MATEMATICA

1. PRODUCTOS NOTABLES
Matemáticas Preuniversitarias
Dra. Ma. de Lourdes Palacios
y M. en I. Norma Castañeda

2. Resolvamos el siguiente problema escrito en verso:
Unas niñas muy precoces,
al cuadrado se elevaron.
Y como eran muy audaces
por dos se multiplicaron.
Que ya eran muchas sintieron
y por eso se restaron
doce veces lo que fueron.
Las que al principio empezaron
con eso se contentaron
y treinta y dos ahora son.
Ahora quiero que me digas
sin miedo y sin compasión
¿Cuántas eran al principio
de este cuento juguetón?
Alejandro Bravo
Margarita Espinosa

3. Para calcular el área del cuadrado que se muestra, multiplicamos
las longitudes de sus lados
(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
(a+b)2=
a
a b
b
a2
ab
ab
b2
CUADRADO DE UNA SUMA
(a+b)2=a2+2ab+b2
a2 +2ab +b2

4. En la siguiente figura queremos encontrar el área del cuadrado cuyo
lado mide a-b. Al área delcuadro de lado a le restamos la suma de
las áreas de los rectángulos con lados a y b y sumamos el área del
cuadro de lado b.
(a-b)2=
a
a- b
(a-b)2
b2
CUADRADO DE UNA DIFERENCIA
(a-b)2=a2-2ab+b2
b
a2-2ab +b2

5. PRODUCTO DE UNA SUMA POR UNA DIFERENCIA
Queremos encontrar el área de la parte sombreada del
cuadro que se muestra.
a- b
a(a-b)+b(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2
a
a- b
(a+b) (a-b)=a2-b2
b
b
a(a-b)
b(a-b)

6. PRODUCTO DE (a+b) (a+c)=a2+a(b+c)+bc
Para encontra el área del rectángulo de la figura, sumamos el área
del cuadrado de lado a más el área de los rectángulos con lado a,
b; a, c y b, c, respectivamente.
(a+b)(a+c)=
a
a
b
c
a2
ab
ac
bc
a2+ab+ac+bc= a2+a(b+c)+bc

7. Ejercicios
1. Interés simple. La fórmula A=p+prt expresa el
saldo de una cuenta de ahorros al final de un
tiempo específico. Despejar a p de la fórmula.
2. Electrónica. En electrónica se usa la fórmula
r1r2=rr2+rr1 para relacionar la resistencia
combinada, r, de dos resistores conectados en
paralelo. La variable r1 representa la resistencia
del primer resistor y r2 la del segundo. Despejar r2
de la ecuación.

8. Ejercicios de redacción.
1. Explica cómo determinar el máximo factor
común de dos números naturales.
2. Explica cómo reconocer si un número es primo.
Algo para razonar.
1. Elije dos números naturales. Divide su producto
entre su máximo factor común. Al resultado se
le llama mínimo común múltiplo de los
números que elijiste. ¿Porqué?
2. Al número 6 se le llama número perfecto
porque la suma de todos sus divisores es el doble
de 6: 1+2+3+6=12. Comprueba que 28 también
es un número perfecto.

9. Ejercicios de taller
1. Geometría. Calcula el perímetro de rectángulo
que se muestra.
2. Geometría.Calcula la altura del triángulo que se
muestra. Su área es de 162 centímetros
cuadrados.

10. Ejercicios de taller
1. Tiempo de vuelo. ¿Despúes de cuantos
segundos llegará un objeto al piso, si se arrojó
en línea recta hacia arriba con una velocidad
inicial de 160 pies por segundo?
2. Balística. Con una honda se pueden obtener
velocidades iniciales de 128 pies por segundo.
¿A los cuántos segundos una piedra, arrojada
verticalmente con la honda, estará a 192 pies del
piso ?

11. Ejercicios de taller Diseño de una alberca. Los
reglamentos de
construcción indican que la
alberca rectangular que se
muestra debe estar rodeada
por un pasillo de ancho
uniforme, que tenga un área
mínima de 516 pies
cuadrados. La longitud de la
alberca es de 10 pies menor
qu el doble de su ancho.
¿De qué ancho debe ser el
pasillo?

12. Ejercicios
1. Calcula el volumen de una esfera cuando
r=21.23 centímetros. Redondea tu respuesta a
centésimas. La fórmula del volumen de la
esfera es 3
V = 4pr
3
2. Calcula el volumen de un cono cuando r=12.23
metros y h=14.7 metros. Redondea tu respuesta a
centésimas. La fórmula del volumen del cono es
= 4p
V r 2h
3

13. Proyecto 1.
Manuel tiene una tienda de cebos junto al Río Limpio.
Está entre dos vueltas pronunciadas del río y la zona que
rodea la tienda se ha puesto de moda como lugar de
campamento y excursionismo. Manuel quiere producir
mapas de la zona para los visitantes. Pero, aunque conoce
bien la región, casi no tiene idea de las distancias reales de
un lugar a otro. Lo que sabe es que:
1. La Catarata, una bella caída de agua del Río Limpio, está
hacia el este de su tienda.
2. El Balcón, una famosa roca para escaladores, está hacia el
oeste de su tienda, al lado del río.
3. Los Almacenes Generales, el único abastecedor
importante de campismo de la zona, está sobre el río, a
cierta distancia hacia el oeste y norte de la tienda de
Manuel.

14. Proyecto 1 (cont.)
Manuel contrata a un aerofotógrafo para tomar paisajes del
área y se encuentra con algunos resultados sorprendentes. Si
considera que su tienda es el origen de un sistema de
coordenadas, y que el eje y va de norte a sur y el eje x de
este a oeste, entonces, en el dominio - 4 £ x £ 4
(las unidades
son millas), el río sigue la curva = 1 3 - 2 -
.
P( x) (x x 6x)
4
a. A Manuel le gustaría mostrar las posiciones exactas, en
relación con su tienda, de la Gran Catarata y del Balcón.
Determínaselas y explícale por qué lo que le dices debe estar
correcto.

15. Proyecto 1 (cont.)
b. Manuel y Almacenes Generales midieron la distancia
entre sus negocios y resultó que los almacenes están a
0.7 millas al oeste de la tienda de carnadas. Como está
sobre el río, está también un poco al norte. Ellos deciden
que, para promover sus negocios, se unirán para
desmontar algunos lugares de campamento en la región
que bordea la vereda directa que va desde las dos tiendas
y el Balcón, y entre los almacenes y el Balcón. Si
desmontan un campamento por cada 40 acres totales de
área, ¿cuántos campamentos pueden tener? (Sugerencia:
Una milla cuadrada equivale a 640 acres)
c. Una vereda va en línea recta hacia el sureste (siguiendo
la recta y=-x) desde la tienda de Manuel hasta el río. ¿A
qué distancia al este y al sur debe estar un excursionista
que la recorra cuando llega al río ?

16. Proyecto 2 El gasto con el que pasa un fluido
por un tubo cilíndrico, o cualquier
conducto cilíndrico (por ejemplo,
una arteria) es:
Velocidad de flujo
V = P (R2 -
r 2 )
nL
en donde p es la diferencia de
presiones entre los dos extremos del
tubo, L es la longitud de tubo, R es
su radio y n es la constante de
viscosidad, una función de lo espeso
que es el fluido. Como la variable r
representa la distancia al centro del
tubo, . (Ver ilustación). En la
mayor parte de los casos, p, L, R, y n
son constantes, de modo que V es
función de r.
V r = P -
( ) (R2 r 2 )
nL
0 £ r £ R

17. Proyecto 2 (cont.)
Se puede demostrar que la velocidad de un flujo que
pasa por un tubo depende de su distancia al centro (o de
su distancia a la pared).
a. Se tiene un tubo con 5 cm de radio y 60 cm de longitud.
Supón que p=15 y n=0.001 (ya que la viscosidad
aproximada del agua es 0.001). Calcula la velocidad del
fluido en el centro del tubo. Las unidades de V son
centímetros por pulgada.
b. Supón el mismo caso, pero ahora el fluido es aceite
lubricante, con una viscosidad igual a 0.15. Contesta lo
que se pide en la parte a, pero además determina en qué
lugar del tubo la velocidad del aceite es de 15 cm por
segundo. Toma nota de que el aceite es mas espeso que
el agua.

18. Proyecto 2 (cont.)
c. Los médicos emplean varios métodos para
aumentar el flujo de sangre en las arterias. El
paciente debe tomar una droga que “le adelgace la
sangre” (baja su viscosidad), o una que le dilate
sus arterias, o bien puede someterse a una
angioplastia, que es un procedimiento quirúrgico
para ampliar la luz o el hueco por el que pasa la
sangre. Explica por qué con cada una de las
medidas anteriores la velocidad V de la sangre
aumenta a determinada distancia r del centro de la
arteria.