1. La primera proposición afirma que si la función es y=√x, entonces la segunda derivada más la derivada cuadrada es igual a cero.
2. La segunda proposición establece que la función f(x)=3|x|+4|x-1| tiene un mínimo absoluto en x=1.
3. La tercera proposición indica que si f y g son funciones pares y derivables, entonces la derivada de f+g también es par y derivable.
1. TEMAS DE ENTRENAMIENTO
Segunda Evaluación
CÁLCULO DIFERENCIAL
I Término – 2009
Derivadas
Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, justifique su respuesta.
1. Si ݕ = ݈݊√ݔ entonces 2 ቀ
ௗ௬
ௗ௫
ቁ
ଶ
+
ௗమ௬
ௗమ௫
= 0
2. La función de variable real ݂ cuya regla de correspondencia es ݂ሺݔሻ = 3||ݔ +
4|ݔ − 1|, tiene un mínimo absoluto en ݔ = 1.
3. Sean ݂ሺݔሻ y ݃ሺݔሻ dos funciones pares y derivables para todo ݔ ߳ ℝ, entonces
(݂ሺݔሻ + ݃ሺݔሻሻ′ es una función también par y derivable para todo ݔ ߳ ℝ.
4. Sean ݂, ݃, ℎ funciones de variable real tales que ݂ሺݔሻ = ݃ሺݔሻ + ℎሺݔሻ. Si ݂ es
derivable en ܿ entonces ݃ y ℎ son derivables en ܿ .
5. Suponga que ݂ es dos veces derivable en ሺܽ, ܾሻ y continua en [ܽ, ܾ] y sea ܿ ߳ ሺܽ, ܾሻ.
Si ݂’’ሺܿሻ = 0 entonces ܲሺܿ, ݂ሺܿሻሻ es un punto de inflexión.
6. Las ecuaciones ݕ = ݔ
ర
య + ݔ y ݔ = ݕ + ݕସ
tienen la misma recta tangente en el
punto ሺ0,0ሻ.
7. Sea ݂ሺݔሻ = sinሺݔሻ ሺ1 + cosሺݔሻሻ, ,0[߳ݔ 2ߨሻ. Entonces el punto ൬
ହగ
ଷ
, ݂ ቀ
ହగ
ଷ
ቁ൰ es un
mínimo local de ݂.
8. La ecuación de la recta normal a ݕ = ݈݊ݔሺݔሻ y paralela a la recta :ܮ 2ݔ − 2ݕ + 3 =
0 es ܮே:ݔ − ݕ − 2݁ିଷ = 0
9. La función dada en forma paramétrica mediante las ecuaciones:
ݔ =
ଵ
√௧మାଵ
− ln ൬
ଵା√ଵା௧మ
௧
൰; ݕ =
௧
√ଵା௧మ
, satisface la ecuación ݕඥ1 + ሺݕᇱሻଶ = ′ݕ
10. Demuestre que el área del triángulo formado por los ejes coordenados y una recta
tangente cualquiera a la hipérbola 2ݕݔ = ܽ es constante.
11. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva ݔଷ
+ 3ݕݔଷ
+ ݕ = 5 en ሺ1,1ሻ.
12. Si se conoce que el punto ܲሺ1,2ሻ pertenece a la función ݂ሺݔሻ = ܽݔଶ
+ ܾݔ + ܿ y que
la recta de ݃ሺݔሻ = ݔ es tangente a ݂ en el origen, determine los valores de ܽ, ܾ, ܿ.
13. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva ඥ5 − ݕ +
ݕݔଶ
= 6 en el punto ܲሺ4,1ሻ.
2. 14. Determine las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la curva
paramétrica:
൝
ݔ = 2ݐଶ + 1
ݕ =
1 + ݐ
ݐଶ
, ܿ݀݊ܽݑ ݐ = 1
15. La recta normal a la curva de ecuación ݔଶ
+ 2ݕݔ = 3ݕଶ
en el punto ܲሺ1,1ሻ
intercepta la misma en otro punto ܳ . Determine las coordenadas de ܳ.
16. La recta tangente y la recta normal de la curva ܿ = ݔୱ୧୬ሺ௫ሻ
en el punto ቀ
ଶ
,
ଶ
ቁ,
forman un triangulo con el eje .ݔ Hallar el área de dicho triángulo.
17. Dada la curva:
൜
xሺtሻ = cosሺtሻ
ݕሺݐሻ = ݊݁ݏሺ2ݐሻ
, t߳[0, ߨ]
a) Determine la región del plano donde se encuentra la curva
b) Determine los puntos donde la recta tangente a la curva es paralela al eje “”ݔ
c) Determine los puntos donde la recta tangente a la curva es paralela al eje “”ݕ
18. Sea ݕ = ݂ሺݔሻ, en donde ݂ tiene la inversa ݂ିଵ
. La relación que conecta las
derivadas de ݂ ݕ ݂ିଵ
es ሺ݂ିଵሻᇱሺݕሻ =
ଵ
ᇲሺ௫ሻ
19. Sea ݂ሺݔሻ =
ଵ
௫ିଵ
, utilizando la definición, calcule ݂ᇱ
ሺ4ሻ.
20. Hallar el valor del área del triángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la
curva definida por la ecuación√ݔ + ඥݕ = 2 en el punto ሺ1, 1ሻ , con los ejes
coordenados.
21. Obtenga la derivada
ௗ௬
ௗ௫
para la función ݔଶ
ݕଷ
=
షೣ
√௫௬
ୡ୭ୱ ሺ௫ା௬ሻ
22. Obtenga y’: ݕ = ሺ݊ܽݐሺ2ݔሻሻ
ୡ୭୲ቀ
ೣ
మ
ቁ
23. Sea ݂ሺݔሻ = ln ሺݔሻ, hallar la segunda derivada empleando la definición.
24. Sea ݂ una función diferenciable para ∀ݔ ߳ ሺܽ, ܾሻ y sea ܿ ߳ ሺܽ, ܾሻ, si ݂ᇱሺܿሻ =
0 entonces ݂ሺܿሻ es un máximo o un mínimo valor de ݂.
25. Sea ݂ሺݔሻ = ݔ
; donde 0 < ݎ < 1 y sea ݔ ߳ [ܽ, ܾ] si ݂ es continua en [a, b] entonces:
∃ܿ ߳ [ܽ, ܾ], tal que
݂ᇱሺܿሻ =
݂ሺܾሻ − ݂ሺܽሻ
ܾ − ܽ
3. 26. Para que el punto ܲሺܿ, ݂ሺܿሻሻ sea considerado punto de inflexión de la gráfica de la
función f basta que ésta sea cóncava hacia arriba a un lado de ܿ y cóncava hacia
abajo al otro lado de ܿ.
Gráficas de Funciones
27. Demuestre que las gráficas de 2ݔଶ
+ ݕଶ
= 6 y ݕଶ
= 4ݔ se intersecan en ángulo
recto.
28. Graficar indicando dominio, simetría, asíntotas, puntos críticos, monotonía,
extremos, concavidad, puntos de inflexión: ݂ሺݔሻ =
ೣ
௫మାଵ
29. Elabore la gráfica de la función:
݂ሺݔሻ =
ሺݔ + 1ሻଶ
ݔଶ
, ܲሺ0,1ሻ
30. Determine ܽ y ܾ de modo que ݂ሺݔሻ = ܽ√ݔ +
√௫
, tenga a ܲሺ4,13ሻ, como un punto
de inflexión.
31. Para que el punto ܲሺܿ, ݂ሺܿሻሻ sea considerado punto de inflexión de la gráfica de la
función f basta que ésta sea cóncava hacia arriba a un lado de ܿ y cóncava hacia
abajo al otro lado de ܿ.
Teorema del Valor Medio
32. Determine si la función ݂ሺݔሻ = ݔଶ/ଷ
cumple con el teorema de valor medio en el
intervalo ሺ−2,2ሻ.
33. Demuestre, utilizando el teorema del valor medio que lim௫→∝ሺ√ݔ + 2 − √ݔሻ = 0
34. Califique la siguiente proposición como verdadera o falsa, justificando su
respuesta:
“Para la función ݂ሺݔሻ = ݈݊ሺݔሻ en [1, ݁] no se cumple la conclusión del Teorema de
Valor medio para derivadas de Lagrange”.
Razón de Cambio
35. Una escalera de 13 . está apoyada contra una casa cuando su base empieza a
resbalarse. En el momento en que la base está a 12 . de la casa, la base se está
moviendo a una razón de 5 .ݏ/ ¿A qué tasa está cambiando el área del triangulo
formado por la escalera, la pared y el suelo en ese momento?.
4. 36. Hay un poste de luz de 15 ݉. de longitud y una pared de 5 ݉. de altura que se
encuentra a 25 ݉. de distancia del poste. Una persona ubicada entre el poste y la
pared, ubicado a una distancia de 10 ݉. con respecto al poste, suelta un globo con
helio, el mismo que empieza a subir a una velocidad constante de 10 ݉/
.ݏ Conforme el globo sube, el faro proyecta la sombra del mismo sobre la pared.
¿A qué tasa se mueve la sombra proyectada sobre el suelo justamente en el
instante en que la sombra proyectada sobre el suelo justamente en el instante en
que la sombra del globo deja de proyectarse sobre la pared.
37. En un tanque en forma de cono circular recto invertido se vierte agua a razón de
720 ܿ݉ଷ
/݉݅݊. El tanque tiene una altura de 200 ܿ݉. y la longitud del radio es de
60 ܿ݉. Determine, la rapidez con la que sube el nivel de agua, cuando el tanque
está a 1/8 de su capacidad.
38. Si la ordenada de los puntos que pertenecen a la circunferencia ݔଶ
+ ݕଶ
= 25
decrece con una velocidad de 1.5 ܿ݉./,.݃݁ݏ determine la velocidad de variación de
sus abscisas respectivas cuando la ordenada mide 4 ܿ݉. Interprete sus respuestas.
Máximos y Mínimos
39. Dos ciudades ܣ y ܤ obtendrán su abastecimiento de agua de la misma estación de
bombeo, la cual se ubicará en la orilla de un río recto a 15 ݇݉. de la ciudad ܣ y a
10 ݇݉. de la ciudad .ܤ Los puntos del río más cercanos a ܣ y ܤ están separados
20 ݇݉.; y ܣ y ܤ se encuentran en el mismo lado del río. Calcule dónde deben
ubicarse la estación de bombeo de modo que se emplee la menor cantidad de
tubería.
40. Se quiere construir una pista rectangular coronado con un semicírculo con 200 ݉.
de perímetro (Observe la figura). Hallar las dimensiones de la pista para que su
área sea máxima.
41. Una ventana está formada por un rectángulo con un semicírculo sobrepuesto.
Encontrar la forma de tal manera que por la ventana ingrese la mayor cantidad
de luz para un perímetro dado.
42. Encuentre las dimensiones de un cilindro circular recto de volumen máximo que se
puede inscribir en una esfera de radio R. ¿Cuál es el volumen máximo?.
r
5. 43. Encuentre las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en
la elipse con ecuación
௫మ
ଵ
+
௬మ
ଽ
= 1, si se conoce y que los lados del mismo son
paralelos a los ejes de coordenadas.
Fórmulas de Maclaurin y Taylor
44. Determine los términos hasta ݔହ
del polinomio de Maclaurin para
ℎሺݔሻ = ݔ݊݁ݏሺඥ1 + ݔሻ
45. Usando el polinomio de Maclaurin y con orden n=4, demuestre que:
݂ሺݔሻ = tanିଵሺ0.12ሻ = 0.1194