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VALORACIÓN DE
ACTIVOS DE RENTA FIJA
Dra. María del Carmen González Velasco
10 de marzo de 2011

Valoración de activos de renta fija
1. Concepto de activo de renta fija y
principales elementos.
2. Tipos de activos de renta fija.
3. Valoración de activos de renta fija.
4. Riesgos de un activo de renta fija.
5. Riesgo de tipo de interés.
6. Gestión pasiva de carteras de renta fija.
7. Gestión activa de carteras de renta fija.

1. Concepto de activo de renta fija y principales elementos.
ƒ Valores emitidos por empresas privadas o
instituciones públicas representativos de los
préstamos que los emisores reciben.
¾ Activos del Mercado de Dinero o del
Mercado Monetario.
¾ Instrumentos de renta fija o del Mercado
de Capitales.

ƒ Confieren a su titular derechos económicos,
pero no políticos.
ƒ Suponen el derecho a percibir los intereses
pactados y a la devolución de todo o parte del
capital a una fecha dada.
ƒ Para el emisor suele suponer una fuente de
financiación más barata que la bancaria en la
medida que se evita la intermediación y se
reparte el riesgo.

Elementos:
ƒ Precio de emisión: es el efectivo de la suscripción.
ƒ Valor nominal, valor a la par o principal: cuantía de
dinero que el titular de un bono percibirá al
vencimiento. Este valor no es el precio del bono:
¾ Precio del bono >Valor nominal
(emisión con prima)
¾ Precio del bono <Valor nominal
(emisión a descuento)

Elementos:
ƒ Cupón: cuantía periódica que recibirá el propietario
del bono en concepto de interés. Se calcula como
un porcentaje del valor nominal. El tipo de interés
puede ser fijo o variable.
ƒ Cupón corrido: parte del cupón devengado y no
pagado en una fecha concreta entre el pago de
dos cupones correlativos.

Elementos:
ƒ Bono cupón cero: aquel cuyo rendimiento se abona
al vencimiento junto con el capital no existiendo
cupones intermedios.
ƒ Vencimiento: Fecha futura en la que será pagado el
principal del inversor. Puede variar entre un día y
30 años. Cuanto mayor sea el vencimiento mayor
será el tipo de interés y, por tanto, el riesgo. Un
bono a largo plazo fluctuará más que un bono a
corto plazo si todos los demás parámetros
permanecen constantes.

Elementos:
ƒ Emisor: es la entidad pública o privada que pide
prestado dinero emitiendo un bono y pagando
un interés. La estabilidad del emisor es la principal
garantía de devolución del principal. Las emisiones
del Gobierno son más seguras que las de las
empresas privadas y su riesgo de insolvencia es
tan pequeño que por este motivo se conocen
como activos sin riesgo. En cambio, las emisiones
de empresas privadas deben ofrecer un interés
mayor para incentivar al inversor.

Elementos:
ƒ Rating: el sistema de rating de los emisores y de
las emisiones ayuda al inversor a determinar el
riesgo de crédito del emisor. Las emisiones con
altos ratings son inversiones seguras mientras que
las que tienen ratings bajos son inversiones
arriesgadas. Si un emisor baja de rating puede
cambiar del grado de inversión al grado especulativo,
lo que indica que el emisor se encuentra con
dificultades financieras y, por tanto, tiene que
ofrecer intereses más elevados que otro tipo
de emisores.

Elementos:
ƒ Rating:
Bonos Rating
Moody´s S&P / Fitch Grado Riesgo
Aaa
Aa
A
Baa
Ba, B
Caa/Ca/C
D
AAA
AA
A
BBB
BB, B
CCC/CC/C
D
Inversión
Inversión
Inversión
Inversión
Especulación
Especulación
Especulación
Máxima calificación
Calificación alta
Por encima de la media
Calificación media
Especulativa
Muy especulativa
Insolvencia

Elementos:
ƒ Rating: las agencias de rating basan sus ratings de
calificación en el análisis del nivel y de la tendencia
de algunos ratios financieros del emisor:
¾ Ratios de cobertura.
¾ Ratios de apalancamiento.
¾ Ratios de liquidez.
¾ Ratios de rentabilidad.
¾ Ratios de endeudamiento.

Emisiones del Mercado Monetario o de renta fija a
corto plazo:
ƒ Letras delTesoro:
¾ Emitidas al descuento por el sistema de subastas.
¾ Emisiones a 6, 12 y 18 meses en España.
¾ Tasa de descuento:
donde:
N: nominal:
E: efectivo
n: número de días hasta el vencimiento.
d: tasa de descuento.
N E 360
d =
N n
−
⋅

corto plazo:
ƒ Letras delTesoro:
¾ Tasa de rentabilidad real:
¾ T.A.E. (n > 376 días):
N E 360
i =
E n
−
⋅
365
n
N
T.A.E. = 1
E
⎛ ⎞
−
⎜ ⎟
⎝ ⎠

corto plazo:
ƒ Pagarés
¾ Emitidos por empresas sin garantías de
ningún activo concreto.
¾ Suelen emitirse al descuento con
vencimientos inferiores a los dos años.
¾ Se emiten en primario por subastas
competitivas o por negociación directa
• En serie mediante programas diseñados.
• A medida acomodándose a las demandas
del mercado.

corto plazo:
ƒ Repos
¾ Venta de un activo financiero con pacto de
recompra a precio y fechas determinados.
¾ Tasa repo:
donde:
PR: precio de recompra.
PV: precio de venta.
t: nº de días desde la venta hasta la recompra.
PR PV 360
i =
PR t
−
⋅

Emisiones del Mercado de Capitales o de renta fija a
medio y largo plazo:
ƒ Deuda pública
¾ Emitida por el Estado, CCAA u otros
Organismos Públicos.
¾ Gestionada por el Banco de España a través
de la Central de Anotaciones en Cuenta.
¾ Emisiones del Estado:
• Bonos a 3 y 5 años.
• Obligaciones a 10, 15 y 30 años.
• Pueden ser segregables (strips).
• Cupones anuales y nominales de 1.000 €.

Emisiones del Mercado de Capitales o de renta fija a
medio y largo plazo:
ƒ Renta fija privada
¾ Si incluyen claúsulas de amortización
anticipada existe la posibilidad de cancelar si
los tipos bajan. Mayor coste de financiación
en paralelo al mayor coste del bonista.
• El emisor vende un bono y compra una
CALL con strike igual o superior al
nominal.
• El bonista compra un bono y vende una
CALL.

Casos:
a) Emisión con prima: Bonos con prima
Precio del bono >Valor nominal
Tipo de interés del bono >Tipos del mercado
b) Emisión con descuento: Bonos con descuento
Precio del bono <Valor nominal
Tipo de interés del bono <Tipos del mercado
c) Emisión a la par: Bonos a la par
Precio del bono =Valor nominal
Tipo de interés del bono =Tipos del mercado

2 n n
n r
C C C N N
P = ... C a
(1 r) (1 r) (1 r) (1 r)
+
+ + + = ⋅ +
+ + + +
donde:
P: precio del activo de renta fija. Si se expresa en % sobre el
valor nominal se denomina “precio teórico”, lo que permite
comparar activos con diferentes vencimientos.
N: valor nominal.
C: cuantía de los cupones periódicos de interés.
r: rentabilidad requerida, que puede ser la de la deuda pública o
la de cupón cero de plazo hasta el vencimiento más un
diferencial. Es un dato subjetivo para cada inversor.
n: plazo hasta el vencimiento.

C C C C + N
1 2 n-1 n
C/(1+ r)
C/(1+ r)2
C/(1+ r)n-1
C/(1+ r)n
P=
0

Caso 1:
Calcular el precio de una obligación a 10 años
emitida por el Estado con un valor nominal de
1.000 euros, un tipo de interés del cupón del
5,15% y una rentabilidad requerida del 2,63%.
Los cupones son anuales y el pago del próximo
cupón es dentro de un año.

La obligación es emitida con prima:
P > N
1.219,08 > 1.000
porque el tipo de interés del cupón es mayor que la
rentabilidad requerida:
5,15% > 2,63%.
Solución del Caso 1:
10
10
1 (1 0,0263) 1.000
P = 51,5
0,0263 (1 0,0263)
P = 1.219,08 €
−
− +
⋅ +
+

n m
n m r/m
C N
P = a
m r
1
m
⋅
⋅
⋅ +
⎛ ⎞
+
⎜ ⎟
⎝ ⎠
donde:
P: precio del activo de renta fija.
N: valor nominal.
C: cuantía de los cupones periódicos de interés.
r: rentabilidad requerida.
m: frecuencia de pago del cupón.
Activos de renta fija con diferentes frecuencias de
pago de los cupones:

Caso 2:
Calcular el precio de un bono a 10 años si su
valor nominal es 1.000 euros, el tipo de interés
del cupón es el 8% y la rentabilidad requerida el
10%. Los cupones son pagados semestralmente
y el pago del próximo cupón es dentro de seis
meses.

20
20
0,10
1 1
1.000
2
P = 40 = 875,38 €
0,10 0,10
1
2 2
−
⎛ ⎞
− +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⋅ +
⎛ ⎞
+
⎜ ⎟
⎝ ⎠
La obligación es emitida con descuento:
P < N
875,38 < 1.000
porque el tipo de interés del cupón es menor que la rentabilidad
requerida. El bono debe emitirse con descuento para atraer
inversores que buscan tipos de interés más altos que los vigentes
en el mercado.

( )n
N
P =
1 r
+
donde:
P: precio del bono.
N: valor nominal.
r: rentabilidad requerida.
Bonos cupón cero:

Caso 3:
Calcular el precio de un bono cupón cero con
vencimiento a tres años, si su valor nominal es
1.000 euros y la rentabilidad requerida es el
2,92%.
3
1.000
P = = 917,28 €
(1 0,0292)
+

Cuando se compra un bono se debe utilizar la convención
más apropiada para contar el número de días para calcular el
interés devengado en una operación financiera.
Las convenciones más utilizadas en los mercados financieros
son:
• 30/360: renta fija privada.
• Actual/360: Letras del Tesoro e instrumentos del Mercado
Monetario.
• Actual/365: operaciones de bancos con sus clientes.
• Actual/actual: activos con interés explícito y bonos cupón
cero.
Valoración de activos de renta fija entre periodos
de pago de los cupones:

Caso 4:
Si se compra un bono con cupones anuales el 1
de abril de 2011 y su próximo cupón es el 1 de
octubre de 2011. Determinar el recuento de
días según la convención actual/actual.
30 (abril) + 31 (mayo) + 30 (junio) + 30 (julio) +
31 (agosto) + 30 (septiembre) = 182 días
Recuento de días = 182/365 (1 año = 365 días)
Recuento de días = 182/366 (año bisiesto)

Caso 5:
Si se compra un bono con cupones anuales el 1
de abril de 2011 y su próximo cupón es el 1 de
octubre de 2011. Determinar el recuento de
días según la convención 30/360.
30 (abril) + 30 (mayo) + 30 (junio) + 30 (julio) +
30 (agosto) + 30 (septiembre) = 180 días
Recuento de días = 180/360

Interés corrido: es la parte proporcional de
intereses devengados desde la fecha de pago del
último cupón hasta la fecha en la que se produce
la valoración o la venta.
Los precios de los bonos que cotizan y que se
publican no son en realidad los precios que los
inversores pagan por el bono ya que son precios
que no incluyen los intereses devengados entre las
fechas de pago del cupón (intereses corridos). Son
precios ex-cupón (clean prices), mientras que el
precio de venta incluye el interés corrido (dirty
price).

días entre el pago del último cupón y la venta
IC = C
días entre el pago de dos cupones
⋅
donde “C” es el cupón periódico de intereses.
Cálculo del interés corrido:

Caso 6:
El 8 de abril de 2011 el inversor A vende un
bono emitido por la empresa “X” al inversor B
con un valor nominal de 1.000 euros y un tipo
de interés del cupón del 2,75%. Los cupones
son pagados anualmente y el próximo pago de
cupón será el 15 de septiembre de 2011. El
precio ex-cupón es 980 euros. Calcular la
cuantía que tiene que pagar el inversor B si se
utiliza la convención 30/360 para el recuento de
días.

Cálculo del recuento de días hasta el pago del
próximo cupón según la convención 30/360:
- del 8 al 30 de abril: 22 días
- del 1 al 30 de mayo: 30 días
- del 1 al 30 de junio: 30 días
- del 1 al 30 de julio: 30 días
- del 1 al 30 de agosto: 30 días
- del 1 al 15 de septiembre: 15 días
Total: 157 días hasta el pago del próximo cupón.

Debido a que se compra un bono entre los
pagos del cupón, el comprador (inversor B)
tendrá que abonar al vendedor (inversor A) los
intereses devengados.Teniendo en cuenta que el
periodo entre cupones es 360 días, la parte
proporcional del cupón que el inversor B ha
ganado o interés corrido se calcula como:
203 203
IC =(1.000 0,0275) 27,5 15,51€
360 360
⋅ ⋅ = ⋅ =

El precio que tendrá que abonar el inversor B
al inversor A será el precio ex-cupón más el
interés corrido:
Precio ex-cupón (clean price) = 980 €
Precio de venta (dirty price) = 980 15,51 995,51€
+ =

Factores que influyen en el precio de un activo
de renta fija:
ƒ El plazo hasta el vencimiento: a mayor plazo
menor precio.
ƒ La rentabilidad requerida: a mayor rentabilidad
menor precio.
ƒ El cupón: a mayor cupón mayor precio.

Rentabilidad hasta el vencimiento
(yield to maturity):
ƒTasa de interés que permite que el valor actual
de los pagos del activo sea igual a su precio.
ƒ Mide la tasa de rentabilidad media que se
conseguirá con un activo si se compra en el
instante actual y se mantiene hasta su
vencimiento.
ƒTipo de interés compuesto a lo largo de la vida
del activo bajo el supuesto de que los cupones
se reinvierten a ese mismo tipo de interés.

Rentabilidad hasta el vencimiento o TIR
ƒTres limitaciones principales:
¾ No aplicable a cupones variables
indeterminados a priori.
¾ No es útil si no se mantiene la inversión
hasta el vencimiento.
¾ Problemas con la tasa a la que se
conseguirán reinvertir los cupones.
2 n n
n r
C C C N N
P = ... C a
(1 r) (1 r) (1 r) (1 r)
+
+ + + = ⋅ +
+ + + +

Rentabilidad hasta el vencimiento o TIR
ƒ Para los bonos cupón cero:
donde:
N: valor nominal
P: precio del bono
n: plazo hasta el vencimiento
ic: tipo de interés del cupón
r: rentabilidad hasta el vencimiento
1
n
N
r = 1
P
⎛ ⎞
−
⎜ ⎟
⎝ ⎠

Rentabilidad actual (current yield) :
ƒ Es la rentabilidad que el cupón proporciona al
inversor.
ƒ Simplifica los cálculos de la TIR asimilando el
activo a una renta perpetua.
ƒ Es relativamente realista si el vencimiento es a
muy largo plazo y el precio cercano a la par.
ƒ No incluye las ganancias ni pérdidas que el
inversor obtendría si el activo es emitido con
descuento o con prima.

Rentabilidad actual (current yield) :
Reglas:
Bonos con prima: ic > ractual > r
Bonos con descuento: ic < ractual < r
donde:
ic: tipo de interés del cupón.
ractual: rentabilidad actual.
r: rentabilidad al vencimiento.
actual
Cupón
r = 100
Precio del activo
⋅

Caso 7:
Un inversor compra un bono con un valor
nominal de 100 euros por 98,6 euros y paga un
tipo de interés del cupón del 3%. Calcular su
rentabilidad actual.
actual
100 0,03
r = 100 3,04%
98,60
⋅
⋅ =

Rentabilidad actual ajustada
(adjusted current yield) :
ƒ Incluye las ganancias o pérdidas que el inversor
obtendría si el activo es emitido con descuento
o con prima.
donde:
ractual: rentabilidad actual
ractual ajustada: rentabilidad actual ajustada.
actual ajustada actual
100 Precio
r r
Plazo hasta el vencimiento
−
= +

Caso 8:
Un inversor compra un bono, que vence en tres
años, con un valor nominal de 100 euros por
98,6 euros y paga un tipo de interés del cupón
del 3%. Calcular su rentabilidad actual ajustada.
actual ajustada
100 98,60
r 3,04 3,51%
3
−
= + =

Caso 9:
Un inversor compra un bono cuyo valor nominal es
100 euros por un precio de 97 euros. El bono vence
a los cinco años y paga cupones semestrales del 4%.
Calcular la rentabilidad actual, la rentabilidad actual
ajustada y la rentabilidad al vencimiento.
actual
100 0,04
r 100 4,12%
97
⋅
= ⋅ =

actual ajustada
100 97
r 4,12 4,72%
5
−
= + =
2 9 10
2 2 2 2
2
2
2 2 2 102
97 = ...
1+i (1+i ) (1+i ) (1+i )
i 2,34%
i r YTM (1 0,0234) 1 0,0473
+ + + +
=
= = = + − =

Caso 10:
Calcular la rentabilidad hasta el vencimiento de un
bono cupón cero, cuyo valor nominal es 1.000 euros,
que vence a los tres años y su precio en el momento
actual es 900 euros.
1
3
1.000
r = 1 0,0357
900
⎛ ⎞
− =
⎜ ⎟
⎝ ⎠

TIR de una cartera de activos:
ƒ Es la media ponderada de las TIR de los activos
de la cartera.
ƒ Es una medida aproximada porque no tiene en
cuenta las correlaciones.

Rentabilidad en caso de cupones variables
(Floating Rate Notes):
ƒ Cada cupón se fija en la fecha de pago del anterior en
relación con un índice.
ƒ Suelen tener opciones de amortización anticipada
(callables) a favor del emisor.
ƒ Clases:
¾ Capped: incorporan tipos máximos.
¾ Floored: incorporan tipos mínimos.
¾ Convertibles: el emisor puede convertirlos en
bonos a largo con tipo fijo.
¾ Perpetuos: sin fecha expresa de amortización
aunque el emisor suele reservarse el derecho a
hacerlo pasado un plazo.

Interés efectivo:
ƒ Rendimiento bruto: el total de los ingresos
(cupones + amortización) menos el total de los
costes (emisión o compra).
ƒ Rendimiento neto: rendimiento bruto menos
costes operativos e impuestos. Es el interés
efectivo.
ƒ Para los cálculos es necesario calcular el valor
actual de cada flujo.

Rendimiento compuesto realizado:
ƒ Es la tasa de rentabilidad de un bono cuando todos
los cupones son reinvertidos hasta el vencimiento.
n
0 n
n-1 n-2
n 1 r 2 r n-1 r n
0
n
k
r
P (1 i) P
P C (1 i ) C (1 i ) ... C (1 i ) (C N)
P : precio del bono.
P : valor futuro en "n" de todos los pagos.
C : coupon payment in the period "k".
i : tasa de reinversión.
N: valor nomi
⋅ + =
= ⋅ + + ⋅ + + + ⋅ + + +
nal.
i: rendimiento compuesto realizado.

2 1
1.000 (1 i) 50 (1 0,08) (50 1.000) 1.104
i 0,0505
⋅ + = ⋅ + + + =
=
Caso 11:
Calcular el rendimiento compuesto realizado de un
bono a dos años, emitido a la par, con un tipo de
interés del cupón del 5%. Los cupones son anuales y
reinvertidos a una tasa del 8% y la rentabilidad hasta
el vencimiento es el 5%.

Tipo de interés a plazo (forward interest rate):
Tipo de interés a corto plazo deducido para un periodo
futuro que permite que la rentabilidad esperada de un
bono a largo plazo sea igual a la de la reinversión de los
bonos a corto plazo:
T T 1
t,T t,T 1 t,T
T
t,T
t,T T 1
t,T 1
(1+r ) =(1+r ) (1 f )
(1+r )
f 1
(1+r )
−
−
−
−
⋅ +
= −
rt,T: tipo al contado correspondiente al vencimiento “T”
desde un instante “t” determinado.
ft,T: tipo para el plazo futuro [t+T-1,t+T] en un instante “t”.

Caso 12:
Si los bonos a dos años tienen una rentabilidad hasta
el vencimiento del 5% y los bonos a 3 años del 6%,
calcular el tipo de interés a plazo para el tercer año.
3 2
2,3
2,3
(1 0,06) (1 0,05) (1 f )
f 0,0803
+ = + ⋅ +
=

Las dos estrategias siguientes son iguales:
1. Comprar un bono a tres años.
2. Comprar un bono a dos años y reinvertir lo
obtenido en el tercer año en un bono a un año en
el tercer año.
3
1 (1,06) 1,191016
⋅ =
2
2,3 2,3
2,3
2,3
1 (1,05) (1 f ) 1,1025 (1 f )
1,1025 (1 f ) 1,191016
f 0,0803
⋅ ⋅ + = ⋅ +
⋅ + =
=

Análisis del horizonte de inversión:
Estudio de la rentabilidad de los bonos sobre un
horizonte de varios años, basado en las previsiones
de la rentabilidad hasta el vencimiento de los bonos y
de la tasa de reinversión de los cupones.

Caso 13:
Se compra un bono a 30 años, con un tipo
de interés del cupón del 7,5% por 943,71
euros. La rentabilidad hasta el vencimiento
es el 8% y se espera tener el bono durante
20 años. La previsión es que la rentabilidad
hasta el vencimiento será el 8,25% cuando
sea vendido y que la tasa de reinversión de
los cupones será el 7%. Calcular el
rendimiento compuesto anual.

Al final del horizonte de inversión aún quedarán 10
años hasta el vencimiento del bono. Por tanto, el
precio de venta previsto será:
Además, el valor futuro de los 20 cupones
reinvertidos al 7% será:
v 10
10 0,0825
1.000
P = 75 a 950,24 €
(1,0825)
⋅ + =
20 0,07
VF = 75 S 3.074,66 €
⋅ =

El rendimiento compuesto anual será:
20
943,71 (1 r) (3.074,66 950,24) 4.024,90
r 0,0752
⋅ + = + =
=

Riesgo financiero:
Conjunto de factores que pueden determinar que un
inversor perciba un rendimiento diferente al esperado.
Tipos:
ƒ Riesgos exógenos: ■ Riesgos endógenos:
¾ De tipo de interés. ¾ De crédito
¾ De reinversión de cupones. ¾ De insolvencia.
¾ De divisa. ¾ De liquidez
¾ Operacional.

Riesgo de tipo de interés:
ƒ El precio de un activo de renta fija puede verse
afectado en relación inversa a la fluctuación de
tipos de interés.
ƒ Se mide y se puede cubrir vía duración y
convexidad.
Riesgo de reinversión:
ƒ No se sabe si se podrá reinvertir el activo a la
misma TIR a la que se compró.
ƒ Directamente proporcional a la cuantía del
cupón y al plazo hasta el vencimiento.

Riesgo de crédito o insolvencia:
ƒ El emisor no puede hacer frente al pago de cupones
bien en importe, bien en plazo.
ƒ A mayor riesgo de insolvencia mayor cupón se exige
al emisor (spread).
ƒTipos de rendimiento:
¾ Prometido: calculado a priori sobre el precio de
adquisición.
¾ Obtenido: tasa calculada sobre lo realmente percibido.
¾ Esperado: tasa calculada estimando probabilísticamente
los flujos y la posibilidad de percibirlos realmente.

Tipos de prima:
ƒ Prima de insolvencia:
Diferencia entre el rendimiento prometido y
esperado. Compensa el riesgo de insolvencia.
Riesgo específico diversificable.
Modelo de Gordon Pye para estimar la prima de
insolvencia:
donde:
P: probabilidad de insolvencia.
y: rendimiento prometido en caso de no existir riesgo
de insolvencia.
λ: porcentaje recibido en caso de insolvencia.
y λ P P(y λ)
PI = y
1 P 1 P
+ ⋅ +
− =
− −

Tipos de prima:
ƒ Prima de riesgo:
Diferencia entre el rendimiento esperado y el
rendimiento libre de riesgo. Compensa el riesgo de
tipos. Riesgo sistemático y no diversificable.

Caso 14:
Calcular la prima de insolvencia de un bono con
un rendimiento prometido del 10% y al que
suponemos una probabilidad de insolvencia del
5%. El bonista recibe un 60% del nominal un año
antes de que la empresa se declare en situación
de insolvencia.
0,05(0,1 0,4) 0,05 0,5
PI = 0,0263 263 p.b.
1 0,05 0,95
+ ⋅
= = =
−

Determinantes de la sensibilidad de precio de un
bono a la variación de tipos de interés:
Propiedades de Malkiel:
1. Los precios de los bonos y los tipos de interés
están inversamente relacionados.
2. Para un bono determinado, un descenso del tipo de
interés provoca un aumento del precio mayor que
la bajada de éste provocada por un aumento del
tipo de interés de igual magnitud. Por consiguiente,
ante una misma variación en el tipo de interés del
mercado, son mayores las plusvalías por aumento
del precio que las minusvalías.

3. Los precios de los bonos a largo plazo son más
sensibles a la variación de tipos de interés que los
bonos a corto plazo.
4. La sensibilidad del precio de un bono a la variación
del tipo de interés es menor a medida que aumenta
el vencimiento.

5. El riesgo de tipo de interés está inversamente
relacionado con el interés del cupón. Los precios
de bonos con cupones bajos son más sensibles a
la variación de tipos de interés que los bonos con
cupones altos.

Propiedad de Homer and Liebowitz:
6. La sensibilidad del precio de un bono a la variación
de tipos de interés está inversamente relacionada
con la rentabilidad hasta el vencimiento del bono.
El plazo hasta el vencimiento es el principal determi-
nante del riesgo de tipo de interés. Sin embargo, no es
suficiente para medir la sensibilidad del precio de un
bono a la variación de tipos de interés.

Duración:
ƒ La duración de Macaulay es una medida del plazo
efectivo hasta el vencimiento de un bono.
ƒ Se calcula como la media ponderada de los plazos
hasta el vencimiento de cada flujo de pagos
considerando como ponderaciones los valores
actuales relativos de cada flujo.
t
t
T
t t
t 1
CF
(1 r)
D t w w
P
=
+
= ⋅ =
∑

Duración:
ƒ La duración es un concepto clave en la gestión de
carteras de activos de renta fija por tres motivos
principalmente:
¾ Es una medida del plazo efectivo hasta el
vencimiento de la cartera.
¾ Es una herramienta fundamental para la
inmunización de carteras de los riesgos de
tipos de interés.
¾ Es una medida de la sensibilidad de una
cartera de activos de renta fija a fluctuaciones
de los tipos de interés.

Duración:
ƒ Cuando cambia el tipo de interés, la variación relativa
del precio del bono es proporcional a su duración y
está relacionada con la variación absoluta de la
rentabilidad al vencimiento:
donde: DM es la duración corregida o modificada
y “r” la rentabilidad hasta el vencimiento.
M
M
ΔP Δ(1 r)
D
P 1 r
ΔP
D Δr
P
D
D
1 r
+
= − ⋅
+
= − ⋅
=
+

Caso 15:
Un bono con plazo hasta el vencimiento de 15
años tiene un tipo de interés del cupón anual del
5% y una rentabilidad hasta el vencimiento del 6%.
Calcular:
a) El precio del bono.
b) La duración.
c) ¿Qué sucederá con el precio del bono si la
rentabilidad hasta el vencimiento se incrementa
100 p.b.?

a) El precio del bono.
b) La duración.
15
15 0,06
1.000
P 50 a 902,88 €
(1,06)
= ⋅ + =
2 14 15
50 50 50 1.050
1 2 ... 14 15
1,06 (1,06) (1,06) (1,06)
D
902,88
D 10,66 años
⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅
=
=

c) ¿Qué sucederá con el precio del bono si la
rentabilidad hasta el vencimiento se incrementa
100 p.b.?
M
1 0
0
1 0
1 0
ΔP 10,66
D Δr 1 10,06%
P 1 0,06
P P
10,06%
P
P P (1 0,1006) 902,88 (1 0,1006) 812,05 €
ΔP P P 812,05 902,88 90,83
= − ⋅ = − ⋅ = −
+
−
= −
= ⋅ − = ⋅ − =
= − = − = −

Determinantes de la duración:
1. La duración de un bono cupón cero es igual a su
plazo plazo hasta el vencimiento.
2. Si el plazo hasta el vencimiento y el rendimiento se
mantienen constantes, la duración de un bono y la
sensibilidad al tipo de interés son mayores cuando
el cupón es menor.
3. Si el cupón se mantiene constante, la duración del
bono y la sensibilidad del tipo de interés aumenta
generalmente con el plazo hasta el vencimiento.

Determinantes de la duración:
4. Si los demás factores permanecen constantes, la
duración y la sensibilidad de los tipos de interés de
un bono con cupón son mayores cuanto menor es
el rendimiento al vencimiento del bono.
5. La duración de un bono perpetuo es:
1 r
D
r
+
=

Caso 16:
Calcular la duración de un bono perpetuo que
paga 100 euros anualmente si la rentabilidad hasta
el vencimiento es el 8%.
1 0,08
D 13,50 años
0,08
+
= =

Convexidad:
La relación entre la variación relativa en el precio de
un bono y la rentabilidad hasta el vencimiento no es
lineal. La duración proporciona una buena aproxima-
ción para cambios pequeños en la rentabilidad, pero
no para fluctuaciones grandes.
80
60
40
20
0
-20
-40
-60
Precio
Rentabilidad
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Variación real
en el precio
Variación por
la duración

Convexidad:
ƒ La convexidad es la curvatura de la relación
precio-rentabilidad de un bono.
ƒ La aproximación de la duración siempre
infravalora el valor de un bono:
¾ Subestima el aumento del precio cuando
baja la rentabilidad.
¾ Sobrestima la bajada del precio cuando
aumenta la rentabilidad.

Convexidad:
ƒ Se puede cuantificar la convexidad como la tasa de
cambio de la pendiente (2ª derivada) de la curva
precio-rentabilidad expresada como una fracción del
precio del bono.
ƒ La convexidad permite mejorar la aproximación de la
duración para variaciones en los precios de los bonos:
donde el 1º y 2º sumandos indican las variaciones relativas en el
precio debidas a la duración y a la convexidad, respectivamente.
2
2
1 d P
C =
P dr
⋅
2
M
ΔP 1
= D Δr C (Δr)
P 2
− ⋅ + ⋅ ⋅

Caso 17:
Un bono con vencimiento a 15 años y un cupón del 5%
se vende a una rentabilidad inicial al vencimiento del 5%
El bono se vende al valor nominal, que es de 1.000
euros. Si la rentabilidad se incrementa 200 p.b., calcular:
a) La duración modificada.
b) La convexidad.
c) La variación en el precio del bono debida a la
duración y el precio estimado.
d) La variación en el precio del bono debida a la
duración+convexidad y el precio estimado.
e) Los errores debidos a la duración y a la duración+
convexidad.

a) Duración modificada
b) Convexidad
2 14 15
M
50 50 50 1.050
1 2 ... 14 15
1,05 (1,05) (1,05) (1,05)
D
1.000
D 10,54 años
10,54
D 10,04 años
1,05
⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅
=
=
= =
15
t 2
t 1
CF t (t 1) (1,05)
C 135,08
P
− −
=
⋅ ⋅ + ⋅
= =
∑

c) Variación en el precio del bono debida a la duración
y precio estimado.
l
l
M
1 0
1
ΔP
D Δr 10,04 2 20,08%
P
ΔP 1.000 0,2008 200,80 €
P P (1 0,2008) 1.000 (1 0,2008)
P 799,20 €
= − ⋅ = − ⋅ = −
= ⋅ =
= ⋅ − = ⋅ −
=

d) Variación en el precio del bono debida a la
duración+convexidad y precio estimado.
l
2
M
2
1 0
ΔP 1
D Δr C (Δr)
P 2
ΔP 1
10,04 0,02 135,08 (0,02)
P 2
ΔP
0,1738 17,38%
P
ΔP 1.000 0,1738 173,80 €
P ´ P (1 0,1738) 1.000 (1 0,1738) 826,20 €
= − ⋅ + ⋅ ⋅
= − ⋅ + ⋅ ⋅
= − =
= ⋅ =
= ⋅ − = ⋅ − =

e) Errores debidos a la duración y a la
duración+convexidad.
Precio real del bono después del
incremento en la rentabilidad:
Errores:
1 2 14 15
1 15
15 0,07
50 50 50 1.050
P ...
1,07 (1,07) (1,07) (1,07)
1.050
P 50 a 817,84 €
(1,07)
= + + + +
= ⋅ + =
l
l
D 1 1
D C 1 1
ε P P 817,84 799,20 18,64 €
ε P P ´ 817,84 826,20 8,36 €
+
= − = − =
= − = − = −

Generalmente, hay dos formas de considerar el
riesgo de las carteras de renta fija, dependiendo de
las circunstancias del inversor:
1. Algunas instituciones, como los bancos, están
interesadas en proteger el valor actual neto de la
cartera o el valor de mercado neto ante cambios
en los tipos de interés.
2. Otros inversores, como los fondos de pensiones,
están más preocupados por proteger los valores
futuros de sus carteras.
No obstante, lo que tienen en común los bancos y los
fondos de pensiones es el riesgo del tipo de interés.

Estrategias que pueden utilizar los inversores para
cubrir su valor neto ante variaciones en los tipos
de interés:
1. La inmunización: estrategia para cubrir el valor
neto ante cambios en los tipos de interés.
2. Ajuste de flujos de caja y estrategias de
asignación o vinculación: hacen referencia al
ajuste de flujos de caja de una cartera de renta
fija con los de una obligación, o al ajuste de los
flujos de caja en periodos múltiples, respectiva-
mente.

Inmunización:
Muchos bancos tienen una mala casación entre el
vencimiento de los activos y de los pasivos. Por ej.:
Activos Pasivos
DA > DP
El valor de los activos es más sensible a las
variaciones en el tipo de interés que el valor de
los pasivos.
Créditos comerciales
Créditos al consumo Depósitos de clientes
Hipotecas

Inmunización:
La inmunización trata de eliminar la sensibilidad
del precio a los cambios de tipos de interés a
través de equilibrar la duración de la cartera de
activos con la duración de la cartera de pasivos
(Redington,1952).
Según el teorema de inmunización de Fisher y
Weil (1971) una cartera estará inmunizada si su
duración coincide con el horizonte temporal del
inversor.

Inmunización:
Los inversores en renta fija se enfrentan a dos
tipos de compensación del riesgo de tipo de
interés:
ƒ Riesgo de precio: incrementos en el tipo de
interés producen pérdidas de capital.
ƒ Riesgo de reinversión: incrementos en el tipo de
interés incrementan la tasa de reinversión de los
ingresos.
Si Dcartera = HTI → los riesgos se compensan →
→ cartera inmunizada

Caso 18:
Una compañía de seguros emite un bono con
cupón cero a sus clientes con vencimiento a cinco
años y un tipo de interés garantizado del 8%. La
compañía de seguros elige para financiar su
obligación bonos de 10.000 euros con cupón del
8% anual, vendidos al valor nominal con seis años
al vencimiento. La rentabilidad al vencimiento es el
8%. ¿Cómo inmuniza su cartera la compañía de
seguros si los tipos de interés bajan al 7%
o suben al 9%?

La compañía iguala el HTI a la duración de la cartera.
Escenario inicial: r = 8%
Nº de pago Años restantes
hasta la obligación
Valor acumulado de los
pagos invertidos (€)
1
2
3
4
5
Venta del bono
4
3
2
1
0
0
800·(1,08)4=1.088,39
800·(1,08)3=1.007,77
800·(1,08)2=933,12
800·(1,08)1=864,00
800·(1,08)0=800,00
10.800/1,08=10.000,00
14.693.28

Escenario 1: r = 7%
1
2
3
4
5
Venta del bono
4
3
2
1
0
0
800·(1,07)4=1.048,64
800·(1,07)3=980,03
800·(1,07)2=915,92
800·(1,07)1=856,00
800·(1,07)0=800,00
10.800/1,07=10.093,46
14.694,05

Escenario 2: r = 9%
1
2
3
4
5
Venta del bono
4
3
2
1
0
0
800·(1,09)4=1.129,27
800·(1,09)3=1.036,02
800·(1,09)2=950,48
800·(1,09)1=872,00
800·(1,09)0=800,00
10.800/1,09=9.908,26
14.696,02

Resultados:
ƒ Si los tipos bajan al 7% los fondos totales acumularán
hasta 14.694,05 €, proporcionando un pequeño
superávit de 0,77 €.
ƒ Si los tipos suben al 9%, el fondo acumula hasta
14.696,02 €, proporcionando un pequeño superávit
de 2,74 €.

La duración equilibra la diferencia entre el valor
acumulado de los pagos de cupón (riesgo de reinversión)
y el valor de venta del bono (riesgo de precio).
ƒ Cuando baja el tipo de interés, el cupón reinvertido
crece menos que en el caso inicial, pero la ganancia
en la venta del bono lo compensa.
ƒ Cuando sube el tipo de interés, el valor de reventa
del bono baja, pero los cupones reinvertidos
compensan esta pérdida porque se reinvierten a un
tipo más alto.

Caso 19:
Una compañía de seguros emite un bono con cupón cero a
sus clientes con vencimiento a cinco años y un tipo de
interés garantizado del 8%. La compañía de seguros elige
para financiar su obligación bonos de 10.000 euros con
cupón del 8% anual, vendidos al valor nominal con seis años
al vencimiento. El valor acumulado de los pagos invertidos al
8% de rentabilidad al vencimiento es 14.693,28 €. El balance
inicial para la cuenta de la compañía muestra que ambos
activos y la obligación tienen valores de mercado de
10.000 euros, de forma que el plan está eficientemente
financiado. ¿Qué sucede si el tipo de interés sube al 9% o
baja al 7%?

Escenario 1: r = 7%
Activos Pasivos
Bonos: Obligación:
6
6 0,07
10.000
800 a
(1,07)
10.476,65 €
⋅ + =
=
5
14.693,28
(1,07)
10.476,11 €
=
=

Escenario 2: r = 9%
Activos Pasivos
Bonos: Obligación:
6
6 0,07
10.000
800 a
(1,09)
9.551,41 €
⋅ + =
=
5
14.693,28
(1,09)
9.549,62 €
=
=

ƒ Si los tipos suben o bajan, el valor de los bonos y el
valor actual de la obligación de la compañía cambian
en cantidades prácticamente iguales.
ƒ Independientemente del cambio del tipo de interés,
el plan sigue estando completamente financiado con
un superávit en torno a cero.
ƒ La estrategia de equilibrio de la duración garantiza
que ambos activos y pasivos reaccionan igualmente
a las fluctuaciones de tipos de interés.

ƒ Esto es válido sólo para pequeños cambios de los
tipos de interés ya que para fluctuaciones grandes
los valores actuales divergen y la duración aumenta.
ƒ Es necesario reequilibrar las carteras inmunizadas
ya que los tipos de interés y la duración de los
activos cambia continuamente. Los gestores deben
reequilibrar o cambiar la composición de la cartera
de activos de renta fija para realinear su duración
con la duración de la obligación.Además, la duración
cambia con el paso del tiempo aunque no cambie el
tipo de interés.

ƒ Sin embargo, no es posible un reequilibrio continuo
de la cartera debido a que la ETTI no es plana y
cuando varía lo hace de forma no paralela. Es muy
difícil conseguir una perfecta inmunización sólo
buscando un bono con una duración idéntica a la del
periodo en que se pretende mantenerle.
ƒ La inmunización es una estrategia pasiva porque se
utiliza cuando se supone que el mercado es eficiente
en su forma intermedia, es decir, cuando los precios
de los activos reflejan toda la información hecha
pública.

Caso 20:
Una compañía de seguros tiene que realizar un pago
de 19.487 € en siete años. El tipo de interés de
mercado es del 10%, por lo que el valor actual del
pasivo es de 10.000 €. El gestor de la cartera de la
compañía desea financiar este pasivo utilizando
obligaciones con cupón cero a tres años y bonos
perpetuos que paguen cupón anual. ¿Cómo puede el
gestor inmunizar su pasivo?

La inmunización requiere que la duración de la
cartera de activos sea igual a la duración de la
cartera de pasivos. Pasos a seguir:
1) Calcular la duración del pasivo.
DP = 7 años
2) Calcular la duración de la cartera de activos.
Dbono cupón cero = 3 años
Dbono perpetuo = 1,10/0,10 = 11 años
DA = 3· w + 11· (1 - w)

3) Encontrar la combinación de activos que iguala
la duración de la cartera de activos con la
duración de la cartera de pasivos.
7 = 3· w + 11· (1 - w)
w = 1/2
El gestor debería invertir la mitad de la cartera
en el bono cupón cero y la otra mitad en el bono
perpetuo.

4) Financiar completamente el pasivo.
Como el pasivo tiene un valor actual de 10.000 €
y el fondo se invertirá por igual en el bono cupón
cero y en el bono perpetuo, el gestor deberá
comprar 5.000 € del bono cupón cero y 5.000 €
del bono perpetuo.

Caso 21:
Suponga que ha pasado un año y que el tipo de
interés se mantiene al 10%. El gestor de la cartera
del Caso 20 tiene que volver a examinar su
posición. ¿Está completa y eficientemente financiada
su posición? ¿Sigue estando inmunizada? Si no es así,
¿qué acciones se deberán llevar a cabo?

1) Se debe examinar la financiación.
Valor después de un año del pasivo:
10.000· (1,10) = 11.000 €
Valor después de un año de los fondos del gestor:
10.000· (1,10) = 11.000 €
Valor después de un año de los bonos cupón cero:
5.000· (1,10) = 5.500 €
El bono perpetuo ha pagado su cupón de 500 €
anuales y sigue valiendo 5.000 €.
Por tanto, el pasivo sigue estando completamente
financiado.

2) Se deben cambiar las ponderaciones de la cartera.
Dbono cupón cero = 2 años
Dbono perpetuo = 1,10/0,10 = 11 años
6 = 2· w + 11· (1 - w) → w = 5/9
Para reequilibrar la cartera y mantener el equilibrio
de la duración, el gestor debe invertir:
11.000· 5/9 = 6.111,11 € en el bono cupón cero
Esto requiere que todos los pagos de cupón de
500 € se inviertan en el bono con cupón cero, con
111,11 € adicionales del bono perpetuo vendidos e
invertidos en el bono cupón cero.

Estrategia de ajuste de flujos de caja:
Ajuste de flujos de caja de una cartera de renta fija con los de
una obligación. Sin embargo, no es utilizado frecuentemente
debido a las restricciones que impone para la selección de los
bonos y obligaciones a adquirir.
Estrategia de asignación o vinculación:
Ajuste de los flujos de caja en periodos múltiples. El gestor
selecciona bien un cupón cero, o bien obligaciones con cupón
que proporcionan flujos de caja totales que encajan una serie
de obligaciones en cada periodo. Una vez que se han ajustado
los flujos de caja no es necesario el reequilibrio, se trata de
un enfoque integral para eliminar el riesgo de interés.

Fuentes de beneficio potencial en la gestión activa de
carteras de renta fija:
1) Estimación de los tipos de interés:
¾ Si se prevén descensos en los tipos de interés,
los gestores aumentarán la duración de la
cartera.
¾ Si se prevén aumentos, acortarán la duración.
2) Identificación de las imperfecciones relativas a la
valoración dentro del mercado de renta fija.
Estas técnicas producirán rentabilidades anormales si la
información del analista es superior a la del mercado.

Homer y Leibowitz (1972) han desarrollado una
taxonomía popular de las estrategias de gestión activa
de carteras de renta fija:
1) Swap de sustitución: es el intercambio de un bono
por otro prácticamente idéntico, pero con una
valoración más atractiva.
2) Swap de diferencia entre mercados: es el
intercambio de dos bonos de diferentes sectores
del mercado de bonos.
3) Swap de anticipo de los tipos: es el intercambio de
bonos con diferentes vencimientos.

Homer y Leibowitz (1972) han desarrollado una
taxonomía popular de las estrategias de gestión activa
de carteras de renta fija:
4) Swap de elección de rendimiento puro: es un
intercambio de un bono de duración menor por
un bono de mayor duración.
5) Swap impositivo: es una permuta de dos bonos
similares para obtener un beneficio fiscal.

Análisis del horizonte:
Es una de las formas de pronosticar el tipo de
interés.
Consiste en predecir la rentabilidad de los
bonos basada especialmente en la predicción de
la curva de rendimientos al final del horizonte
de inversión.

Caso 23:
Un bono con vencimiento a 15 años y un cupón anual del
6% se vende actualmente a un rendimiento al vencimiento
del 5%. Un gestor de cartera con un horizonte de inversión
a tres años necesita hacer una previsión del rendimiento
total del bono durante los próximos tres años. En este
tiempo, el bono tendrá un periodo hasta el vencimiento de
12 años. La previsión del analista indica que dentro de tres
años los bonos a 12 años se venderán a rendimientos al
vencimiento del 4% y que los pagos de cupón se podrán
reinvertir en títulos a corto plazo durante los próximos tres
años a un tipo del 3%. Calcular la rentabilidad a tres años
del bono.

Para calcular la rentabilidad a tres años del bono, el
analista realizará las siguientes operaciones:
1) Precio actual
2) Precio previsto
3) Valor futuro del cupón reinvertido
60·(1,03) + 60·(1,03)2 + 60 = 185,45 €
actual 15
15 0,05
1.000
P = 60 a 1.103,80 €
(1,05)
⋅ + =
previsto 12
12 0,04
1.000
P = 60 a 1.187,70 €
(1,04)
⋅ + =

4) Rentabilidad a tres años
5) Tasa de rentabilidad anual durante el periodo de
tres años
185,45 (1.187,70 1.103,80)
0,2440 24,40%
1.103,80
+ −
= =
1/3
1/3 1/3
1/3
i 0,2440; i ?
(1 i ) 1 i i (1,2440) 1 0,0755
i 7,55%
= =
+ = + ⇒ = − =
=

Inmunización contingente:
ƒ Sugerida por primera vez por Liebowitz y
Weinberger (1982).
ƒ Está dentro del espectro de estrategias activas
que pueden actuar en combinación con las
estrategias pasivas.
ƒ Es una estrategia que inmuniza una cartera
garantizando una rentabilidad mínima y
permitiendo una gestión activa.

Inmunización contingente:
ƒ Esta rentabilidad mínima es menor que la que se
podría lograr con una estrategia de inmunización
pasiva, al permitir un mayor margen de maniobra
para la realización de estrategias de gestión activa.
Es decir, el inversor tiene un cierto margen para
efectuar previsiones sobre la evolución de tipos de
interés y, si éstas son mejores que las del mercado,
la rentabilidad será superior. Pero en caso contra-
rio se vería obligado a inmunizar completamente la
cartera con el objetivo de conseguir la rentabilidad
mínima garantizada.

Caso 24:
Un gestor con un horizonte a dos años es responsable
de una cartera de 10 millones de euros. Por tanto, a
través de las estrategias de inmunización el gestor
puede asegurar un valor futuro dentro de dos años de
11.664.000 euros si el tipo de interés es el 8%. Supon-
gamos que el gestor está de acuerdo en asegurar
únicamente 10.800.000 euros a cambio de seguir una
estrategia de gestión activa de la cartera. Calcular:
a) La rentabilidad mínima aceptable de la cartera.
b) La cuantía necesaria para garantizar el valor mínimo.
c) ¿Cuánto puede arriesgar el gestor?

a) La rentabilidad mínima aceptable de la cartera.
b) La cuantía necesaria para garantizar el valor mínimo.
mínima
mínima
10.000.000 (1 r ) 10.800.000
r 0,0392
⋅ + =
=
2
0
0
C (1 0,08) 10.800.000
C 9.259.259,26 €
⋅ + =
=

c) ¿Cuánto puede arriesgar el gestor?
Cuando la cartera tiene un valor menor a
9.259.259,26 € la gestión activa deberá
abandonarse y llevar a cabo una estrategia
de inmunización para obtener el valor mínimo
(10.800.000 €) en el horizonte temporal (dos
años). El colchón de seguridad de 408 p.b.
(8% - 3,92% = 4,08%) indica la amplitud del
margen del gestor para realizar la gestión
activa de la cartera.

MUCHAS GRACIAS
POR SU ATENCIÓN

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