El pseudocódigo es una descripción informal de un algoritmo que utiliza las convenciones de un lenguaje de programación real pero está diseñado para ser legible por humanos. Proporciona una representación sencilla de un programa que facilita el paso a un lenguaje de programación real. El pseudocódigo incluye instrucciones primitivas, de proceso, de control y compuestas para describir la solución de un problema de una manera detallada y similar al lenguaje que se usará finalmente.
El documento define el pseudocódigo y sus elementos principales, que incluyen variables, condiciones como la sentencia SI-SINO-FINSI, y ciclos como los ciclos FOR y WHILE. Proporciona ejemplos de cómo usar estas estructuras en un pseudocódigo para hallar el área de un triángulo y mostrar las tablas de multiplicar. El objetivo del pseudocódigo es representar de forma clara y detallada la solución a un algoritmo antes de codificarlo en un lenguaje de programación.
El documento describe los diferentes componentes y procesos involucrados en la compilación de programas. Explica que un compilador traduce un programa escrito en un lenguaje de programación a otro lenguaje, como código máquina, e informa sobre errores. También describe las diferentes etapas del proceso de compilación como análisis léxico, sintáctico y semántico.
Diagramas de flujos , EJERCICIOS RESUELTOS.Jennifer1876
Este documento contiene 10 diagramas de flujo que describen diferentes procesos y algoritmos matemáticos. Cada diagrama de flujo comienza con "INICIO" y termina con "FIN", y contiene pasos condicionales y de entrada/salida de datos para calcular y mostrar resultados.
Java es un lenguaje de programación orientado a objetos cuya meta es permitir que los programas se ejecuten en cualquier entorno, define las clases y los objetos mediante una estructura básica de clases con métodos main y utiliza los pilares de la POO como la abstracción, herencia, encapsulamiento y polimorfismo para identificar características de los objetos, ocultar complejidad, definir comportamientos bajo un mismo nombre y asegurar la reutilización de código.
Este documento explica los vectores o arreglos en programación. Define un vector como una zona de almacenamiento continuo que contiene una serie de elementos del mismo tipo ordenados en fila. Muestra cómo declarar un vector en Visual Basic y realiza ejemplos prácticos de programas que utilizan vectores para almacenar y procesar datos.
Dokumen tersebut membahas mengenai alat pengendali industri dan jenis-jenis sensor yang digunakan. Alat pengendali industri meliputi kontaktor, relay, berbagai jenis saklar, dan sensor. Dokumen ini menjelaskan definisi, contoh, dan cara kerja dari masing-masing alat pengendali dan jenis sensor seperti sensor kedekatan, sensor sinar, sensor efek Hall, sensor ultrasonik, sensor tekanan, sensor suhu, dan sensor kecepatan.
El pseudocódigo es una descripción informal de un algoritmo que utiliza las convenciones de un lenguaje de programación real pero está diseñado para ser legible por humanos. Proporciona una representación sencilla de un programa que facilita el paso a un lenguaje de programación real. El pseudocódigo incluye instrucciones primitivas, de proceso, de control y compuestas para describir la solución de un problema de una manera detallada y similar al lenguaje que se usará finalmente.
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Diagramas de flujos , EJERCICIOS RESUELTOS.Jennifer1876
Este documento contiene 10 diagramas de flujo que describen diferentes procesos y algoritmos matemáticos. Cada diagrama de flujo comienza con "INICIO" y termina con "FIN", y contiene pasos condicionales y de entrada/salida de datos para calcular y mostrar resultados.
Java es un lenguaje de programación orientado a objetos cuya meta es permitir que los programas se ejecuten en cualquier entorno, define las clases y los objetos mediante una estructura básica de clases con métodos main y utiliza los pilares de la POO como la abstracción, herencia, encapsulamiento y polimorfismo para identificar características de los objetos, ocultar complejidad, definir comportamientos bajo un mismo nombre y asegurar la reutilización de código.
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L ochoa-distribuciones-probabilidad-discretasleo_8a
Este documento define distribuciones de probabilidad discretas y proporciona ejemplos. Explica la función de probabilidad y función de distribución para variables aleatorias discretas. También describe las distribuciones de Bernoulli, binomial, hipergeométrica y Poisson, incluyendo sus propiedades y cómo se aplican a diferentes situaciones.
Este documento presenta diferentes distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas, incluyendo la distribución de Bernoulli, binomial, geométrica, binomial negativa, hipergeométrica y Poisson. Define cada distribución y proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos. También discute cómo la distribución binomial se aproxima a la distribución de Poisson cuando el número de pruebas es grande y la probabilidad de éxito es pequeña.
1. El documento describe varias distribuciones de probabilidad discretas y continuas. Incluye la distribución de Bernoullí, binomial, geométrica, hipergeométrica, Poisson y distribuciones continuas como la uniforme y exponencial. Cada distribución se define por su función de probabilidad y parámetros asociados como la media y varianza. También incluye ejemplos ilustrativos de cada distribución.
Este documento proporciona una introducción a varias distribuciones de probabilidad discretas comunes, incluidas las distribuciones de Bernoulli, binomial, Poisson y normal. Explica las características clave de cada distribución y proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular probabilidades bajo cada distribución.
Este documento describe varias distribuciones de probabilidad discretas. Explica la distribución uniforme, de Bernoulli, binomial, de Poisson, geométrica, binomial negativa, multinomial e hipergeométrica. Para cada distribución, define la variable aleatoria asociada, la función de probabilidad y sus propiedades como la media y la varianza.
El documento describe diferentes tipos de distribuciones de probabilidad, incluyendo distribuciones de Bernoulli, binomiales y de Poisson. Explica que una distribución de Bernoulli modela un experimento con dos resultados posibles, mientras que una distribución binomial modela múltiples ensayos de Bernoulli independientes. También proporciona ejemplos y fórmulas para calcular la media y la varianza para cada tipo de distribución.
El documento explica conceptos clave sobre distribuciones de probabilidad, incluyendo distribuciones binomiales, de Bernoulli, de Poisson y normales. Describe cómo calcular probabilidades para variables aleatorias que siguen estas distribuciones y provee ejemplos numéricos.
Este documento introduce los conceptos de distribuciones de probabilidad, variables aleatorias discretas y continuas. Explica que una distribución de probabilidad describe los posibles resultados de un experimento y que puede ser generada por una variable aleatoria. Luego describe las características de las variables aleatorias discretas y continuas, y proporciona ejemplos de cada una. Finalmente, presenta fórmulas y ejemplos de distribuciones de Bernoulli, binomial, Poisson, exponencial.
Este documento describe diferentes distribuciones de probabilidad discretas, incluyendo la distribución uniforme, de Bernoulli, binomial, binomial negativa, geométrica, hipergeométrica, de Poisson y multinomial. Para cada distribución se especifican sus características, parámetros, función de probabilidad y otros conceptos relevantes. El documento también cubre aproximaciones como la de la distribución hipergeométrica a la binomial y viceversa.
Este documento describe diferentes distribuciones de probabilidad como la Bernoulli, binomial, Poisson y normal. Explica que una distribución de probabilidad describe los posibles resultados de un experimento aleatorio y sus probabilidades. Luego detalla las características de la distribución de Bernoulli como experimentos con dos resultados posibles y la probabilidad de éxito p. También explica la distribución binomial para múltiples ensayos de Bernoulli independientes y cuenta el número de éxitos, y cómo la distribución de Poisson se puede usar para aproximar la binomial cuando el número de ensayos n es grande y la probabilidad
Este documento describe diferentes distribuciones de probabilidad discretas. Explica que una variable aleatoria discreta toma valores en un conjunto finito o infinito numerable, y define la función de probabilidad discreta. Luego describe distribuciones como la binomial, geométrica y binomial negativa, indicando cómo calcular la probabilidad de diferentes resultados en experimentos de Bernoulli y binomiales. Finalmente, introduce conceptos como la esperanza, varianza y desviación típica de distribuciones discretas.
El documento describe diferentes distribuciones de probabilidad discretas. Introduce las distribuciones binomial, binomial negativa, geométrica y de Bernoulli, explicando sus funciones de probabilidad y parámetros clave como la media y la varianza. Incluye ejemplos numéricos para calcular probabilidades usando estas distribuciones.
Este documento describe diferentes distribuciones de probabilidad discretas. Explica que una variable aleatoria discreta toma valores en un conjunto finito o infinito numerable, y define la función de probabilidad discreta. Luego describe distribuciones como la binomial, la geométrica y la binomial negativa, indicando cómo calcular la probabilidad de diferentes resultados en experimentos de Bernoulli y binomiales. Finalmente, introduce conceptos como la esperanza, varianza y desviación típica de distribuciones discretas.
Este documento presenta seis distribuciones de probabilidad comunes: la distribución de Bernoulli, la distribución binomial, la distribución de Poisson, la distribución gamma, la distribución normal y la distribución t de Student. Incluye ejemplos y ejercicios para cada distribución, así como definiciones breves de cada una. El autor es Víctor Hugo Franco García y el documento forma parte de un curso de procesos industriales en la Universidad Tecnológica de Torreón.
Este documento presenta seis distribuciones de probabilidad comunes: distribución de Bernoulli, distribución binomial, distribución de Poisson, distribución gamma, distribución normal y distribución t de Student. Explica brevemente cada distribución y proporciona ejemplos numéricos para ilustrar sus propiedades. También incluye ejercicios de práctica relacionados con cada distribución.
Este documento presenta seis distribuciones de probabilidad comunes: distribución de Bernoulli, distribución binomial, distribución de Poisson, distribución gamma, distribución normal y distribución t de Student. Explica brevemente cada distribución y proporciona ejemplos numéricos para ilustrar sus propiedades. También incluye ejercicios de práctica relacionados con cada distribución.
Este documento describe las distribuciones de probabilidad Bernoulli y binomial. Explica que una distribución Bernoulli modela un experimento con dos resultados posibles, mientras que una distribución binomial modela múltiples experimentos Bernoulli independientes. Proporciona fórmulas para calcular la media y varianza de estas distribuciones y ofrece varios ejemplos numéricos.
Este documento describe las variables aleatorias continuas y discretas. Las variables continuas toman valores en un intervalo de números reales, mientras que las variables discretas solo pueden tomar valores específicos con probabilidades asignadas. También explica cómo calcular la media, varianza y desviación estándar para ambos tipos de variables aleatorias.
UNIDAD 2 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD.pptWENDY FABIAN
Este documento presenta información sobre distribuciones de probabilidad discretas y sus propiedades. Explica las funciones de distribución binomial, hipergeométrica y de Bernoulli, incluyendo cómo calcular la probabilidad de resultados específicos, la media, varianza y desviación estándar. También proporciona ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo de estas medidas con diferentes valores de parámetros.
L ochoa-distribuciones-probabilidad-discretasleo_8a
Este documento define distribuciones de probabilidad discretas y proporciona ejemplos. Explica la función de probabilidad y función de distribución para variables aleatorias discretas. También describe las distribuciones de Bernoulli, binomial, hipergeométrica y Poisson, incluyendo sus propiedades y cómo se aplican a diferentes situaciones.
Este documento presenta diferentes distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas, incluyendo la distribución de Bernoulli, binomial, geométrica, binomial negativa, hipergeométrica y Poisson. Define cada distribución y proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los conceptos. También discute cómo la distribución binomial se aproxima a la distribución de Poisson cuando el número de pruebas es grande y la probabilidad de éxito es pequeña.
1. El documento describe varias distribuciones de probabilidad discretas y continuas. Incluye la distribución de Bernoullí, binomial, geométrica, hipergeométrica, Poisson y distribuciones continuas como la uniforme y exponencial. Cada distribución se define por su función de probabilidad y parámetros asociados como la media y varianza. También incluye ejemplos ilustrativos de cada distribución.
Este documento proporciona una introducción a varias distribuciones de probabilidad discretas comunes, incluidas las distribuciones de Bernoulli, binomial, Poisson y normal. Explica las características clave de cada distribución y proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular probabilidades bajo cada distribución.
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El documento explica conceptos clave sobre distribuciones de probabilidad, incluyendo distribuciones binomiales, de Bernoulli, de Poisson y normales. Describe cómo calcular probabilidades para variables aleatorias que siguen estas distribuciones y provee ejemplos numéricos.
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Este documento describe diferentes distribuciones de probabilidad discretas, incluyendo la distribución uniforme, de Bernoulli, binomial, binomial negativa, geométrica, hipergeométrica, de Poisson y multinomial. Para cada distribución se especifican sus características, parámetros, función de probabilidad y otros conceptos relevantes. El documento también cubre aproximaciones como la de la distribución hipergeométrica a la binomial y viceversa.
Este documento describe diferentes distribuciones de probabilidad como la Bernoulli, binomial, Poisson y normal. Explica que una distribución de probabilidad describe los posibles resultados de un experimento aleatorio y sus probabilidades. Luego detalla las características de la distribución de Bernoulli como experimentos con dos resultados posibles y la probabilidad de éxito p. También explica la distribución binomial para múltiples ensayos de Bernoulli independientes y cuenta el número de éxitos, y cómo la distribución de Poisson se puede usar para aproximar la binomial cuando el número de ensayos n es grande y la probabilidad
Este documento describe diferentes distribuciones de probabilidad discretas. Explica que una variable aleatoria discreta toma valores en un conjunto finito o infinito numerable, y define la función de probabilidad discreta. Luego describe distribuciones como la binomial, geométrica y binomial negativa, indicando cómo calcular la probabilidad de diferentes resultados en experimentos de Bernoulli y binomiales. Finalmente, introduce conceptos como la esperanza, varianza y desviación típica de distribuciones discretas.
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Este documento presenta seis distribuciones de probabilidad comunes: la distribución de Bernoulli, la distribución binomial, la distribución de Poisson, la distribución gamma, la distribución normal y la distribución t de Student. Incluye ejemplos y ejercicios para cada distribución, así como definiciones breves de cada una. El autor es Víctor Hugo Franco García y el documento forma parte de un curso de procesos industriales en la Universidad Tecnológica de Torreón.
Este documento presenta seis distribuciones de probabilidad comunes: distribución de Bernoulli, distribución binomial, distribución de Poisson, distribución gamma, distribución normal y distribución t de Student. Explica brevemente cada distribución y proporciona ejemplos numéricos para ilustrar sus propiedades. También incluye ejercicios de práctica relacionados con cada distribución.
Este documento presenta seis distribuciones de probabilidad comunes: distribución de Bernoulli, distribución binomial, distribución de Poisson, distribución gamma, distribución normal y distribución t de Student. Explica brevemente cada distribución y proporciona ejemplos numéricos para ilustrar sus propiedades. También incluye ejercicios de práctica relacionados con cada distribución.
Este documento describe las distribuciones de probabilidad Bernoulli y binomial. Explica que una distribución Bernoulli modela un experimento con dos resultados posibles, mientras que una distribución binomial modela múltiples experimentos Bernoulli independientes. Proporciona fórmulas para calcular la media y varianza de estas distribuciones y ofrece varios ejemplos numéricos.
Este documento describe las variables aleatorias continuas y discretas. Las variables continuas toman valores en un intervalo de números reales, mientras que las variables discretas solo pueden tomar valores específicos con probabilidades asignadas. También explica cómo calcular la media, varianza y desviación estándar para ambos tipos de variables aleatorias.
UNIDAD 2 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD.pptWENDY FABIAN
Este documento presenta información sobre distribuciones de probabilidad discretas y sus propiedades. Explica las funciones de distribución binomial, hipergeométrica y de Bernoulli, incluyendo cómo calcular la probabilidad de resultados específicos, la media, varianza y desviación estándar. También proporciona ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo de estas medidas con diferentes valores de parámetros.
Los puentes son estructuras esenciales en la infraestructura de transporte, permitiendo la conexión entre diferentes
puntos geográficos y facilitando el flujo de bienes y personas.
1. PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DISCRETAS
Objetivos generales del tema
En este tema definiremos y discutiremos diversas e importantes distribu-
ciones discretas, es decir, funciones masa de probabilidad o funciones de distribu-
ción correspondientes a variables aleatorias discretas. Veremos las propiedades
más importantes.
Principales contenidos
• Distribución de Bernoulli.
• Distribución Binomial.
• Distribución Binomial Negativa.
• Distribución Hipergeométrica.
• Distribución de Poisson.
1
2. 1 Introducción
Recordemos que una variable aleatoria X tiene una distribución de probabilidad
discreta (o simplemente una distribución discreta) si:
P (X = xi) =
½
pi si x = xi (i = 1, 2, . . .)
0 en el otro caso
con pi ≥ 0 y
P
i
pi = 1
2 Distribución de Bernoulli
La distribución de Bernoulli es una distribución que toma dos valores (1 y 0) con
probabilidad p y 1−p. Habitualmente esta distribución aparece en experimentos
donde se identifica el suceso 1=EXITO y 0=FRACASO.
Definición 1 Una v.a. X tiene una distribución de Bernoulli si (para algún p
con 0 ≤ p ≤ 1)
P (X = 1) = p
P (X = 0) = 1 − p
Ejemplo 2 La v.a. que define el experimento lanzamiento de una moneda sigue
una distribución de Bernoulli de parámetro p. Donde p es la probabilidad del
suceso de interés, cara o cruz.
PROPIEDADES
Distribución de Bernoulli de parámetro p
Media µ E (X) = p
Varianza σ2
V ar (X) = p (1 − p)
Desviación Típica σ
p
p (1 − p)
3 Distribución Binomial
La distribución Binomial de parámetro n y p (Bi (n, p)) surge como una secuen-
cia n intentos del tipo de Bernoulli que verifica:
• Los intentos son independientes.
• Cada resultado del intento puede tomar únicamente dos resultados mutu-
amente excluyentes, que denotaremos por EXITO (E) o FRACASO (F).
• La probabilidad de éxito (y por lo tanto la de fracaso) es constante en
cada intento.
Así cada intento, definiendo p = P (EXITO) y asignando el valor 0 cuando
ocurre F y el valor 1 cuando ocurre E, se puede describir como una distribución
de Bernoulli de parámetro p.
2
3. Definición 3 Una v.a. X tiene una distribución Binomial si (para algún entero
positivo n y algún p con 0 ≤ p ≤ 1) mide
X = "no
de éxitos de un total de n si la probabilidad de éxito es p"
P (X = k) =
µ
n
k
¶
pk
(1 − p)n−k
si k = 1, 2, . . . , n
0 en el otro caso
Distribución Binomial n = 25, p = 0.25.
La forma de la distribución binomial va aumentando hasta m = (n + 1) p y
después comienza a bajar.
Una v.a. binomial puede ser considerada como una suma de n variables
aleatorias de Bernoulli de parámetro p, es decir, como la variable indicadora del
número de éxitos en n pruebas de Bernoulli, es decir, si denotamos por Xi el
i-ésimo intento de Bernoulli, entonces, X =
Pn
i=1 Xi.
Observación 4 La distribución de Bernoulli es un caso particular de la dis-
tribución Binomial con n = 1.
Proposición 5 Si X tiene la distribución Binomial con n (número de inten-
tos) y p (probabilidad de éxito que denotaremos por X ∼ Bi (n, p)) entonces la
variable Y = n − X, que representa el número de fracasos, es una variable de
Binomial con n (número de intentos) y probabilidad de éxito 1 − p.
X ∼ Bi (n, p) ⇒ Y = n − X ∼ Bi (n, 1 − p)
PROPIEDADES
Distribución Binomial de parámetros n y p
Media µ E (X) = np
Varianza σ2
V ar (X) = np (1 − p)
Desviación Típica σ
p
np (1 − p)
3
4. Ejemplo 6 En una fábrica hay 12 máquinas. Cada una de ellas está
averiada un día de cada 10. ¿Cuál es la probabilidad de que un de-
terminado día haya más de 3 máquinas averiadas?
Sea la variable X ="no
de máquinas averiadas de un total de 12 si P (avería) =
0, 1" ∈ Bi (n = 12, p = 0.1) .
P (X > 3) = 1−P (X ≤ 3) = 1−[P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)] =
= 1 −
·µ
12
0
¶
0.10
(1 − 0.1)
12−0
+
µ
12
1
¶
0.11
(1 − 0.1)
12−1
+
+
µ
12
2
¶
0.12
(1 − 0.1)
12−2
+
µ
12
3
¶
0.13
(1 − 0.1)
12−3
¸
= 1 − 0.9744 = 0.0256.
La v.a. binomial está tabulada para valores pequeños de n. Hay tablas
que dan la función de masa de probabilidad P (X = k) o bien la función de
distribución P (X ≤ k), aunque sólo vienen para valores p ≤ 0.5.
4 Distribución Binomial Negativa
La distribución Binomial Negativa de parámetro r y p (BN (r, p)) surge como
una secuencia infinita de intentos del tipo de Bernoulli que verifican:
• La secuencia de intentos es independiente.
• Cada resultado del intento puede tomar únicamente dos resultados mutu-
amente excluyentes, que denotaremos por EXITO (E) o FRACASO (F).
• La probabilidad de éxito (y por lo tanto la de fracaso) es constante en
cada intento.
• Los intentos continúan (se ejecutan) hasta que un total de r éxitos se
hayan observado.
Así cada intento, definiendo p = P (EXITO) y asignando el valor 0 cuando
ocurre F y el valor 1 cuando ocurre E, se puede describir como una distribución
de Bernoulli de parámetro p.
Definición 7 Una v.a. X tiene una distribución Binomial Negativa si (para
algún entero positivo r y algún p con 0 ≤ p ≤ 1)
X = "no
de fracasos hasta el r − ésimo éxito si p = P (EXITO) "
P (X = k) =
µ
r + k − 1
k
¶
pr
(1 − p)
k
si k = 0, 1, 2, . . .
0 en el otro caso
4
5. Proposición 8 Si X tiene la distribución Binomial Negativa con r (número de
éxitos) y p (probabilidad de éxito) que denotaremos por X ∼ BN (r, p) entonces
la variable Y = X + r, que representa el número de pruebas para del éxito
r-ésimo, tiene una distribución relacionada con X por:
P (Y = k) = P (X = k − r) =
µ
k − 1
k − r
¶
pr
(1 − p)
k−r
si k = r, r + 1, r + 2, . . .
0 en el otro caso
Observación 9 La distribución Binomial Negativa con r = 1 es conocida en la
literatura por distribución geométrica de parámetro p y mide el número de
fracasos antes del primer éxito.
PROPIEDADES
Distribución Binomial Negativa de parámetros r y p
Media µ E (X) = r
(1 − p)
p
Varianza σ2
V ar (X) = r
(1 − p)
p2
Desviación Típica σ
p
r (1 − p)
p
5 Distribución Hipergeométrica
La distribución Hipergeométrica de parámetros k, n y N (HG (k, n, N)) surge en
situaciones en donde el modelo aproximado de probabilidad se corresponde con
muestreo sin reemplazamiento de una población dicotómica (Exito y Fracaso)
finita. Concretamente, las suposiciones que llevan a considerar esta distribución
son:
• La población o conjunto donde deba hacerse el muestreo consta de N
individuos o elementos a seleccionar.
• Cada individuo puede ser caracterizado como un éxito (E) o fracaso (F).
• Se selecciona una muestra de n individuos de entre los k individuos mar-
cados como éxito y los N − k restantes marcados como fracaso.
• Hay selección equiprobable en cada paso.
Definición 10 Una v.a. X tiene una distribución Hipergeométrica si (para
algunos enteros positivos k, n y N)
X = "no
de individuos de un total de n con cierta característica
(éxito) si en N hay un total de k"
5
6. P (X = x) =
µ
k
x
¶µ
N − k
n − k
¶
µ
N
n
¶ si max {0, n − (n − k)} ≤ x ≤ min (n, k)
0 en el otro caso
Proposición 11 Podemos aproximar la distribución Hipergeométrica a la dis-
tribución Binomial, puesto que cuando N es grande (N > 10n) podemos suponer
que X ∈ Bi (n, p) con p = k
N .
PROPIEDADES
Distribución Hipergeométrica de parámetros k, n y N
Media µ E (X) = np
Varianza σ2
V ar (X) = npq
N − n
N − 1
Desviación Típica σ
r
npq
N − n
N − 1
Ejemplo 12 De cada 2.000 tornillos fabricados por una determinada
máquina hay 2 defectuosos. Para realizar el control de calidad se
observan 150 tornillos y se rechaza el lote si el número de defectuosos
es mayor que 1. Calcular la probabilidad de que el lote sea rechazado.
Sea X ="no
de defectuosos de un total de n = 150 si en N = 2.000 hay un
total de k = 2"∈ HG (k = 2, n = 150, N = 2.000)
Se pide P (X > 1) = 1 − [P (X = 0) + P (X = 1)] =
= 1 −
µ
2
0
¶µ
2.000 − 2
150
¶
µ
2.000
150
¶ +
µ
2
1
¶µ
2.000 − 2
150 − 1
¶
µ
2.000
150
¶
Como los cálculos son complicados, se va a aproximar la v.a. X por una
binomial Bi
¡
n = 150, p = 2
2.000 = 0.001
¢
P (X > 1) = 1 − [P (X = 0) + P (X = 1)] =
= 1−
·µ
150
0
¶
0.0010
(1 − 0.001)150−0
+
µ
150
1
¶
0.0011
(1 − 0.001)150−1
¸
≈ 0.442
6 Distribución de Poisson
Consideremos sucesos ("éxitos") que ocurren aleatoriamente a lo largo del tiem-
pod y sea la v.a. X ="no
de sucesos en el intervalo de tiempo (0, t)". La dis-
tribución de Poisson de parámetro λ surge en los llamados procesos de Poisson
que se presenta en relación con el acontecimiento de éxitos de un tipo particular
6
7. durante un intervalo continuo de tiempo. Las suposiciones de un proceso de
Poisson, durante un intervalo de tiempo que empieza en t = 0 son:
• Existe un parámetro λ tal que para cualquier intervalo corto de tiempo
4t, la probabilidad de que ocurra exactamente un éxito es λ4t.
• La probabilidad de que se produzca más de un éxito en el intervalo 4t es
o (4t) 1
.
• El número de éxitos ocurrido en un intervalo 4t es independiente del
número ocurrido antes de este intervalo de tiempo.
Definición 14 Una v.a. X tiene una distribución de Poisson si (para algún λ
con λ ≥ 0)
X = ”no
de éxitos en un intervalo de tiempo si el no
medio es λ”
P (X = k) =
e−λ λk
k!
si k = 0, 1, 2, . . .
0 en el otro caso
Proposición 15 Sea X ∼ Poisson (λ1), Y ∼ Poisson (λ2) independientes,
entonces la variable X + Y ∼ Poisson (λ1 + λ2)
Proposición 16 Se puede considerar que una v.a. Poisson(λ) es límite de una
binomial Bi (n, p) si
p < 0.1 y np < 5
Proposición 17 La distribución de Poisson presenta su máximo en los puntos
x = λ y x = λ − 1.
1
Definición 13 o (4t) si lim
t→∞
o(4t)
4t
= 0
7
8. PROPIEDADES
Distribución de Poisson de parámetros λ
Media µ E (X) = λ
Varianza σ2
V ar (X) = λ
Desviación Típica σ
√
λ
Ejemplo 18 En un taller se averían una media de 2 máquinas a la
semana. Calcula la probabilidad de que no haya ninguna avería en
una semana. ¿Y de que haya menos de 6 en un mes?
Sea X ="no
de averías en una semana si de media hay λ = 2"∈Poisson(λ = 2) .
Entonces
P (X = 0) = e−2 20
0!
= 0.14
Si en una semana hay 2 averías de media, entonces en un mes hay 2×4 = 8
averías de media. Sea entonces Y ="no
de averías en un mes si de media hay
λ = 8"∈Poisson(λ = 8)
P (Y ≤ 5) = P (Y = 0) + · · · + P (Y = 5) = e−2 20
0!
+ · · · + e−2 25
5!
= 0.191
8