El documento explica los números complejos, incluyendo que un número complejo consta de una parte real y una parte imaginaria. Describe cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos mediante operaciones con sus partes reales e imaginarias. También cubre la representación trigonométrica y exponencial de números complejos.

1. Números complejos.
Operaciones con números
complejos.

2. Primero aclaremos que son números complejos.
Un número complejo es una combinación de un número real y
un número imaginario.
¿Un número que es una combinación de dos números?
¿Puedes hacer un número combinando a partir de
otros dos? ¡Claro que puedes!
Lo haces todo el tiempo en las fracciones. La
fracción 3/8 es un número hecho de un 3 y un 8.
Sabemos que significa "3 de 8 partes iguales".
Pues bien, un número complejo es simplemente dos
números sumados juntos (uno real y uno imaginario).
La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y
restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí,
respectivamente.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
Ejemplo:
(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i ) =
= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i.

3.  Cero
Entonces, un número complejo tiene una parte real y una parte
imaginaria.
Pero cualquiera de las dos puede ser 0, así que los números reales y
los imaginarios son también números complejos.
Número
complejo
Parte real
Parte
imaginaria
3 + 2i 3 2
5 5 0
-6i 0 -6
 Suma y multiplicación
Para sumar dos números complejos sumamos las dos partes por
separado:
(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
Ejemplo: (3 + 2i) + (1 + 7i) = (4 + 9i)
Pero para multiplicarlos seguimos una regla más interesante:
(a,b)(c,d) = (ac-bd, ad+bc)
Ejemplo: (3 + 2i)(1 + 7i) = ((3×1 - 2×7) + (3×7 + 2×1)i) = -11 + 23i
Puedes intentarlo tú mismo: escribe (3 + 2i)(1 + 7i) en la calculadora
de números complejos.

4. Y una cosa interesante es que el cuadrado de "i" sí que es -1
Ejemplo: (0 + i)(0 + i) = ((0×0 - 1×1) + (0×1 + 1×0)i) = -1 + 0i.
 Multiplicación de números complejos
El producto de los números complejos se realiza aplicando la
propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo
en cuenta que i2 = −1.
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Ejemplo:
(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =
= 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i.
El cociente de números complejos se realiza multiplicando
numerador y denominador por el conjugado de este.
Ejemplo:

5.  Operaciones elementales.
Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 dos números complejos
cualesquiera, entonces z1 ± z2 = (x1 ± x2) + i(y1 ± y2), z1 · z2 =
(x1 x2 − y1 y2) + i(x1 y2 + y1 x2), z1 z2 = x1 + iy1 x2 + iy2 = (x1
+ iy1)(x2 − iy2) (x2 + iy2)(x2 − iy2) = x1 x2 + y1 y2 x 2 2 + y 2 2 +
i y1 x2 − x1 y2 x 2 2 + y 2 2
Se llama complejo conjugado de un numero ´ z = x + iy al número ´
z = x − iy. Para z se cumple que: ∀z, z1, z2 ∈ C, z = z, z1 + z2 = z1
+ z2, z1 · z2 = z1 · z2, z1 z2 ! = z1 z2 (z2 6= 0).
Además ∀z ∈ C, < z = z + z 2, =z = z − z 2, de donde deducimos que
z ∈ R si y solo si z = z. 1.4.
 Forma trigonométrica y exponencial de un número complejo.
Sea z ∈ C. Se define el módulo de z al número ´ ρ = |z| = p x 2 + y 2
y al argumento de z al ángulo θ tal que x = |z| cos θ, y = |z|sen θ.
Entonces, z = x + iy = |z|(cos θ + isen θ).
El módulo ρ = |z| y el argumento de z cumplen con las siguientes
propiedades.
1. |z| ≥ 0, ∀z ∈ C.
2. |z| = 0,⇐⇒ z = 0.
3. |z| 2 = z · z, ∀z ∈ C.
4. |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|, ∀z1, z2 ∈ C.
5. |z1 · z2| = |z1| · |z2|, ∀z1, z2 ∈ C.

6.  Potencias enteras y raíces enteras de un número complejo.
Si z1 = |z1|(cos θ1 + isen θ1) y z2 = |z2|(cos θ2 + isen θ2), entonces
z1 · z2 = |z1 · z2|[cos(θ1 + θ2) + isen(θ1 + θ2)], z1 z2 = z1 z2
[cos(θ1 − θ2) + isen(θ1 − θ2)].
Dado φ ∈ R, se define la exponencial compleja de φ, e iφ como
e iφ = cos φ + isen φ.
Por tanto, cualquier numero ´ complejo se puede escribir de la
forma: z = x + iy = |z|(cos θ + isen θ) = |z|e iθ . La ecuación
se conoce como fórmula de Euler.
Definiremos la función e z mediante la expresión.
e z = e < z [cos(= z) + isen(= z)].
La función exponencial tiene las siguientes propiedades:
1. e 0 = 1.
2. e z 6= 0, ∀z ∈ C.
3. e z1+z2 = e z1 · e z2 , ∀z1, z2 ∈ C
4. |e z | = e < z , ∀z ∈ C .
5. e z = 1,⇐⇒ z = 2kπi, ∀k ∈ Z.
6. e z1 = e z2 ,⇐⇒ z1 − z2 = 2kπi, ∀k ∈ Z.

7.  Potencias enteras y raíces enteras de un número complejo.
Sea z ∈ C. Entonces
z n = z · z · z · · · z | {z } n veces = (|z|e iθ) n = |z| n e inθ = |z| n (cos
nθ + isen nθ).
La fórmula anterior se conoce como fórmula de Moivre. Tomemos
ahora un numero ´ complejo z 6= 0. Entonces la ecuación w n = z
tiene n soluciones wk = √n z, k = 0, 1, ..., n – 1 y dichas
soluciones, que son las raíces n−´esimas complejas de un numero ´
complejo están dadas por la fórmula:
wk = √n z = pn |z|e θ+2kπ n i = pn |z| cos θ + 2kπ n + isen θ + 2kπ n
, k = 0, 1, ..., n − 1.
Por ultimo definiremos el logaritmo de un número complejo
z: z = |z|e iθ , log z ≡ log |z| + iθ + 2kπi.
Usando lo anterior se pueden definir las potencias de números
complejos: z α = e αlog z , α ∈ C. 4
 Convergencia en C.
Definiremos la distancia d(z1, z2) entre dos números complejos z1
= x1+iy1 y z2 = x2+iy2
Como d(z1, z2) = |z1 − z2| = p (x1 − x2) 2 + (y1 − y2) 2 .
Definiremos el -entorno o -vecindad de un numero complejo z0 a la
“bola” U(z0) definida por
U(z0) = {z ∈ C; |z − z0| < e.

8. Obviamente U(z0) es un círculo del plano complejo de centro z0 y
radio excluyendo a la frontera (la correspondiente circunferencia).
Puesto que
m´ax{|x − x0|, |y − y0|} ≤ |z − z0| ≤ |x − x0| + |y − y0|, |z + z0| ≤ |z| +
|z0|.
Podemos construir la teoría de límites en C de la misma forma que
lo hicimos en R. Así pues, diremos una sucesión de números
complejos (zn)n tiene límite z si
∀e > 0, ∈ R, ∃N ∈ N; ∀n > N, |zn − z| < ⇐⇒ l´ımn→∞ zn = z.
En particular, zn n→∞ −→ 0 si y s´olo si |zn| n→∞ −→ 0. Además,
tenemos que si zn = xn + iyn y z = x + iy, entonces
l´ımn→∞ zn = z ⇐⇒ l´ımn→∞ xn = x, y l´ımn→∞ yn = y.
Así pues, por analogía con el caso real podemos definir las
sucesiones de Cauchy, enunciar y probar el criterio de Cauchy y
muchas otras propiedades de las sucesiones como por ejemplo la
acotación. No obstante al ser C un cuerpo no ordenado, se pierden
todas las propiedades relacionadas con el orden (supremo,
monotonía, etc). Gracias a la teoría de límites de sucesiones
podemos definir el límite de funciones, continuidad de funciones,
derivabilidad de funciones, etc. No obstante, la teoría de funciones
de variable compleja requiere un análisis más detallado que no
vamos a considerar aquí, remitiendo a los lectores a libros
especializados en este tema.

9.  Suma y resta de números complejos dados en su forma polar.
No hay una forma para sumar o restar de manera abreviada números
en su forma polar. Una alternativa para operar es pasarlos a su forma
binómica, sumarlos o restarlos y si se requiere, pasar el resultado a
la forma polar.
Ejemplo Encuentre z1+z2 .
Exprese el resultado en forma polar.
z1=630ºz2=2−30º
Pasamos los números a su forma binómica, usando la representación
trigonométrica
z1=630º=6(cos(30º)+sen(30º)i)=33–√+3i
z2=2−30º=3(cos(−30º)+sen(−30º)i)=3–√−1i
Entonces sumamos en forma binómica
=43–√−2i
Si se requiere pasamos a la forma polar.
El modulo |z1+z2|=13−−√,
El argumento, θ=atan(243√)
En definitiva,
z1+z2=13−−√atan(123√)

10. Diversos ejercicios de números complejo.
 Efectúe la suma indicada
(2+−4−−−√)+(3+−16−−−−√)
Solución Aplicamos la definición de la raíz cuadrada de un número
negativo
(2+−4−−−√)+(3+−16−−−−√)=(2+4–√i)+(3+16−−√i)
Quedó planteada una suma de números complejos en su forma
binómica. Antes de proceder a hacer la suma, simplificamos los
radicales
(2+−4−−−√)+(3+−16−−−−√)=(2+2i)+(3+4i)
Sumamos
=(2+3)+(2+4)i
=5+6i
 La resta de números complejos.
Formalmente la resta z1−z2 es definida como la suma de z1 con el
opuesto de z2
Puedes ver los detalles para verificar que

11. (a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i
Aplicamos la definición de la resta, la suma con el inverso aditivo
(a+bi)−(c+di)=(a+bi)+(−(c+di))
=(a+bi)+(−c−di) Opuesto de (c+di)
=(a−c)+(b−d)i Suma de complejos
 Sumas y restas combinadas.
Con este método podemos efectuar rápidamente sumas y restas
combinadas entre números complejos, reduciéndola a su forma
binómica.
Ejemplo Expresar en forma binómica o estándar
(4+i)−(3−2i)+(7−3i)
Primero eliminamos paréntesis
(4+i)−(3−2i)+(7−3i)==4r+ii−3r+2ii+7r−3ii8r+0ii=8.

12.  Sumar. (−3 + 3i)
+ (7 – 2i)
−3 + 3i + 7 – 2i =
−3 + 7 + 3i – 2i
Reacomoda las
sumas para juntar
los términos
semejantes.
Respuesta
−3 + 7 = 4 y
3i – 2i = (3 –
2)i = i
(−3 + 3i) + (7 – 2i)
= 4 + i
Combina los
términos
semejantes.
 Restar. (−3 + 3i) – (7 – 2i)
(−3 + 3i) – (7 – 2i) =
−3 + 3i – 7 + 2i
Asegúrate de
distribuir el signo
de resta a todos
los términos del
sustraendo.
−3 – 7 + 3i + 2i Reacomoda las
sumas para juntar

13. los términos
semejantes.
Respuesta
−3 – 7 = −10 y
3i + 2i = (3 + 2)i = 5i
(−3 + 3i) – (7 – 2i) = 10 + 5i
Combina los
términos
semejantes.
 Multiplica.
(3i)(2i)
(3i)(2i) =
(3)(2)(i)(i)
= 6i2
Multiplica los
coeficientes de i y
luego
multiplica i por i.
6i2 = 6(−1)
6(−1) = −6
Reemplaza i2 con –
1.
Multiplica.
Respuesta (3i)(2i) = −6

14.  Multiplicar y simplificar. (6 + 8i)(4 + 2i)
(6 + 8i)(4 + 2i)
6(4 + 2i) + 8i(4 + 2i)
6(4) + 6(2i) + 8i(4) + 8i(2i)
24 + 12i + 32i + 16i2
Se están
multiplicando dos
binomios, por lo que
necesitas la
Propiedad
Distributiva de la
Multiplicación.
Podríamos usar FOIL
e ir directamente a
6(4) + 6(2i) + 8i(4) +
8i(2i) .
24 + 44i + 16i2 Combina los términos
semejantes.
24 + 44i + 16(-1)
24 + 44i – 16
8 + 44i
Reemplaza i2 con −1
y simplifica.
Respuesta (6 + 8i)(4 + 2i) = 8 + 44i

15.  Multiplicar y simplificar. (6 + 8i)(6 – 8i)
(6 + 8i)(6 – 8i)
6(6) + 6(–8i) + 8i(6) + 8i(–8i)
36 – 48i + 48i – 64i2
Usa FOIL para
expandir el producto.
36 – 64i2 Combina los términos
semejantes.
36 – 64(−1)
36 + 64
100
Reemplaza i2 con −1
y simplifica.
Respuesta (6 + 8i)(6 – 8i) = 100
 Simplifica. −24i ÷ 6
Trata a la división
como una fracción.
Simplifica la
fracción usando un
factor que tengan
en común el
numerador y el

16. denominador.
Respuesta −24i ÷ 6 = −4i Como el resultado
no tiene
denominador, no es
necesario seguir
simplificando.
 Simplifica.
32i ÷ 6i
Trata a la división
como una fracción.
Simplifica la
fracción usando un
factor que tengan
en común el
numerador y el
denominador.
Observa que en
este caso, i es parte
del factor común.
Respuesta
32i ÷ 6i =
La fracción quede
en su forma simple.

17.  Simplifica.
56 ÷ −7i
Trata a la división
como una fracción.
Simplifica la
fracción usando un
factor que tengan
en común el
numerador y el
denominador.
En este caso, el
denominador
todavía tiene el
término i.
Como i es un
radical, debes
seguir
simplificando para
racionalizar el
denominador.
Como el
denominador es
sólo un término, no
necesitas pensar en
conjugados
complejos. Sólo

18. multiplica por 1 en
la forma y
simplifica.
(Recuerda, el
producto de dos
números
imaginarios es real,
por lo que el
denominador es
real.)
Respuesta 56 ÷ −7i = 8i
Gracias por su apreciada atención …