortadura en el conjunto de los números
racionales, dando al conjunto de los números reales una interpretación geométrica en forma
de línea recta.
Cantor, por su parte, identificó al número real con una sucesión convergente de números
racionales.
La creación de la teoría de conjuntos infinitos y los números transfinitos pertenece también
a G. Cantor. Él demostró la no equivalencia de los conjuntos de números racionales y
reales. Durante los años 1879 a 1884 elaboró de forma sistemática la teoría de conjuntos,
introduciendo el concepto de potencia de un conjunto, el concepto de punto límite, de
conjunto derivado... La teoría general de las potencias de conjuntos, las transformaciones y
operaciones sobre conjuntos y las propiedades de los conjuntos ordenados constituyeron
fundamentalmente la teoría abstracta de conjuntos.
Las cuestiones de fundamentación de la teoría de conjuntos, junto con la investigación de
los límites de su aplicación se convirtieron durante el siglo XX en una ciencia especial, la

"lógica matemática", la cual forma una parte importante de los fundamentos de las
matemáticas modernas.
EL ÁBACO:
El aparato más antiguo mediante el que se pueden hacer operaciones aritméticas es el
ábaco. Ya lo conocían los chinos y los egipcios varios milenios antes de Cristo.
II. REPRESENTANTES DE LA ARITMÉTICA:
NICOMACO DE GERASA:
Este matemático griego publicó en el siglo II su Introducción a la Aritmética y en
ella expuso varias reglas para el buen uso de los números.
Nicómaco de Gerasa en su Introductio Arithmeticae incluye los 4 primeros números
perfectos: 6, 28, 496, 8128.
Nicómaco llegó a descubrir resultados generales de interés como el hecho de que el cubo de
todo número entero n, es la suma de n números impares consecutivos:
13
= 1; 23
= 3+5; 33
= 7+9+11; ...
Es decir, ya en el siglo I encontramos la solución a uno de nuestros problemas:
13
+ 23
+ 33
+ ... + n3
= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 +...= (1+2+3+...+n)2

PITÁGORAS DE SAMOS (582? a.C-497? a.C)
Filósofo griego nacido en Samos y muerto en Metaponto. Es
considerado como uno de los Siete Grandes sabios de Grecia y
su vida estuvo siempre envuelta por la leyenda. Pitágoras viajó
a Egipto y Babilonia, donde asimiló conocimientos tanto
matemáticos como astronómicos, así como un gran bagaje
religioso. Emigró hacia el occidente, fundando en Crotona (al
sur de Italia) una asociación que no tenía el carácter de una
escuela filosófica sino el de una comunidad religiosa.
 APORTES MATEMATICOS
A él se le atribuye la invención de la palabra "filósofo". El mayor éxito científico atribuido
a Pitágoras fue su estudio del sonido, descubriendo que las cuerdas de instrumentos
musicales producían sonidos de tonos más agudos cuando se las acortaba. Gracias a sus
observaciones, el estudio del sonido ha permanecido inalterable hasta nuestros días.
Pitágoras pensaba que todo el universo se apoyaba en los números y sus relaciones,
procediendo a revestir a los números de ciertas propiedades mágicas, lo que llevó de una
manera indirecta a la investigación sobre las propiedades matemáticas de aquellos.

La figura de Pitágoras está envuelta en un halo de leyenda, misticismo y hasta de culto
religioso. Y no es tan extraño si pensamos que fue contemporáneo de Buda, de Confucio y
de Lao-Tse (los fundadores de las principales religiones orientales)
El término "matemática", al igual que el de filosofía, se le debemos a él.
¿Cuáles son las principales aportaciones matemáticas de la escuela pitagórica?...
La primera y quizás la más importante el introducir la necesidad de demostrar las
proposiciones matemáticas de manera inmaterial e intelectual, al margen de su sentido
práctico. Los pitagóricos dividieron el saber científico en cuatro ramas: la aritmética o
ciencia de los números - su lema era "todo es número" -, la geometría, la música y la
astronomía.
X 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 4 6 8 10
3 3 6 9 12 15
4 4 8 12 16 20
5 5 10 15 20 25
La tabla de multiplicar de Pitágoras:
He aquí un ejemplo de una tabla de multiplicar del 1 al 5. Es muy fácil de usar; por
ejemplo, si queremos multiplicar 3 por 4, buscamos el número 3 en la primera línea
de arriba y el 4 en la primera columna de la izquierda, trazamos desde el 3 una línea

hacia abajo y desde el 4 una línea hacia la derecha; en la casilla donde se
encuentran estas dos líneas se halla el valor de la multiplicación, el número 12.
MATEMÁTICOS CHINOS:
Alrededor del siglo I dC. los matemáticos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan
shu ( que significaEl Arte del cálculo), en el que plantearon diversos métodos para
resolver ecuaciones de primero y segundo grado, así como sistemas de dos
ecuaciones con dos incógnitas. Con su ábaco (suan zí) tenían la posibilidad de
representar números positivos y negativos.
DIOFANTO:
 APORTES MATEMATICOS:
En el siglo III el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en la
cual, por primera vez en la historia de las matemáticas griegas, se trataron de una forma
rigurosa no sólo las ecuaciones de primer grado, sino también las de segundo. Introdujo un
simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita con un signo que es la
primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa número. Los problemas de
álgebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos más tarde sería "la teoría de
ecuaciones". A pesar de lo rudimentario de su notación simbólica y de lo poco elegantes
que eran los métodos que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores del
álgebra moderna.
La Aritmética constaba de 13 libros de los cuales sólo seis sobrevivieron a la destrucción
de la gran biblioteca de Alejandría, primero por los cristianos y luego por los musulmanes.
En él Diofanto propone más de cien problemas numéricos y da brillantes soluciones a todos
ellos.
Los números usados para contar son los naturales o enteros positivos. Se obtienen al añadir
1 al número anterior en una serie sin fin. Las distintas civilizaciones han desarrollado a lo

largo de la historia diversos tipos de sistemas numéricos. Uno de los más comunes es el
usado en las culturas modernas, donde los objetos se cuentan en grupos de 10. Se le
denomina sistema en base 10 o decimal.
En el sistema en base 10, los enteros se representan mediante cifras cada una de las cuales
representa potencias de 10. Tomemos el número 1.534 como ejemplo. Cada cifra de este
número tiene su propio valor según el lugar que ocupa; estos valores son potencias de 10
crecientes hacia la izquierda. El valor de la primera cifra es en unidades (aquí 4 × 1); el de
la segunda es 10 (aquí 3 × 10, o 30); el valor del tercer lugar es 10 × 10, o 100 (aquí 5 ×
100, o 500), y el valor del cuarto lugar es 10 × 10 × 10, o 1.000 (aquí 1 × 1.000, o 1.000).
LIBRO DE ARITMÉTICA PUBLICADO POR DIOFANTO
ARQUIMIDES DE SIRACUSA (287-212a.C.) :
Arquímedes era un nativo de Siracusa, Sicilia. Se le
considera el sabio más grande de la antigüedad, dedicó su

genio a la aritmética, geometría, mecánica, física e Ingeniería. Su padre, Fidias,
posiblemente astrónomo, parece que influyó en su vocación y formación. Estudió en la
famosa escuela de Alejandría, posiblemente fuera alumno de Euclides, y regresó a su
ciudad natal donde dedicó su vida a la investigación. Murió asesinado por una soldado
romano.
En Aritmética son, fundamentalmente dos los escritos más interesantes:
El Arenario en el que expone un método para escribir números muy largos dando a cada
cifra un orden diferente según su posición.
De la medida del Círculo una de sus obras fundamentales, donde demuestra que la razón
entre la circunferencia y el diámetro está comprendida entra 3 10/7 y 3 1/7; dicha relación
es conocida en la actualidad por . Demuestra además la equivalencia entre el área del
círculo y un triángulo rectángulo cuyos catetos son el radio y el perímetro (longitud) de la
circunferencia.
PEANO:
Matemático y lógico italiano que ideó un sistema axiomático del que deriva toda la
aritmética de los números naturales.
LUCA PACIOLI:
Nació en Italia en 1445, años 32 años de edad ingresó a la orden franciscana y se dedicó a
peregrinar como maestro ambulante de matemáticas. En 1494 apareció su " Summa de
Aritmética. ”
GIROLAMO CARDANO:
Figura del Renacimiento, fue astrólogo, médico , escritor, científico y por supuesto,
matemático. Su mayor aportación a esta ciencia está contenida en su obra “Ars Magna” en
la que Cardano aceptó formalmente el concepto de números negativos y enunció las leyes
que los rigen.

GEORG CANTOR ( 1845 – 1918 )
Uno de los genios más brillantes de la historia, nació en Rusia el año 1845, pero toda su
transformación matemática se las debe a las universidades de Alemania, hacia donde sus
padres se trasladaron cuando el era niño. Fue Físico alemán y catedrático de matemáticas
en la Universidad de Halle, donde murió en una clínica psiquiátrica, en enero de 1918 creó
una aritmética de los números infinitos y su célebre teoría de conjuntos.
Fue creador de una nueva concepción matemática: la “TEORÍA DE LOS CONJUNTOS”.
Cuando Cantor tenía 30 años, anunció su nueva teoría matemática; y, como sucede
generalmente con las nuevas ideas, su descubrimiento no sólo fue rechazado sino hasta
ridiculizado, sobre todo, el difícil problema matemático concerniente al estudio de las
cantidades infinitas.
“El carácter moderado de Cantor le impidió polemizar en apoyo de su teoría. La aposición
llegó a ser tan fuerte que la Universidad de Berlín rechazó su contrato. Sin embargo, Cantor
vivió para ver que los matemáticos de todo el mundo reconocían su trabajo”. El adelanto de
la matemática de este siglo radica en los fundamentos de esta nueva teoría, que constituye
el comienzo de la matemática moderna.
BLAISE PASCAL:
Unió junto a una gran preocupación por la filosofía, una fructífera investigación en el
campo de la matemática, en 1642 construyó una fantástica máquina de sumar y restar.
LUCA PACIOLI:
Estudioso de las matemáticas, nació en Italia en 1445. A los 32 años de edad ingresó en la
orden franciscana y se dedicó a peregrinar como maestro ambulante de matemáticas. En
1494 apareció su “Summa de Aritmética.
KARL FRIDRICH GAUSS ( 1777 – 1851 )

Es realmente difícil sintetizar el significado fecundo que
Gauus ha tenido en el desarrollo de la Matemática, porque
como alguien afirmara, sería necesario un libro muy
voluminoso para describir todas las contribución de este
genio de la Matemática pura y aplicada, porque cuanto tema
abordó resultó siempre superado, enriquecido y
sistematizado.
Este matemático y astrónomo alemán nació en Brunswik, el 30 de abril de 1777; ya a los
dos años asombraba por su extraordinaria inteligencia y a los 10 años, cuando recién
terminaba su profesor de proponer a la clase el problema para hallar la suma de los 100
primeros términos de la progresión aritmética 81297, 81495, 81693, ..., 100899, ya Gauss
había escrito el resultado; en ese instante se abrió la puerta a través de la cual pasó a la
inmortalidad: había nacido un genio.
Su primer contacto con el teorema del binomio lo orientó hacia el Análisis Matemático y él
rigor que en el impuso se proyectó todo sobre esta disciplina. Ya a los 18 años había
inventado el método de los “mínimos cuadrados” y en el terreno de la estadística formuló la
llamada “Ley de Gauss”; a los 22 años había descubierto la doble periodicidad de ciertas
funciones elípticas.
A los 24 años publicó su primera obra maestra “Las disquisiciones arithmeticae”, en la que
trata de la Teoría de la congruencia, la Teoría de los restos cuadráticos, la Teoría de las
formas cuadráticas binarias desde el punto de vista Aritmética, y otras.
Laplace consideró a Gauss como “el matemático más grande del mundo”, razón de más
para comprender por qué lleva su nombre la unidad de densidad de flujo magnético, por
qué se le llama “el príncipe de la Matemática” a este genio preclaro de los números, que
elevó la Aritmética superior a la categoría de reina de la Matemática.

III. TEMAS DE LA ARITMÉTICA:
La aritmética se ocupa del modo en que los números se pueden combinar mediante adición,
sustracción, multiplicación y división. Aquí la palabra “número” se refiere también a los
números negativos, irracionales, algebraicos y fracciones. Las propiedades aritméticas de la
suma y la multiplicación y la propiedad distributiva son las mismas que las del álgebra.
 Adición
La operación aritmética de la adición (suma) se indica con el signo más (+) y es una manera
de contar utilizando incrementos mayores que 1. Por ejemplo, cuatro manzanas y cinco
manzanas se pueden sumar poniéndolas juntas y contándolas a continuación de una en una
hasta llegar a 9. La adición, sin embargo, hace posible calcular sumas más fácilmente. Las
sumas más sencillas deben aprenderse de memoria. En aritmética, es posible sumar largas
listas de números con más de una cifra si se aplican ciertas reglas que simplifican bastante
la operación.
 Sustracción
La operación aritmética de la sustracción (resta) se indica con el signo menos (-) y es la
operación opuesta, o inversa, de la adición. De nuevo, se podría restar 23 de 66 contando al
revés 23 veces empezando por 66 o eliminando 23 objetos de una colección de 66, hasta
encontrar el resto, 43. Sin embargo, las reglas de la aritmética para la sustracción nos
ofrecen un método más sencillo para encontrar la solución.
 Multiplicación
La operación aritmética de la multiplicación se indica con el signo por (×). Algunas veces
se utiliza un punto para indicar la multiplicación de dos o más números, y otras se utilizan
paréntesis. Por ejemplo, 3 × 4, 3 · 4 y (3)(4) representan todos el producto de 3 por 4. La
multiplicación es simplemente una suma repetida. La expresión 3 × 4 significa que 3 se ha
de sumar consigo mismo 4 veces, o también que 4 se ha de sumar consigo mismo 3 veces.
En ambos casos, la respuesta es la misma. Pero cuando se multiplican números con varias

cifras estas sumas repetidas pueden ser bastante tediosas; sin embargo, la aritmética tiene
procedimientos para simplificar estas operaciones.
 División
La operación aritmética de la división es la operación recíproca o inversa de la
multiplicación. Usando como ejemplo 12 dividido entre 4, la división se indica con el signo
de dividir (12:4), una línea horizontal () o una raya inclinada (12/4).
La división es la operación aritmética usada para determinar el número de veces que un
número dado contiene a otro. Por ejemplo, 12 contiene a 4 tres veces; por eso 12 dividido
entre 4 es 3.
La mayor parte de las divisiones se pueden calcular a simple vista, pero en muchos casos es
más complicado y se necesita un procedimiento conocido como división larga.
Teorema fundamental de la aritmética
"Todo entero mayor que 1 y que no sea un número primo es igual al producto de un y sólo
un conjunto de números primos". Este teorema fue demostrado por primera vez por el
matemático alemán Carl Friedrich Gauss. Dado un cierto número, por ejemplo 14, el
teorema dice que se puede escribir de manera única como el producto de sus factores
primos, en este caso 14 = 2 · 7. De la misma manera, 50 = 2 · 5 · 5 = 2 · 52. El menor
múltiplo y el mayor divisor común a varios números se pueden calcular utilizando sus
descomposiciones en factores primos.
IV. COMENTARIOS:
La aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones
matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo
rectángulo el área del cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma
de las áreas de los cuadrados de lado los catetos. La aritmética sólo da
casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 72).

El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones
del teorema: a2 + b2 = c2. Un número multiplicado por sí mismo se denomina
cuadrado, y se representa con el superíndice 2. Por ejemplo, la notación de 3 × 3 es
32; de la misma manera, a × a es igual que a2.

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