El documento explica conceptos relacionados con las proporciones directas e inversas. Define qué son las proporciones y el teorema fundamental de las proporciones. Luego, presenta ejemplos de cómo aplicar estas nociones para resolver problemas que involucran proporcionalidad directa e inversa. Finalmente, explica cómo modelar matemáticamente situaciones de proporcionalidad directa usando una expresión algebraica donde el cociente entre las variables es constante.

1. | 174 |Duoc UC - Santillana
Sesión
TRABAJANDO CON
PROPORCIONES10
Proporciones y tipos de proporciones (proporción directa e inversa)
Contenidos
Resuelve problemas utilizando operaciones básicas con proporciones directas
Resuelve problemas utilizando operaciones básicas con proporciones inversas
Aprendizajes esperados

2. | 175 |Duoc UC - Santillana
Resumen
La igual­dad de dos razo­nes se llama pro­por­ción. En gene­ral, si las razo­nes
a : b y c : d for­man una pro­por­ción, se escri­be a : b = c : d, o bien
a
b
=
c
d
. Y se lee “a es a b como c es a d”.
Resumen
En toda pro­por­ción, el pro­duc­to de los tér­mi­nos ­medios es igual al
pro­duc­to de los tér­mi­nos extre­mos (también se le conoce como teorema
fundamental de las proporciones). Es decir, si
a
b
=
c
d
enton­ces a • d = b • c.
Propiedad fundamental de las proporciones
En una pro­por­ción se tiene:
150 : 450 = 42 : 126
Producto de los extre­mos: 150 • 126 = 18.900
Producto de los ­medios: 450 • 42 = 18.900
Ejemplo
La razón de la can­ti­dad de hom­bres y de muje­res en las empre­sas de tele­fo­nía y de
trans­por­te men­cio­na­das en la pági­na ante­rior no for­man una pro­por­ción, pues
1
3
no
Como 1 • 2 =/ 3 • 3, entonces
1
3
=/
3
2
.
es equivalente a
3
2
, ya que no se cumple el teorema fundamental de las proporciones.
150 • 126 = 450 • 42
Al mul­ti­pli­car o divi­dir ambos miem­bros de
una igual­dad por un mismo núme­ro, dis­tin­to
de cero, la igual­dad se man­tie­ne; es decir, si
x = y y z =/ 0 enton­ces
x • z = y • z
Ejemplo
2
4
=
6
12
/ • 4
2
4
• 4 =
6
12
• 4
2 =
6
3
2 = 2
Recuerda
Término extremo
Término medio
Término medio
Término extremo

3. Sesión 10
| 176 |Duoc UC - Santillana
Ancho (cm) Largo (cm)
Largo (cm)
Ancho (cm)
Tamaño 1 10 15
15
10
=
3
2
Tamaño 5 20 30
30
20
=
3
2
Se puede notar que el tama­ño 1 corres­pon­de al tama­ño de la foto­gra­fía ori­gi­nal de
Lucas, mien­tras que de los res­tan­tes tama­ños, el único cuya razón entre largo y ancho
es equi­va­len­te con el ori­gi­nal es el tama­ño 5, por tanto, este es el único pro­por­cio­nal
al ori­gi­nal.
Los otros tama­ños tam­bién corres­pon­den a amplia­cio­nes de la foto­gra­fía ori­gi­nal,
pero aun cuan­do las dimen­sio­nes aumen­tan en una can­ti­dad cons­tan­te (por ejem­plo,
suman­do 3 cm a la medida del largo y del ancho del tama­ño ori­gi­nal, obte­ne­mos la
amplia­ción de 13 cm • 18 cm), la razón entre largo y ancho no es la misma que en la
foto­gra­fía de 10 cm • 15 cm, y enton­ces ambos tama­ños no son pro­por­cio­na­les.
Variaciones pro­por­cio­na­les y no pro­por­cio­na­les
Lucas ha selec­cio­na­do una de sus foto­gra­fí­as para enviar­la a un con­cur­so. Las bases
dicen que las dimen­sio­nes de la foto­gra­fía deben ser 10 cm • 15 cm, y ade­más se debe
­enviar una copia amplia­da a un tama­ño pro­por­cio­nal a este.
El soft­wa­re que Lucas usará para ­ampliar su foto­gra­fía trae los siguien­tes tama­ños pre­
de­ter­mi­na­dos:
Tamaño 1 10 cm • 15 cm Tamaño 4 20 cm • 25 cm
Tamaño 2 13 cm • 18 cm Tamaño 5 20 cm • 30 cm
Tamaño 3 15 cm • 20 cm
¿Qué tamaño satisface las condiciones del concurso?
Para que la foto cumpla con los requisitos del concurso debe ser proporcional a la
fotografía original. La siguiente tabla muestra la razón entre el largo y el ancho de las
distintas alternativas:
Tamaño 2 13 18
18
13
Tamaño 3 15 20
20
15
=
4
3
Tamaño 4 20 25
25
20
=
5
4

4. | 177 | Santillana - Duoc UC
Resumen
Si la razón entre dos cantidades variables se mantiene constante (no cambia)
estas variables son proporcionales.
Si la razón entre ambas variables cambia, las cantidades son no
proporcionales.
Aplicaciones de las pro­por­cio­nes
Escalas
Los mapas y los pla­nos son repre­sen­ta­cio­nes grá­fi­cas redu­ci­das de terri­to­rios o
cons­truc­cio­nes, para ela­bo­rar­los es nece­sa­rio usar una esca­la.
El plano mues­tra las dimen­sio­nes de un depar­ta­men­to.
Escala 1:100
hall
0,85 cm
2,4 cm
cocina
área de
servicio
baño baño
dormitorio 3 dormitorio 1
dormitorio 2
comedor
sala de estar
terraza
El siguiente mapa de Chile está hecho
a escala 3,5 : 40.000.000; es decir,
si La Serena y Santiago están a 4 cm
de distancia aproximadamente en el
mapa, la distancia real entre ambas
ciudades es:
3,5
40.000.000
=
4
x x = 45.714.285 cm
Por tanto, entre La Serena y Santiago
hay 457,1 km, aproximadamente.

5. Sesión 10
| 178 |Duoc UC - Santillana
Está ela­bo­ra­do en una esca­la de 1:100 ó 100
1
. Es decir, un cen­tí­me­tro en el plano
represen­ta 100 cm en la rea­li­dad. Con estos datos se pueden cal­cu­lar las medi­das rea­
les del depar­ta­men­to sin nece­si­dad de medir direc­ta­men­te. Por ejem­plo, en el plano, las
medi­das de la terra­za son 2,4 cm y 0,85 cm; enton­ces, las medi­das rea­les se cal­cu­lan
de la siguien­te mane­ra:
Por tanto, las medi­das rea­les de la terra­za son 240 cm y 85 cm o bien 2,4 m y 0,85 m.
Resumen
Una esca­la es la razón entre una lon­gi­tud en un plano o mapa y su corres­
pon­dien­te lon­gi­tud real, expre­sa­das en la misma uni­dad de medi­da.
• 2,4
• 2,4
1
100
=
2,4
240
2,4 cm del plano equivalen
a 240 cm de la realidad.
1
100
=
0,85
85
• 0,85
• 0,85
0,85 cm del plano equivalen
a 85 cm de la realidad.

6. | 179 | Santillana - Duoc UC
Ecuaciones y pro­por­cio­na­li­dad
Don José tiene un terre­no rec­tan­gu­lar en el que deci­dió plan­tar 3 tipos dife­ren­tes de
árbo­les: pino (P), euca­lip­to (E) y roble (R). Todavía no sabe cuán­tos plan­tar de cada
uno pero sí sabe que ­dichas can­ti­da­des deben ser pro­por­cio­nales a la super­fi­cie des­
ti­na­da para cada tipo de árbol.
Veamos un esque­ma del pro­ble­ma y los datos que tiene don José.
Total de semi­llas: 2.470
Recuerda que la fórmula para encontrar el
área de un rectángulo de lados p y q es:
Área = p · q
Recuerda
20 m P E R
16 m 12 m 10 m
A partir de nuestros conocimientos de geometría, sabemos que la superficie destinada
para cada tipo de árbol es: 320 m2
, 240 m2
y 200 m2
, respectivamente.
Como don José desea que las cantidades sean proporcionales a los m2
de cada terreno,
se tiene:
P
320
=
E
240
=
R
200
= k o bien P = 320 k E = 240 k R = 200 k
Donde k corresponde a la cantidad de árboles de cada tipo en cada metro cuadrado.
Así, podemos expresar la siguiente ecuación para resolver el problema:
P + E + R = 2.470
320 k + 240 k + 200 k = 2.470
760 k = 2.470
k = 3,25
Luego, P = 320 • 3,25 = 1.040 árboles de pino.
E = 240 • 3,25 = 780 árboles de eucalipto.
R = 200 • 3,25 = 650 árboles de roble.
Con estos valores, podemos decir que la cantidad de árboles plantados de cada
especie es proporcional al terreno destinado para cada una.

7. Sesión 10
| 180 |Duoc UC - Santillana
Proporcionalidad direc­ta
En un perió­di­co se publi­ca
el siguien­te grá­fi­co para ilus­trar
el gasto men­sual dependiendo
del con­su­mo eléc­tri­co de
una fami­lia.
Como pue­des ver, el grá­fi­co
tiene la forma de una línea
recta ascen­den­te.
Podríamos afir­mar que
“a medi­da que aumen­ta
el con­su­mo, aumen­ta el
can­ti­dad a pagar”.
Obser­va ade­más que exis­te una regu­la­ri­dad en la rela­ción de estas varia­bles. Por
ejem­plo, por 20 kWh se deben can­ce­lar $ 2.160, ¿qué ocu­rri­rá si se aumen­ta al tri­ple
el con­su­mo? Del grá­fi­co sabe­mos que 60 kWh cues­tan $ 6.480, es decir,
20 • 3 = 60
2.160 • 3 = 6.480
Cuando la varia­ción entre dos varia­bles es cons­tan­te, es decir, una aumen­ta o dis­mi­nu­ye
la misma can­ti­dad de veces que la otra, se dice que las varia­bles son direc­ta­men­te
pro­por­cio­na­les.
Consumo (kWh)
Precio($)
Así, si P es el precio y C es el consumo eléctrico, podemos decir que:
• Si P disminuye a la mitad, C también disminuye a la mitad.
• Si C se duplica, P también se duplica.
• Si P se multiplica por 5
1
, C también se multiplica por 5
1
.
Esto ocurre puesto que el cociente entre P y C es constante. En términos algebraicos:
P
C
= k constante de proporcionalidad directa.

8. | 181 | Santillana - Duoc UC
Plano cartesiano: está formado por dos
rectas perpendiculares. El punto en donde
se intersectan corresponden al origen y al
par ordenado (0,0). El eje vertical es el eje
de las ordenadas, comúnmente llamado y,
el eje horizontal es el eje de las abcisas,
llamado x. Estos ejes forman la base del
sistema de coordenadas cartesianas, en
donde se pueden graficar todos los pares
ordenados de la forma (x,y).
Recuerda
La rapidez es la relación entre la distancia
recorrida y el tiempo que tomó recorrerla.
Para hablar de velocidad debemos
mencionar un sentido y una dirección, ya
que es una magnitud vectorial.
Recuerda
Dos variables P y Q forman una
proporcionalidad directa si
P
Q
= k
Si se invierten las variables, su constante
también se invertirá:
Q
P
=
1
k
Recuerda
Proporcionalidad direc­ta: mode­lo mate­má­ti­co
El papá de Ignacio tuvo que viajar de Rancagua a Zapallar. Ignacio quiere saber cuánto
se va a demorar, pero solo sabe que viajará a 90 km/h en promedio.
¿Qué infor­ma­ción pode­mos obte­ner con lo que sabe Ignacio? Veamos.
Si lla­ma­mos D a la dis­tan­cia que ha reco­rri­do el papá (en km), T al tiem­po que lleva
mane­jan­do el auto (en horas) y la rapi­dez es de 90 km/h, es posi­ble plan­te­ar la siguien­te
expre­sión que las rela­cio­na:
D = 90T
Con este mode­lo mate­má­ti­co es posi­ble obte­ner bas­tan­te infor­ma­ción; por ejem­plo,
pode­mos saber la dis­tan­cia reco­rri­da en dis­tin­tos momen­tos del viaje.
Luego de 1,5 horas, ¿cuán­tos km ha reco­rri­do?
Reemplazamos T por 1,5 en la expre­sión y se obtie­ne:
D = 90 • 1,5 = 135
Por tanto, el papá lleva reco­rri­dos 135 km.
si su cociente es constante. Algebraicamente,
A
B
= k (k: constante)
Resumen
Dos variables A y B se relacionan de manera directamente proporcional,
si su cociente es constante. Algebraicamente, B
A
= k (k: constante)
En su gráfica, siempre se apreciará una línea recta ascendente que pasa
por el origen del plano cartesiano.
Completa la siguiente tabla para verificarlo.
P 1.080 2.160 4.320 7.560 8.640
C 10 30 50 60
P
C
108
¿Qué representa la constante de proporcionalidad en este caso?

9. Sesión 10
| 182 |Duoc UC - Santillana
También pode­mos saber el tiem­po que lleva viajando según la dis­tan­cia reco­rri­da
hasta el momen­to.
A los 225 km, ¿cuán­to tiem­po ha trans­cu­rri­do?
Reemplazamos D por 225 en la expre­sión y se obtie­ne:
225 = 90T
225
90
= T
2,5 = T
Por tanto, el papá ha mane­ja­do duran­te 2,5 horas.
Resumen
El modelo matemático de la proporcionalidad directa se puede escribir
como:
A
B
= k o equivalentemente A = B • k
Donde k es la constante de proporcionalidad entre las variables A y B.
El cociente entre
ambas variables es constante.
Su gráfico asociado es una recta.
Observa que el modelo matemático anterior corresponde a una proporcionalidad
directa, pues:
Así, Ignacio solo debe conocer la distancia entre Rancagua y Zapallar (265 km).
Al hacer el cálculo, obtiene que se demorará 2,9 horas.
D = 90 • T +
D
T
= 90
Tiempo
Distancia

10. | 183 | Santillana - Duoc UC
Proporcionalidad inversa
Una profesora pidió a sus alumnos(as) que construyeran rectángulos en cartulina, con
una condición: todos deberían tener un área igual 24 cm2
.
Luego de unos minutos, se anotó en una tabla las distintas dimensiones obtenidas.
Solo se consideraron valores enteros.
Veamos algunas conclusiones que podemos obtener de la tabla.
1. Si uno de los lados del rectángulo se duplica, ¿qué deberías hacer con la medida
del otro lado para que la condición del problema se mantenga (tener área igual a
24 cm2
)?
De la tabla tomemos, por ejemplo, el primer y segundo rectángulo. El lado 1 se
duplicó y el lado 2 se redujo a la mitad.
2. Si uno de los lados del rectángulo se triplica, ¿qué sucede con la medida del otro
lado para que el área se mantenga igual a 24 cm2
?
Si observas el segundo y quinto rectángulo te darás cuenta de que mientras una
de las medidas se triplicó, la otra se redujo a la tercera parte.
Al construir un gráfico, usando la tabla, obtenemos una línea curva, que por su forma
recibe el nombre de hipérbola.
24 cm 12 cm
1 cm 2 cm
12 cm
4 cm
6 cm2 cm
Lado 1
Lado2
Lado 1 Lado 2
1 cm 24 cm
2 cm 12 cm
3 cm 8 cm
4 cm 6 cm
6 cm 4 cm

11. Sesión 10
| 184 |Duoc UC - Santillana
Ya sabe­mos que en nues­tro pro­ble­ma el pro­duc­to se man­tie­ne cons­tan­te. Si lla­ma­
mos x e y a las medi­das de los lados del rec­tán­gu­lo, ten­dre­mos que:
x • y = 24
Así, x e y for­man una rela­ción de pro­por­cio­na­li­dad inver­sa, pues el pro­duc­to de sus
mag­ni­tu­des es siem­pre cons­tan­te. Por ejem­plo, si x aumen­ta al doble, y se redu­ce a
la mitad.
Resumen
Dos variables M y N forman una relación de proporcionalidad inversa
si el producto de sus magnitudes permanece constante.
Algebraicamente,
M • N = k
donde k es la constante de proporcionalidad inversa.
El gráfico correspondiente a este tipo de proporcionalidad es una curva
llamada hipérbola.
Proporcionalidad inver­sa: mode­lo mate­má­ti­co
Pilar y su abue­li­ta tie­nen una mini empre­sa de venta de bufan­das: la abue­li­ta las con­
fec­cio­na y Pilar las vende. Ellas pre­ten­den obte­ner como venta total $ 20.000. Como
­podrás adi­vi­nar, si el pre­cio de cada bufan­da es muy caro lo más pro­ba­ble es que no les
vaya muy bien o, si son muy bara­tas, ten­drán que ven­der ­muchas bufan­das para lle­gar
a la meta.
Si lla­ma­mos B a la can­ti­dad de bufan­das que se fabri­can y P al pre­cio que ten­drá cada
una de ellas, es posi­ble plan­te­ar la siguien­te expre­sión que las rela­cio­na:
B • P = 20.000

12. | 185 | Santillana - Duoc UC
Observa que el modelo matemático anterior corresponde a una relación de
proporcionalidad inversa, pues:
B • P = 20.000
Es decir, el producto entre ambas
magnitudes es constante. Su gráfico
asociado es una curva llamada
hipérbola.
La hipérbola es una curva que resulta de la
intersección de una superficie cónica con
un plano.
Recuerda
Bufandas
Precio
Con este mode­lo mate­má­ti­co es posi­ble saber, por ejem­plo, la can­ti­dad de bufan­das
que se nece­si­tan si se fija un pre­cio deter­mi­na­do para ellas.
También pode­mos saber el pre­cio de cada bufan­da, si cono­ce­mos la can­ti­dad que se
han con­fec­cio­na­do.
Si cada bufan­da se vende en $ 2.500, ¿cuán­tas bufan­das nece­si­ta ven­der?
Reemplazamos P por 2.500 y se obtie­ne:
B • 2.500 = 20.000
B =
20.000
2.500
B = 8
Por tanto, Pilar nece­si­ta ven­der 8 bufan­das.
Si se quie­re ven­der solo 5 bufan­das, ¿en cuán­to se debe ven­der cada una?
Reemplazamos B por 5 y se obtie­ne:
5 • P = 20.000
B =
20.000
5
B = 4.000
Por tanto, Pilar debe ­cobrar $4.000 por cada bufan­da.

13. Sesión 10
| 186 |Duoc UC - Santillana
Resumen
El modelo matemático de la proporcionalidad inversa se puede escribir
como
M • N = q o equivalentemente M =
q
N
Donde q es la constante de proporcionalidad inversa entre las variables
M y N.
Variaciones proporcionales y no proporcionales
En las páginas anteriores, ya has visto cómo relacionar dos o más variables a través
de expresiones algebraicas o ecuaciones y los tipos de relaciones de proporcionalidad
que se pueden establecer entre ellas.
Analicemos ahora distintas situaciones para distinguir cuándo estamos en presencia de
una relación de proporcionalidad o no.
Situación 1
La empre­sa A de tele­fo­nía celu­lar tiene un plan con un costo fijo de $ 3.000 y $ 100 por
cada minu­to de lla­ma­da. La empre­sa B, en cam­bio, solo cobra $ 200 por cada minu­to y
no tiene costo fijo. Por ejem­plo, si una per­so­na habla 10 minu­tos usan­do la empre­sa A
su cuen­ta sería de:
Empresa A: $ 3.000 + 10 min x $ 100 = $ 4.000
Estos mis­mos 10 minu­tos en la empre­sa B serí­an:
Empresa B: 10 min x $ 200 = $ 2.000
Observa el grá­fi­co que ilus­tra esta situa­ción.
Las relaciones de proporcionalidad entre
dos variables pueden ser directas o
inversas. En ocasiones, si hay más de dos
variables relacionadas entre sí, se habla de
proporcionalidad compuesta.
Recuerda
Minutos
Empresa A
Empresa B
Costo $

14. | 187 | Santillana - Duoc UC
Tabla 1: Empresa A Tabla 2: Empresa B
Empresa A Empresa B
Considera los minu­tos usa­dos (M) y la cuen­ta total a pagar (C) en cada empre­sa de
tele­fo­nía. ¿Se rela­cio­nan de mane­ra pro­por­cio­nal estas can­ti­da­des?
A sim­ple vista podrí­a­mos pen­sar que sí for­man una pro­por­cio­na­li­dad direc­ta, pues en
ambos casos, al aumen­tar los minu­tos de lla­ma­das, aumen­ta el pre­cio que se debe
pagar. Pero recuer­da que dos varia­bles se rela­cio­nan en pro­por­cio­na­li­dad direc­ta solo
sí el cocien­te entre sus mag­ni­tu­des es cons­tan­te. Completa las ­tablas para exa­mi­nar
esta con­di­ción.
Como pue­des obser­var, las varia­bles deter­mi­nan una varia­ción pro­por­cio­nal en la tabla
2, pero no en la tabla 1. Esto se debe al monto fijo que se debe pagar ini­cial­men­te.
Observa los mode­los mate­má­ti­cos que están ­detrás de cada caso:
C = 3.000 + 100 • M C = 200 • M
Sigamos con el aná­li­sis de estas empre­sas, ¿cuál ele­gi­rí­as tú?
Observando la tabla, la res­pues­ta pare­ce
obvia: la empre­sa B es la más bara­ta. Si
embar­go, al aumen­tar la can­ti­dad de minu­tos
pue­des lle­var­te una sor­pre­sa. Completa el
grá­fi­co y seña­la cuán­do es más con­ve­nien­te
una empre­sa en rela­ción a la otra.
No corresponde al modelo
de proporcionalidad directa
Sí corresponde al modelo
de proporcionalidad directa
C 3.100 3.200 3.500 4.000 C 200 400 1.000 2.000
M 1 2 5 10 M 1 2 5 10
C
M
C
M
Minutos
Costo $

15. Sesión 10
| 188 |Duoc UC - Santillana
Situación 2
En Física es común uti­li­zar expre­sio­nes mate­má­ti­cas para sim­bo­li­zar la rela­ción entre varia­
bles. Una de estas corres­pon­de a la rela­ción entre las varia­bles velo­ci­dad (v), dis­tan­cia (d) y
tiem­po (t) de un recorrido en automóvil:
v =
d
t
De esta expre­sión pode­mos dedu­cir lo siguien­te:
a. Si deja­mos d como cons­tan­te, la velo­ci­dad y
el tiem­po deter­mi­nan una rela­ción pro­por­cio­nal
inver­sa.
vt = d
Por ejem­plo, si la dis­tan­cia a reco­rrer por un
automóvil es 100 km, a mayor velo­ci­dad obten­drá
menor tiem­po y, por el con­tra­rio, si su velo­ci­dad
es muy peque­ña demo­ra­rá mucho más tiem­po en
reco­rrer estos 100 km.
El siguiente gráfico ilustra la situación.
¿Qué valor tiene la velocidad para un tiempo
igual a 10 horas? Completa el gráfico con este
valor.
b. Si la velo­ci­dad es cons­tan­te, enton­ces las varia­
bles d y t deter­mi­nan una rela­ción pro­por­cio­nal
direc­ta de cons­tan­te v.
Por ejem­plo, si la velo­ci­dad de un automóvil es
siem­pre 50 km/h, a mayor dis­tan­cia a reco­rrer
mayor tiem­po se va a demo­rar, y vice­ver­sa.
t (horas)
v(km/h)
t (horas)
v(km/h)
Resumen
Para deter­mi­nar si dos varia­bles se rela­cio­nan pro­por­cio­nal­men­te hay que com­pro­bar que cum­plan con el mode­lo
mate­má­ti­co que corres­pon­da. Es decir, en el caso de pro­por­cio­na­li­dad direc­ta, que el cocien­te sea cons­tan­te; y en el
caso de pro­por­cio­na­li­dad inver­sa, que el pro­duc­to sea cons­tan­te.

16. | 189 | Santillana - Duoc UC
Ejercicios resueltos
1. Camila, Marta y Andrea se asociaron y abrieron un negocio en su barrio.
Camila invirtió $ 300.000, Marta $ 700.000 y Andrea $ 500.000. Al tercer año
de funcionamiento se obtuvo una ganancia de $ 1.200.000, la que fue dividida
en tres partes, directamente proporcionales al capital que cada una invirtió.
Se calcula el valor de la razón entre el
capital ganado y el capital invertido.
El valor de la razón se puede interpretar
como la ganancia (en pesos) por cada
peso invertido.
Es decir, por cada peso invertido,
se ganaron 0,8 pesos.
Para calcular la ganancia correspondiente
a cada una, se puede multiplicar 0,8 por
la cantidad invertida.
300.000 + 700.000 + 500.000 = 1.500.00 Dinero invertido en total.
1.200.000
1.500.000
= 0, 8
300.000 • 0,8 = 240.000
700.000 • 0,8 = 560.000
500.000 • 0,8 = 400.000
Comprobando los resultados:
Camila:
240.000
300.000
=
4
5
Marta:
560.000
700.000
=
4
5
Andrea:
400.000
500.000
=
4
5
Respuesta:
Camila debe recibir $ 240.000, Marta $ 560.000 y Andrea $ 400.000.
Se comprueba el resultado
y se escribe la respuesta.
Valor de la razón del dinero
ganado y el dinero invertido.
Camila invirtió $ 300.000,
entonces le corresponde una
ganancia de $ 240.000.
Marta invirtió $ 700.000,
entonces le corresponde una
ganancia de $ 560.000.
Andrea invirtió $ 500.000,
entonces le corresponde una
ganancia de $ 400.000.
Para las tres, la razón entre lo
ganado y lo invertido es igual,
por tanto, son directamente
proporcionales.

17. Sesión 10
| 190 |Duoc UC - Santillana
2. Un condominio está formado por tres edificios: El Roble, El Olmo y El Arce.
Toda la comunidad se está organizando para plantar arbustos nuevos en el
jardín, con un costo de $ 77.000. ¿Qué cantidad de dinero es la que debe
aportar cada edificio, si sus habitantes son 54, 68 y 32, respectivamente, y el
aporte será proporcional al nº de habitantes de cada uno?
Se plantea la ecuación del reparto proporcional, donde x es el factor de reparto.
El ejercicio se resuelve mediante un reparto proporcional.
54x + 68x + 32x = 77.000
154x = 77.000
x =
77.000
154
x = 500
Así, cada edificio debe aportar:
El Roble 54 • 500 = $ 27.000
El Olmo 68 • 500 = $ 34.000
El Arce 32 • 500 = $ 16.000{
Se plantea la ecuación del reparto
proporcional, donde x es el
factor de reparto.
Se calcula el aporte de cada edificio,
multiplicando el factor de reparto por la
cantidad de habitantes de cada uno.
a. Si D es constante (k), por la fórmula nos quedaría
150 = V • T
Es decir, el producto de las variables es
constante. Así, la velocidad y el tiempo son
inversamente proporcionales.
b. Si V es constante (k), obtenemos
D
T = 100
Luego, el cociente es constante y, por
ende, la distancia y el tiempo son
directamente proporcionales.
3. Una de las fórmulas más usadas y sencillas en Física es la del movimiento
rectilíneo uniforme (MRU): D = V · T, donde D es la distancia,
V la velocidad y T el tiempo.
a. Si la distancia por recorrer es 150 km, ¿qué relación se establece entre V y T?
b. Si la velocidad permanece constante a 100 km/h, ¿qué relación se establece
entre D y T?
Se analiza la expresión y
se verifica que el modelo
matemático resultante es de
proporcionalidad directa.
Se analiza la expresión y
se verifica que el modelo
matemático resultante
es de proporcionalidad
inversa.

18. | 191 | Santillana - Duoc UC
Organizamos los datos
en una tabla.
Identificamos el tipo de
proporcionalidad.
Resolvemos la ecuación.
Resolvemos la ecuación.
Identificamos el tipo de
proporcionalidad.
Organizamos los datos
en una tabla.
Aplicando una estrategia (ordenar los datos en una tabla)
Observa atentamente la estrategia usada para resolver el siguiente problema.
Una llave de agua demora 20 minutos en llenar un estanque a razón de 15 litros por
minuto.
a. ¿Cuántos minutos demora si lo hace a razón de 5 litros por minuto?
b. ¿Cuántos minutos demora si lo hace a razón de 25 litros por minuto?
Velocidad 15 5
Tiempo 20 x
a.
La velocidad y el tiempo son cantidades inversamente proporcionales
(a mayor velocidad, menor tiempo), tenemos que:
15 • 20 = 5 • x
15 • 20
5
= x
15 • 4 = x
60 = x
Por tanto, se necesitan 60 minutos para llenar el estanque.
Velocidad 15 25
Tiempo 20 x
b.
Nuevamente se trata de cantidades inversamente proporcionales,
entonces,
15 • 20 = 25 • x
15 • 20
25
= x
3 • 4 = x
12 = x
Por tanto, se necesitan 12 minutos para llenar el estanque.

19. Sesión 10
| 192 |Duoc UC - Santillana
Soy capaz de utilizar datos
numéricos para establecer
proporciones.
Respondo y analizo la
pertinencia de las soluciones.
Analizando una pregunta
Observa la resolución del siguiente ejercicio y compárala con los métodos que tú
usarías para resolverlo. Presta especial atención a lo que te indican las etiquetas.
Se sabe que 3 tarros de pintura alcanzan para pintar 12 m2
de pared.
Si se necesita pintar una pared de 44 m2
, y cada tarro de pintura cuesta $ 7.500,
¿cuánto dinero costarán todos los tarros necesarios para pintar la pared?
Observa que:
Tarros de pintura Superficie a pintar
3 12 m2
de pared
x 44 m2
de pared
Como las variables tarros de pintura y m2
de pared están en proporción directa,
calculamos el término que falta en la proporción:
3
x
=
12
44
44 • 3 = 12 • x
132 = 12 • x
132
12
= x
11 = x
Entonces, se necesitan 11 tarros para pintar 44 m2
de pared.
Ahora bien, si el tarro cuesta $ 7.500, entonces: 7.500 • 11 = 82.500
El costo de 11 tarros de pintura es de $ 82.500.
Puedo aplicar la propiedad
fundamental de las proporciones.

20. | 193 | Santillana - Duoc UC
Ejercicios
1. Teresa trabajó tres horas y ganó $8.100. ¿Cuántas horas debe
trabajar en el mismo lugar y bajo las mismas condiciones
para ganar $32.400?
2. En condiciones óptimas un alumno del taller de teatro
necesita 25 minutos para aprender 15 líneas del texto,
¿cuántos minutos necesitará bajo las mismas condiciones
para memorizar 180 líneas?, ¿cuántas horas se demora en
memorizar este texto?
3. El arriendo de una cancha de tenis cuesta $5.500 la media
hora. Si Juan y su hermano la arrendarán por 3 horas 15
minutos, ¿cuánto dinero deben pagar?
4. Un estudio determinó que 100 gramos de naranjas aportan
al organismo 34 ml de agua, ¿cuántos ml de agua aportarán
al organismo 2 kilos de naranjas?
5. El siguiente gráfico presenta la relación entre los metros
cúbicos consumidos de agua y el valor a pagar en pesos
por tal consumo. De acuerdo a la información entregada
en el gráfico, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?,
¿cuánto se debe cancelar si se consumen 7.552 metros
cúbicos de agua?
–1 0 10 20 30 40 50 60 70
X
Y
60
50
40
30
20
10
0
$ Pesos
metros cúbicos de agua
6. El siguiente gráfico presenta la distancia recorrida por un
bus de pasajeros en relación a los litros de combustible
consumidos durante el viaje, si mantiene una velocidad
constante. De acuerdo a los datos de gráfico, ¿cuál es la
constante de proporcionalidad?, ¿cuántos litros de combustible
gastará el bus si realiza un viaje de 375km?
–1 0 20 40 60 80 100 120 140 160
X
Y
12
10
8
6
4
2
0
Litros de combustible
Km recorridos
7. Un acuario puede llenarse con 12 bidones de 15 litros cada
uno, ¿cuántos bidones de 4,5 litros se necesitan para llenar
el mismo acuario?
8. Una constructora sabe que para construir un edificio de 8
pisos se necesitan 72 trabajadores, los cuales se demoran
12 meses en terminarlo. ¿Cuántos trabajadores extra se
deben contratar para terminar el mismo edificio en 9 meses?
9. En una parcela hay 50 animales y el alimento les alcanza
para 18 días. Si se compran 10 animales más, ¿para cuántos
días alcanzaría la misma cantidad de alimento?
10. Un bus demora 7,5 horas entre Valparaíso y Talca a una
velocidad promedio de 84 km/h. ¿A qué velocidad promedio
se desplazó otro vehículo que hizo el mismo recorrido en
6 horas?

21. Sesión 10
| 194 |Duoc UC - Santillana
11. El siguiente gráfico presenta el valor en miles de pesos
de la cuota que debe pagar cada integrante de un grupo
familiar al adquirir un producto tecnológico. De acuerdo
al gráfico, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cuál
sería la cuota que se debería pagar cada integrante, si el
grupo familiar estuviera compuesto por 12 personas?
0 10 20 30 40 50 60
X
Y
40
30
20
10
0
ValorcuotaMiles$
Nº personas
12. En el siguiente gráfico se presenta información que relaciona
el tiempo de espera de los clientes en ser atendidos en una
sucursal de telefonía celular, con respecto a la cantidad de
trabajadores que están atendiendo. Si trabajan 12 personas
en la sucursal, ¿cuántos minutos tendrá que esperar una
persona para ser atendida?
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
X
Y
30
25
20
15
10
5
0
Tiempoesperaminutos
Nº Trabajadores
13. Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. ¿Qué
distancia recorre en 1 minuto 12 segundos, si mantiene su
rapidez constante?
14. Una inversión de $350.000 produce un rendimiento
(ganancia) de $4.200 en un año. ¿Qué rendimiento producirá
una inversión de $450.000 a la misma tasa de interés y
durante el mismo tiempo?
15. El siguiente gráfico presenta la relación entre la cantidad de
productos comprados (todos de las mismas características)
y el valor a pagar. De acuerdo a la información, ¿cuál es el
valor que se debe cancelar si se compran 15 productos
iguales?
0 2 4 6 8
X
Y
30000
25000
20000
15000
10000
5000
0
Valor a pagar
Cantidad de productos
16. La rapidez de un automóvil es de 70 km/h y demora 5
horas en recorrer una cierta distancia. ¿Cuántas horas
demorará en recorrer la misma distancia, otro automóvil,
con una rapidez de 80 km/h? Utilice FIX1
17. Cuando una llave arroja 32 litros por minuto de cierto
líquido, demora 3,5 horas en llenar un estanque. ¿Cuánto
demora en llenarse este estanque, si ahora la llave arroja
24 litros por minuto? Utilice FIX1
18. Un estudio realizado sobre la salinidad del agua de mar
determinó que 2 litros de agua de mar contienen 1,5 gramos
de sal. Si se tiene una muestra que contiene 9,375 gramos
de sal, ¿cuántos litros de agua de mar se extrajeron?
19. Para pavimentar una calle de 800 metros de largo y 12
metros de ancho, se han utilizado 18.000 pastelones.
¿Cuántos pastelones se necesitan para pavimentar una calle
de 1.000 metros de largo y 15 metros de ancho?

22. | 195 | Santillana - Duoc UC
20. El siguiente gráfico presenta la relación entre la cantidad
de máquinas que se tienen para realizar un determinado
trabajo y el tiempo que demoran en realizarlo. ¿Cuántas
horas demorarán en hacer el mismo trabajo si se cuenta
con 25 máquinas?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
X
Y
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Tiempo de demora
(horas)
Nº Máquinas
21. Una persona establece la relación entre el número de grifos
necesarios y las horas que tardan en llenar una piscina. Si
se sabe que 5 grifos demoran 1,6 horas en llenarla, ¿cuál
de los siguientes gráficos representa la situación planteada?
a.
0 1 2 3 4 5 6
X
Y
6
4
2
0
Nºhoras
Nº grifos
b.
0 1 2 3 4 5 6
X
Y
6
4
2
0
Nºhoras
Nº grifos
c.
0 1 2 3 4 5 6
X
Y
6
4
2
0
Nºhoras
Nº grifos
22. Un instituto confecciona un gráfico donde se representa
la relación entre la cantidad de alumnos matriculados y
el dinero recaudado por este concepto. Se sabe que se
si matriculan 15 alumnos la recaudación es de $750.000,
¿cuál de los siguientes gráficos establece la relación entre
las variables?
a.
0 1 2 3 4 5 6
X
Y
40
30
20
10
0
Recaudación
miles $
Nº matrículas
b.
0 1 2 3 4 5 6
X
Y
180
120
60
0
Recaudación
miles $
Nº matrículas
c.
0 1 2 3 4 5 6
X
Y
150
100
50
0
Recaudación
miles $
Nº matrículas
Selección Múltiple:
23. Un árbol de 1,8 metros de altura proyecta una sombra
hacia el frente de 2,2 metros. ¿Cuánto mide la sombra de
otro árbol de 1,5 metros que se encuentra al lado del
primero a la misma hora? Utilizar FIX2
a. 0,54 m
b. 1,83 m
c. 2,06 m
d. 2,64 m
e. 5,94 m
24. Una máquina puede etiquetar 4.096 envases en cuatro días
de trabajo. ¿Cuántos días son necesarios para etiquetar
9.216 envases iguales a los anteriores?
a. 1 b. 2 c. 9 d. 10 e. 13

23. Sesión 10
| 196 |Duoc UC - Santillana
25. Una casa se pinta en 20 días con 60 hombres trabajando.
Por problemas de presupuesto, al mes siguiente la empresa
debe contratar a 45 personas menos bajo las mismas
condiciones. ¿Cuántos días se demorarán en pintar una
casa de iguales características?
a. 5 b. 15 c. 26 d. 60 e. 80
26. Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 120 horas
de trabajo, ¿cuántas horas demoran 60 telares iguales en
producir la misma cantidad de tela?
a. 7,2 b. 12,5 c. 25,0 d. 50,0 e. 288,0
27. Para pintar una pared de 96 m
2
se ocupan 8 tarros de
pintura. ¿Cuántos tarros del mismo tipo de pintura se
necesitan para pintar una pared de 28,8 metros de largo
por 2,5 metros de ancho?
a. 3 b. 5 c. 6 d. 11 e. 17
28. El pago por el consumo de la electricidad es proporcional a la
electricidad que se consume mensualmente. Esta situación se
refleja en el siguiente gráfico. Si una familia consume 1.550KW
de electricidad en el mes, ¿cuánto es lo que debe cancelar?
a. $258
b. $7.750
c. $9.000
0 1 2 3 4 5 6 7
X
Y
30
24
18
12
6
0
Valor (en pesos)
Cant KW
d. $9.300
e. $9.360
29. Un jefe de obra construye el siguiente gráfico donde se
relaciona la cantidad de operarios trabajando bajo las
mismas condiciones, y el tiempo en horas que se demoran
en realizar un determinado trabajo. ¿Cuánto tiempo se
demorarán en realizar el mismo trabajo 16 operarios?
a. 9 ,37
b. 6 ,25
0 1 2 3 4 5 6 7
X
Y
150
100
50
0
Nº horas
Nº operarios
c. 12 ,5
d. 100
e. 800
30. En una parcela hay 12 caballos que consumen 720 kg. de
alfalfa durante el mes de “Abril”. El dueño de la parcela
compró 3 caballos más, si tiene la misma cantidad de alfalfa,
¿para cuántos días le alcanzará?
a. 7,5 b. 14 c. 24 d. 37,5 e. 38,75
31. La cantidad de mg de medicamento en el organismo se
relaciona en forma proporcional a las horas transcurridas
desde que se ingiere. Pasadas 1,6 horas de haber sido
ingerido quedan en el organismo 125mg, ¿cuál (es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?
I. Pasada1horahayenelorganismo200mgdelmedicamento
II. La constante de proporcionalidad es 50
III. El siguiente gráfico modela la situación
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
X
Y
200
150
100
50
0
Mg de medicamento
Horas transcurridas
a. Sólo I
b. Sólo II
c. Sólo I y II
d. Sólo I y III
e. I, II y III

24. | 197 | Santillana - Duoc UC
Sesión 9
32. Laura quiere comenzar a andar en bicicleta y diseña un plan
de acción que se ve representado en el siguiente gráfico,
donde se relacionan en forma proporcional los minutos
dedicados a andar en bicicleta y la distancia recorrida en
kilómetros. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es
(son) verdaderas?
0 30 60
X
Y
30
25
20
15
10
5
0
KM recorridos
Minutos
I. Si hace ejercicio por media hora, recorre 5 km en bicicleta
II. La constante de proporcionalidad es 0,16
III. Si Laura se dedica 1 hora y 24 minutos a andar en
bicicleta, recorre 14 kilómetros.
a. Sólo I
b. Sólo III
c. Sólo I y III
d. Sólo II y III
e. I, II y III
33. Un nutricionista le indica a un paciente que una porción
de yogurt tiene 6,3 proteínas. Si el médico le indica a su
paciente que debe consumir diariamente 5 porciones de
yogurt con las mismas características, ¿cuántas proteínas
debe consumir el paciente a la semana?
a. 8,82 b. 31,5 c. 157,5 d. 126 e. 220,5
34. Eugenia se quiere comprar una estufa a parafina que gasta
2 litros del combustible en 5 horas. Si el consumo de
parafina es proporcional al tiempo de uso, ¿cuántos litros
de parafina se gastarán en 8 horas?
a. 1,25 b. 2 c. 3,2 d. 11 e. 15
35. Una cuenta se dividirá en forma proporcional a la cantidad
de personas que la compartirán, la situación se ve reflejada
en el siguiente gráfico. ¿Cuál es la cuota que debe cancelar
cada uno, si el grupo tiene en total 16 personas?
0 1 2 3 4 5 6 7 8
X
Y
300.000
250.000
200.000
150.000
100.000
50.000
0
$
Nº personas
a. $17.500
b. $18.750
c. $21.875
d. $50.000
e. $114.286
36. Un jardinero utiliza 74,4 metros cuadrados de pasto para
colocar la misma cantidad en 6 casas, ¿Cuántos metros
cuadrados de pasto necesitará el jardinero para colocar
en 14 casas iguales a las anteriores?
a. 31,9 m
2
b. 94,4 m
2
c. 173,6 m
2
d. 297,6 m
2
e. 520,8 m
2
37. Jaime ahorra mensualmente la misma cantidad de dinero. Al
consultar su saldo después de 15 meses, observa un total
de $354.000. Si Jaime sigue ahorrando de la misma manera,
¿cuánto dinero tendrá ahorrado después de 32 meses?
a. $165.938
b. $377.600
c. $708.000
d. $755.200
e. $826.000

25. Sesión 10
| 198 |Duoc UC - Santillana
38. Para construir un edifico el capataz de una obra determina
que si tiene 70 trabajadores trabajando bajo las mismas
condiciones demorarán 24 meses en terminarlo. ¿Cuál (es)
de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas?
I. La constante de proporcionalidad es 1.680
II. Si el capataz contratara 14 trabajadores más, trabajando
bajo las mismas condiciones, demorarían 20 meses en
terminar el mismo edificio.
III. Si se contratan más trabajadores, trabajando bajo las
mismas condiciones, se demorarán más en terminar
el mismo edificio.
a. Sólo I
b. Sólo III
c. Sólo I y II
d. Sólo I y III
e. I, II y III
39. El siguiente gráfico presenta la relación proporcional entre
los litros de pintura utilizados para pintar un muro y la
superficie que se puede cubrir al pintar. ¿Cuántos litros de
la misma pintura se deben comprar para pintar un muro
de 68 metros cuadrados de superficie?
a. 0,6 L
b. 6 L
c. 6,8 L
0 2 4 6 8 10
X
Y
120
100
80
60
40
20
0
Superficie
(metros cuadrados)
Litros de pintura
d. 7 L
e. 10 L
40. Gonzalo necesita dejar su auto en un estacionamiento. Un
letrero le indica que el costo por estacionar 30 minutos es
de $800. Si el cobro del estacionamiento es proporcional
al tiempo, ¿cuánto debe cancelar Gonzalo si permanece
estacionado por 1 hora y 24 minutos?
a. $640
b. $1.600
c. $1.720
d. $2.240
e. $3.040

26. | 199 | Santillana - Duoc UC
Solucionario Sesión de ejercicios Nº 10
| 199 |Duoc UC - Santillana
1. Debe trabajar 12 horas
2. Se demora 300 minutos = 5 horas
3. Debe pagar $35.750
4. Aportan al organismo 680ml de agua
5. La contante de proporcionalidad es 2. Se deben cancelar
$15.104
6. La constante de proporcionalidad es 0,05. Se necesitan
18,75 litros de combustible.
7. Se necesitan 40 bidones
8. Se necesitan 24 trabajadores extra
9. Les alcanza para 15 días
10. Viaja a 105 km/h
11. La constante de proporcionalidad es 600.000. Cada uno
debe pagar $50.000
12. El tiempo de espera es de 12,5 minutos
13. La moto recorre 2.160 metros
14. Produce una ganancia de $5.400
15. Por 15 productos cancela $75.000
16. Se demorará 4,4 horas
17. Se demorará 4,7 horas
18. Se extrajeron 12,5 litros de agua de mar
19. Se necesitan 28.125 pastelones
20. Se demoran 16 horas
21. Gráfico B
22. Gráfico C
Selección Múltiple:
Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta
23 B 32 E
24 C 33 E
25 E 34 C
26 D 35 C
27 C 36 C
28 D 37 D
29 C 38 C
30 C 39 C
31 D 40 D