En la presentación encontraran tópicos de la unidad I de álgebra lineal como son: Definición y origen de los números complejos, operaciones con números complejos, forma polar y cartesiana de un número complejo, potencias, teorema de moivre
Este documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden. Introduce los objetivos de resolver ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes usando diferentes métodos. Explica las tres soluciones generales para ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden y métodos como operadores anuladores y el método del Wronskiano para ecuaciones no homogéneas. Finalmente, presenta ejemplos resueltos y aplicaciones de estas ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta información general sobre un objeto de aprendizaje relacionado con el concepto de derivada de una función. Explica la interpretación geométrica de la derivada para resolver problemas de optimización en ingeniería. Luego, introduce conceptos básicos sobre la derivada, incluyendo la recta tangente y su relación con la pendiente de la curva de una función en un punto. Finalmente, describe el proceso histórico que llevó al desarrollo del cálculo diferencial y la noción moderna de derivada.
52721654 limite-y-continuidad-de-funciones-de-varias-variablesDeninson Duran
Este documento describe la historia y desarrollo del concepto matemático de límite. Explica que los griegos antiguos como Demócrito y Arquímedes utilizaron métodos primitivos relacionados con límites. Isaac Newton introdujo formalmente el término "límite" en el siglo XVII aunque sin dar una definición formal. Finalmente, en el siglo XIX, matemáticos como Cauchy y Weierstrass desarrollaron una teoría rigurosa de límites que sirve como base del cálculo moderno.
Este documento explica la ecuación principal de una recta (y = mx + n) y cómo calcular la pendiente (m) y el coeficiente de posición (n) a partir de dos puntos dados o cuando se conoce la pendiente y un punto. También muestra cómo determinar si un punto pertenece a una recta dada y cómo graficar rectas.
Este documento presenta una introducción a las integrales definidas e integrales impropias en el campo de cálculo. Explica los tipos de integrales definidas, incluidas las integrales alrededor de una circunferencia y a lo largo del eje real. También introduce los lemas de Jordan y cómo se pueden usar para calcular integrales alrededor de polos y singularidades. Por último, define las integrales impropias y discute casos en los que convergen o divergen.
Ecuación de cuarto grado por el método de Luigi Ferrari Brayan Stiven
El documento describe el uso del método de Luigi Ferrari para encontrar las soluciones de una ecuación cuarto grado. Se reescribe la ecuación y se aplican varios pasos como sumar términos y agregar una nueva variable para convertirla en un trinomio cuadrado perfecto. Esto conduce a una ecuación cúbica que se resuelve usando el método de Cardano, dando como resultado cuatro soluciones: dos complejas (2 + i, 2 - i) y dos reales (1 + √3, 1 - √3).
Este documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden. Introduce los objetivos de resolver ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes usando diferentes métodos. Explica las tres soluciones generales para ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden y métodos como operadores anuladores y el método del Wronskiano para ecuaciones no homogéneas. Finalmente, presenta ejemplos resueltos y aplicaciones de estas ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta información general sobre un objeto de aprendizaje relacionado con el concepto de derivada de una función. Explica la interpretación geométrica de la derivada para resolver problemas de optimización en ingeniería. Luego, introduce conceptos básicos sobre la derivada, incluyendo la recta tangente y su relación con la pendiente de la curva de una función en un punto. Finalmente, describe el proceso histórico que llevó al desarrollo del cálculo diferencial y la noción moderna de derivada.
52721654 limite-y-continuidad-de-funciones-de-varias-variablesDeninson Duran
Este documento describe la historia y desarrollo del concepto matemático de límite. Explica que los griegos antiguos como Demócrito y Arquímedes utilizaron métodos primitivos relacionados con límites. Isaac Newton introdujo formalmente el término "límite" en el siglo XVII aunque sin dar una definición formal. Finalmente, en el siglo XIX, matemáticos como Cauchy y Weierstrass desarrollaron una teoría rigurosa de límites que sirve como base del cálculo moderno.
Este documento explica la ecuación principal de una recta (y = mx + n) y cómo calcular la pendiente (m) y el coeficiente de posición (n) a partir de dos puntos dados o cuando se conoce la pendiente y un punto. También muestra cómo determinar si un punto pertenece a una recta dada y cómo graficar rectas.
Este documento presenta una introducción a las integrales definidas e integrales impropias en el campo de cálculo. Explica los tipos de integrales definidas, incluidas las integrales alrededor de una circunferencia y a lo largo del eje real. También introduce los lemas de Jordan y cómo se pueden usar para calcular integrales alrededor de polos y singularidades. Por último, define las integrales impropias y discute casos en los que convergen o divergen.
Ecuación de cuarto grado por el método de Luigi Ferrari Brayan Stiven
El documento describe el uso del método de Luigi Ferrari para encontrar las soluciones de una ecuación cuarto grado. Se reescribe la ecuación y se aplican varios pasos como sumar términos y agregar una nueva variable para convertirla en un trinomio cuadrado perfecto. Esto conduce a una ecuación cúbica que se resuelve usando el método de Cardano, dando como resultado cuatro soluciones: dos complejas (2 + i, 2 - i) y dos reales (1 + √3, 1 - √3).
Integración de funciones trigonométricasErick Guaman
Este documento presenta 10 fórmulas para integrales trigonométricas correspondientes a las 6 funciones trigonométricas básicas y las inversas de sus derivadas. Explica cómo aplicar un cambio de variable para usar estas fórmulas y resuelve 2 ejemplos numéricos como demostración.
El factor integrante es una función que, al multiplicar una ecuación diferencial de primer orden no exacta, la convierte en una ecuación exacta. Un factor integrante depende solo de la variable independiente x o solo de la variable dependiente y, y se puede encontrar integrando funciones separadas de x e y. El factor integrante preserva las soluciones de la ecuación original.
Este documento explica el método de integración por sustitución o cambio de variable, el cual involucra realizar un reemplazo de variables para convertir el integrando en algo más sencillo de integrar. Presenta algunas fórmulas para derivar mediante este método y los pasos a seguir, los cuales incluyen identificar el teorema a usar, la función a sustituir, determinar el diferencial sustituido y reescribir el integral sustituido antes de integrar. Luego aplica este método para resolver cuatro ejemplos de integración.
Este documento presenta información sobre cálculo diferencial, incluyendo técnicas de derivación, teoremas y fórmulas para calcular derivadas de funciones simples y compuestas. Contiene ejercicios resueltos sobre derivadas básicas, productos, cocientes y funciones trascendentes.
Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas.
Multiplicación y División de Expresiones algebraicas.
Productos Notables de Expresiones algebraicas.
Factorización por Productos Notables.
Derive es un software matemático que resuelve problemas de álgebra, ecuaciones, trigonometría, vectores y matrices de manera sencilla. Permite representar gráficamente funciones en 2D y 3D. Su propósito es resolver cálculos matemáticos para la educación secundaria y universitaria.
Presentación de metodo de eliminación gaussianaFernando Alzate
El método de eliminación Gaussiana resuelve sistemas de ecuaciones lineales mediante la transformación del sistema original en otro equivalente más simple a través de operaciones de renglón, eliminando progresivamente variables hasta obtener una ecuación con una única incógnita. Una vez resuelta, se sustituye regresivamente para hallar los valores de todas las variables. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso hasta obtener una matriz diagonal.
El documento describe las ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo su definición, clasificación, orden, grado y métodos de solución. Explica que una ecuación diferencial ordinaria contiene una función incógnita de una sola variable independiente, a diferencia de las ecuaciones diferenciales parciales que contienen funciones de más de una variable. Además, provee ejemplos para ilustrar conceptos como comprobar que una función es solución de una ecuación diferencial dada y obtener soluciones particulares a partir de la sol
Este documento trata sobre cálculo vectorial y funciones vectoriales. Explica conceptos como funciones de valores vectoriales, rectas, curvas helicoidales, cónicas y esféricas en el espacio tridimensional. También cubre el cálculo de funciones vectoriales como límites, derivadas, integrales, longitud de curvas espaciales y movimiento sobre una curva.
Solución de Sistemas de Ecuaciones Linealesalcalarmando
El documento presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordan, el método de descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. Explica los procedimientos y algoritmos de cada método de manera concisa.
Descomposición de funciones racionales por el método de las fracciones parcia...Andres Mendoza
Este documento explica cómo descomponer fracciones racionales en fracciones parciales. Detalla cuatro casos para la descomposición dependiendo de si el denominador contiene factores lineales, cuadráticos o ambos. Proporciona ejemplos para ilustrar cómo encontrar los coeficientes de las fracciones parciales mediante la igualación de coeficientes.
i. El documento define números imaginarios y complejos, y explica cómo operar con ellos.
ii. Incluye las definiciones de unidad imaginaria, potencias de i, y números complejos.
iii. Explica cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos siguiendo reglas similares a las operaciones con polinomios.
Una ecuación diferencial homogénea es una ecuación donde los términos M(x,y) y N(x,y) tienen el mismo grado de homogeneidad n. Esto permite reducir la ecuación a una de variables separables mediante sustituciones como y=ux o x=vy. Por ejemplo, al sustituir y=ux la ecuación se puede separar en fracciones parciales de dx y du.
Este documento explica los números complejos, incluyendo su definición, representación en el plano complejo, operaciones básicas, forma polar, raíces y aplicaciones. Los números complejos son extensiones de los números reales que incluyen una parte real y una parte imaginaria y forman un álgebra cerrado. Pueden representarse gráficamente en un plano de coordenadas cartesianas o en forma polar.
Este documento discute el uso de funciones y derivadas en química, física y biología. Explica que las matemáticas han estado relacionadas con la química desde hace tiempo ya que las aplicaciones matemáticas sirven para crear modelos teóricos y expresiones. Además, las derivadas han sido fundamentales para expresar y calcular razones de cambio que luego se pueden demostrar experimentalmente.
Este documento describe las funciones compuestas y funciones inversas. Las funciones compuestas se representan como f o g o g o f y se definen como f[g(x)] o g[f(x)] respectivamente. Para encontrar la función inversa se despeja la x e intercambia x e y, como en el ejemplo dado. Las gráficas de funciones inversas son simétricas respecto a la línea y=x. El documento concluye con ejercicios de práctica sobre estas funciones.
El documento presenta una lista de 6 ejercicios de radicares que involucran sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de radicares, así como racionalizar denominadores. Se pide realizar cada operación y mostrar las soluciones al final.
Determinantes de Matrices Álgebra Lineal. Presentación diseñada por el MTRO. ...JAVIER SOLIS NOYOLA
Este documento introduce el concepto de determinante y sus métodos de cálculo. Explica que un determinante es un conjunto de números ordenados de una matriz cuadrada que se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Luego describe tres métodos para calcular determinantes de 2x2 y 3x3: por diagonales, por adjuntar columnas o filas, y por cofactores. El objetivo es que los estudiantes entiendan y aprendan a calcular determinantes.
El origen de los números imaginarios surge de la necesidad de resolver ecuaciones como x^2 = -1, que no tienen solución en los números reales. Los matemáticos crearon los números imaginarios, definidos como raíces cuadradas de números negativos, permitiendo resolver dichas ecuaciones. Los números imaginarios son fundamentales en física y matemáticas y tienen muchas aplicaciones importantes, especialmente en electrónica y electricidad.
El documento explica los números complejos, incluyendo que un número complejo consta de una parte real y una parte imaginaria. Describe cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos mediante operaciones con sus partes reales e imaginarias. También cubre la representación trigonométrica y exponencial de números complejos.
Este documento presenta la unidad 1 de álgebra lineal sobre números complejos. Introduce la definición y origen de los números complejos, las operaciones básicas con ellos, el módulo y forma polar y exponencial. También cubre potencias de la unidad imaginaria i, teorema de Moivre y extracción de raíces. Por último, explica brevemente las ecuaciones polinómicas y cómo resolver ecuaciones de primero hasta cuarto grado. El documento contiene ejemplos y ejercicios para cada sección.
Integración de funciones trigonométricasErick Guaman
Este documento presenta 10 fórmulas para integrales trigonométricas correspondientes a las 6 funciones trigonométricas básicas y las inversas de sus derivadas. Explica cómo aplicar un cambio de variable para usar estas fórmulas y resuelve 2 ejemplos numéricos como demostración.
El factor integrante es una función que, al multiplicar una ecuación diferencial de primer orden no exacta, la convierte en una ecuación exacta. Un factor integrante depende solo de la variable independiente x o solo de la variable dependiente y, y se puede encontrar integrando funciones separadas de x e y. El factor integrante preserva las soluciones de la ecuación original.
Este documento explica el método de integración por sustitución o cambio de variable, el cual involucra realizar un reemplazo de variables para convertir el integrando en algo más sencillo de integrar. Presenta algunas fórmulas para derivar mediante este método y los pasos a seguir, los cuales incluyen identificar el teorema a usar, la función a sustituir, determinar el diferencial sustituido y reescribir el integral sustituido antes de integrar. Luego aplica este método para resolver cuatro ejemplos de integración.
Este documento presenta información sobre cálculo diferencial, incluyendo técnicas de derivación, teoremas y fórmulas para calcular derivadas de funciones simples y compuestas. Contiene ejercicios resueltos sobre derivadas básicas, productos, cocientes y funciones trascendentes.
Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas.
Multiplicación y División de Expresiones algebraicas.
Productos Notables de Expresiones algebraicas.
Factorización por Productos Notables.
Derive es un software matemático que resuelve problemas de álgebra, ecuaciones, trigonometría, vectores y matrices de manera sencilla. Permite representar gráficamente funciones en 2D y 3D. Su propósito es resolver cálculos matemáticos para la educación secundaria y universitaria.
Presentación de metodo de eliminación gaussianaFernando Alzate
El método de eliminación Gaussiana resuelve sistemas de ecuaciones lineales mediante la transformación del sistema original en otro equivalente más simple a través de operaciones de renglón, eliminando progresivamente variables hasta obtener una ecuación con una única incógnita. Una vez resuelta, se sustituye regresivamente para hallar los valores de todas las variables. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso hasta obtener una matriz diagonal.
El documento describe las ecuaciones diferenciales ordinarias, incluyendo su definición, clasificación, orden, grado y métodos de solución. Explica que una ecuación diferencial ordinaria contiene una función incógnita de una sola variable independiente, a diferencia de las ecuaciones diferenciales parciales que contienen funciones de más de una variable. Además, provee ejemplos para ilustrar conceptos como comprobar que una función es solución de una ecuación diferencial dada y obtener soluciones particulares a partir de la sol
Este documento trata sobre cálculo vectorial y funciones vectoriales. Explica conceptos como funciones de valores vectoriales, rectas, curvas helicoidales, cónicas y esféricas en el espacio tridimensional. También cubre el cálculo de funciones vectoriales como límites, derivadas, integrales, longitud de curvas espaciales y movimiento sobre una curva.
Solución de Sistemas de Ecuaciones Linealesalcalarmando
El documento presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordan, el método de descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. Explica los procedimientos y algoritmos de cada método de manera concisa.
Descomposición de funciones racionales por el método de las fracciones parcia...Andres Mendoza
Este documento explica cómo descomponer fracciones racionales en fracciones parciales. Detalla cuatro casos para la descomposición dependiendo de si el denominador contiene factores lineales, cuadráticos o ambos. Proporciona ejemplos para ilustrar cómo encontrar los coeficientes de las fracciones parciales mediante la igualación de coeficientes.
i. El documento define números imaginarios y complejos, y explica cómo operar con ellos.
ii. Incluye las definiciones de unidad imaginaria, potencias de i, y números complejos.
iii. Explica cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos siguiendo reglas similares a las operaciones con polinomios.
Una ecuación diferencial homogénea es una ecuación donde los términos M(x,y) y N(x,y) tienen el mismo grado de homogeneidad n. Esto permite reducir la ecuación a una de variables separables mediante sustituciones como y=ux o x=vy. Por ejemplo, al sustituir y=ux la ecuación se puede separar en fracciones parciales de dx y du.
Este documento explica los números complejos, incluyendo su definición, representación en el plano complejo, operaciones básicas, forma polar, raíces y aplicaciones. Los números complejos son extensiones de los números reales que incluyen una parte real y una parte imaginaria y forman un álgebra cerrado. Pueden representarse gráficamente en un plano de coordenadas cartesianas o en forma polar.
Este documento discute el uso de funciones y derivadas en química, física y biología. Explica que las matemáticas han estado relacionadas con la química desde hace tiempo ya que las aplicaciones matemáticas sirven para crear modelos teóricos y expresiones. Además, las derivadas han sido fundamentales para expresar y calcular razones de cambio que luego se pueden demostrar experimentalmente.
Este documento describe las funciones compuestas y funciones inversas. Las funciones compuestas se representan como f o g o g o f y se definen como f[g(x)] o g[f(x)] respectivamente. Para encontrar la función inversa se despeja la x e intercambia x e y, como en el ejemplo dado. Las gráficas de funciones inversas son simétricas respecto a la línea y=x. El documento concluye con ejercicios de práctica sobre estas funciones.
El documento presenta una lista de 6 ejercicios de radicares que involucran sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de radicares, así como racionalizar denominadores. Se pide realizar cada operación y mostrar las soluciones al final.
Determinantes de Matrices Álgebra Lineal. Presentación diseñada por el MTRO. ...JAVIER SOLIS NOYOLA
Este documento introduce el concepto de determinante y sus métodos de cálculo. Explica que un determinante es un conjunto de números ordenados de una matriz cuadrada que se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Luego describe tres métodos para calcular determinantes de 2x2 y 3x3: por diagonales, por adjuntar columnas o filas, y por cofactores. El objetivo es que los estudiantes entiendan y aprendan a calcular determinantes.
El origen de los números imaginarios surge de la necesidad de resolver ecuaciones como x^2 = -1, que no tienen solución en los números reales. Los matemáticos crearon los números imaginarios, definidos como raíces cuadradas de números negativos, permitiendo resolver dichas ecuaciones. Los números imaginarios son fundamentales en física y matemáticas y tienen muchas aplicaciones importantes, especialmente en electrónica y electricidad.
El documento explica los números complejos, incluyendo que un número complejo consta de una parte real y una parte imaginaria. Describe cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos mediante operaciones con sus partes reales e imaginarias. También cubre la representación trigonométrica y exponencial de números complejos.
Este documento presenta la unidad 1 de álgebra lineal sobre números complejos. Introduce la definición y origen de los números complejos, las operaciones básicas con ellos, el módulo y forma polar y exponencial. También cubre potencias de la unidad imaginaria i, teorema de Moivre y extracción de raíces. Por último, explica brevemente las ecuaciones polinómicas y cómo resolver ecuaciones de primero hasta cuarto grado. El documento contiene ejemplos y ejercicios para cada sección.
1) Los números complejos se definen como pares ordenados de números reales y forman un cuerpo con las operaciones de suma y multiplicación. 2) Un número complejo puede representarse como la suma de su parte real e imaginaria o mediante coordenadas polares con módulo y argumento. 3) Los números complejos permiten resolver ecuaciones que involucran raíces cuadradas de números negativos como x2 + 1 = 0.
1) Los números complejos se definen como pares ordenados de números reales y forman un cuerpo con las operaciones de suma y multiplicación. 2) Un número complejo puede representarse como la suma de su parte real e imaginaria o mediante coordenadas polares con módulo y argumento. 3) Los números complejos permiten resolver ecuaciones que involucran raíces cuadradas de números negativos como x2 + 1 = 0.
1) Los números complejos se definen como pares ordenados de números reales y forman un cuerpo con las operaciones de suma y multiplicación. 2) Un número complejo puede representarse como la suma de su parte real e imaginaria o mediante coordenadas polares con módulo y argumento. 3) Los números complejos permiten resolver ecuaciones que involucran raíces cuadradas de números negativos como x2 + 1 = 0.
El documento trata sobre los números complejos. Explica que los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado. Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios y pueden representarse como la suma de un número real y un número imaginario. Los números complejos se utilizan ampliamente en matemáticas, física, ingeniería y otras áreas.
4) TEORÍA - Conjunto de Números Complejos .pdfSoloMel1
Este documento introduce los números complejos como una extensión de los números reales. Define los números complejos como pares ordenados de la forma a + bi, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria. Explica las operaciones básicas con números complejos como suma, resta, multiplicación y división. También cubre temas como números complejos conjugados, potenciación de números complejos y representaciones equivalentes de números complejos.
El documento presenta una introducción a los números complejos, incluyendo tres definiciones clave:
1) Los números complejos son pares ordenados de números reales que pueden representarse en un plano y se definen mediante operaciones de suma y multiplicación.
2) El módulo de un número complejo representa su distancia al origen en el plano, mientras que su argumento es el ángulo con el eje real.
3) Un número complejo también puede escribirse en forma trigonométrica o polar en términos de su módulo y argumento
Los números complejos son un sistema numérico que se creó para resolver ecuaciones algebraicas. Un número complejo está formado por una parte real y una parte imaginaria de la forma a + bi, donde a y b son números reales e i2 = -1. Los números complejos permiten realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división y se utilizan en matemáticas, física e ingeniería.
Este documento introduce los números complejos, incluyendo sus definiciones, representaciones y operaciones básicas. Explica que los números complejos son la suma de un número real y uno imaginario y pueden representarse gráficamente en un plano complejo. También describe el teorema de Moivre, el cual establece las reglas para calcular potencias de números complejos expresados en forma polar.
Este documento introduce los números complejos, definidos como números con parte real y parte imaginaria. Explica que surgen para resolver ecuaciones cuadráticas con soluciones no reales y define las operaciones básicas entre números complejos como suma, multiplicación y cociente. Finalmente, menciona algunas aplicaciones importantes de los números complejos en áreas como el álgebra, cálculo, física y la ingeniería, especialmente en electrónica y telecomunicaciones.
El documento presenta los números complejos, incluyendo su representación como a + bi, operaciones como suma, resta, multiplicación y división, y formas polares y trigonométricas. También cubre ecuaciones irresolubles en números reales y aplicaciones de los números complejos.
Este documento presenta conceptos sobre números complejos, incluyendo:
1) Definición de la unidad imaginaria i y cálculo de raíces cuadradas de números negativos.
2) Potencias de i y sus valores periódicos.
3) Representación y operaciones con números complejos en forma algebraica y gráfica.
4) Conjugado de un número complejo y sus propiedades.
5) Módulo o valor absoluto de un número complejo.
El documento proporciona ejemplos y ejercicios para aplicar estos conceptos.
El documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre el cuerpo de los números complejos. Inicia con una introducción y un índice general de los capítulos. El capítulo 1 contiene 7 problemas resueltos sobre módulo y argumento de números complejos, expresión de números en forma a + bi, resolución de ecuaciones complejas y hallazgo de raíces.
Este documento presenta la resolución de varios ejercicios sobre números complejos. En el primer ejercicio, se demuestra geométricamente que la suma de dos números complejos representa el punto medio del vector que une sus afijos. En el segundo ejercicio, se prueba que si tres puntos forman un triángulo equilátero, sus números complejos cumplen una igualdad dada. En el tercer ejercicio, se determinan los vértices de un triángulo equilátero centrado en el origen.
El documento introduce los números complejos, definidos como expresiones de la forma a + bi, donde a y b son números reales y i es la unidad imaginaria. Explica cómo se pueden representar gráficamente los números complejos en un plano cartesiano y describe las operaciones básicas que se pueden realizar con ellos, como suma, resta, multiplicación y división.
El documento introduce los números complejos, definidos como expresiones de la forma a + bi, donde a y b son números reales y i es la unidad imaginaria. Explica cómo representarlos gráficamente en el plano cartesiano y define operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división siguiendo reglas similares a las de los números reales. Ilustra estas operaciones con varios ejemplos numéricos.
El documento presenta la historia del desarrollo de los números complejos. El matemático Diofanto planteó un problema geométrico en el siglo III d.C. que involucraba raíces cuadradas de números negativos, el cual no pudo resolver. En los siglos XVI y XVII, matemáticos como Cardano, Bombelli y Descartes comenzaron a explorar las propiedades de estas raíces. En 1777, Euler simbolizó la raíz cuadrada de -1 como i. Finalmente, en su tesis de 1799, Gauss demo
Este documento presenta los conceptos de potencias de i, valor absoluto de números complejos, y formas polares y exponenciales de números complejos. Explica que las potencias de i se repiten cada 4 exponentes y muestra ejemplos de cálculos. Define el valor absoluto como un valor numérico sin signo y ofrece fórmulas y ejemplos para calcular el valor absoluto de números complejos. Finalmente, introduce las formas polares y exponenciales, expresando números complejos en términos de módulo y ángulo y ofreciendo conversiones y ej
Este documento presenta un objetivo y ejercicio sobre el cálculo integral y aplicaciones a problemas de áreas, volúmenes y longitud de arco. El objetivo es aplicar el cálculo integral para determinar el área de la superficie de revolución generada al girar una curva alrededor del eje OY. El ejercicio específico es determinar el área de la superficie de revolución generada al girar la curva 4x+8y=1 entre 1≤y≤2 alrededor del eje OY.
1. Introduccion a las excavaciones subterraneas (1).pdfraulnilton2018
Cuando las excavaciones subterráneas son desarrolladas de manera artesanal, se conceptúa a la excavación como el “ que es una labor efectuada con la mínima sección posible de excavación, para permitir el tránsito del hombre o de
cémilas para realizar la extracción del material desde el
frontón hasta la superficie
Cuando las excavaciones se ejecutan controlando la sección de excavación, de manera que se disturbe lo menos posible la
roca circundante considerando la vida útil que se debe dar a la roca, es cuando aparece el
concepto de “ que abarca,
globalmente, al proceso de excavación, control de la periferia, sostenimiento, revestimiento y consolidación de la excavación
Equipo 4. Mezclado de Polímeros quimica de polimeros.pptxangiepalacios6170
Presentacion de mezclado de polimeros, de la materia de Quimica de Polímeros ultima unidad. Se describe la definición y los tipos de mezclado asi como los aditivos usados para mejorar las propiedades de las mezclas de polimeros
COMPARACION DE PRECIOS TENIENDO COMO REFERENTE LA OSCE
Unidad I Números Complejos.pptx
1. UNIDAD 1: NÚMEROS
COMPLEJOS
Números Complejos:: Utiliza los
números complejos, sus
representaciones y las
operaciones entre ellos para tener
una base de conocimiento a
utilizar en ecuaciones
diferenciales y en diferentes
2. Introducción
Los números complejos son una extensión de los números reales y se denotan
con la letra mayúscula C. Todo número complejo puede representarse como la suma
de un número real y uno imaginario, conservando todas las propiedades de los
números reales.
Los números complejos son importantes en el álgebra, variable compleja,
ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras. Son
utilizados con especial énfasis en la matemática pura, mecánica cuántica y la
ingeniería, especialmente en la electrónica y sistemas computacionales.
3. Números imaginarios
Los números imaginarios surgen de la necesidad de resolver problemas que con
números reales son difíciles o imposibles de solucionar, uno de estos casos ocurre
cuando es necesario obtener las raíces cuadradas de un número negativo; por
ejemplo, al resolver la ecuación.
4. llegamos a que , pero esto no es un número real, así que dentro de los
números reales ésta ecuación no tiene solución. ¿Qué podemos hacer?, lo primero
que se puede intentar es agregar ese número al conjunto de los números reales y
listo. El problema es que deberíamos agregar muchos valores (todos los que pueda
tomar ), lo cual no es práctico; sin embargo, podemos hacer lo siguiente: cada vez
que tengamos una raíz de un número negativo lo separamos de la siguiente manera:
i
=
R i
5. Como este procedimiento siempre es válido y la es un número real, el único
problema sería con la , esto nos conduce a:
6. Con esto resolvemos completamente nuestro problema. Observemos que acabamos
de definir un conjunto de números muy grande; el de los imaginarios, que se
representa con la letra y cuyos elementos son de la forma donde es
cualquier número real e es el de nuestra definición anterior.
Una de las características importantes de los números imaginarios se observa cuando
los elevamos a potencias enteras. Veamos como se comportan:
11. Ejercicio 1:
Considerando las características exponenciales del número imaginario, expresa en términos
de o 1.
Solución:
Podemos escribir como:
𝒊𝟑𝟗 = 𝑖4 9 +3 = (𝑖4)9𝑖3 ahora sabemos que 𝑖4 = 1, tenemos
𝑖39
= 1 9
𝑖3
, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝒊𝟑
= 𝒊𝟐
𝒊 = −i
𝑖39
= 1 9
−i = (1) –i
𝒊𝟑𝟗
= −i
12. Solución:
𝒊−𝟐𝟑 = 𝑖4 −6 +1 = (𝑖4)−6𝑖 ahora sabemos que 𝑖4 = 1, tenemos
𝑖−23
= 1 −6
𝑖 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝒊 =−1
𝑖−23
=
𝟏
𝟏𝟔
(i)
𝒊−𝟐𝟑
= i
Ejercicio 2:
Considerando las características exponenciales del número imaginario, expresa en términos
de o 1.
Podemos escribir como:
𝑥−𝑛 =
1
𝑥𝑛
𝑖−23
=
𝟏
𝟏
(i) = 1(i)
13. Solución:
𝒊𝟎
= 𝑖4 0
= (𝑖4
)0
ahora sabemos que 𝑖4
= 1, tenemos
𝑖0 = 1 0
𝒊𝟎
= 1
Ejercicio 3:
Expresar en términos de o 1.
Podemos escribir como:
14. Ejercicios de tarea:
Expresar 𝒊𝟓𝟓
en términos de i o 1.
Expresar 𝒊−𝟒𝟑 en términos de i o 1.
Expresar 𝒊𝟐𝟐
en términos de i o 1.
Expresar 𝒊𝟐𝟕
en términos de i o 1.
Expresar 𝒊𝟐𝟎
en términos de i o 1.
Expresar 𝒊𝟐𝟔
en términos de i o 1.
Expresar 𝒊𝟑𝟓
en términos de i o 1.
Expresar 𝒊𝟓
en términos de i o 1.
40. División de números complejos
El producto de los números complejos c + di y c - di es un numero real positivo:
(c + di)(c - di) = 𝒄𝟐 − 𝒄𝒅𝒊 + 𝒄𝒅𝒊 − 𝒅𝟐𝒊𝟐 y sabemos que 𝑖2 = −1
Entonces tenemos: (c + di)(c - di) = 𝐜𝟐+ 𝐝𝟐
Entonces introduciremos la siguiente definición para describir esta relación especial.
45. Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no
nulo:
z = x + iy
Como
x = r cos θ
y = r sen θ
z puede ser expresado en forma polar como
z = |r|(cos θ + sen θ i).
Forma polar y exponencial de un número complejo
𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2
θ = tan−1
(
𝑦
𝑥
)
46. Donde:
A r se le conoce como módulo de z y mide la distancia del número complejo al
origen, por lo tanto debe ser positivo.
El ángulo θ se conoce como argumento de z y se pide que tenga su valor entre cero y 2 ¶
porque las funciones trigonométricas son cíclicas con periodo igual a 2 ¶, es decir
47. Tomando en cuenta que un ángulo positivo se mide con un giro en sentido contrario a las
manecillas del reloj.
De igual manera podemos representar un numero complejo dentro del plano polar complejo
(conociendo el ángulo que forma con el eje real y la distancia a la que se encuentra del origen).
48. Solución
:
Ejercicio 1: Convertir de rectangular a polar : z = 5 – 5i
Debemos encontrar el módulo de z
𝑟 = (5)2+(−5)2 = 25 + 25 = 𝟓𝟎 = 7.071067812
𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2
θ = tan−1(
𝑦
𝑥
) = tan−1(
−5
5
) = −𝟒𝟓
Como el 5,-5 se localizan en el cuadrante 4 del plano cartesiano, entonces restamos a los 360 -45
θ = 360 − 𝟒𝟓 = 𝟑𝟏𝟓
θ = 𝟑𝟏𝟓º
P = ( 𝟓𝟎, 𝟑𝟏𝟓º)
54. Ejercicios de tarea:
CONVIERTE A COORDENADAS POLARES LOS SIGUIENTES PUNTOS:
Z= ( 3, 5i)
Z= (-3, 4i)
Z= (1, 7i)
Z= (-6, 3i)
Z= (5, 2i)
Realizar la gráfica correspondiente
55. Ejercicios de tarea:
CONVIERTE A COORDENADAS RECTANGULARES LOS SIGUIENTES
PUNTOS:
P= (4, 30º)
P= (3, 70º)
P= (6, 130º)
P= (5, 90º)
P= (7, 45º)
Realizar la gráfica correspondiente
56. En el teorema se establece que cuando se tiene un número complejo en la forma polar z = rƟ,
en la que r es el módulo del número complejo z, el ángulo Ɵ es la amplitud del número
complejo en el que 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, de forma que para poder calcular su n-ésima potencia no se
necesita múltiplicarlo por sí mismo n-veces.
La fórmula del teorema de Moivre fue creada y nombrada por Abraham de Moivre, quien
afirmaba que un número complejo (especialmente en el caso cualquier número real) x y para
cualquier entero n se puede verificar que:
z = |r|(cos θ + sen θ i)
Entonces
z𝒏= |r|
𝒏
(cos θ(n ) + sen θ(n ) i)
Teorema de Moivre, potencias de números
complejos
57. Solución
:
Ejercicio 1: Aplicando el teorema de Moivre, calcular
𝒛 = (𝟐 + 𝟐𝒊)𝟖
𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 = 22 + 22 = 4 + 4 = 𝟖
Utilizando el teorema de Pitágoras encontramos el
modulo de r
θ = tan−1
(
𝑦
𝑥
) = tan−1
(
2
2
) = 𝟒𝟓
z8
= ( 8)8
(cos 45(8 ) + sen 45(8 ) i)
z8
= 4096 (cos 360 + sen 360 i)
z𝒏= |r|
𝒏
(cos θ(n ) + sen θ(n ) i)
z8
= 4096 (1 + 0 i)
z8= 4096 (1)
z𝟖= 𝟒𝟎𝟗𝟔
Utilizando el teorema de Moivre
para elevar a potencia.
58. Ejercicios de tarea:
Aplicando el teorema de Moivre extraer la potencias de los
siguientes números complejos.
𝒛 = ( 𝟑 + 𝒊)−𝟒
𝒛 = (𝟔 − 𝟕𝒊)𝟐
𝒛 = (𝟑 + 𝟓𝒊)𝟑
𝒛 = (−𝟒 − 𝟒𝒊)𝟏𝟓
𝒛 = (𝟒 + 𝟒 𝟑 𝒊)𝟒