El documento explica conceptos relacionados con las proporciones directas e inversas. Define qué son las proporciones y el teorema fundamental de las proporciones. Luego, presenta ejemplos de cómo aplicar estas nociones para resolver problemas que involucran proporcionalidad directa e inversa. Finalmente, explica cómo modelar matemáticamente situaciones de proporcionalidad directa usando una expresión algebraica donde el cociente entre las variables es constante.
Building Robust Production Data Pipelines with Databricks DeltaDatabricks
"Most data practitioners grapple with data quality issues and data pipeline complexities—it's the bane of their existence. Data engineers, in particular, strive to design and deploy robust data pipelines that serve reliable data in a performant manner so that their organizations can make the most of their valuable corporate data assets.
Databricks Delta, part of Databricks Runtime, is a next-generation unified analytics engine built on top of Apache Spark. Built on open standards, Delta employs co-designed compute and storage and is compatible with Spark API’s. It powers high data reliability and query performance to support big data use cases, from batch and streaming ingests, fast interactive queries to machine learning. In this tutorial we will discuss the requirements of modern data pipelines, the challenges data engineers face when it comes to data reliability and performance and how Delta can help. Through presentation, code examples and notebooks, we will explain pipeline challenges and the use of Delta to address them. You will walk away with an understanding of how you can apply this innovation to your data architecture and the benefits you can gain.
This tutorial will be both instructor-led and hands-on interactive session. Instructions in how to get tutorial materials will be covered in class. WHAT
YOU’LL LEARN:
– Understand the key data reliability and performance data pipelines challenges
– How Databricks Delta helps build robust pipelines at scale
– Understand how Delta fits within an Apache Spark™ environment – How to use Delta to realize data reliability improvements
– How to deliver performance gains using Delta
PREREQUISITES:
– A fully-charged laptop (8-16GB memory) with Chrome or Firefox
– Pre-register for Databricks Community Edition"
Speakers: Steven Yu, Burak Yavuz
Gateways to Power BI, Connect PowerBI.com to your On-Prem DataJean-Pierre Riehl
--session donnée lors du SQLSaturday Madrid 2016--
PowerBI.com is a cloud-based BI platform, enabling from personal to corporate BI. But often, your data lives on-premises, on your desktop, on a shared folder or in your enterprise datawarehouse. Microsoft team built gateways to deal with that.
In this session, we will see how to connect, lively or scheduled, your dahsboards to your on-prem data. You'll learn about Personal Gateway and Enterprise Gateway. How does it work. How to configure it. How to maintain it.
In addition to running databases in Amazon EC2, AWS customers can choose among a variety of managed database services. These services save effort, save time, and unlock new capabilities and economies. In this session, we make it easy to understand how they differ, what they have in common, and how to choose one or more. We explain the fundamentals of Amazon DynamoDB, a fully managed NoSQL database service; Amazon RDS, a relational database service in the cloud; Amazon ElastiCache, a fast, in-memory caching service in the cloud; and Amazon Redshift, a fully managed, petabyte-scale data-warehouse solution that can be surprisingly economical. We’ll cover how each service might help support your application, how much each service costs, and how to get started.
Speaker:
Shaun Pearce, AWS Solutions Architect
Modern Data Warehousing with the Microsoft Analytics Platform SystemJames Serra
The Microsoft Analytics Platform System (APS) is a turnkey appliance that provides a modern data warehouse with the ability to handle both relational and non-relational data. It uses a massively parallel processing (MPP) architecture with multiple CPUs running queries in parallel. The APS includes an integrated Hadoop distribution called HDInsight that allows users to query Hadoop data using T-SQL with PolyBase. This provides a single query interface and allows users to leverage existing SQL skills. The APS appliance is pre-configured with software and hardware optimized to deliver high performance at scale for data warehousing workloads.
Data Modeling Best Practices - Business & Technical ApproachesDATAVERSITY
Data Modeling is hotter than ever, according to a number of recent surveys. Part of the appeal of data models lies in their ability to translate complex data concepts in an intuitive, visual way to both business and technical stakeholders. This webinar provides real-world best practices in using Data Modeling for both business and technical teams.
The document discusses Oracle Database Lifecycle Management from provisioning to compliance. It covers topics like automated discovery and initial provisioning of databases, patching and change management, configuration and compliance management. It provides examples of how Oracle Enterprise Manager 12c helps tackle challenges in areas like database provisioning, patching, compliance tracking, change management through capabilities like automated discovery, database cloning, profile-based provisioning, rolling patches, out-of-place patching, schema and data comparison tools, and configuration tracking. Case studies are presented on how large customers were able to improve productivity, reduce costs and risks by using Oracle Enterprise Manager for database lifecycle management.
Introduction to Google BigQuery. Slides used at the first GDG Cloud meetup in Brussels, about big data on Google Cloud Platform. (http://www.meetup.com/GDG-Cloud-Belgium/events/228206131)
What is BI Testing and The Importance of BI Report TestingTorana, Inc.
Business intelligence (BI) report testing helps validate the accuracy of BI reports, dashboards, and the underlying data and metadata. It is important because inaccurate reports can mislead business decisions, damage credibility, and potentially cause legal issues. BI reports are the output of a long data pipeline, so defects may occur anywhere from raw data collection to report generation. Effective BI testing requires evaluating the data processing, storage, reports, and dashboards to catch errors throughout the entire reporting system. Automated testing tools can programmatically compare reports and data across systems and over time to help users efficiently test BI outputs.
Building Robust Production Data Pipelines with Databricks DeltaDatabricks
"Most data practitioners grapple with data quality issues and data pipeline complexities—it's the bane of their existence. Data engineers, in particular, strive to design and deploy robust data pipelines that serve reliable data in a performant manner so that their organizations can make the most of their valuable corporate data assets.
Databricks Delta, part of Databricks Runtime, is a next-generation unified analytics engine built on top of Apache Spark. Built on open standards, Delta employs co-designed compute and storage and is compatible with Spark API’s. It powers high data reliability and query performance to support big data use cases, from batch and streaming ingests, fast interactive queries to machine learning. In this tutorial we will discuss the requirements of modern data pipelines, the challenges data engineers face when it comes to data reliability and performance and how Delta can help. Through presentation, code examples and notebooks, we will explain pipeline challenges and the use of Delta to address them. You will walk away with an understanding of how you can apply this innovation to your data architecture and the benefits you can gain.
This tutorial will be both instructor-led and hands-on interactive session. Instructions in how to get tutorial materials will be covered in class. WHAT
YOU’LL LEARN:
– Understand the key data reliability and performance data pipelines challenges
– How Databricks Delta helps build robust pipelines at scale
– Understand how Delta fits within an Apache Spark™ environment – How to use Delta to realize data reliability improvements
– How to deliver performance gains using Delta
PREREQUISITES:
– A fully-charged laptop (8-16GB memory) with Chrome or Firefox
– Pre-register for Databricks Community Edition"
Speakers: Steven Yu, Burak Yavuz
Gateways to Power BI, Connect PowerBI.com to your On-Prem DataJean-Pierre Riehl
--session donnée lors du SQLSaturday Madrid 2016--
PowerBI.com is a cloud-based BI platform, enabling from personal to corporate BI. But often, your data lives on-premises, on your desktop, on a shared folder or in your enterprise datawarehouse. Microsoft team built gateways to deal with that.
In this session, we will see how to connect, lively or scheduled, your dahsboards to your on-prem data. You'll learn about Personal Gateway and Enterprise Gateway. How does it work. How to configure it. How to maintain it.
In addition to running databases in Amazon EC2, AWS customers can choose among a variety of managed database services. These services save effort, save time, and unlock new capabilities and economies. In this session, we make it easy to understand how they differ, what they have in common, and how to choose one or more. We explain the fundamentals of Amazon DynamoDB, a fully managed NoSQL database service; Amazon RDS, a relational database service in the cloud; Amazon ElastiCache, a fast, in-memory caching service in the cloud; and Amazon Redshift, a fully managed, petabyte-scale data-warehouse solution that can be surprisingly economical. We’ll cover how each service might help support your application, how much each service costs, and how to get started.
Speaker:
Shaun Pearce, AWS Solutions Architect
Modern Data Warehousing with the Microsoft Analytics Platform SystemJames Serra
The Microsoft Analytics Platform System (APS) is a turnkey appliance that provides a modern data warehouse with the ability to handle both relational and non-relational data. It uses a massively parallel processing (MPP) architecture with multiple CPUs running queries in parallel. The APS includes an integrated Hadoop distribution called HDInsight that allows users to query Hadoop data using T-SQL with PolyBase. This provides a single query interface and allows users to leverage existing SQL skills. The APS appliance is pre-configured with software and hardware optimized to deliver high performance at scale for data warehousing workloads.
Data Modeling Best Practices - Business & Technical ApproachesDATAVERSITY
Data Modeling is hotter than ever, according to a number of recent surveys. Part of the appeal of data models lies in their ability to translate complex data concepts in an intuitive, visual way to both business and technical stakeholders. This webinar provides real-world best practices in using Data Modeling for both business and technical teams.
The document discusses Oracle Database Lifecycle Management from provisioning to compliance. It covers topics like automated discovery and initial provisioning of databases, patching and change management, configuration and compliance management. It provides examples of how Oracle Enterprise Manager 12c helps tackle challenges in areas like database provisioning, patching, compliance tracking, change management through capabilities like automated discovery, database cloning, profile-based provisioning, rolling patches, out-of-place patching, schema and data comparison tools, and configuration tracking. Case studies are presented on how large customers were able to improve productivity, reduce costs and risks by using Oracle Enterprise Manager for database lifecycle management.
Introduction to Google BigQuery. Slides used at the first GDG Cloud meetup in Brussels, about big data on Google Cloud Platform. (http://www.meetup.com/GDG-Cloud-Belgium/events/228206131)
What is BI Testing and The Importance of BI Report TestingTorana, Inc.
Business intelligence (BI) report testing helps validate the accuracy of BI reports, dashboards, and the underlying data and metadata. It is important because inaccurate reports can mislead business decisions, damage credibility, and potentially cause legal issues. BI reports are the output of a long data pipeline, so defects may occur anywhere from raw data collection to report generation. Effective BI testing requires evaluating the data processing, storage, reports, and dashboards to catch errors throughout the entire reporting system. Automated testing tools can programmatically compare reports and data across systems and over time to help users efficiently test BI outputs.
This document discusses how CQRS (Command Query Responsibility Segregation) can be combined with the Actor Model and Akka.NET to build distributed, reactive applications. It provides background on CQRS and the Actor Model, and explains how actors can be used to implement CQRS handlers. Key elements of CQRS like separate command and query paths and message-based communication are still present. The document also discusses how to structure the application into services that encapsulate CQRS handlers for scalability. It concludes that CQRS is still relevant when applied to reactive systems using frameworks like Akka.NET that support the Actor Model.
Getting Denormalized Data from SAP in less than 15 minute intervals using NiFi, then automating the process so NiFi builds the flow for you using a database crawler, data type inference engine and api calls to build the NiFi flows.
This presentation is for those of you who are interested in moving your on-prem SQL Server databases and servers to Azure virtual machines (VM’s) in the cloud so you can take advantage of all the benefits of being in the cloud. This is commonly referred to as a “lift and shift” as part of an Infrastructure-as-a-service (IaaS) solution. I will discuss the various Azure VM sizes and options, migration strategies, storage options, high availability (HA) and disaster recovery (DR) solutions, and best practices.
Citus provides Horizontally scaling of PostgreSQL database providing distributed and parallel query execution. This slide deck provides overview of distributed query execution in Citus.
This presentation examines the main building blocks for building a big data pipeline in the enterprise. The content uses inspiration from some of the top big data pipelines in the world like the ones built by Netflix, Linkedin, Spotify or Goldman Sachs
Databricks CEO Ali Ghodsi introduces Databricks Delta, a new data management system that combines the scale and cost-efficiency of a data lake, the performance and reliability of a data warehouse, and the low latency of streaming.
Migrating your traditional Data Warehouse to a Modern Data LakeAmazon Web Services
In this session, we discuss the latest features of Amazon Redshift and Redshift Spectrum, and take a deep dive into its architecture and inner workings. We share many of the recent availability, performance, and management enhancements and how they improve your end user experience. You also hear from 21st Century Fox, who presents a case study of their fast migration from an on-premises data warehouse to Amazon Redshift. Learn how they are expanding their data warehouse to a data lake that encompasses multiple data sources and data formats. This architecture helps them tie together siloed business units and get actionable 360-degree insights across their consumer base.
The document compares OPC UA and DDS, two key protocols for industrial IoT. OPC UA is object-oriented and client-server, targeting simpler systems with device interchangeability needs. DDS is data-centric and peer-to-peer, more suitable for systems with primary software integration challenges. Both communities are working to ensure their technologies can work together, preserving investments as architectures evolve.
Best Practices for Migrating your Data Warehouse to Amazon RedshiftAmazon Web Services
You can gain substantially more business insights and save costs by migrating your existing data warehouse to Amazon Redshift. This session will cover the key benefits of migrating to Amazon Redshift, migration strategies, and tools and resources that can help you in the process.
Should I move my database to the cloud?James Serra
So you have been running on-prem SQL Server for a while now. Maybe you have taken the step to move it from bare metal to a VM, and have seen some nice benefits. Ready to see a TON more benefits? If you said “YES!”, then this is the session for you as I will go over the many benefits gained by moving your on-prem SQL Server to an Azure VM (IaaS). Then I will really blow your mind by showing you even more benefits by moving to Azure SQL Database (PaaS/DBaaS). And for those of you with a large data warehouse, I also got you covered with Azure SQL Data Warehouse. Along the way I will talk about the many hybrid approaches so you can take a gradual approve to moving to the cloud. If you are interested in cost savings, additional features, ease of use, quick scaling, improved reliability and ending the days of upgrading hardware, this is the session for you!
Build a Real-time Streaming Data Visualization System with Amazon Kinesis Ana...Amazon Web Services
Amazon Kinesis Analytics allows users to analyze streaming data using standard SQL queries. It connects to streaming data sources like Kinesis Streams or Kinesis Firehose and allows users to write SQL code to process the data in real-time. The processed data can then be delivered to multiple destinations like S3, Redshift, or additional streams. Common uses of Kinesis Analytics include generating time series analytics, creating real-time alarms and notifications, and feeding real-time dashboards. An example was provided of a real-time dashboard that aggregates streaming user data into counts by OS, quadrant, etc and outputs the results to DynamoDB every second for display on a dashboard.
Session découverte de la Logical Data Fabric soutenue par la Data VirtualizationDenodo
Watch full webinar here: https://bit.ly/3yp4Caz
Denodo vous propose une session virtuelle pour découvrir la Logical Data Fabric soutenue par la Data Virtualization. Quel que soit votre rôle, responsable IT, architecte, data scientist, analyste ou CDO, vous découvrirez comment Denodo Platform, la plateforme leader en data intégration, data management et livraison de données en temps réel permet d'accéder à tout type de source de données pour en tirer de la valeur.
The document discusses NoSQL databases, including what NoSQL is, various data models like key-value, document, column-family and graph databases. It describes types of NoSQL databases and examples. Reasons for using NoSQL databases are provided, such as their ability to handle schema migrations easily, support multiple data formats, avoid impedance mismatch and automatically shard data across servers.
Simplifying Real-Time Architectures for IoT with Apache KuduCloudera, Inc.
3 Things to Learn About:
*Building scalable real time architectures for managing data from IoT
*Processing data in real time with components such as Kudu & Spark
*Customer case studies highlighting real-time IoT use cases
My Talk at GCPUG-Taiwan on 2015/5/8.
You use BigQuery with SQL, but the internal work of BigQuery is very different from traditional Relational Database systems you may familiar with.
One of the way to understand how BigQuery works is to see it from the cost you pay for BigQuery. Knowing how to save money while using BigQuery is to know how BigQuery works to some extent.
In this session, let’s talk about practical knowledge (saving money) and exciting technology (how BigQuery works)!
Denodo Data Virtualization Platform: Overview (session 1 from Architect to Ar...Denodo
This is the first in a series of five webinars that look 'under the covers' of Denodo's industry leading Data Virtualization Platform. The webinar will provide an overview of the architecture and key modules of the Denodo Platform - subsequent webinars in the series will take a deeper look at some of the key modules and capabilities of the platform, including performance, scalability, security, and so on.
More information and FREE registrations to this webinar: http://goo.gl/fLi2bC
To learn more click to this link: http://go.denodo.com/a2a
Join the conversation at #Architect2Architect
Agenda:
The Denodo Platform
Platform Architecture
Key Modules
Connectors
Data Services and APIs
PaaSport to Paradise - Azure SQL and SSIS in Azure Data Factory - Better Toge...Sandy Winarko
Learn about enablers/features that can unblock and accelerate legacy SSIS migrations into ADF with no/minimal changes to existing packages and tools, e.g. Azure-enabled SSDT and SSMS, Package Deployment Model support, SSIS Integration Runtime (IR) package store, dtutil command prompt utility, Azure SQL Managed Instance (MI) Agent, SSIS scheduling feature and SSIS Job Migration Wizard on SSMS, Azure-enabled DTExec (AzureDTExec) command prompt utility, Virtual Network (VNet) injection of SSIS IR, Self-Hosted IR (SHIR) as a proxy for SSIS IR via ConnectByProxy property, Windows authentication feature, Azure Key Vault (AKV) integration, Azure Active Directory (AAD) authentication with ADF managed identity via ConnectUsingManagedIdentity property and OLEDB driver for SQL Server (MSOLEDBSQL), Azure Monitor integration, etc.
1) El documento presenta tablas de equivalencias de unidades de longitud, peso, tiempo, área, volumen, monedas y divisas.
2) Incluye ejercicios relacionados con la transformación de unidades en estos diferentes contextos.
3) Los ejercicios involucran cálculos para transformar entre kilómetros, metros, pulgadas, libras, gramos, litros, dólares, pesos, etc.
El documento proporciona información sobre las razones y proporciones. Explica que una razón es la comparación de dos cantidades mediante una división. Luego presenta varios ejemplos numéricos de cálculos de razones entre cantidades dadas y establece cuáles forman proporciones. Finalmente, incluye una serie de ejercicios de problemas relacionados con razones y proporciones.
This document discusses how CQRS (Command Query Responsibility Segregation) can be combined with the Actor Model and Akka.NET to build distributed, reactive applications. It provides background on CQRS and the Actor Model, and explains how actors can be used to implement CQRS handlers. Key elements of CQRS like separate command and query paths and message-based communication are still present. The document also discusses how to structure the application into services that encapsulate CQRS handlers for scalability. It concludes that CQRS is still relevant when applied to reactive systems using frameworks like Akka.NET that support the Actor Model.
Getting Denormalized Data from SAP in less than 15 minute intervals using NiFi, then automating the process so NiFi builds the flow for you using a database crawler, data type inference engine and api calls to build the NiFi flows.
This presentation is for those of you who are interested in moving your on-prem SQL Server databases and servers to Azure virtual machines (VM’s) in the cloud so you can take advantage of all the benefits of being in the cloud. This is commonly referred to as a “lift and shift” as part of an Infrastructure-as-a-service (IaaS) solution. I will discuss the various Azure VM sizes and options, migration strategies, storage options, high availability (HA) and disaster recovery (DR) solutions, and best practices.
Citus provides Horizontally scaling of PostgreSQL database providing distributed and parallel query execution. This slide deck provides overview of distributed query execution in Citus.
This presentation examines the main building blocks for building a big data pipeline in the enterprise. The content uses inspiration from some of the top big data pipelines in the world like the ones built by Netflix, Linkedin, Spotify or Goldman Sachs
Databricks CEO Ali Ghodsi introduces Databricks Delta, a new data management system that combines the scale and cost-efficiency of a data lake, the performance and reliability of a data warehouse, and the low latency of streaming.
Migrating your traditional Data Warehouse to a Modern Data LakeAmazon Web Services
In this session, we discuss the latest features of Amazon Redshift and Redshift Spectrum, and take a deep dive into its architecture and inner workings. We share many of the recent availability, performance, and management enhancements and how they improve your end user experience. You also hear from 21st Century Fox, who presents a case study of their fast migration from an on-premises data warehouse to Amazon Redshift. Learn how they are expanding their data warehouse to a data lake that encompasses multiple data sources and data formats. This architecture helps them tie together siloed business units and get actionable 360-degree insights across their consumer base.
The document compares OPC UA and DDS, two key protocols for industrial IoT. OPC UA is object-oriented and client-server, targeting simpler systems with device interchangeability needs. DDS is data-centric and peer-to-peer, more suitable for systems with primary software integration challenges. Both communities are working to ensure their technologies can work together, preserving investments as architectures evolve.
Best Practices for Migrating your Data Warehouse to Amazon RedshiftAmazon Web Services
You can gain substantially more business insights and save costs by migrating your existing data warehouse to Amazon Redshift. This session will cover the key benefits of migrating to Amazon Redshift, migration strategies, and tools and resources that can help you in the process.
Should I move my database to the cloud?James Serra
So you have been running on-prem SQL Server for a while now. Maybe you have taken the step to move it from bare metal to a VM, and have seen some nice benefits. Ready to see a TON more benefits? If you said “YES!”, then this is the session for you as I will go over the many benefits gained by moving your on-prem SQL Server to an Azure VM (IaaS). Then I will really blow your mind by showing you even more benefits by moving to Azure SQL Database (PaaS/DBaaS). And for those of you with a large data warehouse, I also got you covered with Azure SQL Data Warehouse. Along the way I will talk about the many hybrid approaches so you can take a gradual approve to moving to the cloud. If you are interested in cost savings, additional features, ease of use, quick scaling, improved reliability and ending the days of upgrading hardware, this is the session for you!
Build a Real-time Streaming Data Visualization System with Amazon Kinesis Ana...Amazon Web Services
Amazon Kinesis Analytics allows users to analyze streaming data using standard SQL queries. It connects to streaming data sources like Kinesis Streams or Kinesis Firehose and allows users to write SQL code to process the data in real-time. The processed data can then be delivered to multiple destinations like S3, Redshift, or additional streams. Common uses of Kinesis Analytics include generating time series analytics, creating real-time alarms and notifications, and feeding real-time dashboards. An example was provided of a real-time dashboard that aggregates streaming user data into counts by OS, quadrant, etc and outputs the results to DynamoDB every second for display on a dashboard.
Session découverte de la Logical Data Fabric soutenue par la Data VirtualizationDenodo
Watch full webinar here: https://bit.ly/3yp4Caz
Denodo vous propose une session virtuelle pour découvrir la Logical Data Fabric soutenue par la Data Virtualization. Quel que soit votre rôle, responsable IT, architecte, data scientist, analyste ou CDO, vous découvrirez comment Denodo Platform, la plateforme leader en data intégration, data management et livraison de données en temps réel permet d'accéder à tout type de source de données pour en tirer de la valeur.
The document discusses NoSQL databases, including what NoSQL is, various data models like key-value, document, column-family and graph databases. It describes types of NoSQL databases and examples. Reasons for using NoSQL databases are provided, such as their ability to handle schema migrations easily, support multiple data formats, avoid impedance mismatch and automatically shard data across servers.
Simplifying Real-Time Architectures for IoT with Apache KuduCloudera, Inc.
3 Things to Learn About:
*Building scalable real time architectures for managing data from IoT
*Processing data in real time with components such as Kudu & Spark
*Customer case studies highlighting real-time IoT use cases
My Talk at GCPUG-Taiwan on 2015/5/8.
You use BigQuery with SQL, but the internal work of BigQuery is very different from traditional Relational Database systems you may familiar with.
One of the way to understand how BigQuery works is to see it from the cost you pay for BigQuery. Knowing how to save money while using BigQuery is to know how BigQuery works to some extent.
In this session, let’s talk about practical knowledge (saving money) and exciting technology (how BigQuery works)!
Denodo Data Virtualization Platform: Overview (session 1 from Architect to Ar...Denodo
This is the first in a series of five webinars that look 'under the covers' of Denodo's industry leading Data Virtualization Platform. The webinar will provide an overview of the architecture and key modules of the Denodo Platform - subsequent webinars in the series will take a deeper look at some of the key modules and capabilities of the platform, including performance, scalability, security, and so on.
More information and FREE registrations to this webinar: http://goo.gl/fLi2bC
To learn more click to this link: http://go.denodo.com/a2a
Join the conversation at #Architect2Architect
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The Denodo Platform
Platform Architecture
Key Modules
Connectors
Data Services and APIs
PaaSport to Paradise - Azure SQL and SSIS in Azure Data Factory - Better Toge...Sandy Winarko
Learn about enablers/features that can unblock and accelerate legacy SSIS migrations into ADF with no/minimal changes to existing packages and tools, e.g. Azure-enabled SSDT and SSMS, Package Deployment Model support, SSIS Integration Runtime (IR) package store, dtutil command prompt utility, Azure SQL Managed Instance (MI) Agent, SSIS scheduling feature and SSIS Job Migration Wizard on SSMS, Azure-enabled DTExec (AzureDTExec) command prompt utility, Virtual Network (VNet) injection of SSIS IR, Self-Hosted IR (SHIR) as a proxy for SSIS IR via ConnectByProxy property, Windows authentication feature, Azure Key Vault (AKV) integration, Azure Active Directory (AAD) authentication with ADF managed identity via ConnectUsingManagedIdentity property and OLEDB driver for SQL Server (MSOLEDBSQL), Azure Monitor integration, etc.
1) El documento presenta tablas de equivalencias de unidades de longitud, peso, tiempo, área, volumen, monedas y divisas.
2) Incluye ejercicios relacionados con la transformación de unidades en estos diferentes contextos.
3) Los ejercicios involucran cálculos para transformar entre kilómetros, metros, pulgadas, libras, gramos, litros, dólares, pesos, etc.
El documento proporciona información sobre las razones y proporciones. Explica que una razón es la comparación de dos cantidades mediante una división. Luego presenta varios ejemplos numéricos de cálculos de razones entre cantidades dadas y establece cuáles forman proporciones. Finalmente, incluye una serie de ejercicios de problemas relacionados con razones y proporciones.
Este documento presenta una guía para el aprendizaje sobre proporcionalidad compuesta, incluyendo un objetivo, una explicación del tema con un ejemplo numérico, y 44 ejercicios de práctica. La guía proporciona instrucciones paso a paso para resolver problemas que involucran tres o más magnitudes en relación proporcional.
El documento contiene una lista de intercambios entre dos entidades, Duoc UC y Santillana, repitiéndose en pares la secuencia Duoc UC - Santillana y Santillana - Duoc UC en varias líneas numeradas.
El documento lista repetidamente la secuencia "Duoc UC - Santillana" y "Santillana - Duoc UC", alternándolas en grupos de 4 o más líneas. Parece ser una lista o solucionario de ejercicios que contiene esta información de forma repetida.
El documento contiene una lista de intercambios entre Duoc UC y Santillana, incluyendo números de página y títulos breves como "Datos útiles" y "Solucionario Sesión de ejercicios No4".
El documento contiene una lista de intercambios entre Duoc UC y Santillana, alternando entre ambas entidades, que parecen ser parte de un solucionario de ejercicios.
Este documento presenta una guía de ejercicios sobre números decimales y ecuaciones de primer grado. Incluye ejercicios para completar tablas con partes enteras y decimales de números, realizar operaciones con decimales, transformar decimales a fracciones y viceversa, y resolver ecuaciones de primer grado. También contiene problemas de aplicación y bibliografía relacionada.
Este documento contiene una lista de números y nombres de instituciones que parecen ser registros de intercambios entre dos universidades, Duoc UC y Santillana.
Diplomado en ti cs educación curso ddt4011. clase 1 y 2 presencial + act. no ...Freddy Nicolás Meza Román
El documento habla sobre el uso de la tecnología en el proceso educativo. Explica que se aprenderá sobre la evolución de la web, el ambiente digital para el aprendizaje, y cómo optimizar el uso de blackboard y otros recursos virtuales de aprendizaje. También asigna tareas para la próxima clase como crear un Symbaloo con sitios recomendados o subir presentaciones a Slideshare y compartirlas.
El documento contiene registros de intercambios entre Santillana y Duoc UC, incluyendo fechas y nombres de las instituciones. También menciona una sesión de ejercicios número 5 y su solucionario.
Este documento presenta 15 problemas de geometría que involucran el cálculo de áreas, perímetros y dimensiones de diversas figuras geométricas como triángulos, cuadrados, rectángulos y circunferencias. Los problemas incluyen calcular perímetros y áreas de figuras dadas sus dimensiones, determinar dimensiones desconocidas a partir de áreas y perímetros dados, y calcular cantidades necesarias para proyectos como la instalación de cerámicas y cubre pisos.
Este documento presenta una guía de ejercicios sobre números decimales y ecuaciones de primer grado. Incluye ejercicios para completar tablas con partes enteras y decimales de números, realizar operaciones con decimales, transformar decimales a fracciones y viceversa, y resolver ecuaciones de primer grado. También contiene problemas de aplicación y referencias bibliográficas.
1) El documento presenta una guía de ejercicios de matemática sobre operaciones básicas con números enteros y fracciones.
2) Incluye 26 ejercicios que abarcan sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, fracciones equivalentes y conversión de fracciones.
3) Los ejercicios van desde operaciones simples hasta problemas más complejos que involucran varios pasos.
El documento contiene una lista de intercambios entre Duoc UC y Santillana, con Duoc UC apareciendo primero en algunas líneas y Santillana primero en otras. También incluye una línea de "Datos útiles" y otra línea que indica un "Solucionario Sesión de ejercicios No 2".
Este documento describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas: el método de sustitución, el método de igualación y el método de reducción. Explica cada método a través de ejemplos y pasos.
Este documento presenta una guía sobre conceptos geométricos como distancia, punto medio, pendiente y ecuaciones de rectas. Incluye 15 ejercicios para calcular pendientes, distancias, puntos medios, ecuaciones de rectas que pasan por puntos dados y satisfacen ciertas condiciones, y determinar si rectas son paralelas o perpendiculares. El documento proporciona fórmulas útiles para resolver los ejercicios planteados.
Este documento describe los sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Explica que un sistema de ecuaciones consiste en dos ecuaciones con las mismas dos incógnitas. Luego, detalla métodos como sustitución y reducción para resolver estos sistemas y encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen ambas ecuaciones. También menciona brevemente que los babilonios, griegos, hindúes y chinos ya resolvían sistemas de ecuaciones, aunque usando enfoques geométricos en el caso de
Este documento presenta una guía de ejercicios sobre potencias y notación científica. Explica las propiedades básicas de potencias como la multiplicación, división y elevación de potencias. Luego, proporciona una serie de ejercicios para calcular valores de potencias y expresiones que las involucran. Finalmente, introduce la notación científica y ejercicios para escribir números entre esta notación y la estándar, así como realizar operaciones usando una calculadora científica.
El documento resume conceptos fundamentales sobre razones, proporciones y proporcionalidad. Explica que una razón compara dos cantidades, mientras que una proporción requiere igualdad de dos razones. También define series de razones, proporcionalidad directa e inversa, y proporcionalidad compuesta cuando intervienen múltiples variables. Finalmente, ilustra estos conceptos con ejemplos numéricos.
Este documento trata sobre la proporcionalidad numérica. Explica que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando la razón entre cantidades correspondientes es constante. Como ejemplo, señala que el número de botes de leche y limones para un postre son proporcionales, pues la razón entre ellos es siempre 3. También define la razón de proporcionalidad como la constante que relaciona las cantidades de dos magnitudes directamente proporcionales.
1) El documento habla sobre relaciones de proporcionalidad y conceptos matemáticos como razones, proporciones, magnitudes directa e inversamente proporcionales y tablas de proporcionalidad. 2) Explica cómo resolver problemas de proporcionalidad directa e inversa usando la regla de tres. 3) También cubre temas como escalas en mapas y cómo usar proporcionalidad para medir distancias reales basadas en representaciones en mapas.
Este documento trata sobre proporcionalidad y porcentajes. Explica las razones y proporciones, magnitudes directa e inversamente proporcionales, y proporcionalidad compuesta. También cubre problemas de repartos directa e inversamente proporcionales, y cálculos con porcentajes de aumentos y disminuciones.
Este documento trata sobre proporcionalidad y porcentajes. Explica conceptos como razón, proporción, magnitudes directa e inversamente proporcionales, y proporcionalidad compuesta. Incluye ejemplos de cómo calcular cuartos proporcionales, reglas de tres directas e inversas, y aumentos/disminuciones porcentuales sucesivos.
Este documento presenta conceptos básicos de matemáticas financieras como razones, proporciones, reglas de tres, porcentajes y progresiones. Explica qué son las razones y proporciones, y cómo calcularlas. También describe los tipos de reglas de tres y cómo aplicarlas para resolver problemas de proporcionalidad directa, inversa y mixta. Además, introduce los conceptos de porcentaje, tanto por ciento y cómo calcularlos. Por último, define qué son las progresiones y específicamente las progresiones aritméticas y geom
El documento habla sobre la proporcionalidad en situaciones cotidianas. Explica que en un albergue de animales hay 16 perros adultos sin adoptar, y que cada perro consume 2 bolsas de comida al mes. Luego, realiza ejercicios para establecer la relación directamente proporcional entre el número de perros y la cantidad de bolsas de comida necesarias mensualmente.
Sesion de aprendizaje de teoria y ejercicios de proporciones ccesa1Demetrio Ccesa Rayme
Este documento describe las proporciones, razones y porcentajes. Explica que una proporción es una igualdad de dos razones equivalentes. También describe las proporciones directas e indirectas, y cómo calcular porcentajes convirtiéndolos a decimales. Incluye ejemplos de cálculos de proporciones y porcentajes.
Este documento presenta conceptos clave sobre proporcionalidad directa e inversa, reglas de tres simples y compuestas, y porcentajes. Explica que la proporcionalidad directa ocurre cuando dos magnitudes aumentan o disminuyen juntas, mientras que la inversa ocurre cuando una aumenta y la otra disminuye. También describe cómo usar las reglas de tres para resolver problemas sobre cantidades directa o inversamente proporcionales, así como problemas mixtos. Finalmente, define porcentajes y explica cómo calcular aumentos, disminuciones y descuent
Razones, proporciones y porcentajes Completa aMayra Alejandra
Este documento explica los conceptos básicos de razones y proporciones. Define razones como una comparación entre dos cantidades mediante un cociente, y proporciones como la equivalencia entre dos razones. Explica los tipos de proporcionalidad directa e inversa, y cómo calcular porcentajes usando proporciones directas. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos y ejercicios de aplicación.
El documento explica conceptos básicos sobre razón, proporción, proporcionalidad directa e inversa. Define una razón como la comparación entre dos cantidades y una proporción como la igualdad entre dos razones. Explica que la proporcionalidad directa ocurre cuando dos variables aumentan o disminuyen juntas, mientras que la proporcionalidad inversa ocurre cuando una variable aumenta y la otra disminuye. También cubre proporcionalidad compuesta, que involucra más de dos variables.
El documento presenta un problema matemático sobre relaciones de proporcionalidad directa. Se muestra un gráfico con la relación entre la cantidad de naranjas y el pago correspondiente. Se piden calcular los valores de a y b de la recta, y determinar el precio de una naranja. Luego, se explican conceptos sobre proporcionalidad directa e inversa y cómo aplicarlos para resolver el problema. Finalmente, se invita al estudiante a practicar con otros ejercicios similares.
El documento explica conceptos relacionados con la proporcionalidad como razón, proporción, constante de proporcionalidad, magnitudes directamente e inversamente proporcionales. Luego presenta ejemplos de cómo aplicar la proporcionalidad directa e inversa para resolver problemas relacionados con repartos, porcentajes e interés bancario. El objetivo es reconocer relaciones entre magnitudes y aplicar procedimientos de proporcionalidad para resolver diferentes tipos de problemas.
El documento trata sobre la proporcionalidad en el currículo de primaria en Castilla la Mancha. Brevemente introduce conceptos como razones, series proporcionales, magnitudes proporcionales e inversamente proporcionales, y porcentajes. Explica cómo usar la regla de tres para resolver problemas de proporcionalidad directa e inversa. Resalta la importancia de comprender bien los porcentajes y las propiedades de las funciones lineales para resolver este tipo de problemas.
Material teórico - Módulo Matemática 2024 (1).pdfCamilaBenitez55
Este documento trata sobre conceptos básicos de área y perímetro. Explica que el perímetro es la distancia alrededor de una figura plana, mientras que el área describe la cantidad de superficie cubierta. Proporciona fórmulas para calcular el perímetro de polígonos y el área de figuras como cuadrados, rectángulos y círculos. También incluye ejemplos y ejercicios de aplicación.
S6-M1- ARITMETICA- MAGNIUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALESJorge La Chira
Fiorella contrata a Alberto para el mantenimiento de su jardín cuadrado de 3 metros de lado por S/120. Marcela le pide a Alberto que mantenga su jardín, el cual es cuadrado y el doble de tamaño que el de Fiorella. Alberto acepta pero luego indica que el doble de lo que pagó Fiorella no es suficiente. Se pide calcular cuánto debe pagar Marcela.
Este documento resume los conceptos básicos de las proporciones en matemáticas. Explica que una proporción es la relación entre dos magnitudes, y que una proporción es directa cuando al aumentar una magnitud aumenta la otra, e inversa cuando al aumentar una magnitud la otra disminuye. También cubre los tantos por ciento, resolución de cuarta proporcional, y cómo resolver proporciones directas, inversas y compuestas. Incluye ejemplos prácticos para ilustrar los diferentes tipos de proporciones y cálculos
Este documento presenta una introducción a las técnicas de conteo en probabilidades, incluyendo permutaciones y combinaciones. Explica que las técnicas de conteo permiten determinar el número total de resultados posibles al hacer combinaciones de objetos. Luego, define permutaciones y combinaciones, y proporciona fórmulas y ejemplos para calcular cada una. Finalmente, introduce conceptos como factoriales y distribuciones de probabilidad.
1. | 174 |Duoc UC - Santillana
Sesión
TRABAJANDO CON
PROPORCIONES10
Proporciones y tipos de proporciones (proporción directa e inversa)
Contenidos
Resuelve problemas utilizando operaciones básicas con proporciones directas
Resuelve problemas utilizando operaciones básicas con proporciones inversas
Aprendizajes esperados
2. | 175 |Duoc UC - Santillana
Resumen
La igualdad de dos razones se llama proporción. En general, si las razones
a : b y c : d forman una proporción, se escribe a : b = c : d, o bien
a
b
=
c
d
. Y se lee “a es a b como c es a d”.
Resumen
En toda proporción, el producto de los términos medios es igual al
producto de los términos extremos (también se le conoce como teorema
fundamental de las proporciones). Es decir, si
a
b
=
c
d
entonces a • d = b • c.
Propiedad fundamental de las proporciones
En una proporción se tiene:
150 : 450 = 42 : 126
Producto de los extremos: 150 • 126 = 18.900
Producto de los medios: 450 • 42 = 18.900
Ejemplo
La razón de la cantidad de hombres y de mujeres en las empresas de telefonía y de
transporte mencionadas en la página anterior no forman una proporción, pues
1
3
no
Como 1 • 2 =/ 3 • 3, entonces
1
3
=/
3
2
.
es equivalente a
3
2
, ya que no se cumple el teorema fundamental de las proporciones.
150 • 126 = 450 • 42
Al multiplicar o dividir ambos miembros de
una igualdad por un mismo número, distinto
de cero, la igualdad se mantiene; es decir, si
x = y y z =/ 0 entonces
x • z = y • z
Ejemplo
2
4
=
6
12
/ • 4
2
4
• 4 =
6
12
• 4
2 =
6
3
2 = 2
Recuerda
Término extremo
Término medio
Término medio
Término extremo
3. Sesión 10
| 176 |Duoc UC - Santillana
Ancho (cm) Largo (cm)
Largo (cm)
Ancho (cm)
Tamaño 1 10 15
15
10
=
3
2
Tamaño 5 20 30
30
20
=
3
2
Se puede notar que el tamaño 1 corresponde al tamaño de la fotografía original de
Lucas, mientras que de los restantes tamaños, el único cuya razón entre largo y ancho
es equivalente con el original es el tamaño 5, por tanto, este es el único proporcional
al original.
Los otros tamaños también corresponden a ampliaciones de la fotografía original,
pero aun cuando las dimensiones aumentan en una cantidad constante (por ejemplo,
sumando 3 cm a la medida del largo y del ancho del tamaño original, obtenemos la
ampliación de 13 cm • 18 cm), la razón entre largo y ancho no es la misma que en la
fotografía de 10 cm • 15 cm, y entonces ambos tamaños no son proporcionales.
Variaciones proporcionales y no proporcionales
Lucas ha seleccionado una de sus fotografías para enviarla a un concurso. Las bases
dicen que las dimensiones de la fotografía deben ser 10 cm • 15 cm, y además se debe
enviar una copia ampliada a un tamaño proporcional a este.
El software que Lucas usará para ampliar su fotografía trae los siguientes tamaños pre
determinados:
Tamaño 1 10 cm • 15 cm Tamaño 4 20 cm • 25 cm
Tamaño 2 13 cm • 18 cm Tamaño 5 20 cm • 30 cm
Tamaño 3 15 cm • 20 cm
¿Qué tamaño satisface las condiciones del concurso?
Para que la foto cumpla con los requisitos del concurso debe ser proporcional a la
fotografía original. La siguiente tabla muestra la razón entre el largo y el ancho de las
distintas alternativas:
Tamaño 2 13 18
18
13
Tamaño 3 15 20
20
15
=
4
3
Tamaño 4 20 25
25
20
=
5
4
4. | 177 | Santillana - Duoc UC
Resumen
Si la razón entre dos cantidades variables se mantiene constante (no cambia)
estas variables son proporcionales.
Si la razón entre ambas variables cambia, las cantidades son no
proporcionales.
Aplicaciones de las proporciones
Escalas
Los mapas y los planos son representaciones gráficas reducidas de territorios o
construcciones, para elaborarlos es necesario usar una escala.
El plano muestra las dimensiones de un departamento.
Escala 1:100
hall
0,85 cm
2,4 cm
cocina
área de
servicio
baño baño
dormitorio 3 dormitorio 1
dormitorio 2
comedor
sala de estar
terraza
El siguiente mapa de Chile está hecho
a escala 3,5 : 40.000.000; es decir,
si La Serena y Santiago están a 4 cm
de distancia aproximadamente en el
mapa, la distancia real entre ambas
ciudades es:
3,5
40.000.000
=
4
x x = 45.714.285 cm
Por tanto, entre La Serena y Santiago
hay 457,1 km, aproximadamente.
5. Sesión 10
| 178 |Duoc UC - Santillana
Está elaborado en una escala de 1:100 ó 100
1
. Es decir, un centímetro en el plano
representa 100 cm en la realidad. Con estos datos se pueden calcular las medidas rea
les del departamento sin necesidad de medir directamente. Por ejemplo, en el plano, las
medidas de la terraza son 2,4 cm y 0,85 cm; entonces, las medidas reales se calculan
de la siguiente manera:
Por tanto, las medidas reales de la terraza son 240 cm y 85 cm o bien 2,4 m y 0,85 m.
Resumen
Una escala es la razón entre una longitud en un plano o mapa y su corres
pondiente longitud real, expresadas en la misma unidad de medida.
• 2,4
• 2,4
1
100
=
2,4
240
2,4 cm del plano equivalen
a 240 cm de la realidad.
1
100
=
0,85
85
• 0,85
• 0,85
0,85 cm del plano equivalen
a 85 cm de la realidad.
6. | 179 | Santillana - Duoc UC
Ecuaciones y proporcionalidad
Don José tiene un terreno rectangular en el que decidió plantar 3 tipos diferentes de
árboles: pino (P), eucalipto (E) y roble (R). Todavía no sabe cuántos plantar de cada
uno pero sí sabe que dichas cantidades deben ser proporcionales a la superficie des
tinada para cada tipo de árbol.
Veamos un esquema del problema y los datos que tiene don José.
Total de semillas: 2.470
Recuerda que la fórmula para encontrar el
área de un rectángulo de lados p y q es:
Área = p · q
Recuerda
20 m P E R
16 m 12 m 10 m
A partir de nuestros conocimientos de geometría, sabemos que la superficie destinada
para cada tipo de árbol es: 320 m2
, 240 m2
y 200 m2
, respectivamente.
Como don José desea que las cantidades sean proporcionales a los m2
de cada terreno,
se tiene:
P
320
=
E
240
=
R
200
= k o bien P = 320 k E = 240 k R = 200 k
Donde k corresponde a la cantidad de árboles de cada tipo en cada metro cuadrado.
Así, podemos expresar la siguiente ecuación para resolver el problema:
P + E + R = 2.470
320 k + 240 k + 200 k = 2.470
760 k = 2.470
k = 3,25
Luego, P = 320 • 3,25 = 1.040 árboles de pino.
E = 240 • 3,25 = 780 árboles de eucalipto.
R = 200 • 3,25 = 650 árboles de roble.
Con estos valores, podemos decir que la cantidad de árboles plantados de cada
especie es proporcional al terreno destinado para cada una.
7. Sesión 10
| 180 |Duoc UC - Santillana
Proporcionalidad directa
En un periódico se publica
el siguiente gráfico para ilustrar
el gasto mensual dependiendo
del consumo eléctrico de
una familia.
Como puedes ver, el gráfico
tiene la forma de una línea
recta ascendente.
Podríamos afirmar que
“a medida que aumenta
el consumo, aumenta el
cantidad a pagar”.
Observa además que existe una regularidad en la relación de estas variables. Por
ejemplo, por 20 kWh se deben cancelar $ 2.160, ¿qué ocurrirá si se aumenta al triple
el consumo? Del gráfico sabemos que 60 kWh cuestan $ 6.480, es decir,
20 • 3 = 60
2.160 • 3 = 6.480
Cuando la variación entre dos variables es constante, es decir, una aumenta o disminuye
la misma cantidad de veces que la otra, se dice que las variables son directamente
proporcionales.
Consumo (kWh)
Precio($)
Así, si P es el precio y C es el consumo eléctrico, podemos decir que:
• Si P disminuye a la mitad, C también disminuye a la mitad.
• Si C se duplica, P también se duplica.
• Si P se multiplica por 5
1
, C también se multiplica por 5
1
.
Esto ocurre puesto que el cociente entre P y C es constante. En términos algebraicos:
P
C
= k constante de proporcionalidad directa.
8. | 181 | Santillana - Duoc UC
Plano cartesiano: está formado por dos
rectas perpendiculares. El punto en donde
se intersectan corresponden al origen y al
par ordenado (0,0). El eje vertical es el eje
de las ordenadas, comúnmente llamado y,
el eje horizontal es el eje de las abcisas,
llamado x. Estos ejes forman la base del
sistema de coordenadas cartesianas, en
donde se pueden graficar todos los pares
ordenados de la forma (x,y).
Recuerda
La rapidez es la relación entre la distancia
recorrida y el tiempo que tomó recorrerla.
Para hablar de velocidad debemos
mencionar un sentido y una dirección, ya
que es una magnitud vectorial.
Recuerda
Dos variables P y Q forman una
proporcionalidad directa si
P
Q
= k
Si se invierten las variables, su constante
también se invertirá:
Q
P
=
1
k
Recuerda
Proporcionalidad directa: modelo matemático
El papá de Ignacio tuvo que viajar de Rancagua a Zapallar. Ignacio quiere saber cuánto
se va a demorar, pero solo sabe que viajará a 90 km/h en promedio.
¿Qué información podemos obtener con lo que sabe Ignacio? Veamos.
Si llamamos D a la distancia que ha recorrido el papá (en km), T al tiempo que lleva
manejando el auto (en horas) y la rapidez es de 90 km/h, es posible plantear la siguiente
expresión que las relaciona:
D = 90T
Con este modelo matemático es posible obtener bastante información; por ejemplo,
podemos saber la distancia recorrida en distintos momentos del viaje.
Luego de 1,5 horas, ¿cuántos km ha recorrido?
Reemplazamos T por 1,5 en la expresión y se obtiene:
D = 90 • 1,5 = 135
Por tanto, el papá lleva recorridos 135 km.
si su cociente es constante. Algebraicamente,
A
B
= k (k: constante)
Resumen
Dos variables A y B se relacionan de manera directamente proporcional,
si su cociente es constante. Algebraicamente, B
A
= k (k: constante)
En su gráfica, siempre se apreciará una línea recta ascendente que pasa
por el origen del plano cartesiano.
Completa la siguiente tabla para verificarlo.
P 1.080 2.160 4.320 7.560 8.640
C 10 30 50 60
P
C
108
¿Qué representa la constante de proporcionalidad en este caso?
9. Sesión 10
| 182 |Duoc UC - Santillana
También podemos saber el tiempo que lleva viajando según la distancia recorrida
hasta el momento.
A los 225 km, ¿cuánto tiempo ha transcurrido?
Reemplazamos D por 225 en la expresión y se obtiene:
225 = 90T
225
90
= T
2,5 = T
Por tanto, el papá ha manejado durante 2,5 horas.
Resumen
El modelo matemático de la proporcionalidad directa se puede escribir
como:
A
B
= k o equivalentemente A = B • k
Donde k es la constante de proporcionalidad entre las variables A y B.
El cociente entre
ambas variables es constante.
Su gráfico asociado es una recta.
Observa que el modelo matemático anterior corresponde a una proporcionalidad
directa, pues:
Así, Ignacio solo debe conocer la distancia entre Rancagua y Zapallar (265 km).
Al hacer el cálculo, obtiene que se demorará 2,9 horas.
D = 90 • T +
D
T
= 90
Tiempo
Distancia
10. | 183 | Santillana - Duoc UC
Proporcionalidad inversa
Una profesora pidió a sus alumnos(as) que construyeran rectángulos en cartulina, con
una condición: todos deberían tener un área igual 24 cm2
.
Luego de unos minutos, se anotó en una tabla las distintas dimensiones obtenidas.
Solo se consideraron valores enteros.
Veamos algunas conclusiones que podemos obtener de la tabla.
1. Si uno de los lados del rectángulo se duplica, ¿qué deberías hacer con la medida
del otro lado para que la condición del problema se mantenga (tener área igual a
24 cm2
)?
De la tabla tomemos, por ejemplo, el primer y segundo rectángulo. El lado 1 se
duplicó y el lado 2 se redujo a la mitad.
2. Si uno de los lados del rectángulo se triplica, ¿qué sucede con la medida del otro
lado para que el área se mantenga igual a 24 cm2
?
Si observas el segundo y quinto rectángulo te darás cuenta de que mientras una
de las medidas se triplicó, la otra se redujo a la tercera parte.
Al construir un gráfico, usando la tabla, obtenemos una línea curva, que por su forma
recibe el nombre de hipérbola.
24 cm 12 cm
1 cm 2 cm
12 cm
4 cm
6 cm2 cm
Lado 1
Lado2
Lado 1 Lado 2
1 cm 24 cm
2 cm 12 cm
3 cm 8 cm
4 cm 6 cm
6 cm 4 cm
11. Sesión 10
| 184 |Duoc UC - Santillana
Ya sabemos que en nuestro problema el producto se mantiene constante. Si llama
mos x e y a las medidas de los lados del rectángulo, tendremos que:
x • y = 24
Así, x e y forman una relación de proporcionalidad inversa, pues el producto de sus
magnitudes es siempre constante. Por ejemplo, si x aumenta al doble, y se reduce a
la mitad.
Resumen
Dos variables M y N forman una relación de proporcionalidad inversa
si el producto de sus magnitudes permanece constante.
Algebraicamente,
M • N = k
donde k es la constante de proporcionalidad inversa.
El gráfico correspondiente a este tipo de proporcionalidad es una curva
llamada hipérbola.
Proporcionalidad inversa: modelo matemático
Pilar y su abuelita tienen una mini empresa de venta de bufandas: la abuelita las con
fecciona y Pilar las vende. Ellas pretenden obtener como venta total $ 20.000. Como
podrás adivinar, si el precio de cada bufanda es muy caro lo más probable es que no les
vaya muy bien o, si son muy baratas, tendrán que vender muchas bufandas para llegar
a la meta.
Si llamamos B a la cantidad de bufandas que se fabrican y P al precio que tendrá cada
una de ellas, es posible plantear la siguiente expresión que las relaciona:
B • P = 20.000
12. | 185 | Santillana - Duoc UC
Observa que el modelo matemático anterior corresponde a una relación de
proporcionalidad inversa, pues:
B • P = 20.000
Es decir, el producto entre ambas
magnitudes es constante. Su gráfico
asociado es una curva llamada
hipérbola.
La hipérbola es una curva que resulta de la
intersección de una superficie cónica con
un plano.
Recuerda
Bufandas
Precio
Con este modelo matemático es posible saber, por ejemplo, la cantidad de bufandas
que se necesitan si se fija un precio determinado para ellas.
También podemos saber el precio de cada bufanda, si conocemos la cantidad que se
han confeccionado.
Si cada bufanda se vende en $ 2.500, ¿cuántas bufandas necesita vender?
Reemplazamos P por 2.500 y se obtiene:
B • 2.500 = 20.000
B =
20.000
2.500
B = 8
Por tanto, Pilar necesita vender 8 bufandas.
Si se quiere vender solo 5 bufandas, ¿en cuánto se debe vender cada una?
Reemplazamos B por 5 y se obtiene:
5 • P = 20.000
B =
20.000
5
B = 4.000
Por tanto, Pilar debe cobrar $4.000 por cada bufanda.
13. Sesión 10
| 186 |Duoc UC - Santillana
Resumen
El modelo matemático de la proporcionalidad inversa se puede escribir
como
M • N = q o equivalentemente M =
q
N
Donde q es la constante de proporcionalidad inversa entre las variables
M y N.
Variaciones proporcionales y no proporcionales
En las páginas anteriores, ya has visto cómo relacionar dos o más variables a través
de expresiones algebraicas o ecuaciones y los tipos de relaciones de proporcionalidad
que se pueden establecer entre ellas.
Analicemos ahora distintas situaciones para distinguir cuándo estamos en presencia de
una relación de proporcionalidad o no.
Situación 1
La empresa A de telefonía celular tiene un plan con un costo fijo de $ 3.000 y $ 100 por
cada minuto de llamada. La empresa B, en cambio, solo cobra $ 200 por cada minuto y
no tiene costo fijo. Por ejemplo, si una persona habla 10 minutos usando la empresa A
su cuenta sería de:
Empresa A: $ 3.000 + 10 min x $ 100 = $ 4.000
Estos mismos 10 minutos en la empresa B serían:
Empresa B: 10 min x $ 200 = $ 2.000
Observa el gráfico que ilustra esta situación.
Las relaciones de proporcionalidad entre
dos variables pueden ser directas o
inversas. En ocasiones, si hay más de dos
variables relacionadas entre sí, se habla de
proporcionalidad compuesta.
Recuerda
Minutos
Empresa A
Empresa B
Costo $
14. | 187 | Santillana - Duoc UC
Tabla 1: Empresa A Tabla 2: Empresa B
Empresa A Empresa B
Considera los minutos usados (M) y la cuenta total a pagar (C) en cada empresa de
telefonía. ¿Se relacionan de manera proporcional estas cantidades?
A simple vista podríamos pensar que sí forman una proporcionalidad directa, pues en
ambos casos, al aumentar los minutos de llamadas, aumenta el precio que se debe
pagar. Pero recuerda que dos variables se relacionan en proporcionalidad directa solo
sí el cociente entre sus magnitudes es constante. Completa las tablas para examinar
esta condición.
Como puedes observar, las variables determinan una variación proporcional en la tabla
2, pero no en la tabla 1. Esto se debe al monto fijo que se debe pagar inicialmente.
Observa los modelos matemáticos que están detrás de cada caso:
C = 3.000 + 100 • M C = 200 • M
Sigamos con el análisis de estas empresas, ¿cuál elegirías tú?
Observando la tabla, la respuesta parece
obvia: la empresa B es la más barata. Si
embargo, al aumentar la cantidad de minutos
puedes llevarte una sorpresa. Completa el
gráfico y señala cuándo es más conveniente
una empresa en relación a la otra.
No corresponde al modelo
de proporcionalidad directa
Sí corresponde al modelo
de proporcionalidad directa
C 3.100 3.200 3.500 4.000 C 200 400 1.000 2.000
M 1 2 5 10 M 1 2 5 10
C
M
C
M
Minutos
Costo $
15. Sesión 10
| 188 |Duoc UC - Santillana
Situación 2
En Física es común utilizar expresiones matemáticas para simbolizar la relación entre varia
bles. Una de estas corresponde a la relación entre las variables velocidad (v), distancia (d) y
tiempo (t) de un recorrido en automóvil:
v =
d
t
De esta expresión podemos deducir lo siguiente:
a. Si dejamos d como constante, la velocidad y
el tiempo determinan una relación proporcional
inversa.
vt = d
Por ejemplo, si la distancia a recorrer por un
automóvil es 100 km, a mayor velocidad obtendrá
menor tiempo y, por el contrario, si su velocidad
es muy pequeña demorará mucho más tiempo en
recorrer estos 100 km.
El siguiente gráfico ilustra la situación.
¿Qué valor tiene la velocidad para un tiempo
igual a 10 horas? Completa el gráfico con este
valor.
b. Si la velocidad es constante, entonces las varia
bles d y t determinan una relación proporcional
directa de constante v.
Por ejemplo, si la velocidad de un automóvil es
siempre 50 km/h, a mayor distancia a recorrer
mayor tiempo se va a demorar, y viceversa.
t (horas)
v(km/h)
t (horas)
v(km/h)
Resumen
Para determinar si dos variables se relacionan proporcionalmente hay que comprobar que cumplan con el modelo
matemático que corresponda. Es decir, en el caso de proporcionalidad directa, que el cociente sea constante; y en el
caso de proporcionalidad inversa, que el producto sea constante.
16. | 189 | Santillana - Duoc UC
Ejercicios resueltos
1. Camila, Marta y Andrea se asociaron y abrieron un negocio en su barrio.
Camila invirtió $ 300.000, Marta $ 700.000 y Andrea $ 500.000. Al tercer año
de funcionamiento se obtuvo una ganancia de $ 1.200.000, la que fue dividida
en tres partes, directamente proporcionales al capital que cada una invirtió.
Se calcula el valor de la razón entre el
capital ganado y el capital invertido.
El valor de la razón se puede interpretar
como la ganancia (en pesos) por cada
peso invertido.
Es decir, por cada peso invertido,
se ganaron 0,8 pesos.
Para calcular la ganancia correspondiente
a cada una, se puede multiplicar 0,8 por
la cantidad invertida.
300.000 + 700.000 + 500.000 = 1.500.00 Dinero invertido en total.
1.200.000
1.500.000
= 0, 8
300.000 • 0,8 = 240.000
700.000 • 0,8 = 560.000
500.000 • 0,8 = 400.000
Comprobando los resultados:
Camila:
240.000
300.000
=
4
5
Marta:
560.000
700.000
=
4
5
Andrea:
400.000
500.000
=
4
5
Respuesta:
Camila debe recibir $ 240.000, Marta $ 560.000 y Andrea $ 400.000.
Se comprueba el resultado
y se escribe la respuesta.
Valor de la razón del dinero
ganado y el dinero invertido.
Camila invirtió $ 300.000,
entonces le corresponde una
ganancia de $ 240.000.
Marta invirtió $ 700.000,
entonces le corresponde una
ganancia de $ 560.000.
Andrea invirtió $ 500.000,
entonces le corresponde una
ganancia de $ 400.000.
Para las tres, la razón entre lo
ganado y lo invertido es igual,
por tanto, son directamente
proporcionales.
17. Sesión 10
| 190 |Duoc UC - Santillana
2. Un condominio está formado por tres edificios: El Roble, El Olmo y El Arce.
Toda la comunidad se está organizando para plantar arbustos nuevos en el
jardín, con un costo de $ 77.000. ¿Qué cantidad de dinero es la que debe
aportar cada edificio, si sus habitantes son 54, 68 y 32, respectivamente, y el
aporte será proporcional al nº de habitantes de cada uno?
Se plantea la ecuación del reparto proporcional, donde x es el factor de reparto.
El ejercicio se resuelve mediante un reparto proporcional.
54x + 68x + 32x = 77.000
154x = 77.000
x =
77.000
154
x = 500
Así, cada edificio debe aportar:
El Roble 54 • 500 = $ 27.000
El Olmo 68 • 500 = $ 34.000
El Arce 32 • 500 = $ 16.000{
Se plantea la ecuación del reparto
proporcional, donde x es el
factor de reparto.
Se calcula el aporte de cada edificio,
multiplicando el factor de reparto por la
cantidad de habitantes de cada uno.
a. Si D es constante (k), por la fórmula nos quedaría
150 = V • T
Es decir, el producto de las variables es
constante. Así, la velocidad y el tiempo son
inversamente proporcionales.
b. Si V es constante (k), obtenemos
D
T = 100
Luego, el cociente es constante y, por
ende, la distancia y el tiempo son
directamente proporcionales.
3. Una de las fórmulas más usadas y sencillas en Física es la del movimiento
rectilíneo uniforme (MRU): D = V · T, donde D es la distancia,
V la velocidad y T el tiempo.
a. Si la distancia por recorrer es 150 km, ¿qué relación se establece entre V y T?
b. Si la velocidad permanece constante a 100 km/h, ¿qué relación se establece
entre D y T?
Se analiza la expresión y
se verifica que el modelo
matemático resultante es de
proporcionalidad directa.
Se analiza la expresión y
se verifica que el modelo
matemático resultante
es de proporcionalidad
inversa.
18. | 191 | Santillana - Duoc UC
Organizamos los datos
en una tabla.
Identificamos el tipo de
proporcionalidad.
Resolvemos la ecuación.
Resolvemos la ecuación.
Identificamos el tipo de
proporcionalidad.
Organizamos los datos
en una tabla.
Aplicando una estrategia (ordenar los datos en una tabla)
Observa atentamente la estrategia usada para resolver el siguiente problema.
Una llave de agua demora 20 minutos en llenar un estanque a razón de 15 litros por
minuto.
a. ¿Cuántos minutos demora si lo hace a razón de 5 litros por minuto?
b. ¿Cuántos minutos demora si lo hace a razón de 25 litros por minuto?
Velocidad 15 5
Tiempo 20 x
a.
La velocidad y el tiempo son cantidades inversamente proporcionales
(a mayor velocidad, menor tiempo), tenemos que:
15 • 20 = 5 • x
15 • 20
5
= x
15 • 4 = x
60 = x
Por tanto, se necesitan 60 minutos para llenar el estanque.
Velocidad 15 25
Tiempo 20 x
b.
Nuevamente se trata de cantidades inversamente proporcionales,
entonces,
15 • 20 = 25 • x
15 • 20
25
= x
3 • 4 = x
12 = x
Por tanto, se necesitan 12 minutos para llenar el estanque.
19. Sesión 10
| 192 |Duoc UC - Santillana
Soy capaz de utilizar datos
numéricos para establecer
proporciones.
Respondo y analizo la
pertinencia de las soluciones.
Analizando una pregunta
Observa la resolución del siguiente ejercicio y compárala con los métodos que tú
usarías para resolverlo. Presta especial atención a lo que te indican las etiquetas.
Se sabe que 3 tarros de pintura alcanzan para pintar 12 m2
de pared.
Si se necesita pintar una pared de 44 m2
, y cada tarro de pintura cuesta $ 7.500,
¿cuánto dinero costarán todos los tarros necesarios para pintar la pared?
Observa que:
Tarros de pintura Superficie a pintar
3 12 m2
de pared
x 44 m2
de pared
Como las variables tarros de pintura y m2
de pared están en proporción directa,
calculamos el término que falta en la proporción:
3
x
=
12
44
44 • 3 = 12 • x
132 = 12 • x
132
12
= x
11 = x
Entonces, se necesitan 11 tarros para pintar 44 m2
de pared.
Ahora bien, si el tarro cuesta $ 7.500, entonces: 7.500 • 11 = 82.500
El costo de 11 tarros de pintura es de $ 82.500.
Puedo aplicar la propiedad
fundamental de las proporciones.
20. | 193 | Santillana - Duoc UC
Ejercicios
1. Teresa trabajó tres horas y ganó $8.100. ¿Cuántas horas debe
trabajar en el mismo lugar y bajo las mismas condiciones
para ganar $32.400?
2. En condiciones óptimas un alumno del taller de teatro
necesita 25 minutos para aprender 15 líneas del texto,
¿cuántos minutos necesitará bajo las mismas condiciones
para memorizar 180 líneas?, ¿cuántas horas se demora en
memorizar este texto?
3. El arriendo de una cancha de tenis cuesta $5.500 la media
hora. Si Juan y su hermano la arrendarán por 3 horas 15
minutos, ¿cuánto dinero deben pagar?
4. Un estudio determinó que 100 gramos de naranjas aportan
al organismo 34 ml de agua, ¿cuántos ml de agua aportarán
al organismo 2 kilos de naranjas?
5. El siguiente gráfico presenta la relación entre los metros
cúbicos consumidos de agua y el valor a pagar en pesos
por tal consumo. De acuerdo a la información entregada
en el gráfico, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?,
¿cuánto se debe cancelar si se consumen 7.552 metros
cúbicos de agua?
–1 0 10 20 30 40 50 60 70
X
Y
60
50
40
30
20
10
0
$ Pesos
metros cúbicos de agua
6. El siguiente gráfico presenta la distancia recorrida por un
bus de pasajeros en relación a los litros de combustible
consumidos durante el viaje, si mantiene una velocidad
constante. De acuerdo a los datos de gráfico, ¿cuál es la
constante de proporcionalidad?, ¿cuántos litros de combustible
gastará el bus si realiza un viaje de 375km?
–1 0 20 40 60 80 100 120 140 160
X
Y
12
10
8
6
4
2
0
Litros de combustible
Km recorridos
7. Un acuario puede llenarse con 12 bidones de 15 litros cada
uno, ¿cuántos bidones de 4,5 litros se necesitan para llenar
el mismo acuario?
8. Una constructora sabe que para construir un edificio de 8
pisos se necesitan 72 trabajadores, los cuales se demoran
12 meses en terminarlo. ¿Cuántos trabajadores extra se
deben contratar para terminar el mismo edificio en 9 meses?
9. En una parcela hay 50 animales y el alimento les alcanza
para 18 días. Si se compran 10 animales más, ¿para cuántos
días alcanzaría la misma cantidad de alimento?
10. Un bus demora 7,5 horas entre Valparaíso y Talca a una
velocidad promedio de 84 km/h. ¿A qué velocidad promedio
se desplazó otro vehículo que hizo el mismo recorrido en
6 horas?
21. Sesión 10
| 194 |Duoc UC - Santillana
11. El siguiente gráfico presenta el valor en miles de pesos
de la cuota que debe pagar cada integrante de un grupo
familiar al adquirir un producto tecnológico. De acuerdo
al gráfico, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cuál
sería la cuota que se debería pagar cada integrante, si el
grupo familiar estuviera compuesto por 12 personas?
0 10 20 30 40 50 60
X
Y
40
30
20
10
0
ValorcuotaMiles$
Nº personas
12. En el siguiente gráfico se presenta información que relaciona
el tiempo de espera de los clientes en ser atendidos en una
sucursal de telefonía celular, con respecto a la cantidad de
trabajadores que están atendiendo. Si trabajan 12 personas
en la sucursal, ¿cuántos minutos tendrá que esperar una
persona para ser atendida?
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
X
Y
30
25
20
15
10
5
0
Tiempoesperaminutos
Nº Trabajadores
13. Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. ¿Qué
distancia recorre en 1 minuto 12 segundos, si mantiene su
rapidez constante?
14. Una inversión de $350.000 produce un rendimiento
(ganancia) de $4.200 en un año. ¿Qué rendimiento producirá
una inversión de $450.000 a la misma tasa de interés y
durante el mismo tiempo?
15. El siguiente gráfico presenta la relación entre la cantidad de
productos comprados (todos de las mismas características)
y el valor a pagar. De acuerdo a la información, ¿cuál es el
valor que se debe cancelar si se compran 15 productos
iguales?
0 2 4 6 8
X
Y
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
Valor a pagar
Cantidad de productos
16. La rapidez de un automóvil es de 70 km/h y demora 5
horas en recorrer una cierta distancia. ¿Cuántas horas
demorará en recorrer la misma distancia, otro automóvil,
con una rapidez de 80 km/h? Utilice FIX1
17. Cuando una llave arroja 32 litros por minuto de cierto
líquido, demora 3,5 horas en llenar un estanque. ¿Cuánto
demora en llenarse este estanque, si ahora la llave arroja
24 litros por minuto? Utilice FIX1
18. Un estudio realizado sobre la salinidad del agua de mar
determinó que 2 litros de agua de mar contienen 1,5 gramos
de sal. Si se tiene una muestra que contiene 9,375 gramos
de sal, ¿cuántos litros de agua de mar se extrajeron?
19. Para pavimentar una calle de 800 metros de largo y 12
metros de ancho, se han utilizado 18.000 pastelones.
¿Cuántos pastelones se necesitan para pavimentar una calle
de 1.000 metros de largo y 15 metros de ancho?
22. | 195 | Santillana - Duoc UC
20. El siguiente gráfico presenta la relación entre la cantidad
de máquinas que se tienen para realizar un determinado
trabajo y el tiempo que demoran en realizarlo. ¿Cuántas
horas demorarán en hacer el mismo trabajo si se cuenta
con 25 máquinas?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
X
Y
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Tiempo de demora
(horas)
Nº Máquinas
21. Una persona establece la relación entre el número de grifos
necesarios y las horas que tardan en llenar una piscina. Si
se sabe que 5 grifos demoran 1,6 horas en llenarla, ¿cuál
de los siguientes gráficos representa la situación planteada?
a.
0 1 2 3 4 5 6
X
Y
6
4
2
0
Nºhoras
Nº grifos
b.
0 1 2 3 4 5 6
X
Y
6
4
2
0
Nºhoras
Nº grifos
c.
0 1 2 3 4 5 6
X
Y
6
4
2
0
Nºhoras
Nº grifos
22. Un instituto confecciona un gráfico donde se representa
la relación entre la cantidad de alumnos matriculados y
el dinero recaudado por este concepto. Se sabe que se
si matriculan 15 alumnos la recaudación es de $750.000,
¿cuál de los siguientes gráficos establece la relación entre
las variables?
a.
0 1 2 3 4 5 6
X
Y
40
30
20
10
0
Recaudación
miles $
Nº matrículas
b.
0 1 2 3 4 5 6
X
Y
180
120
60
0
Recaudación
miles $
Nº matrículas
c.
0 1 2 3 4 5 6
X
Y
150
100
50
0
Recaudación
miles $
Nº matrículas
Selección Múltiple:
23. Un árbol de 1,8 metros de altura proyecta una sombra
hacia el frente de 2,2 metros. ¿Cuánto mide la sombra de
otro árbol de 1,5 metros que se encuentra al lado del
primero a la misma hora? Utilizar FIX2
a. 0,54 m
b. 1,83 m
c. 2,06 m
d. 2,64 m
e. 5,94 m
24. Una máquina puede etiquetar 4.096 envases en cuatro días
de trabajo. ¿Cuántos días son necesarios para etiquetar
9.216 envases iguales a los anteriores?
a. 1 b. 2 c. 9 d. 10 e. 13
23. Sesión 10
| 196 |Duoc UC - Santillana
25. Una casa se pinta en 20 días con 60 hombres trabajando.
Por problemas de presupuesto, al mes siguiente la empresa
debe contratar a 45 personas menos bajo las mismas
condiciones. ¿Cuántos días se demorarán en pintar una
casa de iguales características?
a. 5 b. 15 c. 26 d. 60 e. 80
26. Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 120 horas
de trabajo, ¿cuántas horas demoran 60 telares iguales en
producir la misma cantidad de tela?
a. 7,2 b. 12,5 c. 25,0 d. 50,0 e. 288,0
27. Para pintar una pared de 96 m
2
se ocupan 8 tarros de
pintura. ¿Cuántos tarros del mismo tipo de pintura se
necesitan para pintar una pared de 28,8 metros de largo
por 2,5 metros de ancho?
a. 3 b. 5 c. 6 d. 11 e. 17
28. El pago por el consumo de la electricidad es proporcional a la
electricidad que se consume mensualmente. Esta situación se
refleja en el siguiente gráfico. Si una familia consume 1.550KW
de electricidad en el mes, ¿cuánto es lo que debe cancelar?
a. $258
b. $7.750
c. $9.000
0 1 2 3 4 5 6 7
X
Y
30
24
18
12
6
0
Valor (en pesos)
Cant KW
d. $9.300
e. $9.360
29. Un jefe de obra construye el siguiente gráfico donde se
relaciona la cantidad de operarios trabajando bajo las
mismas condiciones, y el tiempo en horas que se demoran
en realizar un determinado trabajo. ¿Cuánto tiempo se
demorarán en realizar el mismo trabajo 16 operarios?
a. 9 ,37
b. 6 ,25
0 1 2 3 4 5 6 7
X
Y
150
100
50
0
Nº horas
Nº operarios
c. 12 ,5
d. 100
e. 800
30. En una parcela hay 12 caballos que consumen 720 kg. de
alfalfa durante el mes de “Abril”. El dueño de la parcela
compró 3 caballos más, si tiene la misma cantidad de alfalfa,
¿para cuántos días le alcanzará?
a. 7,5 b. 14 c. 24 d. 37,5 e. 38,75
31. La cantidad de mg de medicamento en el organismo se
relaciona en forma proporcional a las horas transcurridas
desde que se ingiere. Pasadas 1,6 horas de haber sido
ingerido quedan en el organismo 125mg, ¿cuál (es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?
I. Pasada1horahayenelorganismo200mgdelmedicamento
II. La constante de proporcionalidad es 50
III. El siguiente gráfico modela la situación
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
X
Y
200
150
100
50
0
Mg de medicamento
Horas transcurridas
a. Sólo I
b. Sólo II
c. Sólo I y II
d. Sólo I y III
e. I, II y III
24. | 197 | Santillana - Duoc UC
Sesión 9
32. Laura quiere comenzar a andar en bicicleta y diseña un plan
de acción que se ve representado en el siguiente gráfico,
donde se relacionan en forma proporcional los minutos
dedicados a andar en bicicleta y la distancia recorrida en
kilómetros. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es
(son) verdaderas?
0 30 60
X
Y
30
25
20
15
10
5
0
KM recorridos
Minutos
I. Si hace ejercicio por media hora, recorre 5 km en bicicleta
II. La constante de proporcionalidad es 0,16
III. Si Laura se dedica 1 hora y 24 minutos a andar en
bicicleta, recorre 14 kilómetros.
a. Sólo I
b. Sólo III
c. Sólo I y III
d. Sólo II y III
e. I, II y III
33. Un nutricionista le indica a un paciente que una porción
de yogurt tiene 6,3 proteínas. Si el médico le indica a su
paciente que debe consumir diariamente 5 porciones de
yogurt con las mismas características, ¿cuántas proteínas
debe consumir el paciente a la semana?
a. 8,82 b. 31,5 c. 157,5 d. 126 e. 220,5
34. Eugenia se quiere comprar una estufa a parafina que gasta
2 litros del combustible en 5 horas. Si el consumo de
parafina es proporcional al tiempo de uso, ¿cuántos litros
de parafina se gastarán en 8 horas?
a. 1,25 b. 2 c. 3,2 d. 11 e. 15
35. Una cuenta se dividirá en forma proporcional a la cantidad
de personas que la compartirán, la situación se ve reflejada
en el siguiente gráfico. ¿Cuál es la cuota que debe cancelar
cada uno, si el grupo tiene en total 16 personas?
0 1 2 3 4 5 6 7 8
X
Y
300.000
250.000
200.000
150.000
100.000
50.000
0
$
Nº personas
a. $17.500
b. $18.750
c. $21.875
d. $50.000
e. $114.286
36. Un jardinero utiliza 74,4 metros cuadrados de pasto para
colocar la misma cantidad en 6 casas, ¿Cuántos metros
cuadrados de pasto necesitará el jardinero para colocar
en 14 casas iguales a las anteriores?
a. 31,9 m
2
b. 94,4 m
2
c. 173,6 m
2
d. 297,6 m
2
e. 520,8 m
2
37. Jaime ahorra mensualmente la misma cantidad de dinero. Al
consultar su saldo después de 15 meses, observa un total
de $354.000. Si Jaime sigue ahorrando de la misma manera,
¿cuánto dinero tendrá ahorrado después de 32 meses?
a. $165.938
b. $377.600
c. $708.000
d. $755.200
e. $826.000
25. Sesión 10
| 198 |Duoc UC - Santillana
38. Para construir un edifico el capataz de una obra determina
que si tiene 70 trabajadores trabajando bajo las mismas
condiciones demorarán 24 meses en terminarlo. ¿Cuál (es)
de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?
I. La constante de proporcionalidad es 1.680
II. Si el capataz contratara 14 trabajadores más, trabajando
bajo las mismas condiciones, demorarían 20 meses en
terminar el mismo edificio.
III. Si se contratan más trabajadores, trabajando bajo las
mismas condiciones, se demorarán más en terminar
el mismo edificio.
a. Sólo I
b. Sólo III
c. Sólo I y II
d. Sólo I y III
e. I, II y III
39. El siguiente gráfico presenta la relación proporcional entre
los litros de pintura utilizados para pintar un muro y la
superficie que se puede cubrir al pintar. ¿Cuántos litros de
la misma pintura se deben comprar para pintar un muro
de 68 metros cuadrados de superficie?
a. 0,6 L
b. 6 L
c. 6,8 L
0 2 4 6 8 10
X
Y
120
100
80
60
40
20
0
Superficie
(metros cuadrados)
Litros de pintura
d. 7 L
e. 10 L
40. Gonzalo necesita dejar su auto en un estacionamiento. Un
letrero le indica que el costo por estacionar 30 minutos es
de $800. Si el cobro del estacionamiento es proporcional
al tiempo, ¿cuánto debe cancelar Gonzalo si permanece
estacionado por 1 hora y 24 minutos?
a. $640
b. $1.600
c. $1.720
d. $2.240
e. $3.040
26. | 199 | Santillana - Duoc UC
Solucionario Sesión de ejercicios Nº 10
| 199 |Duoc UC - Santillana
1. Debe trabajar 12 horas
2. Se demora 300 minutos = 5 horas
3. Debe pagar $35.750
4. Aportan al organismo 680ml de agua
5. La contante de proporcionalidad es 2. Se deben cancelar
$15.104
6. La constante de proporcionalidad es 0,05. Se necesitan
18,75 litros de combustible.
7. Se necesitan 40 bidones
8. Se necesitan 24 trabajadores extra
9. Les alcanza para 15 días
10. Viaja a 105 km/h
11. La constante de proporcionalidad es 600.000. Cada uno
debe pagar $50.000
12. El tiempo de espera es de 12,5 minutos
13. La moto recorre 2.160 metros
14. Produce una ganancia de $5.400
15. Por 15 productos cancela $75.000
16. Se demorará 4,4 horas
17. Se demorará 4,7 horas
18. Se extrajeron 12,5 litros de agua de mar
19. Se necesitan 28.125 pastelones
20. Se demoran 16 horas
21. Gráfico B
22. Gráfico C
Selección Múltiple:
Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta
23 B 32 E
24 C 33 E
25 E 34 C
26 D 35 C
27 C 36 C
28 D 37 D
29 C 38 C
30 C 39 C
31 D 40 D