El documento explica los conceptos de proporcionalidad directa e inversa. La proporcionalidad directa ocurre cuando dos cantidades aumentan o disminuyen juntas, mientras que la proporcionalidad inversa ocurre cuando una cantidad aumenta mientras la otra disminuye. Se proveen ejemplos para ilustrar cómo aplicar estos conceptos para resolver problemas que involucran relaciones proporcionales.

1. Proporcionalidad
Proporcionalidad directa e inversa
PDF generado usando el kit de herramientas de fuente abierta mwlib. Ver http://code.pediapress.com/ para mayor información.
PDF generated at: Sun, 07 Aug 2011 15:36:15 UTC

2. Contenidos
Artículos
Proporcionalidad 1
Proporcionalidad 1
Regla de tres 5
Referencias
Fuentes y contribuyentes del artículo 10
Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 11
Licencias de artículos
Licencia 12

3. 1
Proporcionalidad
Proporcionalidad
La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos
ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La
proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad
puede utilizarse para expresar las relaciones entre las magnitudes.
Símbolo
El símbolo matemático '∝' se utiliza para indicar que dos valores son proporcionales. Por ejemplo, A ∝ B.
En Unicode este es el símbolo: U+221D.
Ejemplos
Primer ejemplo
La receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 g de harina, 150 g de mantequilla,
cuatro huevos y 120 g de azúcar. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas? Según varios estudios, la mayoría de
la gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo entre cuatro) y luego las multiplicaría por el número
real de personas, cinco, otras solo le sumarían lo que a una persona le corresponde. Una minoría no siente la
necesidad de pasar por las cantidades unitarias (es decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por 5/4
= 1,25 (lo que equivale a añadir cinco huevos, 250 g de harina; 187,5 g de mantequilla y 150 g de azúcar) tendrá el
mismo sabor que el otro, si el cocinero aficionado se muestra tan bueno como el chef que escribió la receta.
Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personas y se representa esta situación
mediante una tabla de proporcionalidad: coeficiente k no nulo ( en el ejemplo) tal que
Si se consideran e como valores de variables e , entonces se dice que estas variables
son proporcionales; la igualdad y = k·x significa que y es una Función lineal de x.
La representación gráfica de esta función es una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Una
variación (incremento o decremento) de x da lugar a una variación proporcional de y (y recíprocamente, puesto que
k≠0: y = 1/k · x):

4. Proporcionalidad 2
Son las funciones más sencillas que existen y las primeras que se estudian en clase de matemáticas, con alumnos de
trece años aproximadamente.
La relación «Ser proporcional a» es
• reflexiva ( toda variable es proporcional a sí misma, con el coeficiente 1)
• simétrica (cuando y es proporcional a x entonces x lo es a y, con el coeficiente inverso) y
• transitiva (si x es proporcional a y, e y a z, entonces x lo es con z, multiplicando los coeficientes)
por lo que se trata de una relación de equivalencia. En particular dos variables proporcionales a una tercera serán
proporcionales entre sí).
La tabla del primer ejemplo se puede descomponer en tres de formato dos por dos:
por tanto las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas.
Una proporción está formada por los números a, b, c y d, si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.
Una proporción está formada por dos razones iguales: a : b = c : d
Dónde a, b, c y d son distintos de cero y se lee a es a b como c es a d .
Proporción múltiple:
Una serie de razones está formada por tres o más razones iguales: a : b = c : d = e : f
Y se puede expresar como una proporción múltiple: a : c : e = b : d : f
En la proporción hay cuatro términos; a y d se llaman extremos; c y b se llaman medios.
En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
Para establecer que una tabla es proporcional, se puede:
1. verificar que la segunda columna es múltiple de la primera, (primera tabla: para pasar de la primera casilla a la
segunda, hay que multiplicar por ; en la segunda línea se tiene que multiplicar por , luego estas fracciones
deben ser iguales para obtener columnas proporcionales)
2. verificar que la segunda línea es múltiple de la primera (segunda tabla, con un raciocinio parecido) o
3. verificar la igualdad de los productos cruzados: a·d = b·c. (tercera tabla: las igualdades anteriores equivalen a a·d
= b·c, cuando no hay valores nulos, que por cierto no tienen un gran interés en este contexto). ya que no se puede

5. Proporcionalidad 3
comprobar.
Segundo ejemplo
Dos albañiles construyen un muro de doce metros de superficie en tres horas; ¿ Qué superficie construirán cinco
albañiles en cuatro horas ?
Hay dos parámetros que influyen en la superficie construida: El número de albañiles y el tiempo de trabajo. No hay
que resistir a la tentación de aplicar dos veces la proporcionalidad, pero eso sí, explicitando las hipótesis
subyacentes.
Afirmar que el trabajo realizado es proporcional al número de albañiles equivale a decir que todos los obreros tienen
la misma eficacia al trabajo (son intercambiables); y afirmar que la superficie es proporcional al tiempo de trabajo
supone que el rendimiento no cambia con el tiempo: los albañiles no se cansan.
Admitiendo estas dos hipótesis, se puede contestar a la pregunta
pasando por una etapa intermedia: ¿ Qué superficie construirían dos
albañiles en cuatro horas ? El parámetro "número de albañiles" tiene un
valor fijo, luego se aplica la proporcionalidad con el tiempo (subtabla
roja). La superficie construida será multiplicada por . Luego, fijando
el parámetro tiempo a cuatro horas, y variando él del número de obreros de 2 a 5, la superficie será multiplicada por
(la subtabla azul es proporcional).
El resultado final es metros cuadrados.
La proporcionalidad múltiple se resuelve así, multiplicando por los coeficientes correspondientes a cada factor:
Tercer ejemplo
Dos autos recorren exactamente el mismo camino. Al primero le ha tomado dos horas y media llegar al destino,
rodando a una velocidad promedia de 70 km/h. El segundo rueda a 100 km/h. ¿Cuánto tiempo ha tardado en llegar?
Entre mayor velocidad tenga uno, menor tiempo durará el viaje. Si se multiplica por dos la velocidad, la duración del
viaje se dividirá en dos. Aquí, claramente el tiempo del recorrido no es proporcional a la velocidad sino justamente
lo contrario: es inversamente proporcional, es decir proporcional a la inversa de la velocidad. Esto permite
responder a la pregunta:

6. Proporcionalidad 4
cambiando una multiplicación por una división (primera tabla) o aplicando la proporcionalidad con la inversa de la
velocidad (segunda tabla). El tiempo será , es decir una hora y 45 minutos.
Más generalmente, si una variable y es inversamente proporcional a otra variable x, se puede aplicar la
proporcionalidad con , o más bien utilizar la siguiente equivalencia:
Es decir que el producto de los valores correspondientes (aquí en la misma línea) es constante. En el ejemplo: 70 ×
2,5 = 100 × 1, 75 = 175 km, que es la longitud del recorrido.
Una tabla de variación proporcional es aquella que sigue una secuencia utilizando de base el precio de algún objeto u
otra cosa que pueda aumentar o disminuir cierto número u objeto de forma proporcional. ejem:
número de canicas precio
2 canicas 50 centavos
4 canicas 1 peso
6 canicas 1,50 pesos
Magnitudes Directamente Proporcionales:
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número,la otra
queda multiplicada o dividida respectivamente por el mismo número.
Ejemplo:
Un automóvil consume 3 galones de gasolina por 120 km de recorrido ¿Cuantos kilómetros recorre con 20 galones?
Observamos que las magnitudes son directas Si la razón o cociente entre ellas es un valor constante.Con los datos de
la tabla, hallamos la razón.
Elaboramos una tabla de proporcionalidad:
Gasolina 3 1 10 20 40 (galones)
Recorrido 120 40 400 800 1600 (kilómetros)
Con 20 galones de gasolina, el auto recorre 800 kilómetros: Mientras más kilómetros se recorran, mas galones de
gasolina de consumirán. El número de kilómetros recorridos es directamente proporcional (D.P) al número de
galones de gasolina. Siempre que las demás condiciones se mantuvieran constantes. Esto es, que no se modificaran
las condiciones climáticas o geográficas que modificaran el consumo.

7. Proporcionalidad 5
Aplicación en geometría
El concepto de proporcionalidad es equivalente al de semejanza cuando se comparan dos triángulos semejantes. De
hecho las propiedades de la proporcionalidad (reflexividad, simetría y transitividad) son las mismas que las de la
semejanza.
Véase también
• Correlación
• Eudoxo de Cnidos
• Número áureo
• Tamaño de la muestra
• Triángulos semejantes
Enlaces externos
• Weisstein, Eric W., «Proportional [1]» (en inglés), MathWorld, Wolfram Research, http://mathworld.wolfram.
com/Proportional.html.
Referencias
[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ Proportional. html
Regla de tres
La regla de tres es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una
incógnita. En ella se establece una relación de linealidad (proporcionalidad) entre los valores involucrados.
La regla de tres más conocida es la regla de tres simple directa, si bien resulta muy práctico conocer la regla de tres
simple inversa y la regla de tres compuesta, pues son de sencillo manejo y pueden utilizarse para la resolución de
problemas cotidianos de manera efectiva.
Regla de tres simple
En la regla de tres simple, se establece la relación de proporcionalidad entre dos valores conocidos A y B, y
conociendo un tercer valor X, calculamos un cuarto valor Y,
La relación de proporcionalidad puede ser directa o inversa, será directa cuando a un mayor valor de A habrá un
mayor valor de B, y será inversa, cuando se dé que, a un mayor valor de A corresponda un menor valor de B, veamos
cada uno de esos casos.

8. Regla de tres 6
Regla de tres simple directa
La regla de tres simple directa se fundamenta en una
relación de proporcionalidad, la regla de tres
establece una relación de proporcionalidad, por lo
que rápidamente se observa que:
Donde k es la constante de proporcionalidad, para que esta proporcionalidad se cumpla tenemos que a un aumento
de A le corresponde un aumento de B en la misma proporción. Que podemos representar:
y diremos que: A es a B directamente, como X es a Y, siendo Y igual al producto de B por X dividido entre A.
Imaginemos que se nos plantea lo siguiente:
Si necesito 8 litros de pintura para pintar 2 habitaciones, ¿cuántos litros necesito para pintar 5 habitaciones?
Este problema se interpreta de la siguiente manera: la relación es directa, dado que, a mayor número de habitaciones
hará falta más pintura, y lo representamos así:

9. Regla de tres 7
Regla de tres simple inversa
En la regla de tres simple inversa en la relación entre
los valores se cumple que:
donde e es un producto constante, para que esta constante se conserve, tendremos que un aumento de A, necesitara
una disminución de B, para que su producto permanezca constante, si representamos la regla de tres simple inversa,
tendremos:
y diremos que: A es a B inversamente, como X es a Y, siendo Y igual al producto de A por B dividido por X.
Si por ejemplo tenemos el problema:
Si 8 trabajadores construyen un muro en 10 horas, ¿cuánto tardarán 5 obreros en levantar el mismo muro?
Si se observa con atención el sentido del enunciado, resulta evidente que cuantos más obreros trabajen, menos horas
necesitarán para levantar el mismo muro (suponiendo que todos trabajen al mismo ritmo).
El total de horas de trabajo necesarias para levantar el muro son 80 horas, que pueden ser aportadas por un solo
trabajador que emplee 80 horas, 2 trabajadores en 40 horas, etc. En todos los casos el numero total de horas
permanece constante.
Tenemos por tanto una relación de proporcionalidad inversa, y deberemos aplicar una regla de tres simple inversa,
tenemos:

10. Regla de tres 8
Regla de tres compuesta
En ocasiones el problema planteado involucra más de tres cantidades conocidas, además de la desconocida.
Observemos el siguiente ejemplo:
Si 12 trabajadores construyen un muro de 100 metros en 15 horas, ¿cuántos trabajadores se necesitarán para levantar un muro de 75 metros
en 26 horas?
En el problema planteado aparecen dos relaciones de proporcionalidad al mismo tiempo. Además, para completar el
ejemplo, se ha incluido una relación inversa y otra directa. En efecto, si un muro de 100 metros lo construyen 12
trabajadores, es evidente que para construir un muro de 75 metros se necesitarán menos trabajadores. Cuanto más
pequeño es el muro, menos número de obreros precisamos: se trata de una relación de proporcionalidad directa. Por
otro lado, si disponemos de 15 horas para que trabajen 12 obreros, es evidente que disponiendo de 26 horas
necesitaremos menos obreros. Al aumentar una cantidad, disminuye la otra: se trata de una relación de
proporcionalidad inversa.
El problema se enunciaría así:
100 metros son a 15 horas y 12 trabajadores como 75 metros son a 26 horas e Y trabajadores.
La solución al problema es multiplicar 12 por 75 y por 15, y el resultado dividirlo entre el producto de 100 por 26.
Por tanto, 13500 entre 2600 resulta 5,19 (lo que por redondeo resultan ser 6 trabajadores ya que 5 trabajadores no
serían suficientes).
Formalmente el problema se plantea así:
• La resolución implica plantear cada regla de tres simple por separado. Por un lado, la primera, que, recordemos,
es directa, y se resuelve así:
• A continuación planteamos la segunda, que, recordemos, es inversa, y se resuelve así:
• A continuación unimos ambas operaciones en una sola, teniendo cuidado de no repetir ningún término (es decir,
añadiendo el término C una sola vez):
lo que nos da la solución buscada.
El problema se puede plantear con todos los términos que se quiera, sean todas las relaciones directas, todas inversas
o mezcladas, como en el caso anterior. Cada regla ha de plantearse con sumo cuidado, teniendo en cuenta si es
inversa o directa, y teniendo en cuenta (esto es muy importante) no repetir ningún término al unir cada una de las
relaciones simples.

11. Regla de tres 9
Campo de aplicación
Como se ha comentado, la regla de tres es un mecanismo sencillo y extremadamente útil que sólo se puede
establecer cuando existe una relación de linealidad entre los valores que pueden tomar las variables que intervienen.
Sin embargo no es siempre fácil averiguar si existe tal relación, de modo que es necesario utilizar para ello el sentido
común y la experiencia.
Ejemplos
• Para pasar 60 grados a radianes podríamos establecer la siguiente regla de tres:
Ubicamos la incógnita en la primera posición:
Esto formaliza la pregunta "¿Cuántos radianes hay en 60 grados, dado que π radianes son 180 grados?". Así tenemos
que:
Donde π es el Número π.
Una técnica útil para recordar cómo encontrar la solución de una regla de tres es la siguiente: X es igual al producto
de los términos cruzados (π y 60, en este caso) dividido por el término que está frente a X.
• Calcular cuántos minutos hay en 7 horas. Sabemos que hay 60 minutos en 1 hora, por lo que escribimos:
El resultado es:
Enlaces externos
• Regla de Tres [1]
• REGLA DE TRES DIRECTA [2]
Referencias
[1] http:/ / www. hiru. com/ es/ matematika/ matematika_00250. html
[2] http:/ / www. thatquiz. com/ es/ mc?GBOM1530

12. Fuentes y contribuyentes del artículo 10
Fuentes y contribuyentes del artículo
Proporcionalidad Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=48558919 Contribuyentes: Airunp, Alfonso Márquez, Angel GN, Antur, Açipni-Lovrij, Banfield, BlackBeast, Bucho,
Cleiver Moreno, Cobalttempest, Dark Bane, David0811, Davius, Diegusjaimes, Drini2, Ecemaml, Edslov, Eduardosalg, Eligna, Filósofa500, Gsrdzl, Götz, HUB, Helenaluisa, HiTe, Humberto,
Ignacio Icke, Ingenioso Hidalgo, Isha, Javierito92, Javijaen, Jcaraballo, Jkbw, Jorge c2010, Joseaperez, Kved, Lmarcoad, Luis1970, Maleiva, Manwë, Matdrodes, Mel 23, Mister, Mushii,
Netito777, Nixón, Ortisa, Pintoandres90, Radical88, Raulshc, Romero Schmidtke, Rosarinagazo, RubiksMaster110, Satanás va de retro, Sigmanexus6, Smoken Flames, Swet626, Technopat,
Tostadora, Truor, Unai Fdz. de Betoño, Vic Fede, Vitamine, Wanderly, XalD, Xatufan, 272 ediciones anónimas
Regla de tres Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=48578840 Contribuyentes: 4lex, Alejo9501, Amadís, Antón Francho, Açipni-Lovrij, Banfield, Camilo, Carlos yo, DTMGO,
Dagilpe, David0811, Davius, Dferg, Diego.callejo, Diegusjaimes, Dnu72, Dodo, Eabadal, Er Komandante, Esenabre, Galandil, Hari Seldon, Humberto, Jgtr, Jkbw, JorgeGG, Kved,
Luisguilllermo, Magister Mathematicae, Mansoncc, MarhaultElsdragon, Markoszarrate, Matdrodes, Merrick, Mierda pinchada, Millars, Miotroyo, NaSz, Netito777, Nicop, Oscar ., Pedro Felipe,
Pino, PoLuX124, Racso, Ricardogpn, Sabbut, Saposabio, Savh, Serolillo, Tirithel, Ugly, Varibara, 263 ediciones anónimas

13. Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 11
Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes
Archivo:Variables proporcionals.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Variables_proporcionals.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes:
M. Romero Schmidkte
Archivo:Proporcionalidad tabla 2.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Proporcionalidad_tabla_2.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes:
Original uploader was Romero Schmidtke at es.wikipedia
Archivo:Proporcionalidad tabla 3.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Proporcionalidad_tabla_3.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes:
Original uploader was Romero Schmidtke at es.wikipedia
Archivo:Proporcionalidad tabla 4.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Proporcionalidad_tabla_4.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes:
Original uploader was Romero Schmidtke at es.wikipedia
Archivo:Proporcionalidad tabla 5.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Proporcionalidad_tabla_5.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes:
Original uploader was Romero Schmidtke at es.wikipedia
Archivo:proporcionalidad tabla 6.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Proporcionalidad_tabla_6.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes:
Original uploader was Romero Schmidtke at es.wikipedia
Archivo:proporcionalidad tabla 7.png Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Proporcionalidad_tabla_7.png Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes:
Original uploader was Romero Schmidtke at es.wikipedia
Archivo:Relación directa.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Relación_directa.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Share Alike Contribuyentes: Dnu72
Archivo:Relación inversa.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Relación_inversa.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Share Alike Contribuyentes: Dnu72

14. Licencia 12
Licencia
Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/