El documento presenta 19 problemas de cálculo diferencial que incluyen temas como derivadas, funciones continuas, puntos críticos, rectas tangentes, áreas y volúmenes. Los problemas van desde hallar tasas de cambio y derivadas hasta determinar si funciones son continuas o diferenciables en ciertos intervalos.
1. TEMAS DE ENTRENAMIENTO
EXAMEN DE MEJORAMIENTO
CALCULO DIFERENCIAL
I TERMINO 2009
1. Considere una arandela de caucho que está siendo comprimida. En un
determinado momento se obtienen las siguientes medidas: el diámetro externo de la
arandela es de 3 cm, su diámetro interno es de 1 cm; el grosor de la arandela disminuye a
una tasa de ¼ cm/min, y el diámetro externo está aumentando a una tasa de ½ cm/min.
Si el volumen de la arandela se mantiene constante en π cm3 en todo momento ¿a qué
tasa está cambiando el diámetro interno en el mismo instante en que se toman las
medidas?
2. Sea f una función definida en el intervalo [a,b] con f(a) <0 y f(b) > 0
entonces: ∃ c ∈ [a,b]/f(c) =0
3. El polinomio Mc Laurin de orden cuatro de es:
4. Se vierte agua en un recipiente de forma cónica con una rapidez r. el
recipiente en forma de cono de base horizontal tiene el vértice dirigido hacia abajo, el
radio de la base del cono es a, su altura b. determinar la velocidad a la que la superficie del
agua se eleva cuando la profundidad del agua es y. obtenga el valor numérico de la
incógnita, suponiendo que a = 4 dm; b= 3 dm; r = 4 dm3 por minuto y y=1 dm
5. Una pequeña isla está a 4 millas en línea recta del punto más cercano P de la
ribera de un gran lago. Si un hombre puede navegar desde la isla en su bote de motor a 20
millas por hora y caminar a 4 millas por hora, ¿en qué lugar debe desembarcar para llegar
en el tiempo más corto a un pueblo que dista 10 millas al sur del punto?
6. Si (gof) es continua y g es continua entonces se puede afirmar que f es
continua
7. Determine la ecuación de la recta normal a la curva: xcosy = sen(x+y) en el
punto P(0,0)
8. La función no está definida en x=1. Halle el
valor de a para que f sea continua
9. Determine el valor de las constante a y b para que f sea continua
2. 10. Un tanque en forma de cono invertido tiene una altura de 16 m y un radio de
4 m en la base. El agua fluye al tanque por la parte superior a razón de 2 m3/min. ¿Qué tan
rápido sube el nivel cuando el agua tiene 5m de profundidad?
11. Se va a fabricar una lata de cobre cerrada de volumen específico y en forma
de cilindro circular recto. Hallar la razón de la altura al radio de la base, si se desea
emplear la menor cantidad de material en su fabricación.
12. Calcule el valor de A de ser posible, para que f(x) sea continua en todo los
números reales
13. Determine si la función tiene exactamente un
punto de inflexión.
14. Determine si la siguiente proposición es verdadera o falsa, justifique su
respuesta:
Si , entonces f es diferenciable en x=a
15. Determine si la ecuación 4y+12x‐13=0, es la regla de correspondencia de la
recta tangente a la grafica de la función con regla de correspondencia f(x)= 3x2+4 y que sea
paralela a la recta 3x+y+2=0
16. Graficar indicando dominio, simetría, asíntotas, puntos críticos, monotonía,
extremos, concavidad, puntos de inflexión
17. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,5) y que forma un
triangulo de área mínima con los ejes coordenados.
18. Determine la relación entre la medida del radio R y la altura H de un cilindro
que tiene la menor área de su superficie total posible, si se conoce que su volumen e V
unidades cúbicas.
19. Si continua en el intervalo cerrado [‐2,2] entonces es
diferenciable en el intervalo abierto (‐2,2)