Este documento presenta diferentes métodos para calcular sumas y áreas bajo curvas mediante el uso de la notación sigma. Explica cómo aproximar el área bajo una curva dividiendo el intervalo en subintervalos y calculando las sumas superior e inferior. También muestra cómo calcular el límite de estas sumas para determinar el área exacta bajo la curva.

1.  Notación sigma
La suma de 𝑛 términos 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎 𝑛 se escribe como:
∑ 𝑎 𝑛
𝑛
𝑖=1
= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎 𝑛
Donde 𝑖 es el índice de la suma, 𝑎𝑖 el i-enésimo término de la suma y los limites
superior e inferior de la suma son “n” y “1”.
Ejemplo de notación sigma:
∑ 𝑖
6
𝑖=1
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
 Propiedades de la suma utilizando la notación sigma
∑ 𝑘𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝑘 ∙ ∑ 𝑎𝑖
𝑛
𝑖=1
∑(𝑎𝑖 ± 𝑏𝑖) = ∑ 𝑎𝑖 ± ∑ 𝑏𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑐 = 𝑛𝑐
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑖 =
𝑛(𝑛 + 1)
2
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑖2
=
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑖3
=
𝑛2(𝑛 + 2)2
4
𝑛
𝑖=1

2. Ejemplo 1:
Hallar
∑
𝑖 + 1
𝑛2
𝑛
𝑖=1
= ∑
1
𝑛2
(𝑖 + 1)
𝑛
𝑖=1
=
1
𝑛2
∑(𝑖 + 1)
𝑛
𝑖=1
=
1
𝑛2
(∑ 𝑖 + ∑ 1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
)
=
1
𝑛2
[
𝑛(𝑛 + 1)
2
+ 𝑛]
=
1
2
+
3
2𝑛
Ejemplo 2:
Hallar:
∑ 𝑖(𝑖 − 1)2
15
𝑖=1
= ∑ 𝑖(𝑖2
− 2𝑖 + 1)
15
𝑖=1
= ∑ 𝑖3
− 2𝑖2
+ 𝑖
15
𝑖=1
= ∑ 𝑖3
− 2 ∑ 𝑖2
+ ∑ 𝑖
15
𝑖=1
15
𝑖=1
15
𝑖=1
=
𝑛2(𝑛 + 1)2
4
− 2 [
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
] +
𝑛(𝑛 + 1)
2

3. =
152(16)2
4
− 2 [
15(16)(31)
6
] +
15(16)
2
= 12 040
 El área de una región plana
Desde los origines del cálculo, esta rama de la matemáticas se ha enfocado en dos
tipos de problemas clásicos, el problema de la recta tangente y el problema del
área. Para describir esto aproximaremos el área que se genera bajo una curva
representada en el eje de coordenadas:
Ejemplo:
Emplear 5 rectángulos para calcular dos aproximaciones del área de la región
determinada por la gráfica: 𝑓(𝑥) = −𝑥2
+ 5 𝑦 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥 𝑒𝑛 𝑥 = 0 , 𝑥 = 2.
Solución:
a) Encontremos la anchura de cada rectángulo:
∆𝑥 =
2−0
5
=
2
5
b) Encontramos el área de los rectángulos por debajo de la curva,

4. 𝐴1 = 𝑓 (
2
5
) ∙
2
5
=
242
125
𝐴2 = 𝑓 (
4
5
) ∙
2
5
=
218
125
𝐴3 = 𝑓 (
6
5
) ∙
2
5
=
178
125
𝐴4 = 𝑓 (
8
5
) ∙
2
5
=
122
125
𝐴5 = 𝑓 (
10
5
) ∙
2
5
=
2
5
𝐴 𝑇 = ∑ 𝑓(𝑐𝑖)∆𝑥 =
242
125
+
218
125
+
178
125
+
122
125
+
2
5
=
162
25
5
𝑖=1
c) Encontramos el área de los rectángulos que están por encima de
la curva:
𝐴1′ = 𝑓(0) ∙
2
5
= 2
𝐴2′ = 𝑓 (
2
5
) ∙
2
5
=
242
125

5. 𝐴3′ = 𝑓 (
4
5
) ∙
2
5
=
218
125
𝐴4′ = 𝑓 (
6
5
) ∙
2
5
=
178
125
𝐴5′ = 𝑓 (
8
5
) ∙
2
5
=
122
125
𝐴 𝑇 = ∑ 𝑓(𝑐𝑖′)∆𝑥 = 2 +
242
125
+
218
125
+
178
125
+
122
125
=
202
25
5
𝑖=1
Por lo que el área bajo la curva se encuentra en el siguiente intervalo
162
25
< á𝑟𝑒𝑎 <
202
25

6.  Sumas superior e inferior
Se puede generalizar un procedimiento para encontrar el área bajo una curva, para
esto vamos a subdividir el intervalo [𝑎, 𝑏] en 𝑛 subintervalos.
Consideremos lo siguiente:
Como 𝑓 es una función continua el teorema del valor extremo garantiza la
existencia de un valor mínimo y máximo de 𝑓(𝑥) en cada subintervalo:
𝑓(𝑚𝑖) = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑀𝑖) = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑓(𝑥)
Se define entonces que
(Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜) = 𝑓(𝑚𝑖)∆𝑥 ≤ 𝑓(𝑀𝑖)∆𝑥 = (Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜
La suma de las áreas de los rectángulos inscritos recibe el nombre se suma inferior
y la suma de las áreas de los rectángulos circunscritos recibe el nombre de suma
superior por lo que:
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 𝑆̅( 𝑛) = ∑ 𝑓(𝑀𝑖)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 𝑆(𝑛) = ∑ 𝑓(𝑚𝑖)∆𝑥
𝑛
𝑖=1

7. Hallar las sumas superior e inferior
Determinar la suma inferior y superior de la región delimitada por la gráfica de
𝑓(𝑥) = 𝑥2
y el eje x entre 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 2
Solución:
Primero encontramos el ancho de los rectángulos:
∆𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛
=
2 − 0
𝑛
=
2
𝑛
Puntos terminales izquierdos
𝑚𝑖 = 𝑎 + ∆𝑥(𝑖 − 1)
𝑚𝑖 = 0 +
2
𝑛
(𝑖 − 1)
𝑚𝑖 =
2
𝑛
𝑖 −
2
𝑛
Utilizando los puntos terminales izquierdos, obtenemos la suma inferior
𝑆(𝑛) = ∑ 𝑓(𝑚𝑖)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
= ∑ 𝑓 (
2
𝑛
𝑖 −
2
𝑛
)
𝑛
𝑖=1
2
𝑛
= ∑ (
2
𝑛
𝑖 −
2
𝑛
)
2
2
𝑛
𝑛
𝑖=1
=
2
𝑛
∑ (
4𝑖2
𝑛2
−
8𝑖
𝑛2
+
4
𝑛2
)
𝑛
𝑖=1
=
8
3
−
4
𝑛
+
4
3𝑛2

8. Empleando los puntos terminales derechos podemos encontrar la suma superior
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜𝑠 = 𝑎 + 𝑖∆𝑥 = 0 +
2
𝑛
𝑖 =
2
𝑛
𝑖
𝑆(𝑛) = ∑ 𝑓(𝑀𝑖)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
= ∑ 𝑓 (
2𝑖
𝑛
)
2
𝑛
𝑛
𝑖=1
=
2
𝑛
∑ (
2𝑖
𝑛
)
2𝑛
𝑖=1
=
2
𝑛
∑ (
4𝑖2
𝑛2
)
𝑛
𝑖=1
=
8
3
+
4
𝑛
+
4
3𝑛2
Si buscamos le limite al infinito de cada suma obtenemos lo siguiente:
lim
𝑛→∞
𝑆(𝑛) = lim
𝑛→∞
(
8
3
+
4
𝑛
+
4
3𝑛2
) =
8
3
lim
𝑛→∞
𝑆(𝑛) = lim
𝑛→∞
(
8
3
−
4
𝑛
+
4
3𝑛2
) =
8
3
Por lo que podemos afirmar:
lim
𝑛→∞
𝑆(𝑛) = lim
𝑛→∞
𝑆(𝑛)
Y por medio de esta afirmación podemos definir que:
Á𝑟𝑒𝑎 = lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑐𝑖)∆𝑥
𝑛
𝑖=1

9. Ejemplo:
Hallar el área de la región delimitada por la gráfica 𝑓(𝑥) = 𝑥3
, y el eje x entre
𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 1.
Solución:
∆𝑥 =
1 − 0
𝑛
=
1
𝑛
Determinamos 𝑐𝑖
𝑐𝑖 = 0 +
1
𝑛
𝑖 =
𝑖
𝑛
De esto definimos que:
Á𝑟𝑒𝑎 = lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑐𝑖)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
∑ (
𝑖
𝑛
)
3
1
𝑛
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
1
𝑛
∑
𝑖3
𝑛3
𝑛
𝑖=1
= lim
𝑛→∞
1
𝑛4
[
𝑛2(𝑛 + 1)2
4
]
= lim
𝑛→∞
1
4𝑛2
(𝑛2
+ 2𝑛 + 1)
= lim
𝑛→∞
1
4
+
1
2𝑛
+
1
4𝑛2
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 =
1
4