Este documento presenta la resolución de 3 ejercicios de control de sistemas. En el primer ejercicio, se asocian diagramas de Bode y Nyquist a diferentes funciones de transferencia. En el segundo ejercicio, se asocian diagramas de Bode a mapas de polos y ceros. En el tercer ejercicio, se utiliza el criterio de Nyquist para determinar la estabilidad de 4 sistemas a lazo cerrado, identificando cuántos polos en el semiplano derecho poseen los sistemas inestables.
Beyond financing, your syndicate can be a boon to scaling and overcoming obstacles in your startup. Streamline keeping them in the loop by using this compact deck.
Details
~In 6 slides covers all the essential details your syndicate cares about
~Contains tips and step-by-guide to walk you through best practices (see the "Notes" area)
~PPT format for easy modification
This document summarizes key points from a presentation about why forms suck and how to design them better. The presentation covered topics like how forms act as a barrier between users and what they want. It recommended making forms short, friendly and easy to use by using top-aligned labels, limiting unnecessary fields, and visually distinguishing the primary action button. The presentation also discussed how form tone and wording should be polite and avoid confusing language.
El documento describe el método AtlasProfilax, desarrollado por R.C. Schümperli, para colocar la primera vértebra cervical (Atlas) en su posición correcta de manera permanente en una sola sesión y sin riesgos. El Atlas desalineado puede comprimir la médula espinal y causar dolores en la cabeza, espalda y extremidades. Al corregir la posición del Atlas, el cuerpo puede sanar y equilibrarse de forma natural. Las posibles reacciones después del tratamiento indican que el cuerpo inició un proceso de autocur
Wellmo's Platform Enabling Mobile Health ServicesJoão Bocas
Wellmo's platform enables insurance companies and health providers to quickly launch mobile health services by leveraging existing digital health technologies, content, and partners through a single integration. The platform allows insurance companies like the second largest insurer in Finland to offer traditional life insurance plus smartphone services, differentiating themselves in the market and achieving benefits like 10% sales growth, attracting new customer segments, and reducing risk.
Este documento presenta el informe de responsabilidad social corporativa de 2013 de la empresa Juan Jiménez García S.A.U. La empresa se fundó en 1964 y se dedica principalmente a la cría y engorde de cerdos. Describe su proceso de producción, que incluye granjas de selección, inseminación artificial, post-destete y cebaderos. También cría cerdos ibéricos y engorde de ganado vacuno. El informe destaca los valores de la empresa como el sacrificio y el esfuerzo, y su compromiso con el desarrollo
El papel de los proyectos en la enseñanza y aprendizaje de la estadística b...observatorio2015
Este documento presenta un proyecto propuesto para que los estudiantes comprueben sus intuiciones sobre el azar. El proyecto involucra que los estudiantes inventen una secuencia de lanzamientos de moneda y la comparen con una secuencia real obtenida al lanzar una moneda 20 veces. Esto les permite reflexionar sobre cómo sus intuiciones sobre el azar a menudo son engañosas y sobre la utilidad de la estadística para probar hipótesis. El proyecto se presenta como una forma de enseñar estadística de
La internet y el celular; poderosas armas de Comunicación PolíticaVictor Polanco Frías
Este documento analiza el impacto de la televisión en la sociedad. En 3 oraciones:
1) La televisión ha influido en áreas como el consumo, la vida sociopolítica y la educación al establecer una relación particular con el pasado, presente y futuro.
2) La televisión cumple funciones como entretener, distraer y consolar al espectador modificando su afectividad.
3) La televisión se ha convertido en un elemento fundamental de socialización que influye en las actitudes y percepciones de la realidad desde temp
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This document summarizes key points from a presentation about why forms suck and how to design them better. The presentation covered topics like how forms act as a barrier between users and what they want. It recommended making forms short, friendly and easy to use by using top-aligned labels, limiting unnecessary fields, and visually distinguishing the primary action button. The presentation also discussed how form tone and wording should be polite and avoid confusing language.
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1) La televisión ha influido en áreas como el consumo, la vida sociopolítica y la educación al establecer una relación particular con el pasado, presente y futuro.
2) La televisión cumple funciones como entretener, distraer y consolar al espectador modificando su afectividad.
3) La televisión se ha convertido en un elemento fundamental de socialización que influye en las actitudes y percepciones de la realidad desde temp
23 un siglo de presencia militar en nuestra provincia (1833 1936) version cortaaulamilitar
Este documento resume la presencia militar en la provincia de Castellón entre 1833 y 1936. Describe la organización de la infantería española en 1833, incluyendo 18 regimientos de línea, 6 ligeros y 43 regimientos provinciales. También había 11 batallones de infantería y un escuadrón de caballería de Voluntarios Realistas en Castellón. Estos voluntarios desaparecieron entre 1832 y 1835 debido a su descontento con el nuevo gobierno. El documento concluye describiendo brevemente la Primera Gu
Los murales son una herramienta didáctica que consiste en un marco de madera con un fondo de corcho en el que los estudiantes plasman ideas e imágenes sobre un tema. Los murales motivan el trabajo creativo en grupo y desarrollan habilidades artísticas. Sus principales características son transmitir mensajes de forma gráfica, generar interés en los estudiantes por investigar temas y educar de manera sencilla a través de ideas atractivas. Además, los murales buscan captar la atención de los estudiant
Genoa Healthcare integrated MetaViewer into their accounts payable department prior to doubling in size through a merger. This saved them time and increased efficiency by automating 100% of invoices. MetaViewer was customized to Genoa's unique needs with multiple locations and approval workflows. The implementation increased AP automation and efficiency.
Ryan Luke of AES Finance provides wealth management services for international clients, specializing in sports and entertainment. His services include financial planning, portfolio management, taxation planning, offshore private banking, pensions, insurance, and retirement planning. He works with clients such as professional footballers, golfers, tennis players, cricketers, drivers, and celebrities. Ryan has experience helping clients maximize their careers and prepare for life after their careers end through comprehensive financial advice, tax benefits, and privacy.
Ochocientos años. El paso de la cristiandad a la increenciaBright Brains S.C.
El hombre vive actualmente como si Dios no existiera. Hemos sido manipulados por las grandes revoluciones: Revolución Francesa, Revolución sexual, Revolución cultural gramsciana.
The document describes DREAM:IN, a global initiative to understand the dreams and aspirations of youth. It aims to gather dreams from young people aged 18-30 across countries like India, Brazil and the US. Top dreams are selected and connected to mentors, investors and organizations that can help realize them. The process involves training students to interview dreamers, selecting 100 ventures to support, and global conferences to inspire dreamers and showcase their ideas. The goal is to transform youth from consumers to creators of wealth and employment by nurturing their dreams into startups and social projects.
Este documento presenta los servicios de catering de Bon Appetit. Ofrece servicios de catering para eventos empresariales y personales como bodas, bautizos, cumpleaños y cenas. Incluye opciones como coffee breaks, cócteles, buffets y menús para diferentes estaciones. El objetivo es ayudar a los clientes a relajarse y disfrutar de sus eventos especiales sin preocuparse por la comida.
Unfurnished & furnished apartments/condominiums in Bangalore's prime locations, Best Luxury apartments from Alpine Housing, Pick flats from leading apartment builders of Bangalore. Also available as corporate service apartments. Visit us for top serviced apartments.
El documento proporciona información sobre un programa intensivo de inglés en el Colegio San Saturio para estudiantes de entre 10 a 17 años. Los interesados pueden inscribirse llamando al número de teléfono o contactando con la secretaría del colegio. Las plazas son limitadas y se confirmarán por orden de recepción del contrato. El depósito de inscripción es de 150 euros.
Casos y Formulas para Reproducir Resultados En Redes Sociales @ Santiago Soci...Francisco Kemeny
Este documento resume las estrategias y resultados de campañas de marketing en redes sociales. Explica que el alcance orgánico en Facebook ha disminuido, por lo que es necesario optimizar el contenido y usar publicidad pagada. También destaca la importancia de definir objetivos claros, segmentar el público y medir los resultados para mejorar continuamente.
This document provides information about the "Biosimilars & Biobetters USA 2014" conference to be held on April 7-8, 2014 in Iselin, New Jersey. The conference will focus on regulatory issues, commercialization strategies, and product development for biosimilars and biobetters in the US market. It includes an agenda with speaker information, session topics, and registration details. There will also be two post-conference workshops on April 9th on differentiation strategies for generics and launching biosimilars. The document aims to provide attendees with up-to-date insights and networking opportunities in the biosimilars industry.
El gobierno español está negociando con el PNV y el PP un nuevo acuerdo antiterrorista para actualizar el pacto de Ajuria Enea de 1998. El ministro del Interior, Rubalcaba, está liderando estas negociaciones para lograr un documento de principios comunes contra ETA que cuente con el apoyo de los tres principales partidos. Sin embargo, las negociaciones son difíciles debido a las diferencias entre los partidos.
Doppler Tutorial: Cómo mejorar tus resultados con el Email MarketingFromDoppler
El documento presenta las estrategias de email marketing para mejorar los resultados. Explica que se debe segmentar las listas de suscriptores, desarrollar una base de datos calificada, redactar asuntos de forma estratégica y medir los resultados. También describe diferentes tipos de campañas como promocionales, informativas y estacionales. Por último, proporciona ejemplos de estrategias para industrias como turismo, moda, educación y gastronomía.
Este documento define números complejos, incluyendo la unidad imaginaria j, números imaginarios puros y complejos. Explica cómo representar números complejos en el plano complejo y define operaciones como suma, resta, multiplicación y división de números complejos. También cubre la forma exponencial de un número complejo y la forma polar.
Este documento define números complejos y describe sus propiedades fundamentales. Introduce la unidad imaginaria j como la raíz cuadrada de -1, y define números complejos como la suma de un número real y un número imaginario. Explica cómo representar y manipular números complejos en forma rectangular y polar, incluyendo sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. También cubre identidades importantes como la identidad de Euler.
En la presentación encontraran tópicos de la unidad I de álgebra lineal como son: Definición y origen de los números complejos, operaciones con números complejos, forma polar y cartesiana de un número complejo, potencias, teorema de moivre
El documento explica los números complejos, incluyendo que un número complejo consta de una parte real y una parte imaginaria. Describe cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos mediante operaciones con sus partes reales e imaginarias. También cubre la representación trigonométrica y exponencial de números complejos.
Este documento presenta ejercicios resueltos de números complejos. En el primer ejercicio se calculan expresiones complejas como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. En el segundo ejercicio se determinan valores de x que satisfacen igualdades complejas. En el tercer ejercicio se determina una ecuación con coeficientes reales con raíces dadas. En el cuarto ejercicio se determina un polinomio de grado 4 con raíces dadas. En el quinto ejercicio se analizan las posibles soluciones de una ecuación pol
1) Se explican métodos para calcular determinantes como el método de adjuntos y la regla de Sarrus.
2) Se indica que para determinar si un sistema de vectores es libre, se calcula el determinante de la matriz formada por los vectores.
3) Para calcular la inversa de una matriz, se obtiene la matriz adjunta y se divide entre el determinante de la matriz original.
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Este documento define números complejos, incluyendo la unidad imaginaria j, números imaginarios puros y complejos. Explica cómo representar números complejos en el plano complejo y define operaciones como suma, resta, multiplicación y división de números complejos. También cubre la forma exponencial de un número complejo y la forma polar.
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Este documento presenta ejercicios resueltos de números complejos. En el primer ejercicio se calculan expresiones complejas como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. En el segundo ejercicio se determinan valores de x que satisfacen igualdades complejas. En el tercer ejercicio se determina una ecuación con coeficientes reales con raíces dadas. En el cuarto ejercicio se determina un polinomio de grado 4 con raíces dadas. En el quinto ejercicio se analizan las posibles soluciones de una ecuación pol
1) Se explican métodos para calcular determinantes como el método de adjuntos y la regla de Sarrus.
2) Se indica que para determinar si un sistema de vectores es libre, se calcula el determinante de la matriz formada por los vectores.
3) Para calcular la inversa de una matriz, se obtiene la matriz adjunta y se divide entre el determinante de la matriz original.
Al examen sustitutorio solucionario (1)henrry_T_17
1. El documento presenta la solución a un examen sustitutorio de álgebra lineal que incluye tres problemas.
2. El primer problema prueba que un mapeo f entre espacios vectoriales es lineal si cumple que f((1-t)u + tv) = (1-t)f(u) + tf(v).
3. El segundo problema encuentra la matriz de Gram asociada a una nueva base en el espacio-tiempo de la relatividad especial y muestra que un operador l es una isometría.
4. El tercer problema determina
Este documento presenta una guía de aprendizaje sobre funciones vectoriales. La guía introduce conceptos como curvas en el espacio definidas por ecuaciones paramétricas, derivadas e integrales de funciones vectoriales. Incluye actividades previas y ejemplos para reforzar estos conceptos. El objetivo es que los estudiantes comprendan cómo describir curvas en R3, calcular ecuaciones de planos y curvaturas, y determinar funciones vectoriales que representan curvas.
Este documento presenta el solucionario de un libro sobre vibraciones y ondas. Contiene soluciones detalladas a problemas relacionados con movimientos periódicos, superposición de movimientos, vibraciones libres y forzadas de sistemas físicos, osciladores acoplados, modos normales de sistemas continuos y ondas progresivas. El autor del solucionario es Mauricio Vargas Villegas de la Universidad de Tolima y fue publicado en julio de 2019 en ResearchGate.
El documento lista las soluciones propuestas para varios ejercicios de cálculo. Incluye las soluciones para las partes (g) del Ejercicio 1, (a)-(d) del Ejercicio 2, (a) del Ejercicio 3, (e) del Ejercicio 4, (d) del Ejercicio 5, (a)-(e) del Ejercicio 6, (e) del Ejercicio 7, (e) del Ejercicio 8 y (f) del Ejercicio 9. Cada ejercicio parece tratar sobre un tema diferente de c
Este documento presenta diferentes métodos para calcular sumas y áreas bajo curvas mediante el uso de la notación sigma. Explica cómo aproximar el área bajo una curva dividiendo el intervalo en subintervalos y calculando las sumas superior e inferior. También muestra cómo calcular el límite de estas sumas para determinar el área exacta bajo la curva.
Este documento presenta un resumen de una unidad didáctica sobre números reales y complejos. Explica cómo calcular operaciones básicas con números complejos como suma, resta, multiplicación, división e inversión. También incluye ejemplos detallados de cómo resolver estas operaciones paso a paso con diferentes números complejos dados.
Este documento presenta la resolución de varios ejercicios sobre números complejos. En el primer ejercicio, se demuestra geométricamente que la suma de dos números complejos representa el punto medio del vector que une sus afijos. En el segundo ejercicio, se prueba que si tres puntos forman un triángulo equilátero, sus números complejos cumplen una igualdad dada. En el tercer ejercicio, se determinan los vértices de un triángulo equilátero centrado en el origen.
1) Los números complejos se definen como pares ordenados de números reales y forman un cuerpo con las operaciones de suma y multiplicación. 2) Un número complejo puede representarse como la suma de su parte real e imaginaria o mediante coordenadas polares con módulo y argumento. 3) Los números complejos permiten resolver ecuaciones que involucran raíces cuadradas de números negativos como x2 + 1 = 0.
1) Los números complejos se definen como pares ordenados de números reales y forman un cuerpo con las operaciones de suma y multiplicación. 2) Un número complejo puede representarse como la suma de su parte real e imaginaria o mediante coordenadas polares con módulo y argumento. 3) Los números complejos permiten resolver ecuaciones que involucran raíces cuadradas de números negativos como x2 + 1 = 0.
1) Los números complejos se definen como pares ordenados de números reales y forman un cuerpo con las operaciones de suma y multiplicación. 2) Un número complejo puede representarse como la suma de su parte real e imaginaria o mediante coordenadas polares con módulo y argumento. 3) Los números complejos permiten resolver ecuaciones que involucran raíces cuadradas de números negativos como x2 + 1 = 0.
Este documento contiene un examen de variable compleja con 3 preguntas:
1) Calcular una integral circular y mostrar que otra integral es igual a 2π.
2) Probar que la integral de cos(x2) entre 0 y 1 es igual a √π/2.
3) Demostrar que si una función f(z) es analítica y acotada por M dentro de un disco, sus derivadas cumplen que |f(n)(z)| ≤ MRn!/(R-|z|)n+1 cuando |z| < R.
1. Los números complejos pueden expresarse como la suma de un número real y un número imaginario multiplicado por la unidad imaginaria j. Existen diferentes formas de representar números complejos, incluyendo formas binómicas, polares y exponenciales. 2. Los números complejos pueden representarse geométricamente como vectores en el plano complejo y se pueden sumar y multiplicar siguiendo reglas algebraicas. 3. Los fasores son números complejos que representan oscilaciones, donde su argumento aumenta linealmente con el tiempo, y son útiles para representar la amplitud y f
Este documento presenta la unidad 1 de álgebra lineal sobre números complejos. Introduce la definición y origen de los números complejos, las operaciones básicas con ellos, el módulo y forma polar y exponencial. También cubre potencias de la unidad imaginaria i, teorema de Moivre y extracción de raíces. Por último, explica brevemente las ecuaciones polinómicas y cómo resolver ecuaciones de primero hasta cuarto grado. El documento contiene ejemplos y ejercicios para cada sección.
ESPERAMOS QUE ESTA INFOGRAFÍA SEA UNA HERRAMIENTA ÚTIL Y EDUCATIVA QUE INSPIRE A MÁS PERSONAS A ADENTRARSE EN EL APASIONANTE CAMPO DE LA INGENIERÍA CIVIŁ. ¡ACOMPAÑANOS EN ESTE VIAJE DE APRENDIZAJE Y DESCUBRIMIENTO
Los puentes son estructuras esenciales en la infraestructura de transporte, permitiendo la conexión entre diferentes
puntos geográficos y facilitando el flujo de bienes y personas.
1. Trabajo Práctico n°2
Control I
Alumno: Rotondi, Mauro Daniel.
Docente: Palmieri, Diego.
Instructor: Colmegna, Patricio.
Fecha de Entrega: 13/11/2014
2. Ejercicio n°1
Dados los diagramas de Bode a la izquierda de la Figura 1, deducir cuales de los diagramas de Nyquist a la
derecha corresponden al mismo sistema.
Figura 1: Diagramas de Bode y Nyquist
NOTA: Para la resolución de este ejercicio, se buscó la función correspondiente a cada gráfica; y junto con
los valores necesarios para Nyquist, se dibujaron en MATLAB para verificar lo calculado.
Resolución
• Para el Gráfico 1 de Bode de la Figura 1, se puede observar que se trata de un polo doble inestabe,
esbozado en la siguiente función:
G(s) =
1
(s−1)2
3. Si expresamos lo obtenido en funciones de G(jω):
Si se evalúa para los siguientes valores de ω:
Con todo lo calculado,
se representan graficamente:
Figura 2: Diagrama de Bode n°1
A continuación en la Figura 3 se encuentra el Nyquist correspondiente al Bode de la Figura 2.
G( jω) =
1
(− jω + 1)
→quemultiplicando por el conjugado se obtiene:
G( jω) =
1
−ω2
− 2 j ω+ 1
, si separamosen parte Real(ℜ)e Imaginaria(ℑ):
G( jω) =
−ω
2
+1
ω4
+ 2ω2
+1
+ j
2ω
ω4
+ 2ω2
+1
ω → 0 se obtieneel punto (1 + j0)
ω → ∞ siendoquela parte ℑ→0 masrápidoquela parte ℜ,se obtiene
el punto (− 0 + j0) con unángulode −180.
Por último, paraobservar el corteconel ejeℑ,del numerador de la parte ℜ
hade ser −ω2
+ 1 = 0→ ω =±1
rad
seg
ω → 1 se obtiene el punto (0 + j 0.5)
4. Figura 3: Diagrama de Nyquist n°2
• Para el Gráfico 2 de Bode de la Figura 1, se puede observar que se trata de:
◦ Ganancia negativa que aporta 180° de fase
◦ Cero simple en ω = 1, quedando (s + 1) .
◦ Un polo en el orígen
1
s
, que aporta -90° de fase.
◦ Un polo simple inestable en ω = 10, que en fase se comporta como un cero simple, siendo
entonces
1
−s
10
+1
.
Con todos los datos relevados, se construye la siguiente función:
Expresándolo en función de G(j ω):
Si se evalúa para los siguientes valores de ω:
G(s) =
−10 (s + 1)
s (−s + 10)
→G(s) =
−10 (s + 1)
(−s2
+ 10 s)
G( jω) =
−10 ( jω +1)
(−( jω)2
+ 10 jω)
→que multiplicando por el conjugado y ordenando se obtiene:
G( jω) =
−10 jω −10
ω2
+ 10 j ω
, si separamos en parte Real (ℜ)e Imaginaria(ℑ):
G( jω) =
110
ω2
+ 100
+ j
−10ω2
+100
ω3
+ 100ω
5. Con todo lo calculado, se representan graficamente:
Figura 4: Diagrama de Bode n°2
A continuación en la Figura 5 se encuentra el Nyquist correspondiente al Bode de la Figura 4.
Figura 5: Diagrama de Nyquist n°3
ω → 0 se obtieneel punto (−1,1 − j ∞)
ω → ∞ siendoquela parte ℜ→0 masrápido quela parte ℑ, seobtiene
el punto ( 0 + j ∞) conunángulo de 90.
Por último, paraobservar el corteconel ejeℜ,del numerador dela parte ℑ
hade ser −10ω2
+ 100 = 0→ ω =±√10
rad
seg
ω = √10 seobtiene el punto (−1 + j 0)
6. • Para el Gráfico 3 de Bode de la Figura 1, se puede observar que se trata de:
◦ Un polo en el orígen
1
s
, que aporta -90° de fase.
◦ Un polo doble estable en ω = 1, de forma
1
(s +1)2
Con todos los datos relevados, se construye la siguiente función:
Expresándolo en función de G(j ω):
Si se evalúa para los siguientes valores de ω:
G(s) =
1
s (s + 1)2
G ( jω) =
1
( jω) ( jω + 1)2
→queordenando se obtiene:
G( jω) =
1
−( jω)
3
− 2ω
2
+ jω
, sise separa en parte Real (ℜ)e Imaginaria(ℑ):
G( jω) =
−2
ω4
+ 2ω2
+ 1
+ j
ω2
− 1
ω5
+ 2ω2
+ ω
ω → 0 se obtieneel punto (−2 − j ∞)
ω → ∞ siendoquela parte ℜ→0 masrápido quela parte ℑ, seobtiene
el punto ( 0 + j ∞) conunángulo de 90.
Por último, paraobservar el corteconel ejeℜ,del numerador dela parte ℑ
hade ser ω2
− 1 = 0 → ω = ±1
rad
seg
ω = 1 se obtieneel punto (−0.5 + j 0)
7. Con todo lo calculado, se representan graficamente:
Figura 6: Diagrama de Bode n°3
A continuación en la Figura 7 se encuentra el Nyquist correspondiente al Bode de la Figura 6.
Figura 7: Diagrama de Nyquist n°1
8. Ejercicio n°2
Asociar cada uno de los diagramas de Bode de la Figura 8, con el mapa de polos y ceros de la Figura 9.
Figura 8: Diagramas de Bode
9. Figura 9: Diagrama de Mapas
• Para el Bode A de la Figura 8, le corresponde el Mapa 2 de la Figura 9, con los siguientes ceros y
polos:
◦ Cero complejo en
−1
2
± j 1 (se justifica su elección mas adelante).
◦ Polo simple en (– 0.1 + j 0).
◦ Polo doble en (– 1 + j 0) .
La función queda de la siguiente manera:
G( jω) =
( jω +
1
2
+ j 1) . ( jω +
1
2
− j 1)
( jω + 0.1) .( jω + 1)2
queordenando y expresandoen según la forma
compleja enel numerador queda: G( jω) =
5
4
.
[(
jω
√5
2 )
2
+ 2 .
1
√5
.
jω
√5
2
+ 1
]1
10
. (jω
0.1
+ 1). ( jω + 1)
2
10. Quedan los siguientes valores:
Una ganancia → 20log(12.5) ≃ 22dB
ωn
= 1,11
rad
seg
ζ =
1
√5
ωr = 0,86
rad
seg
M r = 1,25dB
Para verificar lo obtenido, se representa en la Figura 10 el diagrama de Bode en MATLAB correspondiente:
Figura 10: Diagrama de Bode del Mapa 2
• Para el Bode B de la Figura 8, le corresponde el Mapa 4 de la Figura 9, con los siguientes ceros y
polos:
◦ Cero en en el orígen.
◦ Polo complejo inestable en
1
2
± j 1 .
La función queda de la siguiente manera:
Quedan los siguientes valores:
G( jω) =
jω
( jω−
1
2
+ j 1) . ( jω −
1
2
− j 1)
que ordenando y expresandoensegún la forma
complejaen el denominador queda: G ( jω) =
jω
5
4
.
[(
jω
√5
2 )
2
− 2 .
1
√5
.
jω
√5
2
+ 1
]
11. Una ganancia → 20log ┃0,8┃ ≃−2dB
ωn = 1,11
rad
seg
ζ =−
1
√5
ωr
= 0,86
rad
seg
M r =−1,25dB
Para verificar lo obtenido, se representa en la Figura 11 el diagrama de Bode en MATLAB correspondiente:
Figura 11: Diagrama de Bode del Mapa 4
• Para el Bode C de la Figura 8, le corresponde el Mapa 3 de la Figura 9, con los siguientes ceros y
polos:
◦ Cero en en el orígen.
◦ Polo complejo inestable en
−1
2
± j 1 .
La función queda de la siguiente manera:
Quedan los siguientes valores:
G( jω) =
jω
( jω +
1
2
+ j 1) . ( jω +
1
2
− j 1)
que ordenando y expresandoen según la forma
compleja en el denominador queda: G ( jω) =
jω
5
4
.
[(
jω
√5
2 )
2
+ 2 .
1
√5
.
jω
√5
2
+ 1
]
12. Una ganancia → 20log ┃0,8┃ ≃− 2dB
ωn = 1,11
rad
seg
ζ =
1
√5
≃ 0,44
ωr
= 0,86
rad
seg
M r = 1,25dB
Para verificar lo obtenido, se representa en la Figura 12 el diagrama de Bode en MATLAB correspondiente:
Figura 12: Diagrama de Bode del Mapa 3
• Para el Bode D de la Figura 8, le corresponde el Mapa 1 de la Figura 9, con los siguientes ceros y
polos:
◦ Cero complejo en
1
2
± j 1 (se justifica su elección mas adelante).
◦ Polo simple en (– 0.1 + j 0).
◦ Polo doble en (– 1 + j 0) .
La función queda de la siguiente manera:
Quedan los siguientes valores:
G( jω) =
( jω−
1
2
+ j 1) . ( jω −
1
2
− j 1)
( jω + 0.1) .( jω + 1)2
que ordenando y expresandoensegún la forma
complejaen el numerador queda: G( jω) =
5
4
.
[(
jω
√5
2 )
2
− 2 .
1
√5
.
jω
√5
2
+ 1
]1
10
. (jω
0.1
+ 1). ( jω + 1)2
13. Una ganancia → 20log(12.5) ≃ 22dB
ωn
= 1,11
rad
seg
ζ =
1
√5
ωr = 0,86
rad
seg
M r = 1,25dB
Para verificar lo obtenido, se representa en la Figura 13 el diagrama de Bode en MATLAB correspondiente:
Figura 13: Diagrama de Bode del Mapa 1
Conclusión
Observando todos los gráficos, se pueden ver como los ceros y polos complejos INESTABLES hacen varias
los diagramas de fase, sin alterar estos la respuesta en frecuencia en cuanto a la magnitud.
14. Ejercicio n°3
Utiliar el criterio de Nyquis para decidir si los siguientes sistemas son estables a lazo cerrado. Si algún
sistema fuera inestable, decir cuántos polos en el semiplano derecho posee.
(a)
(b)
(c)
(d)
Resolución
(a) Se expresa la G(s) en función de G(jω):
Si se evalúa para los siguientes valores de ω:
Analizando el caso para la asíntota, se toma :
Escribiendo (a) en función de la nueva igualdad de s:
G(s) =
5(s+1)
s2
−2 s+3
G(s) =
s+3
s(s−1)
G(s) =
2s
s2
−s+1.25
G(s) =
10
(s+3)3
G( jω) =
jω +3
( jω) ( jω −1)
, si separamosen parte Real (ℜ)e Imaginaria(ℑ):
G( jω) =
−4
ω2
+ 1
+ j
3−ω2
ω3
+ ω
ω → 0 se obtieneel punto (−4 + j ∞)
ω → ∞ siendoquela parte ℜ→0masrápido que la parte ℑ,se obtiene
el punto ( 0 − j 0) con unángulo de −90.
Para observarel corte conel eje ℜ,del numerador dela parteℑ
hade ser 3−ω
2
= 0 → ω =±√3
rad
seg
ω = √3 se obtieneel punto (−1 + j 0)
s = ε e j θ
; con ε≪1 y θ∈
[−θ
2
; θ
2]
G(ε e j θ
) =
ε e j θ
+3
(ε e j θ
) (ε e j θ
−1)
→ G (ε e j θ
) =
3
−ε e j θ
,expresandoenmagnitud y fase:
G(ε e j θ
) =
3
ε e
− j(θ + Π)
G(s) =
s+3
s(s−1)
15. Dándole los siguientes valores a θ :
Con todos los datos obtenidos, se realiza el Diagrama de Nyquist en la Figura 14.
Figura 14: Nyquist de la función (a)
Siendo que:
• P = 1, ya que las raíces del denominador de (b) son:
◦ – 1.0000 + 0.000i
• El número de vueltas al “-1” es N = 1
• Los polos a lazo cerrado Z son Z = N + P
◦ Z = 1 + 1 → Z = 2.
Al pasar por el -1, el sistema es CRITICAMENTE ESTABLE.
θ =− Π
2
→
3
ε e
− j Π
2
→ −∞
θ = 0 →
3
ε e− j Π
→ −∞
θ = Π
2
→
3
ε e
− j
3
2
Π
→ +∞
16. (b)
Se expresa la G(s) en función de G(jω):
Si se evalúa para los siguientes valores de ω:
Con todos los datos obtenidos, se realiza el Diagrama de Nyquist en la Figura 15.
Figura 15: Nyquist de la función (b)
G( jω) =
5( jω +1)
( jω2
−2 jω + 3)
, si separamosen parte Real (ℜ)e Imaginaria(ℑ):
G( jω) =
−15ω2
+15
ω4
−2ω2
+ 9
+ j
5ω(5−ω2
)
ω4
−2ω2
+ 9
ω → 0 se obtieneel punto (
5
3
+ j 0)
ω → ∞ siendoquela parte ℜ→0masrápido que la parte ℑ,se obtiene
el punto ( 0 − j ∞) conun ángulode −90.
Para observarel corte conel eje ℜ,del numerador dela parteℑ
hade ser 5−ω2
= 0 → ω =±√5
rad
seg
ω = √5 seobtiene el punto (−
5
2
+ j 0)
Para observarel corte conel eje ℑ,del numerador de la parte ℜ
hade ser −15ω
2
+ 15 = 0→ ω =±1
rad
seg
ω = 1 se obtieneel punto (0 + j
5
2
)
G(s) =
5(s+1)
s2
−2 s+3
17. Siendo que:
• P = 2, ya que las raíces del denominador de (b) son:
◦ 1.0000 + 1.4142i
◦ 1.0000 - 1.4142i
• El número de vueltas al “-1” es N = – 2, ( el – viene del sentido de giro antihorario)
• Los polos a lazo cerrado Z son Z = N + P
◦ Z = – 2 + 2 → Z = 0.
Como Z = 0, el sistema es ESTABLE A LAZO CERRADO.
(c)
Se expresa la G(s) en función de G(jω):
Si se evalúa para los siguientes valores de ω:
Con todos los datos obtenidos, se realiza el Diagrama de Nyquist en la Figura 16.
G(s) =
2s
s2
−s+1.25
G( jω) =
2 jω
( jω2
− jω + 1.25)
, si separamos en parte Real(ℜ)e Imaginaria(ℑ):
G( jω) =
−2ω2
ω4
−1.5ω2
+ 1.5625
+ j
−2ω3
+ 2.5ω
ω4
−1.5ω2
+ 1.5625
ω → 0 se obtieneel punto (0 + j 0)
ω → ∞ siendoquela parte ℜ→0masrápido que la parte ℑ,se obtiene
el punto ( 0 − j 0) con unángulo de −90.
Para observarel corte conel eje ℜ,el numerador dela parte ℑ
hade ser −2ω3
+ 2.5ω = 0→ ω =±
√5
2
rad
seg
ω =
√5
2
se obtieneel punto (−2 + j 0)
No hay cortescon eleje ℑ.
18. Figura 16: Nyquist de la función (c)
Siendo que:
• P = 2, ya que las raíces del denominador de (c) son:
◦ 0.5000 + 1.0000i
◦ 0.5000 - 1.0000i
• El número de vueltas al “-1” es N = – 1, ( el – viene del sentido de giro antihorario)
• Los polos a lazo cerrado Z son Z = N + P
◦ Z = – 1 + 2 → Z = 1.
Como Z = 1, el sistema es NO ES ESTABLE A LAZO CERRADO.
(d)
Se expresa la G(s) en función de G(jω):
Si se evalúa para los siguientes valores de ω:
G(s) =
10
(s+1)3
G( jω) =
10
( jω + 1)3
, si separamos en parte Real (ℜ)e Imaginaria(ℑ):
G( jω) =
−30ω2
+ 10
ω6
+ 3ω4
+ 3ω2
+ 1
+ j
10ω3
−30ω
ω6
+ 3ω4
+ 3ω2
+ 1
19. Con todos los datos obtenidos, se realiza el Diagrama de Nyquist en la Figura 17.
Figura 17: Nyquist de la función (d)
Siendo que:
• P = 0, ya que las raíces del denominador de (d) son:
◦ -1.0000 + 0.0000i
◦ -1.0000 + 0.0000i
◦ -1.0000 - 0.0000i
• El número de vueltas al “-1” es N = +2, ( el + viene del sentido de giro horario)
• Los polos a lazo cerrado Z son Z = N + P
◦ Z = 2 + 0 → Z = 2.
Como Z = 2, el sistema es NO ES ESTABLE A LAZO CERRADO.
ω → 0 se obtieneel punto (10 + j 0)
ω → ∞ siendoquela parte ℜ→0masrápidoque la parte ℑ,se obtiene
el punto ( 0 + j 0) conun ángulode 90.
Para observarel corte conel eje ℜ,el numerador dela parte ℑ
hade ser 10ω
3
−30ω = 0 → ω =±√3
rad
seg
ω = √3 se obtieneel punto (−
5
4
+ j 0)
Para observarel corte conel eje ℑ,el numerador dela parte ℜ
hade ser −30ω2
+10ω = 0 → ω =±
1
√3
rad
seg
ω =
1
√3
se obtieneel punto (0 − j
15
4
√3) ≃(0 − 6,49)
20. Ejercicio n°4
Considerar un planta con el modelos nominal
(a) Sin tener en cuenta el retardo, diseñar un controlador tal que ubique los polos dominantes a lazo cerrado
en s = −2 ± 0.5 j. Simular el sistema a lazo cerrado.
(b) Aproximar el retardo con una aproximación de Padé de segundo orden y diseñar un controlador bajo las
mismas condiciones que antes. Simular el sistema a lazo cerrado.
(c) Simular el controlador diseñado en (a) con un predictor de Smith.
(d) Decidir cuál de los dos desempeños es el mejor.
(e) Suponiendo que el retardo del sistema real tiene un 20% de error, simular los controladores obtenidos
considerando el retardo de la planta ret = 0.6 y ret = 0.4.
(f) Calcular el valor del retardo máximo que mantiene el sistema estable.
Resolución
(a) Siendo el modelo nominal de la planta sin el retardo:
Se toma un Alc de grado → 2 . n, quedando entonces un Alc de grado 4.
De esta manera, se toma un controlador bipropio con n = 2 de la forma
Desarrollando los polos dominantes a lazo cerrado s = −2 ± 0.5 j se obtiene:
Planteado la ecuación de el polinomio característico a lazo cerrado:
Ao(s) . L(s) + Bo(s) . P(s) = Alc (s)
Go(s) =
(s+5)
(s+1). (s+3)
. e−0.5 s
Go(s) =
Bo
(s)
Ao(s)
=
(s+5)
( s+1). (s+3)
; con Bo(s) de grado m=1 y Ao(s)de gradon=2
(s+2+ j0.5) . (s+2− j0.5)→s2
+2s− j 0.5+2s+4− j+ j 0.5+ j+
1
4
quedandola ecuación: s2
+4 s+
17
4
C(s) =
P(s)
L(s)
,quedandoentoncesun controlador bipropio.
21. Sustituyendo en cada término se obtiene:
Donde:
• L(s) = s.(l0+l1 s) ;siendoéste de grado2, conel termino integrador ' s' .
Aprovechando la cancelación de polos, definimos entonces:
• P(s) = [(s+1) . (s+3)] . p0 , que tiene grado2.
• α y β se agregan para completar el grado 4, (s+α) = (s+1) ∧ (s+β) = (s+3)
Reemplazando en (1) y cancelando:
Quedando entonces:
Igualando los coeficientes pertenecientes al mismo grado y despejando:
NOTA: Para este caso, el sistema es sencillo de resolver y tiene una respuesta única, en caso de tener uno
mas complejo, es conveniente plantear la matríz del sistema y ver si no es singular (Det ≠ 0) para ver si
tiene única solución.
Finalmente, se procede a armar el controlador C(s):
Según la simulación en MATLAB esbozada en la Figura 18, se obtiene en la salida del sistema el diagrama de
la Figura 19.
(s+1) . (s+3) . L(s) +(s+5) . P(s) =(s2
+4 s+
17
4
) . (s+α) . (s+β) (1)
(s+1) . (s+3) . s . (l0
+l1
s) + (s+5) . [(s+1) . (s+3) . p0
] =(s2
+4 s+
17
4
) . (s+1) . (s+3)
s . (l0
+l1
s) + (s+5) . p0
= s2
+4 s+
17
4
l1 s2
+l0 s+ p0 s+5 p0 = s2
+4 s+
17
4
l1 = 1
l0 + p0 = 4 →l0 =
63
20
= 3.15
5 p0 =
17
4
→ p0 =
17
20
= 0.85
C (s) =
(s+1)(s+3) p0
s .(l0+l1 s)
=
(s+1)(s+3) 0.85
s .(3.15+s)
→C(s) =
0.85s2
+3.4 s+2.55
s2
+3.15s
22. Figura 18: Simulacion del sistema (a)
Figura 19: Respuesta al escalón sin retardo
(b) La expresión general para la aproximación de Padé es la siguiente:
En nuestro, para un caso de segundo orden, se obtiene:
Ya con la aproximación para el retardo calculada, el modelo de la planta pasa a ser:
Ahora, analizando nuevamente los grados de la planta, se tiene que:
e
−(Ts)
≃
1 + Σ
i=1
n i !(−Ts)i
(2i)!
1 + Σ
i=1
n i !(Ts)i
(2i)!
e
−(Ts)
≃
1 −
1
2
Ts+
(Ts)2
12
1 +
1
2
Ts+
(Ts)2
12
, y reemplazandoconT = 0.5
→ e−0.5s
≃
1 −
1
4
s+
1
48
s2
1 +
1
4
s+
1
48
s2
Go(s) =
(s+5)
(s+1). (s+3)
. e
−0.5 s
≃
(s+5)
(s+1). (s+3)
.
1 −
1
4
s+
1
48
s2
1 +
1
4
s+
1
48
s
2
=
B0( s)
A0
(s)
23. • B0(s) tiene grado m = 3.
• A0(s) es de grado n = 4.
De esta manera, el polinomio Alc será de grado 2.n → 8, por lo que el controlador C(s) será:
Planteamos:
Ao(s) . L(s) + Bo(s) . P(s) = Alc (s)
Sustituyendo en cada término se obtiene la ecuación (41):
Donde:
•
Aprovechando la cancelación de polos, definimos entonces:
•
•
•
Reemplazando en (41) y cancelando se obtiene:
Igualando los coeficientes pertenecientes al mismo grado y despejando:
Con los coeficientes obtenidos, se arma el controlador C(s):
Haciendo las sustituciones correspondientes y distribuyendo:
(s+1) . (s+3) . (1 +
1
4
s+
1
48
s2
)L(s) +( s+5) . (1 −
1
4
s+
1
48
s2
)P(s) = (s2
+4 s+
17
4
) . ( s+α) . (s+β)(1 +
1
4
s+
1
48
s2
)(s+γ)2
(l3
s4
+l2
s3
+l1
s2
+l0
s) + (
1
48
s3
−
7
48
s2
−
1
4
s+5) . p0
= s4
+44 s3
+564.25s2
+1770 s+1700
C(s) =
P(s)
L(s)
bipropiode grado4.
L(s) = s.(l3 s3
+l2 s2
+l1 s+l0) ; siendoéstede grado4, con el terminointegrador ' s' .
α y βse agregan paracompletar el grado8, (s+α) =(s+1) ∧ (s+β) =(s+3)
El término(s+γ)se coloca paracompletar el grado8, y esconveniente darleun
valor lejanoal delos polos dominantes ,se propone →(s+γ) = (s+20)
P(s) = [(s+1) . (s+3) .(1 +
1
4
s+
1
48
s2
)] . p0
, que tiene grado 4.
l3
= 1
l2 +
1
48
p0 = 44 →l2 = 36.9166
l1 −
7
48
p0 = 564.25 →l1 = 613.8333
l0 −
1
4
p0 = 1770 →l0 = 1855
5 p0 = 1700 → p0 = 340
C (s) =
P(s)
L(s)
=
[(s+1) . ( s+3) .(1 +
1
4
s+
1
48
s2
)] . p0
s.(l3
s3
+l2
s2
+l1
s+l0
)
24. C(s) =
7.083 s4
+113,33s3
+701,25 s2
+1615 s+1020
s4
+36.9166s3
+613.8333 s2
+1855s
La planta con el retardo se presenta como:
Según la simulación en MATLAB esbozada en la Figura 20, se obtiene en la salida del sistema el diagrama de
la Figura 21.
Figura 20: Representación del sistema con Retardo por Padé
Figura 21: Respuesta al escalón con retardo aproximado por Padé.
(c) Se toma como G0
(s) = e−sT
. G0
(s) , →G0
(s) =
s+5
(s+3)(s+1)
El controlador del ítem (a) es C (s) =
0.85s2
+3.4 s+2.55
s2
+3.15s
Según el esquema de controlador con Predictor de Smith de la Figura 22:
Go
(s) =
(s+5)
(s+1). (s+3)
.
1 −
1
4
s+
1
48
s2
1 +
1
4
s+
1
48
s2
=
0.0208s3
−0.1458s2
−0.25s+20
0.0208 s4
+0.3333s3
+2.0625 s2
+4.75 s+3
25. Figura 22: Predictor de Smith
Con MATLAB realizamos la siguiente simulación en la Figura 23.
Figura 23: Esquema para el controlador de (a) con el Predictor de Smith
La salida del sistema se representa en la Figura 24.
Figura 24: Respuesta al escalón con Predictor de Smith
26. (d)La Figura 25 muestra el resultado entre el retardo aproximado con Padé y con el Predictor de Smith:
Figura 25: Respuesta al escalón con los retardos por Padé y Smith
El mejor desempeño es el Predictor de Smith, ya que no presenta picos de amortuguamiento como el caso de
Padé para segundo orden, y se estabiliza sin ningún tipo de sobresaltos.
En algunos casos, la aproximación de Padé puede ser muy cruda, especialmente cuando el retardo es la
dinámica dominante del sistema.
(e) A continuación en la Figura 26, se presenta el esquema con la planta con su retardo real de 0.5, con el
Predictor de Smith y las plantas paralelas con retardos de 0.4 y 0.6.
Figura 26: Simulación de sistema con retardos 0.4 y 0.6
27. Visualizando la salida en la Figura 27:
Figura 27: Respuesta del sistema con retardos de 0.4 y 0.6
De este resultado, se puede observar que el retardo con 0.6, alcanza el valor de la señal escalón mas rápido,
con una pequeña sobreamortiguación; mientras que con el retardo de 0.4, tarda mas en llegar al valor 1, pero
sin ocasionar ningún tipo de oscilación.
(f) Del punto anterior, se puede apreciar que aumentando el retardo, el sistema responde al escalón con una
pequeña oscilación. A continuación, se irá probando de forma experimental según la Figura 28, dándole
valores a “Retardo Máximo” hasta donde el sistema siga siendo estable.
Figura 28: Simulación con el retardo máximo.
Con un retardo de 1.5, se obtiene lo representado en la Figura 29.
Figura 29: Retardo máximo de 1.5
28. Para un retardo de 1.9, se muestra en la Figura 30.
Figura 30: Para un retardo máximo de 1.9
Finalmente, se obtuvo que para un retardo = 2 el sistema se desestabiliza, tal cual indica la Figura 31.
Figura 31: Para un retardo máximo de 2
Claramente, se puede apreciar que para un retardo = 2 el sistema se torna inestable, asi que se puede dejar 1.9
como el retardo máximo .
Ejercicio n°5
Considerar el sistema nominal
(a)Sintonizar un PID con el método de Ziegler-Nichols sin tener en cuenta el retardo.
Sin retardo, la planta queda:
Como hay un integrador, usaremos el segundo Método propuesto por Z-N, donde primero se fija Ti=∞ y
Td=0. Usando sólo la acción de control proporcional (véase la Figura 32), se incrementa Kp desde 0 hasta un
valor crítico Kcr, en donde la salida presente oscilaciones sostenidas. (Si la salida no presenta oscilaciones
sostenidas para cualquier valor que pueda tomar Kp, entonces este método no se puede aplicar.) Así, la
G0
(s) =
e−5s
s(s+1)( s+20)
G0
(s) =
1
s(s+1)( s+20)
29. ganancia crítica Kcr y el periodo Pcr correspondiente se determinan experimental (véase la Figura 33).
Figura 32: Sistema a lazo cerrado con un controlador proporcional Kp
Figura 33: Oscilación sostenida con periodo Pcr (Pcr se mide en seg.).
Ziegler-Nichols sugirieron que se establecieran los valores de los parámetros Kp, Ti y Td de acuerdo con la fórmula
que se muestra en la Tabla 1.
Tabla 1 : Regla de sintonía de Z-N basada en la Kcr y Pcr.
Obsérvese que el controlador PID sintonizado mediante el segundo método de las reglas de
Ziegler-Nichols produce:
Según la Figura 32, la función de transferencia es:
CPID
(s) = K p
(1+
1
Ti s
+T d
s), y comoTi
= ∞ ∧ T d
= 0
→C PID(s) = K p
G(s) =
K p
1+s(s+1)(s+20) K p
ordenando →G(s) =
K p
s(s+1)(s+20)+K p
30. Ahora se busca el valor de Kcr para saber hasta donde es estable el sistema. Mediante Routh, calculamos el
coeficiente Kcr para el siguiente polinomio característico:
P(s) = s3
+21s2
+20 s+K p
De aquí, se obtiene que A =
21 . 20−K p
21
= 0 despejando→ Kcr=K p=420
La frecuencia crítica ωcr para el Kcr encontrado será:
El período crítico será entonces:
Con los dos coeficientes obtenidos, se aplica la 3er
fila (PID) de la Tabla 1, y se obtiene:
• Kp = 0.6 . 420 = 252
• Ti
= 0.5 .
2Π
√20
≃ 0.7024 = 0.52245
• Td
= 0.125 .
2Π
√20
≃ 0.1756
El controlador PID será el siguiente:
En la Figura 34, se puede apreciar el sistema simulado en MATLAB, y en la Figura 35, un detalle con los
parámetros del bloque PID.
Figura 34: Sistema con el controlador PID y la planta.
s3
s
2
s
1
1
21
A
K p
20
K p
0
0
P(s) = s3
+21s2
+20s+420 si se reemplaza s= j ω
P( j ω) =( j ω)3
+21( j ω)2
+20 j ω+420 →tomandola parte=0
−21ω2
+420=0 →ωcr =±√20
Pcr
=
2Π
ωcr
→ Pcr
=
2Π
√20
→ Pcr
= 1.0449
C PID
(s) = K p
(1+
1
Ti s
+T d
s) → C PID
(s) = 252(1+
1
0.52245s
+0.1306 s)
y reordenandola ecuaciónqueda:
CPID
(s) =
44.2512s2
+252 s+358.7699
s
31. Figura 35: Parámetros de Controlador PID
El resultado de este sistema se muestra en la Figura 36:
Figura 36: Respuesta al escalón con el controlador PID
(b) Si ahora agregamos el Predictor de Smith, el sistema queda según la Figura 37:
Figura 37: Sistema con Predictor de Smith
Como resultado de este sistema, se tiene en la Figura 38 lo siguiente:
32. Figura 38: Retardo con Predictor de Smith
(c) En la Figura 40 se muestra lo que se obtiene de comparar ambos resultados :
Figura 40: Salidas del sistema con y sin retardo.
De esta gráfico, se puede observar que ambas señales son iguales, y que el retardo entra 5 segundos después
del inicio de la señal escalón.
Como conclusión, se puede decir que el Predictor de Smith es un excelente método para ver el
comportamiento del sistema con el delay.